Главная / Математика / Опорный конспект по теме: "Логарифмы"

Опорный конспект по теме: "Логарифмы"

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов


Справочные сведения

Логарифмом положительного числа b по основанию а ( записывают loga b), где а > 0, a hello_html_3750bfcb.gif1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Равенство hello_html_m7558c587.gif, где а > 0, a hello_html_3750bfcb.gif1, b > 0, называют основным логарифмическим тождеством.

x = logab – корень уравнения ax = b, где а > 0, a hello_html_3750bfcb.gif1, b > 0.

Логарифм числа по основанию 10 называется десятичным логарифмом: log10 b = lg b.

Логарифм числа по основанию е называется натуральным логарифмом: logе b = ln b.




hello_html_a440a2.gif

hello_html_m5c98907d.gif


hello_html_4499723.gif


Примеры с решениями


  1. Вычислить: 1) hello_html_m66d7e7f4.gif 2) hello_html_m6fd5a3fa.gif 3) hello_html_m88181e1.gif

Решение. 1) hello_html_361282aa.gif, так как 34 = 81.

2) Пусть hello_html_467ccf09.gif. Тогда по определению логарифма hello_html_474d370b.gif, или hello_html_m73179e80.gif, откуда hello_html_m6e6d0571.gif,hello_html_m12dc1267.gif.

3) Пусть hello_html_37690867.gif. Тогда по определению логарифма hello_html_m5acc0798.gif, откуда hello_html_514b2674.gif, hello_html_4919f979.gif, hello_html_m39b616e3.gif, hello_html_m39cfdf1d.gif.

  1. Найти: 1) hello_html_4be86753.gif 2) hello_html_m684d5afa.gif 3) hello_html_167e9499.gif

Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) hello_html_3c91ecc1.gif 2) hello_html_4b3667d8.gif

3) hello_html_7a3b6a02.gif


3. Вычислить:

1) hello_html_50dfa580.gif 2) hello_html_711596f8.gif 3) hello_html_m30df7cb5.gif

Решение.

1) hello_html_m309f38cb.gif

2) hello_html_4c20352f.gif

3) hello_html_4b816923.gif


Дидактический материал

  1. Вычислить:

  1. hello_html_m6797c163.gif2) hello_html_m7f0b16b2.gif 3) hello_html_4cbd1e52.gif

  1. hello_html_501c75fa.gif5) hello_html_m537c0a88.gif 6) hello_html_a98ea56.gif

Ответы: - 4; 4; -3; - 2; 2; 0.

  1. Вычислите десятичные логарифмы:

  1. hello_html_m400e49c9.gif2) hello_html_m37046ae0.gif 3) hello_html_479b131c.gif 4) hello_html_m34604257.gif.

Ответы: - 4; - 1; ½; 4.

  1. Вычислите натуральные логарифмы:

  1. hello_html_6e7a3ba1.gif2) hello_html_6d8dc340.gif 3) hello_html_55da9892.gif 4) hello_html_259d86c9.gif

Ответы: hello_html_226e669.gif

  1. Вычислите:

  1. hello_html_432f1661.gif2) hello_html_7a993d1b.gif

Ответы: - 2; 2.

  1. Найдите значения выражений:

  1. hello_html_m3daa823e.gif2) hello_html_377e3b23.gif

3) hello_html_m3e08987e.gif 4) hello_html_m56ee18d8.gif

Ответы: hello_html_c3a2fd8.gif


Логарифмические уравнения и их системы

Справочные сведения

Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение

logax = b, (1)

где a и b – данные числа, а х – переменная величина.

Если а > 0 и hello_html_36f5e451.gif, то такое уравнение имеет единственный корень x = ab.

Решение более сложных логарифмических уравнений сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1).

Способы решения логарифмических уравнений

  1. Способ непосредственного применения определения логарифма.

Пример 1. Решим уравнение logx( х3 – 5х + 10 ) = 3.

Решение. По определению логарифма можно написать: х3 – 5х + 10 = х3, откуда: х = 2.

Проверка: log2(23 - 5hello_html_102990ec.gif2 + 10) = log28 = 3. Ответ: 2.

Известно, что областью определения логарифмической функции является множество положительных действительных чисел. Поэтому часто при решении логарифмических уравнений вначале определяется

область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем решается данное уравнение и найденные значе-ния переменной проверяются на принадлежность ОДЗ.

  1. Способ приведения уравнения к виду logaf(x) = logag(x) c последующим применением потенцирования.

Пример 2. Решим уравнение: lg( x + 5) – lg( x2 – 25 ) = 0.

Решение. Найдем ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

hello_html_m6f68243a.gifОтсюда имеем: hello_html_4d843515.gif.

Преобразуем данное уравнение: lg( x + 5) = lg( x2 – 25 ).

Потенцируя, имеем: х + 5 = х2 – 25 или х2 – х – 30 = 0, откуда х1 = 6, х2 = - 5. Но hello_html_m5baf05c1.gif.

Ответ: 6.

  1. Способ введения новой переменной.

Пример 3. Решим уравнение :hello_html_3beae45c.gif

Решение. Пусть log2 х = у, тогда вместо исходного уравнения получим: у2 – у – 2 = 0.

Решив полученное квадратное уравнение, имеем: у1 = 2, у2 = - 1.

Теперь найдем искомые значения х:

log2 х = 2, х1 = 4; log2 х = -1, х2 = hello_html_m240329e3.gif .

ОДЗ: х > 0. Оба найденные значения х принадлежат ОДЗ. Ответ: 4; hello_html_m240329e3.gif.

  1. Способ почленного логарифмирования.

Пример 4. Решим уравнение: hello_html_m70b2e509.gif

Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде: hello_html_5900ae00.gif или hello_html_358bfa9b.gif

Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по основанию 2:

hello_html_2fb3e1b8.gif. Применяем свойства логарифмов: hello_html_m545d5546.gif

hello_html_m1d65ef.gifhello_html_7e3852bf.gif

Решаем это уравнение способом введения новой переменной. Получаем:

1) log2 х = 3, х1 = 8; 2) log2 х = -1, х2 = hello_html_m240329e3.gif .

Выполняем проверку:

  1. hello_html_2106733d.gif

  2. hello_html_57afc658.gifОтвет: 8; hello_html_7f291647.gif.


  1. В практике встречаются логарифмические уравнения, содержащие логарифмы с разными

основаниями. В таких случаях применяется формула перехода к новому основанию:

hello_html_m26fb29cc.gif

Пример 5. Решим уравнение: hello_html_m550637eb.gif

Решение. ОДЗ: hello_html_m79b1bc3a.gif

Используем формулу перехода к новому основанию: hello_html_58e5cc1a.gif тогда данное

уравнение имеет вид: hello_html_m11d40df6.gif или hello_html_m256ca536.gif

Тогда: hello_html_68eb906a.gifhello_html_6c27203.gif откуда получаем, что х = 2.

hello_html_7eb966f8.gifОтвет: 2.


  1. Показательно-логарифмические уравнения.


Чаще всего такие уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения и приведением к логарифмическим уравнениям.

Пример 6. Решим уравнение: hello_html_m2b699c54.gif

Решение. Перепишем это уравнение в виде: hello_html_44618048.gif Воспользуемся

основным логарифмическим тождеством hello_html_m7558c587.gif, имеем:

hello_html_mf76891d.gifhello_html_2b461c0f.gifhello_html_1e9ed27f.gif

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: hello_html_m7be4d7c.gifТогда

hello_html_m440632f5.gifоткуда: hello_html_m389a742c.gif и hello_html_14338bc.gif или х1 = hello_html_m6e690c6b.gif и х2 = 9.

Проверка:hello_html_m76af7f64.gif

hello_html_58ecf4ac.gifОтвет: hello_html_m14b98119.gif


При решении систем логарифмических уравнений в основном применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений ( способы подстановки, алгебраического сложения, введения новых переменных и др.)


Пример 6. Решим систему уравнений: hello_html_fd542c6.gif

Решение. Для первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе

уравнение потенцируем: hello_html_m2b38c6b1.gif hello_html_med99e13.gif hello_html_m7883622d.gif

Введем новые переменные:

hello_html_74aa5ed7.gifполучим систему рациональных уравнений: hello_html_74129003.gif

Решаем систему методом подстановки, получаем: а = 5 и b = 6. Тогда: hello_html_1a4105f8.gif

или х = 25 и у = 36.

Проверка: hello_html_49e1ba6.gif hello_html_m4199ac8.gif hello_html_m5f6d156c.gif

Вывод: пара чисел (25;36) действительно является решением системы.

Ответ: (25;36).


Дидактический материал

  1. Решите логарифмические уравнения:


hello_html_m4ec299ed.gif


hello_html_m5b3018ce.gif


hello_html_m60ef5a0c.gif


hello_html_m5a33d65d.gif


hello_html_3d6f49a1.gif


hello_html_m794f9574.gif


hello_html_39c4075f.gif


hello_html_777f9615.gif


hello_html_m3fccc93b.gif


hello_html_66f1eefe.gif

  1. Решите системы логарифмических уравнений:


hello_html_131d0a43.gif


hello_html_m65fc900b.gif


hello_html_339326c2.gif


hello_html_5a7b843d.gif



Логарифмические неравенства

Справочные сведения

Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством.

Всякое значение переменной , при котором данное логарифмическое неравенство обращается в

верное числовое неравенство, называется решением логарифмического неравенства.

Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенств вида

hello_html_m37cdf931.gifили hello_html_m2ec193de.gif

Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее свойства, применяют следующие утверждения:

  1. при а > 1 неравенство hello_html_m37cdf931.gif равносильно системе неравенств:

hello_html_m5f58af3d.gif(1)

  1. при 0 < а < 1 1 неравенство hello_html_4671ac73.gif равносильно системе неравенств:

hello_html_m2ea2e93.gif(2)


Примеры с решениями


Пример 1. Решим неравенство hello_html_m2dd66aee.gif

Решение. Преобразуем правую часть неравенства: hello_html_33173012.gif Здесь а = hello_html_m19e8bb17.gif, поэтому

используем систему неравенств вида (2): hello_html_mf17278f.gif или hello_html_2b78fc2d.gif

Решением последней системы будет промежуток hello_html_1ad4cab2.gif Ответ: hello_html_1ad4cab2.gif



Пример 2. Решим неравенство hello_html_7fcef577.gif

Решение. Используем свойства логарифмов: hello_html_m515765c4.gifhello_html_m14fbe841.gif

В полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему неравенств вида (1):

hello_html_1903ec49.gifотсюда: hello_html_m7a66cc4f.gif hello_html_449e9094.gif hello_html_m58b319d6.gif

Изображая решение каждого неравенства системы по отдельности на координатной прямой, находим общую часть – промежуток hello_html_59c844bf.gif Ответ: hello_html_59c844bf.gif





Дидактический материал

  1. Решите логарифмические неравенства:


hello_html_m5fab0a0e.gif


hello_html_m52dc55fe.gif


hello_html_3d778e44.gif


hello_html_6b7c6f43.gif


hello_html_66ce2466.gif


hello_html_10e97f80.gif


hello_html_m6a32f248.gif


hello_html_3f310fe0.gif


hello_html_m84f1120.gif


hello_html_44c126f0.gif















Тест № 1

1.

Вычислите: hello_html_71015cf9.gif


hello_html_m799cb86c.gif

2.

Найти значение выражения: hello_html_1254f04e.gif


hello_html_3659dbf2.gif

3.

Решите уравнение: hello_html_53f1667e.gif


hello_html_434c8f30.gif

4.


Решите неравенство: hello_html_m305214b5.gif


hello_html_m45623df1.gif

5.

Решить систему уравнений hello_html_m76b57fd6.gif


hello_html_m65ca9600.gif

6.

Решите уравнение: hello_html_m6a553863.gif


hello_html_md54ccbd.gif

7.

Найдите произведение корней уравнения hello_html_m6c9d3658.gif


hello_html_613bdd76.gif

8.

Решите неравенство: hello_html_m16c0c47f.gif


hello_html_b0347e8.gif



9.

Решите неравенство: hello_html_47e9bd62.gif


hello_html_17be126.gif

10.

Решить систему уравнений: hello_html_md1bb287.gif


hello_html_m5abdb33f.gif




Тест № 2

1.

Вычислите : hello_html_21a235f2.gif


hello_html_m3a0b8f20.gif

2.

Используя определение и свойства логарифмов, найдите значение выражения:

hello_html_5e54c9bb.gif


hello_html_m1e45d0b2.gif

3.

Решите уравнение: hello_html_m5000909b.gif


hello_html_4563d948.gif

4.

Решить неравенство: hello_html_73d97ae9.gif


hello_html_m4644ef90.gif

5.

Решить систему уравнений hello_html_m2eb1ec2e.gif



hello_html_57689337.gif


6.

Решите уравнение: hello_html_m720afc9e.gif


hello_html_176726a3.gif

7.

Найдите произведение корней уравнения: hello_html_794666a.gif


hello_html_1c19ec36.gif

8.

Решите неравенство: hello_html_131d4667.gif


hello_html_75b79d07.gif

9.

Решите неравенство: hello_html_739ad47.gif


hello_html_2eea016a.gif

10.

Решить систему уравнений hello_html_c5d8815.gif


hello_html_m6f6e7cd5.gif






Тест № 3*

1.

Найти значение выражения: hello_html_m4f3658a5.gif


hello_html_595ed9b2.gif

2.

Чему равно выражение: hello_html_m5e00083a.gif


hello_html_m74b854f5.gif

3.

Решите уравнение: hello_html_m3ab3c7f8.gif


hello_html_accc636.gif

4.

Решите уравнение: hello_html_48b05d5.gif


hello_html_m4ca463d.gif

5.

Решить систему неравенств: hello_html_m21ca4a88.gif


hello_html_49cdc1c8.gif

6.

Найдите hello_html_6c50f8f.gif где х – это корень уравнения hello_html_160cdce3.gif


hello_html_5712f73f.gif

7.

Вычислите: hello_html_1db9e460.gif


hello_html_3d8c4a01.gif

8.

Решите уравнение: hello_html_m229452cc.gif


hello_html_m6ec113d.gif

9.

Решите неравенство: hello_html_33a04aae.gif


hello_html_m204d3664.gif

10.

Решить систему неравенств: hello_html_m15ed539f.gif


hello_html_m164322e7.gif



Код правильных ответов по теме «Логарифмы»

вопроса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест № 1

C

E

D

E

B

C

E

D

C

B

Тест № 2

D

E

C

D

A

C

C

E

D

D

Тест № 3*

C

A

A

E

E

E

A

A

E

E









Опорный конспект по теме: "Логарифмы"
  • Математика
Описание:

 

Опорнй конспект по теме: "Логарифмы" предназначен для учителей математики для подготовки учащихся к единому национальному тестированию. Учащиеся могут самостоятельно без помощи учителя повторять , систематизировать знания и умения по данной теме, проверять их при работе с тестами.

Материал предназначен для учащихся 10 - 11 классов.

Материалы, включенные в конспект разбиты на темы соответствующей программы. Материал помогает систематизировать имеющие знания или ликвидировать пробелы в них.

Внутри каждой темы представлены почти все типы задач, формирующие основные умения и навыки в соответствии с государственными стандартами образования (задачи на отработку знаний формул, качественные задачи). Задачи сгруппированы тематически и очередность их решения выстроена в следующем алгоритме: от простого к сложному. Из предложенных задач, можно подобрать задачи с увеличением сложности.

Каждая тема в конспекте состоит из четырех частей: справочный материал, упражнения с решениями разной степени сложности, дидактический материал, тесты для проверки знаний в двух вариантах.

Этот материал поможет учителям математики при планировании и организации учебного процесса с использованием инновационных педагогических технологий: технология полного усвоения знаний, технология уровневой дифференциации, технология адаптивной системы обучения, и технологии индивидуализированного способа обучения.

 

Такие конспекты помогут активизировать систему работы учителя и самостоятельную деятельность учащихся при подготовке к ЕНТ.

Автор Аятова Гульбагыш Каирбаевна
Дата добавления 19.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 2165
Номер материала 56679
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓