Главная / Математика / Практическая работа № 8 Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»

Практическая работа № 8 Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 8

Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»

Цель: совершенствование умений находить неопределенные интегралы методом замены переменной и по частям, совершенствование умений проверять действие интегрирования дифференцированием.


Методические указания для практической работы

Теоретические сведения

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Функция hello_html_m6dd12af5.gif, определенная на интервале hello_html_5c36b885.gif, называется первообразной для функции hello_html_38619188.gif, определенной на том же интервале hello_html_5c36b885.gif, если hello_html_m4cea2f78.gif

Если hello_html_m6dd12af5.gif — первообразная для функции hello_html_38619188.gif, то любая другая первообразная hello_html_69b2ab0.gifдля функции hello_html_38619188.gif отличается от hello_html_m6dd12af5.gif на некоторое постоянное слагаемое, т. е. hello_html_m3f40be48.gif где hello_html_797456e4.gif.

Неопределенным интегралом от функции hello_html_38619188.gif называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: hello_html_m1d7d92e2.gif где hello_html_m4821b699.gif

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

hello_html_3814b41a.gif

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1. hello_html_m1c6fac43.gif

2. hello_html_62ba3362.gif

3. hello_html_m66d305c3.gif

4. hello_html_77ed0b2d.gif

Таблица основных интегралов

1. hello_html_525fc8c0.gif 2. hello_html_m3220820a.gif

3. hello_html_67e6c926.gif hello_html_16d10aba.gif

4. hello_html_m19af0c19.gif 5. hello_html_m2a72e2c0.gif

6. hello_html_m1a90c890.gif 7.hello_html_59c6ac21.gif

8. hello_html_10025abd.gif 9. hello_html_183c8e08.gif

10. hello_html_mdaebcb2.gif 11. hello_html_m274d230c.gif

12. hello_html_239d8a96.gif 13. hello_html_65ccde10.gif

14. hello_html_564be536.gif 15. hello_html_71cc0894.gif

16. hello_html_m32e2f8ef.gif 17. hello_html_m62e76a18.gif

18. hello_html_m3468ce5c.gif

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть hello_html_73cd4d8b.gifмонотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

hello_html_m1b0ea0d5.gif (1)

При этом, если hello_html_m47345acd.gif то hello_html_m273d771d.gif где hello_html_m730ea39a.gif— функция, обратная hello_html_m7beb2665.gif.

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования hello_html_3766d446.gif с новой переменной hello_html_m19299864.gif с помощью замены hello_html_73cd4d8b.gif.

2) Найти связь между дифференциалами hello_html_662c9879.gif.

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив hello_html_m651992a5.gif

Пример1. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

hello_html_m6a4025b0.gifhello_html_m24490c2f.gifhello_html_m4d1237be.gif

Решение:

hello_html_49b427e2.gif

hello_html_4226f04c.gif

hello_html_735def4e.gif

Интегрирование по частям
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций hello_html_ca09d33.gif и hello_html_m2d819dc2.gif непрерывны, то справедлива формула:

hello_html_m76d6cc1d.gifhello_html_m5f6d1b76.gif (3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве hello_html_3d4de2a5.gif обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей hello_html_5b129e21.gif и hello_html_78dfc550.gif.

Таблица 1

Вид интеграла

hello_html_49b22cf0.gif

hello_html_3ad11acd.gif

hello_html_2bd2660b.gif

hello_html_d5be914.gif

hello_html_5ccdf50f.gif





Вид интеграла

hello_html_49b22cf0.gif

hello_html_3ad11acd.gif

hello_html_m7790147d.gif

hello_html_m205479a.gif

hello_html_b441758.gif

hello_html_2b449557.gif

hello_html_7615865f.gif

hello_html_78d63a7d.gif

hello_html_18bb4af0.gif

hello_html_m1a2e514b.gif

hello_html_m613dd7ba.gif

hello_html_5b286b29.gif

hello_html_m10aaa127.gif

hello_html_1d472aca.gif

hello_html_m4b1b8b39.gifмногочлен от hello_html_3766d446.gif степени hello_html_m1d4342ac.gif, т. е. hello_html_7d298fd3.gif, где hello_html_m12361521.gif.

Пример 2. Проинтегрировать по частям.

hello_html_m17d3ef62.gifhello_html_m76f8da19.gif

Решение.

hello_html_m44bebd8e.gifhello_html_m4f8885b0.gif







































Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 8

Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»

Цель: совершенствование умений находить неопределенные интегралы методом замены переменной и по частям, совершенствование умений проверять действие интегрирования дифференцированием.


Задание 1. Проинтегрировать функции заменой переменной:

1) hello_html_mf04d294.gif hello_html_m13d8bc21.gif hello_html_56d1ca06.gif

2) hello_html_m5250733b.gif hello_html_4eeda8ec.gif hello_html_ecc0728.gif

3) hello_html_575cf54c.gif hello_html_436e5d6f.gif hello_html_c67c2bb.gif

4) hello_html_6af150a.gif hello_html_4f824cd6.gif hello_html_3b6b9c1d.gif

5) hello_html_m5ec7c87.gif hello_html_45eb891f.gif hello_html_m31465b17.gif

6) hello_html_m65755e0b.gif hello_html_m2520940a.gif hello_html_7bb7c7a.gif

Задание 2. Найти интеграл интегрированием по частям:

1) hello_html_m1c605eb7.gif hello_html_m71f48f56.gif

2) hello_html_6ab8c587.gif hello_html_1e359bc5.gif

3) hello_html_m75700266.gif hello_html_2180b6f9.gif

4) hello_html_m363d6abe.gif hello_html_m55a6cb24.gif

5) hello_html_m269dcef4.gif hello_html_m3fa4f8a.gif

6) hello_html_m373d59ce.gif hello_html_m51b94d64.gif

Практическая работа № 8 Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»
  • Математика
Описание:

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 8

Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»

Цель: совершенствование  умений находить неопределенные интегралы методом замены переменной и по частям, совершенствование умений проверять действие интегрирования дифференцированием.

 

Методические указания для практической работы

Теоретические сведения

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если  — первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции  отличается от  на некоторое постоянное слагаемое, т. е.  где .

Неопределенным интегралом от функции  называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл:  где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Автор Михайлова Мария Борисовна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1914
Номер материала 30299
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓