Главная / Математика / Опорный конспект по теме " Логарифмы, свойства логарифмов.Логарифмическая функция, её свойства и график. Логарифмические уравнения и неравенства."

Опорный конспект по теме " Логарифмы, свойства логарифмов.Логарифмическая функция, её свойства и график. Логарифмические уравнения и неравенства."

Название документа № 1.основные логарифмические формулы.doc

Основные логарифмические формулы

Определение логарифма

hello_html_1ec95bb1.png

Логарифмом числа b по основанию a ( a >0, a ≠ 1,b > 0 ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b, т.е.

log a b = n или an = b

a основание логарифма;

nпоказатель степени

logобозначение логарифма



  1. log28=3, т. к. 23=8;


  1. log5(1/25)=-2,


т. к. 5-2=1/52=1/25;


3)log71=0, т. к. 70=1.


Основное логарифмическое тождество

hello_html_5c286131.gif= b

hello_html_1114fe38.png

hello_html_44e2ca69.png

Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log»,

т.е. log10b = lg b.

2) lg100=2, так как102=100.


4) lg0,1=-1, так как 10-1=1/10=0,1.


5) lg0,01=-2, так как 10-2=1/102=1/100=0,01.


1. lg7=log107, lg7 – десятичный логарифм числа 7.

1) lg10=1, так как 101=10.


1/10 означает hello_html_388e8c77.gif

Натуральные логарифмы

Логарифм по основанию е (Неперово число е ≈ 2,7) называют натуральным логарифмом.


ln23=log e23, ln23 – натуральный

логарифм числа 23.

ln (1/e)=-1.

1) lne3+lne4=3+4=7.



Свойства логарифмов ( справедливы для логарифмов по любому основанию (a>0, a≠1))

Логарифм единицы равен нулю

log a 1 = 0

(a > 0, a ≠ 1), т.к. a0 = 1

1) log71=0, т.к. 70=1. 2) lg1=0, т.к. 100=1 3) ln1=0, т.к. е0=1.



Логарифм числа а по основанию а равен единице

log a a = 1

1) log55=1, т.к. 51=5. 2) lg10=1, т.к. 101=10.

3) lne=1, т.к. е1=е.


Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

log a (x∙y)=log a x + log a y

Найти log 3 6, если log32=a.


log36=log3(2∙3)=log32+log33=log32++1=a+1.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

log ahello_html_m4dbc42d5.gif = log a x- log a y

1) log324- log 38 =log3(24:8)=log33=1;

2) log5600-log512- log550 = =log5(600:12:50)=log51=0;


Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

log a bk=k∙log a b

1) log516=log524=4log52.


2) log59=log532=2log53.

Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле:

log a b= hello_html_m3c39a45a.gif Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.

log255 = hello_html_m30981a75.gif

Действительно, log255 = ½ = 0,5; так как 250,5 = (52)0,5 = 52∙0,5 = 51 = 5.


log525=2, так как 52=25.


Получаем верное равенство: 0,5=1/2.

Логарифм по основанию an.

loghello_html_m608cf35c.gifbhello_html_m53d4ecad.gif=hello_html_m162abd99.gif∙log a b Логарифм числа b по основанию an равен произведению дроби 1/n на логарифм числа b по основанию a.

hello_html_6180c243.png

Логарифм корня n-ой степени из b.

logahello_html_257521a7.gif= hello_html_m162abd99.giflog a b

log 3hello_html_m17fcef1c.gif = hello_html_50c7c0d7.giflog 315

Логарифм дроби 1 делённая на b.

logahello_html_742c686b.gif= - log a b

log7hello_html_241beab6.gif= -log77 = - 1

Логарифм числа bkпо основанию an.




log an bk = hello_html_m584ed9c4.gif∙log ab

Формула является комбинацией двух предыдущих формул.

hello_html_m1eaf58a2.png

Логарифм числа bn по основанию an.

одну и ту же степень.

log an bn = log a b или

log ab = log an bn

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

hello_html_12bae913.png


Формула перехода к новому основанию

log a b = hello_html_9747e47.gif

1) log23 = lg3/lg2;


2) log87 = ln7/ln8.

Формула представления числа p в виде логарифма.

p = log a ap

7 = log557

12 = log13 1312

Дополнительная формула


x logay = y logax









Название документа № 4. решение логарифм. неравенств.doc

Решение логарифмических неравенств


1

Определение: Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.



Алгоритм решения логарифмических неравенств:


1. Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.

2. Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если а>1, то возрастающая; если 0<а<1, то убывающая.

3. Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

4.Решить систему неравенств.

Помнить !При решении систем неравенств можно каждое неравенство решить отдельно, а потом найти их общее решение т. е. найти их пересечение.

2

Неравенство log a f(x) < b сводится к системе равносильных неравенств :


0 < a < 1

a > 1


  1. :

  2. hello_html_285302ce.giff(x) > 0

  3. f(x) > ab



hello_html_285302ce.giff(x) >0

f(x) < ab


Решить уравнение: log 0.7) (x-7) < 0.

Решение:

1. ОДЗ: х – 7 > 0; х > 7

. 2. Функция y=log 0,7х – убывающая, т.к.

0 < а = 0,7< 1 hello_html_39bcdcee.gifзнак неравенства

меняется (х – 7) > 0,70 или х – 7 > 1,

х>7 +1 или х >8.

3. Пересечением множеств бедет интервал

х >8.

Ответ: х >8.


Решить неравенство: а) log3 (х + 2) < 3.

Решение:

1.ОДЗ: х + 2 > 0, х > 0 – 2, х > -2.

2.Функция y=log2 х - возрастающая, т.к. а=3>1 следовательно, х + 2 < 27, х < 25.

3.Пересечением множеств множеств будет интервал

Ответ: (-2; 25)

3


Неравенство log a f(x) > b сводится к системе равносильных неравенств :


0 < a < 1

a > 1



fhello_html_285302ce.gif(x) >0

f(x) < ab




fhello_html_285302ce.gif(x) > 0

f(x) > ab



Решить неравенство: а) hello_html_14cdd15d.gif.

Решение:

1. ОДЗ: 5х – 1 > 0 или 5х > 1 или х > 1/5 или х > 0,2.

2. Функция у = loghello_html_m556b5c48.gif x убывающая, т.к.

а = 1/3 hello_html_17d68374.gif< 1, следовательно 5х -1 <hello_html_m1efba1d.gif

или 5х-1< 1 или 5х<1+1 или 5х<2 или

х < 2/5 =0,4, т.е. х < 0,4

3. Пересечением множеств будет интервал

(0,2;0,4)

Ответ: (0,2;0,4)


Решить неравенство: log 8(4 – 2x) ≥ 2.

Решение:

1.ОДЗ: 4 – 2х > 0 или -2х > 0 – 4 или -2х < -4

х < 2.

2. Функция у = log8x возрастающая, т.к. а = 8> 1.

Значит знак неравенства сохраняется, т.е.

4 – 2х ≥ 82 или -2х ≥ 64 – 4, -2х ≥ 60, х ≤ -30.

3.Пересечением множеств будет интервал

х ≤ -30.

Ответ: х ≤ -30.

4

Неравенство loga f(x) > loga g(x) сводится к системе равносильных неравенств:



0 < a < 1

a > 1


f(x) < g(x)

f(x) > 0


f(x) > g(x)

g(x) > 0



Решить неравенство:

hello_html_746f0788.gif.

Решение: hello_html_m7c3a636e.gif убывает на всей области определения, то знак неравенства меняется и неравенство равносильно системе

hello_html_m14da318a.gif

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif

4 х – х < 3 +3 3х < 6

4х > 0 + 3 4х > 3


hello_html_m2f44650.gif hello_html_5850205a.gif


Ответ: (0,75;2).


Решить неравенство:

log3 x > log3 (5 – x)

Решение: Основание логарифмов a = 3 >1, значит функция возрастающая и знак неравенства не меняется. Решим систему неравенств:

x > 5 - x и 2. 5 - x > 0.

решим каждое отдельно.

1. x > 5 - x

х + х > 5 или 2х > 5 или x > 2,5.

Найдем область определения,т.е. решим 2-ое уравнение:

2. 5 - x > 0 или –х > 0- 5 или –х > -5;

поменяем все знаки х > 5

Найдём общее решение неравенств. Это будет

х > 5

Ответ: х > 5.


5

Неравенство loga f(х ) < loga g(x) сводится к системе равносильных неравенств:



0 < a < 1

a > 1


fhello_html_4269354.gif(x) > g(x)

g(x) > 0


hello_html_2ac7fd01.giff(x) < g(x)

f(x) > 0



Решить неравенство: log0,6x > log0,6 72 –

log0,6 8;

Решение:

1.ОДЗ: х > 0.

2.Функция у = log0,6x убывающая, т.к основание 0 < а= 0,6 <1,знак неравенства меняется. х > 72:8 ( по свойству логарифма) или х > 9,

3.Найдём пересечение множеств х > 9.

Ответ: х > 9.


Решить неравенство:log2 (5x – 9) ≤ log2 (3x + 1).

Решение:

Решим систему неравенств:

hello_html_1752c256.gif 5х - 9≤ 3х + 1

5х – 9 > 0

1.5х - 9≤ 3х + 1 или 5х – 3х ≤1 + 9 или 2х ≤ 10

х ≤ 5.

2. 5х – 9 > 0 или 5х >9 или х >9/5 =1,8.

3.Найдём пересечение множеств:

х hello_html_m289d78ff.gif(1,8; 5],

Ответ: х hello_html_m289d78ff.gif(1,8; 5],


Название документа №2. логарифмическая функция.doc

Определение:

Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию а называется показатель степени n, в который нужно возвести число а, чтобы получить b.

lhello_html_17565812.gifog ab = n an = b


Логарифмическая функция


Функцию вида: y = log а х , где а > 0, а ≠ 1 называют

логарифмической с основанием а.


Свойства логарифмической функции:

1. а) D( x) =( 0; + ∞); б) E( у ) = ( − ∞; + ∞).


2. а) нули функции ( 1; 0);

б) точек пересечения с осью ординат нет.


3. а) при а > 1 функция возрастает на всей области определения;

б) при 0 < а < 1 функция убывает на всей области определения.


4. Экстремумов нет.

5. График функции:

а)

hello_html_457cb32b.gif б)


hello_html_m7e7cccd2.png

Название документа №3. логарифмические уравнения.doc

Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

1. logaf(x) = b, используя определение логарифма получим f(x) = ab

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов.

2. logaf(x) = logag(x)

Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения: 1.f(x) = g(x) и f(x)>0 или

2. f(x) = g(x) и g(x)>0,

в зависимости от того, какое неравенство проще.

3.Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

lhello_html_m3544cdd1.gifoga(x)f(x) = loga(x)g(x),то мы переходим к системе: f(x) = g(x)

g(x) > 0

a(x )> 0

a(x) ≠ 1

4. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.


5. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.

Вид уравнения

Метод решения

Примеры

1.log a f(x)=b, где

a > 0, а1, f(x) > 0

Применение определения логарифма: f(x) = ab.

log (x+1)(2x2+1) =2.

Найдем ОДЗ уравнения:

hello_html_7fb3c877.gif(х+1) > 0 х >-1

(2x2+1) > 0 для любого х

ОДЗ :

По определению логарифма: (x+1)2 =2x2+1;

x2+2x+1 =2x2+1;

x2-2x = 0; х(х-2) = 0

х = 0 или х - 2 = 0;

x1 = 0; x2 = 2.

Из двух полученных корней только корень x2 =2 принадлежит ОДЗ, а x1 =0 не принадлежит ОДЗ и, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: x =2.

Решить уравнение:

1. log3(2x+1)=2

По определению логарифма имеем:

hello_html_5b902363.gif 1.2х + 3 = 32

2.2х + 3 > 0 -ОДЗ

3.а = 3 > 0 , значит основание подходит.

1.2х + 3 = 9, 2х = 9 – 3, 2х = 6,

х = 6:2, х=3.

2.2х+3>0, 2х >-3, х > -3:2,

х > -1,5 - ОДЗ

Вывод: х=3 принадлежит ОДЗ.

Ответ:3.

Замечание! Можно было не находить ОДЗ, а сделать проверку корня, подставив его значение х=3 в первоначальное уравнение.

2. log3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм - это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. 3 2 = 2х-1 или 2х = 9+1 и х=5



1 .log2(3 – 6x) = 3


2. lg(х2 – 2х) =

= lg (2х + 12)


3. х lg х = 10000


4. log3x - log3 x = 3


5. log2x – log4x =3


6. log3 x = - x


7. lg (x2 – 2x) = lg(2x + 12)


8. log3 x - 2log hello_html_m9eebf3a.gif х = 6

9. log5(2x + 3) = log5(x + 1)

2. loga f(x) = loga g(x) hello_html_39bcdcee.gif

hello_html_2ac7fd01.giff(x) =g(x)

f(x)>0

или

hello_html_53793c3d.giff(x)=g(x)

g(x)> 0


Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду 2, т.е используется метод потенцирования.

Решить уравнение:

1. log x-6(x2-5) =log x-6(2x+19).

x2-5 =2x+19;

x2-2x-24 =0;

x1 =6; x2 =-4.

Подставим у уравнение x2 =-4, получим

log -4-6((-4)2-5) =log -4-6(2∙(-4)+

+ 19).

log -1011 =log -10 11, а = -10 , но по определению это невозможно

Аналогично проверим второй корень. Учитывая проверку, отметим, что x2 =-4; x1 =6 - посторонний корень.

Ответ: решений нет.

Решить уравнение:

1. log5x =log5(6-x2)

hello_html_6dbd52f.gifПрименяя метод потенцирования, получим:

x = 6-x2;

х > 0

x2 + x - 6 = 0;по

тhello_html_6747a097.gif.Виета х1∙х2 = -6

х12 = -1, подбором найдём корни

x1 =2; x2 =-3.

Учитывая ОДЗ, отметим, что x2 =-3 - посторонний корень.

Ответ: x =2.


2. log3 (2х-5) = log3х

Применяем потенцирование, получаем:

2х-5 = х 2х – 1х = 5 х = 5

ОДЗ находить не будем, а сделаем проверку корня. Подставим х = 5 в первоначальное уравнение

log3 (2∙5-5) = log35

log3 5= log35 верное равенство.

Ответ: 5.

hello_html_m4bfbf539.gif

а) loga f(x)+loga g(x)=logah(x) hello_html_39bcdcee.gif

loga( f(x)∙ g(x)) = logah(x) hello_html_39bcdcee.gif

hello_html_m90a63cd.gif( f(x)∙ g(x)) = h(x)

f(x) > 0

g(x) > 0

h(x) > 0

Решить уравнение:

1. lg(x+3) =2lg2- lgx

Преобразуем: перенесём

- lgx из правой части в левую поменяв знак, а 2 внесём в степень числа 2 (2lg2 = lg22).

lg(x+3) =lg22-lgx;

lg(x+3) + lgx= lg22, применив формулу а).

lg((x+3)∙x) = lg22

((x+3)∙x) = 22

x2 + 3x - 4 = 0,

по т. Виета х1∙х2 = -4 , а х12 = -3. Подбором найдём корни:

x1 =1; x2 =-4.

Учитывая ОДЗ ,т.е , (x+3)>0 hello_html_39bcdcee.gif

х > -3

отметим, что x2 = -4 - посторонний корень.

Ответ: x=1.

1.log2(х+5) = 2log2 (1- х)

Преобразуем по формуле в).

Имеем: log2 (х+5)= log2 (1- х)2

ОДЗ: х +5> 0 или х > -5

х+5 = (1 – х)2 или

х2-3х-4=0, тогда х1=4, а х2 =-1

Ответ: х1=4, а х2 =-1

hello_html_f8b7462.gif


5.log2 (4х + 5) = log2 (9 – 2х)

6.log3 (х² - 5х – 23) =0;

7.lg(x + 2) + lg(x – 2) = lg(5x + +10)


б) loga f(x)-loga g(x)=logah(x) hello_html_39bcdcee.gif log a ( f(x):g(x)) = log a h(x)

hello_html_m90a63cd.gif( f(x) : g(x)) = h(x)

f(x) > 0

h(x) > 0

g(x) > 0


Из б) всегда можно получить а), перенеся слагаемое в другую часть уравнения.

в) nloga f(x)=logah(x) hello_html_39bcdcee.gif

loga f n(x) =logah(x)

hello_html_m3544cdd1.giff n(x) = h(x)

f(x) > 0

h(x) > 0


3.log2a f(x)+b∙ log a f(x)+c = 0

Пусть log a f(x) = t,тогда

log2a f(x ) = t2 и уравнение примет вид t2 + bt + c = 0. Найдём t1 и t2.

Затем вернёмся к старой переменной, решив уравнения:

1) log a f(x) = t1 2) log a f(x) = t2

Решить уравнение:

1. log32x-log3x =2

log32x-log3x – 2 = 0

ОДЗ: x >0.

Пусть log3x =у, тогда уравнение примет вид:

y2-y-2 =0, по

тhello_html_6747a097.gif.Виета у1∙у2 = -2

у12 = 1, подбором найдём корни:

y1 =2; y2 =-1.

Вернёмся к старой переменной. Т.к log3x =у, то

1)log3x =2; x1 =32; x1 =9;

2)log3x =-1; x2 =3-1; x2 =1/3.

Так как x1 >0, x2 >0 то они принадлежат ОДЗ уравнения и являются его корнями.

Ответ: x1 =9; x2 =1/3.


Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.

4.Приведение к одному основанию, если они различные.

Решить уравнение: log7x+logx7 =2,5.

ОДЗ: x >0,

logx7 =hello_html_med4c890.gif

log7x + hello_html_med4c890.gif=hello_html_6a81be73.gifумножим на 2 logx7

2log27x-5 log7x+2 =0 или

log27 x-2,5 log7x+1 =0.

Пусть log7x =у, тогда y2-2,5y+1 =0;

y1 =2; y2 =1/2.

1)log7x =2; x1 = 72 = 49;

2)log7x =1/2; x2 =70,5 = hello_html_78b3e969.gif;

Ответ: x1 =49; x2 = hello_html_78b3e969.gif.

Решить уравнение:

1. log16x+log4x+log2x =7

ОДЗ: x >0.

Логарифмы в левой части уравнения приведем к оснаванию 2 по формуле.

log16x =log24x=1/4 ∙log2x;

log4x =log2 2x=1/2log2x 1/4log2x)+1/2log2x+log2x =7;

(7/4)log2x =7;

log2x =7:7/4; log2x = 4 x =24 х =16 >0.

Ответ: x=16.


5.Логарифмирование левой и правой части уравнения по одному и тому же основанию «a», если уравнение имеет вид:

х logag(x) =b

Решить уравнение:

х log2х+2 = 8.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим

log2(log2х+2)) = log2 8,

(log2 х + 2) · log2 х = 3.

log22 х + 2 · log2 х = 3.

log22 х + 2 · log2 х – 3 = 0

Пусть log2 х = t.

t2 + 2t – 3 = 0.

t1= -3 t2 = 1

Значит 1. log2 х = 1 и х1 = 2 или 2. log2 х = -3 и х2 =2-3 = 1/8

Ответ: х1 = 2 и х2 =1/8



6.Функционально-графический метод, если уравнение имеет вид:

log a f(x) = g(x)



hello_html_m5828edc.png


у = log2 x

y = 3 – x


Ответ: х = 2

Строим графики функций

у = log a f(x) и у = g(x)

Решение – абсцисса ( х) точки пересечения графиков.

Решить уравнение:

log3x = 4-x

Построим графики функций

у = 4 – х и у = log3x

Абсцисса точки пересечения графиков х = 3 есть решение данного уравнения.


hello_html_m747e2cfa.png








Опорный конспект по теме " Логарифмы, свойства логарифмов.Логарифмическая функция, её свойства и график. Логарифмические уравнения и неравенства."
  • Математика
Описание:

Опорный конспект по теме «Логаривмы. Свойства логарифмов. Логарифмическая функция, её свойства и график. логарифмические уравнения и неравенства»для учащихся 10-11 класса, предназначен для самостоятельного изучения данного материала, для повторения при подготовке к контрольной или зачётной работе по данной теме. 

                Данный материал содержит следующие файлы:

1. Определение логарифма.  Основные логарифмические формулы с примерами и пояснениями.

2.  Логарифмическая функция, её свойства и график.

3. Логарифмические уравнения , их виды и методы решения с подробным объяснением решения уравнения, а так же подобраны примеры для самостоятельного решения.

 

4.  Логарифмические неравенства, их виды и методы решения с подробным объяснением решения неравенств, а так же подобраны примеры для самостоятельного решения.

Автор Печенина Вера Дмитриевна
Дата добавления 06.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1163
Номер материала 37917
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓