Главная / Математика / научная статья по геометрии "Вокруг окружности"

научная статья по геометрии "Вокруг окружности"

Вокруг окружности


hello_html_592fc5fe.pngНа уроках геометрии в средней школе все мы сталкивались с такой теоремой (рис. 1): произведение длин отрезков, проведенных из точки М в точки пересечения окружности с секущей АА', проходящей через точку М, равно квадрату касательной, проведенной из точки М к этой же окружности МА·МА'=МТ². Будем рассматривать отрезки МА и МА' как направленные и назовем произведением этих отрезков произведение их длин, взятое со знаком «+» или «-» в зависимости от того, направлены эти отрезки одинаково или противоположно. Если одна из точек А или А', совпадает с точкой М, то будем считать произведение отрезков равным нулю.

В высшей математике этому произведению дается определение: произведение направленных отрезков, проведенных из точки М в точки пересечения окружности w с любой секущей, проходящей через точку М, называется степенью точки М относительно окружности w [1, с. 289-299]. Далее в этой статье, используя определение степени точки, я сформулирую новое понятие окружности концентрической к данной и докажу его правильность.

Степень точки это действительное число, а раз так, то относительно окружности w данной степенью будет обладать целое множество точек. Следовательно, есть геометрическое множество точек, которые имеют равные степени относительно данной окружности. Рассмотрим возможные случаи расположения такого геометрического места точек.

1 Случай.

Все точки степени 0. Такие точки лежат на данной окружности. В данном случае возможно допущение, что окружность является концентрической с собой.

2 Случай.

Если точки расположены вне данной окружности, такое геометрическое место точек названо «суммой квадратов» (рис. 2) М1Т1²=М2Т2²=k.

hello_html_594fa8aa.png

Его рассматривают в школьном курсе геометрии [2, с. 165-169].

3 Случай.

Точки имеют отрицательную степень, тогда они лежат внутри данной окружности.

Докажем, что данное геометрическое место будет концентрической окружностью:

Пусть нам дана точка М, окружность w и число k – степень М относительно окружности w.

  • Построим другие точки, имеющие такую же степень относительно окружности w (рис. 3).

hello_html_12bb9ab7.png

  1. Проведем диаметр АА', проходящий через точку М.

  2. Построим диаметр ВВ' перпендикулярный данному.

  3. Рассмотрим симметрию относительно ВВ':

А→А'

М→М', отсюда получаем, что АМ=А'М' и А'М=АМ', причем ОМ=ОМ' (по опр. симметрии).

Таким образом, М' имеет k – степень относительно окружности w.

  1. Проведем хорду PQ, проходящую через точку М.

  2. Построим радиус, перпендикулярный данной хорде. Он разобьет хорду на две равные части (по теореме о свойствах хорд окружности).

  3. Рассмотрим симметрию относительно данного радиуса:

PQ

MN, отсюда получаем, что РМ=QN и МQ=NP.

Таким образом, N имеет k – степень относительно окружности w.

Если рассматривать точку N, то по аналогии с пунктами 1-3, можно получить точку N'.

  • Докажем, что точки M, M', N, N' задают окружность.

Рассмотрим угол MNM', он равен 90° т. к. по построению ОМ=ОМ' и ML=NL, a LO – средняя линия треугольника MNM'. Таким образом, из точки N, имеющей степень равную степени точки М, отрезок ММ', виден под углом 90°. Аналогично, можно показать, что из точки N', имеющей степень равную степени точки М, отрезок ММ', виден под углом 90°. Тогда, по определению окружности 1 – точки M, M', N, N' задают окружность, причем, с диаметром ММ' (из равенства ОМ=ОМ' получим, что О – центр этой окружности), а, значит, эта окружность концентрическая к окружности w.

Покажем, что любая точка, имеющая степень k относительно окружности w, принадлежит данной концентрической окружности; и обратно, любая точка данной концентрической окружности имеет степень k относительно окружности w.

Первая часть следует из построения, поскольку если точка имеет степень k относительно окружности w, то по построению она принадлежит тому же множеству точек что и точка М.

Вторая часть: если точка Е принадлежит данной концентрической окружности, то она задает ее диаметр ЕЕ', причем ЕО=Е'О=МО=М'О, где М имеет степень k относительно окружности w. Тогда Е имеет степень k относительно окружности w.

Все выше сказанное является доказательством понятия: геометрическое место точек, которые имеют равные степени относительно данной окружности – это окружность концентрическая к данной.


Литература


  1. Д.И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии. – часть 1. Геометрия на плоскости. – М. 1948 г.

  2. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М. 1997 г.






1 Окружность – это геометрическое место точек из которых данный отрезок виден под прямым углом.

научная статья по геометрии "Вокруг окружности"
  • Математика
Описание:

  Данная статья не предназначена сугубо для образования. Это скорее научное исследование, которое позволило ввести еще одно понятие для окружности, концентрической к данной.

  Данное исследование проводила я во время написания своей выпускной квалификационной работы  в 2009 году в ГРУ имени С.А. Есенина.

  Ни где ранее результаты своей работы я не публиковала.

  Данное определение "окружности концентрической к данной" было введено и доказано мною, ни в какой другой литературе оно не встречается.

  Изучение данного раздела геометрии возможно на математических секциях или в геометрических кружках.

Автор Конова Елизавета Юрьевна
Дата добавления 29.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 390
Номер материала 16075
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓