Главная / Математика / Практическая работа №3 Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Практическая работа №3 Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №3

Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

1. Системы линейных уравнений

(общие сведения)

Пусть задана система hello_html_51c06bc4.gif линейных уравнений с hello_html_51c06bc4.gif неизвестными

hello_html_4ab97d7e.gif (1)

Решением системы (1) называется совокупность чисел (hello_html_4b7ed533.gif, hello_html_4bc320e3.gif, …, hello_html_m374bbcac.gif), которая при подстановке в систему (1) вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система может иметь решение, тогда она называется совместной, причем, если решение единственное, система определенная, если решений множество – система неопределенная. Если система не имеет решений, она называется несовместной. Рассмотрим два способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса.


2. Метод Крамера


При решении методом Крамера используем определители hello_html_51c06bc4.gif-го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

hello_html_m70a243df.gif.

ТЕОРЕМА. Если определитель системы hello_html_m1f81c8.gif, то систему (3) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:

hello_html_m107a5742.gif; hello_html_m4e85788c.gif; … ; hello_html_752d375c.gif,

где определитель hello_html_24bf1b26.gif может быть получен из главного определителя путем замены hello_html_5494087b.gif-го столбца на столбец из свободных членов.

hello_html_m3467eacf.gif

Пример 1.

.



Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

hello_html_m7b2c2667.gif

и три вспомогательных определителя:

hello_html_5774e2c0.gif; hello_html_m173a789a.gif; hello_html_m62db4b56.gif.

Определитель hello_html_64f83c92.gif составлен из определителя hello_html_m2b564ea0.gif путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях hello_html_ma107a9.gif и hello_html_m5f560060.gif соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.

hello_html_58feeaef.gif;

hello_html_7375c1f7.gif;

hello_html_36b0e53c.gif;

hello_html_6bbc9a0.gif.

Неизвестные hello_html_m262da95f.gif, hello_html_7d115dba.gif, hello_html_37775beb.gif находим по формулам

hello_html_m107a5742.gif; hello_html_e4dd825.gif; hello_html_7ad14e12.gif;

hello_html_de93ace.gif; hello_html_m1918ca1b.gif; hello_html_m165fa9fa.gif.

Ответ: hello_html_m20b740a5.gif; hello_html_me57199d.gif; hello_html_453513ea.gif.


Пример2. Решить систему hello_html_76b685c2.gif методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: hello_html_m51c51a75.gif, hello_html_65d15c99.gif. Далее вычисляем определители:

hello_html_m52f37726.gif;

hello_html_682b4e65.gif;

hello_html_m31676231.gif;

hello_html_639a23e6.gif.

По теореме Крамера hello_html_291c33ae.gif; hello_html_m6744053a.gif; hello_html_40630ce6.gif. Ответ: hello_html_m4b2ef4b6.gif; hello_html_me57199d.gif; hello_html_2682dafe.gif.

Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: hello_html_b6656b5.gif, hello_html_5920e7ce.gif, hello_html_4a1d9b42.gif. Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

Условия неопределенности и несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Если определитель системы hello_html_m1a45edf6.gif, то система является либо несовместной (когда hello_html_28336484.gif и hello_html_m11bf0b19.gif), либо неопределенной (когда hello_html_291eada.gif и hello_html_m7aab9f47.gif). В последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое является следствием этого уравнения.

hello_html_48f2a299.gifУсловия несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:



Условия неопределенности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:

hello_html_35de53ea.gif


Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений (1) не имеет решения (если hello_html_m1a45edf6.gif).

Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система (1) имеет бесконечно много решений.

Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений (1) имеет единственное решение.


3. Метод Гаусса

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Идея метода Гаусса состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается.


Пример 3.

hello_html_m5f1baa23.gif.

В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное (hello_html_71b878a8.gif), во втором – 2 неизвестных (hello_html_1ad8b08a.gif и hello_html_71b878a8.gif) а в первом – 3 неизвестных (hello_html_352c4075.gif, hello_html_1ad8b08a.gif, hello_html_71b878a8.gif). За ведущее уравнение берется то, в котором коэффициент при hello_html_352c4075.gif равен 1. Если такого уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы на коэффициент при hello_html_352c4075.gif.

Ведущим уравнением данной системы будет последнее. Перепишем систему так:

hello_html_m284195e1.gif (2)

Умножаем первое уравнение на (-2) и складываем со вторым, чтобы избавиться от hello_html_352c4075.gif во втором уравнении. Результат сложения записываем на месте второго уравнения. Далее первое уравнение умножаем на (-5) и складываем с третьим, чтобы избавиться от hello_html_352c4075.gif в третьем уравнении. Результат записываем на месте третьего уравнения. Первое уравнение при этом переписываем без изменений. Получим:

hello_html_m18b3ca37.gif (3)

Системы уравнений (2) и (3) эквиваленты, т. е. они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Умножаем второе уравнение системы (5) на (-1) и складываем с третьим, чтобы избавиться от hello_html_1ad8b08a.gif в третьем уравнении. Первое уравнение при этом не трогаем. Результат записываем на месте третьего уравнения. Тогда

hello_html_5a4979d3.gif.

Из последнего уравнения hello_html_276a7378.gif. Подставляем это значение hello_html_71b878a8.gif во втрое уравнение системы и находим hello_html_1ad8b08a.gif:

hello_html_f20e153.gif

hello_html_m7e82bf7e.gif.

В первое уравнение подставляем значения hello_html_71b878a8.gif и hello_html_1ad8b08a.gif, получаем

hello_html_m7b54126a.gif

hello_html_m3d7f64f9.gif.

Ответ: hello_html_m3d7f64f9.gif; hello_html_m7e82bf7e.gif; hello_html_276a7378.gif.

Рекомендуется сделать проверку.



3. Матричный способ


Систему можно решить и матричным способом.


Рассмотрим систему вида

hello_html_m5221d8fe.gif

(4)

Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных:

hello_html_7965450.gif.

Из неизвестных hello_html_6b92b5a.gif, hello_html_e3847fa.gif, hello_html_37775beb.gif и свободных членов составим матрицы – столбцы


hello_html_3bdd0ec1.gif; hello_html_20ec999.gif.

Тогда система (4) в матричной форме примет вид

hello_html_190d7734.gif. (5)

Чтобы найти матрицу hello_html_4074490d.gif, умножим (7) на hello_html_mf096a3a.gif слева.

Ahello_html_7e2ef120.gifhello_html_m21b85e7b.gif


Пример 4.

hello_html_7571579.gif.hello_html_7b27bc0d.gif

Найти обратную матрицу hello_html_mf096a3a.gif.

РЕШЕНИЕ.

  1. Составляем и вычисляем определитель

hello_html_2b326779.gif.

Определитель вычислен по правилу треугольника.

  1. Транспонируем матрицу. Получаем

hello_html_3394f8e1.gif.

  1. Вычисляем алгебраические дополнения

hello_html_m531ced1f.gif; hello_html_40aacc0e.gif; hello_html_36ce0e5e.gif; hello_html_c8a2d56.gif; hello_html_m20bfc7bb.gif; hello_html_m56db05eb.gif; hello_html_3cbfc364.gif; hello_html_m108a2989.gif; hello_html_m2f89b83c.gif.

hello_html_m52db1a84.gif; hello_html_6093af41.gif

Вычисляем hello_html_40aacc0e.gif. Вычеркиваем первую строку и второй столбец. Составляем определитель второго порядка из оставшихся элементов.

hello_html_m52db1a84.gif; hello_html_m3cf8b2d8.gif.

Вычисляем hello_html_m5e4fff6e.gif.

Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения:

hello_html_m3518cb00.gif; hello_html_m6f923fe.gif; hello_html_m40c0c406.gif; hello_html_m34565939.gif; hello_html_508ad4f6.gif; hello_html_m7963d38c.gif; hello_html_m2bb9a9cb.gif.

Составим обратную матрицу

Ahello_html_m4d750ed8.gif

Ahello_html_7ac1bf97.gif

Сделаем проверку

hello_html_76865169.gif


Пример 5.

Решить систему матричным способом

hello_html_m5f1baa23.gif.

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу hello_html_m9661f30.gif:

hello_html_m6ee590f2.gif.

Из неизвестных составим матрицу – столбец:

hello_html_m2413f1e6.gif.

Из свободных членов составим матрицу – столбец:

hello_html_m27d6bc03.gif.

Тогда система запишется в виде

hello_html_190d7734.gif.

Получили матричное уравнение. Умножаем обе части этого уравнения на hello_html_mf096a3a.gif слева. Получаем:

hello_html_m75cc9bc7.gif.

Находим обратную матрицу:

hello_html_m2eceb0a.gif; hello_html_d6ca8f2.gif;

hello_html_5b255fdc.gif (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов; hello_html_2b7d2e1f.gif (обратная матрица).

Умножая обратную матрицу на hello_html_m29e9eea4.gif, получаем матрицу hello_html_4074490d.gif.

hello_html_m17dcdc5b.gif.

Отсюда получаем ответ:

hello_html_52d22f2.gif; hello_html_m6a09120a.gif; hello_html_276a7378.gif.

Сравните решение этой системы с решением метода Гаусса.






Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №3

Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Содержание практической работы

Вариант 1.

Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

hello_html_m4fdd0baf.gifhello_html_1ba98880.gif

а) б)


Задание 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:


hello_html_m6d74f1e0.gif



Задание 3. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

hello_html_3c47fa3c.gifhello_html_1d5f2c34.gif

а) б)


hello_html_m16790586.gifЗадание 4.

а) При каком значении а система не имеет решений?


hello_html_352b205d.gif

б) При каком значении а система имеет бесконечно много решений?


Задание 5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса матричным методом:.

а) hello_html_ma8f8e8d.gif

б) hello_html_2083bca8.gif



Задание 6. Решить систему уравнений методом Крамера:

hello_html_m50deb057.gifhello_html_5e8bb630.gif

а) б)

Задание 7. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

hello_html_7bdfcc55.gif



12


Практическая работа №3 Тема: «Решение систем линейных уравнений»
  • Математика
Описание:

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №3

Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

 

 

1. Системы линейных уравнений

 

(общие сведения)

 

         Пусть задана система  линейных уравнений с  неизвестными

 

                                             (1)                                                                    

 

                                                                                                                            

 

   Решением системы (1) называется совокупность чисел (, , …, ), которая при подстановке в систему (1) вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система может иметь решение, тогда она называется совместной, причем, если решение единственное, система определенная, если решений множество – система неопределенная. Если система не имеет решений, она называется несовместной. Рассмотрим два способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса.

 

 

 

2. Метод Крамера

 

 

 

         При решении методом Крамера используем определители -го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

                                      .

 

         ТЕОРЕМА. Если определитель системы , то систему (3) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:

 

                   ;              ;              … ;             ,

 

 

 

 

Автор Михайлова Мария Борисовна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 2089
Номер материала 30102
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓