Главная / Математика / Набор 20-ти вариантов ЕГЭ с решениями всех задач.

Набор 20-ти вариантов ЕГЭ с решениями всех задач.

Вариант № 261. ЕГЭ 2014.

B1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять 1/10 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

hello_html_m5b4e1ece.png

B3. hello_html_m450663d.pngТочки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

B4. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги hello_html_2ed327c8.pngновостных сайтов на основе показателей информативности hello_html_m78cf74c0.png, оперативности hello_html_5573e377.pngи объективности hello_html_m4523c276.pngпубликаций. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

hello_html_m78cccbbf.png



В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до целого числа.


Сайт

Информативность

Оперативность

Объективность

VoKak.ru

2

1

0

NashiNovosti.com

2

1

1

Bezvrak.ru

2

2

0

Zhizni.net

1

1

2


B5. Решите уравнение hello_html_b4ca038.png. В ответе напишите наименьший положительный корень.

B6. hello_html_30ec0e8a.pngУгол между стороной правильного hello_html_m1b073d8f.png-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен hello_html_154cf8f9.png. Найдите hello_html_m1b073d8f.png.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m3783d3b.png.

B8. hello_html_m51648ca4.pngНа рисунке изображён график некоторой функции hello_html_m1cbae7e.png. Функция hello_html_2e99b848.png — одна из первообразных функции hello_html_6dde1bf8.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

B9. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

B10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

B11. hello_html_3470fcd7.pngКуб вписан в шар радиуса hello_html_39462d07.png. Найдите объем куба.


B12. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону hello_html_64f0e7c8.png, где hello_html_6a71d57a.png– время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле hello_html_5e85c28f.png, где hello_html_m41a221f3.png– масса груза (в кг), hello_html_m4ebc686c.png– скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее hello_html_m30d94ac3.pngДж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

B13. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

B14. Найдите точку минимума функции hello_html_234a258c.png.


Часть 2.

C1. а) Решите уравнение hello_html_m75c58491.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m771a0f37.png

Chello_html_57186a96.png2. В правильной четырёхугольной призме hello_html_39fdff06.pngстороны основания равны hello_html_md0d981f.png, а боковые ребра равны hello_html_30271931.png. На ребре hello_html_m6a63fb95.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_23a7464e.png. Найдите угол между плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.

C3. Решите систему неравенств



C4. Точка hello_html_m78d0cd47.png— центр правильного шестиугольника hello_html_m1944ec3.png, в котором hello_html_m1e03fc54.png. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников hello_html_m5b98a86b.png, hello_html_m31db29e6.pngИ hello_html_m79b9f8e7.png.


C5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство hello_html_6b532a56.pngвыполняется для всех hello_html_m35156977.png.



C6. Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?





Решения варианта № 261.

B1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять 1/10 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

Решение.
Поскольку на 10 человек следует взять 0,1 фунта чернослива, на одного человека следует взять 0,01 фунта чернослива. Тогда на трех человек потребуется 0,03 фунта чернослива, что составляет 0,03 hello_html_m6818caa7.png 0,4 = 0,012 кг или 12 грамм.

Ответ: 12.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

hello_html_m5b4e1ece.png

Решение.
Из диаграммы видно, что наибольшая и наименьшая среднемесячные температуры составляли 18 °C и −20 °C соответственно (см. рисунок). Найдем их разность: 18 − (−20) = 38 °C.

Ответ: 38.

B3. hello_html_m450663d.pngТочки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

Решение.
Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC.
Координаты точки P вычисляются следующим образом:

hello_html_m10c746c3.png, hello_html_m46588fff.png,

но с другой стороны,

hello_html_m51be19b4.png, hello_html_m2425d655.png.

Поэтому hello_html_4ca96ab6.png, hello_html_m51a825a7.png

Ответ: 2.

B4. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги hello_html_2ed327c8.pngновостных сайтов на основе показателей информативности hello_html_m78cf74c0.png, оперативности hello_html_5573e377.pngи объективности hello_html_m4523c276.pngпубликаций. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

hello_html_m78cccbbf.png



В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до целого числа.


Сайт

Информативность

Оперативность

Объективность

VoKak.ru

2

1

0

NashiNovosti.com

2

1

1

Bezvrak.ru

2

2

0

Zhizni.net

1

1

2


Решение.
Рассмотрим все варианты.

Сайт VoKak.ru: hello_html_m1ba4213d.png
Сайт NashiNovosti.com: hello_html_3feebacc.png
Сайт Bezvrak.ru: hello_html_mae7db87.png
Сайт Zhizni.net: hello_html_m3314e1e.png

Таким образом, наивысший рейтинг имеет сайт Bezvrak.ru, он равен 75.

Ответ: 75.

B5. Решите уравнение hello_html_b4ca038.png. В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение.
Решим уравнение:

hello_html_m4207dab6.png


Значениям hello_html_m58b5cde9.pngсоответствуют большие положительные корни.
Если hello_html_1fe98432.png, то hello_html_3b4c57ee.pngи hello_html_m6c7cbdbf.png.
Если hello_html_m128245dc.png, то hello_html_m1b869d54.pngи hello_html_458edf4.png.
Значениям hello_html_129175dc.pngсоответствуют меньшие значения корней.
Наименьшим положительным решением является 0,5.

Ответ: 0,5.

B6. hello_html_30ec0e8a.pngУгол между стороной правильного hello_html_m1b073d8f.png-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен hello_html_154cf8f9.png. Найдите hello_html_m1b073d8f.png.

Решение.
Рассмотрим треугольник hello_html_m286eec96.pngОн равнобедренный, т. к. hello_html_m27ac2cd9.pngЗначит, hello_html_e3275f7.png

hello_html_2e230324.pnghello_html_m4f1ff90b.png

Ответ: 5.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m3783d3b.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_m3c6102df.png.

Ответ: 1.

B8. hello_html_m51648ca4.pngНа рисунке изображён график некоторой функции hello_html_m1cbae7e.png. Функция hello_html_2e99b848.png — одна из первообразных функции hello_html_6dde1bf8.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.
Найдем формулу, задающую функцию hello_html_m7afdf860.pngграфик которой изображён на рисунке.

hello_html_m20c65f9b.png


Следовательно, график функции hello_html_6dde1bf8.pngполучен сдвигом графика функции hello_html_m31730008.pngна hello_html_cef7dd6.pngединиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции hello_html_m31730008.pngи отрезком hello_html_m76a4ae9d.pngоси абсцисс. Имеем:


hello_html_m3d066146.png


Ответ: 4.

B9. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.
hello_html_m6d18d0a.png
Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.).

Площадь основания цилиндра:


hello_html_2954fae7.png


Площадь боковой поверхности цилиндра:


hello_html_m7a9cb45c.png


Площадь полной поверхности цилиндра:


hello_html_4a8edde7.png


Поскольку площадь поверхности шара дается формулой hello_html_61bfbd34.pngимеем: hello_html_378d50e7.png

Ответ:166,5.

B10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Решение.
Из 25 билетов 23 не содержат вопроса о грибах, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса о грибах, равна


hello_html_5e1c03c0.png


Ответ: 0,92.

B11. hello_html_3470fcd7.pngКуб вписан в шар радиуса hello_html_39462d07.png. Найдите объем куба.


Решение.
Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна hello_html_m6cb15703.png. Если ребро куба равно hello_html_m51ec0b04.png, то диагональ куба дается формулой hello_html_477d5674.png. Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Ответ: 8.

B12. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону hello_html_64f0e7c8.png, где hello_html_6a71d57a.png– время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле hello_html_5e85c28f.png, где hello_html_m41a221f3.png– масса груза (в кг), hello_html_m4ebc686c.png– скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее hello_html_m30d94ac3.pngДж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_7fd1ac73.pngДж при заданных значении массы груза hello_html_m2b6969aa.pngкг и законе изменения скорости:

hello_html_m3d86bfab.png

hello_html_m3488b474.png

Таким образом, 0,5 c из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее hello_html_m7fa2794b.pngДж. Это составляет 0,5 первой секунды.

Ответ: 0,5.

B13. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Решение.
Пусть в первый день грузовик перевез hello_html_35a53408.pngтонны щебня, во второй — hello_html_m52044eae.png, …, в последний — hello_html_68a369b8.pngтонн; всего было перевезено hello_html_2ab8a21c.pngтонн; норма перевозки увеличивалась каждодневно на hello_html_m6d9e1981.pngтонн. Тогда

hello_html_m2477c26d.png.

Тогда за девятый день было перевезено

hello_html_m7a5f15d6.png(тонн).

Ответ: 18.

B14. Найдите точку минимума функции hello_html_234a258c.png.

Решение.
Квадратный трехчлен hello_html_18b6c18a.pngс положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке hello_html_281a2f19.png, в нашем случае — в точке 15. Поскольку функция hello_html_369a5edf.pngвозрастает, и заданная функция hello_html_4c140f01.pngопределена в точке 15, она также достигает в ней минимума.

Ответ: 15.

C1. а) Решите уравнение hello_html_m75c58491.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m771a0f37.png

Решение.
а) Запишем уравнение в виде:

hello_html_96e7139.png

В результате получим:

hello_html_181e0f8.png

Значит

hello_html_6e92d780.png

.hello_html_6e92d780.png
hello_html_9553a5d.pngб) Отметим решения на тригонометрической окружности.

Отрезку hello_html_m771a0f37.pngпринадлежат корни hello_html_738fb30a.png, hello_html_12b770cf.pngи hello_html_m48707f92.png

Ответ: а) ; б) ,hello_html_738fb30a.pnghello_html_12b770cf.png и hello_html_m48707f92.png



C2. В правильной четырёхугольной призме hello_html_39fdff06.pngстороны основания равны hello_html_md0d981f.png, а боковые ребра равны hello_html_30271931.png. На ребре hello_html_m6a63fb95.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_23a7464e.png. Найдите угол между плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.

Решение.
hello_html_4c04ae1a.pngПрямая hello_html_m1ca04855.pngпересекает прямую hello_html_m18037f7d.pngв точке hello_html_m331d64b2.png. Плоскости hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.pngпересекаются по прямой hello_html_m69f9886b.png.

Из точки hello_html_5a0dd268.pngопустим перпендикуляр hello_html_2345900d.pngна прямую hello_html_m69f9886b.png, тогда отрезок hello_html_m315c5ddb.png(проекция hello_html_2345900d.png) перпендикулярен прямой hello_html_m69f9886b.png. Угол hello_html_5d919fae.pngявляется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.

Поскольку hello_html_me3c74f2.png, получаем:

hello_html_m1d86ca02.png


Из подобия треугольников hello_html_m1ad3a509.pngи hello_html_40a4a46.pngнаходим:

hello_html_m7e2a2f62.png


В прямоугольном треугольнике hello_html_760c2d41.pngс прямым углом hello_html_m5341012f.png: hello_html_7bd7eaa5.png; hello_html_m5ff1575e.png; hello_html_763e5c7d.png, откуда высота

hello_html_m353b985b.png.


Из прямоугольного треугольника hello_html_m4056d976.pngс прямым углом hello_html_m5341012f.pngполучаем:

hello_html_2beac49b.png.


hello_html_57186a96.pngОтвет: hello_html_m1cb4533e.png.

C3. Решите систему неравенств



Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_m29f0da3f.png.

hello_html_mc335c69.png


Учитывая, что hello_html_6aa5cd14.png, получаем: hello_html_17597b14.png, откуда находим решение первого неравенства системы hello_html_m667b1da2.png.


2. Решим второе неравенство системы:

hello_html_m48d7f3fa.png.


Сделаем замену hello_html_34326c7d.png

hello_html_3d0e3b6a.png


Тогда hello_html_686a0a00.pngили hello_html_4bb450b0.png, откуда находим решение второго неравенства системы: hello_html_m2599c4a0.pnghello_html_m324bafdb.png.

3. Поскольку hello_html_76f29c9e.png, получаем решение исходной системы неравенств:

hello_html_m2599c4a0.pnghello_html_228409d8.png


Ответ: hello_html_m579ac9fa.png; hello_html_1c12d3e4.png.

C4. Точка hello_html_m78d0cd47.png— центр правильного шестиугольника hello_html_m1944ec3.png, в котором hello_html_m1e03fc54.png. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников hello_html_m5b98a86b.png, hello_html_m31db29e6.pngИ hello_html_m79b9f8e7.png.

Решение.
hello_html_7924b308.pngУгол при вершине hello_html_1f7ca3e1.pngравнобедренного треугольника hello_html_edef93b.pngравен hello_html_4ec73fdc.png, а основание hello_html_m1e03fc54.png, значит,

hello_html_m1875d4e.png


Треугольники hello_html_m5b98a86b.png, hello_html_m31db29e6.png, и hello_html_m79b9f8e7.png- равносторонние со стороной \frac{7\sqrt{3}}{2}, поэтому радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны hello_html_594ec4fb.png.

Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).

Рассмотрим первый случай. Пусть hello_html_m497277b9.png, hello_html_29f68c00.pngи hello_html_m66b4cff.png- диаметры описанных окружностей треугольников hello_html_m5b98a86b.png, hello_html_m40698265.pngи hello_html_5b8d771b.pngсоответственно, hello_html_m278b042.png. Окружность hello_html_m1510d82c.pngс центром hello_html_m7de9e333.png, проходящая через точки hello_html_m7d2ce099.png, hello_html_m384743ed.pngи hello_html_8715733.png, касается внутренним образом окружностей, описанных около треугольников hello_html_m5b98a86b.png, hello_html_m31db29e6.pngи hello_html_m79b9f8e7.png, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов.
hello_html_m1aeac81.png
Рассмотрим второй случай. Пусть hello_html_5c84c3f2.png— центр окружности радиуса hello_html_101c486b.png, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника hello_html_5dc3552d.pngи внешним образом — описанных окружностей треугольников hello_html_m5b98a86b.pngи hello_html_4783e21d.png. Пусть hello_html_m13831945.png— основание перпендикуляра, опущенного из центра hello_html_1cfc080f.pngописанной окружности треугольника hello_html_m5b98a86b.pngна прямую hello_html_f05769a.png. Тогда

hello_html_26265b43.png



hello_html_m3858cf3d.png.


Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому hello_html_m437c5bb8.png. По теореме Пифагора hello_html_1f326a24.png, или

hello_html_2b5f3ce6.png

,
откуда находим hello_html_5b2dd7c1.png.

Ответ: 7; 3.

C5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство hello_html_6b532a56.pngвыполняется для всех hello_html_m35156977.png.

Решение.
Рассмотрим функцию hello_html_2a6fcf6f.png. Эта функция возрастает на промежутке hello_html_m21e87493.pngи убывает па промежутке hello_html_7466f71f.png.

Исходное неравенство имеет вид hello_html_7f5e0017.png, значит, график функции hello_html_m591ec036.pngна отрезке hello_html_m66167dc3.pngдолжен находиться в пределах горизонтальной полосы: hello_html_52f7b7d1.png

Отрезок hello_html_m66167dc3.pngне должен лежать на участке монотонности функции hello_html_m3c87610a.png, иначе приращение hello_html_6dde1bf8.pngна отрезке длины 5 будет не меньше 25, поэтому её график не поместится в полосе ширины 20. Следовательно, hello_html_669ae24a.png, откуда hello_html_m62bdd370.png.

Наибольшее значение функции hello_html_6dde1bf8.pngна отрезке hello_html_m19bc54e1.pngдостигается либо при hello_html_m1cb0507b.png, либо при hello_html_m257f550b.png.

Наименьшее значение функции hello_html_6dde1bf8.pngна отрезке hello_html_m19bc54e1.pngдостигается при hello_html_569b3133.png. Получаем систему:

hello_html_m6485c6fb.png,


откуда hello_html_5aae64ae.png.

Ответ: hello_html_5aae64ae.png




C6. Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение.
Обозначим суммы чисел в группах hello_html_m563a9b6a.png, hello_html_66ec36d.png, hello_html_m5747fb2d.png, hello_html_2acc4817.pngа указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через hello_html_m5341012f.png. Можно считать, что hello_html_m4ef9fc85.png.

а) Чтобы число hello_html_m5341012f.pngравнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей hello_html_m4b76af37.pngравнялась 0, то есть hello_html_m48c181d5.png. Сумма всех двадцати чисел hello_html_m2565972a.png. С другой стороны, она равна hello_html_8128b10.png, но 210 не делится на 4. Значит, hello_html_7ba7148b.png.

б) Чтобы число hello_html_m5341012f.pngравнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности hello_html_m4b76af37.pngравнялись 0. Значит, hello_html_m3dd1becb.png, но в этом случае каждая из сумм hello_html_66ec36d.png, hello_html_m5747fb2d.pngне равна хотя бы одной из сумм hello_html_m563a9b6a.png, hello_html_2acc4817.pngпоэтому хотя бы три разности hello_html_m4b76af37.pngне равны 0 и число hello_html_mc091cbc.pngне меньше 3. Значит, hello_html_m72aff721.png.

в) Выразим число hello_html_m5341012f.pngявно через hello_html_m563a9b6a.png, hello_html_66ec36d.png, hello_html_m5747fb2d.png, hello_html_2acc4817.png:

hello_html_m7f7fa192.png


В предыдущих пунктах было показано, что hello_html_m10ed5904.png. Если hello_html_4a79cd35.png, то hello_html_m124215a8.pngили hello_html_7c5a086f.png. В этом случае сумма всех двадцати чисел равна hello_html_m738e4c4a.pngили hello_html_252efff5.png, то есть нечётна, что неверно.

Для следующего разбиения чисел на группы: hello_html_m52949018.png; hello_html_m61a837f3.png; hello_html_15c0ce35.png; hello_html_751df0f4.png— число hello_html_m5341012f.pngравно 4.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.




















Вариант № 262. ЕГЭ 2014.

B1. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

B2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

hello_html_31780109.png













Bhello_html_32fbcc68.png3. Точки O(0; 0), A(10; 8), C(2; 6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.





B4. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг hello_html_2ed327c8.pngбытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены hello_html_m13831945.png, показателей функциональности hello_html_7f43e396.png, качества hello_html_5c84c3f2.pngи дизайна hello_html_6de111be.png. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

hello_html_m53149df3.png

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.


Модель мясорубки

Средняя цена

Функциональность

Качество

Дизайн

А

4600

2

0

2

Б

5500

4

3

1

В

4800

4

4

4

Г

4700

2

1

4


B5. Решите уравнение hello_html_11e69417.png. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

B6. hello_html_m71a81d20.pngОколо окружности, радиус которой равен hello_html_m71be3e37.png, описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m4bca8580.png.

B8. hello_html_9b8e1a2.pngНа рисунке изображён график некоторой функции hello_html_m1cbae7e.png. Функция hello_html_69557e9c.png — одна из первообразных функции hello_html_6dde1bf8.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

B9. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен hello_html_m61906531.png. Найдите образующую конуса.

B10. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 10 из России, 16 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступавшая первой, окажется из Китая.

B11. hello_html_29b29794.pngОбъем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

B12. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью hello_html_m731da65c.pngм/с под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью hello_html_411a32e2.png(м/с), где hello_html_4f9a6c85.pngкг – масса скейтбордиста со скейтом, а hello_html_m2d2bd93b.pngкг – масса платформы. Под каким максимальным углом hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

B13. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

B14. Найдите наибольшее значение функции hello_html_45ec0890.png.

Часть 2.

C1. а) Решите уравнение hello_html_32e05f8c.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m771a0f37.png

C2. Точка hello_html_m2db83dc7.png — середина ребра hello_html_m369a8eec.pngкуба hello_html_39fdff06.png. Найдите площадь сечения куба плоскостью hello_html_m3802e874.png, если ребра куба равны 4.


hello_html_7477a55a.png

C3. Решите систему неравенств



C4. Продолжение биссектрисы hello_html_m5eb19a61.pngнеравнобедренного треугольника hello_html_m696dbb17.pngпересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке hello_html_m2db83dc7.png. Окружность, описанная около треугольника hello_html_mf1785a7.png, пересекает прямую hello_html_d18b197.pngв точке hello_html_7f43e396.png, отличной от hello_html_m5341012f.png. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника hello_html_m696dbb17.png, если hello_html_m4f0db792.png, hello_html_m773adcb7.png, угол hello_html_1c9ae9bf.pngравен hello_html_m7d79c4e0.png.


C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при каждом из которых наименьшее значение функции

hello_html_m6ff4c124.png


на множестве hello_html_m354fa9a1.pngне меньше 6.

C6. Число hello_html_m1510d82c.pngтаково, что для любого представления hello_html_m1510d82c.pngв виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.

а) Может ли число hello_html_m1510d82c.pngбыть равным 34?
б) Может ли число hello_html_m1510d82c.pngбыть больше hello_html_3f3c6ad5.png?
в) Найдите максимально возможное значение hello_html_m1510d82c.png.




Решение варианта №262.


B1. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Решение.
Средняя скорость бегуна 50 : 5 = 10 м/с. Переведем метры в секунду в километры в час:


1 м/с = 60 м/мин = 3600 м/ч = 3,6 км/ч. Поэтому 10 м/с = 36 км/ч.

Ответ: 36.

B2. hello_html_31780109.png

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

Решение.
Из графика видно, что в начальный момент времени указанного промежутка было 50 градусов Цельсия, а через четыре минуты — 80. Следовательно, с третьей по седьмую минуту двигатель нагрелся на 30 градусов Цельсия.

Ответ: 30.

B3. hello_html_32fbcc68.pngТочки O(0; 0), A(10; 8), C(2; 6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

Решение.
Точка P является серединой отрезков OAи BC.
Координаты точки P вычисляются следующим образом:

hello_html_m10c746c3.png, hello_html_m46588fff.png,

но с другой стороны,

hello_html_7de39446.png, hello_html_ccf035d.png.

Поэтому hello_html_m5273998b.png, hello_html_m7f9d0c79.png.

Ответ: 2.

B4. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг hello_html_2ed327c8.pngбытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены hello_html_m13831945.png, показателей функциональности hello_html_7f43e396.png, качества hello_html_5c84c3f2.pngи дизайна hello_html_6de111be.png. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

hello_html_m53149df3.png

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.


Модель мясорубки

Средняя цена

Функциональность

Качество

Дизайн

А

4600

2

0

2

Б

5500

4

3

1

В

4800

4

4

4

Г

4700

2

1

4


Решение.
Рассмотрим все варианты.

Модель А: hello_html_c820cc8.png
Модель Б: hello_html_6e03c224.png
Модель В: hello_html_m3eebed3f.png
Модель Г: hello_html_me56618a.png

Тем самым, наивысший рейтинг имеет модель В, он равен 32.

Ответ: 32.

B5. Решите уравнение hello_html_11e69417.png. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение.
Решим уравнение:

hello_html_6da81846.png

Значению hello_html_m128245dc.pngсоответствует hello_html_8e95c52.png. Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.

Ответ:  −1.

B6. hello_html_m71a81d20.pngОколо окружности, радиус которой равен hello_html_m71be3e37.png, описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Решение.
hello_html_m22911534.pngУгол правильного шестиугольника равен hello_html_4ec73fdc.png, тогда угол hello_html_57966c1b.pngв прямоугольном треугольнике hello_html_57966c1b.pngравен hello_html_6aa7df56.png. Следовательно,

hello_html_727e23cc.png

Ответ: 1.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m4bca8580.png.

Решение.
В силу периодичности косинуса hello_html_m17d048b8.png. Далее используем формулы приведения:

hello_html_m16cb72ed.png.

Ответ: 2.

B8. hello_html_9b8e1a2.pngНа рисунке изображён график некоторой функции hello_html_m1cbae7e.png. Функция hello_html_69557e9c.png — одна из первообразных функции hello_html_6dde1bf8.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках hello_html_m6d23e054.pngи hello_html_m4c9e9c29.png
Имеем:


hello_html_f2573c0.png
hello_html_m1ee76119.png
hello_html_5266c9c5.png



Приведем другое решение.
Получим явное выражение для hello_html_m43faa6a6.pngПоскольку


hello_html_17cc95dc.png


имеем:


hello_html_5ad2ad6c.png


Примечание.
Внимательный читатель отметит, что второй подход эквивалентен выделению полного куба:


hello_html_m41010741.png


что позволяет сразу же найти hello_html_1403235a.png

Еще один способ рассуждений покажем на примере
следующей задачи.

Ответ:6.

B9. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен hello_html_m61906531.png. Найдите образующую конуса.

Решение.
hello_html_m2b8a66ab.png
Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:


hello_html_m5a75f356.png


Радиус сферы равен hello_html_m592dad9a.pngпоэтому образующая равна hello_html_m218fd32d.png

Ответ:56.

B10. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 10 из России, 16 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступавшая первой, окажется из Китая.

Решение.
В чемпионате принимает участие hello_html_172c59ad.pngспортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна


hello_html_m403f5767.png

Ответ: 0,48.

B11. hello_html_29b29794.pngОбъем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Решение.
Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра hello_html_73030a9e.pngи четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

hello_html_66558c7f.png.

Ответ: 0,95.

B12. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью hello_html_m731da65c.pngм/с под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью hello_html_411a32e2.png(м/с), где hello_html_4f9a6c85.pngкг – масса скейтбордиста со скейтом, а hello_html_m2d2bd93b.pngкг – масса платформы. Под каким максимальным углом hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_7a8a9bdb.pngна интервале hello_html_3d49b6f7.pngпри заданных значениях массы скейтбордиста hello_html_4f9a6c85.pngкг и массы платформы hello_html_m2d2bd93b.pngкг:

hello_html_m5d9043f5.png

hello_html_58bc111a.png.

Ответ: 60.

B13. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.
Пусть рабочие в первый день проложили hello_html_m95b8a41.pngметров тоннеля, во второй — hello_html_m52044eae.png, …, в последний — hello_html_52bec080.pngметров тоннеля. Длина тоннеля hello_html_400fa1de.pngметров. hello_html_m5a932275.png, hello_html_572e33c5.pngдней. Тогда в последний день рабочие проложили

hello_html_42137d24.pngметров.

Ответ: 97.

B14. Найдите наибольшее значение функции hello_html_45ec0890.png.

Решение.
Выделим полный квадрат:


hello_html_m658e9d48.png


Отсюда имеем:


hello_html_751dbcd0.png


Поэтому наименьшее значние функции достигается в точке 11, и оно равно 13.

Ответ: 13.

C1. а) Решите уравнение hello_html_32e05f8c.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m771a0f37.png

Решение.
a) Запишем уравнение в виде:

hello_html_24b39cb4.png

hello_html_m74772edf.png.

Значит hello_html_1d1963a3.png.
б) hello_html_m7c453b2b.pngС помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку hello_html_m771a0f37.png.
Находим числа: hello_html_mfe84e56.png.
Ответ: а) hello_html_1d1963a3.png.
б) hello_html_mfe84e56.png.

C2. Точка hello_html_m2db83dc7.png — середина ребра hello_html_m369a8eec.pngкуба hello_html_39fdff06.png. Найдите площадь сечения куба плоскостью hello_html_m3802e874.png, если ребра куба равны 4.

Решение.
hello_html_607c05da.pngПрямая hello_html_m17ad4c1c.pngпересекает прямую hello_html_11efa20.pngв точке hello_html_m7d2ce099.png. Прямая hello_html_m3d8b69a2.pngпересекает ребро hello_html_m417f825c.pngв его середине — точке hello_html_7f43e396.png. hello_html_79f40719.png — сечение куба плоскостью hello_html_m3802e874.png.

В равнобедренном треугольнике hello_html_2611da34.pnghello_html_m58aaa4e2.png, hello_html_4ac466a3.pngи высота hello_html_m3acc23de.png.

Поскольку hello_html_m2650624e.png — средняя линия треугольника hello_html_2611da34.png, получаем:

hello_html_5fdb4261.png



hello_html_m568e9351.png


Ответ: 18.

hello_html_7477a55a.png

C3. Решите систему неравенств





Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_m29f0da3f.png.

hello_html_m70a0dc99.png


Тогда hello_html_44dbd788.png, откуда находим решение первого неравенства системы hello_html_m4dae18a8.png.


2. Решим второе неравенство системы:

hello_html_m29ca7c87.png.


Рассмотрим два случая.


Первый случай: hello_html_6312bbef.png.

hello_html_m64d2aa58.pnghello_html_m1ce2bd85.png


откуда находим: hello_html_m71924fec.png. Все полученные значения переменной удовлетворяют условию hello_html_6312bbef.png.


Второй случай: hello_html_m4538745c.png.

hello_html_m10f66d2d.png


Учитывая условие hello_html_m4538745c.png, получаем: hello_html_m546a1e89.png. Решение второго неравенства исходной системы: hello_html_m2753b8dc.png


3. Поскольку

hello_html_m2c87a07a.pngполучаем решение исходной системы неравенств:

hello_html_m783eb58.png


Ответ: hello_html_m425ece82.pnghello_html_m365e2c96.pnghello_html_11ba415e.png


C4. Продолжение биссектрисы hello_html_m5eb19a61.pngнеравнобедренного треугольника hello_html_m696dbb17.pngпересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке hello_html_m2db83dc7.png. Окружность, описанная около треугольника hello_html_mf1785a7.png, пересекает прямую hello_html_d18b197.pngв точке hello_html_7f43e396.png, отличной от hello_html_m5341012f.png. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника hello_html_m696dbb17.png, если hello_html_m4f0db792.png, hello_html_m773adcb7.png, угол hello_html_1c9ae9bf.pngравен hello_html_m7d79c4e0.png.

Решение.
hello_html_m8aaece2.pngВозможны два случая:

1) точка hello_html_7f43e396.pngлежит между hello_html_m5341012f.pngи hello_html_1242de16.png(рис. 1);
2) точка hello_html_m5341012f.pngлежит между hello_html_7f43e396.pngи hello_html_1242de16.png(рис. 2).

Рассмотрим первый случай.

hello_html_385ed696.png, поэтому треугольники hello_html_m692b63d3.pngи hello_html_m3a72974d.pngравны. Значит, hello_html_m7e89a931.png.

Тогда искомый радиус равен hello_html_bad6a51.png.

Рассмотрим второй случай.

hello_html_m7e8d3151.png, поэтому треугольники hello_html_m692b63d3.pngи hello_html_m3a72974d.pngравны. Значит, hello_html_755699e5.png. Тогда искомый радиус равен hello_html_m703e93b4.png.

Ответ: hello_html_md72ecd5.png; hello_html_4227b4d4.png.


C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при каждом из которых наименьшее значение функции

hello_html_m6ff4c124.png


на множестве hello_html_m354fa9a1.pngне меньше 6.

Решение.
Графиком функции hello_html_73eafe8.pngявляется парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты hello_html_m3dc77580.png. Значит, минимум функции hello_html_6dde1bf8.pngна всей числовой оси достигается при hello_html_7596fe6c.png.

На множестве hello_html_m354fa9a1.pngэта функция достигает наименьшего значения либо в точке hello_html_7596fe6c.png, если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек hello_html_m261131ad.png

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

hello_html_m59014a58.png


hello_html_58cb3c47.png


откуда получаем систему неравенств

hello_html_m71a0ee8b.png

.
решениями которой являются hello_html_2506998a.png; hello_html_44ded5c4.png; hello_html_m52d7e3bb.png.

При hello_html_7052e880.pngимеем: hello_html_373b0cf.png, значит, наименьшее значение функции достигается в точке hello_html_7596fe6c.pngи hello_html_m1598cbd7.png, что не удовлетворяет условию задачи.

При hello_html_44ded5c4.pngимеем: hello_html_5c2d83df.png, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек hello_html_m65b1b535.png, в которых значение функции не меньше 6.

При hello_html_6196f50.pngимеем: hello_html_7fb340.png, значит, наименьшее значение функции достигается в точке hello_html_7596fe6c.pngи hello_html_mc3b1d5f.png, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: hello_html_44ded5c4.png; hello_html_m52d7e3bb.png.

C6. Число hello_html_m1510d82c.pngтаково, что для любого представления hello_html_m1510d82c.pngв виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.

а) Может ли число hello_html_m1510d82c.pngбыть равным 34?
б) Может ли число hello_html_m1510d82c.pngбыть больше hello_html_3f3c6ad5.png?
в) Найдите максимально возможное значение hello_html_m1510d82c.png.

Решение.
a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных hello_html_51c09a0c.png. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна hello_html_m316d11c.png. Значит, hello_html_m1510d82c.pngне может быть равным 34.


б) Поскольку hello_html_m1510d82c.pngявляется суммой двух чисел, не больших 17, получаем hello_html_4ade460f.png. Пусть hello_html_m7894c98f.png. Рассмотрим разбиение числа hello_html_m1510d82c.pngна 35 слагаемых, равных hello_html_ma38487b.png. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна hello_html_m2b241302.png. Значит, hello_html_m1510d82c.pngне может быть больше hello_html_3f3c6ad5.png.


в) Докажем, что число hello_html_3f3c6ad5.pngудовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление hello_html_3f3c6ad5.pngв виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: hello_html_m3550978d.png. Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: hello_html_939d96d.png. Первую группу составим из hello_html_6f7e21bb.pngнебольших слагаемых так, чтобы hello_html_m496eb897.png. Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.
Пусть hello_html_m45e27afa.png. В этом случае hello_html_217d1d8c.pngи hello_html_m38a0c483.png. Поэтому hello_html_243bd668.png, hello_html_m1d35d461.pngи hello_html_29cedb90.png. Тогда hello_html_2148d55f.png.

Полученное противоречие доказывает, что hello_html_4aef39ad.png. Поэтому сумма слагаемых во второй группе hello_html_m46fb7378.png.

Таким образом, число hello_html_55269391.pngудовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел hello_html_m17532981.pngне удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение hello_html_m1510d82c.png — это hello_html_c6cb42b.gif

Ответ: а) нет; б) нет; в) hello_html_c6cb42b.gif











Вариант № 263. ЕГЭ 2014.

B1. Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37 170 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

B2. На рисунке жирными точками показана цена палладия, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой палладия за указанный период. Ответ дайте в рублях за грамм.

hello_html_1fb50192.png

B3. hello_html_1e441007.pngНайдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

B4. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

Фирма-производитель

Процент от выручки,
поступающий в доход салона

Примечания

«Альфа»

6,5 %

Изделия ценой до 20 000 руб.

«Альфа»

2,5 %

Изделия ценой свыше 20 000 руб.

«Бета»

3 %

Все изделия

«Омикрон»

5 %

Все изделия

В прейскуранте приведены цены на четыре кресла-качалки. Определите, продажа какого кресла-качалки наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого кресла-качалки.

Фирма-производитель

Изделие

Цена

«Альфа»

Кресло-качалка «Ода»

16 500 руб.

«Альфа»

Кресло-качалка «Сага»

23 500 руб.

«Бета»

Кресло-качалка «Поэма»

20 500 руб.

«Омикрон»

Кресло-качалка «Элегия»

18 000 руб.

B5. Найдите корни уравнения: hello_html_25210a9c.pngВ ответе запишите наибольший отрицательный корень.

B6. hello_html_634ee78b.pngДва угла вписанного в окружность четырехугольника равны hello_html_m3b7440f7.pngи hello_html_me028b25.png. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

B7. Найдите значение выражения hello_html_3e7a927e.png.

B8. На рисунке изображён график некоторой функции hello_html_m1cbae7e.png(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите hello_html_m4e790999.png, где hello_html_2e8c4959.png — одна из первообразных функции hello_html_6dde1bf8.png.

hello_html_m2d663c6e.png

B9. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pngребро hello_html_m19a3e4ca.png, ребро hello_html_m3f6b8cd.png, ребро hello_html_691ffac6.png. Точка hello_html_m7d2ce099.png — середина ребра hello_html_119896f1.pngНайдите площадь сечения, проходящего через точки hello_html_m6fb23a9.png, hello_html_m13e90e6c.pngи hello_html_m7d2ce099.png.

B10. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

B11. hello_html_52aa0034.pngКонус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на hello_html_435cedfb.png.

B12. Небольшой мячик бросают под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой hello_html_m31c36acb.png, где hello_html_m2169c1ab.pngм/с – начальная скорость мячика, а hello_html_m5f1c422c.png– ускорение свободного падения (считайте hello_html_707778cd.pngм/сhello_html_43c890a2.png). При каком наименьшем значении угла hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

B13. Заказ на 300 деталей первый рабочий выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что за час он делает на 5 деталей больше, чем второй?

B14. Найдите точку минимума функции hello_html_m1b2082be.png.


Часть 2.

C1. а) Решите уравнение hello_html_m46db3d7c.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
hello_html_159f8f9e.png.

C2. В правильной шестиугольной призме hello_html_m24c358c1.pngвсе рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки hello_html_1f7ca3e1.pngдо плоскости hello_html_m46385698.png.

hello_html_m75a74f9b.png

C3. Решить систему неравенств



C4. В треугольнике hello_html_m696dbb17.pngизвестны стороны: hello_html_2ded3a6f.pnghello_html_m568f8ff2.pnghello_html_m49f18a38.png. Окружность, проходящая через точки hello_html_m5341012f.pngи hello_html_1242de16.png, пересекает прямые hello_html_m5eb4582a.pngи hello_html_m368ecef2.pngсоответственно в точках hello_html_m7d2ce099.pngи hello_html_m384743ed.png, отличных от вершин треугольника. Отрезок hello_html_m2ce6f1f7.pngкасается окружности, вписанной в треугольник hello_html_m696dbb17.png. Найдите длину отрезка hello_html_m2ce6f1f7.png.

C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при каждом из которых уравнение hello_html_34d5af3.pngимеет более двух корней.

C6. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более hello_html_18882068.pngот общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более hello_html_5e01d24a.pngот общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?







Решения Вариант № 263. ЕГЭ 2014.

B1. Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37 170 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

Решение.
Переведем высоту из футов в сантиметры: 37 170 hello_html_m6818caa7.png 30,5 = 1 133 685 см. Переведем высоту из сантиметров в метры: 1 133 685 : 100 = 11 336,85 м. Следовательно, полет проходит на высоте 11 336,85 метра.

Ответ: 11 336,85.

B2. На рисунке жирными точками показана цена палладия, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой палладия за указанный период. Ответ дайте в рублях за грамм.

hello_html_1fb50192.png

Решение.
Из графика видно, что наибольшая и наименьшая цены за указанный период составили 172 рубля и 144 рубля соответственно (см. рисунок). Их разность равняется 28 рублям.

Ответ: 28.

B3. hello_html_1e441007.pngНайдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

Решение.
Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Диагональ равна диаметру окружности, описанной около треугольника, следовательно, центр окружности лежит на середине диагонали прямоугольника. Тогда можно легко найти координаты центра окружности.

hello_html_5ee490b1.png, hello_html_9a35ce9.png.

Ответ: 1.

B4. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

Фирма-производитель

Процент от выручки,
поступающий в доход салона

Примечания

«Альфа»

6,5 %

Изделия ценой до 20 000 руб.

«Альфа»

2,5 %

Изделия ценой свыше 20 000 руб.

«Бета»

3 %

Все изделия

«Омикрон»

5 %

Все изделия

В прейскуранте приведены цены на четыре кресла-качалки. Определите, продажа какого кресла-качалки наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого кресла-качалки.

Фирма-производитель

Изделие

Цена

«Альфа»

Кресло-качалка «Ода»

16 500 руб.

«Альфа»

Кресло-качалка «Сага»

23 500 руб.

«Бета»

Кресло-качалка «Поэма»

20 500 руб.

«Омикрон»

Кресло-качалка «Элегия»

18 000 руб.

Решение.
Рассмотрим все варианты.

При продаже кресла-качалки «Ода» по цене 16 500 руб. доход салона составит 16 500hello_html_m6818caa7.png0,065 = 1 072,5 руб.

При продаже кресла-качалки «Сага» по цене 23 500 руб. доход салона составит 23 500hello_html_m6818caa7.png0,025 = 587,5 руб.

При продаже кресла-качалки «Поэма» по цене 20 500 руб. доход салона составит 20 500hello_html_m6818caa7.png0,03 = 615 руб.

При продаже кресла-качалки «Элегия» по цене 18 000 руб. доход салона составит 18 000hello_html_m6818caa7.png0,05 = 900 руб.

Поэтому для салона наиболее выгодна продажа кресла-качалки «Ода» фирмы «Бета», доход от которого составит 1072,5 рубля.

B5. Найдите корни уравнения: hello_html_25210a9c.pngВ ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.
Последовательно получаем:


hello_html_m7f5973e5.png


Значениям hello_html_3521e55e.pngсоответствуют положительные корни.

Если hello_html_m2dcd9fff.png, то hello_html_569b3133.pngи hello_html_m1ec247b5.png.

Если hello_html_m7fc3dfca.png, то hello_html_m40bcb4d9.pngи hello_html_m35ab9d8d.png.

Значениям hello_html_67e0cf5a.pngсоответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число hello_html_f77a03d.png.

Ответ: −4.

B6. hello_html_634ee78b.pngДва угла вписанного в окружность четырехугольника равны hello_html_m3b7440f7.pngи hello_html_me028b25.png. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение.
сумма углов hello_html_m5341012f.pngи hello_html_1242de16.pngравна hello_html_m282e0c5.png, также hello_html_m4a0d6c03.png. Если hello_html_m43f21869.png, то hello_html_m67fbe845.png, если hello_html_m1fb595af.png, то hello_html_m1eb00ece.png

Ответ: 122.

B7. Найдите значение выражения hello_html_3e7a927e.png.

Решение.
В силу периодичности косинуса и симметричности синуса hello_html_m52bf66b2.png, hello_html_55a6bea0.png. Далее используем формулы приведения:

hello_html_7ec1ee56.png.

Ответ: 0,4.

B8. На рисунке изображён график некоторой функции hello_html_m1cbae7e.png(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите hello_html_m4e790999.png, где hello_html_2e8c4959.png — одна из первообразных функции hello_html_6dde1bf8.png.

hello_html_m2d663c6e.png

Решение.
hello_html_67fbbf8.pngРазность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции hello_html_6a0d9078.pngПоэтому


hello_html_2cc6ab91.png

Ответ:7.

B9. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pngребро hello_html_m19a3e4ca.png, ребро hello_html_m3f6b8cd.png, ребро hello_html_691ffac6.png. Точка hello_html_m7d2ce099.png — середина ребра hello_html_119896f1.pngНайдите площадь сечения, проходящего через точки hello_html_m6fb23a9.png, hello_html_m13e90e6c.pngи hello_html_m7d2ce099.png.

Решение.
hello_html_m30f99cac.png
Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение hello_html_m7fb9f05d.png— параллелограмм. Кроме того, ребро hello_html_m12759af7.pngперпендикулярно граням hello_html_m3346ab13.pngи hello_html_47162ad5.png, поэтому углы hello_html_m7e5d1675.pngи hello_html_222890f0.png— прямые. Следовательно, сечение hello_html_m7fb9f05d.png — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника hello_html_6c95b02b.pngпо теореме Пифагора найдем hello_html_m2d3aa881.png


hello_html_m47ffd53d.png


Тогда площадь прямоугольника hello_html_m7fb9f05d.pngравна:


hello_html_m1e5dc434.png

Ответ:5.

B10. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение.
Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна


hello_html_m3c26172f.png


Ответ: 0,6.

B11. hello_html_52aa0034.pngКонус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на hello_html_435cedfb.png.

Решение.
Радиус основания конуса hello_html_m31b3db37.pngравен половине диагонали квадрата hello_html_5e3d15d5.png:  hello_html_35a9030.png. Тогда объем конуса, деленный на hello_html_435cedfb.png:

hello_html_m53459ed3.png

Ответ: 16.

B12. Небольшой мячик бросают под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой hello_html_m31c36acb.png, где hello_html_m2169c1ab.pngм/с – начальная скорость мячика, а hello_html_m5f1c422c.png– ускорение свободного падения (считайте hello_html_707778cd.pngм/сhello_html_43c890a2.png). При каком наименьшем значении угла hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_31813f59.pngна интервале hello_html_3d49b6f7.pngпри заданных значениях начальной скорости hello_html_5444ac75.png. и ускорения свободного падения hello_html_m2b5cbe46.png:

hello_html_73c07996.png

hello_html_m286bec68.png.

Ответ: 30.


B13. Заказ на 300 деталей первый рабочий выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что за час он делает на 5 деталей больше, чем второй?

Решение.
Обозначим hello_html_m1b073d8f.png— число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает hello_html_1cc1edec.pngдеталей, hello_html_4fe21e2b.png. На изготовление 300 деталей первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:

hello_html_m7394c33e.png

hello_html_33445d2e.png

Ответ: 20.

B14. Найдите точку минимума функции hello_html_m1b2082be.png.

Решение.
Найдем производную заданной функции:

hello_html_664a3bda.png


Найдем нули производной:

hello_html_m283a4be3.png


Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_m5cf3292e.png

Искомая точка минимума hello_html_4fffeb3f.png.

Ответ: 1.

C1. а) Решите уравнение hello_html_m46db3d7c.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_159f8f9e.png.

Решение.
hello_html_m38feebba.pngа) Запишем уравнение в виде

hello_html_619fc840.png


Значит, или hello_html_1416ccb3.png, откуда hello_html_m74c31c1d.png, hello_html_m6b7fa6a9.png, или hello_html_132bb77a.png, откуда hello_html_m11f4833f.png, hello_html_m57f15cca.png.

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_159f8f9e.png.

Получим числа: hello_html_3d28742b.png, hello_html_m52eefc92.pngи hello_html_724d33a1.png.

Ответ: а) hello_html_1a9b9956.png, hello_html_m6b7fa6a9.png; hello_html_m5b193232.png, hello_html_m57f15cca.png; б) hello_html_3d28742b.png, hello_html_m52eefc92.pngи hello_html_1e16ed4c.png

C2. В правильной шестиугольной призме hello_html_m24c358c1.pngвсе рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки hello_html_1f7ca3e1.pngдо плоскости hello_html_m46385698.png.

Решение.
hello_html_mcb33baf.pngПрямые hello_html_m369a8eec.pngи hello_html_m4476ed4.pngперпендикулярны прямой hello_html_m2650624e.png. Плоскость hello_html_m46385698.png, содержащая прямую hello_html_m2650624e.png, перпендикулярна плоскости hello_html_5cc5e776.png. Значит, искомое расстояние равно высоте hello_html_7c7f806e.pngпрямоугольного треугольника hello_html_5cc5e776.png, в котором hello_html_274f124a.png, hello_html_1c5bd3b8.png, hello_html_1f24f29.png:

hello_html_22c60c94.png


hello_html_m75a74f9b.pngОтвет: hello_html_m71be3e37.png.

C3. Решить систему неравенств



Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_m7475cbb1.png

hello_html_m103e276a.png


Тогда hello_html_m5fcb1e1.pngили hello_html_m73f3309d.pngоткуда находим решение второго неравенства исходной системы: hello_html_631a55cc.png

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай: hello_html_3ab9f836.png

hello_html_4adad39f.pnghello_html_582dcb43.png


откуда находим: hello_html_m3fbc51c0.pngУчитывая условие hello_html_7255deb3.pngполучаем: hello_html_m6273e64b.png

Второй случай: hello_html_1386896d.png

hello_html_m239a324c.pnghello_html_4b65dbbb.pnghello_html_2789027a.png


Учитывая условие hello_html_45da4602.pngполучаем: hello_html_m7837a73d.png

Решение второго неравенства исходной системы:

hello_html_m3c6fee31.png


3. Поскольку hello_html_m2d2dba99.pngполучаем решение исходной системы неравенств:

hello_html_m2eb58627.png


Ответ: hello_html_m279278a9.png

C4. В треугольнике hello_html_m696dbb17.pngизвестны стороны: hello_html_2ded3a6f.pnghello_html_m568f8ff2.pnghello_html_m49f18a38.png. Окружность, проходящая через точки hello_html_m5341012f.pngи hello_html_1242de16.png, пересекает прямые hello_html_m5eb4582a.pngи hello_html_m368ecef2.pngсоответственно в точках hello_html_m7d2ce099.pngи hello_html_m384743ed.png, отличных от вершин треугольника. Отрезок hello_html_m2ce6f1f7.pngкасается окружности, вписанной в треугольник hello_html_m696dbb17.png. Найдите длину отрезка hello_html_m2ce6f1f7.png.

Решение.
hello_html_598b81f9.pngОбе точки hello_html_m7d2ce099.pngи hello_html_m384743ed.pngне могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок hello_html_m2ce6f1f7.pngне может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки hello_html_m7d2ce099.pngи hello_html_m384743ed.pngлежат на сторонах треугольника. Четырехугольник hello_html_m59565410.png — вписанный, следовательно,

hello_html_2c5551bc.png

Значит, треугольник hello_html_m696dbb17.pngподобен треугольнику hello_html_1ba7329e.png, так как угол hello_html_m696dbb17.png — общий. Пусть коэффициент подобия равен hello_html_6f7e21bb.png, тогда hello_html_m2ca9a709.png, hello_html_m692f044c.png, hello_html_m2e1edb37.png. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника hello_html_m59565410.pngравны:

hello_html_30037bbe.png

hello_html_m364ae867.png


hello_html_4bcdfeac.pngПодставляя известные значения сторон, находим hello_html_63fd5bc8.png. Следовательно, hello_html_7f4635b2.png.

Пусть точка hello_html_m7d2ce099.pngлежит на продолжении стороны hello_html_49e58666.png. Углы hello_html_m7bcb2809.pngи hello_html_72c89eb8.pngравны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник hello_html_m696dbb17.pngподобен треугольнику hello_html_1ba7329e.png, так как угол hello_html_m696dbb17.png — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники hello_html_1ba7329e.pngи hello_html_m696dbb17.pngравны, поэтому hello_html_m2bb3257c.png. Заметим, что hello_html_m13f6cba.pngи точка hello_html_m7d2ce099.pngдействительно лежит на продолжении стороны hello_html_49e58666.png.

Если точка hello_html_m384743ed.pngлежит на продолжении стороны hello_html_m5eb4582a.png, то hello_html_m28192f7b.png, но, аналогично предыдущему случаю, получаем hello_html_m6c24285a.png. Значит, этот случай не достигается.

Ответ: hello_html_5c667c9a.png.

C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при каждом из которых уравнение hello_html_34d5af3.pngимеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции hello_html_32ffe337.pngи hello_html_m7e123bed.png. Исследуем уравнение hello_html_m19b27bbc.png.

На промежутке hello_html_5fb92e31.pngфункция hello_html_6dde1bf8.pngвозрастает. Функция hello_html_m45e8a154.pngубывает на этом промежутке, поэтому уравнение hello_html_m19b27bbc.pngимеет не более одного решения на промежутке hello_html_5fb92e31.png, причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, hello_html_7cce9f42.png, то есть при hello_html_m482e898.png.

При hello_html_m13dadd43.pngуравнение hello_html_m19b27bbc.pngпринимает вид hello_html_m2902772d.png. При hello_html_3b99b30d.pngлевая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При hello_html_m2d15e8a0.pngэто уравнение сводится к квадратному уравнению hello_html_m735e000.pngдискриминант которого hello_html_m2992e143.png, поэтому при hello_html_m30bc64eb.pngэто уравнение не имеет корней; при hello_html_5b50080e.pngуравнение имеет единственный корень, равный hello_html_7e56e6a3.png; при hello_html_3afe373a.pngуравнение имеет два корня.


Пусть уравнение имеет два корня,

hello_html_m78752636.pngи hello_html_m5d329184.png.


Тогда меньший корень hello_html_173040ae.pngвсегда меньше hello_html_ea852ea.png, а больший корень hello_html_m79b0ba0a.pngне превосходит hello_html_ea852ea.png, если hello_html_54bee8e9.png, то есть при hello_html_7c579138.png.


По теореме Виета:

hello_html_4f6a844.png, hello_html_m3d66e3bf.png,


поэтому знаки корней hello_html_173040ae.pngи hello_html_m79b0ba0a.pngзависят от знаков выражений hello_html_m2de38644.pngи hello_html_43fcb37d.png. Значит, при hello_html_m16a7ac80.pngоба корня отрицательны, при hello_html_m5412531.pngодин из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при hello_html_4ca3b14.pngоба корня неотрицательны.


Таким образом, при hello_html_m13dadd43.pngуравнение hello_html_m2902772d.pngне имеет корней при hello_html_4c9b8f0d.pngи hello_html_m30bc64eb.png, имеет один корень при hello_html_43bd44f9.pngи hello_html_m7ed7f986.png, имеет два корня при hello_html_7c579138.png.

Таким образом, уравнение hello_html_34d5af3.pngимеет следующее количество корней:

— нет корней при hello_html_4c9b8f0d.png;
— один корень при hello_html_m378249b2.pngи hello_html_m30bc64eb.png;
— два корня при hello_html_m633df227.pngи hello_html_m7ed7f986.png;
— три корня при hello_html_7c579138.png.

Ответ: hello_html_7c579138.png.

C6. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более hello_html_18882068.pngот общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более hello_html_5e01d24a.pngот общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Решение.
а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше hello_html_m6ad2dc6d.png, что больше hello_html_18882068.png. Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку hello_html_m5815b42f.pngно тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе hello_html_m177812cb.pngмальчиков, посетивших театр, hello_html_m7ac3076a.pngмальчиков, посетивших кино, и hello_html_m6d9e1981.pngдевочек. Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

По условию

hello_html_5066d1b2.png


значит, hello_html_30db3382.pngТогда hello_html_mdbc6c19.png, поэтому доля девочек в группе:

hello_html_66034eca.png


Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна hello_html_330e2116.png.

Ответ: а) да: б) 10; в) hello_html_330e2116.png.






























































Вариант № 264. ЕГЭ 2014.

B1. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Bhello_html_m14ace535.png2. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Замбия?



B3. hello_html_m3381b6a3.pngНайдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

B4. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Абонент выбрал самый дешевый тарифный план, исходя из предположения, что длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.


Тарифный план

Абонентская плата (в месяц)

Плата за 1 минуту разговора

«Повременный»

нет

0,35 руб.

«Комбинированный»

130 руб. за 320 мин.

0,3 руб. (сверх 320 мин. в месяц)

«Безлимитный»

200 руб.


B5. Найдите корень уравнения hello_html_8d0db31.png.

B6. hello_html_m42d981a9.pngВ четырехугольник hello_html_5e3d15d5.pngвписана окружность, hello_html_m60e325fb.png, hello_html_557fbdc6.png. Найдите периметр четырехугольника.

B7. Вычислите значение выражения: hello_html_m46a7958c.png.

B8. На рисунке изображён график hello_html_12d24362.pngпроизводной функции hello_html_6dde1bf8.pngи восемь точек на оси абсцисс: hello_html_m5914def1.pnghello_html_20ab3c08.pnghello_html_40b3364c.pnghello_html_mb3b55f2.png,hello_html_m2b6a5ac1.png. В скольких из этих точек функция hello_html_6dde1bf8.pngубывает?


hello_html_7611c08e.png

B9. В правильной четырёхугольной призме hello_html_39fdff06.pngизвестно, что hello_html_m73cf1eca.png. Найдите угол между диагоналями hello_html_513bf081.pngи hello_html_mf89615d.png. Ответ дайте в градусах.

B10. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

B11. hello_html_3092e031.png Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

B12. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону hello_html_m35f7c0a2.png(см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

B13. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?


B14.

Найдите точку максимума функции hello_html_m430ae88d.png.


Часть 2.



C1. а) Решите уравнение hello_html_6d3798dd.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_159f8f9e.png

C2. На ребре hello_html_m3637c7ab.pngкуба hello_html_39fdff06.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_58f75fbd.png. Найдите угол между прямыми hello_html_1afe8f6e.pngи hello_html_402249c8.png.

C3. Решите систему неравенств


hello_html_7fbb9ab6.png

C4. Точка hello_html_m78d0cd47.png— центр правильного шестиугольника hello_html_m1944ec3.pngсо стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников hello_html_7bac6023.png, hello_html_m3815b0b1.pngИ hello_html_1b3934c0.png.

C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при каждом из которых уравнение hello_html_18deb27.pngимеет более двух корней.

C6. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.

а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

































Решения Вариант № 264. ЕГЭ 2014.

B1. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Решение.
Магазин снизил цену на пакет кефира на 40 − 38 = 2 рубля. Разделим 2 на 40:

hello_html_m3135af6b.png.

Значит, скидка для пенсионеров составляет 5%.

Ответ: 5.

B2. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Замбия?


hello_html_m14ace535.png

Решение.
Расположим страны в порядке убывания количества выплавки меди в год:

1) США
2) Перу
3) Китай
4) Австралия
5) Индонезия
6) Россия
7) Канада
8) Польша
9) Замбия
10) Казахстан

Приведем другое решение
Меньше, чем в Замбии, выплавляют медь только в Казахстане, находящимся на десятом месте. Следовательно, Замбия находится на девятом месте

Ответ: 9.

B3. hello_html_m3381b6a3.pngНайдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
hello_html_m419ae76.pngПлощадь четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников, на которые он разбивается диагональю. Поэтому

hello_html_m135a0fe7.pngсм2.

Ответ: 7,5.

B4. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Абонент выбрал самый дешевый тарифный план, исходя из предположения, что длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.


Тарифный план

Абонентская плата (в месяц)

Плата за 1 минуту разговора

«Повременный»

нет

0,35 руб.

«Комбинированный»

130 руб. за 320 мин.

0,3 руб. (сверх 320 мин. в месяц)

«Безлимитный»

200 руб.


Решение.
Рассмотрим три случая.

На тарифном плане «Повременный» ежемесячная плата будет равна оплате за 700 мин. 700 hello_html_m6818caa7.png 0,35 = 245 руб.

На тарифном плане «Комбинированный» ежемесячная плата будет складываться из абонентской 130 руб. и платы за 380 мин. сверх тарифа 380 hello_html_m6818caa7.png 0,3 = 114 руб. и будет составлять 130 + 114 = 244 руб.

На тарифном плане «Безлимитный» ежемесячная плата будет равна 200 рублям.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 200 рублей.

Ответ: 200.

B5. Найдите корень уравнения hello_html_8d0db31.png.

Решение.
Используем формулу hello_html_59061c56.png:

hello_html_m61e7c9da.png


Приведем другое решение:


hello_html_7d009ede.png


Ответ:2.

B6. hello_html_m42d981a9.pngВ четырехугольник hello_html_5e3d15d5.pngвписана окружность, hello_html_m60e325fb.png, hello_html_557fbdc6.png. Найдите периметр четырехугольника.

Решение.
В выпуклый прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда hello_html_m1e6ee5ca.pngТогда

hello_html_m64fab3d7.png

Ответ: 52.

B7. Вычислите значение выражения: hello_html_m46a7958c.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_m18261df8.png.

Ответ: 3.

B8. На рисунке изображён график hello_html_12d24362.pngпроизводной функции hello_html_6dde1bf8.pngи восемь точек на оси абсцисс: hello_html_m5914def1.pnghello_html_20ab3c08.pnghello_html_40b3364c.pnghello_html_mb3b55f2.png,hello_html_m2b6a5ac1.png. В скольких из этих точек функция hello_html_6dde1bf8.pngубывает?


hello_html_7611c08e.png

Решение.
Убыванию дифференцируемой функции hello_html_6dde1bf8.pngсоответствуют отрицательные значения её производной. Производная отрицательна в точках hello_html_m146fc301.pngСледовательно, таких точек 5.

Ответ:5.

B9. В правильной четырёхугольной призме hello_html_39fdff06.pngизвестно, что hello_html_m73cf1eca.png. Найдите угол между диагоналями hello_html_513bf081.pngи hello_html_mf89615d.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_m338fac08.png
Диагональ AC1 равна диагонали A1C, поскольку AA1C1C является прямоугольником. Аналогично равны A1C и BD1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A1BC: поскольку AC1 = 2BC, синус угла BA1C равен 0,5. Следовательно, сам угол равен 30°. Проведя аналогичные рассуждения для треугольника D1A1B, получаем, что угол A11 равен 30°.

Из того, что сумма углов треугольника A1GB равна 180° получаем, что угол A1GB равен 120°, а искомый угол равен 60°.

Ответ:60.

B10. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение.
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

B11. hello_html_3092e031.png
Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

Решение.
Объем цилиндра равен произведению площади основания ны высоту. Площадь основания цилиндра равна площади большого круга вписанного шара, а высота цилиндра равна диаметру вписанного шара. Поэтому


hello_html_m75e1ace5.png

Ответ: 36.

B12. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону hello_html_m35f7c0a2.png(см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_59286b0d.pngcм/с при заданном законе изменения скорости hello_html_m35f7c0a2.png:

hello_html_me6126dc.png

Таким образом, hello_html_21205dbf.pngпервой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Ответ: 0,67.

B13. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим hello_html_m52b13229.pngи hello_html_db19de8.pnghello_html_m5ea9092e.png— скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:

hello_html_m378c2b8c.png.

По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть hello_html_m51d956a7.png. Таким образом,

hello_html_5b6917de.png.

Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.

Ответ: 9.


Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.

B14.

Найдите точку максимума функции hello_html_m430ae88d.png.

Решение.
Квадратный трехчлен hello_html_18b6c18a.pngс отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке hello_html_7b9e15a6.png, в нашем случае — в точке −7. Поскольку функция hello_html_m7da33a2c.pngвозрастает, и функция hello_html_m430ae88d.pngопределена в точке −7, она также достигает в ней максимума.

Ответ: −7.

C1. а) Решите уравнение hello_html_6d3798dd.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_159f8f9e.png

Решение.
hello_html_74288081.pngа) Из данного уравнения получаем:

hello_html_3f8ca0f7.png.


Значит, или hello_html_m18ca3144.png, откуда hello_html_56b2b4c6.png, или hello_html_m11417e7c.png, откуда hello_html_1c943ac1.pngили hello_html_219a7a93.png

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку hello_html_159f8f9e.png. Получим числа: hello_html_m2a8a9ad2.png.

Ответ: а) hello_html_m4b90f43e.png, hello_html_m6b7fa6a9.png; hello_html_b4b0ae0.png, hello_html_m57f15cca.png; б) hello_html_m2a8a9ad2.png.

C2. На ребре hello_html_m3637c7ab.pngкуба hello_html_39fdff06.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_58f75fbd.png. Найдите угол между прямыми hello_html_1afe8f6e.pngи hello_html_402249c8.png.

Решение.
hello_html_4ab4b69e.pngПримем ребро куба за единицу. Тогда hello_html_53214bf2.png.

Поскольку hello_html_58f75fbd.png, получаем: hello_html_2e0283aa.pngи hello_html_3d7e3927.png.


Проведем через точку hello_html_7dfd8584.pngпрямую, параллельную hello_html_1afe8f6e.png. Она пересекает ребро hello_html_m369a8eec.pngв точке hello_html_7f43e396.png, причем треугольники hello_html_79c8befc.pngи hello_html_332a0e0e.pngравны. Искомый угол равен углу hello_html_m154fbee3.png(или смежному с ним).

В прямоугольном треугольнике hello_html_332a0e0e.pngс прямым углом hello_html_m4ce8aa10.png

hello_html_7d2d2f8b.png


В прямоугольном треугольнике hello_html_m3ccaf60c.pngс прямым углом hello_html_1f7ca3e1.png

hello_html_m6917fb42.png


В треугольнике hello_html_m154fbee3.png

hello_html_66134c12.png


откуда

hello_html_m2ba8a225.png, тогда hello_html_5b104334.png


Ответ может быть представлен и в другом виде: hello_html_m5a52f3fb.pngили hello_html_m6b79c5e.png

Ответ: hello_html_55642dd1.png.

C3. Решите систему неравенств


hello_html_7fbb9ab6.png

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_m29f0da3f.png.

hello_html_6058086d.png


Учитывая, что hello_html_6aa5cd14.png, получаем: hello_html_m559d6e82.png, откуда находим решение первого неравенства системы hello_html_m33ade4f1.png.


2. Решим второе неравенство системы:

hello_html_ae6f08b.png.


Сделаем замену hello_html_34326c7d.png

hello_html_3aa14d0b.png


Тогда hello_html_m44b781ca.pngили hello_html_4bb450b0.png, откуда находим решение второго неравенства системы: hello_html_mbf9f27a.pnghello_html_m324bafdb.png.

3. Поскольку hello_html_m33e26778.pngи hello_html_33ce6ee6.png, получаем решение исходной системы неравенств:

hello_html_m6fcb09c0.pnghello_html_228409d8.png


Ответ: hello_html_m17b8a9a5.png; hello_html_341fc54f.png.

C4. Точка hello_html_m78d0cd47.png— центр правильного шестиугольника hello_html_m1944ec3.pngсо стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников hello_html_7bac6023.png, hello_html_m3815b0b1.pngИ hello_html_1b3934c0.png.

Решение.
hello_html_m10394ec2.pngЗаметим, что hello_html_277615ca.png, поэтому вершина hello_html_m6f798b11.png— центр окружности, описанной около треугольника ВОD. Аналогично, точки hello_html_mc091cbc.pngи hello_html_5a0dd268.png— центры окружностей, описанных около треугольников hello_html_1b3934c0.pngи hello_html_m3815b0b1.pngсоответственно.

Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).

Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки hello_html_m9e10590.png, hello_html_c7d9e92.pngи hello_html_2d230ad6.pngза точки hello_html_mc091cbc.png, hello_html_m6f798b11.pngи hello_html_5a0dd268.pngдо пересечения с соответствующими окружностями в точках hello_html_m6fb23a9.png, hello_html_3e76be84.png, hello_html_67d97521.png. Тогда hello_html_766bed22.png- диаметры данных окружностей. Окружность hello_html_m1510d82c.png, проходящая через точки hello_html_m6fb23a9.png, hello_html_7dfd8584.pngи hello_html_67d97521.png, касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника hello_html_1b3934c0.png, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность касается остальных двух окружностей.

Рассмотрим второй случай. Пусть hello_html_5c84c3f2.png— центр окружности радиуса hello_html_101c486b.png, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника hello_html_7bac6023.pngи внешним образом — описанных окружностей треугольников hello_html_1b3934c0.pngи hello_html_m3815b0b1.png. Пусть hello_html_8715733.png— основание перпендикуляра, опущенного из центра hello_html_m5341012f.pngописанной окружности треугольника hello_html_1b3934c0.pngна хорду hello_html_m2eb1ac04.png. Тогда hello_html_266fea5c.png— высота равностороннего треугольника hello_html_mc8d09a.png, поэтому hello_html_63b80568.png. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
hello_html_m6037aaf.png

hello_html_m18139ca1.png

.
По теореме Пифагора hello_html_m1d98ee45.png, или

hello_html_m55bce447.png

,
откуда находим х = 6.

Ответ: 14; 6.

C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при каждом из которых уравнение hello_html_18deb27.pngимеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции hello_html_15eb54f2.pngи hello_html_m7e123bed.png. Исследуем уравнение hello_html_m19b27bbc.png.

На промежутке hello_html_5fb92e31.pngфункция hello_html_6dde1bf8.pngвозрастает. Функция hello_html_m45e8a154.pngубывает на этом промежутке, поэтому уравнение hello_html_m19b27bbc.pngимеет не более одного решения на промежутке hello_html_5fb92e31.png, причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, hello_html_7cce9f42.png, то есть при hello_html_m482e898.png.

При hello_html_m13dadd43.pngуравнение hello_html_m19b27bbc.pngпринимает вид hello_html_m79f35cbb.png. При hello_html_e21f224.pngлевая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При hello_html_m18ada9b7.pngэто уравнение сводится к квадратному уравнению hello_html_5848b7e0.pngдискриминант которого hello_html_4bc6ab06.png, поэтому при hello_html_m68596def.pngэто уравнение не имеет корней; при hello_html_5b50080e.pngуравнение имеет единственный корень, равный hello_html_79ea9cb7.png; при hello_html_6640977.pngуравнение имеет два корня.


Пусть уравнение имеет два корня,

hello_html_m4630d8c7.pngи hello_html_m4e058ad.png.


Тогда меньший корень hello_html_173040ae.pngвсегда меньше hello_html_m5cecdf86.png, а больший корень hello_html_m79b0ba0a.pngне превосходит hello_html_m5cecdf86.png, если hello_html_54bee8e9.png, то есть при hello_html_20c62222.png.


По теореме Виета:

hello_html_m2ede9be1.png, hello_html_6b294bae.png,


поэтому знаки корней hello_html_173040ae.pngи hello_html_m79b0ba0a.pngзависят от знаков выражений hello_html_m52a66195.pngи hello_html_m395ab001.png. Значит, при hello_html_m16a7ac80.pngоба корня отрицательны, при hello_html_m5412531.pngодин из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при hello_html_4ca3b14.pngоба корня неотрицательны.


Таким образом, при hello_html_m13dadd43.pngуравнение hello_html_m79f35cbb.pngне имеет корней при hello_html_4c9b8f0d.pngи hello_html_m68596def.png, имеет один корень при hello_html_m2bd15b53.pngи hello_html_5b50080e.png, имеет два корня при hello_html_20c62222.png.

Таким образом, уравнение hello_html_18deb27.pngимеет следующее количество корней:

— нет корней при hello_html_4c9b8f0d.png;
— один корень при hello_html_m378249b2.pngи hello_html_m68596def.png;
— два корня при hello_html_b51ed8d.pngи hello_html_5b50080e.png;
— три корня при hello_html_20c62222.png.

Ответ: hello_html_20c62222.png.

C6. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.

а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Решение.
а) В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6.

б) В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4.

Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, состоящая не менее чем из пяти членов. Рассмотрим любые пять её последовательных членов. Разделим каждый член на наибольший общий делитель всех пяти членов. Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз, полученные числа hello_html_m95b8a41.png, hello_html_m52044eae.png, hello_html_4dae0823.png, hello_html_1414cb86.png, hello_html_335a5e4b.pngтакже образуют арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Заметим, что числа hello_html_m95b8a41.png, hello_html_m52044eae.png, hello_html_4dae0823.png, hello_html_1414cb86.png, hello_html_335a5e4b.pngне могут все быть четными или все делиться на 3.

Если разность этой прогрессии делится на 3, то в ней не может быть члена, делящегося на 3 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэтому все члены прогрессии являются степенями двойки. Поскольку все члены не могут быть четными, получаем, что среди них присутствует 1. Но в этом случае разность прогрессии нечётна, поэтому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует.

Пусть теперь разность прогрессии hello_html_m6d9e1981.pngне делится на 3. Тогда если hello_html_m95b8a41.pngделится на 3, то члены hello_html_m610fa3c6.png, hello_html_47d69f7f.pngи hello_html_11f004b2.pngне делятся на 3, а hello_html_m6b693ca7.pngделится на 3. Аналогично, если hello_html_m52044eae.pngделится на 3, то из чисел hello_html_m95b8a41.png, hello_html_4dae0823.png, hello_html_1414cb86.png, hello_html_335a5e4b.pngна 3 будет делиться только hello_html_335a5e4b.png. Наконец, если hello_html_4dae0823.pngделится на 3, то ни одно из чисел hello_html_m95b8a41.png, hello_html_m52044eae.png, hello_html_1414cb86.png, hello_html_335a5e4b.pngне делится на 3. Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки.

Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. Поэтому одно из этих чисел - единица. Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в этом случае на 3 делится только hello_html_4dae0823.png, поскольку единица — один из двух последовательных членов прогрессии, являющихся степенями двойки. Тогда hello_html_m95b8a41.png, hello_html_m52044eae.png, hello_html_1414cb86.png, hello_html_335a5e4b.pngявляются степенями двойки. Разность прогрессии hello_html_6f8fabae.png, значит, она чётна и все члены прогрессии чётны, чего не может быть.

Ответ: а) да; б) 4.













Вариант № 265. ЕГЭ 2014.

B1. Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Bhello_html_m7f0bdcc.png2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.



B3. hello_html_m3c0088d4.pngНайдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
B4. Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?


Поставщик

Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3 )

Стоимость доставки (руб.)

Дополнительные условия доставки

А

2 600

10 000

Нет

Б

2 800

8 000

При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная

В

2 700

8 000

При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

B5. Найдите корень уравнения hello_html_m72119200.png

B6. hello_html_m19381ecc.pngЧему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

B7. Вычислите значение выражения: hello_html_m46a7958c.png.

B8. На рисунке изображён график hello_html_12d24362.pngпроизводной функции hello_html_6dde1bf8.pngи восемь точек на оси абсцисс: hello_html_m5914def1.pnghello_html_20ab3c08.pnghello_html_40b3364c.pnghello_html_mb3b55f2.png, hello_html_m2b6a5ac1.png. В скольких из этих точек функция hello_html_6dde1bf8.pngвозрастает?


hello_html_2c95f1eb.png

B9. В кубе hello_html_39fdff06.pngточка hello_html_m7d2ce099.png — середина ребра hello_html_m6a63fb95.png, точка hello_html_m384743ed.png — середина ребра hello_html_11efa20.png, точка hello_html_8715733.png — середина ребра hello_html_m12759af7.png. Найдите угол hello_html_m28e8c748.png. Ответ дайте в градусах.

B10. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

B11. hello_html_m310c3610.pngНайдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m5341012f.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_1242de16.png, hello_html_6de111be.png, hello_html_m2db83dc7.png, hello_html_7f43e396.png, hello_html_m6fb23a9.pngправильной шестиугольной призмы hello_html_m24c358c1.png, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
B12. Трактор тащит сани с силой hello_html_m7eb6fd5c.pngкН, направленной под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной hello_html_md78a4ef.pngм вычисляется по формуле hello_html_m4da7293.png. При каком максимальном угле hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

B13. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

B14. Найдите наименьшее значение функции hello_html_m705eb405.png.


Часть 2.


C1. а) Решите уравнение hello_html_2b373609.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_22c56b20.png.

C2. В правильной четырёхугольной призме hello_html_39fdff06.pngстороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре hello_html_m6a63fb95.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_264257ec.png. Найдите угол между плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.




C3. Решите систему неравенств hello_html_m5d2d93f5.png

C4. На прямой, содержащей медиану hello_html_m412c4912.pngпрямоугольного треугольника hello_html_m696dbb17.pngс прямым углом hello_html_1242de16.png, взята точка hello_html_m2db83dc7.png, удаленная от вершины hello_html_m5341012f.pngна расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника hello_html_79c8befc.png, если hello_html_501d25f1.png, hello_html_5b81c8b2.png.

C5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство hello_html_5a00e38b.pngвыполняется для всех hello_html_6407a9f6.png.



C6. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число hello_html_767e61eb.png, что любой моток веревки, длина которого больше hello_html_767e61eb.pngсм, можно разрезать на стандартные куски.



















Решение варианта № 265. ЕГЭ 2014.

B1. Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение.
Разделим 48 на 0,12:

hello_html_m3b1bf871.png.

Значит, в олимпиаде участвовало 400 человек.

Ответ: 400.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.
hello_html_m7f0bdcc.png

Решение.
Из диаграммы видно, что средняя температура в Ярославле была отрицательной в течение пяти месяцев: в январе, феврале, марте, ноябре и декабре.

B3. hello_html_m3c0088d4.pngНайдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.




Решение.
hello_html_m21b840af.pngПлощадь трапеции равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому


hello_html_m4a8d034b.pnghello_html_69a4f89b.png.

B4. Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?


Поставщик

Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3 )

Стоимость доставки (руб.)

Дополнительные условия доставки

А

2 600

10 000

Нет

Б

2 800

8 000

При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная

В

2 700

8 000

При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

Решение.
Рассмотрим все варианты.

При покупке у поставщика A стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2600 hello_html_m6818caa7.png 70 = 182 000 руб. и стоимости доставки и равна 182 000 + 10 000 = 192 000 руб.

При покупке у поставщика Б стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2800 hello_html_m6818caa7.png 70 = 196 000 руб. и стоимости доставки и равна 196 000 + 8000 = 204 000 руб. Но так как стоимость заказа больше 150 000 руб., то доставка бесплатно. Таким образом, стоимость 196 000 руб.

При покупке у поставщика В стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2700 hello_html_m6818caa7.png 70 = 189 000 руб. и стоимости доставки и равна 189 000 + 8000 = 197 000 руб. Но так как стоимость заказа меньше 200 000 руб., то доставка не бесплатно. Таким образом, стоимость заказа 197 000 руб.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 192 000 рублей.

Ответ: 192 000.

B5. Найдите корень уравнения hello_html_m72119200.png

Решение.
Последовательно получаем:

hello_html_m2d5e018c.png

Ответ: 0.

B6. hello_html_m19381ecc.pngЧему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_m48e1af5d.pngвписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до hello_html_m282e0c5.png. Треугольник hello_html_m5b98a86b.pngявляется равносторонним, т. к. hello_html_m79a8ece.png, соответственно,hello_html_m10923556.png. Тогда

hello_html_m5d1e8e08.png.

Ответ: 150.

B7. Вычислите значение выражения: hello_html_m46a7958c.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_m18261df8.png.

Ответ: 3.

B8. На рисунке изображён график hello_html_12d24362.pngпроизводной функции hello_html_6dde1bf8.pngи восемь точек на оси абсцисс: hello_html_m5914def1.pnghello_html_20ab3c08.pnghello_html_40b3364c.pnghello_html_mb3b55f2.png, hello_html_m2b6a5ac1.png. В скольких из этих точек функция hello_html_6dde1bf8.pngвозрастает?


hello_html_2c95f1eb.png

Решение.
Возрастанию дифференцируемой функции hello_html_6dde1bf8.pngсоответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках hello_html_m466ee4bc.pngТаких точек 3.

Ответ:3.

B9. В кубе hello_html_39fdff06.pngточка hello_html_m7d2ce099.png — середина ребра hello_html_m6a63fb95.png, точка hello_html_m384743ed.png — середина ребра hello_html_11efa20.png, точка hello_html_8715733.png — середина ребра hello_html_m12759af7.png. Найдите угол hello_html_m28e8c748.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_35b6f5b0.png
Стороны сечения KM, KL, и LM равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников AKM, KLA, и LAM, которые равны друг другу по двум катетам. Таким образом, треугольник LKM является равносторонним. Поэтому угол MLK равен 60°.

Ответ:60.

B10. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна hello_html_f7d72d9.png

Ответ: 0,027.

B11. hello_html_m310c3610.pngНайдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m5341012f.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_1242de16.png, hello_html_6de111be.png, hello_html_m2db83dc7.png, hello_html_7f43e396.png, hello_html_m6fb23a9.pngправильной шестиугольной призмы hello_html_m24c358c1.png, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.


Решение.
hello_html_m23529a1a.pngОснование пирамиды такое же, как основание правильной шестиугольной призмы, и высота у них общая. Поэтому


hello_html_m4e6df657.png


Ответ: 4.

B12. Трактор тащит сани с силой hello_html_m7eb6fd5c.pngкН, направленной под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной hello_html_md78a4ef.pngм вычисляется по формуле hello_html_m4da7293.png. При каком максимальном угле hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_m64f4c989.pngна интервале hello_html_3d49b6f7.pngпри заданных значениях силы hello_html_m7eb6fd5c.pngкН и длины пути hello_html_md78a4ef.pngм:

hello_html_69f97d48.png.

Ответ: 60.

B13. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим hello_html_m52b13229.pngи hello_html_db19de8.pnghello_html_m5ea9092e.png— скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:

hello_html_m378c2b8c.png.

По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть hello_html_m51d956a7.png. Таким образом,

hello_html_5b6917de.png.

Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.

Ответ: 9.


Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.

B14. Найдите наименьшее значение функции hello_html_m705eb405.png.

Решение.
Выделим полный квадрат:


hello_html_m2d64310e.png


Отсюда имеем:


hello_html_4197716d.png


Поэтому наименьшее значние функции достигается в точке −11, и оно равно 1.

Ответ: 1.

C1. а) Решите уравнение hello_html_2b373609.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_22c56b20.png.

Решение.
hello_html_4e34a341.pngа) Запишем уравнение в виде

hello_html_2687e1ab.pnghello_html_m25555d48.png


Значит, или hello_html_674dcd5e.png — уравнение не имеет корней, или hello_html_132bb77a.png, откуда hello_html_mef172c9.png, hello_html_m6b7fa6a9.png.

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_22c56b20.png.

Получим число hello_html_m4cb2e1f6.png.

Ответ: а) hello_html_m65406719.png, hello_html_m6b7fa6a9.png; б) hello_html_m4cb2e1f6.png.

C2. В правильной четырёхугольной призме hello_html_39fdff06.pngстороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре hello_html_m6a63fb95.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_264257ec.png. Найдите угол между плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.

Решение.
hello_html_1c83a706.pngПрямая hello_html_m1ca04855.pngпересекает прямую hello_html_m18037f7d.pngв точке hello_html_m331d64b2.png. Плоскости hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.pngпересекаются по прямой hello_html_m69f9886b.png.

Из точки hello_html_5a0dd268.pngопустим перпендикуляр hello_html_2345900d.pngна прямую hello_html_m69f9886b.png, тогда отрезок hello_html_m315c5ddb.png(проекция hello_html_2345900d.png) перпендикулярен прямой hello_html_m69f9886b.png. Угол hello_html_5d919fae.pngявляется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.

Поскольку hello_html_264257ec.png, получаем:

hello_html_m4260ed48.png


Из подобия треугольников hello_html_m1ad3a509.pngи hello_html_40a4a46.pngнаходим:

hello_html_17f5610e.png


В прямоугольном треугольнике hello_html_760c2d41.pngс прямым углом hello_html_m5341012f.png: hello_html_7bd7eaa5.png; hello_html_a3aeab2.png; hello_html_12ae0bc6.png, откуда высота

hello_html_m108098f0.png.


Из прямоугольного треугольника hello_html_m4056d976.pngс прямым углом hello_html_m5341012f.pngполучаем:

hello_html_7c462aa1.png.


Ответ может быть представлен и в другой форме: hello_html_m473458f1.pngили hello_html_m3a63f74f.png

Ответ: hello_html_m2c1636de.png.

C3. Решите систему неравенств hello_html_m5d2d93f5.png

Решение.
Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_78e18dfe.png, тогда:


hello_html_5125188f.png


Вернемся к исходной переменной. Имеем:


hello_html_5eaf5f7d.png


Решим второе неравенство системы. Используя формулу hello_html_m266de833.png, получаем:


hello_html_77e6a47e.png

hello_html_m304418dc.png



Тем самым, решениями исходной системы неравенств являются hello_html_mb818ead.png

Ответ: hello_html_5c9df67b.png

C4. На прямой, содержащей медиану hello_html_m412c4912.pngпрямоугольного треугольника hello_html_m696dbb17.pngс прямым углом hello_html_1242de16.png, взята точка hello_html_m2db83dc7.png, удаленная от вершины hello_html_m5341012f.pngна расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника hello_html_79c8befc.png, если hello_html_501d25f1.png, hello_html_5b81c8b2.png.

Решение.
hello_html_ce66d62.png
По теореме Пифагора hello_html_9d43121.png. Тогда hello_html_m60f7f9bf.png.

Пусть точка hello_html_m2db83dc7.pngлежит на луче hello_html_m412c4912.png. Медиана hello_html_m412c4912.pngдлиннее hello_html_m17ad4c1c.png, и точка hello_html_m2db83dc7.pngлежит внутри треугольника hello_html_m696dbb17.png.

Опустим из точки hello_html_m2db83dc7.pngперпендикуляр hello_html_m2650624e.pngна прямую hello_html_m5eb4582a.pngи рассмотрим подобные прямоугольные треугольники hello_html_m61b62132.pngи hello_html_m11f3f37.png. Из подобия треугольников находим:

hello_html_dd65796.png


hello_html_6ae5d676.pngСледовательно, hello_html_m61089ac1.png.

Пусть теперь точка hello_html_m5341012f.pngлежит между hello_html_m2db83dc7.pngи hello_html_6de111be.png. В этом случае hello_html_m64f5a2b9.pngи hello_html_50d9a802.png. Тогда hello_html_5c81e901.png.

Ответ: 2,4; 21,6.

C5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство hello_html_5a00e38b.pngвыполняется для всех hello_html_6407a9f6.png.

Решение.
Рассмотрим функцию hello_html_m10b7c869.png. Эта функция возрастает на промежутке hello_html_m21e87493.pngи убывает па промежутке hello_html_7466f71f.png.

Исходное неравенство имеет вид hello_html_7f5e0017.png, значит, график функции hello_html_m591ec036.pngна отрезке hello_html_m773ac7d6.pngдолжен находиться в пределах горизонтальной полосы: hello_html_52f7b7d1.png

Отрезок hello_html_m773ac7d6.pngне должен лежать на участке монотонности функции hello_html_m3c87610a.png, иначе приращение hello_html_6dde1bf8.pngна отрезке длины 5 будет не меньше 25, поэтому её график не поместится в полосе ширины 20. Следовательно, hello_html_4f1b9473.png, откуда hello_html_m64b7e1af.png.

Наибольшее значение функции hello_html_6dde1bf8.pngна отрезке hello_html_b47f8e.pngдостигается либо при hello_html_m13d6c23e.png, либо при hello_html_7e4f88cf.png.

Наименьшее значение функции hello_html_6dde1bf8.pngна отрезке hello_html_b47f8e.pngдостигается при hello_html_569b3133.png. Получаем систему:

hello_html_m21fa7625.png,


откуда hello_html_m74311a7c.png.

Ответ: hello_html_m74311a7c.png

C6. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число hello_html_767e61eb.png, что любой моток веревки, длина которого больше hello_html_767e61eb.pngсм, можно разрезать на стандартные куски.

Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной hello_html_101c486b.pngсм. Условие того, что его можно разрезать на hello_html_m1b073d8f.pngстандартных кусков, записывается в виде hello_html_11386f2d.pngили hello_html_m1db55055.png

а) В данном случае имеем hello_html_m14f069ae.png(неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на hello_html_5bb12cfb.pngстандартных кусков, тогда При hello_html_71527e09.pngполучаем

hello_html_m4005deae.png


т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска.

При hello_html_4afefcfa.pngполучаем hello_html_m2f510866.pngЗначит, эту веревку можно разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки hello_html_m7f29d7e8.pngи hello_html_m1763fc52.pngявляющиеся решениями неравенств hello_html_11386f2d.pngи hello_html_m32450b7a.pngимеют общие точки для всех hello_html_m39909ba0.pngпри которых hello_html_m3e91600a.pngто есть при hello_html_2adcc12b.pngЗначит, любую веревку длиной hello_html_m593b4fee.pngсм или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше hello_html_1bd22165.pngсм, но меньше hello_html_m593b4fee.pngсм, нельзя разрезать на hello_html_m1b073d8f.pngстандартных кусков ни для какого hello_html_m514893b1.pngПри hello_html_622f5c60.pngполучаем hello_html_3c2ed16d.pngчто противоречит условию hello_html_2db414bd.pngПри hello_html_m6df6e42c.pngполучаем hello_html_656e2724.pngчто противоречит условию hello_html_m2bed5099.pngТаким образом, искомое число равно 2645.

Ответ: а) 23; б) 2645.














Вариант № 266. ЕГЭ 2014.

B1. Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Кемерово по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Кемерово выше минус 10 градусов Цельсия.

hello_html_m29cd7f8f.png


B3. hello_html_6bd8f128.png Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

B4. В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?


B5. Решите уравнение hello_html_m3423ccdf.png.

B6. hello_html_m332b079.pngНайдите угол hello_html_m78d1dbd0.png, если его сторона hello_html_m369edca5.pngкасается окружности, hello_html_m7de9e333.png– центр окружности, а большая дуга hello_html_m412c4912.pngокружности, заключенная внутри этого угла, равна hello_html_40c99880.png. Ответ дайте в градусах.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m40fdf7a.png.

B8. На рисунке изображен график функции hello_html_m1cbae7e.pngи отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

hello_html_7001093b.png

B9. В правильной треугольной призме hello_html_m14eee150.png, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми hello_html_m6a63fb95.pngи hello_html_531d4783.png. Ответ дайте в градусах.

B10. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

B11. hello_html_6c7a5434.png
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m6fb23a9.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_1242de16.png, hello_html_7dfd8584.png, hello_html_m4ce8aa10.pngпрямоугольного параллелепипеда hello_html_39fdff06.png, у которого hello_html_m6189f192.png, hello_html_m26cba7fe.png, hello_html_m4e9c5ce2.png.

B12. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону hello_html_m35f7c0a2.png(см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

B13. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

B14. Найдите точку максимума функции hello_html_38873e2f.png.


Часть 2.


C1. а) Решите уравнение hello_html_md5bb254.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m3ed3f38c.png.

C2. В правильной шестиугольной призме hello_html_m24c358c1.pngвсе рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки hello_html_1f7ca3e1.pngдо плоскости hello_html_37ec4738.png.

C3. Решите систему неравенств: hello_html_m417506fb.png

C4. Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при которых уравнение hello_html_409aa686.pngна промежутке hello_html_5e18a13.pngимеет ровно два корня.

C6. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более hello_html_ef197c1.pngот общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более hello_html_540b372b.pngот общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?






























Решение варианта № 266. ЕГЭ 2014.

B1. Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

Решение.
Правильно решили задачу 27 500 hello_html_m6818caa7.png 0,94 = 25 850 учеников.

Ответ: 25 850.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Кемерово по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Кемерово выше минус 10 градусов Цельсия.

hello_html_m29cd7f8f.png


Решение.
Из диаграммы видно, что среднемесячная температура воздуха в Кемерово ниже −10 градусов Цельсия в январе, феврале и декабре, а в остальные месяцы она выше.

B3. hello_html_6bd8f128.png Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, маленького прямоугольника и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому


hello_html_m610c6b7c.pngсм2.

hello_html_m232103a5.png

B4. В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?

Решение.
Рассмотрим все варианты.

В первом банке 10 фунтов стерлингов будут стоить 47,4 hello_html_m6818caa7.png 10 = 474 руб.

Во втором банке 10 фунтов стерлингов стоят 1446 : 3 = 482 руб.

В третьем банке 1 фунт стерлингов стоит 561 : 12 = 187 : 4 = 46,75 руб. Значит, 10 фунтов стерлингов будут стоить 46,75 hello_html_m6818caa7.png 10 = 467,5 руб.

Ответ: 467,5.


B5. Решите уравнение hello_html_m3423ccdf.png.

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

hello_html_2eb55c78.png

Ответ: 5.

B6. hello_html_m332b079.pngНайдите угол hello_html_m78d1dbd0.png, если его сторона hello_html_m369edca5.pngкасается окружности, hello_html_m7de9e333.png– центр окружности, а большая дуга hello_html_m412c4912.pngокружности, заключенная внутри этого угла, равна hello_html_40c99880.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
касательная к окружности перпендикулярна радиусу, центральный угол равен дуге, на которую он опирается, значит, треугольник hello_html_mb832e60.png– прямоугольный и

hello_html_mc2e7f4.png
hello_html_203fcf49.png.

Ответ: 26.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m40fdf7a.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_1155474f.png.

Ответ: 16.

B8. На рисунке изображен график функции hello_html_m1cbae7e.pngи отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.


hello_html_7001093b.png

Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Ответ:4.

B9. В правильной треугольной призме hello_html_m14eee150.png, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми hello_html_m6a63fb95.pngи hello_html_531d4783.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_6404f545.png
Отрезки A1A и BB1 лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A1A и BB1 равен углу между прямыми BB1 и BB1.
Из прямоугольного треугольника C1B1B по Теореме Пифагора получаем:


hello_html_m5601708.png

По определению:

hello_html_m26891d46.png

Следовательно, угол BB1 равен 45°.

Ответ:45.

B10. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Ответ: 0,019.

B11. hello_html_6c7a5434.png
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m6fb23a9.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_1242de16.png, hello_html_7dfd8584.png, hello_html_m4ce8aa10.pngпрямоугольного параллелепипеда hello_html_39fdff06.png, у которого hello_html_m6189f192.png, hello_html_m26cba7fe.png, hello_html_m4e9c5ce2.png.

Решение.
hello_html_m31f0ddd7.pngОснованием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро hello_html_11efa20.png. Поэтому


hello_html_m3221988e.png

Ответ: 16.

B12. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону hello_html_m35f7c0a2.png(см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_59286b0d.pngcм/с при заданном законе изменения скорости hello_html_m35f7c0a2.png:

hello_html_me6126dc.png

Таким образом, hello_html_21205dbf.pngпервой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Ответ: 0,67.

B13. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение.
Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выполнит 1/5 часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить время совместной работы, разделим этот объём работы на совместную производительность:

hello_html_m7a75f7fb.pngчасов.

Тем самым, на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов.

Ответ: 6.

B14. Найдите точку максимума функции hello_html_38873e2f.png.

Решение.
Квадратный трехчлен hello_html_18b6c18a.pngс отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке hello_html_7b9e15a6.png, в нашем случае — в точке 6. Поскольку функция hello_html_2f4997c5.pngвозрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

Ответ: 6.

C1. а) Решите уравнение hello_html_md5bb254.png
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m3ed3f38c.png.

Решение.
hello_html_c4b0050.pngа) Запишем уравнение в виде

hello_html_m7fbc1011.png

hello_html_3911af9a.png

Значит, или hello_html_m18ca3144.png, откуда hello_html_m44617e22.png, hello_html_m6b7fa6a9.png, или hello_html_m11417e7c.png, откуда hello_html_1c943ac1.pngили hello_html_b34846c.png, hello_html_m57f15cca.png.
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m3ed3f38c.png.
Получим числа: hello_html_197db2cf.png, hello_html_629a7b06.pngи hello_html_5d9e387c.png.

Ответ: а) hello_html_m4b90f43e.png, hello_html_m6b7fa6a9.png; hello_html_3d098d85.png, hello_html_m75e5ef6d.png, hello_html_m57f15cca.png; б) hello_html_197db2cf.png, hello_html_629a7b06.pngи hello_html_m52a33249.png

C2. В правильной шестиугольной призме hello_html_m24c358c1.pngвсе рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки hello_html_1f7ca3e1.pngдо плоскости hello_html_37ec4738.png.

Решение.
hello_html_m74a4b9ed.pngПрямые hello_html_m369a8eec.pngи hello_html_1b9a6a2b.pngперпендикулярны прямой hello_html_c3e365b.png. Плоскость hello_html_37ec4738.png, содержащая прямую hello_html_c3e365b.png, перпендикулярна плоскости hello_html_m6e7391a0.png. Значит, искомое расстояние равно высоте hello_html_7c7f806e.pngпрямоугольного треугольника hello_html_m6e7391a0.png, в котором hello_html_274f124a.png, hello_html_m4e73abd3.png, hello_html_3f7f8bb0.png:

hello_html_m55f166aa.png


Ответ: hello_html_m71be3e37.png.

C3. Решите систему неравенств: hello_html_m417506fb.png

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_m1f2d4d5b.png

hello_html_m459d844c.png

Учитывая, что hello_html_11e3e26b.pngполучаем: hello_html_m62ad166a.pngоткуда находим решение первого неравенства системы: hello_html_59478965.png
2. Решим второе неравенство системы:

hello_html_m2172d2fc.png


Сделаем замену hello_html_m76bbba66.png

hello_html_1be10152.png


Тогда hello_html_m3f5a4249.pngили hello_html_m77776a22.pngоткуда находим решение второго неравенства системы: hello_html_m965c546.png; hello_html_6d735ecd.png


3. Поскольку hello_html_m699697a3.pngполучаем решение исходной системы неравенств:

hello_html_m7dcd8430.pnghello_html_m1af8df56.png

Ответ: hello_html_42d461ae.png



C4. Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Решение.
hello_html_m69cdb42c.pngРассмотрим равнобедренный треугольник hello_html_m696dbb17.png, в котором hello_html_49bdbc21.png, hello_html_149fb2bf.pngПусть hello_html_m315c5ddb.png— высота треугольника hello_html_m696dbb17.png. Тогда hello_html_18c05c64.png— середина hello_html_m5eb4582a.png.
Обозначим hello_html_m65fd7c8f.pngТогда hello_html_m783db41c.png, hello_html_1f082714.png, hello_html_2f91abbe.png
Предположим, что окружность радиуса hello_html_m31b3db37.pngс центром hello_html_671e00e6.pngвписана в угол hello_html_m1094bca0.pngи касается основания hello_html_m5eb4582a.pngв точке hello_html_1cfc080f.png, а окружность того же радиуса с центром hello_html_m3ea99efa.pngвписана в угол hello_html_m696dbb17.png, касается основания hello_html_m5eb4582a.pngв точке hello_html_8715733.png, а первой окружности — в точке hello_html_6de111be.png. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

hello_html_600b20f3.png, а hello_html_2eff494f.png

Из прямоугольного треугольника hello_html_51123c91.pngнаходим:

hello_html_1cd2333a.png. Тогда hello_html_m55105463.png.

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому hello_html_m3323b124.png, значит, hello_html_6867730a.png, поскольку hello_html_m6e23abb7.png— прямоугольник. Следовательно,

hello_html_3106af9f.png, откуда находим hello_html_7f907d5c.png.

hello_html_36fb1079.pngПусть теперь окружность радиуса hello_html_m31b3db37.pngс центром hello_html_671e00e6.pngвписана в угол hello_html_1c9ae9bf.pngи касается боковой стороны hello_html_49e58666.pngв точке hello_html_m13831945.png, вторая окружность радиуса hello_html_m31b3db37.pngс центром hello_html_m3ea99efa.pngвписана в угол hello_html_m696dbb17.png, касается боковой стороны hello_html_49e58666.pngв точке hello_html_5c84c3f2.png, а также касается первой окружности.
Из прямоугольных треугольников hello_html_11942040.pngи hello_html_m6809bf0f.pngнаходим:

hello_html_m20f8f216.png,

hello_html_20358ec7.png.


Следовательно,

hello_html_51478edb.png,

откуда находим hello_html_m76b21edf.png.
В случае, когда окружности вписаны в углы hello_html_1c9ae9bf.pngи hello_html_m1094bca0.png, получим тот же результат.

Ответ: 23 или 20.

C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при которых уравнение hello_html_409aa686.pngна промежутке hello_html_5e18a13.pngимеет ровно два корня.

Решение.
Рассмотрим функции hello_html_m903f7b9.pngи hello_html_m62f4d9.pngИсследуем hello_html_m71695744.pngна промежутке hello_html_m7711a056.png
При hello_html_m1dd20b2.pngвсе значения функции hello_html_6dde1bf8.pngна промежутке hello_html_m7711a056.pngнеположительны, а все значения функции hello_html_m45e8a154.png — положительны, поэтому при hello_html_m1dd20b2.pngуравнение не имеет решений на промежутке hello_html_m2611e9e3.png

При hello_html_77de74e2.pngфункция hello_html_6dde1bf8.pngвозрастает на промежутке hello_html_7907a7e2.png, Функция hello_html_m45e8a154.pngубывает на этом промежутке, поэтому уравнение hello_html_m71695744.pngвсегда имеет ровно одно решение на промежутке hello_html_6ca2bf97.png, поскольку hello_html_19c1255c.pngи hello_html_m27dee491.png
На промежутке hello_html_m1dd6fa8f.pngуравнение hello_html_m71695744.pngпринимает вид hello_html_mcd090a5.pngЭто уравнение сводится к уравнению hello_html_1d4f16ae.pngБудем считать, что hello_html_77de74e2.png, поскольку случай hello_html_m1dd20b2.pngбыл рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения hello_html_df3063c.pngпоэтому при hello_html_m5a3309ca.pngэто уравнение не имеет корней; при hello_html_m56c937cf.pngуравнение имеет единственный корень, равный hello_html_m74fe570.png; при hello_html_65c0522e.pngуравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, то есть hello_html_1315b3e1.pngТогда оба корня меньше 4, поскольку при hello_html_m324bafdb.pngзначения функции hello_html_md55f124.pngнеположительны, а значения функции hello_html_m2aba9243.pngположительны. По теореме Виета сумма корней равна 3, а произведение равно hello_html_11d6717.pngЗначит, больший корень всегда принадлежит промежутку hello_html_m1dd6fa8f.png, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда hello_html_37e26078.png.
Таким образом, уравнение hello_html_409aa686.pngимеет следующее количество корней на промежутке hello_html_5e18a13.png:

1) Нет корней при hello_html_m23c636b9.png
2) Один корень при hello_html_34352c60.png
3) Два корня при hello_html_m56c937cf.pngи hello_html_md81c7c0.png
4) Три корня при hello_html_m10879877.png

Ответ: hello_html_m56c937cf.png; hello_html_m15af9ed2.png

C6. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более hello_html_ef197c1.pngот общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более hello_html_540b372b.pngот общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Решение.
а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше hello_html_m5cba04f2.png, что больше hello_html_ef197c1.png. Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку hello_html_308b3e2e.pngно тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 9.
в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе hello_html_m177812cb.pngмальчиков, посетивших театр, hello_html_m7ac3076a.pngмальчиков, посетивших кино, и hello_html_m6d9e1981.pngдевочек. Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
По условию

hello_html_m5dd3e8b5.png


значит, hello_html_1abc5ed0.pngТогда hello_html_87f8b20.png, поэтому доля девочек в группе:

hello_html_m458c613a.png


Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна hello_html_6cd3f65a.png.

Ответ: а) да: б) 9; в) hello_html_6cd3f65a.png.








































Вариант № 267. ЕГЭ 2014.

B1. В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

Решение.
Разделим 124 на 0,25:

hello_html_704559bd.png.

Значит, в школе учится 496 учеников.

Ответ: 496.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Кемерово по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Кемерово ниже минус 10 градусов Цельсия.

hello_html_m29cd7f8f.png

Решение.
Из диаграммы видно, что среднемесячная температура воздуха в Кемерово ниже −10 градусов Цельсия в три зимних месяца: в январе, в феврале и в декабре.

B3. hello_html_515f6ace.pngНайдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.





Решение.
hello_html_ma662d55.pngПлощадь четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому


hello_html_54e5f864.pnghello_html_69a4f89b.png.



Примечание.
Четырёхугольник составлен из двух треугольников, имеющих общее основание, равное длине квадратной клетки: прямоугольного с катетами 1 и 1, и тупоугольного с основанием длины 1 и высотой, проведенной к этому основанию, также длины 1. Поэтому площадь четырехугольника равна 0,5 + 0,5 = 1.

B4. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Абонент выбрал самый дешевый тарифный план, исходя из предположения, что длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.


Тарифный план

Абонентская плата (в месяц)

Плата за 1 минуту разговора

«Повременный»

нет

0,35 руб.

«Комбинированный»

130 руб. за 320 мин.

0,3 руб. (сверх 320 мин. в месяц)

«Безлимитный»

200 руб.


Решение.
Рассмотрим три случая.

На тарифном плане «Повременный» ежемесячная плата будет равна оплате за 700 мин. 700 hello_html_m6818caa7.png 0,35 = 245 руб.

На тарифном плане «Комбинированный» ежемесячная плата будет складываться из абонентской 130 руб. и платы за 380 мин. сверх тарифа 380 hello_html_m6818caa7.png 0,3 = 114 руб. и будет составлять 130 + 114 = 244 руб.

На тарифном плане «Безлимитный» ежемесячная плата будет равна 200 рублям.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 200 рублей.

Ответ: 200.

B5. Решите уравнение hello_html_m71d3b153.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:


hello_html_3559c55a.png


Итак, на уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

B6. hello_html_m611550d8.pngУгол между хордой hello_html_49e58666.pngи касательной hello_html_m5eb4582a.pngк окружности равен hello_html_6162a928.png. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой hello_html_49e58666.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой. Значит, искомая величина дуги равна 64hello_html_m3dbcd4e5.png.

Ответ: 64.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m6fd79064.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_3dc65108.png.

Ответ: 81.

B8. На рисунке изображён график дифференцируемой функции hello_html_m1cbae7e.png. На оси абсцисс отмечены девять точек: hello_html_460443c2.png. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции hello_html_6dde1bf8.pngотрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

hello_html_m483cb9c3.png

Решение.
Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. Если сторону клетки принять за единицу, то функция убывает на интервалах (−4,4; −0,7) и (2,6;+∞). В них содержатся целые точки x4, x5, x9. Их 3 штуки.

Ответ: 3.

B9. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pngизвестны длины рёбер: hello_html_2502679c.png, hello_html_1d7c9bad.png, hello_html_mb6851c0.png. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины hello_html_m5341012f.png, hello_html_m6fb23a9.pngи hello_html_1242de16.png.

Решение.
hello_html_26d3b742.png
Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение hello_html_39ff7d26.png −  параллелограмм. Кроме того, ребро hello_html_27ff224f.pngперпендикулярно граням hello_html_5e3d15d5.pngи hello_html_m544a5574.png. Поэтому углы hello_html_m6bc90129.pngи hello_html_m6b1d574f.png− прямые.Поэтому сечение hello_html_39ff7d26.png — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника hello_html_m696dbb17.pngнайдем hello_html_1efa237a.png


hello_html_34b37495.png


Тогда площадь прямоугольника hello_html_39ff7d26.pngравна:


hello_html_m43e60c9e.png

Ответ:572.

B10. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.


Решение.
Рассмотрим события


А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда


A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.


По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:


P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.


Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что хотя бы кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.


Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52.

Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако по условию эта вероятность равна 0,12.

B11. hello_html_6c7a5434.pngНайдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m5341012f.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_m6f798b11.png, hello_html_m13e90e6c.pngпрямоугольного параллелепипеда hello_html_39fdff06.png, у которого hello_html_m6189f192.png, hello_html_m26cba7fe.png, hello_html_m4e9c5ce2.png.


Решение.
hello_html_6ff33ea8.pngПлощадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому


hello_html_m39d533dc.png


Ответ: 8.

B12. Трактор тащит сани с силой hello_html_m7eb6fd5c.pngкН, направленной под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной hello_html_md78a4ef.pngм вычисляется по формуле hello_html_m4da7293.png. При каком максимальном угле hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_m64f4c989.pngна интервале hello_html_3d49b6f7.pngпри заданных значениях силы hello_html_m7eb6fd5c.pngкН и длины пути hello_html_md78a4ef.pngм:

hello_html_69f97d48.png.

Ответ: 60.

B13. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Решение.
Обозначим выполняемую девочками работу по прополке грядки за 1. Пусть Даша пропалывает грядку за hello_html_m2fe64651.pngминут. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут. Таким образом,

hello_html_m6a445a12.png.

Тем самым, Даша за минуту пропалывает 1/30 грядки, значит, одна Даша прополет грядку за 30 минут.

Ответ: 30.

B14. Найдите наибольшее значение функции hello_html_m4400e7aa.png.



Решение.
Поскольку функция hello_html_m29f0da3f.pngвозрастающая, заданная функция достигает наибольшего значения в той же точке, в которой достигает наибольшего значения выражение hello_html_m701b96dd.png. Квадратный трехчлен hello_html_18b6c18a.pngс отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке hello_html_m5c6a4a07.png, в нашем случае — в точке  −3. Значение функции в этой точке равно hello_html_2129b0e.png

Ответ: 9.

C1. а) Решите уравнение hello_html_m740f9114.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m5b39604.png.

Решение.
hello_html_27814571.pngа) Запишем уравнение в виде

hello_html_m67411abc.png.


Значит, или hello_html_1416ccb3.png, откуда hello_html_m74c31c1d.png, hello_html_m6b7fa6a9.png, или hello_html_aab91a0.png, откуда hello_html_64bb0967.png.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку hello_html_m5b39604.png. Получим числа: hello_html_m4e971ab6.png

Ответ: а) hello_html_1a9b9956.png, hello_html_m6b7fa6a9.png; hello_html_m5ab1d147.png; б) hello_html_m4e971ab6.png

C2. На ребре hello_html_m3637c7ab.pngкуба hello_html_39fdff06.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_9465b21.png. Найдите угол между прямыми hello_html_1afe8f6e.pngи hello_html_402249c8.png.

Решение.
hello_html_4ab4b69e.pngПримем ребро куба за единицу. Тогда hello_html_53214bf2.png.

Поскольку hello_html_9465b21.png, получаем: hello_html_m278c68.pngи hello_html_6749c79.png.


Проведем через точку hello_html_7dfd8584.pngпрямую, параллельную hello_html_1afe8f6e.png. Она пересекает ребро hello_html_m369a8eec.pngв точке hello_html_7f43e396.png, причем треугольники hello_html_79c8befc.pngи hello_html_332a0e0e.pngравны. Искомый угол равен углу hello_html_m154fbee3.png(или смежному с ним).

В прямоугольном треугольнике hello_html_332a0e0e.pngс прямым углом hello_html_m4ce8aa10.png

hello_html_m2fbb19ed.png


В прямоугольном треугольнике hello_html_m3ccaf60c.pngс прямым углом hello_html_1f7ca3e1.png

hello_html_400a4d9.png


В треугольнике hello_html_m154fbee3.png

hello_html_66134c12.png


откуда

hello_html_m4e88ab16.png, тогда hello_html_m49fd658c.png


Ответ может быть представлен и в другом виде: hello_html_54421ba1.pngили hello_html_ma1c1824.png

Ответ: hello_html_42b6416.png.

C3. Решите систему неравенств

hello_html_m6e8e22b5.png

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_m56107c55.png


hello_html_72a3df35.png


Учитывая, что hello_html_62a2a3e0.pngполучаем: hello_html_723a4fe9.pngоткуда находим решение первого неравенства системы: hello_html_6d3d5028.png

2. Решим второе неравенство системы:


hello_html_m33067a59.png


Сделаем замену hello_html_m76bbba66.png


hello_html_m3f6461b.png



Тогда hello_html_m63e23637.pngоткуда находим решение второго неравенства системы: hello_html_m77b2625d.png

3. Поскольку hello_html_m2e1ea037.pngполучаем решение исходной системы неравенств:


hello_html_mdd9d9fd.png


Ответ: hello_html_af0c1d3.png

C4. В треугольнике hello_html_m696dbb17.pngизвестны стороны: hello_html_m6418bd52.pnghello_html_m43abee43.pnghello_html_2b502ac3.png. Окружность, проходящая через точки hello_html_m5341012f.pngи hello_html_1242de16.png, пересекает прямые hello_html_m5eb4582a.pngи hello_html_m368ecef2.pngсоответственно в точках hello_html_m7d2ce099.pngи hello_html_m384743ed.png, отличных от вершин треугольника. Отрезок hello_html_m2ce6f1f7.pngкасается окружности, вписанной в треугольник hello_html_m696dbb17.png. Найдите длину отрезка hello_html_m2ce6f1f7.png.

Решение.
hello_html_598b81f9.pngОбе точки hello_html_m7d2ce099.pngи hello_html_m384743ed.pngне могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок hello_html_m2ce6f1f7.pngне может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.

Пусть обе точки hello_html_m7d2ce099.pngи hello_html_m384743ed.pngлежат на сторонах треугольника. Четырехугольник hello_html_m59565410.png — вписанный, следовательно,

hello_html_2c5551bc.png


Значит, треугольник hello_html_m696dbb17.pngподобен треугольнику hello_html_1ba7329e.png, так как угол hello_html_m696dbb17.png — общий. Пусть коэффициент подобия равен hello_html_6f7e21bb.png, тогда hello_html_m2ca9a709.png, hello_html_m692f044c.png, hello_html_m2e1edb37.png. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника hello_html_m59565410.pngравны:

hello_html_30037bbe.png



hello_html_m364ae867.png


hello_html_4bcdfeac.pngПодставляя известные значения сторон, находим hello_html_6f86c059.png. Следовательно, hello_html_m577d7636.png.

Пусть точка hello_html_m7d2ce099.pngлежит на продолжении стороны hello_html_49e58666.png. Углы hello_html_m7bcb2809.pngи hello_html_72c89eb8.pngравны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник hello_html_m696dbb17.pngподобен треугольнику hello_html_1ba7329e.png, так как угол hello_html_m696dbb17.png — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники hello_html_1ba7329e.pngи hello_html_m696dbb17.pngравны, поэтому hello_html_m465247eb.png. Заметим, что hello_html_m13f6cba.pngи точка hello_html_m7d2ce099.pngдействительно лежит на продолжении стороны hello_html_49e58666.png.

Если точка hello_html_m384743ed.pngлежит на продолжении стороны hello_html_m5eb4582a.png, то hello_html_m28192f7b.png, но, аналогично предыдущему случаю, получаем hello_html_m6c24285a.png. Значит, этот случай не достигается.

Ответ: hello_html_m1ed74b75.png.

C5. Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение

hello_html_m6120e26.png


на промежутке hello_html_27fb64bc.pngимеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции hello_html_6b7b2521.pngи hello_html_m657fffc.png. Исследуем уравнение hello_html_m19b27bbc.pngна промежутке hello_html_27fb64bc.png.

При hello_html_m1dd20b2.pngвсе значения функции hello_html_6dde1bf8.pngна промежутке hello_html_27fb64bc.pngотрицательны, а все значения функции hello_html_m45e8a154.png — неотрицательны, поэтому при hello_html_m1dd20b2.pngуравнение hello_html_m19b27bbc.pngне имеет решений на промежутке hello_html_27fb64bc.png.

При hello_html_77de74e2.pngфункция hello_html_6dde1bf8.pngвозрастает. Функция hello_html_m45e8a154.pngубывает на промежутке hello_html_m710a1352.png, поэтому уравнение hello_html_m19b27bbc.pngимеет не более одного решения на промежутке hello_html_m710a1352.png, причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, hello_html_191475c9.png, откуда получаем hello_html_m6955765b.png, то есть hello_html_2a4b29d8.png.

На промежутке hello_html_6f1528ab.pngуравнение hello_html_m19b27bbc.pngпринимает вид hello_html_1b52b8a4.png. Это уравнение сводится к уравнению hello_html_1b622614.png. Будем считать, что hello_html_77de74e2.png, поскольку случай hello_html_m1dd20b2.pngбыл рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения hello_html_46314735.png, поэтому при hello_html_5f13931b.pngэто уравнение не имеет корней; при hello_html_m6c1af6fc.pngуравнение имеет единственный корень, равный 2; при hello_html_24aabd11.pngуравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня hello_html_173040ae.pngи hello_html_m79b0ba0a.png, то есть hello_html_24aabd11.png, то больший корень hello_html_3adc5d7e.png, поэтому он принадлежит промежутку hello_html_6f1528ab.png. Меньший корень hello_html_173040ae.pngпринадлежит промежутку hello_html_6f1528ab.pngтогда и только тогда, когда

hello_html_m47c0187b.pngто есть hello_html_3d16f101.png


Таким образом, уравнение hello_html_m6120e26.pngимеет следующее количество корней на промежутке hello_html_27fb64bc.png:

- нет корней при hello_html_m1dd20b2.png;
- один корень при hello_html_m54ec6398.pngи hello_html_5f13931b.png;
- два корня при hello_html_me1f94e2.pngи hello_html_m6c1af6fc.png;
- три корня при hello_html_49028ee0.png.

Ответ: hello_html_49028ee0.png.

C6. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число hello_html_767e61eb.png, что любой моток веревки, длина которого больше hello_html_767e61eb.pngсм, можно разрезать на стандартные куски.

Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной hello_html_101c486b.pngсм. Условие того, что его можно разрезать на hello_html_m1b073d8f.pngстандартных кусков, записывается в виде hello_html_bd692d4.pngили hello_html_d6424ef.png

а) В данном случае имеем hello_html_69d9d8f7.png(неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на hello_html_m6047b23f.pngстандартных кусков, тогда При hello_html_m613f5a75.pngполучаем

hello_html_76cfa2ea.png


т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска.

При hello_html_40cf0368.pngполучаем hello_html_d6424ef.pngЗначит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки hello_html_m4d5c4142.pngи hello_html_m6767e0c8.pngявляющиеся решениями неравенств hello_html_bd692d4.pngи hello_html_m5bcffde3.pngимеют общие точки для всех hello_html_m39909ba0.pngпри которых hello_html_3cfb1b4f.pngто есть при hello_html_m7d4d48db.pngЗначит, любую веревку длиной hello_html_6fbba09f.pngсм или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше hello_html_7d1bdc5a.pngсм, но меньше hello_html_6fbba09f.pngсм, нельзя разрезать на hello_html_m1b073d8f.pngстандартных кусков ни для какого hello_html_m514893b1.pngПри hello_html_681ea3f2.pngполучаем hello_html_7f52a953.pngчто противоречит условию hello_html_ma9a0160.pngПри hello_html_m519c2bff.pngполучаем hello_html_m15718228.pngчто противоречит условию hello_html_m1b447221.pngТаким образом, искомое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.






























Вариант № 268. ЕГЭ 2014.

B1. 27 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

Решение.
Разделим 27 на 0,3:

hello_html_m22fc4f70.png.

Значит, в школе 90 выпускников.

Ответ: 90.

B2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.

hello_html_m4bd4c1ee.png

Решение.
Из графика видно, что наибольшее количество посетителей (800 тысяч) больше, чем наименьшее количество посетителей за день (400 тысяч) в 2 раза (см. рисунок).

Ответ: 2.

B3 № 245003. hello_html_m36c4fd7f.pngНайдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.




Решение.
hello_html_m2b5dcbc7.pngПлощадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника, четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому


hello_html_140bcf3a.pnghello_html_69a4f89b.png.



Примечание.
Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два треугольника с общим основанием, равным длине квадратной клетки. Высоты этих треугольников равны 1, поэтому их площади 0,5, а сумма этих площадей равна 1.

B4. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

Наименование продукта

Тверь

Липецк

Барнаул

Пшеничный хлеб (батон)

11

12

14

Молоко (1 литр)

26

23

25

Картофель (1 кг)

9

13

16

Сыр (1 кг)

240

215

260

Мясо (говядина)

260

280

300

Подсолнечное масло (1 литр)

38

44

50


Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).


Решение.
В Твери стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 11 hello_html_m6818caa7.png2 + 9 hello_html_m6818caa7.png3 + 1,5 hello_html_m6818caa7.png260 + 1 hello_html_m6818caa7.png38 = 477 руб.

В Липецке стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 12 hello_html_m6818caa7.png2 + 13 hello_html_m6818caa7.png3 + 1,5 hello_html_m6818caa7.png280 + 1 hello_html_m6818caa7.png44 = 527 руб.

В Барнауле стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 14 hello_html_m6818caa7.png2 + 16 hello_html_m6818caa7.png3 + 1,5 hello_html_m6818caa7.png300 + 1 hello_html_m6818caa7.png50 = 576 руб.

Самый дешёвый набор продуктов можно купить в Твери по цене 477 руб.

B5. Решите уравнение hello_html_m71d3b153.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:


hello_html_3559c55a.png


Итак, на уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

B6. hello_html_m332b079.pngУгол hello_html_m78d1dbd0.pngравен hello_html_1085e584.png. Его сторона hello_html_m369edca5.pngкасается окружности. Найдите градусную величину большей дуги hello_html_m412c4912.pngокружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, центральный угол равен дуге, на которую он опирается, значит, треугольник hello_html_mb832e60.png– прямоугольный и

hello_html_683a53bd.png
hello_html_m3466c37e.png

Ответ: 114.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m7593ec3e.png.

Решение.
Используем формулу


hello_html_m3b557974.png

.
Имеем:

hello_html_2f50428f.png.

Ответ: −1.

B8. hello_html_m4294c99d.pngНа рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Решение.
Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −4,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Производная равна нулю в 4 точках.

Ответ: 4.

B9. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pngизвестны длины рёбер hello_html_7cf4be57.png, hello_html_62571234.png, hello_html_m6e86f041.png. Найдите синус угла между прямыми hello_html_m5eb19a61.pngи hello_html_7d7365e1.png.

Решение.
hello_html_m62b4d5e.png
Отрезки DC и D1C1 лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A1C1 и DC равен углу между прямыми A1C1 и D1C1.

Из прямоугольного треугольника A1C1D1 по получаем:


hello_html_m1f73e15c.png


Тогда для угла A1C1D1 имеем:


hello_html_4726b0a9.png


Ответ:0,6.

B10. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

B11. hello_html_m4775059.pngНайдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m6fb23a9.png, hello_html_m4ce8aa10.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_1242de16.pngправильной треугольной призмы hello_html_m14eee150.png, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Решение.
hello_html_m5677c64b.png
Заметим, что искомый объём равен разности объема призмы и двух треугольных пирамид, основания и высоты которых совпадают с основанием и высотой призмы:


hello_html_691b6c56.png


Поэтому

hello_html_286ed6ed.png

Ответ: 4.

B12. Трактор тащит сани с силой hello_html_m7eb6fd5c.pngкН, направленной под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной hello_html_md78a4ef.pngм вычисляется по формуле hello_html_m4da7293.png. При каком максимальном угле hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_m64f4c989.pngна интервале hello_html_3d49b6f7.pngпри заданных значениях силы hello_html_m7eb6fd5c.pngкН и длины пути hello_html_md78a4ef.pngм:

hello_html_69f97d48.png.

Ответ: 60.

B13. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение.
Обозначим выполняемую мальчиками работу по покраске забора за 1. Пусть за hello_html_m152f3624.png, hello_html_m2913b6e8.png, hello_html_d06ed70.pngчасов Игорь, Паша и Володя, соответственно, покрасят забор, работая самостоятельно. Игорь и Паша красят забор за 9 часов:

hello_html_768aff77.png

Паша и Володя красят этот же забор за hello_html_m6e2eb183.pngчасов:

hello_html_m4e23ecad.png,

а Володя и Игорь — за 18 часов:

Получаем систему уравнений:

hello_html_m486c6927.png

Просуммируем левые и правые части данных трех уравнений, получим:

hello_html_66f81d3c.png

hello_html_60d3409.png

Ответ: 8.


Приведём ещё одно решение.
За один час Игорь и Паша красят забор за 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — за 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы:


hello_html_145454ab.png  забора.


Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов.
Примечание Учителя.

Заметим, что за 36 часов Игорь и Паша могут покрасить 4 забора, Паша и Володя — 3 забора, а Володя и Игорь — 2 забора. Работая вместе, за 36 часов они могли бы покрасить 9 заборов. Следовательно, один забор два Игоря, два Паши и два Володи могут покрасить за 4 часа. Поэтому, работая втроем, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 8 часов.

B14. Найдите наименьшее значение функции hello_html_m592e4065.png.

Решение.
Поскольку функция hello_html_78e18dfe.pngвозрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение hello_html_7d5ab48f.png. Квадратный трехчлен hello_html_18b6c18a.pngс положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке hello_html_m5c6a4a07.png, в нашем случае — в точке  −1. Значение функции в этой точке равно hello_html_7bb6cb5d.png.

Ответ: 16.

C1. а) Решите уравнение hello_html_m5ffbdbce.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m66e38625.png.

Решение.
hello_html_64ab6952.pngа) Запишем уравнение в виде

hello_html_5a23a1c6.png


Значит, или hello_html_1416ccb3.png, откуда hello_html_m74c31c1d.png, hello_html_cbb5e4e.pngили hello_html_6e916c12.png, hello_html_44e58c18.png, откуда hello_html_m28fd65ef.pngили hello_html_m4c8dbc10.png, hello_html_587ed6f6.png

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку hello_html_m702e4e57.pngПолучим числа: hello_html_2b57249f.png

Ответ: а) hello_html_718031e1.png, hello_html_m1bd08df3.pngб) hello_html_7f2e840a.png

C2. Точка hello_html_m2db83dc7.png — середина ребра hello_html_m3637c7ab.pngкуба hello_html_39fdff06.png. Найдите угол между прямыми hello_html_1afe8f6e.pngи hello_html_m412c4912.png.

Решение.
hello_html_29870d85.png
Примем ребро куба за единицу. Тогда hello_html_49dce361.png.

Прямая hello_html_m412c4912.pngпараллельна прямой hello_html_m5eb4582a.png, значит, искомый угол равен углу hello_html_562dc7b2.png.

Из прямоугольного треугольника hello_html_562dc7b2.pngс прямым углом hello_html_1242de16.pngимеем:


hello_html_m1fb02de7.png,

тогда

hello_html_143077f0.png

Ответ также может быть представлен в следующем виде: hello_html_23494fdd.pngили hello_html_64949c1e.png

Ответ: hello_html_m54ac88b0.png.

C3. Решить систему неравенств


hello_html_m270cfeb0.png

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_72ccf2dd.png

hello_html_m103e276a.png


Тогда hello_html_m5fcb1e1.pngили hello_html_68f8f03e.pngоткуда находим решение второго неравенства исходной системы: hello_html_66aa6f65.png

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай: hello_html_3ab9f836.png

hello_html_10ddcf9.pnghello_html_m307eaec0.png


откуда находим: hello_html_3653175.pngУчитывая условие hello_html_7255deb3.pngполучаем: hello_html_m1384771d.png

Второй случай: hello_html_1386896d.png

hello_html_m1eacd85b.pnghello_html_m37513643.pnghello_html_26d84cff.png


Учитывая условие hello_html_45da4602.pngполучаем: hello_html_m7837a73d.png

Решение второго неравенства исходной системы:

hello_html_m4ff25d8.png


3. Поскольку hello_html_2d0ee78a.pngполучаем решение исходной системы неравенств:

hello_html_m2053e25e.png


Ответ: hello_html_m6b9c968c.png

C4. Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Решение.
hello_html_5eb3afa0.pngВ любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 7,5, а полусумма оснований равна 17,5, поэтому основания трапеции равны 10 и 25.

Предположим что hello_html_41e43989.png, hello_html_130faaef.png(рис. 1). Стороны LM и KN треугольников ALM и AKN параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом hello_html_79429c9b.pngЗначит,


hello_html_6de95469.png, hello_html_m193c231f.png.


Заметим, что hello_html_28f11f05.png, поэтому треугольник ALM — прямоугольный с гипотенузой AM. (Поэтому трапеция прямоугольная, как и изображено на рисунке.) Радиус вписанной в треугольник ALM окружности равен hello_html_5e3ddd8a.png.

hello_html_m7e3ac1f7.pngПусть теперь hello_html_m3accbfe2.png(рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника AKN равен 5. Треугольник AKN и ALM подобны с коэффициентом hello_html_79429c9b.pngЗначит, радиус вписанной окружности треугольника ALM равен hello_html_9f9ee81.png.

Ответ: 2; 5.

C5. Найдите все значения а. при каждом из которых наименьшее значение функции hello_html_m24a6ef65.pngна множество не менее 6.

Решение.
Графиком функции hello_html_m7c403564.pngявляется парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты hello_html_3eb43533.png. Значит, минимум функции hello_html_6dde1bf8.pngна всей числовой оси достигается при hello_html_7596fe6c.png.
На множестве hello_html_m43987205.pngэта функция достигает наименьшего значения либо в точке hello_html_7596fe6c.png, если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек hello_html_m65b1b535.png.
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

hello_html_5a07d37f.png
hello_html_79f9eaeb.png


откуда получаем систему неравенств

hello_html_14008004.png


решениями которой являются hello_html_31c11d45.png.
При hello_html_2506998a.pngимеем: hello_html_373b0cf.png, значит наименьшее значение функции достигается в точке hello_html_7596fe6c.pngи hello_html_m69c3957.png, что не удовлетворяет условию задачи.

При hello_html_44ded5c4.pngимеем: hello_html_5c2d83df.png, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек hello_html_m65b1b535.png, в которых значение функции не меньше 6.

При hello_html_m52d7e3bb.pngимеем: hello_html_7fb340.png, значит, наименьшее значение функции достигается в точке hello_html_7596fe6c.pngи hello_html_mc3b1d5f.png, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: hello_html_m313835b0.png.

C6. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

Решение.
а) Нет, поскольку hello_html_6329c222.pngне делится на 2, а hello_html_6b7596da.pngне является квадратом натурального числа.

б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку hello_html_3c8a1d5f.pngне делится на 3.

Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку hello_html_6b7596da.pngне является кубом натурального числа.

Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, то эти числа: hello_html_615fe1c4.pngно уравнение hello_html_7bbb2a29.pngне имеет целых корней.

Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую, то эти числа: hello_html_m36f8ced5.pngи hello_html_m1668e6df.pngгде hello_html_m51ec0b04.png— натуральное число. Тогда последнее число должно равняться

hello_html_m6b62c564.png

но это не натуральное число.

в) Да, например, hello_html_467baff6.png












Вариант № 269. ЕГЭ 2014.

B1. В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Решение.
Учеников начальной школы 800 hello_html_m6818caa7.png 0,3 = 240, а учеников средней и старшей школы — 800 − 240 = 560. Значит, немецкий язык в школе изучают 560 hello_html_m6818caa7.png 0,2 = 112 учеников.

Ответ: 112.

B2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько раз количество посетителей сайта РИА Новости принимало наибольшее значение.

hello_html_m4bd4c1ee.png

Решение.
Из диаграммы видно, что посетителей сайта РИА Новости принимало наибольшее значение 3 раза (см. рисунок).

Ответ: 3.

B3. hello_html_m75677f8e.pngНайдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


Решение.
hello_html_956ab18.pngПлощадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольного треугольника, маленького прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому


hello_html_18a45a05.pnghello_html_69a4f89b.png.

B4. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10 000 руб., он получает скидку на следующую покупку в размере 10% уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель Б. хочет приобрести куртку ценой 9300 руб., рубашку ценой 1800 руб. и перчатки ценой 1200 руб. В каком случае Б. заплатит за покупку меньше всего:

1) Б. купит все три товара сразу.

2) Б. купит сначала куртку и рубашку, а потом перчатки со скидкой.

3) Б. купит сначала куртку и перчатки, а потом рубашку со скидкой.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит Б. за покупку в этом случае.

Решение.
Рассмотрим все случаи.

1) При покупке всех трёх товаров покупатель Б. потратит 9300 руб. + 1800 руб. + 1200 руб. = 12 300 руб.

2) При покупке куртки и рубашки покупатель Б. потратит 9300 руб. + 1800 руб. = 11 100 руб. Т. к. эта сумма больше 10 000 руб., то на следующую покупку покупателю будет предоставлена скидка 11 100hello_html_m6818caa7.png0,1 = 1110 руб. Поэтому перчатки будут приобретены за 1200 − 1110 = 90 руб. В этом случае покупатель потратит 11 190 руб.

3) При покупке куртки и перчаток покупатель Б. потратит 9300 руб. + 1200 руб. = 10 500 руб. Т. к. эта сумма больше 10 000 руб., то то на следующую покупку покупателю будет предоставлена скидка 10 500hello_html_m6818caa7.png0,1 = 1050 руб. Поэтому рубашка будет приобретена за 1800 − 1050 = 750 руб. В этом случае покупатель потратит 11 250 руб.

Меньше всего покупатель заплатит, если воспользуется вторым вариантом: сумма составит 11 190 руб.

B5. Решите уравнение hello_html_m3b4649d4.png.

Решение.
Заметим, что hello_html_m7810ceca.pngи используем формулу hello_html_m27202b67.pngИмеем:


hello_html_m14f8b0b9.png

hello_html_m12ec2d9.png

Ответ: 2.

B6. hello_html_m7f2d11a8.pngКасательные hello_html_m369edca5.pngи hello_html_m326b9882.pngк окружности образуют угол hello_html_m1094bca0.png, равный hello_html_m279c6ad8.png. Найдите величину меньшей дуги hello_html_49e58666.png, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Решение.
угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой, рассмотрим треугольник hello_html_3e5cb921.png

hello_html_453ba649.png

Ответ: 58.

B7. Найдите значение выражения hello_html_63c70128.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_m6ce491c8.png.

Ответ: 1.

B8. На рисунке изображён график функции hello_html_m1cbae7e.pngи двенадцать точек на оси абсцисс: hello_html_m10459c1f.png, hello_html_m79b0ba0a.png, hello_html_2949d9eb.png, hello_html_mb3b55f2.png, hello_html_480be045.png. В скольких из этих точек производная функции hello_html_6dde1bf8.pngотрицательна?


hello_html_4575086b.png

Решение.
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция hello_html_6dde1bf8.pngубывает. В этих интервалах лежат точки hello_html_m426d6b8b.pngТаких точек 7.

Ответ:7.

B9. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pngизвестно, что hello_html_m6eb6df1c.png, hello_html_2781031.png, hello_html_62571234.png. Найдите длину диагонали hello_html_mf89615d.png.

Решение.
hello_html_4bd98d87.pngНайдем диагональ hello_html_d18b197.pngпрямоугольника hello_html_6a0d9078.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m524f6161.png.


Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_47617c6.pngПо теореме Пифагора

hello_html_468e70b2.png.


Ответ: 11.

B10. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение.
Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

B11. hello_html_6c7a5434.pngНайдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m5341012f.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_m4ce8aa10.png, hello_html_7dfd8584.pngпрямоугольного параллелепипеда hello_html_39fdff06.png, у которого hello_html_m7673e73d.png, hello_html_m26cba7fe.png, hello_html_m4e9c5ce2.png.

Решение.
hello_html_m72b28271.pngОснованием пирамиды, объем которой нужно найти, является половина боковой грани пареллелепипеда, а высотой пирамиды является ребро параллелепипеда hello_html_7f167a40.png. Поэтому


hello_html_442f1615.png


Ответ: 10.

B12. Небольшой мячик бросают под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой hello_html_m31c36acb.png, где hello_html_m2169c1ab.pngм/с – начальная скорость мячика, а hello_html_m5f1c422c.png– ускорение свободного падения (считайте hello_html_707778cd.pngм/сhello_html_43c890a2.png). При каком наименьшем значении угла hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_31813f59.pngна интервале hello_html_3d49b6f7.pngпри заданных значениях начальной скорости hello_html_5444ac75.png. и ускорения свободного падения hello_html_m2b5cbe46.png:

hello_html_73c07996.png

hello_html_m286bec68.png.

Ответ: 30.

B13. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение.
Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно, работая вместе, мастера выполняют hello_html_791211e0.pngработы в час. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа.

Другое рассуждение.
Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вместе, выполнят заказ за

hello_html_m2270777d.pngчаса.

Ответ: 4.

B14. Найдите точку максимума функции hello_html_7350c474.png.



Решение.
Поскольку функция hello_html_m3b732a57.pngвозрастающая, заданная функция достигает максимума в той же точке, в которой достинает максимума выражение hello_html_2e0d2ca0.png. Квадратный трехчлен hello_html_18b6c18a.pngс отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке hello_html_7b9e15a6.png, в нашем случае — в точке 3.

Ответ: 3.

C1. а) Решите уравнение hello_html_49d8a6ce.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_186f8315.png.

Решение.
hello_html_m7106d4ae.pngа) Запишем уравнение в виде

hello_html_395c72bd.png


Значит, hello_html_738495da.png, откуда hello_html_m4ddb63b2.pngили hello_html_m6e104706.png.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку hello_html_186f8315.png.

Получим числа: hello_html_m6283aba8.png; hello_html_m1ce03655.png; hello_html_m36f4189b.png.

Ответ: а)hello_html_118856f6.png, hello_html_m175daee4.png; б)hello_html_m6283aba8.png; hello_html_m1ce03655.png; hello_html_m36f4189b.png.

C2. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pnghello_html_7bd7eaa5.png, hello_html_7665e6be.png. Найдите угол между прямой hello_html_m641250f6.pngи плоскостью hello_html_m6550a1ad.png.

Решение.
Плоскости hello_html_m6550a1ad.pngи hello_html_m2e15f4eb.pngперпендикулярны. Перпендикуляр из точки hello_html_m4ce8aa10.pngк плоскости hello_html_m6550a1ad.pngлежит в плоскости hello_html_m2e15f4eb.pngи пересекает прямую hello_html_531d4783.pngв точке E. Значит, искомый угол равен углу hello_html_22f55f4a.png. В прямоугольном треугольнике hello_html_22f55f4a.pngс катетом hello_html_6a77d9a6.pngи гипотенузой hello_html_7a05dd87.pngимеем:


hello_html_m5ef5171d.png.


Следовательно,


hello_html_2e199b86.png


Ответ: hello_html_3d193d84.png.

Примечание.
Возможны другие формы записи ответа:


hello_html_3890d9c9.png.

C3. Решите систему неравенств: hello_html_m6e8e22b5.png

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_m56107c55.png


hello_html_5b65d65c.png


Учитывая, что hello_html_62a2a3e0.pngполучаем: hello_html_723a4fe9.pngоткуда находим решение первого неравенства системы: hello_html_6d3d5028.png


2. Решим второе неравенство системы:

hello_html_m33067a59.png


Сделаем замену hello_html_m76bbba66.png

hello_html_m3f6461b.png


Тогда hello_html_200093d1.pngили hello_html_m747c2766.pngоткуда находим решение второго неравенства системы: hello_html_3421643a.png; hello_html_1069a60.png


3. Поскольку hello_html_m2e1ea037.pngполучаем решение исходной системы неравенств:

hello_html_mdd9d9fd.png


Ответ: hello_html_af0c1d3.png

C4. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Решение.
hello_html_m2b51ff4a.pngВ любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30.
Предположим что hello_html_7d8c9c83.png(рис. 1). Стороны и АD треугольников МВС и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом hello_html_m232e7acf.pngЗначит,

hello_html_md36a6ff.png, hello_html_221cc2aa.png.


Заметим, что hello_html_m17656dc8.png, поэтому треугольник МВС — прямоугольный с гипотенузой . Радиус его вписанной окружности равен: hello_html_6b99256b.png.

hello_html_m627f1dc6.pngПусть теперь hello_html_2b6fbd73.png, hello_html_m20090a59.png(рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника MAD равен 6. Треугольник MAD и МВС подобны с коэффициентом hello_html_m232e7acf.pngЗначит, радиус вписанной окружности треугольника МВС равен hello_html_m345cbba2.png.

Ответ: 4; 6.

C5. Найдите все значения а. при каждом из которых наименьшее значение функции hello_html_700e502f.pngна множество hello_html_m43987205.pngне менее 6.

Решение.
Графиком функции hello_html_1ce477e0.pngявляется парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты hello_html_6e936372.png. Значит, минимум функции hello_html_6dde1bf8.pngна всей числовой оси достигается при hello_html_m14b94f75.png.
На множестве hello_html_m43987205.pngэта функция достигает наименьшего значения либо в точке hello_html_m14b94f75.png, если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек hello_html_m65b1b535.png.
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

hello_html_6ec21e17.png
hello_html_m37c0dc0d.png


откуда получаем систему неравенств

hello_html_57672eee.png


решениями которой являются hello_html_m77d2e4b0.png.
При hello_html_m135dcd4.pngимеем: hello_html_5579c251.png, значит наименьшее значение функции достигается в точке hello_html_m14b94f75.pngи hello_html_m63ce01ff.png, что удовлетворяет условию задачи.
При hello_html_44ded5c4.pngимеем: hello_html_1885c3f3.png, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек hello_html_m65b1b535.png, в которых значение функции не меньше 6.
При hello_html_6196f50.pngимеем: hello_html_m6ae08063.png, значит, наименьшее значение функции достигается в точке hello_html_m14b94f75.pngи hello_html_m9d4d990.png, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: hello_html_62aeb3c.png.

C6. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Решение.
а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв hello_html_66ddc90d.pngи hello_html_ma0a27af.pngполучим

hello_html_m69bd1a02.pnghello_html_39caf6d2.pnghello_html_m37a97123.png


б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.
Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть hello_html_7ded319c.pngгде hello_html_m325e6dbf.pngи hello_html_6f7e21bb.png— взаимно простые натуральные числа. Тогда:


hello_html_m589efd68.png.


Так как hello_html_m41a221f3.pngи hello_html_6f7e21bb.pngвзаимно просты, hello_html_2a664808.pngделится на hello_html_m6d08656c.pngа значит, hello_html_20401eb1.pngоткуда hello_html_m643e23c8.pngТак как hello_html_e98e962.png, hello_html_m2e31af25.pngНо hello_html_6f7e21bb.png– целое, поэтому hello_html_m1e93cf4b.png. Отсюда


hello_html_m3feb02b7.png.


Поэтому

hello_html_7b7cb534.png


что противоречит требованию задачи.
Ответ: а) да. б) нет.















































Вариант № 270. ЕГЭ 2014.

B1. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Решение.
С учетом комиссии, Аня должна внести в приемное устройство сумму не менее 300 + 300 hello_html_m6818caa7.png 0,05 = 315 рублей. Значит, минимальная сумма, которую должна положить Аня в приемное устройство данного терминала — 320 рублей. Проверим, что этой суммы достаточно: 5% от нее составляют 16 руб. (это комиссия), оставшиеся 304 рубля пойдут на счет телефона.

Приведем другое решение.
После уплаты 5% комиссии на счет телефона остаётся 95% вносимой суммы, которая должна быть не меньше 300 рублей. Если нужно внести x рублей, то 0,95x ≥ 300, откуда x ≥ 315. Поэтому x = 320 руб.

Ответ: 320.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во второй половине 1973 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

hello_html_m5b4e1ece.png

Решение.
Из диаграммы видно, что наибольшая среднемесячная температура во второй половине года (то есть с 7 по 12 месяц) составляла 16 °C (см. рисунок).

Ответ: 16.

B3. hello_html_6dd0dcf.png
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.




Решение.
hello_html_m27005d98.png
Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и трапеции (см. рис). Поэтому


hello_html_m3c45284f.pnghello_html_69a4f89b.png.

B4. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10 000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:

1) И. купит все три товара сразу.
2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.
3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.


Решение.
Рассмотрим все случаи.

1) При покупке всех трёх товаров покупатель И. потратит 9500 + 800 + 600 = 10 900 руб.

2) При покупке пиджака и рубашки покупатель И. потратит 9500 + 800 = 10 300 руб. Поскольку эта сумма больше 10 000, галстук будет приобретён за сертификат. В этом случае покупатель потратит 10 300 руб.

3) При покупке пиджака и галстука покупатель И. потратит 9500 + 600 руб. = 10 100 руб. Поскольку эта сумма больше 10 000, рубашка будет приобретена за сертификат. В этом случае покупатель потратит 10 100 руб.

В третьем случае покупатель потратит меньше всего — 10 100 рублей.

B5. Решите уравнение hello_html_9d4fe4b.png.

Решение.
Возведем в квадрат:

hello_html_m5ab89f11.png

Ответ:  −2,5.

B6. hello_html_7c0e76d7.pngХорда hello_html_49e58666.pngделит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки hello_html_1242de16.png, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.
Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна hello_html_m22cbcd3e.png, тогда меньшая равна hello_html_1d7e0acf.png

hello_html_m3c6af2b3.png

Значит, меньшая дуга окружности равна 150hello_html_m3dbcd4e5.png, а большая — 210hello_html_m1886b8ec.png

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 105hello_html_m1886b8ec.png

Ответ: 105.

B7. Найдите значение выражения hello_html_mee934ea.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_46abc5a5.png.

Ответ: 4.

B8. На рисунке изображён график функции hello_html_m1cbae7e.pngи восемь точек на оси абсцисс: hello_html_m10459c1f.png, hello_html_m79b0ba0a.png, hello_html_2949d9eb.png, hello_html_mb3b55f2.png, hello_html_m2b6a5ac1.png. В скольких из этих точек производная функции hello_html_6dde1bf8.pngположительна?

hello_html_m75ac8c18.png


Решение.
Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция hello_html_m7afdf860.pngвозрастает. На них лежат точки hello_html_m7fe3b8e0.pngТаких точек 5.

Ответ:5.

B9. hello_html_m5182326c.pngВ прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pngизвестно, что hello_html_1272b093.pnghello_html_59409b4c.pnghello_html_2ea1e43f.pngНайдите длину ребра hello_html_m42b1a128.png.

Решение.
hello_html_4389b74e.pngПо теореме Пифагора

hello_html_m7d27bb64.png

Тогда длина ребра hello_html_m42b1a128.pngравна

hello_html_6d552587.png

Ответ: 5.

B10. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение.
Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:


P(A + B) = P(A) + P(B).



Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38.

B11. hello_html_6c7a5434.pngНайдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m5341012f.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_1242de16.png, hello_html_m4ce8aa10.pngпрямоугольного параллелепипеда hello_html_39fdff06.png, у которого hello_html_ma374654.png, hello_html_m26cba7fe.png, hello_html_m4e9c5ce2.png.


Решение.
hello_html_m461ee69e.pngПлощадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому


hello_html_54779fa1.png


Ответ: 6.

B12. Плоский замкнутый контур площадью hello_html_7b646020.pngмhello_html_43c890a2.png находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой hello_html_m4d234be0.png, где hello_html_m7b9ba211.png– острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, hello_html_m15379665.pngТл/с – постоянная, hello_html_m1510d82c.png– площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в мhello_html_43c890a2.png). При каком минимальном угле hello_html_m7b9ba211.png(в градусах) ЭДС индукции не будет превышать hello_html_7aa91004.pngВ?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_m1dd40d36.pngна интервале hello_html_3d49b6f7.pngпри заданных значениях площади контура hello_html_me1f8cd2.pngи постоянной hello_html_m7e09f360.pngТл/с :

hello_html_4afa8a35.png.

Ответ: 60.

B13. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение.
Обозначим объем бака за 1. Тогда три насоса, работая вместе, заполнят бак за

hello_html_14263904.pngминут.

Ответ: 10.

B14. Найдите наибольшее значение функции hello_html_32d2ec41.png.



Решение.
Поскольку функция hello_html_369a5edf.pngвозрастающая, она достигает наибольшего значения в той точке, в которой достигает наибольшего значения выражение, стоящее под знаком логарифма. Квадратный трехчлен hello_html_18b6c18a.pngс отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке hello_html_m5c6a4a07.png, в нашем случае — в точке −1. Значение функции в этой точке hello_html_m22146824.png

Ответ: 4.

C1. а) Решите уравнение hello_html_729d9f34.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m7ee88b5.png.

Решение.
hello_html_3ee11167.pngа) Запишем уравнение в виде:


hello_html_m72f5f11.png


Значит, или hello_html_1416ccb3.png, откуда hello_html_m74c31c1d.png, hello_html_m6b7fa6a9.png, или hello_html_m7244df37.png, откуда hello_html_42b96b40.png, hello_html_m57f15cca.png.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку hello_html_2267b536.pngПолучим числа: hello_html_73b544b0.png

Ответ: а) hello_html_1a9b9956.png, hello_html_m6b7fa6a9.png; hello_html_684bbb30.png, hello_html_m57f15cca.png; б) hello_html_m5698d474.png.

C2. В правильной шестиугольной призме hello_html_m24c358c1.pngвсе рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости hello_html_m46385698.png.

Решение.
hello_html_m20f3f19.pngПрямые hello_html_m369a8eec.pngи FB перпендикулярны прямой EF. Плоскость hello_html_m46385698.png, содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости hello_html_5cc5e776.png, значит искомое расстояние равно высоте BH прямоугольного треугольника hello_html_5cc5e776.png, в котором hello_html_274f124a.png, hello_html_1c5bd3b8.png, hello_html_1f24f29.png. Поэтому


hello_html_4d2f676c.png.


Ответ: hello_html_m71be3e37.png.

C3. Решите систему неравенств hello_html_1e8bb1b4.png

Решение.
Область определения системы задается условием hello_html_379d0bda.png. На множестве hello_html_71612b07.pngимеем:


hello_html_118b6be5.pnghello_html_2854f56f.pnghello_html_36bf67ab.pnghello_html_2fc53b3d.png
hello_html_e1ce463.pnghello_html_52cd99f6.pnghello_html_d821344.pnghello_html_m51473601.pnghello_html_m46b5ea59.png.


Решим второе неравенство:


hello_html_5812eeee.pnghello_html_e1ce463.pnghello_html_m53e253d7.pnghello_html_m789402f6.png
hello_html_e1ce463.pnghello_html_33db7a76.pnghello_html_m76da92a6.png.


Так как hello_html_528b104f.png, окончательно получаем hello_html_66112456.png.

Ответ: hello_html_26187be3.png.

C4. Дан прямоугольный треугольник hello_html_m696dbb17.pngс катетами hello_html_4c7bde1f.pngи hello_html_14f5fa04.pngС центром в вершине hello_html_1f7ca3e1.pngпроведена окружность hello_html_m1510d82c.pngрадиуса 13. Найдите радиус окружности, вписанной в угол hello_html_1c9ae9bf.pngи касающейся окружности hello_html_fb79919.png

Решение.
Обозначим hello_html_598a5f05.png. Тогда hello_html_6e48d07d.png, hello_html_m1e2d24f9.png, hello_html_49de5732.pnghello_html_efc41d5.png

Пусть hello_html_101c486b.png— радиус искомой окружности, hello_html_m7de9e333.png— ее центр, hello_html_6de111be.png— точка касания с лучом hello_html_629ed042.pnghello_html_8715733.png— точка касания с окружностью hello_html_mc20d64a.pnghello_html_m2db83dc7.png— проекция точки hello_html_m7de9e333.pngна прямую hello_html_m572c277.pngЦентр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,


hello_html_653271c.png


Из прямоугольного треугольника hello_html_m97decbc.pngнаходим, что


hello_html_1193c9f1.png


Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: одна из них касается окружности hello_html_m1510d82c.pngвнутренним образом, а вторая — внешним.

В первом случае


hello_html_29757b0a.pnghello_html_594b44cf.png
hello_html_376ab06.png



По теореме Пифагора hello_html_m402a21e3.pngили


hello_html_126b96cb.png


откуда находим, что hello_html_m668c7c6e.png

hello_html_29a6d4c0.png
Во втором случае


hello_html_m6cdd6f02.pnghello_html_594b44cf.png
hello_html_640288c9.png


Тогда


hello_html_m49abb563.png


откуда находим, что hello_html_m43abf4db.png

Ответ: hello_html_49437781.pngили hello_html_m1bda5d44.png

C5. Найдите все значения hello_html_4a027993.pngпри каждом из которых наименьшее значение функции
hello_html_5c1bd63d.pngбольше 1.

Решение.

1. Функция имеет вид:
a) при hello_html_23360eb3.png: hello_html_m6ef4501c.pngа ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии hello_html_c8b324b.png
б) при hello_html_m57931e48.png: hello_html_m496d4bc9.pngа ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции hello_html_6dde1bf8.pngпоказаны на рисунках:



hello_html_m79ac2005.png

hello_html_123d972c.png

hello_html_m2af8e110.png

hello_html_41d7b7.png



2. Наименьшее значение функции hello_html_6dde1bf8.pngможет приниматься только в точках
hello_html_4fffeb3f.pngили hello_html_544e984e.pngа если hello_html_486a5fbb.png— то в точке hello_html_2638d429.png

3. Наименьшее значение функции hello_html_6dde1bf8.pngбольше 1 тогда и только тогда, когда

hello_html_mf61ad6e.pnghello_html_m4fa0229b.pnghello_html_5b6d0b80.png



hello_html_784768cc.pnghello_html_54ad78e2.png

hello_html_m5f16279a.png


Ответ: hello_html_m243629c5.png

C6. На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно hello_html_71609bd.png, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно hello_html_m704cf17e.png.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

hello_html_m2faea5fb.png.


а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому hello_html_m1cbcfb71.png — количество целых чисел — делится на 6. По условию hello_html_m33e681c3.png, поэтому

hello_html_34b525d5.png.


Таким образом, написано 42 числа.

б) Приведём равенство hello_html_7350882a.pngк виду

hello_html_7d84d8b.png.


Так как hello_html_4c4e5f8c.png, получаем, что hello_html_m776f381c.png, откуда hello_html_6ec9fa60.png. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) (оценка) Подставим hello_html_34b525d5.pngв правую часть равенства

hello_html_m70fbf1f3.png,


откуда

hello_html_1ba8ca25.png.


Так как hello_html_30448a4c.png, получаем:

hello_html_m5f7e7e98.png, hello_html_m763bfab4.png, hello_html_mdf4827d.png, hello_html_54202f28.png;


то есть положительных чисел не более 15.

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число и два раза написан 0.
Тогда

hello_html_286c357b.png


указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи.

Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15.
























































Вариант № 271. ЕГЭ 2014.

B1. В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Bhello_html_m24d42f9c.png2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.









B3. hello_html_6dd0dcf.png Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

B4. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

 

1

2

3

Автобусом

От дома до автобусной
станции — 15 мин

Автобус в пути:
2 ч 15 мин.

От остановки автобуса
до дачи пешком 5 мин.

Электричкой

От дома до станции железной
дороги — 25 мин.

Электричка в пути:
1 ч 45 мин.

От станции до дачи
пешком 20 мин.

Маршрутным такси

От дома до остановки маршрутного
такси — 25 мин.

Маршрутное такси в дороге:
1 ч 35 мин.

От остановки маршрутного такси
до дачи пешком 40 минут


B5. Решите уравнение hello_html_m11b2cbf.png.

B6. hello_html_m5dac5abd.pngНа рисунке угол 1 равен hello_html_m4704ed5a.png, угол 2 равен hello_html_m64a27fe.png, угол 3 равен hello_html_4d77a76e.png. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

B7. Найдите значение выражения hello_html_34f64204.png.

B8. На рисунке изображен график функции hello_html_m1cbae7e.pngи отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.


hello_html_1c7a054f.png

B9. В правильной треугольной пирамиде hello_html_124fd34.pnghello_html_2ed327c8.png — середина ребра hello_html_m5eb4582a.png, hello_html_m1510d82c.png — вершина. Известно, что hello_html_7bd7eaa5.png, а hello_html_m5f5bda80.png. Найдите площадь боковой поверхности.

B10. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

B11. hello_html_6c7a5434.pngНайдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m5341012f.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_m4ce8aa10.png, hello_html_7dfd8584.pngпрямоугольного параллелепипеда hello_html_39fdff06.png, у которого hello_html_m7673e73d.png, hello_html_m26cba7fe.png, hello_html_m4e9c5ce2.png.

B12. Небольшой мячик бросают под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле hello_html_m56488f2f.png(м), где hello_html_m2169c1ab.pngм/с – начальная скорость мячика, а hello_html_m5f1c422c.png– ускорение свободного падения (считайте hello_html_707778cd.pngм/сhello_html_43c890a2.png). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

B13. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

B14. Найдите точку максимума функции hello_html_m78a64b23.png.


Часть 2.


C1. а) Решите уравнение hello_html_m6b13dc2a.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m39d946a3.png


C2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

C3. Решите систему неравенств:hello_html_7563921a.png


C4. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.


C5. Найдите все значения параметра hello_html_4a027993.pngпри каждом из которых на интервале hello_html_69f99584.pngсуществует хотя бы одно число hello_html_101c486b.png, не удовлетворяющее неравенству hello_html_m6800d57e.png


C6. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами









Решение Варианта № 271. ЕГЭ 2014.

B1. В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Решение.
Разделим 20 на 3:

hello_html_m79610c2c.png.



Значит, в поход нужно взять 7 палаток.

Ответ: 7.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.

hello_html_m24d42f9c.png

Решение.
Из диаграммы видно, что было 2 месяца, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия (см. рисунок).

Ответ: 2.


B3. hello_html_6dd0dcf.png
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.




Решение.
hello_html_m27005d98.png
Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и трапеции (см. рис). Поэтому


hello_html_m3c45284f.pnghello_html_69a4f89b.png.

B4. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

 

1

2

3

Автобусом

От дома до автобусной
станции — 15 мин

Автобус в пути:
2 ч 15 мин.

От остановки автобуса
до дачи пешком 5 мин.

Электричкой

От дома до станции железной
дороги — 25 мин.

Электричка в пути:
1 ч 45 мин.

От станции до дачи
пешком 20 мин.

Маршрутным такси

От дома до остановки маршрутного
такси — 25 мин.

Маршрутное такси в дороге:
1 ч 35 мин.

От остановки маршрутного такси
до дачи пешком 40 минут

Решение.
При поездке на автобусе потребуется времени 15 мин. + 2 ч. 15 мин. + 5 мин. = 2 ч. 35 мин.
При поездке электричкой потребуется времени 25 мин. + 1 ч. 45 мин. + 20 мин. = 2 ч. 30 мин. = 2,5 ч.
При поездке маршрутным такси потребуется времени 25 мин. + 1 ч. 35 мин. + 40 мин. = 2 ч. 40 мин.

Ответ: 2,5.

B5.

Решите уравнение hello_html_m11b2cbf.png.

Решение.
Возведем в квадрат:

hello_html_a0fae7.png

Ответ:  −185.

B6. hello_html_m5dac5abd.pngНа рисунке угол 1 равен hello_html_m4704ed5a.png, угол 2 равен hello_html_m64a27fe.png, угол 3 равен hello_html_4d77a76e.png. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение.
сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна hello_html_727b09e4.png.

hello_html_m2ea22b4d.png.

Ответ: 120.

B7. Найдите значение выражения hello_html_34f64204.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_m53a68913.png

Ответ: 1.

B8. На рисунке изображен график функции hello_html_m1cbae7e.pngи отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.


hello_html_1c7a054f.png

Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2.

Ответ:−2.

B9. В правильной треугольной пирамиде hello_html_124fd34.pnghello_html_2ed327c8.png — середина ребра hello_html_m5eb4582a.png, hello_html_m1510d82c.png — вершина. Известно, что hello_html_7bd7eaa5.png, а hello_html_m5f5bda80.png. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение.
hello_html_7f5b566d.pngПлощадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:


hello_html_m336ff6f6.png

Ответ:3.

B10. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем — 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна: hello_html_me16192b.png

Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства


hello_html_m4b899e1b.png

Последовательно проверяя значения hello_html_m1b073d8f.png, равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является hello_html_m5ac39821.png. Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.

Ответ: 5.

Примечание.
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:

Р(1) = 0,6.
Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,015536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
Приведем другое решение.
Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства


hello_html_5ec6c214.png



В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.

B11. hello_html_6c7a5434.pngНайдите объем многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_m5341012f.png, hello_html_1f7ca3e1.png, hello_html_m4ce8aa10.png, hello_html_7dfd8584.pngпрямоугольного параллелепипеда hello_html_39fdff06.png, у которого hello_html_m7673e73d.png, hello_html_m26cba7fe.png, hello_html_m4e9c5ce2.png.

Решение.
hello_html_m72b28271.pngОснованием пирамиды, объем которой нужно найти, является половина боковой грани параллелепипеда, а высотой пирамиды является ребро параллелепипеда hello_html_7f167a40.png. Поэтому


hello_html_442f1615.png


Ответ: 10.

B12. Небольшой мячик бросают под острым углом hello_html_m7b9ba211.pngк плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле hello_html_m56488f2f.png(м), где hello_html_m2169c1ab.pngм/с – начальная скорость мячика, а hello_html_m5f1c422c.png– ускорение свободного падения (считайте hello_html_707778cd.pngм/сhello_html_43c890a2.png). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_m721bd9a5.pngна интервале hello_html_3d49b6f7.pngпри заданных значениях начальной скорости hello_html_5444ac75.pngи ускорения свободного падения hello_html_745721ba.png:

hello_html_m2e357f77.png

hello_html_m15b0ef7a.png

hello_html_6958ed00.png.

Ответ: 15.

B13. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Решение.
Скорость совместной работы насосов

hello_html_m6be7726f.png.

Для того, чтобы перекачать 25 литров воды, понадобится

hello_html_m6bf09e9e.pngмин hello_html_m5bad85cb.pngмин.

Ответ: 6.

B14. Найдите точку максимума функции hello_html_m78a64b23.png.


Решение.
Квадратный трехчлен hello_html_18b6c18a.pngс отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке hello_html_7b9e15a6.png, в нашем случае — в точке 1. Поскольку функция hello_html_m7da33a2c.pngвозрастает, и функция hello_html_m78a64b23.pngопределена в точке 1, она также достигает в ней максимума.

Ответ: 1.

C1. а) Решите уравнение hello_html_m6b13dc2a.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m39d946a3.png

Решение.
а) Заметим, что hello_html_5dae9a41.pngПоэтому уравнение можно переписать в виде hello_html_m662752eb.pngоткуда hello_html_m4dbfe493.pngЗначит, либо hello_html_4d099eb2.pngоткуда hello_html_m6fdac0b7.pngлибоhello_html_m12f4a189.png откуда hello_html_m33c97c5a.png
hello_html_m5ed78525.png
б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_md85d18a.png


Ответ: а) hello_html_70fe721a.pngб) hello_html_m52ffa06e.png

C2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Решение.
hello_html_m3e1df5e6.pngПусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN и SN.

SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная),

hello_html_m43d98da2.png.


Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 2. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна hello_html_599a8ec1.png.

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, которая, по теореме Пифагора, равна hello_html_m63fdf4db.png, и вычислим площадь:

hello_html_m7e44ce3b.png.

Ответ: hello_html_m4da632b1.png.

C3. Решите систему неравенств:hello_html_7563921a.png

Решение.
Реши первое неравенство. Сделаем замену hello_html_581a03d3.pngполучаем

hello_html_m3b5bbea9.pngили hello_html_344eb42c.png



Обратная замена дает hello_html_3f55ae41.pngили hello_html_m2ed79275.png
Решим второе неравенство. Сделав замену hello_html_m6c03333f.pngполучаем

hello_html_4b23afd6.png



Значит, hello_html_1c6bd00a.png
Таким образом, получаем решение системы:

hello_html_m25ef00fd.png



Ответ:hello_html_5760b2d8.png

C4. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m696dbb17.pngс катетами hello_html_7c4f11e5.png, hello_html_m719afd6a.pngи гипотенузой hello_html_74bb9c52.png. Пусть окружность с центром hello_html_m649d7c10.pngрадиуса hello_html_m11f94e49.pngкасается гипотенузы в точке hello_html_m1bb5ca0c.png, продолжений катетов hello_html_m5eb4582a.pngи hello_html_d18b197.png− в точках hello_html_8715733.pngи hello_html_1cfc080f.pngсоответственно, а hello_html_m761a08be.png− полупериметр треугольника hello_html_1fa3d8e0.pngИз равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что hello_html_367afb0d.pngи hello_html_m6a348d4c.pngпоэтому

hello_html_m31f9106c.png



а так как hello_html_4c09736f.png, то hello_html_2e365cd7.pngДалее, пусть окружность с центром hello_html_m348d05f6.pngрадиуса hello_html_m7440eb23.pngкасается катета hello_html_14a77ed4.pngв точке hello_html_m154e20d4.pngа продолжений сторон hello_html_49e58666.pngи hello_html_m5eb4582a.png− в точка hello_html_m13831945.pngи hello_html_5c84c3f2.pngсоответственно. Рассуждая аналогично, получаем hello_html_129708dd.pngЧетырехугольникиhello_html_d1a1fc0.png и hello_html_m3a90435a.png− квадраты, поэтому

hello_html_m6638164.png



значит, hello_html_m48f86e37.pnghello_html_m5890279e.pngСледовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.
Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что hello_html_71f7635.pngи hello_html_6504028f.png(рис. 1).
Опустим перпендикуляр hello_html_m5ffa13ee.pngиз центра меньшей окружности на hello_html_m1a3d451.pngТогда

hello_html_489a3110.png



hello_html_72581e00.png



Следовательно,

hello_html_791aa88a.png



hello_html_m32d1ef24.png

Пусть теперь hello_html_34b447e3.pngи hello_html_m3ce75fc8.png

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки hello_html_m6549fffe.pnghello_html_1242de16.pngи hello_html_d6738fc.pngлежат на оной прямой. Следовательно,

hello_html_m2c2650b8.png

Ответ: hello_html_2f25c749.pngили hello_html_4efcd34d.png

C5. Найдите все значения параметра hello_html_4a027993.pngпри каждом из которых на интервале hello_html_69f99584.pngсуществует хотя бы одно число hello_html_101c486b.png, не удовлетворяющее неравенству hello_html_m6800d57e.png

Решение.
Преобразуем неравенство:
hello_html_m3390deef.png

hello_html_1cd656e7.png

hello_html_m6b4e58f4.png



hello_html_398c804d.pngНеравенство hello_html_59055a19.pngопределяет на плоскости hello_html_4b19ed97.pngполосу, заключенную между прямыми hello_html_m1ec247b5.pngи hello_html_m5f855ba6.pngНеравенство hello_html_m2375d31b.pngзадаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.


На рисунке видно, что на интервале hello_html_69f99584.pngесть hello_html_101c486b.png, не удовлетворяющие неравенству, только если hello_html_44394de8.png

Ответ: hello_html_256eb714.png

C6. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами

Решение.
а) Да, например 2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 18, 20.

б) Можно считать, что разность hello_html_m6d9e1981.pngпрогрессии положительна. Пусть разность имеет hello_html_6f7e21bb.pngцифр. Тогда при переходе от какого-либо члена последовательности к следующему hello_html_m3d6b098a.png-й разряд либо не меняется, либо увеличивается на 1. Так как цифра 9 запрещена, возможно не больше 8 переходов со сменой этого разряда. Может случиться несколько членов подряд с одной и той же цифрой в hello_html_m3d6b098a.png-м разряде. Назовём такие члены группой. Всего таких групп не более 9. Обозначим длину группы hello_html_m44b04dd3.png
Найти наибольшую возможную длину группы. Так как hello_html_m6d9e1981.png-- hello_html_6f7e21bb.png-значное число, каждый переход, не меняющий hello_html_m3d6b098a.png-й разряд, увеличивает hello_html_6f7e21bb.png-й разряд. И так ка цифра 9 запрещена в то числе в hello_html_6f7e21bb.png-м разряде, то таких переходов подряд может быть не более 8. Следовательно, hello_html_m7adc5836.png, а в прогрессии не более hello_html_272ffab0.pngчленов.

в) Если в прогрессии нет переходов со сменой hello_html_m3d6b098a.png-го разряда, то членов прогрессии не больше 9. Пусть такие переходы есть. Рассмотрим член прогрессии, стоящий перед таким переходом. Так как он не содержит 9, то его hello_html_6f7e21bb.png-значный "хвост" ( имеет остаток от деления на hello_html_65618443.png) не больше hello_html_m61bd1ab6.pngНо при прибавлении d должен произойти переход через десяток в hello_html_m3d6b098a.png-м разряде. Следовательно, hello_html_m4f1ada97.png
Рассмотрим такую группу членов прогрессии hello_html_5bd42623.pngчто hello_html_m3d6b098a.png-й разряд не меняется. Тогда hello_html_6f7e21bb.png-значные хвосты сами образуют арифметическую прогрессию с той же разностью: hello_html_m4046c4a9.pngНо hello_html_m273f6033.pngследовательно hello_html_54f536aa.png

г) Пример нужно прогрессии дает прогрессия с первым членом 1 и разностью 125:




1

1001

2001

...

8001

126

1126

2126

...

8126

251

1251

2251

...

8251

376

1376

2376

...

8376

501

1501

2501

...

8501

626

1626

2626

...

8626

751

1751

2751

...

8751

876

1876

2876

...

8876




Ответ:а) да; г) например, 1, 126, ... 8876.














































Вариант № 272. ЕГЭ 2014.

Bhello_html_m9649484.png1. В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

B2. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период температура была ровно 21 °C.

B3. hello_html_2556a8f2.pngНайдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


B4. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Автомобиль

Топливо

Расход топлива (л на 100 км)

Арендная плата (руб. за 1 сутки)

А

Дизельное

7

3700

Б

Бензин

10

3200

В

Газ

14

3200


Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

B5. Решите уравнение hello_html_bb47ab2.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

B6. В треугольнике hello_html_m696dbb17.pnghello_html_m187b2986.png, hello_html_3d98109d.gifвысота, hello_html_29cb956f.png. Найдите hello_html_7c7f806e.png.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m10e1edf6.png.

B8. Прямая hello_html_71b56527.pngявляется касательной к графику функции hello_html_m53bfd1a0.png. Найдите hello_html_7659d147.png, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
B9. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pngизвестны длины рёбер hello_html_7cf4be57.png, hello_html_62571234.png, hello_html_m6e86f041.png. Найдите синус угла между прямыми hello_html_m5eb19a61.pngи hello_html_7d7365e1.png.

B10. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу hello_html_6de111be.png.

hello_html_f7ea2b9.png

B11. hello_html_m2f587a16.pngОбъем правильной четырехугольной пирамиды hello_html_m669fd653.pngравен 12. Точка hello_html_m2db83dc7.png– середина ребра hello_html_36aa4a61.png. Найдите объем треугольной пирамиды hello_html_m1af1fd88.png.

B12. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону hello_html_m55e9994a.png, где hello_html_6a71d57a.png– время в секундах, амплитуда hello_html_7d6d56ef.pngВ, частота hello_html_m21b31ef2.png/с, фаза hello_html_23bd54c.png. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем hello_html_md0d981f.pngВ, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

B13. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

B14. Найдите наименьшее значение функции hello_html_me6053a5.pngна отрезке hello_html_m6877efbf.png.


Часть 2.



C1. а) Решите уравнение hello_html_m377ed1d4.png
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_3d702502.png


C2. В правильной треугольной призме hello_html_m14eee150.pngстороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины hello_html_4222b41d.pngи середину ребра hello_html_7d7365e1.png. Найдите его площадь.


C3. Решите систему неравенств

hello_html_m63e09e0e.png

C4. Дан прямоугольник hello_html_7251da65.pngсо сторонами: hello_html_59eee1a1.png, hello_html_m35236414.png. Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром hello_html_m7d2ce099.pngрадиуса 4 и пересекается с прямойhello_html_m28652f30.png в точке hello_html_m24754899.pngНайдите hello_html_48fe56b0.png


C5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение hello_html_2c9dedd7.pngлибо имеет единственное решение, либо не имеет решений.


C6. Число hello_html_m1510d82c.pngтаково, что для любого представления hello_html_m1510d82c.pngв виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.

а) Может ли число hello_html_m1510d82c.pngбыть равным 38?
б) Может ли число hello_html_m1510d82c.pngбыть больше hello_html_m1510d82c.png?
в) Найдите максимально возможное значение hello_html_m1510d82c.png.






















Решение Варианта № 272. ЕГЭ 2014.

B1. В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Решение.
Учеников начальной школы 800 hello_html_m6818caa7.png 0,3 = 240, а учеников средней и старшей школы — 800 − 240 = 560. Значит, немецкий язык в школе изучают 560 hello_html_m6818caa7.png 0,2 = 112 учеников.

Ответ: 112.

B2. hello_html_m9649484.pngНа рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период температура была ровно 21 °C.

Решение.
Из графика видно, что ровно 21 градус тепла был в Бресте 4 дня: 10, 11, 12 и 14 июля.

Ответ: 4.

B3. hello_html_2556a8f2.pngНайдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см hello_html_320619d2.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.



Решение.
hello_html_1d14799f.pngПлощадь четырёхугольника равна разности площади большого прямоугольника, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому


hello_html_76392d82.pnghello_html_69a4f89b.png.

B4. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Автомобиль

Топливо

Расход топлива (л на 100 км)

Арендная плата (руб. за 1 сутки)

А

Дизельное

7

3700

Б

Бензин

10

3200

В

Газ

14

3200


Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

Решение.
Рассмотрим все варианты.

На 500 км автомобилю A понадобится 7 hello_html_m6818caa7.png 5 = 35 л дизельного топлива. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3700 руб. и затрат на дизельное топливо 35 hello_html_m6818caa7.png 19 = 665 руб. Всего 4365 руб.

На 500 км автомобилю Б понадобится 10 hello_html_m6818caa7.png 5 = 50 л бензина. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3200 руб. и затрат на бензин 50 hello_html_m6818caa7.png 22 = 1100 руб. Всего 4300 руб.

На 500 км автомобилю В понадобится 14 hello_html_m6818caa7.png 5 = 70 л газа. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3200 руб. и затрат на газ 70 hello_html_m6818caa7.png 14 = 980 руб. Всего 4180 руб.

Стоимость самого дешевого заказа составляет 4180 рублей.

Ответ: 4180.

B5. Решите уравнение hello_html_bb47ab2.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.
Область определения уравнения задается соотношением hello_html_254d4920.png. На области определения имеем:

hello_html_3a48c876.png


Оба найденный решения удовлетворяют условию hello_html_254d4920.png, меньший из них равен −0,5.

Ответ: −0,5.

B6. В треугольнике hello_html_m696dbb17.pnghello_html_m187b2986.png, hello_html_3d98109d.gifвысота, hello_html_29cb956f.png. Найдите hello_html_7c7f806e.png.

Решение.
hello_html_m6c1f3f6e.pngТреугольник hello_html_m696dbb17.pngравнобедренный, значит, углы hello_html_1c9ae9bf.pngи hello_html_66452e5f.pngравны как углы при его основании, а высота, проведенная из точки hello_html_1242de16.png, делит основание hello_html_m5eb4582a.pngпополам. Имеем:

hello_html_m4a9f0120.png
hello_html_m4fed9d81.png.

Ответ: 30.

Примечание.
hello_html_526928f2.png
Внимательный читатель заметит, что расстояние BH получилась больше, чем длина . Связано это с тем, что на самом деле описанный в условии треугольник является тупоугольным. Однако это не влияет на корректность решения задачи.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m10e1edf6.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_1557f6c1.png.

Ответ: 5.

B8. Прямая hello_html_71b56527.pngявляется касательной к графику функции hello_html_m53bfd1a0.png. Найдите hello_html_7659d147.png, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.


Решение.
Условие касания графика функции hello_html_m1cbae7e.pngи прямой hello_html_6c022978.pngзадаётся системой требований:


hello_html_m7f755cbf.png


В нашем случае имеем:


hello_html_6bf73ecb.png



По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x=0,5, откуда b=−33.

Ответ: −33.

B9. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_39fdff06.pngизвестны длины рёбер hello_html_7cf4be57.png, hello_html_62571234.png, hello_html_m6e86f041.png. Найдите синус угла между прямыми hello_html_m5eb19a61.pngи hello_html_7d7365e1.png.

Решение.
hello_html_m62b4d5e.png
Отрезки DC и D1C1 лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A1C1 и DC равен углу между прямыми A1C1 и D1C1.

Из прямоугольного треугольника A1C1D1 по получаем:


hello_html_m1f73e15c.png


Тогда для угла A1C1D1 имеем:


hello_html_4726b0a9.png


Ответ:0,6.

B10. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу hello_html_6de111be.png.

hello_html_f7ea2b9.png

Решение.
hello_html_m9431fd4.png
На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625.

Ответ: 0,0625.

B11. hello_html_m2f587a16.pngОбъем правильной четырехугольной пирамиды hello_html_m669fd653.pngравен 12. Точка hello_html_m2db83dc7.png– середина ребра hello_html_36aa4a61.png. Найдите объем треугольной пирамиды hello_html_m1af1fd88.png.

Решение.
Площадь основания пирамиды hello_html_m1af1fd88.pngпо условию в 2 раза меньше площади основания пирамиды hello_html_m669fd653.png. Также высота данной треугольной пирамиды в 2 раза меньше высоты пирамиды hello_html_m669fd653.png(т.к. точка hello_html_m2db83dc7.png– середина ребра hello_html_36aa4a61.png). Поскольку объем пирамиды равен hello_html_770f053d.png, то объем данной треугольной пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды hello_html_m669fd653.pngи равен 3.

Ответ: 3.

B12. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону hello_html_m55e9994a.png, где hello_html_6a71d57a.png– время в секундах, амплитуда hello_html_7d6d56ef.pngВ, частота hello_html_m21b31ef2.png/с, фаза hello_html_23bd54c.png. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем hello_html_md0d981f.pngВ, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение.
Задача сводится к решению уравнения hello_html_m54afdaee.pngпри заданных значениях амплитуды сигнала, частоты и фазы:

hello_html_31fa6cd9.png

hello_html_322d78e5.png

На протяжении первой секунды лампочка будет гореть hello_html_27730588.pngс, то есть hello_html_m6cc33c8f.png% времени.

Ответ: 50.

B13. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Решение.
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере hello_html_m78000647.pngрублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300%, то есть в hello_html_60bf40cc.pngраза, по сравнению с предыдущим годом. За 2003 год Бубликов заработал

hello_html_48deb005.pngрублей.

Ответ: 320000.

B14. Найдите наименьшее значение функции hello_html_me6053a5.pngна отрезке hello_html_m6877efbf.png.

Решение.
Найдем производную заданной функции:

hello_html_2facd1a.png.

Производная обращается в нуль в точках hello_html_3e6ce32.pngи hello_html_m33c6eb23.png, заданному отрезку принадлежит число 10. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_m5362be92.png

В точке hello_html_7ab10c9e.pngзаданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

hello_html_3a28453a.png.

Ответ: −8.

C1. а) Решите уравнение hello_html_m377ed1d4.png
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_3d702502.png

Решение.
hello_html_2c039fd3.png
а) Запишем уравнение в виде hello_html_1c2485e4.pngРешив последнее уравнение как квадратное относительно hello_html_m26ce1946.pngполучим hello_html_m3802b8aa.pngили hello_html_6c81d133.pngЗначит, hello_html_mb2baaad.pngоткуда hello_html_4bde7edc.pngили hello_html_m5b9871f8.pngчто невозможно.

б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_6b36cb95.png: это hello_html_33a89dd7.png

Ответ: а) hello_html_1e435194.png; б) hello_html_mf53e684.png.

C2. В правильной треугольной призме hello_html_m14eee150.pngстороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины hello_html_4222b41d.pngи середину ребра hello_html_7d7365e1.png. Найдите его площадь.

Решение.
hello_html_mc392cc5.pngОбозначим через и hello_html_1cfc080f.pngсредины ребер hello_html_7d7365e1.pngи hello_html_m417f825c.pngсоответственно.
По Теореме о средней линии треугольника hello_html_m6d6c8daf.pngтак что прямые hello_html_m2a241957.pngи hello_html_49e58666.pngлежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию hello_html_m14aff3cb.png
Основания трапеции hello_html_75058eb2.png, hello_html_6368ece1.pngпо теореме Пифагора найдем боковую сторону:

hello_html_m2aae4cb9.png

. Проведем в трапеции высоту hello_html_m6d9765ea.pngОтрезок hello_html_m315c5ddb.pngравен полуразности оснований трапеции:

hello_html_m39f0c16.png

Следовательно, высота трапеции hello_html_6574acf4.pngЗная её, находим площадь трапеции:

hello_html_m4ebcc0a8.png

Ответ: hello_html_76ed93ef.png

C3. Решите систему неравенств

hello_html_m63e09e0e.png

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену hello_html_72ccf2dd.png

hello_html_6b919fa2.png


Тогда hello_html_m3a04770a.pngили hello_html_m101d81fd.pngоткуда находим решение второго неравенства исходной системы: hello_html_m132040b0.png

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай: hello_html_413fd411.png

hello_html_206eae24.pnghello_html_m333c961.png


откуда находим: hello_html_58e40024.pngУчитывая условие hello_html_48b92852.pngполучаем: hello_html_35123.png

Второй случай: hello_html_2d64c802.png

hello_html_13d89811.pnghello_html_m23bab629.pnghello_html_m163dd0b6.png


Учитывая условие hello_html_m2037621.pngполучаем: hello_html_15af6193.png

Решение второго неравенства исходной системы:

hello_html_418c851d.png


3. Поскольку hello_html_23810082.pngполучаем решение исходной системы неравенств:

hello_html_m89d9234.png


Ответ: hello_html_3a63b5f0.png

C4. Дан прямоугольник hello_html_7251da65.pngсо сторонами: hello_html_59eee1a1.png, hello_html_m35236414.png. Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром hello_html_m7d2ce099.pngрадиуса 4 и пересекается с прямойhello_html_m28652f30.png в точке hello_html_m24754899.pngНайдите hello_html_48fe56b0.png

Решение.
Пусть точка hello_html_5c84c3f2.pngлежит между hello_html_m7d2ce099.pngиhello_html_1cfc080f.png (рис.1), hello_html_m13831945.png— точка касания прямой hello_html_a7fd725.pngс данной окружностью. Обозначим hello_html_57935841.png

hello_html_20a36934.png


Из прямоугольного треугольника hello_html_70b0538f.pngпо теореме Пифагора находим

hello_html_3c022c2a.png

Прямоугольные треугольники hello_html_70b0538f.pngи hello_html_mf33afb6.pngподобны, поэтому hello_html_m5a1d7d1e.pngоткуда

hello_html_6bb832a0.png

hello_html_4bd41cd4.png


hello_html_7686b35e.png

Если точка hello_html_5c84c3f2.pngлежит на продолжении стороны hello_html_m7804fbd3.pngза точку hello_html_m7d2ce099.png(рис.2), то, рассуждая аналогично, получим уравнение hello_html_28437682.pngиз которого hello_html_m244f0dc2.png
Ответ: hello_html_30271931.pngили hello_html_m7dd428d6.png.

C5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение hello_html_2c9dedd7.pngлибо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Решение.
Введём обозначения: hello_html_2dcd12f2.png, hello_html_27bbaa7d.png, hello_html_m1acd0340.png.
В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид hello_html_m19b27bbc.png.

Заметим, что hello_html_m1e2e37c5.pngпри hello_html_m6f60057c.png, hello_html_1ed846c8.pngпри hello_html_5e079ce.png.

Покажем, что при hello_html_264fe60a.pngуравнение hello_html_m19b27bbc.pngлибо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Действительно, если hello_html_m6f60057c.png, то hello_html_m42e8a7a7.png.

Если hello_html_5e079ce.png, то

hello_html_78deb880.png


причём равенство достигается только при hello_html_m15232957.pngи hello_html_m1ec247b5.png.

При hello_html_m637e331.pngверны неравенства hello_html_m1ce434d5.pngи hello_html_2a5018b2.png, так как hello_html_912aa0d.pngи hello_html_c20d8d4.png. Значит, уравнение hello_html_m19b27bbc.pngимеет решение.

Если некоторое число hello_html_2dae63a3.pngявляется решением этого уравнения, то и число hello_html_m6e3c51e.pngтакже является его решением, поскольку функции hello_html_6dde1bf8.pngи hello_html_m45e8a154.png— чётные. Значит, если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет единственное решение, то это решение hello_html_m1ec247b5.png.

Решим уравнение hello_html_5961814a.pngотносительно hello_html_7659d147.png:

hello_html_7179983f.png,


значит, hello_html_m1ec247b5.pngявляется решением уравнения hello_html_m19b27bbc.pngпри hello_html_13db663f.pngили hello_html_m15232957.png.

Случай, когда |b| = 2, уже был разобран.

При hello_html_13db663f.pngуравнение принимает вид hello_html_7d70143f.pngи имеет три различных решения:hello_html_4cc4d65d.png, hello_html_m3c9479b5.pnghello_html_5e6c476a.png.

Таким образом, уравнение hello_html_m19b27bbc.pngимеет единственное решение или не имеет решений при hello_html_3e15227c.pngи hello_html_m71a11c53.png, то есть при hello_html_7281bcc4.pngи hello_html_7b427ebe.png.

Ответ: hello_html_7281bcc4.png; hello_html_d09f96e.png.

C6. Число hello_html_m1510d82c.pngтаково, что для любого представления hello_html_m1510d82c.pngв виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.

а) Может ли число hello_html_m1510d82c.pngбыть равным 38?
б) Может ли число hello_html_m1510d82c.pngбыть больше hello_html_m1510d82c.png?
в) Найдите максимально возможное значение hello_html_m1510d82c.png.

Решение.
a) Рассмотрим разбиение числа 38 на 39 слагаемых, равных hello_html_m27ba361.png. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна hello_html_2d676f3c.png. Значит, hello_html_m1510d82c.pngне может быть равным 38.


б) Поскольку hello_html_m1510d82c.pngявляется суммой двух чисел, не больших 19, получаем hello_html_m4a261958.png. Пусть hello_html_186ce12f.png. Рассмотрим разбиение числа hello_html_m1510d82c.pngна 39 слагаемых, равных hello_html_m51d2b29c.png. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна hello_html_m26925337.png. Значит, hello_html_m1510d82c.pngне может быть больше hello_html_m1ed3e56d.png.


в) Докажем, что число hello_html_m1ed3e56d.pngудовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление hello_html_592faa52.pngв виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: hello_html_m3550978d.png. Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: hello_html_939d96d.png. Первую группу составим из hello_html_6f7e21bb.pngнебольших слагаемых так, чтобы hello_html_mb23904e.png. Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.
Пусть hello_html_m47f60dd7.png. В этом случае hello_html_m11a44272.pngи hello_html_6eb13229.png. Поэтому hello_html_m6d2ffb6e.png, hello_html_ma16c829.pngи hello_html_m752cce00.png. Тогда hello_html_m7a45cabe.png.

Полученное противоречие доказывает, что hello_html_m841e0b6.png. Поэтому сумма слагаемых во второй группе hello_html_m78664a35.png.

Таким образом, число hello_html_592faa52.pngудовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел hello_html_m3de16e3.pngне удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение hello_html_m1510d82c.png — это 37,05.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 37,05.








Вариант № 273. ЕГЭ 2014.

B1. Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

B2. В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.

B3 hello_html_m5ebd981a.pngНа клетчатой бумаге с клетками размером 1 см hello_html_320619d2.png1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

B4. В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10 000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.

Банк

Обслуживание счета *

Процентная ставка
(% годовых) **

Банк А

40 руб. в год

2

Банк Б

8 руб. в месяц

3,5

Банк В

Бесплатно

1,5

* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.

B5. Найдите корень уравнения: hello_html_m2ff6cb26.pngЕсли уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Bhello_html_61be4ba3.png6. hello_html_26279eea.pngВ тупоугольном треугольнике hello_html_m696dbb17.pnghello_html_m3803a2f5.png, hello_html_m315c5ddb.png– высота, hello_html_m7dc1ff44.png. Найдите hello_html_m72542f1b.png.

B7. Найдите значение выражения hello_html_5bb4c8fd.png.

B8. Прямая hello_html_m30afc07b.pngявляется касательной к графику функции hello_html_m665a13f6.png. Найдите hello_html_m20ee2513.png.
B9. В правильной шестиугольной призме hello_html_m24c358c1.png, все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми hello_html_m2d971045.pngи hello_html_m4fe71fe5.png. Ответ дайте в градусах.

B10. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

B11. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

B12. При нормальном падении света с длиной волны hello_html_61d30a10.pngнм на дифракционную решeтку с периодом hello_html_m6d9e1981.pngнм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол hello_html_m1511249b.png(отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума hello_html_6f7e21bb.pngсвязаны соотношением hello_html_5bf057fa.png. Под каким минимальным углом hello_html_m1511249b.png(в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

B13. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на hello_html_m256eb407.pngдешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

B14. Найдите наименьшее значение функции hello_html_6c39ea2f.pngна отрезке hello_html_ma28c2f7.png.

C1. а) Решите уравнение hello_html_13a3ea00.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m5a71390b.png.

C2. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m669fd653.pngс основанием hello_html_5e3d15d5.pngпроведено сечение через середины ребер hello_html_49e58666.pngи hello_html_m5eb4582a.pngи вершину hello_html_fb79919.pngнайдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.


C3. Решите систему неравенств


hello_html_m5eb7347e.png


C4. Продолжение биссектрисы hello_html_m5eb19a61.pngнеравнобедренного треугольника hello_html_m696dbb17.pngпересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке hello_html_m2db83dc7.png. Окружность, описанная около треугольника hello_html_mf1785a7.png, пересекает прямую hello_html_d18b197.pngв точке hello_html_7f43e396.png, отличной от hello_html_m5341012f.png. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника hello_html_m696dbb17.png, если hello_html_5b81c8b2.png, hello_html_m20e57ca8.png, угол hello_html_1c9ae9bf.png

равен hello_html_6aa7df56.png.

C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при каждом из которых уравнение hello_html_34d5af3.pngимеет более двух корней.



C6. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно hello_html_m1ad4371e.png.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?




























Решение Варианта № 273. ЕГЭ 2014.

B1. Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Решение.
Всего на теплоходе 620 человек. Разделим 620 на 50:

hello_html_m1754b513.png.

Значит, на теплоходе должно быть 13 шлюпок.

Ответ: 13.

B2. hello_html_61be4ba3.pngВ аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.


Решение.
Из графика видно, что сила натяжения достигает 150 кгс при угле наклона 45 градусов.

Ответ: 45.

B3 hello_html_m5ebd981a.pngНа клетчатой бумаге с клетками размером 1 см hello_html_320619d2.png1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.
hello_html_m4ee32d6.pngПлощадь фигуры равна разности площади прямоугольника и трех треугольников. Поэтому hello_html_3ed99e9d.pngсм2.

Ответ: 6.

B4. В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10 000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.

Банк

Обслуживание счета *

Процентная ставка
(% годовых) **

Банк А

40 руб. в год

2

Банк Б

8 руб. в месяц

3,5

Банк В

Бесплатно

1,5

* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.

Решение.
Рассмотрим различные варианты.
В банке A после снятия суммы в уплату за ведение счета на счету останется 10 000 − 40 = 9 960 руб. К концу года на счету окажется 9 960 + 0,02 hello_html_m6818caa7.png 9 960 = 10 159,2 руб.

В банке Б в качестве платы за ведение счета за год снимается со счета 12 hello_html_m6818caa7.png 8 = 96 руб. Таким образом, проценты начисляются на сумму 10 000 − 96 = 9 904 руб. К концу года на счету окажется 9 904 + 0,035 hello_html_m6818caa7.png 9 904 = 10 250,64 руб.

В банке В плата за ведение счета не взимается, таким образом, проценты будут начисляться на первоначальную сумму. К концу года на счету окажется 10 000 + 0,015 hello_html_m6818caa7.png 10 000 = 10 150 руб.

Ответ: 10 250,64.

B5. Найдите корень уравнения: hello_html_m2ff6cb26.pngЕсли уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.
Возведем в квадрат:

hello_html_bab03ac.png

Ответ: 8.

B6. hello_html_26279eea.pngВ тупоугольном треугольнике hello_html_m696dbb17.pnghello_html_m3803a2f5.png, hello_html_m315c5ddb.png– высота, hello_html_m7dc1ff44.png. Найдите hello_html_m72542f1b.png.

Решение.

hello_html_m3571b7b4.png
hello_html_b6c69c0.png

Ответ: - 0,25.

B7. Найдите значение выражения hello_html_5bb4c8fd.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_1ce28c2c.png.

Ответ: 2.

B8. Прямая hello_html_m30afc07b.pngявляется касательной к графику функции hello_html_m665a13f6.png. Найдите hello_html_m20ee2513.png.
Решение.
Условие касания графика функции hello_html_m1cbae7e.pngи прямой hello_html_6c022978.pngзадаётся системой требований:


hello_html_m7f755cbf.png


В нашем случае имеем:


hello_html_m54f2bf99.png

Ответ: 7.

B9. В правильной шестиугольной призме hello_html_m24c358c1.png, все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми hello_html_m2d971045.pngи hello_html_m4fe71fe5.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
hello_html_545254d9.png
Отрезки D1E1, DE и AB лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми FA и E1D1 равен углу между прямыми FA и AB.

Поскольку угол FAB между сторонами правильного шестиугольника равен 120°, смежный с ним угол между прямыми FA и AB равен 60°.

Ответ:60.

B10. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

B11. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение.
hello_html_5e1605a.pngПри одинаковой площади основания большим объемом будет обладать та часть, высота которой больше, то есть нижняя. Объем данной пирамиды относится к объему исходной как hello_html_m1ea56e6c.pngи поэтому равен 10.

Ответ: 10.

B12. При нормальном падении света с длиной волны hello_html_61d30a10.pngнм на дифракционную решeтку с периодом hello_html_m6d9e1981.pngнм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол hello_html_m1511249b.png(отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума hello_html_6f7e21bb.pngсвязаны соотношением hello_html_5bf057fa.png. Под каким минимальным углом hello_html_m1511249b.png(в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства hello_html_79c8c7cd.pngнм на интервале hello_html_4501617b.pngпри заданных значениях длины волны света hello_html_61d30a10.pngнм и номера максимума hello_html_17033c92.png:

hello_html_7ca9493b.png.

Ответ: 30.

B13. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на hello_html_m256eb407.pngдешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение.
Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции компании подорожали на hello_html_7a52e8c8.png, и их стоимость стала составлять hello_html_m6b804303.png. Во вторник акции подешевели на hello_html_7a52e8c8.png, и их стоимость стала составлять hello_html_4c3ca524.png. В результате они стали стоить на hello_html_m256eb407.pngдешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,

hello_html_m4d049ba.png.

Ответ: 20.

B14. Найдите наименьшее значение функции hello_html_6c39ea2f.pngна отрезке hello_html_ma28c2f7.png.

Решение.
Найдем производную заданной функции:

hello_html_m5f778372.png.


Найдем нули производной:

hello_html_m281f5956.png.


Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_4473bfe0.png

В точке hello_html_m51309bda.pngзаданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: hello_html_2edfc0fa.png.

Ответ: −3.

C1. а) Решите уравнение hello_html_13a3ea00.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m5a71390b.png.

Решение.
а) Так как hello_html_m6907c984.png, имеем: hello_html_m62520874.png, hello_html_287cf2aa.png.
Корни уравнения: hello_html_c1b77f5.png
hello_html_352ef749.pngб) Корни уравнения hello_html_1416ccb3.pngизображаются точками hello_html_m5341012f.pngи hello_html_1f7ca3e1.png, а корни уравнения hello_html_2affebb9.png— точками hello_html_1242de16.pngи hello_html_6de111be.png, промежуток hello_html_m5a71390b.pngизображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: hello_html_2956544d.pngи hello_html_5765da1b.png.

Ответ:а) hello_html_m3c24ca42.png
б) hello_html_m34ec6977.png

C2. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_m669fd653.pngс основанием hello_html_5e3d15d5.pngпроведено сечение через середины ребер hello_html_49e58666.pngи hello_html_m5eb4582a.pngи вершину hello_html_fb79919.pngнайдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

Решение.
Изобразим указанное в условии сечение — треугольник hello_html_5071ca21.png

hello_html_m2bd92cca.png



Проведем в треугольнике hello_html_3c25f695.pngвысоту hello_html_1d458f06.pngТочка hello_html_m13831945.png — hello_html_m3c72df3a.png.
Значит, hello_html_m59590701.png

hello_html_m65a6bc74.png


Из треугольника hello_html_39230b87.pngнаходим

hello_html_135ad466.png



Из треугольника hello_html_1c220e95.pngнаходим

hello_html_m6418e435.png



Тогда

hello_html_m30fe00e2.png



Ответ: hello_html_45fc3f1c.png


C3. Решите систему неравенств


hello_html_m5eb7347e.png


Решение.
Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при hello_html_33a9b099.png, т. е. при hello_html_572186ae.png

Пусть hello_html_m3a8a93f7.pngТогда неравенство принимает вид hello_html_m40a79567.pngоткуда hello_html_5bd1b417.pngили hello_html_62decc56.png. При всех допустимых hello_html_101c486b.pngоснование степени положительно и, следовательно, hello_html_m4e79c709.png. Значит, неравенство выполняется только при hello_html_5bd1b417.png.

Выясним, при каких hello_html_101c486b.pngэто происходит:


hello_html_4e561e31.png



Подставим в первое неравенство найденные значения hello_html_101c486b.png:

1. При hello_html_458edf4.png: hello_html_261c9808.png.

2. При hello_html_m589df055.png: hello_html_1af199a6.png.

3. При hello_html_3db8bb6.png: hello_html_m73a980b1.png.

Неравенству удовлетворяет только значение hello_html_32ab4aa2.png

Ответ: {1,2}.

C4. Продолжение биссектрисы hello_html_m5eb19a61.pngнеравнобедренного треугольника hello_html_m696dbb17.pngпересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке hello_html_m2db83dc7.png. Окружность, описанная около треугольника hello_html_mf1785a7.png, пересекает прямую hello_html_d18b197.pngв точке hello_html_7f43e396.png, отличной от hello_html_m5341012f.png. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника hello_html_m696dbb17.png, если hello_html_5b81c8b2.png, hello_html_m20e57ca8.png, угол hello_html_1c9ae9bf.pngравен hello_html_6aa7df56.png.

Решение.
hello_html_m8aaece2.pngВозможны два случая:

1) точка hello_html_7f43e396.pngлежит между hello_html_m5341012f.pngи hello_html_1242de16.png(рис. 1);
2) точка hello_html_m5341012f.pngлежит между hello_html_7f43e396.pngи hello_html_1242de16.png(рис. 2).

Рассмотрим первый случай.

hello_html_385ed696.png, поэтому треугольники hello_html_m692b63d3.pngи hello_html_m3a72974d.pngравны. Значит, hello_html_m32c40c93.png.

Тогда искомый радиус равен hello_html_5c473fe0.png.

Рассмотрим второй случай.

hello_html_m7e8d3151.png, поэтому треугольники hello_html_m692b63d3.pngи hello_html_m3a72974d.pngравны. Значит, hello_html_31914127.png. Тогда искомый радиус равен hello_html_m103230fa.png.

Ответ: hello_html_331f5cd3.png; hello_html_m6cb15703.png.

C5. Найдите все значения hello_html_m51ec0b04.png, при каждом из которых уравнение hello_html_34d5af3.pngимеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции hello_html_32ffe337.pngи hello_html_m7e123bed.png. Исследуем уравнение hello_html_m19b27bbc.png.

На промежутке hello_html_5fb92e31.pngфункция hello_html_6dde1bf8.pngвозрастает. Функция hello_html_m45e8a154.pngубывает на этом промежутке, поэтому уравнение hello_html_m19b27bbc.pngимеет не более одного решения на промежутке hello_html_5fb92e31.png, причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, hello_html_7cce9f42.png, то есть при hello_html_m482e898.png.

При hello_html_m13dadd43.pngуравнение hello_html_m19b27bbc.pngпринимает вид hello_html_m2902772d.png. При hello_html_3b99b30d.pngлевая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При hello_html_m2d15e8a0.pngэто уравнение сводится к квадратному уравнению hello_html_m735e000.pngдискриминант которого hello_html_m2992e143.png, поэтому при hello_html_m30bc64eb.pngэто уравнение не имеет корней; при hello_html_5b50080e.pngуравнение имеет единственный корень, равный hello_html_7e56e6a3.png; при hello_html_3afe373a.pngуравнение имеет два корня.


Пусть уравнение имеет два корня,

hello_html_m78752636.pngи hello_html_m5d329184.png.


Тогда меньший корень hello_html_173040ae.pngвсегда меньше hello_html_ea852ea.png, а больший корень hello_html_m79b0ba0a.pngне превосходит hello_html_ea852ea.png, если hello_html_54bee8e9.png, то есть при hello_html_7c579138.png.


По теореме Виета:

hello_html_4f6a844.png, hello_html_m3d66e3bf.png,


поэтому знаки корней hello_html_173040ae.pngи hello_html_m79b0ba0a.pngзависят от знаков выражений hello_html_m2de38644.pngи hello_html_43fcb37d.png. Значит, при hello_html_m16a7ac80.pngоба корня отрицательны, при hello_html_m5412531.pngодин из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при hello_html_4ca3b14.pngоба корня неотрицательны.


Таким образом, при hello_html_m13dadd43.pngуравнение hello_html_m2902772d.pngне имеет корней при hello_html_4c9b8f0d.pngи hello_html_m30bc64eb.png, имеет один корень при hello_html_43bd44f9.pngи hello_html_m7ed7f986.png, имеет два корня при hello_html_7c579138.png.

Таким образом, уравнение hello_html_34d5af3.pngимеет следующее количество корней:

— нет корней при hello_html_4c9b8f0d.png;
— один корень при hello_html_m378249b2.pngи hello_html_m30bc64eb.png;
— два корня при hello_html_m633df227.pngи hello_html_m7ed7f986.png;
— три корня при hello_html_7c579138.png.

Ответ: hello_html_7c579138.png.

C6. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно hello_html_m1ad4371e.png.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому


hello_html_4eb69d32.png.


а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому hello_html_m1cbcfb71.png — количество целых чисел — делится на 7. По условию hello_html_m37fa23cd.png, поэтому hello_html_5a4eae82.png. Таким образом, написано 49 чисел.

б) Приведём равенство hello_html_3072dcf3.pngк виду hello_html_3f68aadc.png. Так как hello_html_4c4e5f8c.png, получаем, что hello_html_m50938482.png, откуда hello_html_71266934.png. Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных.

в) (оценка). Подставим hello_html_5a4eae82.pngв правую часть равенства hello_html_69ae300d.png, откуда hello_html_m2fbeaaa1.png. Так как hello_html_3711a1dd.png, получаем: hello_html_m57ce787f.png, hello_html_m45f6df1e.png, hello_html_m1bf110c7.png, hello_html_m62d404bc.png; то есть отрицательных чисел не более 22.

в) (пример). Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число hello_html_m1ad4371e.pngи два раза написан 0. Тогда hello_html_m35531768.png, удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.








Вариант № 274. ЕГЭ 2014.

B1. Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
B2. hello_html_mac72d87.pngКогда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат — сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?

B3. hello_html_4c617fdd.pngДиагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

B4. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик

Стоимость перевозки одним автомобилем
(руб. на 100 км)

Грузоподъемность автомобилей
(тонн)

А

3200

3,5

Б

4100

5

В

9500

12

B5. Найдите корень уравнения hello_html_m5c54a96e.png.

B6. hello_html_m719a517e.pngРадиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную hello_html_1848e112.png. Ответ дайте в градусах.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m34458684.png.

B8. hello_html_m2bb8eb07.pngНа рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

B9. hello_html_m7be2b665.pngВ правильной шестиугольной призме hello_html_m6a4d1af9.pngвсе ребра равны hello_html_m33d78b8a.pngНайдите расстояние между точками hello_html_1f7ca3e1.pngи hello_html_m4af4dda7.png

B10. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

B11. hello_html_239a3093.pngВо сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

B12. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности hello_html_m78cf74c0.png, оперативности hello_html_5573e377.png, объективности публикаций hello_html_m4523c276.png, а также качества сайта hello_html_5c84c3f2.png. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид hello_html_m7277504e.png

Каким должно быть число hello_html_m5341012f.png, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

B13. Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.

B14. Найдите точку максимума функции hello_html_m7602ab0a.png.


C1. а) Решите уравнение hello_html_1fba70fa.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_159f8f9e.png.


C2. В правильной четырёхугольной призме hello_html_39fdff06.pngстороны основания равны 1, а боковые рёбра равны hello_html_30271931.png. На ребре hello_html_m6a63fb95.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_264257ec.png. Найдите угол между плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.


C3. Решите систему неравенств hello_html_76c1183b.png


C4. Угол hello_html_1242de16.pngтреугольника hello_html_m696dbb17.pngравен hello_html_6aa7df56.png, hello_html_6de111be.png— отличная от hello_html_m5341012f.pngточка пересечения окружностей, построенных на сторонах hello_html_49e58666.pngи hello_html_d18b197.pngкак на диаметрах. Известно, что hello_html_m664ddc84.png. Найдите угол hello_html_m5341012f.png.

C5. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение hello_html_m31b913ba.pngлибо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

C6. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?



























Решение Варианта № 274. ЕГЭ 2013.

B1. Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
Решение.
Через год клиент должен будет выплатить 12 000 + 0,16 hello_html_m6818caa7.png 12 000 = 13 920 рублей. Разделим 13 920 руб. на 12 мес.:

hello_html_m42b67c27.pngруб./мес.

Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк 1160 рублей.

Ответ: 1160.

B2. hello_html_mac72d87.pngКогда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат — сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?

Решение.
Из графика видно, что при скорости 200 км в час действующая на крылья подъемная сила равна одной тонне силы.

Ответ: 1.

B3. hello_html_4c617fdd.pngДиагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,

hello_html_m212fd982.png.

Ответ: 9.

B4. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик

Стоимость перевозки одним автомобилем
(руб. на 100 км)

Грузоподъемность автомобилей
(тонн)

А

3200

3,5

Б

4100

5

В

9500

12

Решение.
Рассмотрим все варианты.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику A понадобится 13 автомобилей. Стоимость перевозки каждым из них составит 32 hello_html_m6818caa7.png 1300 = 41 600 руб. Полная стоимость перевозки 41 600 hello_html_m6818caa7.png 13 = 540 800 руб.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику Б понадобится 9 автомобилей. Стоимость перевозки каждым из них составит 41 hello_html_m6818caa7.png 1300 = 53 300 руб. Полная стоимость перевозки 53 300 hello_html_m6818caa7.png 9 = 479 700 руб.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику В понадобится 4 автомобиля. Стоимость перевозки каждым из них составит 95 hello_html_m6818caa7.png 1300 = 123 500 руб. полная стоимость перевозки 123 500 hello_html_m6818caa7.png 4 = 494 000 руб.

Стоимость самой дешевой перевозки составит 479 700 руб.

Ответ: 479 700.

B5. Найдите корень уравнения hello_html_m5c54a96e.png.

Решение.
Возведем в квадрат:

hello_html_m249af6a2.png.

Ответ: 38.

B6. hello_html_m719a517e.pngРадиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную hello_html_1848e112.png. Ответ дайте в градусах.

Решение.
По теореме синусов для треугольника ACB имеем:


hello_html_27a80bcd.png


Следовательно, искомый угол равен 45°.

Ответ: 45.

B7. Найдите значение выражения hello_html_m34458684.png.

Решение.
Выполним преобразования:

hello_html_5ee0bc1d.png.

Ответ: 2.

B8. hello_html_m2bb8eb07.pngНа рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.
hello_html_m51cef700.pngЗначение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB


hello_html_6926bf18.png

Ответ: 2.

B9. hello_html_m7be2b665.pngВ правильной шестиугольной призме hello_html_m6a4d1af9.pngвсе ребра равны hello_html_m33d78b8a.pngНайдите расстояние между точками hello_html_1f7ca3e1.pngи hello_html_m4af4dda7.png

Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_3f421734.pngПо теореме Пифагора:

hello_html_631f203d.png

hello_html_313447dc.pngбольшая диагональ правильного шестиугольника, ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому hello_html_553a6037.png. Поскольку hello_html_m7d0bda18.pngимеем:

hello_html_m1787aaee.png

Ответ: 5.

B10. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

B11. hello_html_239a3093.pngВо сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение.
Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного – диагонали квадрата, длина которой равна hello_html_1848e112.png  длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного.

Ответ: 2.

B12. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности hello_html_m78cf74c0.png, оперативности hello_html_5573e377.png, объективности публикаций hello_html_m4523c276.png, а также качества сайта hello_html_5c84c3f2.png. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид


hello_html_m7277504e.png


Каким должно быть число hello_html_m5341012f.png, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

Решение.
Поскольку показатели максимальны, они равны 5. Подставим значения в формулу:


hello_html_m1b8e1d58.png

Ответ:35.

B13. Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.

Решение.
Пусть в первый день грузовик перевез hello_html_m5d1af183.pngтонны щебня, во второй — hello_html_m52044eae.png, …, в последний — hello_html_mdd499ba.pngтонн; всего было перевезено hello_html_m21e4bdcb.pngтонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на hello_html_m6d9e1981.pngтонн. Поскольку

hello_html_m2477c26d.png.

Имеем

hello_html_2e7ef19b.png.

Следовательно, за пятый день было перевезено 8 тонн щебня.

Ответ: 8.

B14. Найдите точку максимума функции hello_html_m7602ab0a.png.

Решение.
Найдем производную заданной функции:

hello_html_744dce4d.png
hello_html_m6b2797d5.png

Найдем нули производной:

hello_html_m63d60c08.png

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_5cf255df.png

Искомая точка максимума hello_html_m4e8603ac.png.

Ответ: -4.

C1. а) Решите уравнение hello_html_1fba70fa.png.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_159f8f9e.png.

Решение.
hello_html_100ecec6.pngа) Запишем уравнение в виде:


hello_html_m1ad4d306.png


Значит, или hello_html_1416ccb3.png, откуда hello_html_m74c31c1d.png, hello_html_m6b7fa6a9.png, или hello_html_39c8b3b5.png, откуда hello_html_20f50b37.png, hello_html_m57f15cca.png.

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку hello_html_805f836.png. Находим числа hello_html_m2724bb6.png

Ответ: а) hello_html_1a9b9956.png, hello_html_m6b7fa6a9.png; hello_html_m295e2ced.png, hello_html_m57f15cca.png; б) hello_html_m1d6f4614.png.

C2. В правильной четырёхугольной призме hello_html_39fdff06.pngстороны основания равны 1, а боковые рёбра равны hello_html_30271931.png. На ребре hello_html_m6a63fb95.pngотмечена точка hello_html_m2db83dc7.pngтак, что hello_html_264257ec.png. Найдите угол между плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.

Решение.
hello_html_4c04ae1a.pngПрямая hello_html_m1ca04855.pngпересекает прямую hello_html_m18037f7d.pngв точке hello_html_m331d64b2.png. Плоскости hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.pngпересекаются по прямой hello_html_m69f9886b.png.

Из точки hello_html_5a0dd268.pngопустим перпендикуляр hello_html_2345900d.pngна прямую hello_html_m69f9886b.png, тогда отрезок hello_html_m315c5ddb.png(проекция hello_html_2345900d.png) перпендикулярен прямой hello_html_m69f9886b.png. Угол hello_html_5d919fae.pngявляется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями hello_html_m696dbb17.pngи hello_html_m6166c561.png.

Поскольку hello_html_264257ec.png, получаем:

hello_html_m6ef0e6f2.png


Из подобия треугольников hello_html_m1ad3a509.pngи hello_html_40a4a46.pngнаходим:

hello_html_17f5610e.png


В прямоугольном треугольнике hello_html_760c2d41.pngс прямым углом hello_html_m5341012f.png: hello_html_7bd7eaa5.png; hello_html_a3aeab2.png; hello_html_12ae0bc6.png, откуда высота

hello_html_m2bfaf9fb.png.


Из прямоугольного треугольника hello_html_m4056d976.pngс прямым углом hello_html_m5341012f.pngполучаем:

hello_html_724372ae.png.


Ответ: hello_html_m271a8ade.png.

C3. Решите систему неравенств hello_html_76c1183b.png

Решение.
В первом неравенстве вынесем общий множитель за скобки, а во втором воспользуемся тем, что для hello_html_m23f8a37f.png, hello_html_m13ec4e43.pngи hello_html_m482e898.pngсправедлива равносильность:

hello_html_5eb7c7c.png.


Тогда

hello_html_m13c01cfe.png

hello_html_69373ec6.png

hello_html_m1c8cf980.png.


Ответ: hello_html_m2e0f0370.png.

C4. Угол hello_html_1242de16.pngтреугольника hello_html_m696dbb17.pngравен hello_html_6aa7df56.png, hello_html_6de111be.png— отличная от hello_html_m5341012f.pngточка пересечения окружностей, построенных на сторонах hello_html_49e58666.pngи hello_html_d18b197.pngкак на диаметрах. Известно, что hello_html_m664ddc84.png. Найдите угол hello_html_m5341012f.png.

Решение.
hello_html_m58e398a.pngТочка hello_html_6de111be.pngлежит на окружности с диаметром hello_html_49e58666.png, поэтому . Аналогично, . Следовательно, точка hello_html_6de111be.pngлежит на прямой hello_html_m5eb4582a.png.
Возможны два случая: точка hello_html_6de111be.pngлежит либо на отрезке hello_html_m5eb4582a.png(рис. 1), либо
на продолжении отрезка hello_html_m5eb4582a.pngза точку hello_html_1f7ca3e1.png(рис. 2). Точка hello_html_6de111be.pngне может лежать на продолжении отрезка hello_html_m5eb4582a.pngза точку hello_html_1242de16.png, так как угол hello_html_m1094bca0.png— острый.

Положим hello_html_mba62990.png, hello_html_76707c27.png. Из прямоугольных треугольников hello_html_m660d820c.pngи hello_html_1c00f0b9.pngнаходим:

hello_html_m298ae391.png
hello_html_6d12758.png

.

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов hello_html_628e7645.png, то есть hello_html_4796b08.png, откуда hello_html_m1a971664.png.

Во втором случае hello_html_m4d0d3a67.png, откуда hello_html_mdc68a1.png.

Поскольку hello_html_m2cc8314b.png, получаем: hello_html_m241b3c9f.png, значит, hello_html_m7763ce10.png— острый и равен hello_html_46405405.pngили hello_html_m3cb713e4.png.

Ответ: hello_html_4d008193.png.

C5. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение hello_html_m31b913ba.pngлибо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Решение.
Введём обозначения: hello_html_5637d004.png, hello_html_27bbaa7d.png, hello_html_m1acd0340.png.
В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид hello_html_m19b27bbc.png.

Заметим, что hello_html_m1e2e37c5.pngпри hello_html_m6f60057c.png, hello_html_1ed846c8.pngпри hello_html_5e079ce.png.

Покажем, что при hello_html_264fe60a.pngуравнение hello_html_m19b27bbc.pngлибо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Действительно, если