Главная / Математика / Практическая работа №5 тема: «Вычисление производных»

Практическая работа №5 тема: «Вычисление производных»

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №5

Тема: «Вычисление производных»

Цель: совершенствовать умения вычислять производные элементарных функций.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.C:\Users\Маша\Desktop\315px-Derivative_of_a_function_svg.png



Иллюстрация понятия производной










Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \Rопределена функцияf\colon U(x_0) \subset \R \to \R.Производной функции fв точке x_0называется предел, если он существует,

f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.





Общепринятые обозначения производной функции y=f(x)в точке x_0

f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Таблица производных

Производные степенных функций

Производные тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций

\left( c\right) '=0

\left( \sin x\right) '=\cos x

\left( \arcsin x\right) '=\dfrac {1}{\sqrt {1}-x^{2}}

\left( x^{a}\right) '=ax^{a-1}

\left( \cos x\right) '=-\sin x

\left( \arccos x\right) '=-\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}

\left( a^{x}\right) '=a^{x}\ln a

\left( \tan x\right) '=\dfrac {1}{\cos ^{2}x}

\left( \arctan x\right) '=\dfrac {1}{1+x^{2}}

\left( \log_{a}x\right) '=\dfrac {1}{x\ln a}

\left( ctg x\right) '=-\dfrac {1}{\sin ^{2}x}

\left( arcctg x\right) '=-\dfrac {1}{1+x^{2}}


Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

  • C'=0

  • x'=1

  • \left(f+g\right)'=f '+g'

  • \left(fg\right)'=f'g+fg'

  • \left(Cf\right)'=Cf'

  • \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2}…(g 0)

  • \left(\frac{C}{g}\right)'=-\frac{Cg'}{g^2}(g 0)

Геометрический смысл производной

На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

C:\Users\Маша\Desktop\661px-Derivative-SVG_svg.png





















Пример №1. Найти производную функции hello_html_m70befe93.gif.

Решение. hello_html_m62379997.gif.


Пример №2. Найти производную функции hello_html_m76eda504.gif и вычислить ее значения в точках hello_html_6f34565d.gif и hello_html_3e56d1a5.gif

Решение. hello_html_mc5c8bae.gif


Пример №3. Найти производную функции hello_html_m2c0604b5.gif.

Решение. hello_html_21733df4.gif


Пример №4. Найти производную функции hello_html_m361be504.gif.

Решение. hello_html_m1f87c34c.gif




  1. Найдите производные следующих функций:

hello_html_m29b3890c.gif;

hello_html_m2c22126d.gif;

hello_html_2dd98166.gif


  1. Найдите производные следующих функций:

hello_html_mb9c7466.gif;

hello_html_135300c3.gif;


hello_html_5fe0b1c4.gif;


hello_html_m2f7124fd.gif;

hello_html_daec199.gif


  1. Вычислите значение производной:

hello_html_m4a0883d3.gif;

hello_html_m78593c9.gif; hello_html_m5ff6eb.gif


  1. Вычислите значение производной:

hello_html_b6109d7.gif;

hello_html_m3f6ed38d.gif



  1. Найдите производную следующих функций:

hello_html_m2c1a2bd5.gif

hello_html_m72526172.gif


  1. Найдите производные следующих функций:

hello_html_4b7bb46d.gif;

hello_html_4f1ffe35.gif



  1. Найдите производные следующих функций:

hello_html_m1777dc45.gif;

hello_html_m6896edc.gif


  1. Найдите производные следующих функций:

hello_html_65b96b4b.gif;

hello_html_m58ca3fa4.gif;

hello_html_m694bbbf.gif.

5


Практическая работа №5 тема: «Вычисление производных»
  • Математика
Описание:

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №5

Тема: «Вычисление производных»

Цель: совершенствовать  умения вычислять производные элементарных функций.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

 

Иллюстрация понятия производной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функцияПроизводной функции в точке называется предел, если он существует,

 

 

Автор Михайлова Мария Борисовна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 3226
Номер материала 30278
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓