Главная / Математика / Некоторые следствия из теоремы Пифагора

Некоторые следствия из теоремы Пифагора


Cледствия из теоремы Пифагора.

Пусть в треугольнике ABC проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD². Другими словами, справедлива теорема:


Теорема 1. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону.


hello_html_m4c0662c0.png


Доказательство:


В треугольнике ACD (hello_html_7707454f.gifD = 90°) АС² = AD² + СD² (1).

В треугольнике BCD (hello_html_7707454f.gifD = 90°) BC² = BD² + CD² (2).

Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим:

AC² - BC² = AD² - BD².



Задача 1. На прямой даны две точки А и В. Через точку В проведен перпендикуляр ВС к прямой АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку АС пересекает прямую АВ в точке D.

  1. Докажите, что треугольник ADC – равнобедренный.

  2. Выразите высоту ВС в треугольнике ADC через длины отрезков AD и BD.

hello_html_m39c46ca1.png

Рис. 1 Рис. 2


Решение:

  1. Применим теорему 1 для треугольника ACD.

AD² - CD² = AE² - CE² (1).

Но так как по условию АЕ = СЕ, то правая часть равенства (1) есть 0,

тогда AD² = CD², откуда AD = CD, т. е. треугольник ADC

равнобедренный.

  1. В прямоугольном треугольнике BCD BC² = CD² - BD², но CD = AD, поэтому BC² = AD² - BD², отсюда ВС = hello_html_3062ce8a.gif.


Задача решена.


Задача 2. На прямой даны точки А и В. Постройте на этой прямой точку D

так, чтобы разность квадратов ее расстояний до точек А и В была равна квадрату длины данного отрезка k.

Решение.


(Для решения этой задачи используем результат решения задачи 1).


  1. Проведем прямую ВС перпендикулярно прямой АВ и отложим на ней

отрезок ВС = k.

hello_html_2c2f4930.png

Рис.3 Рис.4


  1. Пусть Е – середина отрезка АС. Проведем EDhello_html_m3369453f.gifАС, где D – точка

пересечения АВ и ЕD.

Построенная таким образом точка D удовлетворяет условию задачи и является единственной.


Результат решения этой задачи на построение дает возможность

сформулировать важную теорему:


Теорема 2. Для любого отрезка длины k на прямой АВ существует единственная точка, разность квадратов расстояний от которой до точек А и В равна k 2 .


И теперь можно сформулировать теорему, обратную теореме 1.

Теорема 3. Если в треугольнике АВС на стороне АВ или ее продолжении

дана точка D, такая, что CВ² - CА² = DВ² - DА², то CD

высота.

(Доказательство этого факта опирается на теорему 2)


Таким образом, все предыдущие рассуждения подсказывают, что существует зависимость между перпендикулярностью отрезков и их длинами. А так как отрезки лежат на прямых, то возможно сформулировать условие перпендикулярности прямых.

Теорема 3 позволяет выразить условие перпендикулярности двух прямых в форме равенства разностей квадратов отрезков, концы которых принадлежат данным прямым.


Теорема 4. Если две прямые АВ и CD перпендикулярны, то имеет место

равенство: СА² - СВ² = DA² - DB².


С

hello_html_m6b35a26f.gif

Верно и обратное утверждение:


Теорема 5. Если даны две прямые AB и CD и имеет место равенство

CA² - CB² = DA² - DB², то эти прямые перпендикулярны.


Используя полученные соотношения, решим следующие задачи:


Задача 3. Докажите, что если точка М принадлежит хорде АВ окружности с центром О и радиусом R, то произведение отрезков АМ и МВ равно R2 – ОМ2.


hello_html_m524d39b8.png


Решение.


В треугольнике АОМ проведем высоту ОD и применим теорему 1.

OА² - OM² = DА² - DM². АО = R, поэтому

R² - OM² = (AD – DM)(AD + DM).

Т. к. треугольник АОВ - равнобедренный, то AD = BD

и тогда R² - OM² = (ВDDM)(AD + DM) или

R² - OM² = MBAM, что требовалось доказать.



Задача 4. Докажите, что если из точки М, лежащей вне окружности с

центром О и радиусом R, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то произведение отрезков АМ и МВ равно ОМ2R2.



hello_html_65e8347a.png

Решение.


Проведем ОС hello_html_m3369453f.gif МВ и применим к hello_html_2e85d6ba.gifВОМ теорему 1:

OM² - R² = МС² - ВС²,

OM² - R² = (МСВС)(МС + ВС).

Так как МС – ВС = МС – АС = АМ, а МС + ВС = ВМ, то

OM² - R² = АMMВ.

Задача решена.


Задачи 3 и 4 позволяют доказать известные в планиметрии теоремы об отрезках хорд и секущих:

Теорема 6. Если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке М, то

АМ ∙ ВМ = СМ ∙ DM.

hello_html_2a3e42d0.png


Доказательство.


  1. В ∆АОВ, согласно задаче 3, R² - OM² = АM ∙ ВM.

  2. В ∆СОD, аналогично, R² - OM² = СMDM.

Из этих равенств следует, что АM ∙ ВM = СMDM.



Теорема 7. Если из точки М к окружности проведены две секущие,

пересекающие окружность соответственно в точках А и В,

C и D, то АМ · ВМ = СМ ∙ DM.


hello_html_5e1fe817.png


Доказательство.


  1. В ∆МОВ, согласно задаче 4, OM² - R² = АM ∙ ВM.

2) В ∆МОD, аналогично, OM² - R2 = СMDM.

Из этих равенств следует, что АM ∙ ВM = СMDM.


hello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gif


Некоторые следствия из теоремы Пифагора
  • Математика
Описание:

      Данный материал (подборка задач-следствий из теоремы Пифагора) можно использовать для внеклассной работы на занятиях кружка в 8 классе или на уроке. 

       Пусть в треугольнике ABC  проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD².  Другими словами, справедлива теорема:

      Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности        квадратов их проекций на третью сторону.

Автор Власова Тамара Геннадиевна
Дата добавления 07.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1322
Номер материала 40469
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓