Главная / Информатика / Интегрированный урок (Информатика+Математика). «Площадь криволинейной трапеции» 11 класс

Интегрированный урок (Информатика+Математика). «Площадь криволинейной трапеции» 11 класс

Название документа Конспект занятия.doc


Тема: «Площадь криволинейной трапеции»

Предмет: Математика и Информатика и ИКТ

Класс: 11


Ключевые слова: математика, информатика, площадь, интеграл, график функции, диаграмма, случайное число.

Цели занятия:

  1. Обучающая:

  • закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;

  • сформировать новые знания и умения нахождения площади криволинейной трапеции методом Монте-Карло, с использованием ИКТ.

  1. Развивающая – развивать умение выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала за счет использования различных методов и программных средств; развитие речи, эмоций, логического мышления учащихся. Показать необходимость знаний по математике в других науках.

  2. Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, самостоятельность, деловые и коммуникативные качества учащихся. Активизация познавательной и творческой активности учащихся.

Задачи урока:

  • Вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью интеграла, по формуле Ньютона – Лейбница.

  • Познакомить учащихся с методом Монте-Карло для нахождения площади криволинейной трапеции.

  • Сформировать умение решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции с помощью электронных таблиц Excel.

  • Формировать у учащихся потребность использования информационных технологий в решении задач по математике,

  • Развивать межпредметные связи.

Содержание учебного материала:

  1. Организационный момент. Объявление темы, цели и задач урока.

  2. Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала.

  3. Решение задачи на нахождение площади фигуры.

  4. Формирование знаний о методе Монте-Карло, и умений использовать его при решении задач.

  5. Компьютерный эксперимент:

    • Нахождение площади фигуры методом Монте-Карло.

    • Анализ полученных результатов.

  6. Проверка качества усвоения учебного материала.

  7. Подведение итогов урока, домашнее задание, рефлексия учащихся.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

Организационный момент.

Объявление темы, цели и задач урока.

Конспект. Записать тему урока в тетрадь.

2

Актуализация знаний:

Лекция.

Задачу нахождения площади фигур люди ставили перед собой с древних времен, это связано с сугубо практическим характером.

Современная школа так же решает такие задачи. Вычисление площадей простейших фигур (прямоугольников, многоугольников, кругов) не составляет труда: надо в известные формулы подставить исходные данные. А как быть если фигура имеет сложные формы? Итак, задача: Дана фигура сложной формы. Вычислить её площадь.

Можно предложить разные модели для этой задачи. Например, в начальной школе вас учили использовать палетку: на фигуру накладывается клетчатая прозрачная бумага или плёнка (палетка), и подсчитывается количество квадратиков, попавших в фигуру. В этой модели предполагается, что чем меньше клетки, тем точнее будет результат, независимо от того, каким образом наложить палетку на фигуру.

Можно придумать «физическую» модель, скопировать фигуру на картон, аккуратно вырезать её, взвесить и поделить на вес единичного квадрата из этого же картона.

В старшей школе вы познакомитесь ещё с одним способом нахождения площадей фигур: с помощью интегралов, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Историческая справка:

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур.

Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции

и Рима называли задачи на вычисление площадей.

Интегральное исчисление было предложено в 17 в. И.Ньютоном и Г. Лейбницем, независимо друг от друга.

Интегрирование – нахождение интеграла, через который выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел и т.д.
Сам знак S возник из первой буквы S латинского слова Summa. Символ был введён немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S , используемую для обозначения суммы писал слегка удлинённой. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer – целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница – Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим.

Какая фигура называется криволинейной трапецией?

Ответ:

Фигуру, ограниченную на отрезке [ a ; b ] непрерывной и не меняющей на нём знака функцией f ( x ), осью Ох и прямыми x = a , x = b называют криволинейной трапецией.

По какой формуле вычисляют площадь криволинейной трапеции?

Ответ:

По формуле Ньютона-Лейбница

hello_html_6f2580ba.png

Как вычислить площадь фигуры ограниченной функциями сверху и снизу?

Подынтегральная функция равна

Fфигуры = Fверхняя – Fнижняя

3

Решение задачи на нахождение площади фигуры

Решение задачи

Задача:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

hello_html_m67fbe5ce.gifи hello_html_m57c0d9f5.gif

Решение:

  1. Изобразим указанные линии.


hello_html_m67fbe5ce.gif– парабола с вершиной (0;0), ветви которой направлены вниз; с осью Ox не пересекается.

х

0

3

6

9

16

у

0

1

4

9

12

hello_html_m57c0d9f5.gif- гипербола, х>= 0.

х

0

1

4

9

16

у

0

3

6

9

12

hello_html_m5d22190c.png

  1. Найдем пределы интегрирования:

hello_html_m5a36b538.gif

hello_html_m53b02d41.gif

hello_html_383f471d.gifhello_html_m26fc3d61.gif

х=0 или х=9

  1. Вычислим площадь:

hello_html_1dfd55fb.gif

Ответ: 27

4

Формирование знаний о методе Монте-Карло, и умений использовать его при решении задач.

Конспект

Проблемная ситуация – как с помощью квадрата и монет вычислить площадь круга? Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад (как говорят математики, случайным образом) бросать точки – монеты в этот квадрат. Естественно, что чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать точки. Представьте себе квадратный дворик и в нем детскую круглую площадку. Каждому ясно, что во время снегопада количество снежинок, попавших на детскую площадку, пропорционально её площади. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри квадрата, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближенно равна отношению площади квадрата.

Sкруга = Кол-во монет в кругу

Sквадрата Кол-во монет в квадрате


S круга = Кол-во монет в кругу * S квадрата

Кол-во монет в квадрате


Такой метод приближенного нахождения площадей фигур носит название метода Монте–Карло (по названию города, где расположена знаменитая рулетка, которую можно рассматривать как «генератор» случайных чисел).

Только случайность поможет нам найти площадь фигуры методом Монте–Карло.

Проведем компьютерный эксперимент, в качестве монет будем использовать функцию случайного числа, с помощью которой определим координаты точки, лежащей в квадрате 9х9. Попадание точки закодируем 1, в противном случае 0. Площадь фигуры определим как произведение суммы всех попаданий на площадь данного квадрата к количеству общих точек. Чем больше точек мы возьмем тем больше вероятность получить результат с наименьшей погрешностью. Т.к. мы знаем результат, то можем его генерировать с помощью функциональной клавиши F9.

5

Компьютерный эксперимент:

Работа за компьютером, выполнение практической работы в программе Excel.

Приложение 1 (раздаточный материал)

Приложение 2 (проект выполненный в Excel)

hello_html_7c275ef1.png

hello_html_maa6ea2f.png


6

Проверка качества усвоения учебного материала.

Визуальная проверка выполнения задания на ПК.

7

Подведение итогов урока, домашнее задание, рефлексия учащихся.

Д/З


Литература:

  1. «Математика», учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования, автор М.И. Башмаков, Издательский центр «Академия», 2010 г.

  2. Учебник «Информатика и ИКТ», автор Угринович Н.Д. - 3-е изд. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010



Название документа Приложение 1.doc

Метод Монте-Карло


  1. Построение графика функции

    • Создайте таблицу значений аргумента Х и двух функций

hello_html_m67fbe5ce.gif и hello_html_m57c0d9f5.gif на Листе1.

hello_html_mc5264ca.png


  • В одной системе координат постройте графики функций по этим значениям.

Выделите диапазон ячеек В3:L9, выполните действия ВСТАВКА + ДИАГРАММА + ГРАФИК

hello_html_m568b3fae.png

  1. Вычисление площади

  • На Листе2 создайте таблицу для точек с координатами (Х;У), полученных случайным образом и лежащих в диапазоне от 0 до 9, для этого используйте функцию СЛЧИС()

Х= 9*СЛЧИС()

У= 9*СЛЧИС()

Скопируйте формулы до ячеек А153 и В153.

hello_html_8745c1d.png


  • В ячейку С4 введите формулу =ЕСЛИ(B4>=A4*A4/9;ЕСЛИ(B4<=3*КОРЕНЬ(A4);1;0);0),

для вычисления попадания точки, координаты которой получены случайным образом, в область фигуры, ограниченной графиками функций У1 и У2. Если точка попала в фигуру, то результат будет равен 1, иначе 0. Это и есть математическое соотношение, позволяющее определить, лежит ли точка в фигуре.

Скопируйте её до ячейки С153.

hello_html_4f3ffed6.png


  • В ячейку F4 введите формулу для вычисления площади фигуры, используя метод Монте Карло, где hello_html_m3a6d8898.gif

81 – площадь квадрата;

СУММ(C4:C153) – количество удачных попаданий;

150 – общее количество точек.

hello_html_md50a71e.png

  • Проведите компьютерный эксперимент. При нажатии функциональной клавиши F9 (пересчет) в ячейках, содержащих формулу с функцией СЛЧИС, генерируется новое случайное число. Соответственно площадь фигуры будет изменяться. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, используем в эксперименте точность вычисления площади увеличивается.

Название документа монте-карло.ppt

Площадь криволинейной трапеции
S = a2 S = πR2 S=(a+b)H/2 S=ah/2
На фигуру накладывается палетка и подсчитывается количество квадратиков, попа...
Физическая модель Скопировать фигуру на картон, вырезать её. Взвесить фигуру ...
Математическая модель Площадь криволинейной трапеции 3.
Математическая модель Площадь криволинейной трапеции Формула Ньютона-Лейбница...
Историческая справка Интегральное исчисление было предложено в 17 в. И.Ньютон...
Историческая справка Интегрирование – нахождение интеграла, через который выр...
Историческая справка Символ был введён немецким математиком Готфридом Лейбниц...
Задача Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Математическая модель для ЭВМ Метод Монте-Карло 4.
Предложите, как с помощью этих предметов вычислить площадь круга?
Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад бросать монеты в этот квадрат....
S круга Кол-во монет в кругу S квадрата Кол-во монет в квадрате ≈ S круга ≈ ...
Историческая справка Идея моделирования случайных явлений очень стара, она во...
Компьютерный эксперимент
Компьютерный эксперимент
1 из 18

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Площадь криволинейной трапеции
Описание слайда:

Площадь криволинейной трапеции

№ слайда 2 S = a2 S = πR2 S=(a+b)H/2 S=ah/2
Описание слайда:

S = a2 S = πR2 S=(a+b)H/2 S=ah/2

№ слайда 3 На фигуру накладывается палетка и подсчитывается количество квадратиков, попавши
Описание слайда:

На фигуру накладывается палетка и подсчитывается количество квадратиков, попавших в фигуру. 1

№ слайда 4 Физическая модель Скопировать фигуру на картон, вырезать её. Взвесить фигуру и е
Описание слайда:

Физическая модель Скопировать фигуру на картон, вырезать её. Взвесить фигуру и единичный квадрат из этого же картона. Поделить вес фигуры на вес единичного квадрата. 2

№ слайда 5 Математическая модель Площадь криволинейной трапеции 3.
Описание слайда:

Математическая модель Площадь криволинейной трапеции 3.

№ слайда 6 Математическая модель Площадь криволинейной трапеции Формула Ньютона-Лейбница 3.
Описание слайда:

Математическая модель Площадь криволинейной трапеции Формула Ньютона-Лейбница 3.

№ слайда 7 Историческая справка Интегральное исчисление было предложено в 17 в. И.Ньютоном
Описание слайда:

Историческая справка Интегральное исчисление было предложено в 17 в. И.Ньютоном и Г. Лейбницем.

№ слайда 8 Историческая справка Интегрирование – нахождение интеграла, через который выража
Описание слайда:

Историческая справка Интегрирование – нахождение интеграла, через который выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел и т.д. Сам знак возник из первой буквы S латинского слова Summa.

№ слайда 9 Историческая справка Символ был введён немецким математиком Готфридом Лейбницем
Описание слайда:

Историческая справка Символ был введён немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S , используемую для обозначения суммы писал слегка удлинённой. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer – целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница – Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим.

№ слайда 10 Задача Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Описание слайда:

Задача Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12 Математическая модель для ЭВМ Метод Монте-Карло 4.
Описание слайда:

Математическая модель для ЭВМ Метод Монте-Карло 4.

№ слайда 13 Предложите, как с помощью этих предметов вычислить площадь круга?
Описание слайда:

Предложите, как с помощью этих предметов вычислить площадь круга?

№ слайда 14 Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад бросать монеты в этот квадрат. Че
Описание слайда:

Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад бросать монеты в этот квадрат. Чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать монеты.

№ слайда 15 S круга Кол-во монет в кругу S квадрата Кол-во монет в квадрате ≈ S круга ≈ S к
Описание слайда:

S круга Кол-во монет в кругу S квадрата Кол-во монет в квадрате ≈ S круга ≈ S квадрата * Кол-во монет в кругу Кол-во монет в квадрате

№ слайда 16 Историческая справка Идея моделирования случайных явлений очень стара, она восхо
Описание слайда:

Историческая справка Идея моделирования случайных явлений очень стара, она восходит ко временам Древнего Вавилона и Ветхого Завета. Почему этот метод назвали Монте-Карло? Монте-Карло - европейская столица игорного бизнеса, а значит, там владычествует Его Величество Случай.

№ слайда 17 Компьютерный эксперимент
Описание слайда:

Компьютерный эксперимент

№ слайда 18 Компьютерный эксперимент
Описание слайда:

Компьютерный эксперимент

Интегрированный урок (Информатика+Математика). «Площадь криволинейной трапеции» 11 класс
  • Информатика
Описание:

Цели занятия:

  1. Обучающая:
  • закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;
  • сформировать новые знания и умения нахождения площади криволинейной трапеции методом Монте-Карло, с использованием ИКТ.
  1. Развивающая – развивать умение выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала за счет использования различных методов и программных средств; развитие речи, эмоций, логического мышления учащихся. Показать необходимость знаний по математике в других науках.
  2. Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, самостоятельность, деловые и коммуникативные качества учащихся. Активизация познавательной и творческой активности учащихся.

Задачи урока:

  • Вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью интеграла, по формуле Ньютона – Лейбница.
  • Познакомить учащихся с методом Монте-Карло для нахождения площади криволинейной трапеции.
  • Сформировать  умение решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции с помощью электронных таблиц Excel.
  • Формировать у учащихся потребность использования информационных технологий в решении задач по математике,
  • Развивать межпредметные связи.

Содержание учебного материала:

  1. Организационный момент. Объявление темы, цели и задач урока.
  2. Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала.
  3. Решение задачи на нахождение площади фигуры.
  4. Формирование знаний о методе Монте-Карло, и умений использовать его при решении задач.
  5. Компьютерный эксперимент:
    • Нахождение площади фигуры  методом Монте-Карло.
    • Анализ полученных результатов.
  6. Проверка качества усвоения учебного материала.
  7. Подведение итогов урока, домашнее задание, рефлексия учащихся.
  8. Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

Организационный момент.

Объявление темы, цели и задач урока.

Конспект. Записать тему урока в тетрадь.

2

Актуализация знаний:

Лекция.

Задачу нахождения площади фигур люди ставили перед собой с древних времен, это связано с сугубо практическим характером.

Современная школа так же решает  такие задачи. Вычисление площадей  простейших фигур (прямоугольников, многоугольников, кругов) не составляет труда: надо в известные формулы подставить исходные данные. А как быть если фигура имеет сложные формы? Итак, задача: Дана фигура сложной формы. Вычислить её площадь.
Можно предложить разные модели для этой задачи. Например, в начальной школе вас учили использовать палетку: на фигуру накладывается клетчатая прозрачная бумага или плёнка (палетка), и подсчитывается количество квадратиков, попавших в фигуру. В этой модели предполагается, что чем меньше клетки, тем точнее будет результат, независимо от того, каким образом наложить палетку на фигуру.
Можно придумать «физическую» модель, скопировать фигуру на картон, аккуратно вырезать её, взвесить и поделить на вес единичного квадрата из этого же картона.
В старшей школе вы познакомитесь ещё с одним способом нахождения площадей фигур: с помощью интегралов, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Историческая справка:

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур.

Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции

и Рима называли задачи на вычисление площадей.

Интегральное исчисление было предложено в 17 в.  И.Ньютоном и Г. Лейбницем,  независимо друг от друга.

Интегрирование – нахождение интеграла, через который выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел и т.д.
Сам знак S возник из первой буквы S латинского слова Summa. Символ был введён немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S, используемую для обозначения суммы писал слегка удлинённой. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer – целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница – Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим.

Какая фигура называется криволинейной трапецией?

Ответ:

Фигуру, ограниченную на отрезке     [ a ; b ] непрерывной и не меняющей на нём знака функцией f (x ), осью Ох и прямыми x = a, x = b называют криволинейной трапецией.

По какой формуле вычисляют площадь криволинейной трапеции?

Ответ:

По формуле Ньютона-Лейбница

vor1.png

Как вычислить площадь фигуры ограниченной функциями сверху и снизу?

Подынтегральная функция равна

Fфигуры = Fверхняя – Fнижняя

3

Решение задачи на нахождение площади фигуры

Решение задачи

Задача:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

vor2.png

Решение см. в текст. файле

4

Формирование знаний о методе Монте-Карло, и умений использовать его при решении задач.

Конспект

Проблемная ситуация – как с помощью квадрата и монет вычислить площадь круга? Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад (как говорят математики, случайным образом) бросать точки – монеты  в этот квадрат. Естественно, что чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать точки. Представьте себе квадратный дворик и в нем детскую круглую площадку. Каждому ясно, что во время снегопада количество снежинок, попавших на детскую площадку, пропорционально её площади. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри квадрата, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближенно равна отношению площади квадрата.

Sкруга          =  Кол-во монет в кругу
Sквадрата         Кол-во монет в квадрате

S круга = Кол-во монет в кругу * S квадрата
Кол-во монет в квадрате

Такой метод приближенного нахождения площадей фигур носит название метода Монте–Карло (по названию города, где расположена знаменитая рулетка, которую можно рассматривать как «генератор» случайных чисел).
Только случайность поможет нам найти площадь фигуры методом Монте–Карло.
Проведем компьютерный эксперимент, в качестве монет будем использовать функцию случайного числа, с помощью которой определим координаты точки, лежащей в квадрате 9х9. Попадание точки закодируем 1, в противном случае 0. Площадь фигуры определим как произведение суммы всех попаданий на площадь данного квадрата к количеству общих точек. Чем больше точек мы возьмем тем больше вероятность получить результат с наименьшей погрешностью. Т.к. мы знаем результат, то можем его генерировать с помощью функциональной клавиши F9.

5

Компьютерный эксперимент:

Работа за компьютером, выполнение практической работы в программе Excel.

Приложение 1 (раздаточный материал)

Приложение 2 (проект выполненный в Excel)

 

6

Проверка качества усвоения учебного материала.

Визуальная проверка выполнения задания на ПК.

7

Подведение итогов урока, домашнее задание, рефлексия учащихся.

Д/З

Литература:

  1. «Математика», учебник  для учреждений начального и среднего профессионального образования, автор М.И. Башмаков, Издательский центр «Академия», 2010 г.
  2. Учебник «Информатика и ИКТ», автор Угринович Н.Д. - 3-е изд. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010


dop.pngДополнительно:

Демонстрационный материал к уроку: «Площадь криволинейной трапеции»

Слайд 2
vor02.png


Слайд 17
vor17.png


Здесь представлены лишь скриншоты презентации. Полный вариант презентации содержит 19 слайдов, которую Вы можете скачать.


dop.pngПриложения: Архив ZIP, объемом 2.1 Mb (integr-36.zip)

  1. Конспект урока с иллюстрациями - в формате .doc
  2. Приложение1 - в формате .doc
  3. Приложение1 - в формате .xls
  4. Презентация - в формате .ppt
Автор Воробьева Анжелика Анатольевна
Дата добавления 20.04.2012
Раздел Информатика
Подраздел
Просмотров 3640
Номер материала 732
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓