Нестандартные методы решения задач по математике

Бородич

Ирина Сергеевна

Учебное пособие для учителя по элективному курсу математики для 11 класса (физико – математический профиль)

«Нестандартные методы решения задач по математике»

Введение. В современных условиях содержательной модернизации образования возникает континуум проблем, имеющий социально – личностные характеристики и тормозящие позитивные изменения.

Математическое образование в системе среднего общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловно практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

По данным  исследований PIZA в России остается весьма низким уровень математических компетентностей учащихся, хотя мы привыкли гордиться достижениями академической науки.

Важнейшей проблемой сегодняшнего математического образования является дефицит развития формально – операциональных структур интеллекта (логического мышления) и низкая мотивация к теоретической интеллектуальной деятельности у большинства школьников.

С другой стороны, к этому дефициту привели авторитарные методы педагогики, не способствовавшие развитию интеллекта у детей и коллективные методы работы, снижавшие интерес к математической науке.

Поэтому важнейшей стороной сегодняшнего образования становится индивидуализация образовательного процесса при изучении математики и тьюторское сопровождение педагогами развития интеллекта ребенка.

Актуальность. Курс по нестандартным методам решения математических задач актуален, прежде всего, тем, что делает образование более открытым, расширяя интеллектуальные возможности старшеклассников. Во - вторых, данный курс обеспечивает более свободное владение математическим инструментарием в рамках итоговой аттестации. С другой стороны, математика, являясь надпредметной областью знаний, способствует развитию логического мышления, интеллекта в целом и коммуникативных умений, способствующих самореализации личности. Курс актуален и в связи с расширением прикладного применения математических исчислений в других областях знаний.

Курс поможет учащимся  оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.

Начиная работу по математике с младшими подростками, я в 6-7 классах, в рамках разделения предмета на два раздела, провожу тест анализа математических способностей, дифференцируя полученные результаты для формирования пакетов заданий: учащимся с низким уровнем креативности – развивающие пакеты, со средним уровнем креативности – задания повышенной сложности, с высоким уровнем – творческие задания. Оценивая эффект мероприятий, я повторяю это тестирование в 8-9 и 10-11 классах. Результат показал, что такая дифференцировка способствует более интенсивному и гармоничному развитию обучающихся.

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Курс «Нестандартные методы решения задач по математике» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в общий курс  математики средней школы, но необходимы при дальнейшем ее изучении, при итоговой аттестации в форме ЕГЭ. Появление задач, решаемых нестандартными методами, на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, способами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащихся и их математической культуры.

Решению задач такого типа в школьной программе  не уделяется должного внимания, большинство учащихся (не физико-математических профильных групп) либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы задач по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для учащихся 11 классов физико – математического профиля.

Многообразие нестандартных задач охватывает весь курс школьной математики, поэтому владение приемами  их решения можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Изучение нестандартных методов решения математических задач дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, подготовиться для дальнейшего изучения математики, научиться решать разнообразные задачи различной сложности.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ и экзаменов при поступлении в ВУЗы.

Новизна. Курс является инновационным, так как способствует более глубокому освоению математической науки в старших классах, как в профильных группах, так и на базовом уровне. Новизной является построение курса по методам решения математических задач и способам реализации математических знаний. Курс является своего рода тренажером при подготовке к итоговой аттестации и профессиональном выборе математических специальностей.

Обзор литературы. Данный курс предназначена для учащихся 11 класса физико-математического профиля. Содержание учебного материала соответствует целям и задачам профильного обучения. В начале курса обучения по элективному курсу была проведена диагностика математической креативности. Методологически, опираюсь в теоретической части на работы В. П. Супруна  «Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач по математике» [10] и  Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: [6].

Основная цель курса:

Создание условий для развития логического мышления, математической культуры и интуиции учащихся посредством решения задач повышенной сложности нетрадиционными методами;

Задачи курса:        

·        формировать у учащихся компетентности по решению нестандартных задач;

·        изучение курса предполагает формирование у учащихся интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ и к дальнейшему обучению в ВУЗе;

·        развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся;

·        создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

·        развивать умение самостоятельно приобретать и применять знания.

Общими принципами отбора содержания курса являются:

1.     Системность

2.     Целостность

3.     Научность.

4.     Доступность, согласно психологическим и возрастным особенностям учащихся профильных классов.

Курс содержит материал необходимый для достижения запланированных целей. Данный курс является источником, который расширяет и углубляет обучение, обеспечивает интеграцию необходимой информации для формирования математического мышления, логики и изучения смежных дисциплин.

Место данного курса определяется необходимостью подготовки к профессиональной деятельности, учитывает интересы и профессиональные склонности старшеклассников, что позволяет получить более высокий конечный результат.

Концепция курса.

При изучении курса математики старшей школы на базовом уровне продолжается изучение разделов: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей», вводится линия «Начала математического анализа».

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

·        построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

·        выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

·        самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

·        проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;

·        самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

В профильном курсе содержание образования развивается в следующих направлениях:

·        систематизация сведений о числе; формирование представлений  числовых множеств, как способе построения нового математического аппарата необходимого для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений;

·        развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем;

·        систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;

·        развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире;

·        совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;

·        формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

·        в ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

·        проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

·        решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

·        планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

·        построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

·        самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

В российских школах начинается поэтапный переход на федеральные государственные образовательные стандарты второго поколения общего образования (далее – ФГОС), основной миссией которых является повышение качества образования. Особенностью 2011/2012 учебного года является введение ФГОС начального общего образования в начальной школе и последовательная подготовка к введению ФГОС основного общего образования. Поэтому уже сейчас необходимо понять его теоретико-методологическую основу, структуру и содержание.

ФГОС будет обеспечен гарантиями государства относительно того, что образовательные результаты будут достигаться в условиях определенной информационно-образовательной среды, которую составляют: педагогические кадры, материально-техническое, финансово-экономическое, информационное обеспечение.

Хотя содержание математического образования представлено в виде традиционных содержательных разделов: «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия», «Математический анализ», «Вероятность и статистика», вместе с тем предполагается знакомство с историей математики и овладение следующими общематематическими понятиями и методами:

·        определения и начальные (неопределяемые) понятия, доказательства, аксиомы и теоремы, гипотезы и опровержения, контрпример, типичные ошибки в рассуждениях;

·        прямая и обратная теорема, существование и единственность объекта, необходимое и достаточное условие верности утверждения, доказательство от противного, метод математической индукции;

·        математическая модель, математика и задачи физики, химии, биологии, экономики, географии, лингвистики, социологии и пр.

Исходя из вышепредставленных позиций, нестандартные методы решения задач по математике являются инструментом формирования, как математического мышления, так и математических компетентностей, т.е. готовности применять нестандартные методы в решении теоретических и прикладных математических исчислений.

При этом математические модели тех или иных процессов природы и технологии требуют математической обработки, не всегда традиционными способами.

Такие подходы к применению и использованию математики способствуют формированию через личностные, регулятивные и коммуникативные действия личностных (самосовершенствование и самоуважение), метапредметных (формирование целей, задач, процессов их решения) и предметных результатов.

Нестандартные подходы к освоению математики, как надпредметной области делает образование открытым, а образовательную среду развивающей.

Темы реферативных, исследовательских и проектных работ:

1.     История математики

2.     Математики эпохи возрождения

3.     Число как основное понятие математики

4.     Чтение и запись натуральных чисел

5.     Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность

6.     Математическая интуиция

7.     Числа, которые преобразили мир

8.     Бернулли

9.     Иррациональные уравнения

10. Применение графиков в решении уравнений

Курс предназначен для учащихся  11 физико-математических класса.

Объем часов – 33 часа (по 1 часу в неделю).

Курс разделен на модули, по три часа каждый, объединённых темой решения задач.

Учебно-тематический план

Содержание курса

Введение:  1 час (1  – теоретический)

Значение  математики как науки и в жизни человека. Прикладное значение. Красота нестандартных способов решения задач. Распределение тем проектных, исследовательских и реферативных работ.

1.Метод функциональной подстановки: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Метод функциональной подстановки. Новая переменная , её  применение. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Уравнения вида  х²+(ах)²²=с. Возвратные уравнения.  Ряд других уравнений, решение которых требует введения  новой переменной.

2.Метод тригонометрической подстановки:  3 часа (1час – семинар;  2 часа – тренинг)

Метод тригонометрической подстановки.  Замена неизвестной переменной  х тригонометрической функцией: х= или х=. Иррациональные уравнения. Рациональные уравнения. Показательные уравнения. Системы уравнений.

3.Методы, основанные на применении численных неравенств:  3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на применении численных неравенств. Неравенство Коши. Неравенство Бернулли. Неравенство Коши-Буняковского.

4.Методы на основе использования монотонности функций:  3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы на основе использования монотонности  функций. Уравнение вида f(x)=g(x). Исследование функций на монотонность.

5.Методы решения функциональных уравнений: 3часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения функциональных уравнений. Уравнения вида f(f(…(f(x))…))=x.  Уравнения вида  f(g(x))=f(h(x)).

6.Методы, основанные на применении векторов: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на применении векторов. Вектор  в трёхмерном пространстве. Длина вектора. Сумма и разность двух векторов. Коллинеарные векторы. Неравенство треугольника.

7.Комбинированные методы: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Комбинированные методы.  Задачи с параметрами.  Иррациональные уравнения.  Логарифмические уравнения.  Уравнения и неравенства, содержащие модуль.  Системы уравнений.  Доказательства неравенств.

8.Методы, основанные на использовании ограниченности функций: 3 часа    (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на использовании ограниченности функций. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. Функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью.

9.Методы решения симметрических систем уравнений: 3 часа (1 час –семинар;  2 часа – тренинг)

Методы решения симметрических систем уравнений. Системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей.

10.Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа: 3часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения уравнений, содержащих целые и дробные части числа. Целая часть действительного числа. Дробная часть действительного числа.

11.Итоговое занятие: 2часа (Урок – конференция (защита проектных, исследовательских и реферативных работ))

Реализация формирования универсальных учебных действий в рамках внедрения ФГОС II поколения к профильному уровню старшей школы

Дидактическое обеспечение

Курс носит характер углубления изучения математики в профильных группах и в рамках подготовки к конкурсам и олимпиадам. Курс предполагает дополнительный разбор наиболее сложных методик решения математических задач и уравнений. При этом в основе курса лежат, в основном две формы деятельности: семинары и тренинги. На семинарах, имеющих характер тьюториалов,  рассматриваются теоретические аспекты математической науки. Целью изучения является освоение нестандартных методов решения сложных математических задач. При этом, в связи со сложностью и неоднозначностью методов, у обучающихся в тренинговом режиме вырабатывается логическое мышление и математические компетентности. 

Занятия выстраиваются с активным участием обучающихся, которые: отслеживают пути решения, формируют критическое мышление и адекватную оценку и самооценку.  При этом формируются все универсальные учебные действия и как следствие, ключевые образовательные компетентности:

·       аналитико - деятельностная,

·       прогностическая,

·       информационная,

·       коммуникативная

·       рефлексивная.

Все занятия строятся по плану, выработанному мною в процессе практики

·       при знакомстве с новыми способами решения - работа учителя с демонстрацией примеров;

·       при совершенствовании;

·       тренинговые занятия;

·       индивидуальная работа;

·       анализ готовых решений;

·       самостоятельная работа с тестами;

На занятиях используются различные формы и методы работы с учащимися:

Семинары, мини – лекции, круглые столы, мастер – классы, тренинги, работа индивидуальная и в малых группах.

Методы преподавания определяются целями курса, направленными на формирование математических способностей учащихся и основных компетентностей в предмете.

В тематическом планировании выделяется практическая часть, которая реализуется на знаниях учащихся, полученных в ходе курса теоретической подготовки.

По окончанию каждого раздела предполагается промежуточный контроль в форме обучающих тестов  и других активных методов.

Результативность курса определяется в ходе итогового урока-конференции, выстроенного на защите поисково-исследовательских, проектных и реферативных  работ.

Материал курса построен с учётом использования активных методов обучения, а рациональное распределение разделов программы позволит получить качественные знания и достичь запланированных результатов. Курс обеспечивается необходимым для её реализации учебно-методическим комплексом.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.

Используемые технологии: технология развития критического мышления, проблемная технология, технологию решения исследовательских задач (ТРИЗ), информационно - коммуникативную технология.

Литература для учителя:   

1.     Азаров А. И. Математика для старшеклассников: Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач /А. И. Азаров, С. А. Барвенов.- Мн.: Аверсэв, 2004.

2.     Епифанова Т. Н. Отыскание экстремальных значений функций  различными

3.     способами / Т. Н. Епифанова  Математика в школе. – №4. –      2000.

4.     Мухаметзянова Ф.С.  методист кафедры физико-математического образования УИПКПРО, Заслуженный учитель РФ  Особенности преподавания учебного предмета «Математика» в 2011-2012 учебном году. (24.02.2009).

5.     Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

6.     Потапов, М. К. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений / М. К. Потапов, А. В. Шевкин / Математика в школе. – №3. – 2005.

7.     Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения

(основная школа) Автор – составитель  Е. С. Савинов (научные руководители: член-

корреспондент РАО А. М. Кондаков, академик РАО Л. П. Кезина)

8.     В. П. Супрун.  Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности. – Мн.: «Аверсэв», 2002.

Литература для обучающихся:

1.     Супрун  В. П. Нестандартные методы решения задач по математике / Супрун В. П. – Мн.: Полымя , 2000.

2.     Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006

3.     Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006