Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Тема урока:
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Преподаватель математики и физики ГБПОУ Салаватского индустриального колледжа
Ягаффарова Д.У.
2015г.
2 слайд
Опрос
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
Уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы.
3.Что значит решить ДУ?
Найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.
4. Какое решение ДУ называется общим?
Решение, содержащее произвольную постоянную С.
5. Какое решение ДУ называется частным?
Решение, в которое подставлено числовое значение С.
2. Какие из следующих уравнений являются дифференциальными?
3 слайд
Опрос
7. Определите порядок следующих ДУ:
9. Какое уравнение называется ДУ первого порядка с разделяющимися переменными?
Уравнение вида
Уравнение вида
8. Какое уравнение называется ДУ первого порядка с разделёнными переменными?
6. Что называется порядком ДУ?
Наивысший порядок производной, входящий в уравнение.
4 слайд
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Иоганн Бернулли (1667—1748)
Яков Бернулли
(1654-1705)
К портрету Иоганна Вольтер написал четверостишие:
Его ум видел истину,
Его сердце познало справедливость.
Он — гордость Швейцарии
И всего человечества.
5 слайд
Объекты, названные в честь членов семьи
Дифференциальное уравнение Бернулли — в честь Якова.
Закон Бернулли и Интеграл Бернулли в гидродинамике — в честь Даниила.
Лемниската Бернулли — в честь Якова.
Многочлен Бернулли — в честь Якова.
Неравенство Бернулли — в честь Иоганна.
Распределение Бернулли в теории вероятностей — в честь Якова.
Числа Бернулли — в честь Якова.
Три поколения Бернулли дали 8 крупных математиков и физиков.
Среди академиков Петербургской Академии наук — пятеро представителей семьи Бернулли.
В честь Якова и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.
6 слайд
Уравнение Якова Бернулли
Метод Лагранжа
ДУ с разделяющимися переменными
Неоднородное
Однородное
Метод Иоганна Бернулли
Метод вариации произвольной постоянной
Метод подстановки
Линейное
7 слайд
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейное ДУ первого порядка называется однородным, если функция
Замечание. Уравнение называется линейным, так как искомая функция y и её производная y’ входят в это уравнение в первой степени.
Уравнение вида , где и – функции переменной или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка
Линейное ДУ первого порядка называется неоднородным, если функция
8 слайд
1)
Какие из данных уравнений являются линейными уравнениями первого порядка, а какие нет и почему?
1) Есть линейное уравнение первого порядка, так как y и y’ входят в
первой степени, а - функции одной переменной х
2)
3)
2) Не является линейным, так как содержит вторую производную
3) Не является линейным, так как содержит
9 слайд
Линейное однородное ДУ первого порядка
1. Решить уравнение
Решение:
имеем
Получаем
(общее решение)
2. Решить уравнение
Выразить производную функции через дифференциалы
Разделить переменные
Интегрировать
(общее решение)
Решение:
10 слайд
Линейное неоднородное ДУ. Метод Иоганна Бернулли
Замечание. Любую величину можно представить в форме произведения двух сомножителей, причем один из множителей можно выбрать по своему желанию.
В результате линейное неоднородное ДУ сводиться к двум уравнениям с разделяющимися переменными:
где
и
- новые функции переменной
1. Решить уравнение
Решение:
Положим
тогда
или
11 слайд
Получим
или
Выразить производную функции через дифференциалы
Разделить переменные
Интегрировать
С=0, ввиду произвольности в выборе
(1)
Имеем
12 слайд
Выразить производную функции через дифференциалы
Разделить переменные
Интегрировать
постоянную С писать обязательно
Окончательно получим
(общее решение)
Замечание. Уравнение (1) можно было записать в эквивалентном виде:
13 слайд
Алгоритм решения линейного ДУ первого порядка
1. Приводят уравнение к виду
находят
2. Используя подстановку
и подставляют эти выражения в уравнение.
3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций
за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.
4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.
5. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство
6. Если требуется найти частное решение , то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.
или
14 слайд
Примеры
Решить уравнения:
1.
2.
Ответ:
Ответ:
15 слайд
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое уравнение называется линейным ДУ первого порядка?
2. При каких условиях линейное ДУ первого порядка называется однородным?
ДУ с разделяющимися переменными
3. К какому ДУ приводится линейное однородное уравнение ?
4. Какими методами решается линейное неоднородное ДУ ?
Методы Бернулли, Лагранжа
5. В чем заключается метод Бернулли?
В подстановке
16 слайд
Домашнее задание
1. Решить линейное ДУ первого порядка
2. Решить задачу Коши для линейного ДУ первого порядка
17 слайд
Спасибо за внимание
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В работе содержится материал из курса алгебры и начала анализа, раздел по теме: «Дифференциальные Уравнения». Данная работа состоит из опроса, пройденного материала, исторических сведениях, теоретического и практического материала по данной теме, а также заданий для самостоятельного закрепления. Презентация предназначена для преподавателей математики и студентов как среднего профессионального, так и высшего образования, для самостоятельного изучения данной темы.
6 664 943 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Сычёва Анна Дмитриевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.