Главная / Математика / Презентация к исследовательской работе "Палиндромы в математике"

Презентация к исследовательской работе "Палиндромы в математике"

Название документа выступление.docx

Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Когда я читала книгу Алексея Константиновича Толстого «Буратино», то обратила свое внимание на такую фразу: А роза упала на лапу Азора. Именно её просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина.

Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение европейских палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.).

Известен греческий палиндром, вырезанный на купели византийского храма Софии в Константинополе: niyon anomhmata mh monan oyin (омывайте дущу так же как и тело). Здесь уже проявляется заговорный характер палиндрома – записанная по кругу надпись должна служить заклятием от злых сил, не допуская их к святой купели.

Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.

Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И можно ли перенести эту же идею – идею взаимообратного, симметрического прочтения – в математику.

Цель исследования :математическое исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов .

Симметрия (греч.) – соразмерность, одинаковость в расположении частей . Симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Многие объекты живой природы, например, лист, снежинку, бабочку объединяет то, что они симметричны. Если их мысленно сложить вдоль начерченной прямой, то их половинки совпадут. А если поставить зеркальце вдоль прочерченной линии, то отражённая в нём половинка фигуры дополнит её до целой. Поэтому такая симметрия называется зеркальной. Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться.

Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале?

Мы провели опыты с зеркалами.

Если поставить зеркало сбоку от буквы А, то увидим в зеркале туже самую букву. Но если поставить зеркало снизу, отражение уже не похоже на А - это А вверх дном.

А вот если поставить зеркало снизу буквы В, отражение выглядит также. Зато поставив зеркало сбоку от неё , получим В задом наперёд.

Буква А имеет вертикальную симметрию , а буква В – горизонтальную.

Итак, мы выяснили, что зеркальная симметрия меняет местами верх-низ, лево - право.

Оказывается и среди чисел есть палиндромы.

Найти числа – палиндромы в математике не составило труда. Я попыталась составить запись числа для этих чисел – палиндромов.

hello_html_m4b9bd5e6.gif- в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.

hello_html_m7e8eae80.gifв трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.

hello_html_m1e1f64ae.gif- в четырехзначных числах – палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.

Например: 22 + 66 = 66 + 22.

В общем виде это можно записать так:

hello_html_441000d2.gif+ hello_html_m414c4874.gif = hello_html_m414c4874.gif + hello_html_441000d2.gif

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, например, 42 + 35 = 53 + 24.

Запишем это равенство с помощью букв. hello_html_m2342fdb9.gif

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

(10х1 + у1) + (10х2 + у2) = (10у2 + х2) + (10у1 + х1)

10х1 + у1 + 10х2 + у2 = 10у2 + х2 +10у1 + х1. Слагаемые с х перенесем в левую часть равенства, а с у – в правую:

10х1 - х1 + 10х2 - х2 = 10у1 - у1 + 10у2 - у2. Применим распределительное свойство:

9 х1 + 9 х2 = 9 у1 + 9 у2

9(х1 + х2) = 9(у1 + у2)

х1 + х2 = у1 + у2. То есть для решения нашей задачи Сумма первых цифр должна быть равна сумме их вторых цифр.

Теперь можно составлять такие суммы:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.



Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

hello_html_m450c826d.gif

Представив наши числа в виде суммы разрядных слагаемых и выполнив нужные преобразования, получим, что для решения нашей задачи У таких чисел должны быть равны суммы цифр.

(10х1 + у1) – (10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)

10х1 + у1 – 10х2 - у2 = 10у2 + х2 – 10у1 - х1

10х1 + х1 + у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2 + х2

11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2

11(х1 + у1) = 11(х2 + у2)

х1 + у1 = х2 + у2

Теперь можно составлять такие разности:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25 и т.д.

В случае умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при этом произведение первых цифр у чисел N1 и N2 равно произведению их вторых цифр (x1 ∙ x2 = y1 ∙ y2).

Наконец, для деления получаем такие примеры:hello_html_m15916257.gif

В этом случае произведение первой цифры числа N1 на вторую цифру числа N2 равно произведению двух других их цифр, т.е. x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1.

Я попыталась доказать формулу-палиндром для произведения. Вот что у меня получилось.

N1 = hello_html_m2cdffb9b.gif = 10х1 + у1 N3 = hello_html_f4fcd78.gif= 10у2 + х2

N2 = hello_html_322a8e90.gif = 10х2 + у2 N4 = hello_html_2c29935f.gif= 10у1 + х1

N1N2 = hello_html_m2cdffb9b.gif hello_html_322a8e90.gif = (10х1 + у1) ∙ (10х2 + у2)

N3 N4 = hello_html_f4fcd78.gif hello_html_2c29935f.gif = (10у2 + х2) ∙ (10у1 + х1)

100х1∙х2 + 10х1∙у2 + 10у1∙х2 + у1∙у2 = 100у1∙у2 + 10х1∙у2 + 10у1∙х2 + х1∙х2

99х1∙х2 = 99у1∙у2; х1∙х2 = у1∙у2, что и требовалось доказать.

С помощью понятий числа-палиндром и формулы-палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них:

Задача. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.

Решение. hello_html_m13fd265c.gif , т.е. данное произведение делится на 9.



Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й.Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м

В своей работе мы прикоснулись к удивительному математическому явлению - симметрии, в частности к её проявлению - палиндромам

Итак, все вы сегодня убедились в том, что МАТЕМАТИКА важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать. И математический стиль мышления нужен сегодня всем – и языковеду, и биологу, и химику, и физику, и инженеру, и художнику, и поэту, и музыканту.

В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать. Путь познания законов гармонии и красоты долог и труден, и мы находимся только в его начале.











Название документа работа.pptx

Палиндромы в математике Муниципальный научный форум для обучающихся 4-11-х кл...
Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и...
Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческ...
Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетич...
Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И мож...
Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зерка...
в двузначных числах - палиндромах число единиц совпадает с числом десятков. ...
Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разно...
Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения...
То есть для решения нашей задачи Сумма первых цифр должна быть равна сумме их...
Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания...
То есть для решения нашей задачи 	у таких чисел должны быть равны суммы циф...
Формула-палиндром для произведения двузначных чисел В случае умножения имеем:...
С помощью понятий числа-палиндромы и формулы-палиндромы можно решать задачи ...
Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку вып...
В своей работе мы прикоснулись к удивительному математическому явлению - симм...
Список литературы. Толстой А.К. «Буратино». – М.: Вече, 2002. http://www.asht...
1 из 18

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Палиндромы в математике Муниципальный научный форум для обучающихся 4-11-х класс
Описание слайда:

Палиндромы в математике Муниципальный научный форум для обучающихся 4-11-х классов образовательных организаций г. Владикавказа «Созвездие интеллектуалов» Выполнила ученица 6 класса МБОУ СОШ №34 Плиева Диана Руководитель: учитель математики МБОУ СОШ №34 Ляликова Н.В.

№ слайда 2 Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и сп
Описание слайда:

Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Когда я читала книгу Алексея Константиновича Толстого «Буратино», то обратила свое внимание на такую фразу: А роза упала на лапу Азора. Именно её просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина.

№ слайда 3 Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого
Описание слайда:

Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.).

№ слайда 4 Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическ
Описание слайда:

Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.

№ слайда 5 Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И можно
Описание слайда:

Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И можно ли перенести эту же идею – идею взаимообратного, симметрического прочтения – в математику. Цель исследования: математическое исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов .

№ слайда 6 Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале.
Описание слайда:

Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться. Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале?

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 в двузначных числах - палиндромах число единиц совпадает с числом десятков. в т
Описание слайда:

в двузначных числах - палиндромах число единиц совпадает с числом десятков. в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц. в четырехзначных числах - палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

№ слайда 9 Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности
Описание слайда:

Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево. Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется. Например: 22 + 66 = 66 + 22.

№ слайда 10 Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не
Описание слайда:

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, например, 42 + 35 = 53 + 24 Запишем это равенство с помощью букв Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых: (10х1 + у1) + (10х2 + у2) = (10у2 + х2) + (10у1 + х1) 10х1 + у1 + 10х2 + у2 = 10у2 + х2 +10у1 + х1. Слагаемые с х перенесем в левую часть равенства, а с у – в правую: 10х1 - х1 + 10х2 - х2 = 10у1 - у1 + 10у2 - у2. Применим распределительное свойство: 9 х1 + 9 х2 = 9 у1 + 9 у2 9(х1 + х2) = 9(у1 + у2) х1 + х2 = у1 + у2.

№ слайда 11 То есть для решения нашей задачи Сумма первых цифр должна быть равна сумме их вт
Описание слайда:

То есть для решения нашей задачи Сумма первых цифр должна быть равна сумме их вторых цифр. Теперь можно составлять такие суммы: 76 + 34 = 43 + 67 , 7+3 = 6+4 25 + 63 = 36 + 52, 2+6 = 5+3 и т.д.

№ слайда 12 Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не
Описание слайда:

Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево. Например, 75 – 39 = 93 – 57 Выполним преобразования, как в предыдущей задаче: (10х1 + у1) – (10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1) 10х1 + у1 – 10х2 - у2 = 10у2 + х2 – 10у1 - х1 10х1 + х1 + у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2 + х2 11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2 11(х1 + у1) = 11(х2 + у2) х1 + у1 = х2 + у2

№ слайда 13 То есть для решения нашей задачи 	у таких чисел должны быть равны суммы цифр.
Описание слайда:

То есть для решения нашей задачи у таких чисел должны быть равны суммы цифр. Теперь можно составлять такие разности: 41 – 32 = 23 – 14, 4+1 = 3+2 46 – 28 = 82 – 64, 4+6 = 2+8 52 –16 = 61 – 25, 5+2 = 1+6 и т.д.

№ слайда 14 Формула-палиндром для произведения двузначных чисел В случае умножения имеем: 63
Описание слайда:

Формула-палиндром для произведения двузначных чисел В случае умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28 Т.е. произведение первых цифр у чисел N1 и N2 равно произведению их вторых цифр x1 ∙ x2 = y1 ∙ y2

№ слайда 15 С помощью понятий числа-палиндромы и формулы-палиндромы можно решать задачи на
Описание слайда:

С помощью понятий числа-палиндромы и формулы-палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них: Задача. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9. Решение. т.е. данное произведение делится на 9.

№ слайда 16 Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпада
Описание слайда:

Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й.Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м

№ слайда 17 В своей работе мы прикоснулись к удивительному математическому явлению - симметр
Описание слайда:

В своей работе мы прикоснулись к удивительному математическому явлению - симметрии, в частности к её проявлению - палиндромам Все вы сегодня убедились в том, что МАТЕМАТИКА важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать. В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы, разности и произведения двузначных чисел и смогла их доказать. Путь познания законов гармонии и красоты долог и труден, и мы находимся только в его начале.

№ слайда 18 Список литературы. Толстой А.К. «Буратино». – М.: Вече, 2002. http://www.ashtray
Описание слайда:

Список литературы. Толстой А.К. «Буратино». – М.: Вече, 2002. http://www.ashtray.ru/main/texts/bonch_course/l4AA.htmТатьяна Бонч-Осмоловская, «Курс лекций по комбинаторной литературе» http://www.rbardalzo.narod.ru/kogda_vselen.html «Когда вселенная была палиндромом» http://www.chitalnya.ru/print.php?id=798267 Рубрика произведения: Поэзия, Экспериментальная поэзия, © 05.05.2013 Владимир Гончаров Т.В. Домбровская. Симметрия и асимметрия в природе, науке и искусстве. Томск.1999. « Пеленг» Федин С.Н. Палиндроматика . Математика для школьников. – 2005 № 1. http://www.libma.ru/matematika/matematiki_tozhe_shutjat/p7.php#metkadoc17

Презентация к исследовательской работе "Палиндромы в математике"
  • Математика
Описание:

Целью исследования является исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов.

Гипотеза: если существуют слова-палиндромы и фразы-палиндромы, то существуют числа-палиндромы, а так же формулы-палиндромы, так как подобно словам, состоящим из букв-знаков, числа состоят из цифр-знаков.

Задачи исследования:

1.     Выяснить, что такое палиндром.

2.     Показать примеры отдельных слов-палиндромов.

3.     Показать фразы-палиндромы.

4.     Рассмотреть числа-палиндромы.

5.     Рассмотреть формулы-палиндромы и доказать некоторые из них.

Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.

Были проведены опыты с зеркалами для выяснения изменений в предмете при его отражении в зеркале.

Рассмотрены числа-палиндромы и доказаны формулы-палиндромы для суммы, разности, произведения и частного двузначных чисел.

Архив содержит презентацию и текст выступления.

Автор Ляликова Наталья Валентиновна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1484
Номер материала 28714
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓