Сотрудничество с онлайн-школой

Инфоурок › Математика ›Другие методич. материалы›Практическая работа №5 тема: «Вычисление производных»

Практическая работа №5 тема: «Вычисление производных»

Скачать материал

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №5

Тема: «Вычисление производных»

Цель: совершенствовать умения вычислять производные элементарных функций.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Иллюстрация понятия производной

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки $x_0 \in \R$ определена функция $f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.$ Производной функции в точке называется предел, если он существует,

$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$

Общепринятые обозначения производной функции в точке

$f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).$

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Таблица производных

Производные степенных функций	Производные тригонометрических функций	Производные обратных тригонометрических функций
$\left( c\right) '=0$	$\left( \sin x\right) '=\cos x$	$\left( \arcsin x\right) '=\dfrac {1}{\sqrt {1}-x^{2}}$
$\left( x^{a}\right) '=ax^{a-1}$	$\left( \cos x\right) '=-\sin x$	$\left( \arccos x\right) '=-\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}$
$\left( a^{x}\right) '=a^{x}\ln a$	$\left( \tan x\right) '=\dfrac {1}{\cos ^{2}x}$	$\left( \arctan x\right) '=\dfrac {1}{1+x^{2}}$
$\left( \log_{a}x\right) '=\dfrac {1}{x\ln a}$	$\left( ctg x\right) '=-\dfrac {1}{\sin ^{2}x}$	$\left( arcctg x\right) '=-\dfrac {1}{1+x^{2}}$

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

$\left(f+g\right)'=f '+g'$
$\left(fg\right)'=f'g+fg'$
$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2}$ …(g ≠ 0)
$\left(\frac{C}{g}\right)'=-\frac{Cg'}{g^2}$ (g ≠ 0)

Геометрический смысл производной

На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Пример №1. Найти производную функции .

Решение. .

Пример №2. Найти производную функции и вычислить ее значения в точках и

Решение.

Пример №3. Найти производную функции .

Решение.

Пример №4. Найти производную функции .

Решение.

1. Найдите производные следующих функций:

;

2. Найдите производные следующих функций:

;

3. Вычислите значение производной:

;

4. Вычислите значение производной:

;

5. Найдите производную следующих функций:

6. Найдите производные следующих функций:

;

7. Найдите производные следующих функций:

;

8. Найдите производные следующих функций:

;

Скачать материал

Скачать материал "Практическая работа №5 тема: «Вычисление производных»"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №5

Тема: «Вычисление производных»

Цель: совершенствовать умения вычислять производные элементарных функций.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Иллюстрация понятия производной

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функцияПроизводной функции в точке называется предел, если он существует,

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 662 865 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Урок математики в 4 классе "Путешествие с 0"

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Тема: Умножение двузначного числа на круглые десятки

30.09.2020
362
2

«Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.

docx

Проверочная работа " Деление числа в данном отношении"

30.09.2020
1824
80

docx

Карточка " Применение законов математики для рационального счета"

30.09.2020
331
3

docx

Домашняя контрольная работа "Сложение и вычитание натуральных чисел"

30.09.2020
516
1

docx

Карточка " Таблицы с устным счетом с дополнительным заданием"

30.09.2020
385
0

docx

Карточка "Таблицы с устным счетом"

30.09.2020
302
0

docx

Проверочная работа "Решение задач на части"

30.09.2020
596
5

docx

Задачи к уроку "Решение задач на части"

30.09.2020
360
1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 04.01.2015 3314
- DOCX 160.5 кбайт
- 104 скачивания
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Михайлова Мария Борисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Михайлова Мария Борисовна
- На сайте: 8 лет и 9 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 138151
- Всего материалов: 31