- 03.10.2020
- 601
- 9
Cледствия из теоремы Пифагора.
Пусть в треугольнике ABC проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD². Другими словами, справедлива теорема:
Теорема 1. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону.
Доказательство:
В треугольнике ACD (
D = 90°) АС² = AD² + СD² (1).
В треугольнике BCD (D = 90°) BC² = BD² + CD²
(2).
Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим:
AC² - BC² = AD² - BD².
Задача 1. На прямой даны две точки А и В. Через точку В проведен перпендикуляр ВС к прямой АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку АС пересекает прямую АВ в точке D.
1. Докажите, что треугольник ADC – равнобедренный.
2. Выразите высоту ВС в треугольнике ADC через длины отрезков AD и BD.
Рис. 1 Рис. 2
Решение:
1) Применим теорему 1 для треугольника ACD.
AD² - CD² = AE² - CE² (1).
Но так как по условию АЕ = СЕ, то правая часть равенства (1) есть 0,
тогда AD² = CD², откуда AD = CD, т. е. треугольник ADC –
равнобедренный.
2) В
прямоугольном треугольнике BCD BC² = CD² - BD², но CD = AD, поэтому
BC² = AD² - BD²,
отсюда ВС = 
.
Задача решена.
Задача 2. На прямой даны точки А и В. Постройте на этой прямой точку D
так, чтобы разность квадратов ее расстояний до точек А и В была равна квадрату длины данного отрезка k.
Решение.
(Для решения этой задачи используем результат решения задачи 1).
1) Проведем прямую ВС перпендикулярно прямой АВ и отложим на ней
отрезок ВС = k.
Рис.3 Рис.4
2) Пусть
Е – середина отрезка АС. Проведем ED
АС,
где D –
точка
пересечения АВ и ЕD.
Построенная таким образом точка D удовлетворяет условию задачи и является единственной.
Результат решения этой задачи на построение дает возможность
сформулировать важную теорему:
Теорема 2. Для любого отрезка длины k на прямой АВ существует единственная точка, разность квадратов расстояний от которой до точек А и В равна k 2 .
И теперь можно сформулировать теорему, обратную теореме 1.
Теорема 3. Если в треугольнике АВС на стороне АВ или ее продолжении
дана точка D, такая, что CВ² - CА² = DВ² - DА², то CD –
высота.
(Доказательство этого факта опирается на теорему 2)
Таким образом, все предыдущие рассуждения подсказывают, что существует зависимость между перпендикулярностью отрезков и их длинами. А так как отрезки лежат на прямых, то возможно сформулировать условие перпендикулярности прямых.
Теорема 3 позволяет выразить условие перпендикулярности двух прямых в форме равенства разностей квадратов отрезков, концы которых принадлежат данным прямым.
Теорема 4. Если две прямые АВ и CD перпендикулярны, то имеет место
равенство: СА² - СВ² = DA² - DB².
С
Верно и обратное утверждение:
Теорема 5. Если даны две прямые AB и CD и имеет место равенство
CA² - CB² = DA² - DB², то эти прямые перпендикулярны.
Используя полученные соотношения, решим следующие задачи:
Задача 3. Докажите, что если точка М принадлежит хорде АВ окружности с центром О и радиусом R, то произведение отрезков АМ и МВ равно R2 – ОМ2.
Решение.
В треугольнике АОМ проведем высоту ОD и применим теорему 1.
OА² - OM² = DА² - DM². АО = R, поэтому
R² - OM² = (AD – DM)(AD + DM).
Т. к. треугольник АОВ - равнобедренный, то AD = BD
и тогда R² - OM² = (ВD – DM)(AD + DM) или
R² - OM² = MB ∙ AM, что требовалось доказать.
Задача 4. Докажите, что если из точки М, лежащей вне окружности с
центром О и радиусом R, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то произведение отрезков АМ и МВ равно ОМ2 – R2.
Решение.
Проведем
ОС МВ и применим к 
ВОМ
теорему 1:
OM² - R² = МС² - ВС²,
OM² - R² = (МС – ВС)(МС + ВС).
Так как МС – ВС = МС – АС = АМ, а МС + ВС = ВМ, то
OM² - R² = АM ∙ MВ.
Задача решена.
Задачи 3 и 4 позволяют доказать известные в планиметрии теоремы об отрезках хорд и секущих:
Теорема 6. Если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке М, то
АМ ∙ ВМ = СМ ∙ DM.
Доказательство.
1) В ∆АОВ, согласно задаче 3, R² - OM² = АM ∙ ВM.
2) В ∆СОD, аналогично, R² - OM² = СM ∙ DM.
Из этих равенств следует, что АM ∙ ВM = СM ∙ DM.
Теорема 7. Если из точки М к окружности проведены две секущие,
пересекающие окружность соответственно в точках А и В,
C и D, то АМ · ВМ = СМ ∙ DM.
Доказательство.
1) В ∆МОВ, согласно задаче 4, OM² - R² = АM ∙ ВM.
2) В ∆МОD, аналогично, OM² - R2 = СM ∙ DM.
Из этих равенств следует, что АM ∙ ВM = СM ∙ DM.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данный материал (подборка задач-следствий из теоремы Пифагора) можно использовать для внеклассной работы на занятиях кружка в 8 классе или на уроке.
Пусть в треугольнике ABC проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD². Другими словами, справедлива теорема:
Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону.
6 660 283 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Власова Тамара Геннадиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.