Главная / Математика / Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения"

Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения"

Название документа модуль 1.doc

Повторение

Модуль №1


Цель:

  • повторение основных понятий по теме уравнения;

  • подведение учащихся к понятию квадратного уравнения

Освоение данного модуля будет способствовать более осознанному продвижению по теме « Квадратные уравнения ».

Желаю вам удачи !


Номер УЭ

Учебный материал с указанием задания

Управление обучением

1.

Прочитай внимательно следующий материал



1.Переменная – это неизвестная величина, которая в уравнениях чаще всего обозначается буквами: х; у;


Запись х и х1 (икс или переменная в первой степени) – равнозначные.


2.Уравнение это равенство, содержащее переменную и числа соединённые знаками арифметических действий.

Например: 5х = 10; 2у - 6 = 6у + 10; -2у +14 = 0


4.Линейное уравнение – это уравнение, содержащее переменную, в первой степени


ax + в = 0 – простейший вид линейного уравнения.


Решить линейное уравнение, значит, найти его корни.

Помнить! При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую нужно поменять знак у этого слагаемого на противоположный.

Решить уравнения:

а). 5 · х = 10 х = hello_html_m424a6209.gif х = 2 – корень уравнения.

б).2у – 6 = 6у + 10

2у - 6у = 10 + 6

- 4у = 16 у = hello_html_11dc1817.gif у = - 4 – корень уравнения.

в). -2у +14 = 0 2у = - 14 у = hello_html_31dde935.gif у = 7 - корень


Если чувствуешь затруднения, или что – то не понятно, то обратись к учителю.

2.

Послушайте пояснения учителя по выполнению следующего задания.

Примите участие в беседе.


Среди записанных выражений найдите уравнения.

1.4х2 + 6 = 0; 2. 14 + 3 = 17; 3. 7х -14 = 0; 4. х = -3х+4;


5.4х + 6; 6. х2 -3х + 4 = 0 7. 5у + 4 = 6у 8. 2-5х = 0


9. х2 -13х + 4; 10. 8х2+4х-13 = 0 11. 2 = 0 12.- х2+х-1=0


Запишите уравнения в тетрадь.

3.

Проверь правильность своих ответов. Исправь ошибки.


Прими участие в

беседе.

4.

1.4х2 + 6 = 0; 3. 7х -14 = 0; 4. х = -3х+4 6. х2 -3х + 4 = 0

7. 5у + 4 = 6у 8. 2-5х = 0 10. 8х2+4х-13 = 0 11. 2 = 0

12.- х2+х-1=0

Ответы к заданию 3.


5.

1.По какому признаку можно разделить уравнения из пункта 4. на две группы?

1.4х2 + 6 = 0; 3. 7х -14 = 0; 4. х = -3х+4 6. х2 -3х + 4 = 0

7. 5у + 4 = 6у 8. 2-5х = 0 10. 8х2+4х-13 = 0 11. 2 = 0

12.- х2+х-1=0

Запишите эти группы в два столбца в тетрадь.

Примите участие в беседе, чтобы проверить правильность выполнения задания.

6.

Первая группа : Вторая группа:

1.2 + 6 = 0; 3. 7х -14 = 0;

12.- х2+х-1=0 4. х = - 3х + 4

6. х2 -3х + 4 = 0 7. 5у + 4= 6у

8. 2-5х = 0 Линейные уравнения.

10. 8х2+4х-13 = 0

11. 2 = 0

Квадратные уравнения.

Ответы к заданию 5.

Уравнения разделили на две группы по признаку наибольшей степени переменной входящей в уравнение.

Как называются уравнения первой группы? Как можно назвать уравнения второй группы? Запишите названия под каждой группой.

7.

Уравнения первой группы, т.е. квадратные, можно разделить в свою очередь ещё на группы.

Первая группа

12.- х2+х-1=0

6. х2 -3х + 4 = 0

8. 2-5х = 0 .

10. 8х2+4х-13 = 0

11. 2 = 0


По какому признаку вы можете разделить данные уравнения на группы? Запишите их в тетрадь.

Примите участие в беседе, чтобы проверить правильность выполнения задания

8.

Первая группа: Вторая группа:

6. х2 -3х + 4 = 0 1.2 + 6 = 0;

12.- х2+х-1=0 8. 2-5х = 0 11. 2 = 0

10. 8х2+4х-13 = 0 Неполные квадратные

Полные квадратные уравнения

уравнения

Ответы к заданию 7.

Уравнения первой группы разделили ещё на две группы по признаку количества слагаемых в уравнении.

Примите участие в беседе, чтобы проверить правильность выполнения задания

9.

Вывод: Кроме линейных уравнений есть ещё и квадратные уравнения, которые в свою очередь делятся на полные и неполные квадратные уравнения.


Квадратные уравнения


hello_html_5a66352f.gif

Полные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

hello_html_42917448.gif

Название документа модуль 2.doc

Модуль 2.

Квадратные уравнения

Номер

Учебный материал с указанием задания

Управление обучением


Цель:

  • Ввести понятие квадратного уравнения;

  • Неполного квадратного уравнения;

  • Формирование умений решать неполные квадратные уравнения.


1.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

aх2 +bх + с = 0, где

х - переменная,

а, b, c -некоторые числа (коэффициенты), причём а≠0.

а - первый коэффициент,

b - второй коэффициент,

c - свободный член.

Левая часть квадратного уравнения

aх2 +bх + c

называется квадратным трёхчленом

Внимательно прочитать.

Переписать содержание первого пункта в тетрадь

Формулу квадратного уравнения

обвести рамочкой и выучить.

Знать формулу квадратного уравнения и уметь её записывать.

2.

Задание №1.

Записать коэффициенты квадратного уравнения:

1.. 5х2 + 3х – 2 = 0

а = 5- первый коэффициент

b = 3 второй коэффициент

с =-2- свободный член


2 -х2 + 4х -2 = 0

а = - 1- первый коэффициент

b = 4- второй коэффициент

с = -2- свободный член


3. х2 -2х + 10 = 0

а = 1- первый коэффициент

b = -2- второй коэффициент

с = 10 - свободный член


Внимательно прочитать.

Разобрать решение примеров.

Переписать их в тетрадь.

Уметь определять коэффициенты квадратного уравнения.

3.

Приведённым квадратным уравнением называется уравнение у которого коэффициент при х2 равен 1. Т.е.

х2+ pх + q = 0

Замечание: если перед х стоит знак

минус, то нужно поменять все знаки уравнения, чтобы получить приведённое уравнение

Внимательно прочитать.

Переписать содержание пункта 3 в тетрадь.

Формулу приведённого квадратного уравнения

обвести рамочкой и выучить.

Знать формулу приведённого квадратного уравнения и уметь её записывать.

4.

Задание №2.

Записать коэффициенты приведённого квадратного уравнения:

1. х2 + 9х – 2 = 0, p = 9, q = -2

2. х2 - х –12 = 0, p = -1. q = -12


3. - х2 +2х – 4 = 0, поменяем все знаки уравнения, т.е.

х2- 2х + 4 = 0. p = -2. q = 4.

Внимательно прочитать.

Переписать содержание пункта 4 в тетрадь.

При затруднении обращайтесь

к учителю.

5.

Неполные квадратные уравнения.

Если в квадратном уравнении

a х2 +bх + с = 0 хотя бы один

из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением:


1. ах2 = 0, если b=0 и c =0;


2. ах2 + bх = 0 , если c =0;


3 ах2 + c =0, если b=0

Внимательно прочитать.

Переписать содержание пункта 5 в тетрадь

Формулы неполных квадратных уравнений

обвести рамочкой и выучить.

Знать формулы неполных квадратных уравнений и уметь их записывать и определять коэффициенты.




Задание №3

Записать неполные квадратные уравнения по следующим данным:

1. Если b = 0 и с = 0 ,тогда можно записать такие уравнения:

х2 = 0; -5 х2 = 0;

2 = 0; 10х2 = 0.


2. Если с = 0, тогда можно записать такие уравнения:

2 – 2х = 0,

-10х +3х2 = 0 , поменяем, местами, слагаемые в уравнении и получим стандартный вид:

2 – 10х = 0


3. Если b = 0, тогда можно записать такие уравнения:

2 -18 = 0

-8х2+16 = 0

Внимательно прочитайте и разберите задание №3.

При выполнении задания №3 запишите свои примеры, используя образцы решённых в задании примеров.

При затруднении обращайтесь

к учителю.


Название документа модуль 3.doc

Схема решения неполных квадратных уравнений


Внимательно прочитать. Сделать такую же таблицу в тетради. Выучить виды неполных квадратных уравнений. Разобрать способы их решений. Решить по пять примеров каждого вида. При затруднении обращаться к учителю.

Вид уравнения

Кол-во

корней

Решение


Примеры

Решить уравнение

Решить самостоятельно

1. ах2 = 0

Один корень

(два совпадающих)

ах2 = 0

х2 = hello_html_33a0bb98.gif

х2 = 0,

х = 0

Ответ: 0

1. 6х2 = 0

х2 = hello_html_m6a4a8ccb.gif

х = 0

Ответ: 0;


2. -10х2 = 0

х2 = hello_html_38a190f2.gif

х = 0

Ответ: 0;


3. 5х2 = 0

х2 = 0, х = 0

Ответ: 0

1. 5х2 = 0

2.-4х2 = 0

3.1,1х2 = 0

4. -20х2 = 0

5. 0.3х2 = 0

6. х2 = 0

7. -3х2 = 0

8. 7х2 = 0

9. 10х2 = 0

10. –х2 = 0

11.5 = 5 + 4х2

12.2у2 +8 = 8

2.ах2 + bх = 0

Два корня

ах2 + bх = 0

ахх + bх = 0

1.Вынесем общий

множитель х за скобку

х · (ах + b) = 0


2.Приравняем каждый множитель к нулю.

х = 0 или ах +b = 0


3.Решим полученные уравнения.

х = 0 или ах + b = 0

х1 = 0 ах = - b

х2 = hello_html_m2fb85f66.gif

Ответ: 0;hello_html_m2fb85f66.gif


1. 3у2 – 12у = 0

3уу – 12у = 0

1. у · (3у – 12 ) = 0

2.у = 0 или 3у-12=0

3.у1=0 или 3у = 12

у =hello_html_79137308.gif

у2 = 4

Ответ:0;4;

2.4х2-20х = 4х

а)Приведём уравнение к стандартному виду. б)Перенесём 4х из правой части в левую, изменив знак + на – . Приведём подобные.

2-20х-4х = 0

2-24х = 0 4хх-4х·6=0

1.4х(х-6) = 0

4х = 0 или х-6=0

х1 = 0 или х2 = 6

Ответ: 0;6;

1.2х2 – 18х = 0

2.х2 + 5х = 0

3.2х2 –6х = 0

4. х2 - 12х = 0

5.3х2 + 5х = 0

6.-4х2 -2х = 0

7.- х2 +7х = 0

8.13х – х2 = 0

9.3х + х2 = 0

10.-х2 + 8х = 0

11.16х = 3х2 – 2х

12.17х2 = -34х

3. ах2 + c =0

Два корня либо корней нет

ах2 + c =0

ах2 = - с; х2 = -hello_html_72f28aee.gif

1. Если -hello_html_72f28aee.gif > 0, то

х1= - hello_html_m453fe917.gif или х2 = hello_html_m453fe917.gif

2.. Если -hello_html_72f28aee.gif < 0, то

корней нет


1 .4х2 - 16 =0

2 = 16

х2 = hello_html_m66a8cca2.gif х2 = 4 > 0, то

х = ±hello_html_m4a631f1.gif= ±2

х1 = -2; х2 = +2

Ответ:-2; 2;


2. 2 + 9 = 0

2 = -9; х2 =hello_html_2b2621e8.gif<0,

то корней нет

1.х2 – 9 =0

2.х2 – 25 = 0

3.х2 -64 = 0

4.х2 – 100 = 0

5.2х2 -50 = 0

6.-5х2 + 45=0

7.5х2 + 45 =0

8.3х2 +15 = 0

9.7 = -х2

10.0,64 –у2 = 0

11.у2 = 0,25

12.3у2 – 27 = 0

13.3х2 – 14 = 30-8х2

Название документа модуль 4.doc

Формула корней квадратного уравнения

ах2+ bх + с = 0

Определение

Примеры

Дискриминант


D = b2 – 4a·c

Дискриминантом квадратного уравнения

ax2 + bx+ c = 0

называется выражение

D = b2 – 4 ac

1Вычислить дискриминант квадратного уравнения

2 +3х +1 = 0


а)Выпишем коэффициенты уравнения

а=2, b=3,с=1


б)Запишем формулу дискриминанта

D = b2 – 4 ac


в)Заменим в формуле буквы их числами и выполним указанные действия

D =32 - 4·2·1 =9 – 8 = 1


Вычислить дискриминант квадратного уравнения:

1. 2х2+х+ 2=0

2. 9х2+6х+1=0

3. х2+5х-6=0

4. -3х2-5х-4=0

5. -у2+3у+5=0

6. 2у2-у-5=0

7. р2+р-90=0

8. 3р2-3р+1=0

9. х2-12х+32=0

10. -11у+у2=152


Решение квадратного уравнения a x2 + bx+ c = 0


1.Выпишем коэффициенты данного уравнения: a= , b = , c = .

2.Вычислим дискриминант по формуле: D = b2 – 4ac.

3.В зависимости от дискриминанта вычислим корни квадратного уравнения по формулам:


Дискриминант

Количество корней

Корни


1


D > 0

Два корня (разные)

х1 = hello_html_m60e236b8.gif , х2 = hello_html_m60e236b8.gif,

2

D = 0

Один корень (два совпадающих)

x = hello_html_m268d758c.gif


3

D < 0

Корней нет



4.Запишем ответ.


Решить квадратное уравнение:

2 + х - 2 = 0

  1. Выпишем коэффициенты данного уравнения: а = 6, b = 1, с = -2.


2.Вычислим дискриминант по формуле: D = b2 – 4ac = 12 - 4·6·(-2) = 1 + 48 = 49 = 72 > 0 ( два корня )

12 = 1·1 = 1 -4·6 = -24 -24·(-2) = 48


3.Так как дискриминант больше нуля, то по формуле 1. вычислим корни:

х1 = hello_html_m75b91d3f.gif=hello_html_ac13ae8.gifх2 = hello_html_5fca86ec.gif


4.Ответ: hello_html_m6246ad59.gif.


Название документа модуль 5.doc

Теорема Виета

Прочитать внимательно. Разобрать теорию и примеры. Запомнить общий вид .приведённого квадратного уравнения. Уметь определять коэффициенты квадратного уравнения. р и q . Уметь пользоваться теоремой Виета для нахождения корней приведённого квадратного уравнения.

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

х2 + рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

х1 · х2 =q

х1 + х2 =

Теорема Виета

х2 + рх + q = 0


hello_html_dfaf262.gifх1 · х2 =q

х1 + х2 =

Теорема обратная теореме Виета

Если числа m и n таковы,

Что их сумма равна (p),

а произведение равно q,

то эти числа являются корнями уравнения

х2 + рх + q = 0


Теорема ,обратная теореме Виета, позволяет для приведённого квадратного уравнения с целыми коэффициентами и целыми корнями найти корни подбором. Для этого используются следующие закономерности:

Подбор корней приведённого квадратного уравнения х2 + рх + q = 0

с помощью теоремы,

обратной теореме Виета

Знаки чисел p и q

p > 0

p < 0

q > 0

Оба корня отрицательные

Оба корня положительные

q < 0

Отрицательный корень по модулю больше положительного

Положительный корень больше отрицательного корня по модулю

Решить уравнение, используя теорему Виета.

х2 -12х + 27 = 0

а) Выпишем коэффициенты приведённого квадратного уравнения

p = -12 , а q = 27

б) Запишем теорему Виета и заменим p и q

их значениями

х1 · х2 = q х1 · х2 = 27

х1 + х2 = -р х1 + х2 = - (-12) = 12

в) q = 27 > 0 p = -12 < 0 оба корня положительны. Методом подбора найдём корни. Так как х1 · х2 = 27,то методом перебора находим произведение каких чисел равно 27 . Это : 1 · 27; 9 · 3; . Затем определяем сумма каких множителей равна 12. ( 1 + 27 = 28 – не подходит

(9 + 3 = 12 –подходит)

Значит корнями, приведённого квадратного уравнения, будут числа 9 и 3.

г)Запишем ответ: 9 и 3.


Составить приведённое квадратное уравнение, имеющие корни х1 и х2.



х1 = 5 , х2 = - 7

1hello_html_2ddf9559.gif.Приведённое квадратное уравнение имеет вид: х2 + рх + q = 0, где

х1 · х2 =q

х1 + х2 =


2.Используя теорему Виета найдём коэффициенты p и q . Так как


хhello_html_727acf62.gif1 · х2 = q , то 5· (- 7 ) = -35. Значит q = - 35.

х1 + х2 = -р, то 5 + ( - 7 ) = - 2 .Значит - р = -2,

а p = + 2.


3.Запишем уравнение:

х2 + рх + q = 0, где p = + 2 , q = - 35, подставим вместо р и q их значения и получим уравнение:

х2 + 2х – 35 = 0


4.Ответ: х2 + 2х – 35 = 0




Название документа модуль 6.doc

Решение задач с помощью квадратных уравнений

А 1. АС – гипотенуза;

hello_html_edea8bc.gif АС и СВ – катеты.

в с

2.Теорема Пифагора:

с2 = а2 + в2

С а В


Этапы решения

Задача.. Периметр прямоугольного треугольника равен 48см., а один из его катетов на 4см. больше другого. Найдите стороны этого треугольника.

Задачи для самостоятельного решения


Обозначьте одну из неизвестных величин буквой «х».

А Пусть х - меньший катет АС.

hello_html_m70c4b50a.gif

х х

В С

Задача№1

Длина прямоугольника

на 5см. больше его

ширины, а площадь его равна 36см2.

Найдите стороны прямоугольника.



Составьте буквенное выражение по условию задачи.

А Тогда больший катет СВ – (х +4),

hello_html_787d94da.gifт.к. он больше катета АС на 4см.

х (44-2х) Тогда гипотенуза АВ – (44-2х).

х

С В

(х+4)


Задача№2


Ширина прямоугольника

на 6см. меньше его

длины, а площадь его равна 40см2.

Найдите стороны прямоугольника.



Из полученных выражений составьте уравнение, используя условие задачи.

Так как периметр треугольника равен 48см.,то гипотенуза равна 48 - х - (х+4) = 48 - х - х - 4 = (44 - 2х).

По теореме Пифагора запишем уравнение:

х2 + (х+4)2 = (44-2х)2,т.к. сумма квадратов катетов равна

квадрату гипотенузы.


Решите уравнение:

1.Раскроем скобки используя формулу

(х-у)2 = х2 - 2ху + у2

(х+у)2 = х2 + 2ху + у2

и приведём подобные слагаемые.

2.Полученное уравнение почленно разделим на 2.

3.Решии квадратное уравнение.

х2 + (х+4)2 = (44-2х)2

1. х2 + х2 +2·х·4 + 42 = 442 – 2·44·2х + 22·х2

х2 + х2 +8х + 16 = 1936 – 176х +4х2

2 + 8х + 16 – 1936 + 176х – 4х2 = 0

2.-2х2 + 184х – 1920 = 0 /׃ (-2 )

3. х2 – 92х + 960 = 0

а = 1 , в = -92, с = 960

D= в2 - 4а · с = 922 - 4·1·960 = 8464 -3840 = 4624 >0-

два корня.


х1 = hello_html_483683f7.gif


х2 = hello_html_m5126a4a3.gif


Задача№3


Одно из натуральных чисел на 7 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно30.

Задача№4


Площадь прямоугольного треугольника равна

180см2. Найдите катеты, если их сумма равна 39см.


Объясните полученный результат в соответствии со смыслом задачи.


Меньший катет не может быть равным 80см. Почему?

х = 12см. – меньший катет.

х + 4 = 12 + 4 = 16см – второй катет.

48 – 12 – 16 = 20см. – гипотенуза.

Задача№5.

Найдите длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 32см., а его площадь равна 55см2.


Запишите ответ

Ответ:12см. и 16см. – катеты; 20см. – гипотенуза.



Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения"
  • Математика
Описание:

Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения" предназначен для самостоятельного изучения материала по данной теме.  он состоит из  шести модулей.

Первый модуль - повторение основных понятийпо теме "Уравнения".

Второй модуль - это учебный материал с указанием задания,посвящен понятию квадратного уравнения.

Третий модуль - схема решения неполных квадратных уравнений,выполнен в виде таблицы, где есть и теоретический материал, и решенные примеры, и примеры для самостоятельной работы.

Четвёртый модуль - формула корней квадратного уравнения.

Пятый модуль - теорема Виета.

Шестой модуль  -решениезадач с помощью квадратного уравнения.

Автор Печенина Вера Дмитриевна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1141
Номер материала 34141
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓