Набор 20-ти вариантов ЕГЭ с решениями всех задач.

 Вариант № 261. ЕГЭ 2014.

B1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять 1/10 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B3.  Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

B4. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги новостных сайтов на основе показателей информативности , оперативности и объективности публикаций. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до целого числа.

 

 

B5. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

B6. Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен . Найдите .

B7. Найдите значение выражения .

B8. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

B9. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

B10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

B11. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

B12. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где – масса груза (в кг), – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

B13. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

B14. Найдите точку минимума функции .

 

Часть 2.

C1.  а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

C2. В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны , а боковые ребра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

C3. Решите систему неравенств 

 

C4. Точка — центр правильного шестиугольника , в котором . Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников , И .

 

C5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех .

 

 

C6. Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

 

 

 

Решения варианта № 261.

B1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять 1/10 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

Решение.
Поскольку на 10 человек следует взять 0,1 фунта чернослива, на одного человека следует взять 0,01 фунта чернослива. Тогда на трех человек потребуется 0,03 фунта чернослива, что составляет 0,03  0,4 = 0,012 кг или 12 грамм.

Ответ: 12.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.
Из диаграммы видно, что наибольшая и наименьшая среднемесячные температуры составляли 18 °C и −20 °C соответственно (см. рисунок). Найдем их разность: 18 − (−20) = 38 °C.

Ответ: 38.

B3.  Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

Решение.
Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC.
Координаты точки P вычисляются следующим образом:

, ,

но с другой стороны,

, .

Поэтому ,

Ответ: 2.

B4. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги новостных сайтов на основе показателей информативности , оперативности и объективности публикаций. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до целого числа.

 

 

Решение.
Рассмотрим все варианты.

Сайт VoKak.ru:
Сайт NashiNovosti.com:
Сайт Bezvrak.ru:
Сайт Zhizni.net:

Таким образом, наивысший рейтинг имеет сайт Bezvrak.ru, он равен 75.

Ответ: 75.

B5. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение.
Решим уравнение:

Значениям соответствуют большие положительные корни.
Если , то и .
Если , то и .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Наименьшим положительным решением является 0,5.

Ответ: 0,5.

B6. Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен . Найдите .

Решение.
Рассмотрим треугольник Он равнобедренный, т. к. Значит,

Ответ: 5.

B7. Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 1.

B8. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.
Найдем формулу, задающую функцию график которой изображён на рисунке.

Следовательно, график функции получен сдвигом графика функции на единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:

 

Ответ: 4.

B9. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.

Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.).

Площадь основания цилиндра:

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра:

Поскольку площадь поверхности шара дается формулой имеем:

Ответ:166,5.

B10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Решение.
Из 25 билетов 23 не содержат вопроса о грибах, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса о грибах, равна

Ответ: 0,92.

B11. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

Решение.
Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна . Если ребро куба равно , то диагональ куба дается формулой . Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Ответ: 8.

B12. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где – масса груза (в кг), – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства Дж при заданных значении массы груза кг и законе изменения скорости:

Таким образом, 0,5 c из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Это составляет 0,5 первой секунды.

Ответ: 0,5.

B13. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Решение.
Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй — , …, в последний — тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась каждодневно на тонн. Тогда

.

Тогда за девятый день было перевезено

(тонн).

Ответ: 18.

B14. Найдите точку минимума функции .

Решение.
Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке , в нашем случае — в точке 15. Поскольку функция возрастает, и заданная функция определена в точке 15, она также достигает в ней минимума.

Ответ: 15.

C1.  а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.
а) Запишем уравнение в виде:

В результате получим:

Значит

.
б) Отметим решения на тригонометрической окружности.

Отрезку принадлежат корни , и

Ответ: а)                                                            ; б)           ,             и  

 

C2. В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны , а боковые ребра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

Решение.
Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой .

Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и .

Поскольку , получаем:

Из подобия треугольников и находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота

.

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

.

Ответ: .

C3. Решите систему неравенств 

 

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену .

Учитывая, что , получаем: , откуда находим решение первого неравенства системы .


2. Решим второе неравенство системы:

.

Сделаем замену

Тогда или , откуда находим решение второго неравенства системы: .

3. Поскольку , получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ: ; .

C4. Точка — центр правильного шестиугольника , в котором . Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников , И .

Решение.
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен , а основание , значит,

Треугольники , , и - равносторонние со стороной \frac{7\sqrt{3}}{2}, поэтому радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны .

Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).

Рассмотрим первый случай. Пусть , и - диаметры описанных окружностей треугольников , и соответственно, . Окружность с центром , проходящая через точки , и , касается внутренним образом окружностей, описанных около треугольников , и , так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов.

Рассмотрим второй случай. Пусть — центр окружности радиуса , касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника и внешним образом — описанных окружностей треугольников и . Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из центра описанной окружности треугольника на прямую . Тогда

 

.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому . По теореме Пифагора , или

,
откуда находим .

Ответ: 7; 3.

C5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех .

Решение.
Рассмотрим функцию . Эта функция возрастает на промежутке и убывает па промежутке .

Исходное неравенство имеет вид , значит, график функции на отрезке должен находиться в пределах горизонтальной полосы:

Отрезок не должен лежать на участке монотонности функции , иначе приращение на отрезке длины 5 будет не меньше 25, поэтому её график не поместится в полосе ширины 20. Следовательно, , откуда .

Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо при , либо при .

Наименьшее значение функции на отрезке достигается при . Получаем систему:

,

откуда .

Ответ:

 

 

 

C6. Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение.
Обозначим суммы чисел в группах , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через . Можно считать, что .

а) Чтобы число равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей равнялась 0, то есть . Сумма всех двадцати чисел . С другой стороны, она равна , но 210 не делится на 4. Значит, .

б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0. Значит, , но в этом случае каждая из сумм , не равна хотя бы одной из сумм , поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число не меньше 3. Значит, .

в) Выразим число явно через , , , :

В предыдущих пунктах было показано, что . Если , то или . В этом случае сумма всех двадцати чисел равна или , то есть нечётна, что неверно.

Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; — число равно 4.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 262. ЕГЭ 2014.

B1. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

B2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B3.  Точки O(0; 0), A(10; 8), C(2; 6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

 

 

 

 

B4. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены , показателей функциональности , качества и дизайна . Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.

 

 

B5. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

B6.  Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

B7. Найдите значение выражения .

B8.  На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

B9. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

B10. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 10 из России, 16 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступавшая первой, окажется из Китая.

B11.  Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

B12. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью (м/с), где кг – масса скейтбордиста со скейтом, а кг – масса платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

B13. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

B14. Найдите наибольшее значение функции .

Часть 2.

C1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

C2. Точка  — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 4.

 

 

C3. Решите систему неравенств  

 

C4. Продолжение биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке . Окружность, описанная около треугольника , пересекает прямую в точке , отличной от . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если , , угол равен .

 

C5. Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции

на множестве не меньше 6.

C6.  Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.

а) Может ли число быть равным 34?
б) Может ли число быть больше ?
в) Найдите максимально возможное значение .

 

 

 

Решение варианта №262.

 

B1. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Решение.
Средняя скорость бегуна 50 : 5 = 10 м/с. Переведем метры в секунду в километры в час:

1 м/с = 60 м/мин = 3600 м/ч = 3,6 км/ч. Поэтому 10 м/с = 36 км/ч.

Ответ: 36.

B2.

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

Решение.
Из графика видно, что в начальный момент времени указанного промежутка было 50 градусов Цельсия, а через четыре минуты — 80. Следовательно, с третьей по седьмую минуту двигатель нагрелся на 30 градусов Цельсия.

Ответ: 30.

B3.  Точки O(0; 0), A(10; 8), C(2; 6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

Решение.
Точка P является серединой отрезков OAи BC.
Координаты точки P вычисляются следующим образом:

, ,

но с другой стороны,

, .

Поэтому , .

Ответ: 2.

B4. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены , показателей функциональности , качества и дизайна . Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.

 

 

Решение.
Рассмотрим все варианты.

Модель А:
Модель Б:
Модель В:
Модель Г:

Тем самым, наивысший рейтинг имеет модель В, он равен 32.

Ответ: 32.

B5. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение.
Решим уравнение:

Значению соответствует . Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.

Ответ:  −1.

B6.  Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Решение.
Угол правильного шестиугольника равен , тогда угол в прямоугольном треугольнике равен . Следовательно,

Ответ: 1.

B7. Найдите значение выражения .

Решение.
В силу периодичности косинуса . Далее используем формулы приведения:

.

Ответ: 2.

B8.  На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках и
Имеем:

Приведем другое решение.
Получим явное выражение для Поскольку

имеем:

Примечание.
Внимательный читатель отметит, что второй подход эквивалентен выделению полного куба:

что позволяет сразу же найти

Еще один способ рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Ответ:6.

B9. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

Решение.

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Радиус сферы равен поэтому образующая равна

Ответ:56.

B10. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 10 из России, 16 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступавшая первой, окажется из Китая.

Решение.
В чемпионате принимает участие спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

Ответ: 0,48.

B11.  Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Решение.
Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

.

Ответ: 0,95.

B12. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью (м/с), где кг – масса скейтбордиста со скейтом, а кг – масса платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях массы скейтбордиста кг и массы платформы кг:

.

Ответ: 60.

B13. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.
Пусть рабочие в первый день проложили метров тоннеля, во второй — , …, в последний — метров тоннеля. Длина тоннеля метров. , дней. Тогда в последний день рабочие проложили

метров.

Ответ: 97.

B14. Найдите наибольшее значение функции .

Решение.
Выделим полный квадрат:

Отсюда имеем:

Поэтому наименьшее значние функции достигается в точке 11, и оно равно 13.

Ответ: 13.

C1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.
a) Запишем уравнение в виде:

.

Значит .
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Находим числа: .
Ответ: а) .
б) .

C2. Точка  — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 4.

Решение.
Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает ребро в его середине — точке .  — сечение куба плоскостью .

В равнобедренном треугольнике , и высота .

Поскольку  — средняя линия треугольника , получаем:

 

Ответ: 18.

 

C3. Решите систему неравенств  

 

 

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену .

Тогда , откуда находим решение первого неравенства системы .


2. Решим второе неравенство системы:

.

Рассмотрим два случая.


Первый случай: .

откуда находим: . Все полученные значения переменной удовлетворяют условию .


Второй случай: .

Учитывая условие , получаем: . Решение второго неравенства исходной системы:


3. Поскольку

получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

 

C4. Продолжение биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке . Окружность, описанная около треугольника , пересекает прямую в точке , отличной от . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если , , угол равен .

Решение.
Возможны два случая:

1) точка лежит между и (рис. 1);
2) точка лежит между и (рис. 2).

Рассмотрим первый случай.

, поэтому треугольники и равны. Значит, .

Тогда искомый радиус равен .

Рассмотрим второй случай.

, поэтому треугольники и равны. Значит, . Тогда искомый радиус равен .

Ответ: ; .

 

C5. Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции

на множестве не меньше 6.

Решение.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты . Значит, минимум функции на всей числовой оси достигается при .

На множестве эта функция достигает наименьшего значения либо в точке , если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

 

откуда получаем систему неравенств

.
решениями которой являются ; ; .

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в точке и , что не удовлетворяет условию задачи.

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек , в которых значение функции не меньше 6.

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в точке и , что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: ; .

C6.  Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.

а) Может ли число быть равным 34?
б) Может ли число быть больше ?
в) Найдите максимально возможное значение .

Решение.
a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных . При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна . Значит, не может быть равным 34.


б) Поскольку является суммой двух чисел, не больших 17, получаем . Пусть . Рассмотрим разбиение числа на 35 слагаемых, равных . При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна . Значит, не может быть больше .


в) Докажем, что число удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: . Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: . Первую группу составим из небольших слагаемых так, чтобы . Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.
Пусть . В этом случае и . Поэтому , и . Тогда .

Полученное противоречие доказывает, что . Поэтому сумма слагаемых во второй группе .

Таким образом, число удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение  — это  

Ответ: а) нет; б) нет; в)

 

 

 

 

 

Вариант № 263. ЕГЭ 2014.

B1. Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37 170 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

B2. На рисунке жирными точками показана цена палладия, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой палладия за указанный период. Ответ дайте в рублях за грамм.

B3.  Найдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

B4. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

В прейскуранте приведены цены на четыре кресла-качалки. Определите, продажа какого кресла-качалки наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого кресла-качалки.

B5. Найдите корни уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

B6. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

B7. Найдите значение выражения .

B8. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где  — одна из первообразных функции .

 

B9. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка  — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки , и .

B10. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

B11. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

B12. Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где м/с – начальная скорость мячика, а – ускорение свободного падения (считайте м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

B13. Заказ на 300 деталей первый рабочий выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что за час он делает на 5 деталей больше, чем второй?

B14. Найдите точку минимума функции .

 

Часть 2.

C1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

C2. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки до плоскости .

 

C3. Решить систему неравенств

C4. В треугольнике известны стороны: . Окружность, проходящая через точки и , пересекает прямые и соответственно в точках и , отличных от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка .

C5. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

C6. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

 

 

 

Решения Вариант № 263. ЕГЭ 2014.

B1. Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37 170 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

Решение.
Переведем высоту из футов в сантиметры: 37 170  30,5 = 1 133 685 см. Переведем высоту из сантиметров в метры: 1 133 685 : 100 = 11 336,85 м. Следовательно, полет проходит на высоте 11 336,85 метра.

Ответ: 11 336,85.

B2. На рисунке жирными точками показана цена палладия, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой палладия за указанный период. Ответ дайте в рублях за грамм.

Решение.
Из графика видно, что наибольшая и наименьшая цены за указанный период составили 172 рубля и 144 рубля соответственно (см. рисунок). Их разность равняется 28 рублям.

Ответ: 28.

B3.  Найдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

Решение.
Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Диагональ равна диаметру окружности, описанной около треугольника, следовательно, центр окружности лежит на середине диагонали прямоугольника. Тогда можно легко найти координаты центра окружности.

, .

Ответ: 1.

B4. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

В прейскуранте приведены цены на четыре кресла-качалки. Определите, продажа какого кресла-качалки наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого кресла-качалки.

Решение.
Рассмотрим все варианты.

При продаже кресла-качалки «Ода» по цене 16 500 руб. доход салона составит 16 5000,065 = 1 072,5 руб.

При продаже кресла-качалки «Сага» по цене 23 500 руб. доход салона составит 23 5000,025 = 587,5 руб.

При продаже кресла-качалки «Поэма» по цене 20 500 руб. доход салона составит 20 5000,03 = 615 руб.

При продаже кресла-качалки «Элегия» по цене 18 000 руб. доход салона составит 18 0000,05 = 900 руб.

Поэтому для салона наиболее выгодна продажа кресла-качалки «Ода» фирмы «Бета», доход от которого составит 1072,5 рубля.

B5. Найдите корни уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.
Последовательно получаем:

Значениям соответствуют положительные корни.

Если , то и .

Если , то и .

Значениям соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число .

Ответ: −4.

B6. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение.
сумма углов и равна , также . Если , то , если , то

Ответ: 122.

B7. Найдите значение выражения .

Решение.
В силу периодичности косинуса и симметричности синуса , . Далее используем формулы приведения:

.

Ответ: 0,4.

B8. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где  — одна из первообразных функции .

Решение.
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции Поэтому

Ответ:7.

B9. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка  — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки , и .

Решение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение — параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и , поэтому углы и — прямые. Следовательно, сечение  — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем

Тогда площадь прямоугольника равна:

Ответ:5.

B10. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение.
Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна

Ответ: 0,6.

B11. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

Решение.
Радиус основания конуса равен половине диагонали квадрата :  . Тогда объем конуса, деленный на :

Ответ: 16.

B12. Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где м/с – начальная скорость мячика, а – ускорение свободного падения (считайте м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях начальной скорости . и ускорения свободного падения :

.

Ответ: 30.

 

B13. Заказ на 300 деталей первый рабочий выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что за час он делает на 5 деталей больше, чем второй?

Решение.
Обозначим — число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает деталей, . На изготовление 300 деталей первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:

Ответ: 20.

B14. Найдите точку минимума функции .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума .

Ответ: 1.

C1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде

Значит, или , откуда , , или , откуда , .

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Получим числа: , и .

Ответ: а) , ; , ; б) , и

C2. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки до плоскости .

Решение.
Прямые и перпендикулярны прямой . Плоскость , содержащая прямую , перпендикулярна плоскости . Значит, искомое расстояние равно высоте прямоугольного треугольника , в котором , , :

Ответ: .

C3. Решить систему неравенств

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение второго неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

откуда находим: Учитывая условие получаем:

Второй случай:

Учитывая условие получаем:

Решение второго неравенства исходной системы:

3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

C4. В треугольнике известны стороны: . Окружность, проходящая через точки и , пересекает прямые и соответственно в точках и , отличных от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка .

Решение.
Обе точки и не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки и лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник  — вписанный, следовательно,

Значит, треугольник подобен треугольнику , так как угол  — общий. Пусть коэффициент подобия равен , тогда , , . Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны:

Подставляя известные значения сторон, находим . Следовательно, .

Пусть точка лежит на продолжении стороны . Углы и равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник подобен треугольнику , так как угол  — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники и равны, поэтому . Заметим, что и точка действительно лежит на продолжении стороны .

Если точка лежит на продолжении стороны , то , но, аналогично предыдущему случаю, получаем . Значит, этот случай не достигается.

Ответ: .

C5. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции и . Исследуем уравнение .

На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при .

При уравнение принимает вид . При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению дискриминант которого , поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня.


Пусть уравнение имеет два корня,

и .

Тогда меньший корень всегда меньше , а больший корень не превосходит , если , то есть при .


По теореме Виета:

, ,

поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и . Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.


Таким образом, при уравнение не имеет корней при и , имеет один корень при и , имеет два корня при .

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:

— нет корней при ;
— один корень при и ;
— два корня при и ;
— три корня при .

Ответ: .

C6. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Решение.
а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше . Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

По условию

значит, Тогда , поэтому доля девочек в группе:

Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна .

Ответ: а) да: б) 10; в) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 264. ЕГЭ 2014.

B1.  Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

B2.  На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Замбия?

 

B3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

B4.  Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Абонент выбрал самый дешевый тарифный план, исходя из предположения, что длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.

 

 

B5.  Найдите корень уравнения .

B6.  В четырехугольник вписана окружность, , . Найдите периметр четырехугольника.

B7.  Вычислите значение выражения: .

B8.  На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: ,. В скольких из этих точек функция убывает?

 

B9.  В правильной четырёхугольной призме известно, что . Найдите угол между диагоналями и . Ответ дайте в градусах.

B10.  По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

B11.    Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

B12.  Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

B13.  Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

B14.

Найдите точку максимума функции .

 

Часть 2.

 

 

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

C2.  На ребре куба отмечена точка так, что . Найдите угол между прямыми и .

C3.  Решите систему неравенств

C4.  Точка — центр правильного шестиугольника со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников , И .

C5.  Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

C6.  Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.

а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения Вариант № 264. ЕГЭ 2014.

B1.  Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Решение.
Магазин снизил цену на пакет кефира на 40 − 38 = 2 рубля. Разделим 2 на 40:

.

Значит, скидка для пенсионеров составляет 5%.

Ответ: 5.

B2.  На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Замбия?

 

Решение.
Расположим страны в порядке убывания количества выплавки меди в год:

1) США
2) Перу
3) Китай
4) Австралия
5) Индонезия
6) Россия
7) Канада
8) Польша
9) Замбия
10) Казахстан

Приведем другое решение
Меньше, чем в Замбии, выплавляют медь только в Казахстане, находящимся на десятом месте. Следовательно, Замбия находится на девятом месте

Ответ: 9.

B3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников, на которые он разбивается диагональю. Поэтому

см².

Ответ: 7,5.

B4.  Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Абонент выбрал самый дешевый тарифный план, исходя из предположения, что длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.

 

 

Решение.
Рассмотрим три случая.

На тарифном плане «Повременный» ежемесячная плата будет равна оплате за 700 мин. 700  0,35 = 245 руб.

На тарифном плане «Комбинированный» ежемесячная плата будет складываться из абонентской 130 руб. и платы за 380 мин. сверх тарифа 380  0,3 = 114 руб. и будет составлять 130 + 114 = 244 руб.

На тарифном плане «Безлимитный» ежемесячная плата будет равна 200 рублям.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 200 рублей.

Ответ: 200.

B5.  Найдите корень уравнения .

Решение.
Используем формулу :

Приведем другое решение:

Ответ:2.

B6.  В четырехугольник вписана окружность, , . Найдите периметр четырехугольника.

Решение.
В выпуклый прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда Тогда

Ответ: 52.

B7.  Вычислите значение выражения: .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 3.

B8.  На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: ,. В скольких из этих точек функция убывает?

 

Решение.
Убыванию дифференцируемой функции соответствуют отрицательные значения её производной. Производная отрицательна в точках Следовательно, таких точек 5.

Ответ:5.

B9.  В правильной четырёхугольной призме известно, что . Найдите угол между диагоналями и . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Диагональ AC₁ равна диагонали A₁C, поскольку AA₁C₁C является прямоугольником. Аналогично равны A₁C и BD₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁BC: поскольку AC₁ = 2BC, синус угла BA₁C равен 0,5. Следовательно, сам угол равен 30°. Проведя аналогичные рассуждения для треугольника D₁A₁B, получаем, что угол A₁BВ₁ равен 30°.

Из того, что сумма углов треугольника A₁GB равна 180° получаем, что угол A₁GB равен 120°, а искомый угол равен 60°.

Ответ:60.

B10.  По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение.
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

B11.  
Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

Решение.
Объем цилиндра равен произведению площади основания ны высоту. Площадь основания цилиндра равна площади большого круга вписанного шара, а высота цилиндра равна диаметру вписанного шара. Поэтому

Ответ: 36.

B12.  Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства cм/с при заданном законе изменения скорости :

Таким образом, первой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Ответ: 0,67.

B13.  Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим и — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:

.

По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть . Таким образом,

.

Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.

Ответ: 9.

Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.

B14.

Найдите точку максимума функции .

Решение.
Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае — в точке −7. Поскольку функция возрастает, и функция определена в точке −7, она также достигает в ней максимума.

Ответ: −7.

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.
а) Из данного уравнения получаем:

.

Значит, или , откуда , или , откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку . Получим числа: .

Ответ: а) , ; , ; б) .

C2.  На ребре куба отмечена точка так, что . Найдите угол между прямыми и .

Решение.
Примем ребро куба за единицу. Тогда .

Поскольку , получаем: и .


Проведем через точку прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке , причем треугольники и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с ним).

В прямоугольном треугольнике с прямым углом

В прямоугольном треугольнике с прямым углом

В треугольнике

откуда

, тогда

Ответ может быть представлен и в другом виде: или

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену .

Учитывая, что , получаем: , откуда находим решение первого неравенства системы .


2. Решим второе неравенство системы:

.

Сделаем замену

Тогда или , откуда находим решение второго неравенства системы: .

3. Поскольку и , получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ: ; .

C4.  Точка — центр правильного шестиугольника со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников , И .

Решение.
Заметим, что , поэтому вершина — центр окружности, описанной около треугольника ВОD. Аналогично, точки и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно.

Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).

Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки , и за точки , и до пересечения с соответствующими окружностями в точках , , . Тогда - диаметры данных окружностей. Окружность , проходящая через точки , и , касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника , так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность касается остальных двух окружностей.

Рассмотрим второй случай. Пусть — центр окружности радиуса , касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника и внешним образом — описанных окружностей треугольников и . Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из центра описанной окружности треугольника на хорду . Тогда — высота равностороннего треугольника , поэтому . Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому

.
По теореме Пифагора , или

,
откуда находим х = 6.

Ответ: 14; 6.

C5.  Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции и . Исследуем уравнение .

На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при .

При уравнение принимает вид . При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению дискриминант которого , поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня.


Пусть уравнение имеет два корня,

и .

Тогда меньший корень всегда меньше , а больший корень не превосходит , если , то есть при .


По теореме Виета:

, ,

поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и . Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.


Таким образом, при уравнение не имеет корней при и , имеет один корень при и , имеет два корня при .

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:

— нет корней при ;
— один корень при и ;
— два корня при и ;
— три корня при .

Ответ: .

C6.  Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.

а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Решение.
а) В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6.

б) В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4.

Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, состоящая не менее чем из пяти членов. Рассмотрим любые пять её последовательных членов. Разделим каждый член на наибольший общий делитель всех пяти членов. Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз, полученные числа , , , , также образуют арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Заметим, что числа , , , , не могут все быть четными или все делиться на 3.

Если разность этой прогрессии делится на 3, то в ней не может быть члена, делящегося на 3 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэтому все члены прогрессии являются степенями двойки. Поскольку все члены не могут быть четными, получаем, что среди них присутствует 1. Но в этом случае разность прогрессии нечётна, поэтому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует.

Пусть теперь разность прогрессии не делится на 3. Тогда если делится на 3, то члены , и не делятся на 3, а делится на 3. Аналогично, если делится на 3, то из чисел , , , на 3 будет делиться только . Наконец, если делится на 3, то ни одно из чисел , , , не делится на 3. Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки.

Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. Поэтому одно из этих чисел - единица. Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в этом случае на 3 делится только , поскольку единица — один из двух последовательных членов прогрессии, являющихся степенями двойки. Тогда , , , являются степенями двойки. Разность прогрессии , значит, она чётна и все члены прогрессии чётны, чего не может быть.

Ответ: а) да; б) 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 265. ЕГЭ 2014.

B1.  Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

B2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.

 

B3.  Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
B4.  Строительная фирма планирует купить 70 м³ пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

B5.  Найдите корень уравнения

B6.  Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

B7.  Вычислите значение выражения: .

B8.  На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: , . В скольких из этих точек функция возрастает?

 

B9.  В кубе точка  — середина ребра , точка  — середина ребра , точка  — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

B10.  В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

B11.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
B12.  Трактор тащит сани с силой кН, направленной под острым углом к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной м вычисляется по формуле . При каком максимальном угле (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

B13.  Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

B14. Найдите наименьшее значение функции .

 

Часть 2.

 

C1.  а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

C2.  В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

 

C3.  Решите систему неравенств

C4.  На прямой, содержащей медиану прямоугольного треугольника с прямым углом , взята точка , удаленная от вершины на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника , если , .

C5.  Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех .

C6.  Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение варианта № 265. ЕГЭ 2014.

B1.  Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение.
Разделим 48 на 0,12:

.

Значит, в олимпиаде участвовало 400 человек.

Ответ: 400.

B2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.

Решение.
Из диаграммы видно, что средняя температура в Ярославле была отрицательной в течение пяти месяцев: в январе, феврале, марте, ноябре и декабре.

B3.  Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь трапеции равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому

.

B4.  Строительная фирма планирует купить 70 м³ пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Решение.
Рассмотрим все варианты.

При покупке у поставщика A стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2600  70 = 182 000 руб. и стоимости доставки и равна 182 000 + 10 000 = 192 000 руб.

При покупке у поставщика Б стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2800  70 = 196 000 руб. и стоимости доставки и равна 196 000 + 8000 = 204 000 руб. Но так как стоимость заказа больше 150 000 руб., то доставка бесплатно. Таким образом, стоимость 196 000 руб.

При покупке у поставщика В стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2700  70 = 189 000 руб. и стоимости доставки и равна 189 000 + 8000 = 197 000 руб. Но так как стоимость заказа меньше 200 000 руб., то доставка не бесплатно. Таким образом, стоимость заказа 197 000 руб.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 192 000 рублей.

Ответ: 192 000.

B5.  Найдите корень уравнения

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 0.

B6.  Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.
вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до . Треугольник является равносторонним, т. к. , соответственно,. Тогда

.

Ответ: 150.

B7.  Вычислите значение выражения: .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 3.

B8.  На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: , . В скольких из этих точек функция возрастает?

 

Решение.
Возрастанию дифференцируемой функции соответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках Таких точек 3.

Ответ:3.

B9.  В кубе точка  — середина ребра , точка  — середина ребра , точка  — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Стороны сечения KM, KL, и LM равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников AKM, KLA, и LAM, которые равны друг другу по двум катетам. Таким образом, треугольник LKM является равносторонним. Поэтому угол MLK равен 60°.

Ответ:60.

B10.  В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна

Ответ: 0,027.

B11.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Решение.
Основание пирамиды такое же, как основание правильной шестиугольной призмы, и высота у них общая. Поэтому

 

Ответ: 4.

B12.  Трактор тащит сани с силой кН, направленной под острым углом к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной м вычисляется по формуле . При каком максимальном угле (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях силы кН и длины пути м:

.

Ответ: 60.

B13.  Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим и — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:

.

По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть . Таким образом,

.

Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.

Ответ: 9.

Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.

B14. Найдите наименьшее значение функции .

Решение.
Выделим полный квадрат:

Отсюда имеем:

Поэтому наименьшее значние функции достигается в точке −11, и оно равно 1.

Ответ: 1.

C1.  а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде

Значит, или  — уравнение не имеет корней, или , откуда , .

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Получим число .

Ответ: а) , ; б) .

C2.  В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

Решение.
Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой .

Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и .

Поскольку , получаем:

Из подобия треугольников и находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота

.

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

.

Ответ может быть представлен и в другой форме: или

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
Решим первое неравенство системы. Сделаем замену , тогда:

Вернемся к исходной переменной. Имеем:

Решим второе неравенство системы. Используя формулу , получаем:

Тем самым, решениями исходной системы неравенств являются

Ответ:

C4.  На прямой, содержащей медиану прямоугольного треугольника с прямым углом , взята точка , удаленная от вершины на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника , если , .

Решение.

По теореме Пифагора . Тогда .

Пусть точка лежит на луче . Медиана длиннее , и точка лежит внутри треугольника .

Опустим из точки перпендикуляр на прямую и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники и . Из подобия треугольников находим:

Следовательно, .

Пусть теперь точка лежит между и . В этом случае и . Тогда .

Ответ: 2,4; 21,6.

C5.  Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех .

Решение.
Рассмотрим функцию . Эта функция возрастает на промежутке и убывает па промежутке .

Исходное неравенство имеет вид , значит, график функции на отрезке должен находиться в пределах горизонтальной полосы:

Отрезок не должен лежать на участке монотонности функции , иначе приращение на отрезке длины 5 будет не меньше 25, поэтому её график не поместится в полосе ширины 20. Следовательно, , откуда .

Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо при , либо при .

Наименьшее значение функции на отрезке достигается при . Получаем систему:

,

откуда .

Ответ:

C6.  Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или

а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на стандартных кусков, тогда При получаем

т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска.

При получаем Значит, эту веревку можно разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем что противоречит условию Таким образом, искомое число равно 2645.

Ответ: а) 23; б) 2645.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 266. ЕГЭ 2014.

B1.  Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

B2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Кемерово по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Кемерово выше минус 10 градусов Цельсия.

 

B3.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

B4.  В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?

 

B5.  Решите уравнение .

B6.  Найдите угол , если его сторона касается окружности, – центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

B7.  Найдите значение выражения .

B8.  На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

B9.  В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

B10.  Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

B11.  
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

B12.  Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

B13.  Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

B14. Найдите точку максимума функции .

 

Часть 2.

 

C1.  а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

C2.  В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки до плоскости .

C3.  Решите систему неравенств:

C4.  Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

C5.  Найдите все значения , при которых уравнение на промежутке имеет ровно два корня.

C6.  Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение варианта № 266. ЕГЭ 2014.

B1.  Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

Решение.
Правильно решили задачу 27 500  0,94 = 25 850 учеников.

Ответ: 25 850.

B2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Кемерово по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Кемерово выше минус 10 градусов Цельсия.

 

Решение.
Из диаграммы видно, что среднемесячная температура воздуха в Кемерово ниже −10 градусов Цельсия в январе, феврале и декабре, а в остальные месяцы она выше.

B3.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, маленького прямоугольника и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому

см².

B4.  В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?

Решение.
Рассмотрим все варианты.

В первом банке 10 фунтов стерлингов будут стоить 47,4  10 = 474 руб.

Во втором банке 10 фунтов стерлингов стоят 1446 : 3 = 482 руб.

В третьем банке 1 фунт стерлингов стоит 561 : 12 = 187 : 4 = 46,75 руб. Значит, 10 фунтов стерлингов будут стоить 46,75  10 = 467,5 руб.

Ответ: 467,5.

 

B5.  Решите уравнение .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 5.

B6.  Найдите угол , если его сторона касается окружности, – центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Решение.
касательная к окружности перпендикулярна радиусу, центральный угол равен дуге, на которую он опирается, значит, треугольник – прямоугольный и

.

Ответ: 26.

B7.  Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 16.

B8.  На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

 

Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Ответ:4.

B9.  В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Отрезки A₁A и BB₁ лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A₁A и BB₁ равен углу между прямыми BB₁ и BB₁.
Из прямоугольного треугольника C₁B₁B по Теореме Пифагора получаем:

По определению:

Следовательно, угол BB₁ равен 45°.

Ответ:45.

B10.  Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Ответ: 0,019.

B11.  
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.
Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро . Поэтому

Ответ: 16.

B12.  Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства cм/с при заданном законе изменения скорости :

Таким образом, первой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Ответ: 0,67.

B13.  Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение.
Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выполнит 1/5 часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить время совместной работы, разделим этот объём работы на совместную производительность:

часов.

Тем самым, на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов.

Ответ: 6.

B14. Найдите точку максимума функции .

Решение.
Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае — в точке 6. Поскольку функция возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

Ответ: 6.

C1.  а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде

Значит, или , откуда , , или , откуда или , .
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .
Получим числа: , и .

Ответ: а) , ; , , ; б) , и

C2.  В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки до плоскости .

Решение.
Прямые и перпендикулярны прямой . Плоскость , содержащая прямую , перпендикулярна плоскости . Значит, искомое расстояние равно высоте прямоугольного треугольника , в котором , , :

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств:

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем: откуда находим решение первого неравенства системы:
2. Решим второе неравенство системы:

Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение второго неравенства системы: ;


3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

 

 

C4.  Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник , в котором , Пусть — высота треугольника . Тогда — середина .
Обозначим Тогда , ,
Предположим, что окружность радиуса с центром вписана в угол и касается основания в точке , а окружность того же радиуса с центром вписана в угол , касается основания в точке , а первой окружности — в точке . Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

, а

Из прямоугольного треугольника находим:

. Тогда .

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому , значит, , поскольку — прямоугольник. Следовательно,

, откуда находим .

Пусть теперь окружность радиуса с центром вписана в угол и касается боковой стороны в точке , вторая окружность радиуса с центром вписана в угол , касается боковой стороны в точке , а также касается первой окружности.
Из прямоугольных треугольников и находим:

,

.

Следовательно,

,

откуда находим .
В случае, когда окружности вписаны в углы и , получим тот же результат.

Ответ: 23 или 20.

C5.  Найдите все значения , при которых уравнение на промежутке имеет ровно два корня.

Решение.
Рассмотрим функции и Исследуем на промежутке
При все значения функции на промежутке неположительны, а все значения функции  — положительны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает на промежутке , Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке , поскольку и
На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что , поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, то есть Тогда оба корня меньше 4, поскольку при значения функции неположительны, а значения функции положительны. По теореме Виета сумма корней равна 3, а произведение равно Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку , а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда .
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :

1) Нет корней при
2) Один корень при
3) Два корня при и
4) Три корня при

Ответ: ;

C6.  Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Решение.
а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше . Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 9.
в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
По условию

значит, Тогда , поэтому доля девочек в группе:

Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна .

Ответ: а) да: б) 9; в) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 267. ЕГЭ 2014.

B1.  В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

Решение.
Разделим 124 на 0,25:

.

Значит, в школе учится 496 учеников.

Ответ: 496.

B2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Кемерово по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Кемерово ниже минус 10 градусов Цельсия.

Решение.
Из диаграммы видно, что среднемесячная температура воздуха в Кемерово ниже −10 градусов Цельсия в три зимних месяца: в январе, в феврале и в декабре.

B3.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому

.

Примечание.
Четырёхугольник составлен из двух треугольников, имеющих общее основание, равное длине квадратной клетки: прямоугольного с катетами 1 и 1, и тупоугольного с основанием длины 1 и высотой, проведенной к этому основанию, также длины 1. Поэтому площадь четырехугольника равна 0,5 + 0,5 = 1.

B4.  Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Абонент выбрал самый дешевый тарифный план, исходя из предположения, что длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.

 

 

Решение.
Рассмотрим три случая.

На тарифном плане «Повременный» ежемесячная плата будет равна оплате за 700 мин. 700  0,35 = 245 руб.

На тарифном плане «Комбинированный» ежемесячная плата будет складываться из абонентской 130 руб. и платы за 380 мин. сверх тарифа 380  0,3 = 114 руб. и будет составлять 130 + 114 = 244 руб.

На тарифном плане «Безлимитный» ежемесячная плата будет равна 200 рублям.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 200 рублей.

Ответ: 200.

B5.  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

B6.  Угол между хордой и касательной к окружности равен . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой . Ответ дайте в градусах.

Решение.
угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой. Значит, искомая величина дуги равна 64.

Ответ: 64.

B7.  Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 81.

B8.  На рисунке изображён график дифференцируемой функции . На оси абсцисс отмечены девять точек: . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Решение.
Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. Если сторону клетки принять за единицу, то функция убывает на интервалах (−4,4; −0,7) и (2,6;+∞). В них содержатся целые точки x₄, x₅, x₉. Их 3 штуки.

Ответ: 3.

B9.  В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины , и .

Решение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение  −  параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и . Поэтому углы и − прямые.Поэтому сечение  — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника найдем

Тогда площадь прямоугольника равна:

Ответ:572.

B10.  В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.
Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что хотя бы кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52.

Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако по условию эта вероятность равна 0,12.

B11.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.
Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому

 

Ответ: 8.

B12.  Трактор тащит сани с силой кН, направленной под острым углом к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной м вычисляется по формуле . При каком максимальном угле (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях силы кН и длины пути м:

.

Ответ: 60.

B13.  Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Решение.
Обозначим выполняемую девочками работу по прополке грядки за 1. Пусть Даша пропалывает грядку за минут. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут. Таким образом,

.

Тем самым, Даша за минуту пропалывает 1/30 грядки, значит, одна Даша прополет грядку за 30 минут.

Ответ: 30.

B14.  Найдите наибольшее значение функции .

Решение.
Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает наибольшего значения в той же точке, в которой достигает наибольшего значения выражение . Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке , в нашем случае — в точке  −3. Значение функции в этой точке равно

Ответ: 9.

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде

.

Значит, или , откуда , , или , откуда .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку . Получим числа:

Ответ: а) , ; ; б)

C2.  На ребре куба отмечена точка так, что . Найдите угол между прямыми и .

Решение.
Примем ребро куба за единицу. Тогда .

Поскольку , получаем: и .


Проведем через точку прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке , причем треугольники и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с ним).

В прямоугольном треугольнике с прямым углом

В прямоугольном треугольнике с прямым углом

В треугольнике

откуда

, тогда

Ответ может быть представлен и в другом виде: или

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем: откуда находим решение первого неравенства системы:

2. Решим второе неравенство системы:

Сделаем замену

Тогда откуда находим решение второго неравенства системы:

3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

C4.  В треугольнике известны стороны: . Окружность, проходящая через точки и , пересекает прямые и соответственно в точках и , отличных от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка .

Решение.
Обе точки и не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.

Пусть обе точки и лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник  — вписанный, следовательно,

Значит, треугольник подобен треугольнику , так как угол  — общий. Пусть коэффициент подобия равен , тогда , , . Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны:

 

Подставляя известные значения сторон, находим . Следовательно, .

Пусть точка лежит на продолжении стороны . Углы и равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник подобен треугольнику , так как угол  — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники и равны, поэтому . Заметим, что и точка действительно лежит на продолжении стороны .

Если точка лежит на продолжении стороны , то , но, аналогично предыдущему случаю, получаем . Значит, этот случай не достигается.

Ответ: .

C5.  Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение

на промежутке имеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции и . Исследуем уравнение на промежутке .

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке .

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке , поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , откуда получаем , то есть .

На промежутке уравнение принимает вид . Это уравнение сводится к уравнению . Будем считать, что , поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения , поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный 2; при уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня и , то есть , то больший корень , поэтому он принадлежит промежутку . Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда

то есть

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :

- нет корней при ;
- один корень при и ;
- два корня при и ;
- три корня при .

Ответ: .

C6.  Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или

а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на стандартных кусков, тогда При получаем

т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска.

При получаем Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем что противоречит условию Таким образом, искомое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 268. ЕГЭ 2014.

B1. 27 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

Решение.
Разделим 27 на 0,3:

.

Значит, в школе 90 выпускников.

Ответ: 90.

B2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.

Решение.
Из графика видно, что наибольшее количество посетителей (800 тысяч) больше, чем наименьшее количество посетителей за день (400 тысяч) в 2 раза (см. рисунок).

Ответ: 2.

B3 № 245003. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника, четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому

.

Примечание.
Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два треугольника с общим основанием, равным длине квадратной клетки. Высоты этих треугольников равны 1, поэтому их площади 0,5, а сумма этих площадей равна 1.

B4. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

Наименование продукта	Тверь	Липецк	Барнаул
Пшеничный хлеб (батон)	11	12	14
Молоко (1 литр)	26	23	25
Картофель (1 кг)	9	13	16
Сыр (1 кг)	240	215	260
Мясо (говядина)	260	280	300
Подсолнечное масло (1 литр)	38	44	50

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

Решение.
В Твери стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 11 2 + 9 3 + 1,5 260 + 1 38 = 477 руб.

В Липецке стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 12 2 + 13 3 + 1,5 280 + 1 44 = 527 руб.

В Барнауле стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 14 2 + 16 3 + 1,5 300 + 1 50 = 576 руб.

Самый дешёвый набор продуктов можно купить в Твери по цене 477 руб.

B5. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

B6. Угол равен . Его сторона касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, центральный угол равен дуге, на которую он опирается, значит, треугольник – прямоугольный и

Ответ: 114.

B7. Найдите значение выражения .

Решение.
Используем формулу

.
Имеем:

.

Ответ: −1.

B8. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Решение.
Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −4,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Производная равна нулю в 4 точках.

Ответ: 4.

B9. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер , , . Найдите синус угла между прямыми и .

Решение.

Отрезки DC и D₁C₁ лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A₁C₁ и DC равен углу между прямыми A₁C₁ и D₁C₁.

Из прямоугольного треугольника A₁C₁D₁ по получаем:

Тогда для угла A₁C₁D₁ имеем:

 

Ответ:0,6.

B10. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

B11. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Решение.

Заметим, что искомый объём равен разности объема призмы и двух треугольных пирамид, основания и высоты которых совпадают с основанием и высотой призмы:

Поэтому

Ответ: 4.

B12. Трактор тащит сани с силой кН, направленной под острым углом к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной м вычисляется по формуле . При каком максимальном угле (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях силы кН и длины пути м:

.

Ответ: 60.

B13. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение.
Обозначим выполняемую мальчиками работу по покраске забора за 1. Пусть за , , часов Игорь, Паша и Володя, соответственно, покрасят забор, работая самостоятельно. Игорь и Паша красят забор за 9 часов:

Паша и Володя красят этот же забор за часов:

,

а Володя и Игорь — за 18 часов:

Получаем систему уравнений:

Просуммируем левые и правые части данных трех уравнений, получим:

Ответ: 8.

Приведём ещё одно решение.
За один час Игорь и Паша красят забор за 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — за 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы:

  забора.

Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов.
Примечание Учителя.

Заметим, что за 36 часов Игорь и Паша могут покрасить 4 забора, Паша и Володя — 3 забора, а Володя и Игорь — 2 забора. Работая вместе, за 36 часов они могли бы покрасить 9 заборов. Следовательно, один забор два Игоря, два Паши и два Володи могут покрасить за 4 часа. Поэтому, работая втроем, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 8 часов.

B14. Найдите наименьшее значение функции .

Решение.
Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение . Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке , в нашем случае — в точке  −1. Значение функции в этой точке равно .

Ответ: 16.

C1. а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде

Значит, или , откуда , или , , откуда или ,

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) , б)

C2. Точка  — середина ребра куба . Найдите угол между прямыми и .

Решение.

Примем ребро куба за единицу. Тогда .

Прямая параллельна прямой , значит, искомый угол равен углу .

Из прямоугольного треугольника с прямым углом имеем:

,

тогда

Ответ также может быть представлен в следующем виде: или

Ответ: .

C3. Решить систему неравенств

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение второго неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

откуда находим: Учитывая условие получаем:

Второй случай:

Учитывая условие получаем:

Решение второго неравенства исходной системы:

3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

C4. Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Решение.
В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 7,5, а полусумма оснований равна 17,5, поэтому основания трапеции равны 10 и 25.

Предположим что , (рис. 1). Стороны LM и KN треугольников ALM и AKN параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом Значит,

, .

Заметим, что , поэтому треугольник ALM — прямоугольный с гипотенузой AM. (Поэтому трапеция прямоугольная, как и изображено на рисунке.) Радиус вписанной в треугольник ALM окружности равен .

Пусть теперь (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника AKN равен 5. Треугольник AKN и ALM подобны с коэффициентом Значит, радиус вписанной окружности треугольника ALM равен .

Ответ: 2; 5.

C5. Найдите все значения а. при каждом из которых наименьшее значение функции на множество не менее 6.

Решение.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты . Значит, минимум функции на всей числовой оси достигается при .
На множестве эта функция достигает наименьшего значения либо в точке , если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек .
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

откуда получаем систему неравенств

решениями которой являются .
При имеем: , значит наименьшее значение функции достигается в точке и , что не удовлетворяет условию задачи.

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек , в которых значение функции не меньше 6.

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в точке и , что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: .

C6. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

Решение.
а) Нет, поскольку не делится на 2, а не является квадратом натурального числа.

б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку не делится на 3.

Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку не является кубом натурального числа.

Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, то эти числа: но уравнение не имеет целых корней.

Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую, то эти числа: и где — натуральное число. Тогда последнее число должно равняться

но это не натуральное число.

в) Да, например,

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 269. ЕГЭ 2014.

B1.  В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Решение.
Учеников начальной школы 800  0,3 = 240, а учеников средней и старшей школы — 800 − 240 = 560. Значит, немецкий язык в школе изучают 560  0,2 = 112 учеников.

Ответ: 112.

B2.  На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько раз количество посетителей сайта РИА Новости принимало наибольшее значение.

Решение.
Из диаграммы видно, что посетителей сайта РИА Новости принимало наибольшее значение 3 раза (см. рисунок).

Ответ: 3.

B3.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольного треугольника, маленького прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому

.

B4.  В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10 000 руб., он получает скидку на следующую покупку в размере 10% уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель Б. хочет приобрести куртку ценой 9300 руб., рубашку ценой 1800 руб. и перчатки ценой 1200 руб. В каком случае Б. заплатит за покупку меньше всего:

1) Б. купит все три товара сразу.

2) Б. купит сначала куртку и рубашку, а потом перчатки со скидкой.

3) Б. купит сначала куртку и перчатки, а потом рубашку со скидкой.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит Б. за покупку в этом случае.

Решение.
Рассмотрим все случаи.

1) При покупке всех трёх товаров покупатель Б. потратит 9300 руб. + 1800 руб. + 1200 руб. = 12 300 руб.

2) При покупке куртки и рубашки покупатель Б. потратит 9300 руб. + 1800 руб. = 11 100 руб. Т. к. эта сумма больше 10 000 руб., то на следующую покупку покупателю будет предоставлена скидка 11 1000,1 = 1110 руб. Поэтому перчатки будут приобретены за 1200 − 1110 = 90 руб. В этом случае покупатель потратит 11 190 руб.

3) При покупке куртки и перчаток покупатель Б. потратит 9300 руб. + 1200 руб. = 10 500 руб. Т. к. эта сумма больше 10 000 руб., то то на следующую покупку покупателю будет предоставлена скидка 10 5000,1 = 1050 руб. Поэтому рубашка будет приобретена за 1800 − 1050 = 750 руб. В этом случае покупатель потратит 11 250 руб.

Меньше всего покупатель заплатит, если воспользуется вторым вариантом: сумма составит 11 190 руб.

B5. Решите уравнение .

Решение.
Заметим, что и используем формулу Имеем:

Ответ: 2.

B6.  Касательные и к окружности образуют угол , равный . Найдите величину меньшей дуги , стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Решение.
угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой, рассмотрим треугольник

Ответ: 58.

B7.  Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 1.

B8.  На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

 

Решение.
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция убывает. В этих интервалах лежат точки Таких точек 7.

Ответ:7.

B9.  В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите длину диагонали .

Решение.
Найдем диагональ прямоугольника По теореме Пифагора

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

.

Ответ: 11.

B10.  Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение.
Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

B11.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.
Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является половина боковой грани пареллелепипеда, а высотой пирамиды является ребро параллелепипеда . Поэтому

 

Ответ: 10.

B12.  Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где м/с – начальная скорость мячика, а – ускорение свободного падения (считайте м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях начальной скорости . и ускорения свободного падения :

.

Ответ: 30.

B13.  Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение.
Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно, работая вместе, мастера выполняют работы в час. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа.

Другое рассуждение.
Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вместе, выполнят заказ за

часа.

Ответ: 4.

B14.  Найдите точку максимума функции .

Решение.
Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает максимума в той же точке, в которой достинает максимума выражение . Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае — в точке 3.

Ответ: 3.

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде

Значит, , откуда или .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .

Получим числа: ; ; .

Ответ: а), ; б); ; .

C2.  В прямоугольном параллелепипеде , . Найдите угол между прямой и плоскостью .

Решение.
Плоскости и перпендикулярны. Перпендикуляр из точки к плоскости лежит в плоскости и пересекает прямую в точке E. Значит, искомый угол равен углу . В прямоугольном треугольнике с катетом и гипотенузой имеем:

.

Следовательно,

 

Ответ: .

Примечание.
Возможны другие формы записи ответа:

.

C3.  Решите систему неравенств:

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем: откуда находим решение первого неравенства системы:


2. Решим второе неравенство системы:

Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение второго неравенства системы: ;


3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

C4.  Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Решение.
В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30.
Предположим что (рис. 1). Стороны BС и АD треугольников МВС и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом Значит,

, .

Заметим, что , поэтому треугольник МВС — прямоугольный с гипотенузой BС. Радиус его вписанной окружности равен: .

Пусть теперь , (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника MAD равен 6. Треугольник MAD и МВС подобны с коэффициентом Значит, радиус вписанной окружности треугольника МВС равен .

Ответ: 4; 6.

C5.  Найдите все значения а. при каждом из которых наименьшее значение функции на множество не менее 6.

Решение.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты . Значит, минимум функции на всей числовой оси достигается при .
На множестве эта функция достигает наименьшего значения либо в точке , если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек .
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

откуда получаем систему неравенств

решениями которой являются .
При имеем: , значит наименьшее значение функции достигается в точке и , что удовлетворяет условию задачи.
При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек , в которых значение функции не меньше 6.
При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в точке и , что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: .

C6.  Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Решение.
а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв и получим

б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.
Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть где и — взаимно простые натуральные числа. Тогда:

.

Так как и взаимно просты, делится на а значит, откуда Так как , Но – целое, поэтому . Отсюда

.

Поэтому

что противоречит требованию задачи.
Ответ: а) да. б) нет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 270. ЕГЭ 2014.

B1.  При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Решение.
С учетом комиссии, Аня должна внести в приемное устройство сумму не менее 300 + 300  0,05 = 315 рублей. Значит, минимальная сумма, которую должна положить Аня в приемное устройство данного терминала — 320 рублей. Проверим, что этой суммы достаточно: 5% от нее составляют 16 руб. (это комиссия), оставшиеся 304 рубля пойдут на счет телефона.

Приведем другое решение.
После уплаты 5% комиссии на счет телефона остаётся 95% вносимой суммы, которая должна быть не меньше 300 рублей. Если нужно внести x рублей, то 0,95x ≥ 300, откуда x ≥ 315. Поэтому x = 320 руб.

Ответ: 320.

B2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во второй половине 1973 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.
Из диаграммы видно, что наибольшая среднемесячная температура во второй половине года (то есть с 7 по 12 месяц) составляла 16 °C (см. рисунок).

Ответ: 16.

B3.  
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и трапеции (см. рис). Поэтому

.

B4.  В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10 000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:

1) И. купит все три товара сразу.
2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.
3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.

Решение.
Рассмотрим все случаи.

1) При покупке всех трёх товаров покупатель И. потратит 9500 + 800 + 600 = 10 900 руб.

2) При покупке пиджака и рубашки покупатель И. потратит 9500 + 800 = 10 300 руб. Поскольку эта сумма больше 10 000, галстук будет приобретён за сертификат. В этом случае покупатель потратит 10 300 руб.

3) При покупке пиджака и галстука покупатель И. потратит 9500 + 600 руб. = 10 100 руб. Поскольку эта сумма больше 10 000, рубашка будет приобретена за сертификат. В этом случае покупатель потратит 10 100 руб.

В третьем случае покупатель потратит меньше всего — 10 100 рублей.

B5.  Решите уравнение .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ:  −2,5.

B6.  Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.
Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна , тогда меньшая равна

Значит, меньшая дуга окружности равна 150, а большая — 210

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 105

Ответ: 105.

B7.  Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 4.

B8.  На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?

 

Решение.
Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 5.

Ответ:5.

B9.  В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра .

Решение.
По теореме Пифагора

Тогда длина ребра равна

Ответ: 5.

B10.  Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение.
Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38.

B11.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.
Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому

 

Ответ: 6.

B12.  Плоский замкнутый контур площадью м находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где – острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, Тл/с – постоянная, – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м). При каком минимальном угле (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать В?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях площади контура и постоянной Тл/с :

.

Ответ: 60.

B13.  Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение.
Обозначим объем бака за 1. Тогда три насоса, работая вместе, заполнят бак за

минут.

Ответ: 10.

B14.  Найдите наибольшее значение функции .

Решение.
Поскольку функция возрастающая, она достигает наибольшего значения в той точке, в которой достигает наибольшего значения выражение, стоящее под знаком логарифма. Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке , в нашем случае — в точке −1. Значение функции в этой точке

Ответ: 4.

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде:

Значит, или , откуда , , или , откуда , .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) , ; , ; б) .

C2.  В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости .

Решение.
Прямые и FB перпендикулярны прямой EF. Плоскость , содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости , значит искомое расстояние равно высоте BH прямоугольного треугольника , в котором , , . Поэтому

.

 

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
Область определения системы задается условием . На множестве имеем:

.

Решим второе неравенство:

.

Так как , окончательно получаем .

Ответ: .

C4.  Дан прямоугольный треугольник с катетами и С центром в вершине проведена окружность радиуса 13. Найдите радиус окружности, вписанной в угол и касающейся окружности

Решение.
Обозначим . Тогда , ,

Пусть — радиус искомой окружности, — ее центр, — точка касания с лучом — точка касания с окружностью — проекция точки на прямую Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,

Из прямоугольного треугольника находим, что

Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: одна из них касается окружности внутренним образом, а вторая — внешним.

В первом случае

По теореме Пифагора или

откуда находим, что


Во втором случае

Тогда

откуда находим, что

Ответ: или

C5.  Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции
больше 1.

Решение.

1. Функция имеет вид:
a) при : а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
б) при : а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции показаны на рисунках:

2. Наименьшее значение функции может приниматься только в точках
или а если — то в точке

3. Наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда

 

Ответ:

C6.  На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

.

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому  — количество целых чисел — делится на 6. По условию , поэтому

.

Таким образом, написано 42 числа.

б) Приведём равенство к виду

.

Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) (оценка) Подставим в правую часть равенства

,

откуда

.

Так как , получаем:

, , , ;

то есть положительных чисел не более 15.

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число и два раза написан 0.
Тогда

указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи.

Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 271. ЕГЭ 2014.

B1.  В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

B2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.

 

 

 

 

 

 

 

B3.   Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

B4.  От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

	1	2	3
Автобусом	От дома до автобусной станции — 15 мин	Автобус в пути: 2 ч 15 мин.	От остановки автобуса до дачи пешком 5 мин.
Электричкой	От дома до станции железной дороги — 25 мин.	Электричка в пути: 1 ч 45 мин.	От станции до дачи пешком 20 мин.
Маршрутным такси	От дома до остановки маршрутного такси — 25 мин.	Маршрутное такси в дороге: 1 ч 35 мин.	От остановки маршрутного такси до дачи пешком 40 минут

 

B5.  Решите уравнение .

B6.  На рисунке угол 1 равен , угол 2 равен , угол 3 равен . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

B7.  Найдите значение выражения .

B8.  На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

 

B9.  В правильной треугольной пирамиде  — середина ребра ,  — вершина. Известно, что , а . Найдите площадь боковой поверхности.

B10.  При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

B11.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

B12.  Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где м/с – начальная скорость мячика, а – ускорение свободного падения (считайте м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

B13.  В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

B14.  Найдите точку максимума функции .

Часть 2.

 

C1.  а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

 

C2.  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

C3.  Решите систему неравенств:

 

C4.  Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

 

C5.  Найдите все значения параметра при каждом из которых на интервале существует хотя бы одно число , не удовлетворяющее неравенству

 

C6.  Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Варианта № 271. ЕГЭ 2014.

B1.  В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Решение.
Разделим 20 на 3:

.

Значит, в поход нужно взять 7 палаток.

Ответ: 7.

B2.  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.

Решение.
Из диаграммы видно, что было 2 месяца, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия (см. рисунок).

Ответ: 2.

 

B3.  
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и трапеции (см. рис). Поэтому

.

B4.  От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

	1	2	3
Автобусом	От дома до автобусной станции — 15 мин	Автобус в пути: 2 ч 15 мин.	От остановки автобуса до дачи пешком 5 мин.
Электричкой	От дома до станции железной дороги — 25 мин.	Электричка в пути: 1 ч 45 мин.	От станции до дачи пешком 20 мин.
Маршрутным такси	От дома до остановки маршрутного такси — 25 мин.	Маршрутное такси в дороге: 1 ч 35 мин.	От остановки маршрутного такси до дачи пешком 40 минут

Решение.
При поездке на автобусе потребуется времени 15 мин. + 2 ч. 15 мин. + 5 мин. = 2 ч. 35 мин.
При поездке электричкой потребуется времени 25 мин. + 1 ч. 45 мин. + 20 мин. = 2 ч. 30 мин. = 2,5 ч.
При поездке маршрутным такси потребуется времени 25 мин. + 1 ч. 35 мин. + 40 мин. = 2 ч. 40 мин.

Ответ: 2,5.

B5.  

Решите уравнение .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ:  −185.

B6.  На рисунке угол 1 равен , угол 2 равен , угол 3 равен . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение.
сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна .

.

Ответ: 120.

B7.  Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

Ответ: 1.

B8.  На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

 

Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2.

Ответ:−2.

B9.  В правильной треугольной пирамиде  — середина ребра ,  — вершина. Известно, что , а . Найдите площадь боковой поверхности.

Решение.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Ответ:3.

B10.  При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем — 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:

Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства

Последовательно проверяя значения , равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является . Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.

Ответ: 5.

Примечание.
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:

Р(1) = 0,6.
Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,015536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
Приведем другое решение.
Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства

В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.

B11.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.
Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является половина боковой грани параллелепипеда, а высотой пирамиды является ребро параллелепипеда . Поэтому

 

Ответ: 10.

B12.  Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где м/с – начальная скорость мячика, а – ускорение свободного падения (считайте м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения :

.

Ответ: 15.

B13.  В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Решение.
Скорость совместной работы насосов

.

Для того, чтобы перекачать 25 литров воды, понадобится

мин мин.

Ответ: 6.

B14.  Найдите точку максимума функции .

Решение.
Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае — в точке 1. Поскольку функция возрастает, и функция определена в точке 1, она также достигает в ней максимума.

Ответ: 1.

C1.  а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.
а) Заметим, что Поэтому уравнение можно переписать в виде откуда Значит, либо откуда либо откуда

б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку


Ответ: а) б)

C2.  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Решение.
Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN и SN.

SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная),

.

Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 2. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна .

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, которая, по теореме Пифагора, равна , и вычислим площадь:

.

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств:

Решение.
Реши первое неравенство. Сделаем замену получаем

или

Обратная замена дает или
Решим второе неравенство. Сделав замену получаем

Значит,
Таким образом, получаем решение системы:

Ответ:

C4.  Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами , и гипотенузой . Пусть окружность с центром радиуса касается гипотенузы в точке , продолжений катетов и − в точках и соответственно, а − полупериметр треугольника Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что и поэтому

а так как , то Далее, пусть окружность с центром радиуса касается катета в точке а продолжений сторон и − в точка и соответственно. Рассуждая аналогично, получаем Четырехугольники и − квадраты, поэтому

значит, Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.
Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что и (рис. 1).
Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на Тогда

 

Следовательно,

Пусть теперь и

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки и лежат на оной прямой. Следовательно,

Ответ: или

C5.  Найдите все значения параметра при каждом из которых на интервале существует хотя бы одно число , не удовлетворяющее неравенству

Решение.
Преобразуем неравенство:

Неравенство определяет на плоскости полосу, заключенную между прямыми и Неравенство задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.


На рисунке видно, что на интервале есть , не удовлетворяющие неравенству, только если

Ответ:

C6.  Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами

Решение.
а) Да, например 2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 18, 20.

б) Можно считать, что разность прогрессии положительна. Пусть разность имеет цифр. Тогда при переходе от какого-либо члена последовательности к следующему -й разряд либо не меняется, либо увеличивается на 1. Так как цифра 9 запрещена, возможно не больше 8 переходов со сменой этого разряда. Может случиться несколько членов подряд с одной и той же цифрой в -м разряде. Назовём такие члены группой. Всего таких групп не более 9. Обозначим длину группы
Найти наибольшую возможную длину группы. Так как -- -значное число, каждый переход, не меняющий -й разряд, увеличивает -й разряд. И так ка цифра 9 запрещена в то числе в -м разряде, то таких переходов подряд может быть не более 8. Следовательно, , а в прогрессии не более членов.

в) Если в прогрессии нет переходов со сменой -го разряда, то членов прогрессии не больше 9. Пусть такие переходы есть. Рассмотрим член прогрессии, стоящий перед таким переходом. Так как он не содержит 9, то его -значный "хвост" ( имеет остаток от деления на ) не больше Но при прибавлении d должен произойти переход через десяток в -м разряде. Следовательно,
Рассмотрим такую группу членов прогрессии что -й разряд не меняется. Тогда -значные хвосты сами образуют арифметическую прогрессию с той же разностью: Но следовательно

г) Пример нужно прогрессии дает прогрессия с первым членом 1 и разностью 125:

 

Ответ:а) да; г) например, 1, 126, ... 8876.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 272. ЕГЭ 2014.

B1.  В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

B2.  На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период температура была ровно 21 °C.

B3.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

B4.  Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Автомобиль	Топливо	Расход топлива (л на 100 км)	Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А	Дизельное	7	3700
Б	Бензин	10	3200
В	Газ	14	3200

Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

B5.  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

B6.  В треугольнике , высота, . Найдите .

B7.  Найдите значение выражения .

B8.  Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
B9.  В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер , , . Найдите синус угла между прямыми и .

B10.  На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

B11.  Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 12. Точка – середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

B12.  Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где – время в секундах, амплитуда В, частота /с, фаза . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

B13.  Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

B14.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

 

Часть 2.

 

 

C1.  а) Решите уравнение
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

 

C2.  В правильной треугольной призме стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины и середину ребра . Найдите его площадь.

 

C3.  Решите систему неравенств

C4.  Дан прямоугольник со сторонами: , . Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром радиуса 4 и пересекается с прямой в точке Найдите

 

C5.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

 

C6.  Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.

а) Может ли число быть равным 38?
б) Может ли число быть больше ?
в) Найдите максимально возможное значение .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Варианта № 272. ЕГЭ 2014.

B1.  В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Решение.
Учеников начальной школы 800  0,3 = 240, а учеников средней и старшей школы — 800 − 240 = 560. Значит, немецкий язык в школе изучают 560  0,2 = 112 учеников.

Ответ: 112.

B2.  На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период температура была ровно 21 °C.

Решение.
Из графика видно, что ровно 21 градус тепла был в Бресте 4 дня: 10, 11, 12 и 14 июля.

Ответ: 4.

B3.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого прямоугольника, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому

.

B4.  Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Автомобиль	Топливо	Расход топлива (л на 100 км)	Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А	Дизельное	7	3700
Б	Бензин	10	3200
В	Газ	14	3200

Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

Решение.
Рассмотрим все варианты.

На 500 км автомобилю A понадобится 7  5 = 35 л дизельного топлива. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3700 руб. и затрат на дизельное топливо 35  19 = 665 руб. Всего 4365 руб.

На 500 км автомобилю Б понадобится 10  5 = 50 л бензина. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3200 руб. и затрат на бензин 50  22 = 1100 руб. Всего 4300 руб.

На 500 км автомобилю В понадобится 14  5 = 70 л газа. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3200 руб. и затрат на газ 70  14 = 980 руб. Всего 4180 руб.

Стоимость самого дешевого заказа составляет 4180 рублей.

Ответ: 4180.

B5.  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.
Область определения уравнения задается соотношением . На области определения имеем:

Оба найденный решения удовлетворяют условию , меньший из них равен −0,5.

Ответ: −0,5.

B6.  В треугольнике , высота, . Найдите .

Решение.
Треугольник равнобедренный, значит, углы и равны как углы при его основании, а высота, проведенная из точки , делит основание пополам. Имеем:

.

Ответ: 30.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что расстояние BH получилась больше, чем длина BС. Связано это с тем, что на самом деле описанный в условии треугольник является тупоугольным. Однако это не влияет на корректность решения задачи.

B7.  Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 5.

B8.  Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x=0,5, откуда b=−33.

Ответ: −33.

B9.  В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер , , . Найдите синус угла между прямыми и .

Решение.

Отрезки DC и D₁C₁ лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A₁C₁ и DC равен углу между прямыми A₁C₁ и D₁C₁.

Из прямоугольного треугольника A₁C₁D₁ по получаем:

Тогда для угла A₁C₁D₁ имеем:

 

Ответ:0,6.

B10.  На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

Решение.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)⁴ = 0,0625.

Ответ: 0,0625.

B11.  Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 12. Точка – середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение.
Площадь основания пирамиды по условию в 2 раза меньше площади основания пирамиды . Также высота данной треугольной пирамиды в 2 раза меньше высоты пирамиды (т.к. точка – середина ребра ). Поскольку объем пирамиды равен , то объем данной треугольной пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды и равен 3.

Ответ: 3.

B12.  Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где – время в секундах, амплитуда В, частота /с, фаза . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение.
Задача сводится к решению уравнения при заданных значениях амплитуды сигнала, частоты и фазы:

На протяжении первой секунды лампочка будет гореть с, то есть % времени.

Ответ: 50.

B13.  Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Решение.
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300%, то есть в раза, по сравнению с предыдущим годом. За 2003 год Бубликов заработал

рублей.

Ответ: 320000.

B14.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

.

Производная обращается в нуль в точках и , заданному отрезку принадлежит число 10. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

.

Ответ: −8.

C1.  а) Решите уравнение
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Запишем уравнение в виде Решив последнее уравнение как квадратное относительно получим или Значит, откуда или что невозможно.

б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку : это

Ответ: а) ; б) .

C2.  В правильной треугольной призме стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины и середину ребра . Найдите его площадь.

Решение.
Обозначим через <mathm< math=""> и средины ребер и соответственно.
По Теореме о средней линии треугольника так что прямые и лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию
Основания трапеции , по теореме Пифагора найдем боковую сторону:

. Проведем в трапеции высоту Отрезок равен полуразности оснований трапеции:

Следовательно, высота трапеции Зная её, находим площадь трапеции:

Ответ:

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение второго неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

откуда находим: Учитывая условие получаем:

Второй случай:

Учитывая условие получаем:

Решение второго неравенства исходной системы:

3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

C4.  Дан прямоугольник со сторонами: , . Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром радиуса 4 и пересекается с прямой в точке Найдите

Решение.
Пусть точка лежит между и (рис.1), — точка касания прямой с данной окружностью. Обозначим

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим

Прямоугольные треугольники и подобны, поэтому откуда

 

Если точка лежит на продолжении стороны за точку (рис.2), то, рассуждая аналогично, получим уравнение из которого
Ответ: или .

C5.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Решение.
Введём обозначения: , , .
В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид .

Заметим, что при , при .

Покажем, что при уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Действительно, если , то .

Если , то

причём равенство достигается только при и .

При верны неравенства и , так как и . Значит, уравнение имеет решение.

Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции и — чётные. Значит, если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет единственное решение, то это решение .

Решим уравнение относительно :

,

значит, является решением уравнения при или .

Случай, когда |b| = 2, уже был разобран.

При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:, .

Таким образом, уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при и , то есть при и .

Ответ: ; .

C6.  Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.

а) Может ли число быть равным 38?
б) Может ли число быть больше ?
в) Найдите максимально возможное значение .

Решение.
a) Рассмотрим разбиение числа 38 на 39 слагаемых, равных . При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна . Значит, не может быть равным 38.


б) Поскольку является суммой двух чисел, не больших 19, получаем . Пусть . Рассмотрим разбиение числа на 39 слагаемых, равных . При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна . Значит, не может быть больше .


в) Докажем, что число удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: . Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: . Первую группу составим из небольших слагаемых так, чтобы . Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.
Пусть . В этом случае и . Поэтому , и . Тогда .

Полученное противоречие доказывает, что . Поэтому сумма слагаемых во второй группе .

Таким образом, число удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение  — это 37,05.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 37,05.

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 273. ЕГЭ 2014.

B1. Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

B2.  В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

B4. В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10 000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.

* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.

B5. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

B6. В тупоугольном треугольнике , – высота, . Найдите .

B7.  Найдите значение выражения .

B8. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
B9. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

B10. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

B11. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

B12. При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решeтку с периодом нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума связаны соотношением . Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

B13. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

B14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

C1. а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

C2. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием проведено сечение через середины ребер и и вершину найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

 

C3. Решите систему неравенств

 

C4. Продолжение биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке . Окружность, описанная около треугольника , пересекает прямую в точке , отличной от . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если , , угол

равен .

C5. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

C6. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Варианта  № 273. ЕГЭ 2014.

B1. Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Решение.
Всего на теплоходе 620 человек. Разделим 620 на 50:

.

Значит, на теплоходе должно быть 13 шлюпок.

Ответ: 13.

B2.  В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.

Решение.
Из графика видно, что сила натяжения достигает 150 кгс при угле наклона 45 градусов.

Ответ: 45.

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь фигуры равна разности площади прямоугольника и трех треугольников. Поэтому см².

Ответ: 6.

B4. В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10 000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.

* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.

Решение.
Рассмотрим различные варианты.
В банке A после снятия суммы в уплату за ведение счета на счету останется 10 000 − 40 = 9 960 руб. К концу года на счету окажется 9 960 + 0,02  9 960 = 10 159,2 руб.

В банке Б в качестве платы за ведение счета за год снимается со счета 12  8 = 96 руб. Таким образом, проценты начисляются на сумму 10 000 − 96 = 9 904 руб. К концу года на счету окажется 9 904 + 0,035  9 904 = 10 250,64 руб.

В банке В плата за ведение счета не взимается, таким образом, проценты будут начисляться на первоначальную сумму. К концу года на счету окажется 10 000 + 0,015  10 000 = 10 150 руб.

Ответ: 10 250,64.

B5. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: 8.

B6. В тупоугольном треугольнике , – высота, . Найдите .

Решение.

Ответ: - 0,25.

B7.  Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 2.

B8. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 7.

B9. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Отрезки D₁E₁, DE и AB лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми FA и E₁D₁ равен углу между прямыми FA и AB.

Поскольку угол FAB между сторонами правильного шестиугольника равен 120°, смежный с ним угол между прямыми FA и AB равен 60°.

Ответ:60.

B10. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

B11. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение.
При одинаковой площади основания большим объемом будет обладать та часть, высота которой больше, то есть нижняя. Объем данной пирамиды относится к объему исходной как и поэтому равен 10.

Ответ: 10.

B12. При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решeтку с периодом нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума связаны соотношением . Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства нм на интервале при заданных значениях длины волны света нм и номера максимума :

.

Ответ: 30.

B13. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение.
Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции компании подорожали на , и их стоимость стала составлять . Во вторник акции подешевели на , и их стоимость стала составлять . В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,

.

Ответ: 20.

B14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

.

Найдем нули производной:

.

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: .

Ответ: −3.

C1. а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение.
а) Так как , имеем: , .
Корни уравнения:
б) Корни уравнения изображаются точками и , а корни уравнения — точками и , промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и .

Ответ:а)
б)

C2. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием проведено сечение через середины ребер и и вершину найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

Решение.
Изобразим указанное в условии сечение — треугольник

Проведем в треугольнике высоту Точка  — .
Значит,

Из треугольника находим

Из треугольника находим

Тогда

Ответ:

 

C3. Решите систему неравенств

 

Решение.
Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при , т. е. при

Пусть Тогда неравенство принимает вид откуда или . При всех допустимых основание степени положительно и, следовательно, . Значит, неравенство выполняется только при .

Выясним, при каких это происходит:

Подставим в первое неравенство найденные значения :

1. При : .

2. При : .

3. При : .

Неравенству удовлетворяет только значение

Ответ: {1,2}.

C4. Продолжение биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке . Окружность, описанная около треугольника , пересекает прямую в точке , отличной от . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если , , угол равен .

Решение.
Возможны два случая:

1) точка лежит между и (рис. 1);
2) точка лежит между и (рис. 2).

Рассмотрим первый случай.

, поэтому треугольники и равны. Значит, .

Тогда искомый радиус равен .

Рассмотрим второй случай.

, поэтому треугольники и равны. Значит, . Тогда искомый радиус равен .

Ответ: ; .

C5. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции и . Исследуем уравнение .

На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при .

При уравнение принимает вид . При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению дискриминант которого , поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня.


Пусть уравнение имеет два корня,

и .

Тогда меньший корень всегда меньше , а больший корень не превосходит , если , то есть при .


По теореме Виета:

, ,

поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и . Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.


Таким образом, при уравнение не имеет корней при и , имеет один корень при и , имеет два корня при .

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:

— нет корней при ;
— один корень при и ;
— два корня при и ;
— три корня при .

Ответ: .

C6. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

.

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому  — количество целых чисел — делится на 7. По условию , поэтому . Таким образом, написано 49 чисел.

б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных.

в) (оценка). Подставим в правую часть равенства , откуда . Так как , получаем: , , , ; то есть отрицательных чисел не более 22.

в) (пример). Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число и два раза написан 0. Тогда , удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.

 

 

 

 

Вариант № 274. ЕГЭ 2014.

B1.  Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
B2.  Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат — сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?

B3.  Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

B4.  Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

B5. Найдите корень уравнения .

B6.  Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

B7.  Найдите значение выражения .

B8.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите расстояние между точками и

B10.  При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

B11.  Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

B12.  Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Каким должно быть число , чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

B13.  Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.

B14.  Найдите точку максимума функции .

 

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

 

C2.  В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

 

C3.  Решите систему неравенств

 

C4.  Угол треугольника равен , — отличная от точка пересечения окружностей, построенных на сторонах и как на диаметрах. Известно, что . Найдите угол .

C5.  Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

C6.  Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Варианта № 274. ЕГЭ 2013.

B1.  Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
Решение.
Через год клиент должен будет выплатить 12 000 + 0,16  12 000 = 13 920 рублей. Разделим 13 920 руб. на 12 мес.:

руб./мес.

Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк 1160 рублей.

Ответ: 1160.

B2.  Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат — сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?

Решение.
Из графика видно, что при скорости 200 км в час действующая на крылья подъемная сила равна одной тонне силы.

Ответ: 1.

B3.  Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,

.

Ответ: 9.

B4.  Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Решение.
Рассмотрим все варианты.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику A понадобится 13 автомобилей. Стоимость перевозки каждым из них составит 32  1300 = 41 600 руб. Полная стоимость перевозки 41 600  13 = 540 800 руб.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику Б понадобится 9 автомобилей. Стоимость перевозки каждым из них составит 41  1300 = 53 300 руб. Полная стоимость перевозки 53 300  9 = 479 700 руб.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику В понадобится 4 автомобиля. Стоимость перевозки каждым из них составит 95  1300 = 123 500 руб. полная стоимость перевозки 123 500  4 = 494 000 руб.

Стоимость самой дешевой перевозки составит 479 700 руб.

Ответ: 479 700.

B5. Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

.

Ответ: 38.

B6.  Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Решение.
По теореме синусов для треугольника ACB имеем:

Следовательно, искомый угол равен 45°.

Ответ: 45.

B7.  Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 2.

B8.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB

Ответ: 2.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите расстояние между точками и

Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора:

— большая диагональ правильного шестиугольника, ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому . Поскольку имеем:

Ответ: 5.

B10.  При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

B11.  Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение.
Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного – диагонали квадрата, длина которой равна   длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного.

Ответ: 2.

B12.  Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Каким должно быть число , чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

Решение.
Поскольку показатели максимальны, они равны 5. Подставим значения в формулу:

Ответ:35.

B13.  Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.

Решение.
Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй — , …, в последний — тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на тонн. Поскольку

.

Имеем

.

Следовательно, за пятый день было перевезено 8 тонн щебня.

Ответ: 8.

B14.  Найдите точку максимума функции .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: -4.

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде:

Значит, или , откуда , , или , откуда , .

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку . Находим числа

Ответ: а) , ; , ; б) .

C2.  В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

Решение.
Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой .

Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и .

Поскольку , получаем:

Из подобия треугольников и находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота

.

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

.

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
В первом неравенстве вынесем общий множитель за скобки, а во втором воспользуемся тем, что для , и справедлива равносильность:

.

Тогда

.

Ответ: .

C4.  Угол треугольника равен , — отличная от точка пересечения окружностей, построенных на сторонах и как на диаметрах. Известно, что . Найдите угол .

Решение.
Точка лежит на окружности с диаметром , поэтому . Аналогично, . Следовательно, точка лежит на прямой .
Возможны два случая: точка лежит либо на отрезке (рис. 1), либо
на продолжении отрезка за точку (рис. 2). Точка не может лежать на продолжении отрезка за точку , так как угол — острый.

Положим , . Из прямоугольных треугольников и находим:

.

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов , то есть , откуда .

Во втором случае , откуда .

Поскольку , получаем: , значит, — острый и равен или .

Ответ: .

C5.  Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Решение.
Введём обозначения: , , .
В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид .

Заметим, что при , при .

Покажем, что при уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Действительно, если , то .

Если , то

причём равенство достигается только при и .

При верны неравенства и , так как и . Значит, уравнение имеет решение.

Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции и — чётные. Значит, если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет единственное решение, то это решение .

Решим уравнение относительно :

значит, является решением уравнения при или .

Случай, когда |b| = 2, уже был разобран.

При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:, , .

Таким образом, уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при и , то есть при и .

Ответ: ; .

C6.  Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Решение.
а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв и получим

б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.
Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть где и — взаимно простые натуральные числа. Тогда:

.

Так как и взаимно просты, делится на а значит, откуда Так как , Но – целое, поэтому . Отсюда

.

Поэтому

что противоречит требованию задачи.
Ответ: а) да. б) нет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 275. ЕГЭ 2014.

B1.  Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

B2.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

B3.  Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).

B4.  Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

B5.  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

B6.  В треугольнике угол равен , угол равен , – биссектриса внешнего угла при вершине , причем точка лежит на прямой . На продолжении стороны за точку выбрана такая точка , что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах

B7. Найдите , если .

B8.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и .

B10.  Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

B11.  В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 405 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

B12.  Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

B13.  Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

B14.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

C2.  На ребре куба отмечена точка так, что . Найдите угол между прямыми и .

C3.  Решите систему неравенств

C4.  Дан треугольник со сторонами и На стороне взята точка , а на отрезке — точка , причем и Окружность с центром проходит через точку . Найдите расстояние от точки до точки пересечения этой окружности с прямой

C5.  Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

C6.  На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).

а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Варианта № 275. ЕГЭ 2014.

B1.  Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

Решение.
С учетом наценки учебник будет стоить 170 + 0,2  170 = 204 рубля. Разделим 7000 на 204:

.

Значит, можно будет купить 34 учебника.

Ответ: 34.

B2.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

Решение.
Из графика видно, что 4 дня из данного периода (5, 8, 9, 12 февраля) не выпадало осадков (см. рисунок).

Ответ: 4.

B3.  Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).

Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника, четырех равных прямоугольных треугольников и двух равных квадратов. Поэтому

см².

Ответ: 8.

B4.  Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Решение.
Рассмотрим все варианты.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику A понадобится 13 автомобилей. Стоимость перевозки каждым из них составит 32  1300 = 41 600 руб. Полная стоимость перевозки 41 600  13 = 540 800 руб.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику Б понадобится 9 автомобилей. Стоимость перевозки каждым из них составит 41  1300 = 53 300 руб. Полная стоимость перевозки 53 300  9 = 479 700 руб.

Для перевозки 45 тонн груза перевозчику В понадобится 4 автомобиля. Стоимость перевозки каждым из них составит 95  1300 = 123 500 руб. полная стоимость перевозки 123 500  4 = 494 000 руб.

Стоимость самой дешевой перевозки составит 479 700 руб.

Ответ: 479 700.

B5.  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

B6.  В треугольнике угол равен , угол равен , – биссектриса внешнего угла при вершине , причем точка лежит на прямой . На продолжении стороны за точку выбрана такая точка , что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах

Решение.
треугольники и равны по двум сторонам и углу, лежащему между ними, значит, . Тогда

.

Учитывая, что и , получим .

Ответ: 56.

B7. Найдите , если .

Решение.
Подставим аргументы в формулу, задающую функцию:

.

Следовательно, .

Ответ: 0.

B8.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому

 

Ответ: 0,25.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и .

Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

Угол между сторонами правильного шестиугольника равен По теореме косинусов

Значит,

Ответ: 2.

B10.  Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение.
Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

Ответ: 0,07.

B11.  В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 405 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.
Объем налитой в цилиндрический сосуд жидкости пропорционален площади его основания, то есть пропорционален квадрату диаметра основания. Следовательно, уровень жидкости понизится в 81 раз и составит 405 : 81 = 5 см.

Ответ: 5.

B12.  Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

Решение.
Задача сводится к решению уравнений при заданном значении R:

Примечание. Заметим, что полученная величина равна 1,25 метра, т. е. соответствует уровню глаз ребенка.

Ответ: 0,00125.

B13.  Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.
Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет 100% − 67% − 6% = 27% дохода семьи.

Ответ: 27.

B14.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: .

Ответ: 0.

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде

Значит, или , откуда , или , , откуда или ,

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) , б)

Примечание.
Внимательный читатель, конечно, узнал формулу синуса тройного угла:

C2.  На ребре куба отмечена точка так, что . Найдите угол между прямыми и .

Решение.
Примем ребро куба за единицу. Тогда .

Поскольку , получаем: и .


Проведем через точку прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке , причем треугольники и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с ним).

В прямоугольном треугольнике с прямым углом

В прямоугольном треугольнике с прямым углом

В треугольнике

откуда

, тогда

Ответ может быть представлен и в другом виде: или

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену .

Тогда , откуда находим решение первого неравенства системы .


2. Решим второе неравенство системы:

.

Рассмотрим два случая.


Первый случай: .

откуда находим: . Полученные значения переменной удовлетворяют условию


Второй случай: . Имеем:

Учитывая условие , получаем: . Решение второго неравенства исходной системы:


3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

C4.  Дан треугольник со сторонами и На стороне взята точка , а на отрезке — точка , причем и Окружность с центром проходит через точку . Найдите расстояние от точки до точки пересечения этой окружности с прямой

Решение.
Проведем через вершину прямую, параллельную Пусть — точка ее пересечения с прямой а — точка пересечения и Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом поэтому Значит, треугольник равен треугольнику по стороне и двум прилежащим к ней углам.

 Тогда — середина Следовательно, — медиана треугольника

Через вершину проведем прямую, параллельную Пусть  — точка ее пересечения с прямой Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом поэтому Тогда треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому  — середина

Окружность с центром проходит через точку , и при этом Следовательно, — радиус этой окружности. Треугольник прямоугольный, а точка — одна из точек пересечения прямой и окружности.Пусть — вторая точка пересечения окружности с прямой Тогда угол — вписанный и опирающийся на диаметр так что то есть — высота треугольника

Отсюда

Ответ: 12,5 или 6,72.

C5.  Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

Решение.
Из первого уравнения системы получаем

.

Заметим, что если пара  — решение системы, то пара  — также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара . Таким образом, и из второго уравнения получаем:

Проверим, действительно ли система при найденных значениях a имеет единственное решение.

1. Если , то система действительно имеет единственное решение:

.

Тогда

.

2. Если , то система имеет три решения:

Каждому из найденных значений x соответствует единственное значение

.

Ответ: система имеет единственное решение при .

C6.  На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).

а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

Решение.
а) Заметим, что каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходное число делится на 7, в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7. А при сложении чисел, делящихся на 7, также получится число, делящееся на 7. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а 2012 на 7 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске.
б) Да, может. Пример: 7, 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7). Сумма полученных 5 чисел равна 63.
Замечание. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз.
в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 7. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нужно получить, т.е. 784, на 7. От этого количество операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 112, начав с числа 1.
Заметим, что наибольшее число, которое может получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каждый раз будет удваивать текущее наибольшее число). Следовательно, если в первые 6 минут Вася каждый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 112 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 112 не получится.
В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно сложение вместо удвоения, то при первом использовании сложения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в этом случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай сложения, то есть до этого были только удвоения). Таким образом, даже если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно сложение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно , что меньше 112.
Итак, за 7 минут число 112 получить невозможно.
Приведем пример, как его получить за 8 минут:
1 1,2 1,2,4 1,2,4,8 1,2,4,8,16 1,2,4,8,16,32 1,2,4,8,16,32,64
1,2,4,8,16,32,64,96 (96 = 64 + 32 ) 1,2,4,8,16,32,64,96,112 (112 = 96 + 16 ).

Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут.

Вариант № 276. ЕГЭ 2014.

B1.  Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
B2.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 миллиметров осадков.

B3 № 27569. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).

B4.  Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за 1 минуту разговора
Повременный	135 руб. в месяц	0,3 руб.
Комбинированный	255 руб. за 450 мин. в месяц	0,28 руб. за 1 мин. сверх 450 мин. в месяц
Безлимитный	380 руб. в месяц

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 650 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 650 минут? Ответ дайте в рублях.

B5.  Решите уравнение .

B6.  Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

B7.  Найдите значение выражения  при .

B8.  Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

B10.  Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

B11.  
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

B12.  При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где – длина покоящейся ракеты, км/с – скорость света, а – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

B13.  Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

B14.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

C2.  В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

C3.  Решите систему неравенств

C4.  Дан прямоугольный треугольник с катетами и С центром в вершине проведена окружность радиуса 13. Найдите радиус окружности, вписанной в угол и касающейся окружности

C5.  Найдите все значения , при которых уравнение на промежутке имеет ровно два корня.

C6.  Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Варианта № 276. ЕГЭ 2014.

B1.  Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
Решение.
Через год клиент должен будет выплатить 12 000 + 0,16  12 000 = 13 920 рублей. Разделим 13 920 руб. на 12 мес.:

руб./мес.

Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк 1160 рублей.

Ответ: 1160.

B2.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 миллиметров осадков.

Решение.
Из 16 наблюдений, представленных на графике, 2 дня выпадало более 3 мм осадков. Поэтому 14 дней выпадало менее 3 мм осадков.

Ответ: 14.

B3 № 27569. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).

Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольника. Поэтому

см².

Ответ: 68.

B4.  Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за 1 минуту разговора
Повременный	135 руб. в месяц	0,3 руб.
Комбинированный	255 руб. за 450 мин. в месяц	0,28 руб. за 1 мин. сверх 450 мин. в месяц
Безлимитный	380 руб. в месяц

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 650 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 650 минут? Ответ дайте в рублях.

Решение.
Рассмотрим три случая.

На тарифном плане «Повременный» ежемесячная плата будет складываться из абонентской 135 руб. и платы за 650 мин. 650  0,3 = 195 руб. и будет составлять 195 + 135 = 330 руб.

На тарифном плане «Комбинированный» ежемесячная плата будет складываться из абонентской 255 руб. и платы за 200 мин. сверх тарифа 200  0,28 = 56 руб. и будет составлять 255 + 56 = 311 руб.

На тарифном плане «Безлимитный» ежемесячная плата будет равна 380 рублям.

Стоимость самого дешевого варианта составляет 311 рублей.

Ответ: 311.

B5.  Решите уравнение .

Решение.
Заметим, что и используем формулу Имеем:

Ответ: 2.

B6.  Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение.
так как – медиана, то (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы и равны как углы при основании равнобедренного треугольника.

.

Ответ: 31.

B7.  Найдите значение выражения  при .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 0,1.

B8.  Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Ответ: −1.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник :

Осталось найти диагональ основания. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны , тогда по теореме косинусов для треугольника АВС имеем:

Так как — острый, он равен

Ответ: 60.

B10.  Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.
Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

для вероятности поступления имеем:

Ответ: 0,408.

B11.  
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Решение.
Запишем формулу для объёма шара:

.

Объём конуса в 4 раза меньше:

.

 

Ответ: 7.

B12.  При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где – длина покоящейся ракеты, км/с – скорость света, а – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Решение.
Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 5 м. Задача сводится к решению уравнения при заданном значении длины покоящейся ракеты м и известной величине скорости света км/с:

км/с.

Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 8 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна км/с.

Ответ: 180000.

B13.  Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Решение.
Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на процентов в год. Тогда за два года она снизилась на , откуда имеем:

Ответ: 11.

B14.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: 10.

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде:

Значит, или , откуда , , или , откуда , .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) , ; , ; б) .

C2.  В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

Решение.
Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой .

Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и .

Поскольку , получаем:

Из подобия треугольников и находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота

.

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

.

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств

.

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену , .

откуда находим: <math0; . Тогда или , откуда находим решение первого неравенства системы: ; .

2. Решим второе неравенство системы: .

Рассмотрим два случая. Первый случай: .

откуда находим: . Учитывая условие , получаем:
.

Второй случай:

.
Учитывая условие , получаем: .

Решение второго неравенства исходной системы:

.
3. Поскольку , получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ: ; ; ; .

C4.  Дан прямоугольный треугольник с катетами и С центром в вершине проведена окружность радиуса 13. Найдите радиус окружности, вписанной в угол и касающейся окружности

Решение.
Обозначим . Тогда , ,

Пусть — радиус искомой окружности, — ее центр, — точка касания с лучом — точка касания с окружностью — проекция точки на прямую Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,

Из прямоугольного треугольника находим, что

Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: одна из них касается окружности внутренним образом, а вторая — внешним.

В первом случае

По теореме Пифагора или

откуда находим, что


Во втором случае

Тогда

откуда находим, что

Ответ: или

C5.  Найдите все значения , при которых уравнение на промежутке имеет ровно два корня.

Решение.
Рассмотрим функции и Исследуем на промежутке

При все значения функции на промежутке неположительны, а все значения функции  — положительны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает на промежутке , Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке , поскольку

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что , поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный 2; при уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, то есть Тогда оба корня меньше 5, поскольку при значения функции неположительны, а значения функции положительны. По теореме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку , а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда .

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :

1) Нет корней при
2) Один корень при
3) Два корня при и
4) Три корня при

Ответ: ;

C6.  Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или

а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на стандартных кусков, тогда При получаем

т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска.

При получаем Значит, эту веревку можно разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем что противоречит условию Таким образом, искомое число равно 2645.

Ответ: а) 23; б) 2645.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 277. ЕГЭ 2014.

B1.  При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

B2.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков выпадало в период с 13 по 20 января. Ответ дайте в миллиметрах.

B3.  Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

B4.  Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 м2)	Резка стекла (руб. за одно стекло)	Дополнительные условия
A	300	17
Б	320	13
В	340	8	При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно.

B5. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

B6.  Угол равен . Градусная величина дуги окружности, не содержащей точек и , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

B7. Найдите значение выражения .

B8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и .

B10.  В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

B11.  В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

B12.  Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где – масса воды в килограммах, скорость движения ведeрка в м/с, – длина верeвки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

B13.  Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Гоша – 12% уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

B14.  Найдите точку максимума функции .

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

C2.  Точка  — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2.

C3.  Решите систему неравенств

C4.  Угол треугольника равен , — отличная от точка пересечения окружностей, построенных на сторонах и как на диаметрах. Известно, что . Найдите угол .

C5.  При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

C6.  Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Варианта № 277. ЕГЭ 2014.

B1.  При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Решение.
С учетом комиссии, Аня должна внести в приемное устройство сумму не менее 300 + 300  0,05 = 315 рублей. Значит, минимальная сумма, которую должна положить Аня в приемное устройство данного терминала — 320 рублей. Проверим, что этой суммы достаточно: 5% от нее составляют 16 руб. (это комиссия), оставшиеся 304 рубля пойдут на счет телефона.
Приведем другое решение.
После уплаты 5% комиссии на счет телефона остаётся 95% вносимой суммы, которая должна быть не меньше 300 рублей. Если нужно внести x рублей, то 0,95x ≥ 300, откуда x ≥ 315. Поэтому x = 320 руб.

Ответ: 320.

B2.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков выпадало в период с 13 по 20 января. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение.
Из графика видно, что наибольшее количество осадков в период с 13 по 20 января выпало 14 января и составляло 3 мм (см. рисунок).

Ответ: 3.

B3.  Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,

.

Ответ: 9.

B4.  Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 м2)	Резка стекла (руб. за одно стекло)	Дополнительные условия
A	300	17
Б	320	13
В	340	8	При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно.

Решение.
Общая площадь стекла, которого нужно изготовить равна 20  0,25 = 5 м².

Стоимость заказа в фирме А складывается из стоимости стекла 300  5 = 1500 руб. и стоимости его резки и шлифовки 17  20 = 340 руб. Всего 1840 руб.

Стоимость заказа в фирме Б складывается из стоимости стекла 320  5 = 1600 руб. и стоимости его резки и шлифовки 13  20 = 260 руб. Всего 1860 руб.

Стоимость заказа в фирме В складывается из стоимости стекла 340  5 = 1700 руб. и стоимости его резки и шлифовки 8  20 = 160 руб. Всего 1860 руб.

Стоимость самого дешевого заказа составляет 1840 рублей.

Ответ: 1840.

B5. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: 8.

B6.  Угол равен . Градусная величина дуги окружности, не содержащей точек и , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.
центральный угол равен дуге, на которую он опирается, а вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

Ответ: 20.

B7. Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: -2.

B8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Решение.
Найдем закон изменения скорости: м/с. Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 2 м/с, решим уравнение:

с.

Ответ: 7.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и .

Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

Угол между сторонами правильного шестиугольника равен По теореме косинусов

Значит,

Ответ: 2.

B10.  В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение.
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Другое рассуждение.
Вероятность того, что Петя взял пятирублевую монету, затем десятирублевую, и затем еще одну десятирублевую (в указанном порядке) равна

Поскольку Петя мог достать пятирублевую монету не только первой, но и второй или третьей, вероятность достать набор из одной пятирублевой и двух десятирублевых монет в 3 раза больше. Тем самым, она равна 0,6.

Ответ: 0,6.

Приведем другое решение.
Количество способов взять 3 монеты из 6, чтобы переложить их в другой карман, равно Количество способов выбрать 1 пятирублевую монету из 2 пятирублевых монет и взять вместе с ней еще 2 десятирублевых монеты из имеющихся 4 десятирублевых монет по правилу произведения равно Поэтому искомая вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах, равна

B11.  В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Решение.
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: . Тогда объем шара

.

Ответ: 4,5.

B12.  Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где – масса воды в килограммах, скорость движения ведeрка в м/с, – длина верeвки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства при заданной длине верёвки м:

Ответ: 2.

B13.  Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Гоша – 12% уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение.
Антон внес уставного капитала. Тогда Борис внес уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается рублей.

Ответ: 530000.

B14.  Найдите точку максимума функции .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 0.

C1.  а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
Решим уравнение:

Отберём корни, принадлежащие отрезку . Это числа (см. рис.): .

Ответ:
A) .
Б) ; ; .

C2.  Точка  — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2.

Решение.
Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает ребро в его середине — точке .  — сечение куба плоскостью .

В равнобедренном треугольнике , и высота .

Поскольку  — средняя линия треугольника , получаем:

 

Ответ: 4,5.

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
По смыслу задачи , откуда

.

При этих значениях переменной: имеем:

.

Тогда:

 

 

.

Ответ: .

C4.  Угол треугольника равен , — отличная от точка пересечения окружностей, построенных на сторонах и как на диаметрах. Известно, что . Найдите угол .

Решение.
Точка лежит на окружности с диаметром , поэтому . Аналогично, . Следовательно, точка лежит на прямой .
Возможны два случая: точка лежит либо на отрезке (рис. 1), либо
на продолжении отрезка за точку (рис. 2). Точка не может лежать на продолжении отрезка за точку , так как угол — острый.

Положим , . Из прямоугольных треугольников и находим:

.

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов , то есть , откуда .

Во втором случае , откуда .

Поскольку , получаем: , значит, — острый и равен или .

Ответ: .

C5.  При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

Решение.
Прежде всего: заметим, что если  — решение системы при некотором значении параметра а, то при этом значении параметра решением системы будет и . Отсюда следует, что условие является необходимым условием существования у системы единственного решения.

При система перепишется в виде

Решая эту систему относительно а, находим, что требуемые значения а могут принадлежать только множеству . Пусть . Тогда система примет вид

Из второго уравнения системы следует, что и , и, таким образом, . Учитывая теперь, что , приходим к неравенству

,

которое означает, что первое равенство системы справедливо только при , , следовательно, , т. е. при , . Итак, при система имеет единственное решение.

Пусть теперь . При таком значении параметра а система перепишется в виде

Эта система имеет решения , , , и, таким образом, при условию единственности решения не удовлетворяет. Заметим, что решения здесь просто угаданы.

Ответ: .

C6.  Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной см. Условие того, что его можно разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или

а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на стандартных кусков, тогда При получаем

т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска.

При получаем Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски.

Докажем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем что противоречит условию Таким образом, искомое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианта № 278. ЕГЭ 2014.

B1.  Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

B2.  
На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
B3.  Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных клеток равны .

B4.  Для изготовления книжных полок требуется заказать 48 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 . В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 м2)	Резка и шлифовка (руб. за одно стекло)
A	420	75
Б	440	65
В	470	55

B5.  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

B6.  Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

B7. Найдите значение выражения  при .

B8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите тангенс угла

B10.  Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

B11.  В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 28 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

B12.  Зависимость объeма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены (тыс. руб.) задаeтся формулой . Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену , при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

B13.  Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

B14.  Найдите точку максимума функции .

C1.  а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

C2.  Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно , высота — . Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер CS и ВС соответственно.

C3.  Решите систему неравенств:

C4.  Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

C5.  Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

C6.  Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Варианта № 278. ЕГЭ 2014.

B1.  Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Решение.
Больному нужно выпить 0,5  3  21 = 31,5 г лекарства. В одной упаковке содержится 0,5  10 = 5 г лекарства. Разделим 31,5 на 5:

.

Значит, на курс лечения необходимо 7 упаковок.

Ответ: 7.

B2.  
На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Из графика видно, что наименьшая среднемесячная температура в период с пятого по двенадцатый месяц (с мая по декабрь) составляла 6 °C (см. рисунок).

Ответ: 6.

B3.  Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных клеток равны .

Решение.
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами заданного четырехугольника, имеем:

тогда периметр равен .

Ответ: 30.

B4.  Для изготовления книжных полок требуется заказать 48 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 . В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 м2)	Резка и шлифовка (руб. за одно стекло)
A	420	75
Б	440	65
В	470	55

Решение.
Общая площадь стекла равна 48  0,25 = 12 . Рассмотрим различные варианты.

Стоимость заказа в фирме А складывается из стоимости стекла 420  12 = 5040 руб. и стоимости его резки и шлифовки 75 48 = 3600 руб. и равна 8640 руб.

Стоимость заказа в фирме Б складывается из стоимости стекла 440  12 = 5280 руб. и стоимости его резки и шлифовки 65  48 = 3120 руб. и равна 8400 руб.
Стоимость заказа в фирме В складывается из стоимости стекла 470  12 = 5640 руб. и стоимости его резки и шлифовки 55  48 = 2640 руб. и равна 8280 руб.

Стоимость самого дешевого заказа составит 8280 рублей.

Ответ: 8280.

B5.  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.
Заметим, что числители дробей равны. Имеем:

Ответ: 1.

B6.  Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Решение.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Ответ: 10.

B7. Найдите значение выражения  при .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 0,5.

B8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.

Решение.
Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:

м/с.

Ответ: 59.

B9.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите тангенс угла

Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник катет которого является большей диагональю основания. Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне: . Поскольку имеем:

Ответ: 2.

B10.  Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

Ответ: 0,0545.

B11.  В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 28 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.
Объем налитой в цилиндрический сосуд жидкости пропорционален площади его основания, то есть пропорционален квадрату диаметра основания. Следовательно, уровень жидкости понизится в 4 раза и составит 28 : 4 = 7 см.

Ответ: 7.

B12.  Зависимость объeма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены (тыс. руб.) задаeтся формулой . Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену , при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства :

Ответ: 6.

B13.  Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть км/ч – скорость велосипедиста на пути из B в A, тогда скорость велосипедиста на пути из A в B равна  км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 3 часа, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10.

B14.  Найдите точку максимума функции .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума .

Ответ: 10.

C1.  а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.
а) Преобразуем уравнение:

.

Если , то из уравнения следует , что невозможно. Значит, на множестве корней уравнения . Разделим обе части уравнения на :

.

б) Составим двойное неравенство: , откуда . Следовательно, . Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень .

Ответ: а) ; б) .

C2.  Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно , высота — . Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер CS и ВС соответственно.

Решение.
Пусть О — центр основания, а N — середина ребра SD, Р — середина ребра AD. Тогда , поэтому точки Р, N, M, Т лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции.

По теореме о средней линии треугольника , так что трапеция равнобокая.

Так как

,, а .

Основания трапеции равны , . В треугольнике РМТ проведем высоты MG и РН.
Тогда

, а .

Заметим, что , поэтому

.

Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств:

Решение.
Реши первое неравенство. Сделаем замену получаем

или

Обратная замена дает или
Решим второе неравенство. Сделав замену получаем

Значит,
Таким образом, получаем решение системы:

Ответ:

C4.  Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Решение.
Пусть окружность S с центром O и радиусом R пересекает стороны данного прямого угла в точках A и B, , искомая окружность с центром Q касается сторон и BC угла ACB в точках N и K соответственно, а окружности S — в точке M.

Точка O — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, поэтому O — середина его гипотенузы AB.

.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки M, O и Q лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности S на прямую BC. Тогда OH — средняя линия треугольника ABC поэтому и , а т.к. центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то , поэтому .
Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую OH. Тогда

.

Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора
или

откуда находим, что .

Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то

.

Тогда из соответствующего уравнения находим, что .
Ответ: 4 или 24.

C5.  Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

Решение.
Из первого уравнения системы получаем

.

Заметим, что если пара  — решение системы, то пара  — также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара . Таким образом, и из второго уравнения получаем:

Проверим, действительно ли система при найденных значениях a имеет единственное решение.
1. Если , то система действительно имеет единственное решение:

.

Тогда

.

2. Если , то система имеет три решения:

Каждому из найденных значений x соответствует единственное значение

.

Ответ: система имеет единственное решение при .

C6 № 500971. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами

Решение.
а) Да, например 2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 18, 20.
б) Можно считать, что разность прогрессии положительна. Пусть разность имеет цифр. Тогда при переходе от какого-либо члена последовательности к следующему -й разряд либо не меняется, либо увеличивается на 1. Так как цифра 9 запрещена, возможно не больше 8 переходов со сменой этого разряда. Может случиться несколько членов подряд с одной и той же цифрой в -м разряде. Назовём такие члены группой. Всего таких групп не более 9. Обозначим длину группы
Найти наибольшую возможную длину группы. Так как -- -значное число, каждый переход, не меняющий -й разряд, увеличивает -й разряд. И так ка цифра 9 запрещена в то числе в -м разряде, то таких переходов подряд может быть не более 8. Следовательно, , а в прогрессии не более членов.
в) Если в прогрессии нет переходов со сменой -го разряда, то членов прогрессии не больше 9. Пусть такие переходы есть. Рассмотрим член прогрессии, стоящий перед таким переходом. Так как он не содержит 9, то его -значный "хвост" ( имеет остаток от деления на ) не больше Но при прибавлении d должен произойти переход через десяток в -м разряде. Следовательно,
Рассмотрим такую группу членов прогрессии что -й разряд не меняется. Тогда -значные хвосты сами образуют арифметическую прогрессию с той же разностью: Но следовательно
г) Пример нужно прогрессии дает прогрессия с первым членом 1 и разностью 125:

Ответ:а) да; г) например, 1, 126, ... 8876.

Вариант № 279. ЕГЭ 2014.

B1.  В летнем лагере 218 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 45 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

Решение.
Всего в лагере 218 + 26 = 244 чел. Разделим 244 на 45:

.

Значит, чтобы перевезти всех из лагеря в город, понадобится 6 автобусов.

Ответ: 6.

B2.  (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.
Из диаграммы видно, что наименьшая среднемесячная температура составляет −14 °C (см. рисунок).

Ответ: −14.

B3. Найдите квадрат длины вектора .

Решение.
Имеем: , . Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат, поэтому . Длина вектора . Поэтому квадрат длины вектора равен .

Ответ: 40.

B4.  Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Мб?

Решение.
Рассмотрим все варианты.
По Плану «0» пользователь потратит 2,5  600 = 1500 руб. в месяц за 600 Мб трафика.
По плану «500» он потратит 550 руб. абонентской платы за 500 Мб и 2  100 = 200 руб. сверх того. Поэтому полная плата в месяц составит 550 + 200 = 750 руб.
По плану «800» пользователь потратит в месяц за 600 Мб трафика 700 руб.
Наиболее выгодный вариант составляет 700 руб.

Ответ: 700.

B5.  Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение.
Область допустимых значений: .
При домножим на знаменатель:

Оба корня лежат в ОДЗ. Больший из них равен 5.

Ответ: 5.

B6.  Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Решение.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Ответ: 10.

B7. Найдите значение выражения  при .

Решение.
Выполним перобразования:

.

Ответ: 0,5.

B8.  Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 11 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат − расстояние s в метрах. Определите, сколько раз точка М меняла направление движения.

 

Решение.
В момент времени, когда точка меняет направление движения, ее мгновенная скорость равна нулю. Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике 8.

Ответ: 8.

B9.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: , значит, .

B10.  Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение.
Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

Ответ: 0,07.

B11.  Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).

Решение.
Пусть объём первого цилиндра равен , объём второго — , где  — радиусы оснований цилиндров,  — их высоты. По условию , . Выразим объём второго цилиндра через объём первого:

,

Откуда

куб. м.

Ответ: 9.

B12.  Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой , где  м, – постоянные параметры, – смещение камня по горизонтали, – высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение.
Задача сводится к решению неравенства : при заданных значениях параметров a и b:

м.

Камни будут перелетать крепостную стену на высоте не менее 1 метра, если камнеметательная машина будет находиться на расстоянии от 10 до 90 метров от этой стены. Наибольшее расстояние – 90 метров.

Ответ: 90.

B13.  В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в 2010 году на по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение.
В 2009 году число жителей стало человек, а в 2010 году число жителей стало человек.

Ответ: 47088.

B14.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.
Заметим, что и найдем производную этой функции:

.

Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является

.

Ответ: 10.

C1.  Решите уравнение .

Решение.
Имеем:

Ответ:

C2.  На ребре куба отмечена точка так, что . Найдите угол между прямыми и .

Решение.
Примем ребро куба за единицу. Тогда .
Поскольку , получаем: и .
Проведем через точку прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке , причем треугольники и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с ним).
В прямоугольном треугольнике с прямым углом

В прямоугольном треугольнике с прямым углом

В треугольнике

откуда

, тогда

Ответ может быть представлен и в другом виде: или
Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств:

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем: откуда находим решение первого неравенства системы:
2. Решим второе неравенство системы:

Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение второго неравенства системы: ;
3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

C4.  Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.

Решение.
Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC , опущенная на его основание BC , O — центр вписанной окружности, O — точка ее касания с боковой стороной AB.
Тогда

.

Обозначим . Из прямоугольного треугольника находим, что .
Тогда .
Пусть окружность с центром и радиусом касается продолжения боковых сторон AB и AC в точках F и G соответственно, а также основания BC Тогда D — точка касания, поэтому

.

Следовательно, .

Пусть теперь окружность с центром радиуса касается боковой стороны AB, продолжения основания BC в точке Q и продолжения боковой стороны AC в точке K. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому и AD — биссектрисы смежных углов BAK и CAB значит, . Тогда — прямоугольник. Следовательно, . Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC и продолжений основания BC и боковой стороны AB также равен 9.

Ответ: 9 или 36.

C5.  При каждом значении а решите систему

Решение.
Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям

Из второго уравнения системы находим

.

Осталось заметить, что тогда

.

Уравнение при условиях и имеет при , решение .
Тогда

и из полученной системы находим

, .

Ответ: при решений нет, при ;.

C6.  На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

.

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому  — количество целых чисел — делится на 6. По условию , поэтому

.

Таким образом, написано 42 числа.
б) Приведём равенство к виду

.

Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в) (оценка) Подставим в правую часть равенства

,

откуда

.

Так как , получаем:

, , , ;

то есть положительных чисел не более 15.
в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число и два раза написан 0.
Тогда

указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи.
Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 280. ЕГЭ 2014.

B1.  Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Решение.
Рост Джона составляет 6  0,305  100 + 2,54 = 185,54 см. Округляя, получаем 186 см.

Ответ: 186.

B2.  На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Индонезия?

 

Решение.
Расположим страны в порядке убывания количества выплавки меди в год:

1) США
2) Перу
3) Китай
4) Австралия
5) Индонезия
6) Россия
7) Канада
8) Польша
9) Замбия
10) Казахстан

Индонезия находится на пятом месте

Ответ: 5.

B3.  Найдите скалярное произведение векторов  и .

Решение.
Выпишем координаты векторов: Скалярное произведение векторов равно

.

 

Ответ: 40.

B4.  Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 35 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 30 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам.
Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Решение.
Рассмотрим все варианты.

Грузовик, идущий через пункт B, прошел путь 28 + 42 = 70 км потратил на дорогу 70 : 35 = 2 часа.

Автобус, идущий через пункт C, прошел путь 45 + 30 = 75 км потратил на дорогу 75 : 30 = 2,5 часа.

Автомобиль, идущий без промежуточных пунктов, прошел путь 60 км потратил на дорогу 60 : 40 = 1,5 часа.

Позже других добрался автобус.

Ответ: 2,5.

B5. Найдите корень уравнения: .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 7.

B6.  Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.

Решение.

Ответ: 8.

B7. Найдите значение выражения  при .

Решение.
Выполним преобразования:

.

Ответ: 0,1.

B8.  Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Ответ: −1.

B9.  Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.

Решение.

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Поскольку по условию образующая равна радиус сферы равен 7.

Ответ:7.

B10.  Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.
Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

для вероятности поступления имеем:

Ответ: 0,408.

B11.  В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 405 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.
Объем налитой в цилиндрический сосуд жидкости пропорционален площади его основания, то есть пропорционален квадрату диаметра основания. Следовательно, уровень жидкости понизится в 81 раз и составит 405 : 81 = 5 см.

Ответ: 5.

B12.  Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением , где – время в минутах, К, К/мин, К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение.
Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной К. Задача сводится к решению уравнения при заданных значениях параметров a и b:

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 2 минуты.

Ответ: 2.

B13. Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.
Концентрация раствора равна . Таким образом, концентрация получившегося раствора равна:

Ответ: 21.

B14.  Найдите точку минимума функции .

Решение.
Найдем производную заданной функции:

.

Найдем нули производной:

.

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума .

Ответ: 4.

C1.  Решите уравнение .

Решение.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

Решив уравнение системы как квадратное относительно , находим либо . Если , то и условие выполняется. Следовательно, . Если , то . В этом случае с учетом неравенства системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения , нужно оставить только ту, для которой . Это точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет вид

.

Ответ: ; .

C2.  В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

Решение.
Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой .
Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и .
Поскольку , получаем:

Из подобия треугольников и находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота

.

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

.

Ответ может быть представлен и в другой форме: или
Ответ: .

C3.  Решите систему неравенств

Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену , .

откуда находим: <math0; . Тогда или , откуда находим решение первого неравенства системы: ; .
2. Решим второе неравенство системы: .
Рассмотрим два случая. Первый случай: .

откуда находим: . Учитывая условие , получаем:
.
Второй случай:

Учитывая условие , получаем: .
Решение второго неравенства исходной системы:

3. Поскольку , получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ: ; ; ; .

C4.  Дан ромб ABCD с диагоналями и . Проведена окружность радиуса с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найдите CM.

Решение.
Пусть точка M лежит между C и D, P, — точка касания прямой BM с данной окружностью, O — центр ромба.

По теореме Пифагора .
Обозначим

.

Из прямоугольных треугольников и находим, что

.

Применяя теорему синусов к треугольнику BMD получим, что ,
поэтому

.

Следовательно, .
Пусть теперь точка лежит на продолжении стороны за точку Тогда по теореме о внешнем угле треугольника

.

Далее, рассуждая аналогично, получим, что

.

Следовательно, .
Ответ: или .

C5.  При каких значениях параметра а хотя бы при одном значении параметра с система имеет решения для любых значений параметра b?

Решение.
Если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, то будем иметь

.

Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то

.

Таким образом, исходная система равносильна системе

При любом система всегда имеет единственное решение. Если же , то система будет иметь решения уравнения

.

Рассматривая его как квадратное относительно параметра с, приходим к выводу, что оно будет иметь хотя бы одно решение, если и , т. е. если .
При приходим к рассмотрению уравнения

.

В данном случае решая неравенство , где , находим, что .
Ответ: .

C6.  На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).
а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

Решение.
а) Заметим, что каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходное число делится на 7, в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7. А при сложении чисел, делящихся на 7, также получится число, делящееся на 7. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а 2012 на 7 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске.
б) Да, может. Пример: 7, 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7). Сумма полученных 5 чисел равна 63.
Замечание. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз.
в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 7. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нужно получить, т.е. 784, на 7. От этого количество операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 112, начав с числа 1.
Заметим, что наибольшее число, которое может получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каждый раз будет удваивать текущее наибольшее число). Следовательно, если в первые 6 минут Вася каждый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 112 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 112 не получится.
В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно сложение вместо удвоения, то при первом использовании сложения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в этом случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай сложения, то есть до этого были только удвоения). Таким образом, даже если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно сложение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно , что меньше 112.
Итак, за 7 минут число 112 получить невозможно.
Приведем пример, как его получить за 8 минут:
1 1,2 1,2,4 1,2,4,8 1,2,4,8,16 1,2,4,8,16,32 1,2,4,8,16,32,64
1,2,4,8,16,32,64,96 (96 = 64 + 32 ) 1,2,4,8,16,32,64,96,112 (112 = 96 + 16 ).

Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут.