Главная / Математика / Презентация к исследовательской работе "Эти удивительные числа"

Презентация к исследовательской работе "Эти удивительные числа"

Название документа выступление сергей.docx

Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.

Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 5 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, палиндромы, репьюниты.

Гипотеза:

Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Объект исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства натуральных чисел.

Цель работы: познакомиться с удивительными числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств.

Такие ли они «простые», эти простые числа?

Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: Например 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? Еще древнегреческий математик Евклид утверждал, что самого большого простого числа не существует.

Т.к. простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел, так как наибольшего простого числа нет. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составить этот список, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эрастосфен. Это был удивительно разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло в науку в связи с придуманным им методом отыскания простых чисел. Итак, первое простое число – 2. Обведем его и вычеркнем все числа, кратные двум. Следующее простое число – 3. Обводим его и вычеркиваем числа, кратные трем и т.д. В результате получаем последовательность простых чисел. Простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.



Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов, начиная с числа 2. Получим одну из моделей «решета» Эрастосфена для отсеивания простых чисел. Все числа в кружочках – простые. Составные числа перечёркнуты. Все простые числа от числа 5 и дальше расположены только в 2 столбиках: в 4-м и 6-м. Когда в какой-то строке 4-го и 6-го столбцов оба числа простые, то это пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19) и т.д.

2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42 43

44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55

56 57 58 59 60 61

62 63 64 65 66 67

68 69 70 71 72 73

74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85

86 87 88 89 90 91

92 93 94 95 96 97

98 99 100 101 102 103

Как известно, делителем натурального числа называется такое число, на которое данное число делится без остатка.

Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п.

До сих пор нет ответа на вопросы:

1) Существует ли наибольшее совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Число 6 имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 является первым совершенным числом.

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Действительно, делителями числа 28 являются числа 1, 2, 4, 7, 14. 1+2+4+7+14=28. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Почти полторы тысячи лет люди знали только эти четыре совершенных числа. Совершенные числа обладают следующими свойствами:

- Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

- Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. hello_html_mfe549fa.gif

Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. В настоящее время найдено более 30 совершенных чисел.

Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.

НАПРИМЕР. Найдём делители чисел 220 и 284.

Делители 220: 1;2;11;10;5;44;22;110;20;55;4.

Делители 284: 1;2;142;71;4.

Вычислим сумму делителей числа 220: 1+2+11+10+5+44+22+110+20+55+4 = 284.

Вычислим сумму делителей числа 284: 1+2+142+71+4 = 220

Вывод: сумма делителей числа220 равна числу284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.

К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на интервале от 1 до 100000









1 пара

220 и 284

8 пара

17296 и 18416

2 пара

1184 и 1210

9 пара

63020 и 76084

3 пара

2620 и 2924

10 пара

66928 и 66992

4 пара

5020 и 5564

11 пара

67095 и 71145

5 пара

6232 и 6362

12 пара

69615 и 87633

6 пара

10744 и 10856

13 пара

79750 и 88730

7 пара

12285 и 14595





Есть еще очень интересные числа – палиндромы и репьюниты. Палиндромами в математике называются числа, которые одинаково читаются как слева направо, так справа нелево. Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц.

В результате умножения репьюнитов получается число-палиндром:

11∙11=121;

11∙111=1221;

1111∙11=12221;

1112=12321;



ЗАКЛЮЧЕНИЕ. В результате изучения различных источников мы познакомились с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам.

Предметом исследования стали совершенные и дружественные числа.

При выполнении работы было доказано, что 220 и 284, 1184 и 1210; 2620 и 2924 являются дружественными числами, а числа 6; 28; 496; 8128; 33550336 – совершенными.

При нахождении делителей этих чисел мы раскладывали их на простые множители.

Анализ наших решений показал, что простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».




Название документа числа.pptx

Эти удивительные числа Выполнил ученик 5б класса МБОУ СОШ №34 Оболонко Сергей...
Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - ...
Гипотеза: Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все нату...
Такие ли они «простые», эти простые числа? 	Числа, которые имеют только два р...
Проведем небольшое исследование. 	Представим натуральные числа в виде произве...
Можно ли сосчитать все простые числа? 	Еще древнегреческий математик Евклид у...
Решето Эратосфена 	 Простые числа
Числа-близнецы 	Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов, ...
Совершенные числа 	Как известно, делителем натурального числа называется тако...
Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Гре...
Совершенные числа 	Число 6 имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложит...
Свойства совершенных чисел Все совершенные числа треугольные. Это значит, что...
Палиндромы и репьюниты 	Есть еще очень интересные числа – палиндромы и репьюн...
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 	В результате изучения различных источников мы познакомились с уди...
Дружественные числа 	Дружественными числами называются два натуральных числа,...
Дружественные числа 	К настоящему времени коллекция дружественных чисел превы...
Список литературы Волина И. А. Праздник числа. М. 1991. Депман И. Я. Мир чисе...
1 из 17

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Эти удивительные числа Выполнил ученик 5б класса МБОУ СОШ №34 Оболонко Сергей V
Описание слайда:

Эти удивительные числа Выполнил ученик 5б класса МБОУ СОШ №34 Оболонко Сергей V общешкольный конкурс исследовательских работ и проектов «О, сколько нам открытий чудных…» Руководитель: учитель математики МБОУ СОШ №34 Ляликова Н.В.

№ слайда 2 Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одн
Описание слайда:

Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы. Самые древние по происхождению числа - натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 5 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, палиндромы, репьюниты.

№ слайда 3 Гипотеза: Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натурал
Описание слайда:

Гипотеза: Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения». Объект исследования – натуральные числа. Предмет исследования – свойства натуральных чисел. Цель работы: познакомиться с удивительными числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств.

№ слайда 4 Такие ли они «простые», эти простые числа? 	Числа, которые имеют только два разл
Описание слайда:

Такие ли они «простые», эти простые числа? Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. Самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

№ слайда 5 Проведем небольшое исследование. 	Представим натуральные числа в виде произведен
Описание слайда:

Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: Например, 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: Простые числа являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа.

№ слайда 6 Можно ли сосчитать все простые числа? 	Еще древнегреческий математик Евклид утве
Описание слайда:

Можно ли сосчитать все простые числа? Еще древнегреческий математик Евклид утверждал, что самого большого простого числа не существует.

№ слайда 7 Решето Эратосфена 	 Простые числа
Описание слайда:

Решето Эратосфена Простые числа

№ слайда 8 Числа-близнецы 	Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов, нач
Описание слайда:

Числа-близнецы Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов, начиная с числа 2. Получим одну из моделей «решета» Эрастосфена для отсеивания простых чисел. Все числа в кружочках – простые. Составные числа перечёркнуты. Все простые числа от числа 5 и дальше расположены только в 2 столбиках: в 4-м и 6-м. Когда в какой-то строке 4-го и 6-го столбцов оба числа простые, то это пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19) и т.д. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

№ слайда 9 Совершенные числа 	Как известно, делителем натурального числа называется такое ч
Описание слайда:

Совершенные числа Как известно, делителем натурального числа называется такое число, на которое данное число делится без остатка. Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, равна п. До сих пор нет ответа на вопросы: 1) Существует ли наибольшее совершенное число? 2) Существует ли нечетное совершенное число?

№ слайда 10 Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции
Описание слайда:

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На 6-м месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в 6 дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них. Совершенные числа

№ слайда 11 Совершенные числа 	Число 6 имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить д
Описание слайда:

Совершенные числа Число 6 имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа: 1 + 2 + 3, то мы получим 6. Значит, число 6 является первым совершенным числом. Следующим совершенным числом, известным древним, было 28. Действительно, делителями числа 28 являются числа 1, 2, 4, 7, 14. 1+2+4+7+14=28. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Почти полторы тысячи лет люди знали только эти четыре совершенных числа.

№ слайда 12 Свойства совершенных чисел Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, в
Описание слайда:

Свойства совершенных чисел Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. В настоящее время найдено более 30 совершенных чисел.

№ слайда 13 Палиндромы и репьюниты 	Есть еще очень интересные числа – палиндромы и репьюниты
Описание слайда:

Палиндромы и репьюниты Есть еще очень интересные числа – палиндромы и репьюниты. Палиндромами в математике называются числа, которые одинаково читаются как слева направо, так справа нелево. Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц. 6886, 515- палиндромы. 111, 11111 - репьюниты В результате умножения репьюнитов получается число-палиндром: 11∙11=121; 11∙111=1221; 1111∙11=12221; 1112=12321;

№ слайда 14 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 	В результате изучения различных источников мы познакомились с удивит
Описание слайда:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате изучения различных источников мы познакомились с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам. Анализ наших решений показал, что простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

№ слайда 15 Дружественные числа 	Дружественными числами называются два натуральных числа, ес
Описание слайда:

Дружественные числа Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому. НАПРИМЕР. Найдём делители чисел 220 и 284. Делители 220: 1; 2; 11; 10; 5; 44; 22; 110; 20; 55; 4. Делители 284: 1; 2; 142; 71; 4. Вычислим сумму делителей числа 220: 1+2+11+10+5+44+22+110+20+55+4 = 284. Вычислим сумму делителей числа 284: 1+2+142+71+4 = 220 Вывод: сумма делителей числа220 равна числу284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.

№ слайда 16 Дружественные числа 	К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышае
Описание слайда:

Дружественные числа К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на интервале от 1 до 100000 1 пара 220 и 284 8 пара 17296 и 18416 2 пара 1184 и 1210 9 пара 63020 и 76084 3 пара 2620 и 2924 10 пара 66928 и 66992 4 пара 5020 и 5564 11 пара 67095 и 71145 5 пара 6232 и 6362 12 пара 69615 и 87633 6 пара 10744 и 10856 13 пара 79750 и 88730 7 пара 12285 и 14595

№ слайда 17 Список литературы Волина И. А. Праздник числа. М. 1991. Депман И. Я. Мир чисел.
Описание слайда:

Список литературы Волина И. А. Праздник числа. М. 1991. Депман И. Я. Мир чисел. М. 1979. Депман И. Я. Рассказы о математике. М. 1982. Депман И. Я. Из истории математики. М. 1985. Заболотных Т. А. «Использование исторического материала в обучении математике», журнал Математика в школе,1989 г., № 6, стр.11 – 12. Сухинина Т. К. «Беседа на уроках математики», журнал Начальная школа, 1983 г., № 2, стр.7 – 9.   Математический энциклопедический словарь. – Москва «Советская энциклопедия» 1988г.

Презентация к исследовательской работе "Эти удивительные числа"
  • Математика
Описание:

Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют,  играют, делают умозаключения, выводы. Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 5 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще  совершенные,  дружественные, палиндромы, репьюниты. Если  простые числа – это «кирпичики», из  которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».  Объект исследования – натуральные числа. Предмет исследования – свойства натуральных чисел. Цель работы: познакомиться с удивительными числами  и установить роль простых чисел в изменении их свойств. Архив содержит презентацию и текст выступления.

Автор Ляликова Наталья Валентиновна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 995
Номер материала 27070
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓