Главная / Математика / Наибольшее и наименьшее значения

Наибольшее и наименьшее значения

hello_html_3777e25.gifhello_html_m6045026c.gifhello_html_5b8f7547.gif

Набиев Асиф Казым оглы, учитель математики Европейской Азербайджанской школы, доктор философии по педагогике.

Адрес: г. Баку, ул. К. Караева 66, кв.40, тел.+994706421625.

Джафарли Карим Сулейман оглы, учитель математики Европейской Азербайджанской школы.

Адрес: г.Баку, пос. Локбатан, у. Ю. Мирзоев, д.4, кВ.11.



Наибольшее и наименьшее значение.

Людям всегда было интересно знать,что является самым-самым.

Самая высокая вершина Гималаев - пик Джомолунгма (8848м).

Самое холодное место на земле - Антарктида (-89,2 Со).

Самое глубокое место–Марианская впадина в Тихом океане (11022м).

Самая маленькая птица -колибри (весит всего 3-12 граммов).

Самый крупный млекопитающий на суше - слон (около 300 килограммов) , в море -синяя акула(190-300 тонна).

Самый древний договор заключен между египтянами и хетами (в 1286 году до н.э.).

Самая продолжительная война (100-летняя война) была между Англией и Францией (в 1337-1453 годах).

Самая короткая война была между Англией и Занзибаром и продолжалась всего 30 минут.

Наибольшее и наименьшее значение – одна из основных задач математики.

Этот материал можно использовать в XI классе по теме «Наибольшее и наименьшее значения», а также в математическом кружке. Ниже мы показали разные способы (стандартные и особые) для нахождения наибольших и наименьших значений. Мы думаем, что этот материал будет полезным для учителей математики,а также для учеников старших классов.

1) Найти наибольшее значение функции hello_html_5e8a08cc.gif.

Решение.hello_html_4691189a.gif

Наибольшее значение функции есть hello_html_4f571446.gif.

2) Если hello_html_m372ad132.gif, Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения hello_html_7e9afc9d.gif, если hello_html_m372ad132.gif.

Решение. hello_html_5a34e9bc.gif.

Наименьшее значение равно hello_html_m2db37ec8.gif, при hello_html_2e7c418b.gif, а наибольшее значение равно 1, при hello_html_58f8862a.gif или 1.

3) Площадь полной поверхности цилиндра равна 24hello_html_m2239ef1e.gif. Найдите высоту цилиндра при наибольшем объёме.

Решение. 2hello_html_me5d1c94.gif; hello_html_75d03cae.gif

hello_html_4608ed3d.gif; hello_html_1b8c8be2.gif.

4) Найдите наибольшее значение выражения hello_html_c934e8e.gif+1.

Решение. hello_html_37f14134.gif

Наибольшего значения hello_html_m4059c7d4.gif достигает , когда hello_html_m32f4f691.gif.

5) Найдите наибольшее значение функции hello_html_3b071dd1.gif

Решение. Функция hello_html_m328c06c7.gifиhello_html_2222a91d.gif достигает наибольшего (и наименьшего) значения при одном и том же значении hello_html_m6f91b8bf.gif. hello_html_122edc48.gif

Сумма множителей есть постоянное число hello_html_m466fca26.gif. Поэтому, чтобы достичь наибольшего значения, множители должны быть равными, то есть,

hello_html_m11cc1c36.gif

6) Площадь трапеции равна 10. Найдите наибольшее значение меньшей диагонали.

Решение. Наибольшее значение меньшей диагонали не может быть больше второй диагонали, иначе она не была бы меньшей диагональю. Наибольшего значения меньшая диагональ достигает, когда трапеция равнобедренная.

B

A

E

F

D

C



Обозначаем AD=hello_html_49168194.gif; BC=hello_html_m78a1dae.gif; AC=hello_html_m403abfef.gif; CF=hello_html_2fbbd084.gif. AE=hello_html_m1663dcae.gif; AF=hello_html_152c39c4.gif. С другой стороны hello_html_437d3b87.gif; hello_html_m622eac55.gif Тогда, hello_html_m403abfef.gif=AC=hello_html_m6e2eb272.gif.

hello_html_m33233149.gif

7)Найдите наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_49c77a87.gif в отрезке hello_html_m59d9e4e9.gif.

Решение. hello_html_6747158e.gif

Вычислим: hello_html_7a0f801.gif; hello_html_m1ff010f7.gif

8) Найти наименьшее положительное значение суммы hello_html_6394723b.gif, еслиhello_html_775b1795.gif

Решение. Раскрываем скобки: hello_html_56fc08ae.gif; hello_html_m3d7ea6a3.gif.

Наименьшее значение будет hello_html_m489b2ed4.gif при hello_html_205b76de.gif

9) Определите наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме этих цифр.

Решение. Если число hello_html_m2415ed90.gif, то hello_html_7379a691.gif,

ибо двухзначное число hello_html_5e3e770a.gif.

Если хотя бы одна из цифр hello_html_m45ca7c67.gifотлична от нуля, то, очевидно,

hello_html_m170bd466.gif, и потому hello_html_338879e2.gif. Если же hello_html_m8a62418.gif, то число равно 100hello_html_m6f91b8bf.gif, его сумма цифр hello_html_m6d5b7d78.gif, и рассматриваемое отношение равно : hello_html_5872a61e.gif

Итак, наибольшее значение отношения равно 100, оно достигает чисел 100, 200, 300, …,900.

10) Данный отрезок hello_html_49168194.gif разделите на три части так, чтобы сумма квадратов этих длин была наименьшей.

Решение. Обозначим части отрезка через hello_html_m4dd3b483.gif

Очевидно, что hello_html_m7018e9cd.gif Отсюда следует, что наименьшее значение hello_html_17f7698e.gifдостигается при hello_html_m4532eca7.gif

11) Дана функция hello_html_2377c383.gif. Зная, что функция проходит через точку А(1;1), найдите наименьшее значение функции.

Решение. Подставив координаты точки А, получим функцию

hello_html_m2998aadf.gif. Очевидно,что наименьшее значение функции равно 1.

12) Найдите наименьшее и наибольшее значение hello_html_e41253e.gif.

Решение. Преобразуем выражение:hello_html_md1bad7c.gif, hello_html_m3dd38460.gif.

Очевидно, что наименьшее значение равно -13, а наибольшее значение равно 13.

13) Сравните числа: hello_html_2cc7716b.gifи hello_html_m67bff323.gif.

Решение. Возьмём функцию hello_html_m3316a58b.gif. hello_html_m5893d05e.gif=hello_html_3fe2b048.gif. Легко показать, что hello_html_m15be02a9.gif точка максимума, значит, hello_html_m6e92207f.gif, в том числе, hello_html_m18f0bc49.gif. Получим: hello_html_m67d58644.gif, hello_html_59a96a00.gif; hello_html_1f62fdfa.gif; hello_html_e17ca84.gif.

14) При каких значениях hello_html_e6744ea.gif произведение корней квадратного уравнения

hello_html_1ce24d14.gifбудет наибольшим?

Решение. hello_html_7491efdd.gif.

Наибольшее значение будет равноhello_html_1598238b.gif.

P

15) Велосипедист едет по асфальтной дороге со скоростью 10 hello_html_m7ff58b9d.gif, а по грунтовой дороге со скоростью 8 hello_html_m7ff58b9d.gif. Велосипедист находится на расстоянии 9 км от асфальта, а расстояние между ближайшей точкой на асфальте и посёлком 15 км. За какое кратчайшее время велосипедист доедет до посёлка?.





A

B

M





Решение. Велосипедист находится на точке P, посёлок на точке B. PA=9, AB=15.

Обозначаем AMhello_html_m752e480d.gif, PMB -траектория велосипедиста. Время езды велосипедиста будет

hello_html_m290241da.gif. Решив уравнения hello_html_5faa4181.gif, получаем hello_html_20e1c4d8.gifи hello_html_m6df09b61.gif.











D1

C2

B2

A

C1

B1

B

C

D

1

1

1

x

y

z















16) Найдите наименьшее значение выражения hello_html_m10a29c49.gif,

если hello_html_m6971f45.gif.

Решение. Из рисунка видна, что hello_html_44ee9ea.gif; hello_html_42f3b1c0.gif;

hello_html_709757e0.gifD1 hello_html_m31700ed.gif

А наименьшее значение hello_html_m1cb200c8.gifD1 =hello_html_m6373d1d4.gif D1

C другой стороны, hello_html_46aa3cd6.gif D1hello_html_m707ad6f2.gif

И так наименшее значение выражение

hello_html_m10a29c49.gifесть 5.

Упражнения для самостоятельного решения.

  1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции hello_html_m5aeb84b4.gif на отрезке hello_html_7f066219.gif.

  2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции hello_html_7a62f622.gif на отрезке hello_html_354a1786.gif.

  3. Найдите область значения функции hello_html_m65366ca0.gif.

  4. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое при умножении на 21 даёт квадрат натурального числа.

  5. Найдите область значения функций: hello_html_433e516a.gif.

  6. Известно, что hello_html_m679b308e.gifпроходит через точку А(2;2). Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

  7. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции hello_html_m1da2bc75.gif.

  8. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения hello_html_61671809.gif.

  9. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения hello_html_m27847f17.gif.

10) Осевое сечение цилиндра есть прямоугольник с диагональюhello_html_1105a472.gif. Найдите высоту цилиндра при наибольшем объёме.

11) Из прямоугольников с площадью S найдите тот, который с наименьшим периметром.

12) Объём цилиндра равен V. Найдите цилиндр с наименьшей площадью поверхности.

13) Найдите наименьшее и наибольшее значения hello_html_m4d04acf4.gif,b)hello_html_7e33006f.gif.

14) ) При каких значениях hello_html_e6744ea.gif произведение корней квадратного уравнения

hello_html_240484bf.gifбудет наибольшим?

15) Найдите наименьшее значение выражения hello_html_6c06e1a3.gif, если hello_html_m372b5f90.gif

Библиография.

  1. И. Х. Сивашинский. «Задачи по математике для внеклассных занятий», Москва,Просвещение,1968.

  2. С. А. Теляковский. «Алгебра» , 9-ый класс,Москва,Просвещение,2002.

  3. М. Дж. Марданов. «Алгебра и начало анализа»,11-ый класс, Чашоглы, Баку,2003.



























Наибольшее и наименьшее значения
  • Математика
Описание:

Людям всегда было  интересно знать,что является самым-самым.

Самая высокая вершина Гималаев - пик Джомолунгма (8848м).

Самое холодное место на земле - Антарктида (-89,2 Со).

Самое глубокое место–Марианская  впадина в Тихом  океане (11022м).

Самая маленькая птица -колибри (весит всего 3-12 граммов).

Самый крупный млекопитающий на суше - слон (около 300 килограммов) , в море -синяя акула(190-300 тонна).

Самый древний договор заключен между египтянами и хетами (в 1286 году до н.э.).

Самая продолжительная война (100-летняя война) была  между Англией и Францией (в 1337-1453 годах).

Самая короткая война была между Англией и Занзибаром и продолжалась всего 30 минут.

Наибольшее и наименьшее значение – одна  из основных задач математики.

Этот материал можно использовать в XI классе по теме «Наибольшее и наименьшее значения», а также в математическом кружке. Ниже мы показали разные способы (стандартные и особые) для нахождения наибольших и наименьших значений. Мы думаем, что  этот материал будет полезным для учителей математики,а также для учеников старших классов.

Автор Набиев Асиф Кязим оглы
Дата добавления 29.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 563
Номер материала 16170
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓