Главная / Математика / Презентация «Решение систем линейных уравнений различными методами»

Презентация «Решение систем линейных уравнений различными методами»

Название документа Автор.docx

Тема урока: «Решение систем линейных уравнений»

Предмет: информатика

Класс: 11

Использованные источники и литература:

Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.

Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-83-9

Березкина Э. И. Древнекитайская математика. М., 1987.

Рыбников К. А. История математики. М., 1994.

http://ru.wikipedia.org/

http://matematik-sait.ucoz.ru/blog/o_matematike_vyskazyvanija_velikikh_ljudej/2012-07-23-15

Ключевые слова: информатика, математика, презентация, системы линейных уравнений, табличный процессор, методы решения.

Аннотация: целью работы являлась оценка различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения вычислительной сложности и возможности применения средств вычислительной техники для решения СЛАУ. В презентации рассмотрены различные математические методы решения систем линейных уравнений. Показаны алгоритмы и примеры решения. Рассказывается о способах решения СЛАУ средствами MS Excel с алгоритмами и примерами. Приводится текст программы на языке программирования Pascal ABC и результат ее работы решения системы уравнений методом Гаусса. Дается краткая историческая справка о жизни ученых, занимавшихся данной проблемой. Приводятся примеры использования систем линейных уравнений.


Автор: Юрченко Лариса Викторовна

Должность: учитель информатики

Категория: высшая квалификационная категория

Место работы: МБОУ Щёлковский лицей №7 Щелковского муниципального района Московской области

Город: Щелково

E-mail: Oktober1935@mail.ru

Название документа Презентация решение систем линейных уравнений.ppt

Оценить различные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с ...
исследовать различные математические методы решения систем уравнений с n неиз...
К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные п...
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида 	где ...
Система может иметь единственное решение. 	Система может иметь бесконечное м...
Прямые методы: 	 	 метод Гаусса; метод Гаусса-Жордана; метод Крамера; матрич...
При решении систем линейных уравнений по методу Крамера выполняется следующи...
Дата рождения: 31 июля 1704 года Место рождения: Женева, Швейцария Дата смерт...
Ответ: (1; 2; 2; 0)
Из-за высокой вычислительной сложности метода (требуется вычисление n + 1 ...
Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числ...
Дата рождения: 30 апреля 1777 года Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23...
Ответ: (1; 2; 2; 0)
менее трудоёмкий по сравнению с другими методами; применим к любой системе л...
Хотя описанный выше метод повсеместно называется методом Гаусса, он был изве...
Является модификацией метода Гаусса. 	Алгоритм: выбирается первая колонка сл...
Дата рождения: 1 марта 1842 года Место рождения: Эльванген, Королевство Вюрте...
	 Ответ: (1; 2; 2; 0)
Для матричных операций в Excel предусмотрены функции: МОПРЕД – вычисление оп...
Метод Крамера
Матричный метод Алгоритм: - систему линейных уравнений записывают в матричной...
Матричный метод
Поиск решения 	Широкий класс экономических задач составляют задачи оптимизаци...
Поиск решения
Поиск решения
Поиск решения
Паскаль - высокоуровневый язык программирования, один из наиболее известных....
Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, в...
Пример №1	 	Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 загот...
Пример №2 	Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 	4000 т железной руды и...
1. Изучив различные математические методы решения СЛАУ можно сделать вывод, ч...
1 из 33

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Оценить различные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с точ
Описание слайда:

Оценить различные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения вычислительной сложности и возможности применения средств вычислительной техники для решения СЛАУ

№ слайда 3 исследовать различные математические методы решения систем уравнений с n неизвес
Описание слайда:

исследовать различные математические методы решения систем уравнений с n неизвестными; научить учащихся технологиям нахождения корней систем линейных алгебраических уравнений средствами MS Excel; показать вычисление корней системы уравнений методом Гаусса, используя программу на языке программирования Pascal ABC; создать презентацию для использования на уроках информатики и математики в классах с углубленным изучением предметов.

№ слайда 4 К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные прак
Описание слайда:

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи (по некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. Конечно, существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов. Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости. Н. Винер

№ слайда 5 Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида 	где aij
Описание слайда:

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные.

№ слайда 6 Система может иметь единственное решение. 	Система может иметь бесконечное множ
Описание слайда:

Система может иметь единственное решение. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, Система может не иметь решения. Например,

№ слайда 7 Прямые методы: 	 	 метод Гаусса; метод Гаусса-Жордана; метод Крамера; матричный
Описание слайда:

Прямые методы: метод Гаусса; метод Гаусса-Жордана; метод Крамера; матричный метод. Итерационные методы: метод простой итерации (метод Якоби); метод Гаусса-Зейделя; метод релаксации. Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Г. Лейбниц

№ слайда 8 При решении систем линейных уравнений по методу Крамера выполняется следующий а
Описание слайда:

При решении систем линейных уравнений по методу Крамера выполняется следующий алгоритм: - систему записывают в матричном виде; - вычисляют главный определитель системы: - вычисляют дополнительные определители системы: - если главный определитель системы не равен нулю, то находят значения всех неизвестных по формулам:

№ слайда 9 Дата рождения: 31 июля 1704 года Место рождения: Женева, Швейцария Дата смерти:
Описание слайда:

Дата рождения: 31 июля 1704 года Место рождения: Женева, Швейцария Дата смерти: 4 января 1752 года Место смерти: Баньоль-сюр-Сез, Франция Научная сфера: математика, философия, небесная механика швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры Габриэль Крамер

№ слайда 10 Ответ: (1; 2; 2; 0)
Описание слайда:

Ответ: (1; 2; 2; 0)

№ слайда 11 Из-за высокой вычислительной сложности метода (требуется вычисление n + 1 опр
Описание слайда:

Из-за высокой вычислительной сложности метода (требуется вычисление n + 1 определителя размерности n x n), он не применяется для машинного решения больших СЛАУ. Время, необходимое на вычисление одного определителя примерно такое же, как и время на решение одной системы уравнений при использовании метода Гаусса. Однако он иногда используется при ручном счёте и в теоретических выкладках. Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. Д. Пойа

№ слайда 12 Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом
Описание слайда:

Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме. На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений.

№ слайда 13 Дата рождения: 30 апреля 1777 года Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 фе
Описание слайда:

Дата рождения: 30 апреля 1777 года Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 февраля 1855 года Место смерти: Гёттинген Страна: Брауншвейг-Люнебург Научная сфера: математика, физика, астрономия Альма-матер: Гёттингенский университет Карл Фридрих Гаусс немецкий математик, астроном и физик

№ слайда 14 Ответ: (1; 2; 2; 0)
Описание слайда:

Ответ: (1; 2; 2; 0)

№ слайда 15 менее трудоёмкий по сравнению с другими методами; применим к любой системе лине
Описание слайда:

менее трудоёмкий по сравнению с другими методами; применим к любой системе линейных уравнений; позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение; позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений - ранг матрицы системы; в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах. Применение: нахождение матрицы, обратной к данной; определение ранга матрицы; численное решение СЛАУ в вычислительной технике

№ слайда 16 Хотя описанный выше метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известе
Описание слайда:

Хотя описанный выше метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до него. Первое известное описание данного метода - в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н. э. и II в. н. э. В ней собраны 246 задач, изложенных в традиционном восточном духе: формулируется задача, сообщается готовый ответ и указывается способ решения.

№ слайда 17 Является модификацией метода Гаусса. 	Алгоритм: выбирается первая колонка слева
Описание слайда:

Является модификацией метода Гаусса. Алгоритм: выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно, отличное от нуля, значение; если самое верхнее число в этой колонке нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой, где в этой колонке нет нуля; все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки; из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки так, чтобы первым элементом каждой строки (кроме первой) стал нуль; после вычёркивания первой строки и первого столбца процедура повторяется; после повторения n-1 раз получается верхняя треугольная матрица; из предпоследней строки вычитается последняя строка, умноженная на соответствующий коэффициент, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали; предыдущий шаг повторяется для последующих строк. В итоге получается единичная матрица и решение на месте свободного вектора.

№ слайда 18 Дата рождения: 1 марта 1842 года Место рождения: Эльванген, Королевство Вюртембе
Описание слайда:

Дата рождения: 1 марта 1842 года Место рождения: Эльванген, Королевство Вюртемберг Дата смерти: 17 апреля 1899 года Место смерти: Ганновер, Провинция Ганновер, Королевство Пруссия Научная сфера: геодезия, математика Место работы: политехникум, Карлсруэ Известен как разработчик метода Гаусса -Жордана Вильгельм Йордан немецкий геодезист

№ слайда 19 	 Ответ: (1; 2; 2; 0)
Описание слайда:

Ответ: (1; 2; 2; 0)

№ слайда 20 Для матричных операций в Excel предусмотрены функции: МОПРЕД – вычисление опред
Описание слайда:

Для матричных операций в Excel предусмотрены функции: МОПРЕД – вычисление определителя матрицы; МОБР – вычисление обратной матрицы; МУМНОЖ – произведение матриц; ТРАНСП – транспонирование матрицы. …нужны ли математические знания для того, чтобы в максимальной степени использовать возможности, предоставляемые современным компьютером? Рискну предположить, что без них не обойтись. Ваннах М.

№ слайда 21 Метод Крамера
Описание слайда:

Метод Крамера

№ слайда 22 Матричный метод Алгоритм: - систему линейных уравнений записывают в матричной фо
Описание слайда:

Матричный метод Алгоритм: - систему линейных уравнений записывают в матричной форме: AX = B, где A - основная матрица системы; B - столбцы свободных членов; X - столбцы решений системы; матричное уравнение умножают слева на A–1 (матрицу, обратную к матрице A). Так как A− 1A = E, то X = A -1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода является невырожденность матрицы A. Условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A. .

№ слайда 23 Матричный метод
Описание слайда:

Матричный метод

№ слайда 24 Поиск решения 	Широкий класс экономических задач составляют задачи оптимизации.
Описание слайда:

Поиск решения Широкий класс экономических задач составляют задачи оптимизации. MS Excel располагает мощным средством для решения оптимизационных задач. Это инструмент-надстройка, который называется Поиск решения (Solver). Задачу решения СЛАУ можно свести к оптимизационной задаче. Для этого одно из уравнений, например, первое взять в качестве целевой функции, а оставшиеся n-1 рассматривать в качестве ограничений.

№ слайда 25 Поиск решения
Описание слайда:

Поиск решения

№ слайда 26 Поиск решения
Описание слайда:

Поиск решения

№ слайда 27 Поиск решения
Описание слайда:

Поиск решения

№ слайда 28 Паскаль - высокоуровневый язык программирования, один из наиболее известных. Ши
Описание слайда:

Паскаль - высокоуровневый язык программирования, один из наиболее известных. Широко применяется в обучении программированию учащихся и студентов. Система Pascal ABC основана на языке Delphi Pascal и призвана осуществить постепенный переход от простейших программ к модульному, объектно-ориентированному, событийному и компонентному программированию.

№ слайда 29
Описание слайда:

№ слайда 30 Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, втор
Описание слайда:

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым. Л. Карно

№ слайда 31 Пример №1	 	Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготово
Описание слайда:

Пример №1 Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. Г. Цейтен Тип заготовки Способ раскроя заготовки 1 2 3 А 3 2 1 Б 1 6 2 В 4 1 5

№ слайда 32 Пример №2 	Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 	4000 т железной руды и 30
Описание слайда:

Пример №2 Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 денежных единиц. Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед. Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть. М. Башмаков

№ слайда 33 1. Изучив различные математические методы решения СЛАУ можно сделать вывод, что
Описание слайда:

1. Изучив различные математические методы решения СЛАУ можно сделать вывод, что наиболее трудоемким является метод Крамера как при нахождении корней «вручную», так и при использовании табличного процессора MS Excel, при большом количестве уравнений нецелесообразно применять метод для машинного решения. 2. Наиболее трудным для изучения и требующим значительных трудозатрат при вычислении корней СЛАУ оказывается для учащихся метод Гаусса-Жордана . 3. Табличные формулы Microsoft Excel – очень мощное вычислительное средство, позволяющее находить корни СЛАУ быстрее и проще, чем при вычислении «руками». 4. При решении систем уравнений с помощью программы на языке программирования Pascal ABC скорость вычислений значительно выше, чем при решении в табличном процессоре Microsoft Excel, реализация алгоритма не вызывает затруднений,.

Презентация «Решение систем линейных уравнений различными методами»
  • Математика
Описание:

Аннотация: целью работы являлась оценка различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения вычислительной сложности и возможности применения средств вычислительной техники для решения СЛАУ. В презентации рассмотрены различные математические методы решения систем линейных уравнений. Показаны алгоритмы и примеры решения. Рассказывается о способах решения СЛАУ средствами MS Excel с алгоритмами и примерами. Приводится текст программы на языке программирования Pascal ABC и результат ее работы решения системы уравнений методом Гаусса. Дается краткая историческая справка о жизни ученых, занимавшихся данной проблемой. Приводятся примеры использования систем линейных уравнений.

Использованные источники и литература:
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.
Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-83-9
Березкина Э. И. Древнекитайская математика. М., 1987.
Рыбников К. А. История математики. М., 1994.
http://ru.wikipedia.org/
http://matematik-sait.ucoz.ru/blog/o_matematike_vyskazyvanija_velikikh_ljudej/2012-07-23-15



Фрагмент презентации
yur.jpg
Автор Юрченко Лариса Викторовна
Дата добавления 26.01.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 5469
Номер материала 1483
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓