Инфоурок Математика Другие методич. материалыОпорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения"

Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения"

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ модуль 1.doc

Повторение

Модуль №1

 

Цель:

·         повторение основных понятий по теме уравнения;

·         подведение учащихся к понятию квадратного уравнения

Освоение данного модуля будет  способствовать более осознанному продвижению по теме « Квадратные уравнения ».

Желаю вам удачи !

 

Номер УЭ

Учебный материал с указанием задания

Управление обучением

1.

Прочитай  внимательно следующий материал

 

 

1.Переменная – это неизвестная величина, которая в уравнениях  чаще всего обозначается буквами: х;  у;

 

Запись х   и   х1 (икс или  переменная в первой степени) – равнозначные.

 

2.Уравнение это равенство, содержащее переменную и числа соединённые знаками арифметических действий.

Например:   5х = 10;      2у - 6 = 6у + 10;          -2у +14 = 0

 

4.Линейное уравнение – это уравнение, содержащее переменную,  в первой степени

 

ax + в = 0 – простейший вид линейного уравнения.

 

 Решить линейное  уравнение,  значит, найти его  корни.

Помнить! При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую нужно поменять знак у этого слагаемого на противоположный.

Решить уравнения:

а). 5 · х = 10       х =         х = 2 – корень уравнения.

б).2у – 6   =  6у + 10

    2у - 6у  = 10 +  6

         - 4у  = 16     у =     у = - 4 – корень уравнения.

в).   -2у +14 = 0      2у = - 14    у =       у = 7 - корень

 

Если чувствуешь затруднения, или что – то не понятно, то обратись к учителю.

2.

Послушайте пояснения учителя по выполнению следующего задания.

Примите участие в беседе.

 

Среди записанных выражений найдите уравнения.

1.4х2 + 6 = 0;   2. 14 + 3 = 17;   3. 7х -14 = 0;   4.  х  =  -3х+4;

 

5.4х + 6;   6. х2 -3х + 4 = 0    7.  5у + 4 = 6у      8. 2-5х = 0

 

9. х2 -13х + 4;  10. 8х2+4х-13 = 0    11. 2 = 0   12.- х2+х-1=0

 

Запишите уравнения в тетрадь.

3.

Проверь правильность своих ответов. Исправь ошибки.

 

Прими участие в

беседе.

4.

1.4х2 + 6 = 0;   3. 7х -14 = 0;  4.  х  =  -3х+4   6. х2 -3х + 4 = 0

7.  5у + 4 = 6у  8. 2-5х = 0  10. 8х2+4х-13 = 0    11. 2 = 0  

12.- х2+х-1=0

Ответы к заданию 3.

 

5.

1.По какому признаку можно разделить уравнения из пункта 4. на две группы?

1.4х2 + 6 = 0;   3. 7х -14 = 0;  4.  х  =  -3х+4   6. х2 -3х + 4 = 0

7.  5у + 4 = 6у  8. 2-5х = 0  10. 8х2+4х-13 = 0    11. 2 = 0  

12.- х2+х-1=0

Запишите эти группы в два столбца в тетрадь.

Примите участие в беседе, чтобы проверить правильность выполнения задания.

6.

Первая группа :                     Вторая группа:

1.2 + 6 = 0;                         3. 7х -14 = 0;

12.- х2+х-1=0                        4.  х = - 3х + 4                     

6. х2 -3х + 4 = 0                     7. 5у + 4= 6у

8. 2-5х = 0                           Линейные уравнения.

10. 8х2+4х-13 = 0  

11. 2 = 0  

Квадратные уравнения.

Ответы к заданию 5.

Уравнения разделили на две группы по признаку наибольшей степени переменной входящей в уравнение.

Как называются уравнения первой группы? Как можно назвать уравнения второй группы? Запишите названия под каждой группой.

7.

Уравнения первой группы, т.е. квадратные, можно разделить в свою очередь ещё на группы.

Первая группа

12.- х2+х-1=0                       

6. х2 -3х + 4 = 0                    

8. 2-5х = 0                           .

10. 8х2+4х-13 = 0  

11. 2 = 0  

 

По какому признаку вы можете разделить данные уравнения на группы? Запишите их в тетрадь.

Примите участие в беседе, чтобы проверить правильность выполнения задания

8.

Первая группа:                      Вторая группа:

6. х2 -3х + 4 = 0                       1.2 + 6 = 0;                        

12.- х2+х-1=0                           8. 2-5х = 0    11. 2 = 0  

10. 8х2+4х-13 = 0                     Неполные квадратные

Полные квадратные                уравнения     

 уравнения

                                            

Ответы к заданию 7.

Уравнения первой группы разделили ещё  на две группы по признаку количества слагаемых в уравнении.

Примите участие в беседе, чтобы проверить правильность выполнения задания

9.

Вывод: Кроме линейных уравнений есть ещё и квадратные уравнения, которые в свою очередь делятся на полные и неполные квадратные уравнения.

 

Квадратные уравнения

 

Неполные квадратные уравнения

 

Полные квадратные уравнения

 
                                                                                                                     

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Менеджер образования

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ модуль 2.doc

Модуль 2.

Квадратные уравнения

Номер

Учебный материал с указанием задания

Управление обучением

 

Цель:

  • Ввести понятие квадратного уравнения;
  • Неполного квадратного уравнения;
  • Формирование умений решать неполные квадратные уравнения.

 

1.

Квадратным уравнением называется уравнение  вида

aх2 +bх + с = 0, где

х - переменная,

 а, b, c -некоторые числа (коэффициенты), причём  а≠0.

а - первый коэффициент,

b - второй коэффициент,

c - свободный член.

Левая часть квадратного уравнения

aх2 +bх + c

называется квадратным трёхчленом

Внимательно прочитать.

Переписать содержание первого пункта в тетрадь

Формулу квадратного уравнения

обвести рамочкой и выучить.

Знать формулу квадратного уравнения и уметь её записывать.

2.

Задание №1.

Записать коэффициенты квадратного уравнения:

1.. 5х2 + 3х – 2 = 0

а = 5- первый коэффициент

 b = 3 второй коэффициент

 с =-2- свободный член

 

2 -х2 + 4х -2 = 0

а = - 1- первый коэффициент

 b = 4- второй коэффициент

 с = -2- свободный член

 

3. х2 -2х + 10 = 0

а = 1- первый коэффициент

 b = -2- второй коэффициент

 с = 10 - свободный член

 

Внимательно прочитать.

Разобрать решение примеров.

Переписать их в тетрадь.

Уметь определять коэффициенты квадратного уравнения.

3.

Приведённым квадратным уравнением называется уравнение у которого коэффициент при  х2  равен 1.  Т.е.

х2+ pх + q = 0

Замечание: если перед х стоит знак

минус, то нужно поменять все знаки уравнения, чтобы получить приведённое уравнение

Внимательно прочитать.

Переписать содержание пункта 3 в тетрадь.

Формулу приведённого квадратного уравнения

обвести рамочкой и выучить.

Знать формулу приведённого квадратного уравнения и уметь её записывать.

4.

Задание №2.

Записать коэффициенты приведённого квадратного уравнения:

1. х2 + 9х – 2 = 0,    p = 9, q = -2

 

2. х2 - х –12  = 0,     p = -1. q = -12

 

3. - х2 +2х – 4 = 0, поменяем все знаки уравнения, т.е.

      х2- 2х + 4 = 0.     p = -2. q = 4.

Внимательно прочитать.

Переписать содержание пункта 4 в тетрадь.

При затруднении обращайтесь

к учителю.

5.

Неполные квадратные уравнения.

Если в квадратном уравнении

a х2 +bх + с = 0 хотя бы один

из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением:

 

1.  ах2 =  0, если  b=0 и c =0;

 

2. ах2 + bх = 0 , если  c =0;

 

3 ах2 + c =0,  если  b=0

Внимательно прочитать.

Переписать содержание пункта 5 в тетрадь

Формулы неполных квадратных уравнений

обвести рамочкой и выучить.

Знать формулы неполных квадратных уравнений и уметь их записывать и определять коэффициенты.

 

 

 

Задание №3

Записать неполные квадратные уравнения по следующим данным:

1.  Если  b = 0 и  с = 0 ,тогда можно записать такие уравнения:

    х2  =  0;       -5 х2  = 0;

    2х2 = 0;        10х2 = 0.

 

2. Если   с = 0, тогда можно записать такие уравнения:

    2 – 2х = 0,

   -10х +3х2 = 0 , поменяем, местами, слагаемые в уравнении и получим стандартный вид:

    2 – 10х = 0

 

3. Если  b = 0, тогда можно записать такие уравнения:

   9х2 -18 = 0

  -8х2+16 = 0

Внимательно прочитайте и разберите задание №3.

При выполнении задания №3 запишите свои примеры, используя образцы решённых в задании примеров.

При затруднении обращайтесь

к учителю.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения""

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ модуль 3.doc

Схема решения неполных квадратных уравнений

 

Внимательно прочитать. Сделать такую же таблицу в тетради. Выучить виды  неполных  квадратных уравнений. Разобрать способы их решений. Решить по пять примеров каждого вида. При затруднении обращаться к учителю.

Вид уравнения

Кол-во

корней

Решение

 

Примеры

Решить уравнение

Решить самостоятельно

1.  ах2 =  0

Один корень

(два совпадающих)

ах2 =  0

х2 =

х2 = 0,

х = 0

Ответ: 0

1.  6х2 = 0

х2 =

х = 0

Ответ: 0;

 

2. -10х2 = 0

х2 =

х = 0

Ответ: 0;

 

3.  5х2 = 0

х2 = 0,  х = 0

Ответ: 0

1. 5х2 = 0

2.-4х2 = 0

3.1,1х2 = 0

4. -20х2 = 0

5.  0.3х2 = 0

6.  х2 = 0

7. -3х2 = 0

8. 7х2 = 0

9. 10х2 = 0

10. –х2 = 0

11.5 = 5 + 4х2

12.2у2 +8 = 8

2.ах2 + bх = 0

Два  корня

ах2 + bх = 0

ахх + bх = 0

1.Вынесем общий

множитель х за скобку

х · (ах + b) = 0

 

2.Приравняем каждый множитель к нулю.

х = 0   или   ах +b = 0

 

3.Решим полученные уравнения.

х = 0   или   ах + b = 0

х1 = 0            ах = - b

                       х2 =

Ответ: 0;

 

1. 3у2 – 12у = 0

3уу – 12у  = 0  

1. у · (3у – 12 ) = 0

2.у = 0  или  3у-12=0

3.у1=0  или  3у = 12

                      у =

                      у2 = 4

Ответ:0;4;

2.4х2-20х = 4х

а)Приведём уравнение к стандартному виду. б)Перенесём 4х из правой части в левую, изменив знак +  на – . Приведём подобные.

2-20х-4х = 0

2-24х = 0  4хх-4х·6=0

1.4х(х-6) = 0

4х = 0  или х-6=0

х1 = 0  или  х2 = 6

Ответ: 0;6;

1.2х2 – 18х = 0

2.х2 + 5х = 0

3.2х2 –6х = 0

4. х2 - 12х = 0

5.3х2 + 5х = 0

6.-4х2 -2х = 0

7.- х2 +7х = 0

8.13х – х2 = 0

9.3х + х2 = 0

10.-х2 + 8х = 0

11.16х = 3х2 – 2х

12.17х2 = -34х

3. ах2 + c =0

Два  корня  либо  корней  нет

ах2 + c =0

ах2 = - с;   х2 = -

1.  Если - > 0, то

х1= -    или    х2 =

2..  Если - < 0, то

корней нет

 

1 .4х2 - 16 =0

   4х2 = 16

  х2 =    х2 = 4 > 0, то

  х = ±= ±2

х1 = -2;  х2 = +2

Ответ:-2; 2;

 

2. 2 + 9 = 0

2 = -9;  х2 =<0,

то корней нет

1.х2 – 9 =0

2.х2 – 25 = 0

3.х2 -64 = 0

4.х2 – 100 = 0

5.2х2 -50 = 0

6.-5х2 + 45=0

7.5х2 + 45 =0

8.3х2 +15 = 0

9.7 = -х2

10.0,64 –у2 = 0

11.у2 = 0,25

12.3у2 – 27 = 0

13.3х2 – 14 = 30-8х2

                                                                                                                                                                                

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения""

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ модуль 4.doc

Формула корней квадратного уравнения

ах2+ bх + с = 0

Определение

Примеры

Дискриминант

 

D = b2 – 4a·c

Дискриминантом квадратного уравнения

ax2 + bx+ c = 0

называется выражение

D = b2 – 4 ac

1Вычислить дискриминант квадратного уравнения

2 +3х +1 =  0

 

а)Выпишем коэффициенты уравнения

а=2, b=3,с=1

 

б)Запишем формулу дискриминанта

D = b2 – 4 ac

 

в)Заменим в формуле буквы их числами и выполним указанные действия

D =32 - 4·2·1 =9 – 8 = 1

 

Вычислить дискриминант квадратного уравнения:

1. 2х2+х+ 2=0

2. 9х2+6х+1=0

3. х2+5х-6=0

4. -3х2-5х-4=0

5. -у2+3у+5=0

6. 2у2-у-5=0

7. р2+р-90=0

8. 3р2-3р+1=0

9. х2-12х+32=0

10. -11у+у2=152

 

Решение квадратного уравнения   a x2 + bx+ c = 0

 

1.Выпишем коэффициенты данного уравнения:  a=   ,  b =    ,  c =    .

2.Вычислим дискриминант по формуле:   D = b2 – 4ac.

3.В зависимости от дискриминанта вычислим корни  квадратного уравнения по формулам: 

 

Дискриминант

Количество корней

Корни

 

1

 

D > 0

Два корня (разные)

х1 =     ,        х2   =  ,

2

D = 0

Один корень (два совпадающих)

                    x =

 

3

D < 0

Корней нет

 

 

4.Запишем ответ.

 

Решить квадратное уравнение:

2 + х - 2 = 0

1.       Выпишем коэффициенты данного уравнения:   а = 6,    b = 1,      с = -2.

 

2.Вычислим дискриминант по формуле:   D = b2 – 4ac = 12 - 4·6·(-2) = 1 + 48 = 49 = 72 > 0 ( два корня )

                                                                                                    12 = 1·1 = 1 -4·6 = -24   -24·(-2) = 48

 

3.Так как дискриминант больше нуля, то по формуле 1. вычислим корни:

         х1 = =                                                        х2 =

 

4.Ответ:  .

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения""

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ модуль 5.doc

Теорема Виета

Прочитать внимательно. Разобрать теорию и примеры. Запомнить общий вид .приведённого  квадратного уравнения. Уметь определять  коэффициенты  квадратного уравнения.  р  и  q . Уметь пользоваться  теоремой Виета    для  нахождения корней  приведённого  квадратного  уравнения.     

Теорема Виета:

Сумма корней  приведённого квадратного уравнения

х2 + рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

х1 · х2 = q

х1  +  х2  = 

Теорема Виета

х2 + рх + q = 0

 

 х1 · х2 = q

 х1  +  х2  = 

Теорема обратная теореме Виета

Если числа m и n таковы,

Что их сумма равна (p),

а произведение равно q,

то эти числа являются корнями уравнения

х2 + рх + q = 0

 

Теорема ,обратная теореме Виета, позволяет для приведённого квадратного уравнения с целыми коэффициентами  и целыми корнями найти корни подбором. Для этого используются следующие закономерности:

Подбор корней приведённого квадратного уравнения  х2 +  рх  + q = 0

с помощью теоремы,

обратной теореме Виета

Знаки чисел p и  q

 p > 0

p < 0

q > 0

Оба корня отрицательные

Оба корня положительные

q < 0

Отрицательный корень по модулю больше положительного

Положительный корень больше отрицательного корня по модулю

Решить уравнение, используя теорему Виета.

х2 -12х + 27 = 0

а) Выпишем коэффициенты приведённого квадратного уравнения

p = -12 , а  q = 27

б) Запишем теорему Виета и заменим  p и q

их значениями

х1 · х2 = q                  х1 · х2 = 27

х1  +  х2  =  -р              х1  +  х2  =  - (-12) = 12 

          

в) q = 27 > 0       p = -12 < 0  оба корня положительны. Методом подбора найдём корни. Так как  х1 · х2 = 27,то методом перебора находим произведение каких чисел равно 27 . Это : 1 · 27;  9 · 3; . Затем определяем сумма каких множителей равна 12. ( 1 + 27 = 28 – не подходит

       (9 + 3 = 12 –подходит)

Значит корнями, приведённого квадратного уравнения, будут числа   9  и  3.

г)Запишем ответ: 9  и  3.

 

Составить приведённое квадратное уравнение, имеющие корни х1 и  х2.

 

 

х1 = 5 ,     х2 = - 7

1.Приведённое квадратное уравнение имеет вид: х2 + рх + q = 0, где

 х1 · х2 = q

х1  +  х2  = 

 

2.Используя теорему Виета найдём коэффициенты  p  и q . Так как

 

х1 · х2 = q , то  5· (- 7 ) = -35. Значит   q = - 35.

          

х1  +  х2  =  -р, то  5 + ( - 7 ) = - 2 .Значит  - р =  -2,

а  p = + 2.  

 

3.Запишем уравнение:

     х2 + рх + q = 0, где  p = + 2  ,  q = - 35, подставим вместо  р и q  их значения и получим уравнение:

      х2 + 2х – 35 = 0

 

4.Ответ: х2 + 2х – 35 = 0

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения""

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ модуль 6.doc

Решение задач с помощью квадратных уравнений

            

            А                                       1.  АС – гипотенуза;

                                                                       АС и СВ – катеты.

               в                   с

                                                                       2.Теорема Пифагора:

                                                                       с2 = а2 + в2                   

  

               С             а                           В

 

Этапы решения

Задача.. Периметр прямоугольного треугольника равен 48см., а один из его катетов на 4см. больше другого. Найдите стороны этого треугольника.

Задачи для самостоятельного решения

 

 

Обозначьте одну из неизвестных величин буквой «х».

   А                              Пусть х - меньший катет  АС.                                                                                                                                                 

 


   х    х

    

  В                            С

Задача№1                 

Длина прямоугольника

на 5см. больше его

ширины, а площадь его равна 36см2.

Найдите стороны прямоугольника.

 

 

Составьте буквенное выражение по условию задачи.

    А                            Тогда больший катет СВ – (х +4),       

                                     т.к. он больше катета АС на 4см.

  х           (44-2х)         Тогда    гипотенуза АВ –  (44-2х).  

     х

  

 С                               В

                (х+4)

 

Задача№2

 

Ширина прямоугольника

на 6см. меньше его

длины, а площадь его равна 40см2.

Найдите стороны прямоугольника.

 

 

Из полученных выражений составьте уравнение, используя условие задачи.

Так как периметр треугольника равен 48см.,то гипотенуза равна 48 - х - (х+4) = 48 - х - х - 4 = (44 - 2х).

По теореме Пифагора запишем уравнение:

х2 + (х+4)2 = (44-2х)2,т.к. сумма квадратов катетов равна

квадрату гипотенузы.

 

 

Решите уравнение:

1.Раскроем скобки используя формулу

(х-у)2 = х2 - 2ху + у2

(х+у)2 = х2 + 2ху + у2

и приведём подобные слагаемые.

2.Полученное уравнение почленно разделим на 2.

3.Решии квадратное уравнение.

х2 + (х+4)2 = (44-2х)2

1. х2 + х2 +2·х·4 + 42 = 442 – 2·44·2х + 22·х2

    х2 + х2 +8х + 16 = 1936 – 176х +4х2

    2х2 + 8х + 16 – 1936 + 176х – 4х2 = 0

2.-2х2 + 184х – 1920 = 0  /׃  (-2 )

3.  х2 – 92х + 960 = 0

   а = 1 ,  в = -92,     с = 960

  D= в2 - 4а · с = 922 - 4·1·960 = 8464 -3840 = 4624 >0-

  два корня.

 

х1

 

х2 =

 

Задача№3

 

Одно из натуральных чисел на 7 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно30.

Задача№4

 

Площадь прямоугольного треугольника равна

180см2. Найдите катеты, если их сумма равна 39см.

 

Объясните полученный результат в соответствии со смыслом задачи.

 

Меньший катет не может быть равным  80см. Почему?

х = 12см. – меньший катет.

х + 4 =  12 + 4 = 16см – второй катет.

48 – 12 – 16 = 20см. – гипотенуза.

Задача№5.

Найдите длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 32см., а его площадь равна 55см2.

 

 

Запишите ответ

Ответ:12см. и 16см. – катеты; 20см. –  гипотенуза.

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения""

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Опорный конспект по теме "Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений и методы их решения" предназначен для самостоятельного изучения материала по данной теме.  он состоит из  шести модулей.

Первый модуль - повторение основных понятийпо теме "Уравнения".

Второй модуль - это учебный материал с указанием задания,посвящен понятию квадратного уравнения.

Третий модуль - схема решения неполных квадратных уравнений,выполнен в виде таблицы, где есть и теоретический материал, и решенные примеры, и примеры для самостоятельной работы.

Четвёртый модуль - формула корней квадратного уравнения.

Пятый модуль - теорема Виета.

Шестой модуль  -решениезадач с помощью квадратного уравнения.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 682 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 05.01.2015 1024
    • RAR 56.5 кбайт
    • 18 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Печенина Вера Дмитриевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Печенина Вера Дмитриевна
    Печенина Вера Дмитриевна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 7191
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Менеджер по туризму

Менеджер по туризму

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 24 регионов

Курс повышения квалификации

Развитие предметных навыков при подготовке младших школьников к олимпиадам по математике

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 42 человека из 16 регионов

Курс повышения квалификации

Система работы учителя математики по подготовке учащихся основной школы к математическим конкурсам и олимпиадам в рамках обновленного ФГОС ООО

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 93 человека из 40 регионов

Мини-курс

Возрастные кризисы

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 26 человек из 18 регионов

Мини-курс

Эффективное продвижение и организация проектов в сфере искусства

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Современные информационные технологии и информационная безопасность

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе