Научная работа "Одним росчерком"

Министерство образования Республики Беларусь

Калинковичский районный отдел образования

Государственное учреждение образования

  «Средняя общеобразовательная школа №3 г.Калинковичи»

 

Научно-исследовательская работа

по математике

 

 

ТЕМА:

«ОДНИМ  РОСЧЕРКОМ»

 

 

 

Выполнили учащиеся

                                                              8 «А» класса:

Исаенкова Е.,

Змушко С.,

Капитан А.

 

 

 

Руководитель   Булавко Е.В.

 

 

 

г. Калинковичи  2010 г.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Цель работы и ее задачи . . .  . . . . . . . . . . . . . .  3

 

2. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . .  6

 

3. Описание работы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  8

§ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

             § 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

             § 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

           Заключение . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

                   

4. Выводы . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  29

 

5. Литература . . . . . .  . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . 31

 

 

 

 

 

 

 

 

Цели  и задачи:

 

 

 

-  придумать и построить фигуры, одни из которых     можно изобразить одним росчерком пера, а другие нет;

- выявить закономерность;

- на основе выявленной закономерности решить знаменитую задачу Гамильтона. 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

В ходе исследовательской работы

мы хотим:

 

- научиться нестандартно смотреть на поставленную задачу;

 

- научиться искусству применения математических идей и методов к решению практических и теоретических задач;

 

- научиться применять математические приемы даже к тем вопросам, в которых использование математики поначалу кажется просто невозможным.

 

 

 

 

 

 

4

 

… Умственную самодеятельность, сообразительность и смекалку нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в легкой и приятной форме, на предметах и примерах

обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью.

 

Игнатьев Е.И.  В царстве смекалки

 

 

 

 

 

 

5

Введение

                           Великое искусство научиться многому –                                   это браться      сразу     за немногое.                                                                                                           Д.Локк

     В своей научной работе мы рассмотрим фигуры, которые можно начертить одним росчерком, то есть не отрывая карандаша или ручки от бумаги и не проводя более одного раза по одной и той же линии.

     Например вот такие:

 

6

   Вероятно, не один человек удивится, если узнает, что он не сможет начертить таким способом обыкновенный прямоугольник или квадрат с двумя диагоналями и в то же время легко сможет нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, такую сложную фигуру, как та, которую мы приводим на рисунке.

 

 

 

 

 

     В чем тут дело?  Как отличить такую фигуру от других, подобных ей фигур, которые нельзя начертить одним росчерком? Можно ли вообще сформулировать в этой области какие-нибудь основные правила? 

     Чтобы найти ответы на эти вопросы надо думать, анализировать, сравнивать результаты, оценивать.

     Не сделав первого шага, нельзя научиться ходить. И мы решили сделать этот шаг вместе.

 

7

Описание работы

 

§ 1.

           Великая проблема подобна драгоценному камню:                                                   

                                  тысячи проходят мимо, пока, наконец, один не

                                  поднимет его.

                                                                                      Фридрих Ницше

     Реализуя задуманное , пересмотрев множество фигур мы увидели, что  пятиугольник  АВСДЕ легко можно начертить, не отрывая  карандаша от бумаги, причем различными способами, например АВЕСВДСАДЕА.

8

 

   Мы стали выяснять чем же принципиально отличается этот пятиугольник  с пятью диагоналями, начерченный одним росчерком, от квадрата с двумя диагоналями, который нельзя начертить, не отрывая карандаша от бумаги ?  Сразу нам бросилось, что у них разное количество сторон: чётное и нечётное. Но мы легко убедились , что в данном случае это не является принципиальной разницей, так как квадрат с одной диагональю великолепно можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. В то же время с пятиугольником, если мы начинали поочерёдно вычеркивать его диагонали, происходили очень странные вещи. Если мы оставляли четыре диагонали, его ещё можно было начертить одним росчерком, то же самое и при трех диагоналях; при двух же диагоналях пятиугольник уже нельзя было начертить одним росчерком, но это не мешало тому, что если мы вычёркивали ещё одну диагональ, то его снова можно было начертить одним обходом карандаша.

     Эти преобразования натолкнули наше внимание на предположение, что возможность начертить фигуру одним росчерком зависит от узлов, в которых сходятся линии, точнее говоря, от того, являются ли эти узлы четными или же нечетными. При этом четным называется узел, если в нем сходится четное число линий, и нечетным, если число сходящихся в нем линий нечетное. Это предположение оказалось верным.

     И мы вывели общее правило.

     Фигуру можно начертить одним росчерком, если все её  узлы являются четными или если фигура содержит не более чем два нечетных узла.

 

 

9

     Из вышеуказанного правила нелегко сделать какие-нибудь практические выводы, как именно следует вычерчивать подобные фигуры. Но один момент мы все-таки увидели: если в данной фигуре существуют нечетные узлы, то успешный росчерк должен начинаться в одном из них.

     Мы увлеклись такими рисунками. И вот какие интересные фигуры у нас получились.

 

10

 

 

12

14

     Мы покажем решения трех фигур.

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

16

 

   

 

      Этот рисунок представляет собой знаменитую подпись Магомета, которую он высекал четырьмя взмахами кинжала или сабли.

 

 

17

§ 2.

                                       Чтобы дойти до цели, надо прежде

                                                       всего идти.      

                                                                                 Оноре де Бальзак

     Кроме задач, в которых требуется зачертить одним обходом карандаша уже  нарисованную фигуру, мы рассматривали задачи, несколько отличные по форме, но аналогичные по содержанию.

     Например: разделить равнобедренный треугольник непрерывной линией на 9 равных частей, не проводя более одного раза по одной и той же линии и не пересекая ни одной из них.

     Нам кажется, что решение, которое мы приводим не требует дальнейших пояснений.

Решение:

18

 

§ 3.

                                                   Опыт – вот учитель жизни вечной.

                                                                                                       И.Гёте

     В тесной связи с задачами на фигуры, которые можно начертить одним росчерком, мы считаем, находится знаменитая задача Гамильтона, известная под названием «путешествие по двенадцатиграннику», которую мы встретили, выполняя научную работу.

 

   Историческая справка.

     Вильям Гамильтон (1805-1865), английский математик и астроном первой половины  ХIХ века,  иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук (1837).

    Построил своеобразную систему чисел – так называемые кватернионы – явившуюся одним из источников векторного исчисления.

    Дал точное изложение теории комплексных чисел.

   В механике дал общий принцип наименьшего действия.

   Изобрел очень интересную игру, называемую путешествием по додекаэдру.

.

 

 

 

 

19

 

Вильям Роуэн Гамильтон

 

20

      Путешествие это заключается в том, чтобы один раз пройтись по всем наугольникам додекаэдра и вернуться к наугольнику, из которого мы  вышли.

     Свою работу над задачей мы начали с построения макета  додекаэдра.

     Сначала сделали развёртку.

Потом  вырезали ее

21

 

и сделали макет.

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

       При решении этой задачи перед нами встал вопрос: «Если мы  вышли из какого-нибудь наугольника по его краю и приближаемся к другому наугольнику, то идти направо или налево?»

     В этом и заключается суть дела.

     Мы нашли два решения задачи, а точнее – две разновидности одного решения:

ПППЛЛЛПЛПЛПППЛЛЛПЛП

ИЛИ

ЛЛЛПППЛПЛПЛЛЛПППЛПЛ.

     Буква  П  означает поворот направо,  Л  - налево.

 

 

     Если  макета двенадцатигранника нет под рукой, то можно совершить это путешествие по данной схеме согласно такому расписанию движения:

GFBAUTPONCDEJKLMQRSHG

ИЛИ

GFBAUTSRKLMQPONCDEJHG.

 

          

 

 

24

 

 

 

 

 

 

25

Заключение

                                        Предмет математики настолько серьезен,

                              что полезно не упускать случаев делать 

              его  немного занимательным.

                                                                                                Б.Паскаль

     Если же кто-нибудь все-таки предложит нам зачертить одним обходом карандаша квадрат с двумя диагоналями, что, как мы указывали, невыполнимо, то мы ответим следующей шуткой.

     Пусть лист бумаги обозначает прямоугольник KLMN; на этом листе должен быть начерчен квадрат. Согнем лист бумаги по линии PQ.  Затем проводим частично на правой стороне, а частично на левой стороне листа линию АС, далее на левой стороне линию CD и снова частично на левой, частично на правой стороне линию DF. После этого мы расправляем лист бумаги и к оставшимся на правой стороне листа линиям АВ и EF одним обходом карандаша легко дочерчиваем линии   AE, EB, BF и  FA.

 

Выводы

                                       Если ты будешь любознательным, то          

               будешь многознающим.

                                                                                                Сократ

     Чтобы не знать скуки, легко решать школьные проблемы, учиться с интересом, надо развивать свои умственные и творческие способности, расширять кругозор, будить фантазию и воображение. Но это не произойдет само по себе. Надо потрудиться и после уроков, попытаться занять себя увлекательным и содержательным делом.

      Математические задачи способствуют развитию любознательности, познавательной активности, творческого воображения. Мы учимся добывать новые знания, рассуждать, логически мыслить, делать самостоятельные выводы, искать нестандартные пути решения задач, преодолевать трудности и добиваться успеха.

     Математика обладает потенциалом для формирования таких видов мышления, как конструкторское, пространственное, парадоксальное, творческое. Этот потенциал математики мы и стремились использовать в данной работе.

     Знания , приобретенные нами в ходе исследовательской работы, с обывательской точки зрения могут показаться ненужными, но именно эти кажущиеся лишними и избыточными знания делают человека ЧЕЛОВЕКОМ. Они указывают на то, как мир сложен, многослоен и как мало нами изучен, на то, что человеку следует быть готовым к непредвиденному развитию событий или творчеству.

 

28

 

Что дальше?

      Елена Викторовна рассказала нам, что многое из наших рисунков являются важными математическими объектами – графами.

     С графами можно встретиться в любой области науки и техники.

     В электротехнике – при построении схем, в химии и биологии – при изучении молекул и их цепочек, в экономике –при решении задач о выборе оптимального пути для потоков грузового и пассажирского транспорта. С теорией графов связаны математические развлечения и головоломки и такие серьезные разделы математической науки, как теория групп.

     Задачи, решения которых основаны на теории графов, часто бывают на математических олимпиадах. Поэтому мы не остановимся на достигнутом и в следующем году займемся исследованием «Теории графов»

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

Литература

     1. Акулич И.Ф.  Задачи на засыпку и другие математические сюрпризы.: Пособие для учителя. – Мн:  ООО «Асар», 2000.

    2. Болтянский В., Савин А. Информация и математика // Квант, 1995, №6.

     3. Глейзер Г.И.  История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

    4.  Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1991.

     5. Еленьский Щ. По следам Пифагора. – М.: Детгиз, 1961.

     6. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1978.

    7.  Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе. Сборник статей под ред. П.Старатилова. – М.: Учпедгиз, 1955.

    8.  Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. Для учащихся 5-6 кл. сред. шк. –М.: Просвещение, 1992.

     9.  Нагибин Ф.Ф., Канин С.Е. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.

    10. Никитин Ю.З. Спутник досуга: Календарь игр. – Мн: Полымя, 1989.

    11. Поддьяков А.Н. Исследовательское поведение. Стратегии познания, помощь, противодействие, конфликт. – М., 2000.

 

 

30

 

Защита

     Тема нашей научно – исследовательской работы  «Одним росчерком»

     В ходе исследования мы поставили перед собой следующие цели и задачи

-  придумать и построить фигуры, одни из которых     можно изобразить одним росчерком пера, а другие нет;

- выявить закономерность;

- на основе выявленной закономерности решить знаменитую задачу Гамильтона. 

     В своей научной работе мы рассматривали  фигуры, которые можно начертить одним росчерком, то есть не отрывая карандаша или ручки от бумаги и не проводя более одного раза по одной и той же линии.

     Например вот такие:

   Вероятно, не один человек удивится, если узнает, что он не сможет начертить таким способом обыкновенный прямоугольник или квадрат с двумя диагоналями и в то же время легко сможет нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, такую сложную фигуру, как та, которую мы приводим на рисунке.

     В чем тут дело?  Как отличить такую фигуру от других, подобных ей фигур, которые нельзя начертить одним росчерком? Можно ли вообще сформулировать в этой области какие-нибудь основные правила? 

     Чтобы найти ответы на эти вопросы надо думать, анализировать, сравнивать результаты, оценивать.

     Не сделав первого шага, нельзя научиться ходить. И мы, ученики 8 «А» класса ГУО «СОШ №3 г.Калинковичи» Исаенкова Екатерина, Капитан Алеся и Змушко Сергей . решили сделать этот шаг вместе.

     Реализуя задуманное , пересмотрев множество фигур мы увидели, что  пятиугольник  АВСДЕ легко можно начертить, не отрывая  карандаша от бумаги, причем различными способами, например АВЕСВДСАДЕА.

     Мы стали выяснять чем же принципиально отличается этот пятиугольник  с пятью диагоналями, начерченный одним росчерком, от квадрата с двумя диагоналями, который нельзя начертить, не отрывая карандаша от бумаги ?  Сразу нам бросилось, что у них разное количество сторон: чётное и нечётное. Но мы легко убедились , что в данном случае это не является принципиальной разницей, так как квадрат с одной диагональю великолепно можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

      В то же время с пятиугольником, если мы начинали поочерёдно вычеркивать его диагонали, происходили очень странные вещи. Если мы оставляли четыре диагонали, его ещё можно было начертить одним росчерком, то же самое и при трех диагоналях; при двух же диагоналях пятиугольник уже нельзя было начертить одним росчерком, но это не мешало тому, что если мы вычёркивали ещё одну диагональ, то его снова можно было начертить одним обходом карандаша.

     Эти преобразования натолкнули наше внимание на предположение, что возможность начертить фигуру одним росчерком зависит от узлов, в которых сходятся линии, точнее говоря, от того, являются ли эти узлы четными или же нечетными. При этом четным называется узел, если в нем сходится четное число линий, и нечетным, если число сходящихся в нем линий нечетное. Это предположение оказалось верным.

     И мы вывели общее правило.

     Фигуру можно начертить одним росчерком, если все её  узлы являются четными или если фигура содержит не более чем два нечетных узла.

     Мы увлеклись такими рисунками. И вот какие интересные фигуры у нас получились.

     Мы покажем решения трех фигур.

      Этот рисунок представляет собой знаменитую подпись Магомета, которую он высекал четырьмя взмахами кинжала или сабли.

     В тесной связи с задачами на фигуры, которые можно начертить одним росчерком, мы считаем, находится знаменитая задача Гамильтона, известная под названием «путешествие по двенадцатиграннику», которую мы встретили, выполняя научную работу.

        Путешествие это заключается в том, чтобы один раз пройтись по всем наугольникам додекаэдра и вернуться к наугольнику, из которого мы  вышли.

     Свою работу над задачей мы начали с построения макета  додекаэдра

    Сначала сделали развёртку.

    Потом  вырезали ее

    и сделали макет.

       При решении этой задачи перед нами встал вопрос: «Если мы  вышли из какого-нибудь наугольника по его краю и приближаемся к другому наугольнику, то идти направо или налево?»

     В этом и заключается суть дела.

     Мы нашли два решения задачи, а точнее – две разновидности одного решения:

     Буква  П  означает поворот направо,  Л  - налево.

 

 

     Если же кто-нибудь все-таки предложит нам зачертить одним обходом карандаша квадрат с двумя диагоналями, что, как мы указывали, невыполнимо, то мы ответим следующей шуткой.

     Согнем лист бумаги.  Затем проводим частично на правой стороне, а частично на левой стороне листа линию , далее на левой стороне линию  и снова частично на левой, частично на правой стороне линию. После этого мы расправляем лист бумаги и  оставшиеся на правой стороне листа линии  одним обходом карандаша легко дочерчиваем  до квадрата с двумя диагоналями.

      Математика обладает потенциалом для формирования таких видов мышления, как конструкторское, пространственное, парадоксальное, творческое. Этот потенциал математики мы и стремились использовать в данной работе.

     В ходе исследовательской работы мы :

- научились  нестандартно смотреть на поставленную задачу;

     - научились  искусству применения математических идей и методов к решению практических и теоретических задач;

     - научились  применять математические приемы даже к тем вопросам, в которых использование математики поначалу кажется просто невозможным.

 

     Знания , приобретенные нами в ходе исследовательской работы, с обывательской точки зрения могут показаться ненужными, но именно эти кажущиеся лишними и избыточными знания делают человека ЧЕЛОВЕКОМ. Они указывают на то, как мир сложен, многослоен и как мало нами изучен, на то, что человеку следует быть готовым к непредвиденному развитию событий или творчеству.