Логарифм
числа. Основное логарифмическое тождество.
Свойства
логарифмов
Справочные
сведения
Логарифмом
положительного числа b
по основанию а ( записывают loga b),
где а > 0, a 1, называют показатель
степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Равенство , где а > 0, a 1, b
> 0, называют основным логарифмическим тождеством.
x
= logab –
корень уравнения ax
= b, где а > 0, a 1, b
> 0.
Логарифм числа по
основанию 10 называется десятичным логарифмом: log10
b = lg b.
Логарифм числа по
основанию е называется натуральным логарифмом:
logе
b
= ln b.
Примеры
с решениями
1. Вычислить:
1) 2) 3)
Решение. 1) ,
так как 34 = 81.
2) Пусть . Тогда по определению
логарифма , или , откуда ,.
3) Пусть . Тогда по определению логарифма , откуда , , , .
2. Найти:
1) 2) 3)
Решение. 1)
По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) 2)
3)
3. Вычислить:
1) 2) 3)
Решение.
1)
2)
3)
Дидактический материал
1.
Вычислить:
1)
2) 3)
4)
5) 6)
Ответы: - 4;
4; -3; - 2; 2; 0.
2.
Вычислите
десятичные логарифмы:
1)
2) 3) 4)
.
Ответы: - 4;
- 1; ½; 4.
3.
Вычислите
натуральные логарифмы:
1)
2) 3) 4)
Ответы:
4.
Вычислите:
1)
2)
Ответы: -
2; 2.
5.
Найдите
значения выражений:
1)
2)
3) 4)
Ответы:
Логарифмические уравнения и их системы
Справочные сведения
Определение. Уравнение,
содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим
уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение
logax = b,
(1)
где a и b – данные числа, а х – переменная величина.
Если а > 0 и , то
такое уравнение имеет единственный корень x = ab.
Решение более сложных логарифмических
уравнений сводится либо к решению алгебраических
уравнений, либо к решению уравнений вида (1).
Способы решения
логарифмических уравнений
1.
Способ непосредственного применения определения
логарифма.
Пример 1. Решим уравнение logx( х3 – 5х + 10 ) = 3.
Решение.
По определению логарифма можно написать: х3 – 5х + 10 = х3, откуда: х = 2.
Проверка: log2(23 - 52 + 10) = log28 = 3. Ответ: 2.
Известно, что областью определения логарифмической функции
является множество положительных действительных чисел. Поэтому часто при
решении логарифмических уравнений вначале определяется
область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем решается данное
уравнение и найденные значе-ния переменной проверяются на принадлежность ОДЗ.
2.
Способ
приведения уравнения к виду loga f(x) = loga g(x) c последующим применением
потенцирования.
Пример 2. Решим уравнение: lg( x + 5) – lg( x2 – 25 ) = 0.
Решение. Найдем ОДЗ. Для
этого решим систему неравенств:
Отсюда имеем: .
Преобразуем
данное уравнение: lg( x + 5) = lg( x2 – 25 ).
Потенцируя,
имеем: х + 5 = х2 – 25 или х2 – х – 30 = 0, откуда х1
= 6, х2 = - 5. Но .
Ответ: 6.
3.
Способ введения новой переменной.
Пример 3. Решим уравнение :
Решение. Пусть log2 х = у, тогда
вместо исходного уравнения получим: у2 – у – 2 = 0.
Решив полученное квадратное уравнение,
имеем: у1 = 2, у2 = - 1.
Теперь найдем искомые значения х:
log2 х = 2, х1 = 4; log2 х = -1, х2
= .
ОДЗ: х >
0. Оба найденные значения х принадлежат ОДЗ. Ответ:
4; .
4.
Способ почленного логарифмирования.
Пример 4. Решим уравнение:
Решение.
Перепишем это уравнение в следующем виде: или
Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по
основанию 2:
. Применяем
свойства логарифмов:
Решаем это уравнение способом введения новой переменной.
Получаем:
1) log2 х = 3, х1
= 8; 2) log2 х = -1, х2 = .
Выполняем проверку:
1)
2) Ответ:
8; .
5.
В практике встречаются логарифмические уравнения,
содержащие логарифмы с разными
основаниями. В таких случаях применяется формула
перехода к новому основанию:
Пример 5. Решим уравнение:
Решение. ОДЗ:
Используем формулу перехода к новому основанию: тогда данное
уравнение имеет вид: или
Тогда: откуда получаем, что х = 2.
Ответ:
2.
6.
Показательно-логарифмические уравнения.
Чаще всего такие
уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения и
приведением к логарифмическим уравнениям.
Пример 6. Решим уравнение:
Решение. Перепишем
это уравнение в виде: Воспользуемся
основным логарифмическим тождеством , имеем:
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: Тогда
откуда: и или х1 = и х2 = 9.
Проверка:
Ответ:
При решении систем логарифмических уравнений в основном
применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений (
способы подстановки, алгебраического сложения, введения новых переменных и
др.)
Пример 6. Решим систему уравнений:
Решение. Для
первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе
уравнение
потенцируем:
Введем новые переменные:
получим систему рациональных уравнений:
Решаем систему методом подстановки, получаем: а
= 5 и b = 6. Тогда:
или х = 25 и у = 36.
Проверка:
Вывод: пара чисел (25;36) действительно является
решением системы.
Ответ: (25;36).
Дидактический материал
- Решите логарифмические уравнения:
- Решите системы логарифмических уравнений:
Логарифмические неравенства
Справочные сведения
Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим неравенством.
Всякое
значение переменной , при котором данное логарифмическое неравенство обращается
в
верное числовое неравенство, называется решением
логарифмического неравенства.
Решить логарифмическое неравенство – значит найти все
его решения или доказать, что их нет.
Решение логарифмических неравенств в основном сводится к
решению неравенств вида
или
Для решения таких неравенств, учитывая область определения
логарифмической функции и ее свойства, применяют следующие утверждения:
1) при а > 1 неравенство равносильно системе неравенств:
(1)
2) при 0 < а < 1 1 неравенство равносильно системе неравенств:
(2)
Примеры с решениями
Пример 1. Решим
неравенство
Решение. Преобразуем правую часть
неравенства: Здесь а =
, поэтому
используем систему неравенств вида (2): или
Решением последней системы будет промежуток Ответ:
Пример 2. Решим
неравенство
Решение.
Используем свойства логарифмов:
В
полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему
неравенств вида (1):
отсюда:
Изображая решение каждого неравенства
системы по отдельности на координатной прямой, находим
общую часть – промежуток Ответ:
Дидактический материал
- Решите логарифмические неравенства:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.