Презентация «Представление чисел в памяти компьютера»

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
  В ПАМЯТИ КОМПЬЮТЕРА
  Седых Ольга Николаевна
  МОУ "Средняя общеобразовательная школа № 17
  имени Кирилла и Мефодия"
  

• 

  2 слайд

  2
  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
  Любая информация в ЭВМ представляется в виде двоичных кодов. Отдельные элементы двоичного кода, принимающие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Память компьютера условно делиться на отсеки или ячейки, каждая из которых имеет свой номер. Нумерация начинается с нуля.
  Минимальной адресуемой ячейкой памяти называется байт – 8 двоичных разрядов. порядковый номер байта называется его адресом.
  Наибольшую последовательность битов, которую процессор может обрабатывать как единое целое, называют машинным словом.
  Длина машинного слова может быть разной - 8 , 16 , 32 бит и т.д. Двоичные разряды в любой ячейке памяти нумеруются справа налево, начиная с нуля.
  Существуют два основных формата представления чисел в памяти компьютера. Один из них используется для кодирования целых чисел, второй (так называемое представление числа в формате с плавающей точкой) используется для задания некоторого подмножества действительных чисел.
  Для положительных и отрицательных чисел существует знаковый способ представления числа. Под знак отводится старший разряд ячейки:
  0 - для положительных чисел,
  1 - для отрицательных чисел.
  
  

• 

  3 слайд

  3
  Для упрощения реализации арифметических операций в компьютере целые числа представляются специальными кодами - прямым, обратным и дополнительным.
  
  Для положительного числа прямой, обратный и дополнительный коды
  выглядят одинаково.
  
  Прямой код двоичного числа — это само двоичное число, причем значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел -1 .
  Обратный код отрицательного числа получается из прямого кода путем замены нулей единицами, а единиц нулями, исключая знаковый разряд.
  Дополнительный код отрицательного числа образуется как результат суммирования обратного кода с единицей младшего разряда. Перенос в знаковый разряд при этом теряется.
  
  Примечание. Дополнительный код основан на понятии дополнения числа - величины, которую надо добавить к числу, чтобы получить переход единицы в старшем разряде.
  
  Дополнением k-разрядного целого числа Z в системе счисления с основанием q называется величина:
  D = q k - Z.
  
  

• 

  4 слайд

  4
  
  Пример 1. Определить прямой, обратный и дополнительный коды следующих двоичных чисел:
  а)100100; б) -100011; в) -100100.
  Решение
  Будем считать, что число размещается в двух байтах. Старший бит – знак разряда. Незначащие нули добавляются слева от числа. Результат представим в виде таблицы:
  
  

• 

  5 слайд

  5
  Пример 2. Как будет представлено в памяти компьютера целое число 1234510 ?
  
  Решение
  Для размещения числа возьмем два байта.
  Поскольку число положительное, то в старшем (15-м) бите будет 0.
  Переведем число в двоичную систему счисления:
  1234510 = 110000001110012.
  Результат:
  Знак числа число
  

• 

  6 слайд

  6
  Задания для самостоятельного выполнения
  
  Запишите прямые коды десятичных чисел в однобайтовом формате:
  а) 64 б) 58 в) 72 г) -96
  
  2. Запишите двоичные числа в дополнительном коде:
  а) 1010 б) -1001 в) -11 г) -11011
  
  3. Переведите в прямой код числа, записанные в дополнительном коде, и найдите их десятичные эквиваленты:
  а) 00000100 б) 11111001
  
  4. Представьте целые числа в 16-разрядной ЭВМ:
  а) 25 б) -25 в) 801 г) -610
  

• 

  7 слайд

  ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА В ЭВМ
  7
  

• 

  8 слайд

  8
  Особенности двоичной системы счисления позволяют создавать специфические алгоритмы вычитания и умножения двоичных чисел, наиболее подходящие для аппаратной реализации.
  Целочисленная двоичная арифметика используется при изучении программирования, в процессе освоения операторов цикла, оператора выбора, стандартных процедур val и str, операций над целыми числами div и mod, операций над строковыми величинами.
  Сложение чисел производится в дополнительных кодах поразрядно. При выполнении арифметических операций число может выйти за указанные границы. Произойдет переполнение разрядной сетки, поэтому при работе с большими целыми числами под них выделяется больше места, например 4 байта.
  Чтобы избежать ситуации переполнения, в языках программирования предусмотрено строгое описание типа переменной, которым определяется набор возможных ее значений.
  Вычитание целых чисел эквивалентно сложению с отрицательным числом. Отрицательное число может быть представлено в прямом коде. Однако использование прямого кода усложняет структуру команд процессора. При выполнении сложения чисел с разными знаками требуется выбрать из них большее по модулю, затем вычесть из него меньшее, выяснить знак большего и присвоить этот знак остатку. По этой причине в компьютерах используется представление отрицательного числа в дополнительном коде. Таким образом, операция вычитания выполняется как сложение с дополнительным кодом вычитаемого.
  

• 

  9 слайд

  9
  Операции умножения и деления выполняются в прямом коде с использованием итерационных алгоритмов (ряда повторяющихся шагов).
  Умножение двоичных чисел сводится к двум операциям: сложения и сдвига.
  Операция деления для целых чисел однозначно не определена, поскольку в общем случае приводит к появлению нецелых (вещественных) чисел. Существуют различные методы и алгоритмы реализации этой операции в разных процессорах.
  Пример 1. Выполнить операцию вычитания 25 -34 .
  Учтем, что 25-34 = 25+ (-34) .
  Переведем числа 25 и 34 в двоичную систему счисления:
  2510 = 110012 и 3410 = 1000102 .
  Запишем прямые, обратные и дополнительные коды, воспользовавшись 8-разрядной сеткой:
  После сложения дополнительных кодов получим код 11110111. Единица в старшем бите полученного кода означает, что число отрицательное. Следовательно, результат надо перевести в обратный, а затем в прямой код:
  11110111 -> 10001000 -> 10001001 .
  Полученный результат интерпретируется как десятичное число:-10012= -910 .
  

• 

  10 слайд

  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
  10
  

• 

  11 слайд

  11
  В отличие от целых чисел, которые представляются в памяти машины абсолютно точно, значения вещественных чисел являются приближенными. В некоторых областях вычислений требуются очень большие или малые действительные числа. Для получения большей точности применяют запись чисел с плавающей точкой.
  В общем случае в формате с плавающей точкой число представляется в виде произведения двух сомножителей:
  R=m*Pn
  где m -мантисса числа;
  Р - основание системы счисления;
  n - порядок, указывающий, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться точка, отделяющая дробную часть в мантиссе.
  Например, число 5,14 может быть записано 0,514∙101 или 51,4∙10-1 и т.д. Запятая (десятичная точка) перемещается, или «плавает», вправо и влево в зависимости от порядка числа.
  При работе с числами в языках программирования и вычислительных системах используется экспоненциальная форма записи:
  
  R = m∙E±n,
  
  где Е - десятичное основание системы.
  Например, 3,1467890000Е + 2 = 314,6789
  Нормализованная мантисса меньше единицы и первая значащая цифра не ноль.
  
  

• 

  12 слайд

  12
  Задания для самостоятельного выполнения
  
  Сравните числа:
  а) 318,4785∙109 и 3,184785∙1011; б) 218,4785∙10-3 и 1847,85∙10-4;
  
  2. Запишите числа в естественной форме:
  а) 0,1100000∙2100; б) 0,1001111∙2-111;
  
  3. Выполните действия:
  а) 0,101010∙211 + 0,110011∙2100;
  б) 0,100011∙2100 – 0,100001∙2100;
  в) 0,110011∙2-10 * 0,100001∙21;
  г) 0,101001∙210 / 0,100000∙210.
  

• 

  13 слайд

  РАЗМЕЩЕНИЕ ЧИСЕЛ
  С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ
  13
  

• 

  14 слайд

  14
  Метод представления вещественных чисел в памяти компьютера предполагает хранение двух чисел: мантиссы и порядка. Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон чисел, представимых в машине при заданном формате.
  Правила кодирования мантиссы и порядка отличаются для различных типов машин.
  Рассмотрим для начала один из вариантов представления вещественных чисел.
  Для размещения вещественного числа могут использоваться четыре байта (32 бита) - короткий формат, 8 байтов длинный формат, 16 байтов - формат повышенной точности. В любом случае старший байт остается постоянным, а изменяется область, отведенная под мантиссу. Старший байт включает в себя:
  один бит (старший) - знак числа;
  один бит - знак порядка;
  шесть битов - порядок числа.
  В таком представлении максимальный порядок числа равен 1111112 = 6310. Следовательно, 1063 - максимальное число, которое можно закодировать таким образом:
  
  порядок мантисса
  знак порядка
  знак мантиссы
  

• 

  15 слайд

  15
  Пример 1. Как будет представлено в памяти компьютера число —123,4510 ?
  Решение
  Представим число в 4 байтах.
  Нормализованный вид: -0,12345∙103 .
  Число отрицательное, поэтому старшим (31-й) бит равен 1.
  Порядок равен 3, он положительный, значит, З0-й бит равен 0.
  Число 3 в двоичной системе счисления имеет вид 11. Чтобы записать его в оставшихся 6 битах старшего байта, необходимо добавить незначащие нули.
  Таким образом, старший байт имеет вид: 10000011 .
  Найдем двоичное представление мантиссы 0,12345 по алгоритму перевода дробной части, 24 раза умножив ее на 2.
  Результат:
  
  Пример 2. Раскодировать содержимое четырех байтов памяти: а) как два целых числа; б) как одно вещественное:
  
  Решение
  а) 17793;-128;
  б) приблизительно 0,5058593 • 10-3 (порядок записан в дополнительном коде).
  

• 

  16 слайд

  16
  Положительные и отрицательные значения порядка существенно усложняют обработку вещественных чисел. Поэтому во многих современных компьютерах используют не прямое значение порядка, а смещенное. Его называют характеристикой числа. Для разных типов ЭВМ существуют разные варианты смещения порядка. Рассмотрим один из вариантов.
  Запись вещественного числа имеет структуру следующего вида:
  n-1 n-2
  
  Знак мантиссы Смещенный порядок Абсолютная величина мантиссы
  
  Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка прибавляют смещение, равное 2k-1.
  Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от -64 до +63, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 127.
  Прокомментируем этот случай. В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа от 0000000 до 1111111. В десятичной системе счисления это числа от 0 до 127. Всего 128 значений, которые разделяются поровну между положительными и отрицательными значениями порядка в диапазоне от -63 до 63.
  Связь между смещенным порядком S и математическим Р в данном случае выражается формулой:
  S = Р + 6410 = P + 100 00002.
  

• 

  17 слайд

  17
  Пример 3. Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой в 4-х байтовом машинном слове.
  Решение:
  1. Переведем число в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами (3 байта под мантиссу):
  250.187510= 11111010,00110000000000002.
  2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,111110100011000000000000∙1010002. Здесь мантисса, основание системы счисления (210 = 102) и порядок (810 = 10002) записаны в двоичной системе.
  3. Вычислим характеристику: S2 =1000 + 1000000 = 1001000.
  4. Запишем представление числа в 4-байтовой ячейке памяти с учетом знака числа:
  
  
  Шестнадцатеричная форма: 48FA3000.
  
  

• 

  18 слайд

  СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ
  18
  

• 

  19 слайд

  19
  Выполнение арифметических действий над числами с плавающей запятой гораздо сложнее целочисленной арифметики. Для некоторых процессоров (в частности Intel) операции над вещественными числами вынесены в отдельный узел, который называют математическим сопроцессором.
  Сложение чисел с плавающей запятой выполняется в соответствии со следующим алгоритмом.
  1. Представить числа А и В в нормализованном виде, записав отдельно значения мантисс и порядков.
  2. Выровнять порядки по числу с большим порядком.
  3. Выровнять число цифр в мантиссах по числу, порядок которого не изменился.
  4. Сложить числа.
  5. Нормализовать сумму, оставив число цифр в мантиссе таким, как у числа, порядок которого не изменялся.
  

• 

  20 слайд

  20
  Пример. Найти сумму чисел А = 9,6098 и В = 98,009 по правилу сложения чисел с плавающей запятой.
  Решение:
  Результат представим в виде таблицы: