Выбранный для просмотра документ выступление.docx
Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Когда я читала книгу Алексея Константиновича Толстого «Буратино», то обратила свое внимание на такую фразу: А роза упала на лапу Азора. Именно её просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина.
Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение европейских палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.).
Известен греческий палиндром, вырезанный на купели византийского храма Софии в Константинополе: niyon anomhmata mh monan oyin (омывайте дущу так же как и тело). Здесь уже проявляется заговорный характер палиндрома – записанная по кругу надпись должна служить заклятием от злых сил, не допуская их к святой купели.
Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.
Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И можно ли перенести эту же идею – идею взаимообратного, симметрического прочтения – в математику.
Цель исследования :математическое исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов .
Симметрия (греч.) – соразмерность, одинаковость в расположении частей . Симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.
Многие объекты живой природы, например, лист, снежинку, бабочку объединяет то, что они симметричны. Если их мысленно сложить вдоль начерченной прямой, то их половинки совпадут. А если поставить зеркальце вдоль прочерченной линии, то отражённая в нём половинка фигуры дополнит её до целой. Поэтому такая симметрия называется зеркальной. Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться.
Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале?
Мы провели опыты с зеркалами.
Если поставить зеркало сбоку от буквы А, то увидим в зеркале туже самую букву. Но если поставить зеркало снизу, отражение уже не похоже на А - это А вверх дном.
А вот если поставить зеркало снизу буквы В, отражение выглядит также. Зато поставив зеркало сбоку от неё , получим В задом наперёд.
Буква А имеет вертикальную симметрию , а буква В – горизонтальную.
Итак, мы выяснили, что зеркальная симметрия меняет местами верх-низ, лево - право.
Оказывается и среди чисел есть палиндромы.
Найти числа – палиндромы в математике не составило труда. Я попыталась составить запись числа для этих чисел – палиндромов.
- в двузначных числах –
палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.
– в трехзначных числах –
палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.
- в четырехзначных числах –
палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с
числом десятков и т.д.
Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.
Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.
Например: 22 + 66 = 66 + 22.
В общем виде это можно записать так:
+ 
= +
Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, например, 42 + 35 = 53 + 24.
Запишем это равенство с помощью букв. 
Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
(10х1 + у1) + (10х2 + у2) = (10у2 + х2) + (10у1 + х1)
10х1 + у1 + 10х2 + у2 = 10у2 + х2 +10у1 + х1. Слагаемые с х перенесем в левую часть равенства, а с у – в правую:
10х1 - х1 + 10х2 - х2 = 10у1 - у1 + 10у2 - у2. Применим распределительное свойство:
9 х1 + 9 х2 = 9 у1 + 9 у2
9(х1 + х2) = 9(у1 + у2)
х1 + х2 = у1 + у2. То есть для решения нашей задачи Сумма первых цифр должна быть равна сумме их вторых цифр.
Теперь можно составлять такие суммы:
76 + 34 = 43 + 67
25 + 63 = 36 + 52 и т.д.
Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.
Представив наши числа в виде суммы разрядных слагаемых и выполнив нужные преобразования, получим, что для решения нашей задачи У таких чисел должны быть равны суммы цифр.
(10х1 + у1) – (10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)
10х1 + у1 – 10х2 - у2 = 10у2 + х2 – 10у1 - х1
10х1 + х1 + у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2 + х2
11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2
11(х1 + у1) = 11(х2 + у2)
х1 + у1 = х2 + у2
Теперь можно составлять такие разности:
41 – 32 = 23 – 14
46 – 28 = 82 – 64
52 –16 = 61 – 25 и т.д.
В случае умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при этом произведение первых цифр у чисел N1 и N2 равно произведению их вторых цифр (x1 ∙ x2 = y1 ∙ y2).
Наконец,
для деления получаем такие примеры:
В этом случае произведение первой цифры числа N1 на вторую цифру числа N2 равно произведению двух других их цифр, т.е. x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1.
Я попыталась доказать формулу-палиндром для произведения. Вот что у меня получилось.
N1
= 
= 10х1 + у1
N3
= 
=
10у2 + х2
N2
= 
= 10х2 + у2
N4
= 
=
10у1 + х1
N1
∙ N2
= ∙ = (10х1 + у1) ∙
(10х2 + у2)
N3
∙ N4
= ∙
=
(10у2 + х2) ∙ (10у1 + х1)
100х1∙х2 + 10х1∙у2 + 10у1∙х2 + у1∙у2 = 100у1∙у2 + 10х1∙у2 + 10у1∙х2 + х1∙х2
99х1∙х2 = 99у1∙у2; х1∙х2 = у1∙у2, что и требовалось доказать.
С помощью понятий числа-палиндром и формулы-палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них:
Задача. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.
Решение.
, т.е. данное произведение делится на 9.
Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й.Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м
В своей работе мы прикоснулись к удивительному математическому явлению - симметрии, в частности к её проявлению - палиндромам
Итак, все вы сегодня убедились в том, что МАТЕМАТИКА важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать. И математический стиль мышления нужен сегодня всем – и языковеду, и биологу, и химику, и физику, и инженеру, и художнику, и поэту, и музыканту.
В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать. Путь познания законов гармонии и красоты долог и труден, и мы находимся только в его начале.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ работа.pptx
Скачать материал "Презентация к исследовательской работе "Палиндромы в математике""
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Палиндромы в математике
Муниципальный научный форум для обучающихся 4-11-х классов образовательных организаций г. Владикавказа
«Созвездие интеллектуалов»
Выполнила
ученица 6 класса
МБОУ СОШ №34
Плиева Диана
Руководитель: учитель математики МБОУ СОШ №34
Ляликова Н.В.
2 слайд
Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Когда я читала книгу Алексея Константиновича Толстого «Буратино», то обратила свое внимание на такую фразу: А роза упала на лапу Азора. Именно её просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина.
3 слайд
Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.).
4 слайд
Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.
5 слайд
Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И можно ли перенести эту же идею – идею взаимообратного, симметрического прочтения – в математику.
Цель исследования: математическое исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов .
6 слайд
Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться.
Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале?
7 слайд
8 слайд
в двузначных числах - палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.
в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.
в четырехзначных числах - палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.
9 слайд
Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.
Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.
Например: 22 + 66 = 66 + 22.
10 слайд
Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, например, 42 + 35 = 53 + 24
Запишем это равенство с помощью букв
Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
(10х1 + у1) + (10х2 + у2) = (10у2 + х2) + (10у1 + х1)
10х1 + у1 + 10х2 + у2 = 10у2 + х2 +10у1 + х1.
Слагаемые с х перенесем в левую часть равенства,
а с у – в правую:
10х1 - х1 + 10х2 - х2 = 10у1 - у1 + 10у2 - у2.
Применим распределительное свойство:
9 х1 + 9 х2 = 9 у1 + 9 у2
9(х1 + х2) = 9(у1 + у2)
х1 + х2 = у1 + у2.
11 слайд
То есть для решения нашей задачи
Сумма первых цифр
должна быть равна
сумме их вторых цифр.
Теперь можно составлять такие суммы:
76 + 34 = 43 + 67 , 7+3 = 6+4
25 + 63 = 36 + 52, 2+6 = 5+3 и т.д.
12 слайд
Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел,
чтобы результат их вычитания не менялся в результате
прочтения разности справа налево.
Например, 75 – 39 = 93 – 57
Выполним преобразования, как в предыдущей задаче:
(10х1 + у1) – (10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)
10х1 + у1 – 10х2 - у2 = 10у2 + х2 – 10у1 - х1
10х1 + х1 + у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2 + х2
11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2
11(х1 + у1) = 11(х2 + у2)
х1 + у1 = х2 + у2
13 слайд
То есть для решения нашей задачи
у таких чисел должны быть равны суммы цифр.
Теперь можно составлять такие разности:
41 – 32 = 23 – 14, 4+1 = 3+2
46 – 28 = 82 – 64, 4+6 = 2+8
52 –16 = 61 – 25, 5+2 = 1+6 и т.д.
14 слайд
Формула-палиндром для произведения двузначных чисел
В случае умножения имеем:
63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28
Т.е. произведение первых цифр у чисел N1 и N2 равно произведению их вторых цифр
x1 ∙ x2 = y1 ∙ y2
15 слайд
С помощью понятий числа-палиндромы и формулы-палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них:
Задача. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.
Решение.
т.е. данное произведение делится на 9.
16 слайд
Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й.Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м
17 слайд
В своей работе мы прикоснулись к удивительному
математическому явлению - симметрии, в частности к её проявлению - палиндромам
Все вы сегодня убедились в том, что МАТЕМАТИКА
важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать.
В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы,
формулы – палиндромы для суммы, разности и произведения двузначных чисел и смогла их доказать.
Путь познания законов гармонии и красоты
долог и труден, и мы находимся только
в его начале.
18 слайд
Список литературы.
Толстой А.К. «Буратино». – М.: Вече, 2002.
http://www.ashtray.ru/main/texts/bonch_course/l4AA.htmТатьяна Бонч-Осмоловская, «Курс лекций по комбинаторной литературе»
http://www.rbardalzo.narod.ru/kogda_vselen.html «Когда вселенная была палиндромом»
http://www.chitalnya.ru/print.php?id=798267 Рубрика произведения: Поэзия, Экспериментальная поэзия, © 05.05.2013 Владимир Гончаров
Т.В. Домбровская. Симметрия и асимметрия в природе, науке и искусстве. Томск.1999. « Пеленг»
Федин С.Н. Палиндроматика . Математика для школьников. – 2005 № 1.
http://www.libma.ru/matematika/matematiki_tozhe_shutjat/p7.php#metkadoc17
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Целью исследования является исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов.
Гипотеза: если существуют слова-палиндромы и фразы-палиндромы, то существуют числа-палиндромы, а так же формулы-палиндромы, так как подобно словам, состоящим из букв-знаков, числа состоят из цифр-знаков.
Задачи исследования:
1. Выяснить, что такое палиндром.
2. Показать примеры отдельных слов-палиндромов.
3. Показать фразы-палиндромы.
4. Рассмотреть числа-палиндромы.
5. Рассмотреть формулы-палиндромы и доказать некоторые из них.
Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.
Были проведены опыты с зеркалами для выяснения изменений в предмете при его отражении в зеркале.
Рассмотрены числа-палиндромы и доказаны формулы-палиндромы для суммы, разности, произведения и частного двузначных чисел.
Архив содержит презентацию и текст выступления.
6 664 863 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ляликова Наталья Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.