Инфоурок Математика КонспектыОпорный конспект по теме: "Логарифмы"

Опорный конспект по теме: "Логарифмы"

Скачать материал

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов

 

Справочные сведения

Логарифмом положительного числа b по основанию а ( записывают loga b), где а  > 0, a 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Равенство , где а  > 0, a 1, b > 0, называют   основным логарифмическим тождеством.

x = logab – корень уравнения ax = b, где а  > 0, a 1, b > 0.

Логарифм числа по основанию 10 называется десятичным логарифмомlog10 b = lg b.

Логарифм числа по основанию е называется натуральным логарифмомlogе b = ln b.

 

 

 

 

 

Примеры с решениями

 

1.      Вычислить: 1)  2)  3)

Решение. 1) , так как 34 = 81.     

2) Пусть . Тогда по определению логарифма , или , откуда ,.

3) Пусть . Тогда по определению логарифма , откуда , , , .

2.      Найти: 1)  2)  3)

Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству)                2)  

3)

  

 

   3.   Вычислить:

1)            2)              3)

Решение.

1)

2)

3)  

 

Дидактический материал

1.      Вычислить:

1)                                     2)                            3)

4)                                      5)                                   6)

Ответы:  - 4;  4; -3; - 2;  2;  0.

2.      Вычислите десятичные логарифмы:

1)                      2)                   3)                    4) .

Ответы: - 4;  - 1;  ½;  4.

3.      Вычислите натуральные логарифмы:

1)                               2)                    3)                          4)

Ответы:    

4.      Вычислите:

1)                        2) 

Ответы:  - 2;   2.

5.      Найдите значения выражений:

1)                                         2)

3)            4)                

 Ответы: 

 

Логарифмические уравнения и их системы

Справочные сведения

     Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим уравнением.

     Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение  

                                                      logax = b,                                                            (1)

где a и  b – данные числа, а х – переменная величина. 

     Если а > 0 и , то такое уравнение имеет единственный корень  x = ab.

     Решение более сложных логарифмических уравнений сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1).

Способы решения логарифмических уравнений

1.      Способ непосредственного применения определения логарифма.

Пример 1. Решим уравнение logx( х3 – 5х + 10 ) = 3.

           Решение. По определению логарифма можно написать:    х3 – 5х + 10 = х3, откуда: х = 2.

           Проверка: log2(23 - 52 + 10) = log28 = 3.                                  Ответ: 2.

     Известно, что областью определения логарифмической функции является множество положительных действительных чисел. Поэтому часто при решении логарифмических уравнений вначале определяется

область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем решается данное уравнение и найденные значе-ния переменной проверяются на принадлежность ОДЗ.

2.      Способ приведения уравнения к виду loga f(x) = loga g(x) c последующим применением потенцирования.

           Пример 2. Решим уравнение: lg( x + 5) – lg( x2 – 25 ) = 0.

Решение. Найдем ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

  Отсюда имеем: .

Преобразуем данное уравнение:   lg( x + 5) = lg( x2 – 25 ).

Потенцируя, имеем: х + 5 = х2 – 25 или  х2 – х – 30 = 0, откуда х1 = 6, х2 = - 5. Но  .

Ответ: 6.

3.      Способ введения новой переменной.

Пример 3. Решим уравнение :

Решение. Пусть log2 х = у, тогда вместо исходного уравнения получим: у2 – у – 2 = 0.

Решив полученное квадратное уравнение, имеем:  у1 = 2, у2 = - 1.

Теперь найдем искомые значения х:

log2  х = 2, х1 =  4;                         log2  х = -1, х2 .

ОДЗ: х > 0. Оба найденные значения х принадлежат ОДЗ.                      Ответ: 4; .

4.      Способ почленного логарифмирования.

Пример 4. Решим уравнение:

           Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде:  или

           Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по основанию 2:

           . Применяем свойства логарифмов:

             

           Решаем это уравнение способом введения новой  переменной.  Получаем:

           1) log2 х = 3, х1 =  8;     2) log2 х = -1, х2 =   .

           Выполняем проверку:

1)     

2)                                                        Ответ:  8; .              

 

5.       В практике встречаются логарифмические уравнения, содержащие логарифмы с разными

            основаниями.  В таких случаях применяется формула перехода к новому основанию:                                                                                                                                       

                                            

            Пример 5. Решим уравнение:

            Решение. ОДЗ:   

            Используем формулу перехода к новому основанию:   тогда данное    

           уравнение имеет вид:         или  

           Тогда:    откуда  получаем, что  х = 2.                            

                                                                                                            Ответ: 2.

 

6.      Показательно-логарифмические уравнения.

 

Чаще всего такие уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения и приведением к логарифмическим уравнениям.     

           Пример 6. Решим уравнение:  

           Решение.  Перепишем это уравнение в виде:    Воспользуемся      

           основным   логарифмическим  тождеством  , имеем:

                

           Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: Тогда

            откуда:    и     или  х1 =   и  х2 =  9.

           Проверка:  

                                                           Ответ:              

 

     При решении систем логарифмических уравнений в основном применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений  ( способы  подстановки,  алгебраического  сложения, введения  новых  переменных и др.) 

 

         Пример 6. Решим систему уравнений:  

         Решение. Для первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе        

         уравнение потенцируем:               

        Введем новые переменные:

         получим систему рациональных уравнений:  

      Решаем систему  методом подстановки, получаем: а = 5 и b = 6. Тогда:  

      или  х = 25 и у = 36.

       Проверка:         

      Вывод: пара чисел (25;36) действительно является решением системы.                                                                       

                                                                                                                                      Ответ: (25;36).

 

 

Дидактический материал

  1.  Решите логарифмические уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Решите системы логарифмических уравнений:

 

 

 

 

 

 

Логарифмические неравенства

Справочные сведения

     Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством.

     Всякое значение переменной , при котором данное логарифмическое неравенство обращается в

верное числовое неравенство, называется  решением логарифмического неравенства.

     Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

     Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенств вида

  или  

     Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее свойства, применяют следующие утверждения:

1)   при а > 1 неравенство   равносильно системе неравенств:

                                                             (1)

2)   при 0 < а < 1 1 неравенство   равносильно системе неравенств:

                                                              (2)

 

          Примеры с решениями

 

     Пример 1. Решим неравенство  

     Решение. Преобразуем правую часть неравенства:     Здесь а = , поэтому

     используем систему неравенств вида (2):          или          

    Решением последней системы будет промежуток                                  Ответ:

 

     Пример 2. Решим неравенство  

     Решение. Используем свойства логарифмов:   

     В полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему неравенств вида (1):

       отсюда:         

     Изображая решение каждого неравенства системы по отдельности на координатной прямой,                                  находим  общую часть – промежуток                                                                     Ответ:

 

 

Дидактический материал

  1. Решите логарифмические неравенства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Тест № 1

1.

Вычислите:

 

2.

Найти значение выражения:                                                                                                                                                                           

 

3.

Решите уравнение:

 

4.

 

Решите неравенство:  

 

5.

Решить систему уравнений

 

6.

Решите уравнение:

 

7.

Найдите произведение корней уравнения

 

8.

Решите неравенство:  

 

 

9.

Решите неравенство:

 

10.

Решить систему уравнений:

 

 

 

Тест № 2

1.

Вычислите :  

 

2.

Используя определение и свойства логарифмов, найдите значение выражения:

 

3.

Решите уравнение:

 

4.

Решить неравенство:

 

5.

Решить систему уравнений

 

 

 

6.

Решите уравнение:

 

7.

Найдите произведение корней уравнения: 

 

8.

Решите неравенство:  

 

9.

Решите неравенство:

 

10.

Решить систему уравнений

 

 

 

 

Тест № 3*

1.

Найти значение выражения:

 

2.

Чему равно выражение:  

 

3.

Решите уравнение:

 

4.

Решите уравнение: 

 

5.

Решить систему  неравенств:

 

6.

Найдите   где х – это корень уравнения

 

7.

Вычислите: 

 

8.

Решите уравнение:  

 

9.

Решите неравенство:

 

10.

Решить систему  неравенств:

 


 

Код правильных ответов по теме «Логарифмы»

 № вопроса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест № 1

C

E

D

E

B

C

E

D

C

B

Тест № 2

D

E

C

D

A

C

C

E

D

D

Тест № 3*

C

A

A

E

E

E

A

A

E

E

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Опорный конспект по теме: "Логарифмы""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Научный сотрудник музея

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Опорнй конспект по теме: "Логарифмы" предназначен для учителей математики для подготовки учащихся к единому национальному тестированию. Учащиеся могут самостоятельно без помощи учителя повторять , систематизировать знания и умения по данной теме, проверять их при работе с тестами. Материал предназначен для учащихся 10 - 11 классов. Материалы, включенные в конспект разбиты на темы соответствующей программы. Материал помогает систематизировать имеющие знания или ликвидировать пробелы в них. Внутри каждой темы представлены почти все типы задач, формирующие основные умения и навыки в соответствии с государственными стандартами образования (задачи на отработку знаний формул, качественные задачи). Задачи сгруппированы тематически и очередность их решения выстроена в следующем алгоритме: от простого к сложному. Из предложенных задач, можно подобрать задачи с увеличением сложности. Каждая тема в конспекте состоит из четырех частей: справочный материал, упражнения с решениями разной степени сложности, дидактический материал, тесты для проверки знаний в двух вариантах. Этот материал поможет учителям математики при планировании и организации учебного процесса с использованием инновационных педагогических технологий: технология полного усвоения знаний, технология уровневой дифференциации, технология адаптивной системы обучения, и технологии индивидуализированного способа обучения. Такие конспекты помогут активизировать систему работы учителя и самостоятельную деятельность учащихся при подготовке к ЕНТ.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 823 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 16.11.2020 3345
    • DOCX 547.5 кбайт
    • 98 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Фролова Людмила Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Фролова Людмила Сергеевна
    Фролова Людмила Сергеевна
    • На сайте: 3 года и 3 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 71704
    • Всего материалов: 242

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Копирайтер

Копирайтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 680 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Преподавание математики в школе в условиях реализации ФГОС

72/144/180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 84 человека из 36 регионов

Курс повышения квалификации

Применение математических знаний в повседневной жизни

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Методология физического воспитания

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Педагогические идеи выдающихся педагогов, критиков и общественных деятелей

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Басня как педагогическая технология

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе