Обобщающий урок по теме "Производная"

Ход урока

1.                Организационный момент

__ Здравствуйте, я рада вас приветствовать на обобщающем  уроке-решении задач, эпиграфом к которому мы посвятили слова Гете: «Недостаточно только

получить знания: надо найти им приложение» (слайд 1)

__ В течение урока вы будете работать по группам, зарабатывая баллы, для чего  на каждом столе есть диагностическая карта и указаны критерии оценивания. При этом оценки в журнал будут  выставлены индивидуально, учитывая вклад каждого в общую работу.

2.                Активизация мыслительной деятельности

__ Тема нашего урока состоит их двух слов. Чтобы отгадать первое, я дам вам подсказки: (слайд 2)

v Учреждение, занимающееся собиранием, изучением, хранением и экспонированием предметов, памятников естественной истории, материальной и духовной культуры, а также просветительской и популяризаторской деятельностью.

v Бывает исторический, литературный, краеведческий, изобразительных искусств.

__ Правильно, первое слово темы урока – музей. Чтобы назвать второе, вам необходимо отгадать кроссворд (слайд 3), и, прочтя слово в выделенном столбце вы узнаете, в какой музей мы сегодня попали. В конвертах под номером 1 находятся сетки кроссвордов, а также небольшие исторические заметки, с помощью которых вы сможете выполнить задание. Время выполнения – до первой справившейся с заданием группы. За каждое правильно угаданное слово – 1 балл (на слайде 4 портреты ученых)

Кроссворд

1.     Наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения.

2.     Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа.

3.     Выдающийся английский физик, один из основоположников учения о производной.

4.     Раздел физики, для решения задач которого просто необходима производная.

5.     Одна из основных характеристик движения.

6.     Французский математик, давший строгое построение дифференциального исчисления.

7.     Один из параметров, необходимый для вычисления расстояния, пройденного телом.

Исторические заметки

1.     Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой.

2.     В своих трудах Исаак Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной. «Метод флюкций» - так Ньютон назвал свою работу, посвященную основным понятиям математического анализа. Функцию Ньютон назвал флюентой, а производную – флюкцией. Обозначения Ньютона для производных -   х^• (с точкой) и у^• - сохранились в физике до сих пор.

3.     Немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал производную независимо от Ньютона, но в одно время с ним. Он рассматривал исчисление бесконечно малых (стремящихся к нулю). Лейбниц ввел основные понятия, операции и символы. Первая опубликованная им статья на эту тему (1684г.) называлась: «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». С этого момента начинается официальная история математического анализа.

4.     Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в.

5.     С помощью производной  математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

6.     Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначения для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники

(проверка: слайд 5  преподаватель зачитывает вопрос, кто-то из студентов дает ответ, который появляется на слайде)

__ Посчитайте набранное количество баллов и запишите в диагностическую карточку под №1.

__ А что обозначает флюксия?

__ Итак, тема нашего урока -  МУЗЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ (слайд 6). Но музей необычный, чтобы посмотреть экспонат или получить информацию о нем, вам придется выполнять различные задания. Кроме того, наша экскурсия посвящена применению производной в физике и геометрии. А значит цель нашего урока – закрепить и обобщить пройденный  материал по теме «Производная» и подготовиться к контрольной работе.

3.                Повторение.

__ А перед вами первый экспонат музея – дневник ученого XVII века (слайд 7). Именно тогда внимание математиков начала привлекать задача о проведении касательных (а касательная напрямую связана с производной). Рене Декарт (слайд 8), Иоганн Гудде (слайд 9), Жиль Роберваль (слайд 10), Галилео Галилей (слайд 11), Исаак Барроу (слайд 12) – вот неполный список тех, кто стоял у истоков дифференциального исчисления.

__ Чей дневник – неизвестно (слайд 13). Но так как это раннее учение о производной, то в некоторых формулах допущены ошибки. А ваша задача – исправить их.

__ У вас на столах карточки с формулами и свойствами производной. Ваша задача – найти и исправить ошибки. Исправления производите прямо в карточке. За каждую верно исправленную ошибку – 1 балл. Время на решение – 3 минуты.

Карточка с заданием

Проверка: На доске формулы, по 1 человеку от каждой группы исправляют ошибки в двух формулах

__ Посчитайте количество баллов и запишите его в диагностическую карточку под №2.

4.                Решение задач

__ Следующий экспонат – шкатулка с секретом, а чтобы открыть её, вам нужно решить задачу, ответ которой является кодом к замку. (слайд 15)

Две материальные  точки  движутся  прямолинейно  по  законам 

В какой  момент  времени скорости их  равны?

__  Ваши предложения по решению задачи?

__ Если известна функция пути, как найти функцию скорости?

__ Как найти момент времени, при котором значения функций скорости будут равны?

__ Мы обсудили решение, оформите его самостоятельно на листах для решения. Время – 3 минуты. Затем обсудите решение в группе. После чего мы вместе проверим правильность решения задачи. (слайд 16)

Проверка: Обсуждается решение пошагово, каждый шаг появляется на слайде

__ За каждый правильно решенный этап – 1 балл, итого – 3 балла. Посчитайте количество баллов и запишите его в диагностическую карточку под №3.

__ Кодовое число 2. Шкатулка открыта а в ней…(слайд    )

__  Достаточный признак возрастания функции: Если  в каждой точке интервала , то функция  возрастает на интервале .

Достаточный признак убывания функции: Если  в каждой точке интервала , то функция  убывает на интервале.

Следующий экспонат состоит из двух - достаточного  признака возрастания и убываний функций.

__ Чтобы с ним познакомиться поближе, вам необходимо выполнить еще одно задание ()  (слайд     )

Задача 2. Какие из заданных на промежутке (a , b ) функций,

обладают указанными свойствами?

а) Функция убывает на (а;в);

б) в каждой точке (а;в) можно провести касательную;

в) в каждой точке (а;в) f ’(х)≤0;

г) в каждой точке (а;в) касательная наклонена под тупым углом;

д) существует конечное число точек на (а;в), в которых f ’(х)=0;

е) существует конечное число точек на (а;в), в которых f ’(х) не существует.

__ Вы решаете задачу всей группой (на решение – 4 минуты), затем обмениваетесь решениями с соседней группой, которая проверяет ваше решение и ставит заработанное количество баллов . За каждый правильно решенный этап – 1 балл, итого – 6 баллов. Посчитайте количество баллов, отдайте решения обратно и сделайте запись в диагностической карте под № 4.

__ Переходим к следующему экспонату под названием « Загадочные стрелки». (задача 3)(слайд     )

Построить эскиз графика функции, зная, что

Время выполнения 4 минуты.

Проверка (слайды 26-28)добным образом можно объяснить связь других физических величин с производной): За каждое правильно примененное условие-1 балл. Максимальное количество баллов- 4. Поставьте набранное количество баллов в диагностическую карту под номером 5.

Следующий экспонат музея- лото.

Для того, чтобы познакомиться с ним поближе, необходимо установить соответствие между характеристикой  функции и ее графиком.

Ответ записать в форме: 1-к,  2-м…

Вариант 1

1.		с
2.		а
3.		и
4.		л

Вариант 2

1.		м
2.		е
3.		у
4.		в

Проверка (слайды         )добным образом можно объяснить связь других физических величин с производной): За каждый правильный ответ-1 балл. Максимальное количество баллов- 4. Поставьте набранное количество баллов в диагностическую карту под номером 6.

5.                Тестирование (книга отзывов)(слайды        )добным образом можно объяснить связь других физических величин с производной)

__ И перед выходом из музея вас ждет книга отзывов (тоже необычная). Ваши отзывы – степень усвоенности полученных знаний. Поэтому в книге отзывов вы оставите свои ответы на задания теста.

__ Вопросы теста – на слайдах и в раздаточном материале, ответы – на листах из книги отзывов.

Выберите верные ответы «да» или «нет»

1. Производная произведения равна произведению производных          да/нет

2. Одним из основоположников дифференциального исчисления является Лейбниц                                                                                                         да/нет

3. Выберите верный ответ

Точка движется по закону . Тогда скорость точки в момент времени t=1 с равна:

А)  5м/с                      Б) 12 м/с                      В) 9 м/с                    Г) 13 м/с

4. Установите соответствие между физической величиной и ее определением:

5. Заполните пропуски

Зависимость пути от времени выражается формулой .Тогда зависимость скорости от времени : V=… (gt)

6.     Классифицируйте формулы, заполнив таблицу

А)         Б)           В)       Г)  

Проверка (слайды        )добным образом можно объяснить связь других физических величин с производной), сумма баллов (правильные ответы на слайдах, за каждый правильный ответ – 1 балл)

__ Теперь сложите заработанные баллы каждым участником группы и поделите на общее количество участников, полученные результат запишите в диагностическую карту

6.                Итог урока (слайд 41)добным образом можно объяснить связь других физических величин с производной)

__  Посчитайте количество заработанных группой баллов, и поставьте оценку, в соответствии с критерием.

__ Заполните карту оценки индивидуального вклада в работу группы. Используя эти данные, а также набранные группой баллы, мы к следующему занятию выставим индивидуальные оценки.

7.                Рефлексия.

__ И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране (слайд 42)добным образом можно объяснить связь других физических величин с производной) представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер. Имеют ли они отношение к теме нашего урока?

__ Производная – это скорость роста функции. Успехи в учебе – это производная роста чего? (знаний)

__ Какой же из графиков соответствует вашему росту знаний, полученных на занятии?

__ Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока

__ Завершая урок, мы надеемся, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки (например, для физики), помогающей нам в покорении вершин других наук. (слайд 43)добным образом можно объяснить связь других физических величин с производной) Прав был Вагнер, когда говорил, что “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются” (слайд).

      Группа №

1.   Наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения.

2.   Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа.

3.   Выдающийся английский физик, один из основоположников учения о производной.

4.   Раздел физики, для решения задач которого просто необходима производная.

5.   Одна из основных характеристик движения.

6.   Французский математик, давший строгое построение дифференциального исчисления.

7.   Один из параметров, необходимый для вычисления расстояния, пройденного телом.

                                                              Лото

Установить соответсвие между характеристикой  функции и ее графиком.

Ответ записать в форме: 1-к,  2-м…

Вариант 1

1.		с
2.		а
3.		и
4.		л

Лото

Установить соответсвие между характеристикой  функции и ее графиком.

Ответ записать в форме: 1-к,  2-м…

Вариант 2

1.		м
2.		е
3.		у
4.		в

Количество правильных ответов: _____                  Количество правильных ответов: _____

Количество правильных ответов: _____                  Количество правильных ответов: _____

Количество правильных ответов: _____                  Количество правильных ответов: _____

Какие из заданных на промежутке (a , b ) функций,

обладают указанными свойствами?

а) Функция убывает на (а;в);

б) в каждой точке (а;в) можно провести касательную;

в) в каждой точке (а;в) f ’(х)≤0;

г) в каждой точке (а;в) касательная наклонена под тупым углом;

д) существует конечное число точек на (а;в), в которых f ’(х)=0;

е) существует конечное число точек на (а;в), в которых f ’(х) не существует.

Тест

1. Производная произведения равна произведению производных          да/нет

2. Одним из основоположников дифференциального исчисления является Лейбниц                                                                                                         да/нет

3. Выберите верный ответ

Точка движется по закону . Тогда скорость точки в момент времени

t=1 с равна:

А)  5м/с                      Б) 12 м/с                      В) 9 м/с                    Г) 13 м/с

4. Установите соответствие между физической величиной и ее определением:

5. Заполните пропуски

Зависимость пути от времени выражается формулой .Тогда зависимость скорости от времени : V=…

6.                   Классифицируйте формулы, заполнив таблицу

А)         Б)           В)       Г)  

Учебно-методическая карта занятия