Главная / Математика / Практическая работа № 6 тема: «Исследование функции при помощи производной»

Практическая работа № 6 тема: «Исследование функции при помощи производной»

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Методические указания для практической работы

Теоретические сведения

  1. Возрастание и убывание функции

Функцияhello_html_m6ebf54ee.gif называется возрастающей в промежутке hello_html_4220864a.gif, если для любыхhello_html_570f113e.gifиhello_html_2b92f0a8.gif, принадлежащих этому промежутку и таких, что hello_html_60d582c5.gif, имеет место неравенство hello_html_6ab91acc.gif.

Функция hello_html_m6ebf54ee.gif называется убывающей в промежутке hello_html_4220864a.gif, если для любыхhello_html_570f113e.gifиhello_html_2b92f0a8.gif, принадлежащих этому промежутку и таких, что hello_html_60d582c5.gif, имеет место неравенство hello_html_m453e60e4.gif.

Как возрастающие , так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции hello_html_m6ebf54ee.gif характеризуется знаком ее производной:

если в некотором промежутке hello_html_79674a8a.gif, то функция возрастает в этом промежутке;

если в некотором промежутке hello_html_7a6fbc2e.gif, то функция убывает в этом промежутке.

Пример 1. Найти промежутки монотонности следующих функций:

а)hello_html_m672c1e3e.gif б)hello_html_m649640f7.gif

а) Находим производную:hello_html_m725cb7f7.gif, имеем hello_html_m221489d7.gif.

Последующие рассуждения представим в таблице:


hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_11f324d3.gif

4

hello_html_bb3408d.gif

hello_html_52762f6a.gif

-

0

+

hello_html_m62f7f14f.gif

hello_html_m7c270484.gif


hello_html_m3b959ddd.gif


Таким образом, данная функция в промежутке hello_html_11f324d3.gif убывает,

а в промежутке hello_html_bb3408d.gifвозрастает.

б)hello_html_95fef2c.gif hello_html_5bc12fd0.gif

Составим таблицу:

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m255157fd.gif

0

hello_html_3e1d96cf.gif

4

hello_html_bb3408d.gif

hello_html_52762f6a.gif

+

0

-

0

+

hello_html_m62f7f14f.gif

hello_html_m3b959ddd.gif


hello_html_m7c270484.gif


hello_html_m3b959ddd.gif


Итак, в промежутках hello_html_m255157fd.gif и hello_html_bb3408d.gifфункция возрастает, а в промежутке hello_html_3e1d96cf.gif - убывает.


  1. Исследование функции на экстремум

с помощью первой производной


Точка hello_html_69b83015.gif из области определения функции hello_html_m62f7f14f.gifназывается точкой минимума этой функции, если существует такая hello_html_m3d22f155.gif – окрестность

hello_html_m3d07abac.gifточки hello_html_69b83015.gif, что для всех hello_html_768e098.gif из этой окрестности выполняется неравенство hello_html_50aec91a.gif

Точка hello_html_69b83015.gif из области определения функции hello_html_m7eced531.gif называется точкой максимума этой функции, если существует такая hello_html_m3d22f155.gif – окрестность

hello_html_m3d07abac.gifточки hello_html_69b83015.gif, что для всех hello_html_768e098.gif из этой окрестности выполняется неравенство hello_html_76972b6e.gif

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом (или экстремумами) функции.

Точками экстремумами могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная hello_html_52762f6a.gif обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку hello_html_69b83015.gif производная hello_html_52762f6a.gif меняет знак, то функция hello_html_m7eced531.gif имеет в точке hello_html_69b83015.gif экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку hello_html_69b83015.gif производная hello_html_52762f6a.gif не меняет знака, то функция hello_html_m7eced531.gif в точке hello_html_69b83015.gif не имеет экстремума.

  1. Правило нахождения экстремумов функции hello_html_5a44a6b1.gif

с помощью первой производной

  1. Найти производную hello_html_52762f6a.gif.

  2. Найти критические точки функции hello_html_5a44a6b1.gif, т.е. точки в которых hello_html_52762f6a.gif обращается в нуль или терпит разрыв.

  3. Исследовать знак производной hello_html_52762f6a.gif в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции hello_html_m7eced531.gif. При этом критическая точка hello_html_69b83015.gif есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором hello_html_m72fea4b5.gif, от промежутка, в котором hello_html_m71f65211.gif, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой hello_html_69b83015.gif, знак производной не меняется, то в точке hello_html_69b83015.gif функция экстремума не имеет.

  4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум следующие функции:

а)hello_html_64ce10db.gif б) hello_html_ma71bb5a.gif

а) Находим hello_html_1db5c604.gif , приравняем производную к нулю, имеем hello_html_m77cbd4d4.gif . Получим единственную критическую точку hello_html_m14b55a82.gif.




Последующие рассуждения представим в таблице:

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m41e613c9.gif

2

hello_html_mbfef009.gif

hello_html_52762f6a.gif

-

0

+

hello_html_m62f7f14f.gif

hello_html_m7c270484.gif

Минимум

hello_html_m33bdd7ea.gif

hello_html_m3b959ddd.gif


hello_html_6dd69bac.gif

График функции hello_html_4022b581.gif есть парабола. Точка минимума (2;-4) является вершиной параболы.

б) Находим hello_html_m22300f22.gif , приравняем производную к нулю, имеемhello_html_1870bd20.gif . Получим две критические точки hello_html_6f34565d.gif и hello_html_m14b55a82.gif.

Последующие рассуждения представим в таблице:

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m255157fd.gif

0

hello_html_m32ee369b.gif

2

hello_html_mbfef009.gif

hello_html_52762f6a.gif

+

0

-

0

+

hello_html_m62f7f14f.gif

hello_html_m3b959ddd.gif

Максимум

hello_html_m4e1a8e47.gif

hello_html_m7c270484.gif

Минимум

hello_html_62910d66.gif

hello_html_m3b959ddd.gif


hello_html_m7d3926cf.gif

hello_html_ma54207f.gif

  1. Наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

  1. Найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

  2. Найти значения функции на концах промежутка;

  3. Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции hello_html_m7ba0430d.gif в промежутке hello_html_2d2a8a03.gif.

Имеем hello_html_1db5c604.gif; 2hello_html_78e3313b.gif, т.е. hello_html_m14b55a82.gif - критическая точка. Находим hello_html_448c076c.gif; далее, вычисляем значения функции на концах промежутка: hello_html_40cfcaff.gif, hello_html_78a3408.gif.

Итак, наименьшее значение функции равно - 1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.


  1. Построение графиков функций

Общая схема построения графиков функций

  1. Найти область определения функции.

  2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

  3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

  4. Найти асимптоты графика функции.

  5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

  6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

  7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример 4 . Построить график функции hello_html_f52f3af.gif.

  1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. hello_html_m3323b506.gif.

  2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

  3. Найдем точку пересечения графика с осью hello_html_m6ae8bad7.gif: полагая hello_html_6f34565d.gif , получим hello_html_m290c4cc5.gif . Точки пересечения графика с осью hello_html_51f22a41.gif в данном случае найти затруднительно.

  4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

  5. Найдем производную: hello_html_m287ff89c.gif . Далее, имеем hello_html_m1863de8c.gif.

Точки hello_html_m1c7b9ae5.gif и hello_html_554b3652.gif делят область определения функции на три промежутка: hello_html_2b1a5c52.gif, hello_html_m725ca46a.gif, hello_html_m684bb3.gif . В промежутках hello_html_2b1a5c52.gif и hello_html_m65220064.gif, то есть функция возрастает, а в промежутке hello_html_m725ca46a.gif hello_html_m7b1409a0.gif, то есть функция убывает. При переходе через точку hello_html_m1c7b9ae5.gif производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку hello_html_554b3652.gif - с минуса на плюс. Значит, hello_html_m7832f5f4.gif.

  1. Найдем вторую производную: hello_html_5373e2d2.gif. Точка hello_html_m14b55a82.gif делит область определения функции на два промежутка hello_html_m41e613c9.gif и hello_html_mbfef009.gif. В первом из них hello_html_m309e7304.gif, а во втором

hello_html_m339685a8.gif, то есть в промежутке hello_html_m41e613c9.gif кривая выпукла вверх, а в промежутке hello_html_mbfef009.gif выпукла вниз. Таким образом, получим точку перегиба (2;-1).

  1. Используя полученные данные, строим искомый график.

hello_html_f52f3af.gif





Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Вариант 1.

  1. Найдите промежутки монотонности функции hello_html_3e4cf371.gif.

  2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:

hello_html_5106d0fb.gifна отрезке hello_html_m7245867e.gif.

  1. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

  1. hello_html_5617e207.gif; б) hello_html_1494b96d.gif.

  1. Дан закон прямолинейного движения точки hello_html_m1eb01274.gif

(t - в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

  1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

hello_html_15b9b98e.gif.

Вариант 2.

  1. Найдите промежутки монотонности функции hello_html_m193c90b9.gif.

  2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции

hello_html_mdff3b6d.gifна отрезке hello_html_53834577.gif.

  1. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

  1. hello_html_m6f36168d.gif; б) hello_html_m5c7e7f09.gif.

  1. Дан закон прямолинейного движения точки hello_html_d9d82dc.gif (t - в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

  2. Исследуйте функцию и постройте ее график:

hello_html_6b4c3807.gif.

Практическая работа № 6 тема: «Исследование функции при помощи производной»
  • Математика
Описание:

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

  Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум. Аналогично для точки x4. Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x0).

 Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0).

 Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

 Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка. Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x1  имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) < f(x4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Автор Михайлова Мария Борисовна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1973
Номер материала 30289
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓