Главная / Математика / Многоуровневые системы решения планиметрических задач по теме "Треугольник"

Многоуровневые системы решения планиметрических задач по теме "Треугольник"

hello_html_56c21422.gifhello_html_m46b50456.gifhello_html_1a3f12a.gifhello_html_m4d61d25b.gifhello_html_42254e1f.gifhello_html_m71c7b8e9.gifhello_html_2a705035.gifhello_html_m5de85cb8.gifhello_html_m30adda43.gifhello_html_12ef85e4.gifhello_html_3bbd4a73.gifhello_html_m3348fc87.gifhello_html_m67f8880.gifhello_html_b6b7207.gifhello_html_43dce78e.gifhello_html_m89e9d0c.gifhello_html_m58579e33.gifhello_html_m13c62b49.gifhello_html_6ca6d04c.gifhello_html_m762a6685.gifhello_html_37ee2c3d.gifhello_html_m3ba5262.gifhello_html_20e5d9d5.gifhello_html_m4cded5bd.gifhello_html_5b91c0b9.gifhello_html_m6c9b49a4.gifhello_html_m57018cf9.gifhello_html_54ed364.gifhello_html_69d3e742.gifhello_html_348bb30f.gifhello_html_6713afe1.gifhello_html_69271dd.gifмуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 66 городского округа Самара

443076, г. Самара, ул. Аэродромная, 65

тел.:/факс 261-75-48, e-mail: scholа_66.samara@mail.ru










Многоуровневые системы планиметрических задач по теме «Треугольник»













Выполнила:

Кочмарева Елена Александровна,

учитель математики

МБОУСОШ № 66 г.о. Самара













Самара,2014



ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Решение планиметрических задач по теме «Треугольник»

Программа обеспечивает обязательный минимум подготовки учащихся по геометрии, определяемый образовательным стандартом, соответствует общему уровню развития и подготовки учащихся данного возраста.

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Программа направлена на достижение следующих целей:

      • овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

      • интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений;

      • формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

      • воспитание культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно технического прогресса;

развитие представлений о полной картине мира, о взаимосвязи математики с другими предметами.

В ходе обучения геометрии по данной программе решаются следующие задачи:

  • систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости;

  • формирование пространственных представлений; развитие логического мышления и подготовка аппарата для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и др.) и курса стереометрии в старших классах;

  • овладение конкретными знаниями необходимыми для применения в практической деятельности.

Требования к уровню подготовки учащихся

Учащиеся дополняют знания о треугольниках сведениями о методах вычисления элементов произвольных треугольниках, основанных на теоремах синусов и косинусов. Даются систематизированные сведения о правильных многоугольниках, об окружности, вписанной в правильный многоугольник и описанной. Особое место занимает решение задач на применение формул. Серьезное внимание уделяется формированию умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий.

В результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь:

  • пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

  • распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

  • изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур;

  • вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе: определять значение тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них; находить стороны, углы и площади треугольников, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;

  • решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;

  • проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

  • решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.

Содержание программы соответствует обязательному минимуму содержания образования и имеет большую практическую направленность.



Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Синус, косинус и тангенс угла. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников. Скалярное произведение векторов и его применение в геометрических задачах. Основная цель — развить умение учащихся применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач.

Синус и косинус любого угла от 0° до 180° вводятся с помощью единичной полуокружности, доказываются теоремы синусов и косинусов и выводится еще одна формула площади треугольника (половина произведения двух сторон на синус угла между ними). Этот аппарат применяется к решению треугольников.

Скалярное произведение векторов вводится как в физике (произведение длин векторов на косинус угла между ними). Рассматриваются свойства скалярного произведения и его применение при решении геометрических задач.

Основное внимание следует уделить выработке прочных навыков в применении тригонометрического аппарата при решении геометрических задач.

Длина окружности и площадь круга.

Правильные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него. Построение правильных многоугольников. Длина окружности. Площадь круга.

Основная цель — расширить знание учащихся о многоугольниках; рассмотреть понятия длины окружности и площади круга и формулы для их вычисления В начале темы дается определение правильного многоугольника и рассматриваются теоремы об окружностях, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него. С помощью описанной окружности решаются задачи о построении правильного шестиугольника и правильного 2ге-угольника, если дан правильный п-угольник.

Формулы, выражающие сторону правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности через радиус описанной окружности, используются при выводе формул длины окружности и площади круга. Вывод опирается на интуитивное представление о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности, а площадь — к площади круга, ограниченного окружностью.


















Треугольник: Базовые задачи.


В данном разделе принимаются следующие обозначения:


  • A, B, C- вершины и соответственно внутренние углы треугольника ABC;

  • a, b, c – стороны, соответственно противолежащие углам A, B, C;

  • P,2p – периметр;

  • ha, hb, hc – длины высот, проведенных к сторонам a, b, c;

  • ma, mb, mc – длины медиан;

  • la, lb, lc –длины биссектрис внутренних углов A, B, C;

  • la *, lb *, lc* - длины биссектрис внешних углов A, B, C;

  • S-площадь треугольника

  • R-радиус описанной окружности

  • r – радиус вписанной окружности

  • ra – радиус вневписанной окружности , касающейся стороны a.



C

C


H1


H3

H2

B

A

M3

M2

A

B

M1










a

b

c

l



12

25

36

lc-?

l*c-?


В треугольнике ABC AB=c. BC=a, AC=b. Вычислите:




ЗАДАЧА 1.

Найти площадь треугольника АВС, если известны длины сторон треугольника а=12см, в=25 см, с=36 см.

РЕШЕНИЕ:

По формуле Герона имеем hello_html_m10f55343.gif, гдеhello_html_m62a00377.gifhello_html_2b3fef7a.gif

hello_html_m6704ee28.gif

hello_html_696a4cb5.gif

Ответ: hello_html_m46c5ba8c.gifсм


ЗАДАЧА 2.

Найти cosА, sinВ, coshello_html_3f59c009.gif, если известны длины сторон треугольника а=12см, в=25 см, с=36 см.

РЕШЕНИЕ:

А) По теореме косинусов имеем а² = в² + с² - 2вс·cosА


Тогда cos А = (в² + с² - а²)/2вс

cos А = (25² + 36² - 12²)/2·25·36 = hello_html_34fca3dd.gif

Б) По теореме косинусов имеем в² = а² + с² - 2ас·cosВ

Тогда cos В = (а² + с² - в²)/2ас

cos В = (12² + 36² - 25²)/2·25·12 = hello_html_5e9d6f48.gif

Далее используя формулу sin² В + cos² В = 1 , получаем

sinВ = √1- cos² В = hello_html_6ee77fe6.gif=hello_html_5cf5edf4.gif

В) соshello_html_3f59c009.gif = hello_html_m7c889397.gif

Ответ: cos А= hello_html_34fca3dd.gif, sinВ=hello_html_5cf5edf4.gif, соshello_html_3f59c009.gif = hello_html_m7c889397.gif

ЗАДАЧА 3.

Найти R - радиус описанной около треугольника окружности.

РЕШЕНИЕ:

Имеем формулу нахождения площади треугольника через R радиус описанной около треугольника окружности и длин трех сторон треугольника hello_html_m47908362.gif

Тогда hello_html_m481996d7.gif

Подставляем значения и получаем следующее:

hello_html_m636ad17.gifсм

Ответ: hello_html_79530424.gifсм

ЗАДАЧА 4.

Найти r - радиус вписанной в треугольник окружности.

РЕШЕНИЕ:

Имеем формулу нахождения площади треугольника через r радиус вписанной в треугольник окружности и длин трех сторон треугольника hello_html_mf02bc8b.gif, где hello_html_6cbb1dc6.gif

Тогда hello_html_3be3460f.gif

hello_html_69b9b1b3.gifсм

Ответ: hello_html_m764ee166.gifсм

ЗАДАЧА 5.

Найти mhello_html_m62a00377.gif - медиану АМ1

РЕШЕНИЕ:

По теореме косинусов имеем с² = в² + а² - 2ав·hello_html_m62a00377.gifcosφ, где угол φ – это угол между стороной а и в.

Тогда hello_html_m62a00377.gif получаем cosφ = (а² + в² - с²)/2ав (1)

Рассмотрим треугольник АСМ1

mₐ² = в² + (а²/4) – 2в·hello_html_m64955dc.gifа· cosφ (2)

Далее подставим в формулу (2) формулу (1) и преобразуем выражения, получим формулу для нахождения длины медианы треугольника:

mₐ = ½ · hello_html_330f37e0.gif(2в² + 2с² -а²)

Получаем mₐ = ½ · hello_html_330f37e0.gif(2·25² +2·36² - 12²) = hello_html_3fc4277b.gif

Ответ: mₐ = hello_html_3fc4277b.gifсм

ЗАДАЧА 6.

Найти lсhello_html_m62a00377.gif -длину биссектрисы

Рисунок3.jpg

hello_html_2d17a69e.gif

hello_html_3bcb8839.gif

hello_html_26d0bc6c.gif

hello_html_m73d0b81a.gif

hello_html_m4904dfba.gif


hello_html_m20ffe2cf.gif

hello_html_meb9a941.gif

hello_html_3f752558.gif

hello_html_m225d238a.gif

Подставим в (1):

hello_html_133d8f46.gif


hello_html_723489cd.gif

hello_html_m494d4b9d.gif

hello_html_md829dcb.gif


Ответ: hello_html_md829dcb.gifсм


ЗАДАЧА 7.

Найти СН3 - длину высоту




РЕШЕНИЕ:

hello_html_m287014c.gif

hello_html_m2bd6cac4.gif

hello_html_m5bbaf416.gif

hello_html_726a6f7a.gif


ЗАДАЧА 8.

Найти длину радиуса вписанной окружности ra , касающейся стороны а

.

Рисунок2.jpg




РЕШЕНИЕ:


hello_html_m376deab8.gif


hello_html_71cb17c9.gif

hello_html_7e6f1d2d.gif

hello_html_m15aee0ac.gif


hello_html_1df27e1c.gif

hello_html_m25cd655c.gif

hello_html_316c7b4f.gif


ЗАДАЧА 9А

В

С

М2

М1

М3

.

Дано:

АВС,

АМ1, ВМ2, СМ3медианы,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти: SМ1М2М3.

Решение:

АМ1, ВМ2 – медианы  М1 и М2 – середины сторон ВС и АСМ1М2 – средняя линия АВС. По свойству средней линии треугольника:

М1М2 || АВ и М1М2 = ½ АВ.

Аналогично:

М2М3 || ВС и М2М3 = ½ ВС,

М1М3 || АС и М1М3 = ½ АС.

hello_html_m73e4e0ec.gif  АВС  М1М2М3 по III признаку – по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия k=½. Тогда, по свойству площадей подобных треугольников hello_html_5bab0c01.gif.

Отсюда имеем: hello_html_7fad4676.gif. Т.к. k = ½, то hello_html_1a5fabdc.gif.

Площадь АВС вычислим по формуле Герона: hello_html_55a3cee9.gif, где hello_html_m41d89fcd.gif.

Вычислим полупериметр: hello_html_m62a00377.gifhello_html_33e30a0.gif.

Найдём площадь АВС: hello_html_m2b9f5835.gif.

hello_html_714ca47f.gif.

Ответ: hello_html_e47061f.gif.

ЗАДАЧА 10.


А

В

С

М2

М1

М3


Дано:

АВС,

АМ1, ВМ2, СМ3медианы,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти: PМ1М2М3.

Решение:

АМ1, ВМ2 – медианы  М1 и М2 – середины сторон ВС и АСМ1М2 – средняя линия АВС. По свойству средней линии треугольника:

М1М2 || АВ и М1М2 = ½ АВ.

Аналогично:

М2М3 || ВС и М2М3 = ½ ВС,

М1М3 || АС и М1М3 = ½ АС.

hello_html_m58b21726.gif

hello_html_m34f23f3e.gif.

Ответ: hello_html_m6410f30f.gif

ЗАДАЧА 11.


С

А

В

L3

L1

L2

Дано:

АВС,

АL1, ВL2, СL3биссектрисы углов А, В и С,

АВ = 36, ВС = 12, АС = 25.

Найти: SL1L2L3.

Решение:

Для удобства вычислений введём следующие обозначения:

  1. BC = a, AC = b, AB = c;

  2. CL1 = ab, BL1 = ac, CL2 = ba, AL2 = bc, BL3 = ca, AL3 = cb.

Выразим отрезки, на которые биссектрисы делят стороны, через стороны треугольника.

Т.к. биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилегающим сторонам, имеем: hello_html_47d10959.gif. Заменив ac на разность a - ab, выразим ab через стороны треугольника: hello_html_m5b658e09.gif.

Аналогично выражаем остальные отрезки:

hello_html_m2e7e90f.gif, hello_html_5ee478bf.gif, hello_html_m72cb0060.gif, hello_html_4dce094.gif, hello_html_54622a0.gif.

hello_html_m402f6bdc.gif (1)

Используя свойство отношения площадей треугольников с общим углом выразим площади треугольников CL1L2, AL2L3 и BL1L3 через площадь треугольника АВС:

hello_html_m6d805982.gif, hello_html_2dd15a26.gif, hello_html_6fb52668.gif.

Подставим эти выражения в формулу (1)

hello_html_m202dbb78.gif.

Вынеся площадь треугольника АВС за скобки, и заменив ab, ac, ba, bc, ca, cb соответствующими выражениями получаем:

hello_html_m32e81c31.gif.

Выполнив необходимые преобразования в скобках, получаем формулу:

hello_html_67452952.gif (2)

Площадь АВС вычислим по формуле Герона: hello_html_55a3cee9.gif, где hello_html_m41d89fcd.gif. Она равна hello_html_m7b613ac9.gif(см. задачу 1).

Выполняем расчет:

hello_html_m585373a1.gif.

Ответ: hello_html_m7307e60f.gif.





ЗАДАЧА 12.

PL1L2L3= L1L2 + L2L3 + L1L3

По теореме косинусов:

L1L2 = hello_html_69340011.gif


L2L3= hello_html_m48dcba0.gif

L1L3= hello_html_m68328952.gif

Косинусы углов:

cos A = hello_html_6f378561.gif; cos B = hello_html_m29f0929b.gif; cos C = hello_html_91d9d7a.gif


L1L2 = hello_html_13b08f98.gif= hello_html_74c05255.gif


L2L3= hello_html_m3672e85e.gif= hello_html_m61dbb36d.gif


L1L3= hello_html_24f37b19.gif= hello_html_69832f75.gif


Периметр

P L1L2L3 = hello_html_74c05255.gif +hello_html_m61dbb36d.gif + hello_html_69832f75.gif



ЗАДАЧА 13.

По теореме Эйлера hello_html_2803996a.gif


ЗАДАЧА 14. В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. Вычислите расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностями.

hello_html_54ff011a.png

Решение:

Так как О2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис

внешних углов к углам В и С треугольника АВС и биссектрисы угла А.

Т.к. ВО1 и ВО2 биссектрисы смежных углов, то ∟О 2ВО1 =90°. Следовательно,

О 1О2 -гипотенуза прямоугольного треугольника О 1ВО2. Найдем радиусы вписанной и вневписанной окружностей:

hello_html_a9742a3.gif, где р- полупериметр

hello_html_m4ee553ed.gif=hello_html_33eb5843.gif =hello_html_m118a78e0.gif=hello_html_6118ec98.gif=hello_html_4e6994c6.gif


R = О2 М = hello_html_5795bc00.gif , где S- площадь треугольника

S=hello_html_1155d0d.gif

S=hello_html_m3cd68474.gif=hello_html_m7ea44629.gif=hello_html_3eaf2929.gif


R = hello_html_3eaf2929.gif : (36,5-25)= hello_html_53c3348e.gif = 3,5 hello_html_m586350ae.gif

Рассмотрим hello_html_m6f0d1cd8.gif О2МЕ и hello_html_762c2997.gif1.

Они подобны с коэффициентом k=hello_html_673794a9.gif , по двум углам.

Значит , k =hello_html_m2b147f64.gif

BМ=p-AB

CH=p-AC

BM=36,5 – 36 = 0,5

СН=36,5 – 25 = 11,5

МН=12 – 0,5-11,5 =0, значит, длина отрезка О1О2 =R hello_html_39307906.gif

Ответ: hello_html_1e876d8d.gif





ЗАДАЧА 15.

Найти: Shello_html_m4d0776c4.gif

Решение:hello_html_m6f0d1cd8.gifАВСhello_html_m2a00779a.gif, hello_html_40cdbc5c.gif=hello_html_15d0a8eb.gif=hello_html_54f7c421.gif, Аhello_html_m7a4e13c5.gif=hello_html_7a061cfc.gifhello_html_724754d7.gif

Аhello_html_67330f50.gif=hello_html_42200673.gif, hello_html_1da704a2.gif,hello_html_5cfa6fae.gif,hello_html_m62195034.gif,

Phello_html_m4d0776c4.gif=8phello_html_m3c5cf6c7.gif , гдер=hello_html_683b70a4.gif , Shello_html_m4d0776c4.gif=hello_html_32f6b671.gif

или другой способ

Shello_html_m4d0776c4.gif=Shello_html_m4c9dc63e.gif(1-hello_html_ma0f5abb.gif

По теореме косинусов найдем hello_html_7c1ffe60.gif, hello_html_m33b887cc.gif, hello_html_m6bf19a82.gif , зная стороны треугольника.

Shello_html_m4c9dc63e.gif=hello_html_32f6b671.gif, гдер=hello_html_683b70a4.gif

Shello_html_m4c9dc63e.gif=hello_html_m5cd6d914.gif ,hello_html_4958320.gif ,hello_html_7f28d289.gif

Shello_html_m4d0776c4.gif=hello_html_m5cd6d914.gif(1-hello_html_3c317672.gif - hello_html_m56477dd9.gif)











ЗАДАЧА 16.

Дано:hello_html_68f322e8.gifВС, АВ=36, ВС=12, АС=25

С

Нhello_html_e279454.gif

Нhello_html_3ce7dcf0.gif



А В

Нhello_html_m47ede79.gif




Найти Рhello_html_2c130e62.gifhello_html_m406f86d7.gif, где Нhello_html_e279454.gif, Нhello_html_3ce7dcf0.gif, Нhello_html_m47ede79.gifоснования высот.

Решение: Рhello_html_2c130e62.gifhello_html_m406f86d7.gif= Нhello_html_e279454.gif Нhello_html_3ce7dcf0.gif+ Нhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif+ Нhello_html_e279454.gifНhello_html_m47ede79.gif.

Прямоугольные треугольники А Нhello_html_e279454.gifВ и СНhello_html_m47ede79.gifВ подобны по двум углам (угол В – общий, углы А Нhello_html_e279454.gifВ и СНhello_html_m47ede79.gifВ прямые).

Значит, hello_html_6633e84b.gif или Нhello_html_e279454.gifВhello_html_m1efcba61.gifАВ=Нhello_html_m47ede79.gifВhello_html_m1efcba61.gifСВ.

Следовательно, треугольники Нhello_html_e279454.gif ВНhello_html_m47ede79.gif и АВС подобны (по второму признаку) с коэффициентом подобия hello_html_b74f356.gif.

Аналогично, треугольники Нhello_html_e279454.gif Нhello_html_3ce7dcf0.gifС и АВС подобны с коэффициентом подобия hello_html_m26226be3.gif и треугольники А Нhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif и АВС подобны с коэффициентом подобия hello_html_5ad37015.gif.

Значит, hello_html_m15bff2fa.gif hello_html_m23785cf1.gif Нhello_html_e279454.gifНhello_html_3ce7dcf0.gif=АВhello_html_m26226be3.gif;

hello_html_6012e337.gifhello_html_m23785cf1.gifНhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif=ВСhello_html_5ad37015.gif;

hello_html_45ca27d7.gifhello_html_m23785cf1.gifНhello_html_e279454.gifНhello_html_m47ede79.gif=АСhello_html_b74f356.gif.

Найдем косинусы углов треугольника АВС по теореме косинусов.

hello_html_5ad37015.gif=hello_html_5393abfc.gif; hello_html_b74f356.gif=hello_html_1c730a08.gif; hello_html_m26226be3.gif=hello_html_m1ae3027e.gif.

Тогда Нhello_html_e279454.gifНhello_html_3ce7dcf0.gif=hello_html_m1ae3027e.gifhello_html_m7b6aac5d.gif36=31,62; Нhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif=hello_html_5393abfc.gifhello_html_m7b6aac5d.gif12=11hello_html_m5703c714.gifhello_html_332f2a73.gif11,85;

Нhello_html_e279454.gifНhello_html_m47ede79.gif=hello_html_1c730a08.gifhello_html_m7b6aac5d.gif25=23hello_html_71ce28a4.gifhello_html_332f2a73.gif23,58.

Рhello_html_2c130e62.gifhello_html_m406f86d7.gif= Нhello_html_e279454.gif Нhello_html_3ce7dcf0.gif+ Нhello_html_3ce7dcf0.gifНhello_html_m47ede79.gif+ Нhello_html_e279454.gifНhello_html_m47ede79.gif

Рhello_html_2c130e62.gifhello_html_m406f86d7.gif=66,69.

Ответ: 66,69



ЗАДАЧА 17.



А

В

С

K3

K2

K1

O

Дано:

АВС,

K1, K2, K3точки касания вписанной окружности,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти: SK1K2K3.

Решение:

Используя свойство отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки, обозначим равные отрезки буквами x, y, z:

АK1 = AK3 = x, BK1 = BK2 = y, CK2 = CK3 = z.

Составим систему: hello_html_7e20d8c7.gifСложив почленно эти равенства получаем:

a + b + c = 2(x + y + z)  x + y + z = (a + b + c)/2 = p (полупериметр).

Тогда получаем такую систему: hello_html_6c18841.gifhello_html_m49d26d3a.gif (1)

Запишем формулы площадей треугольников  AK1K3,  BK1K2 и  CK2K3 через две стороны и синус угла между ними, используя формулы (1):

hello_html_3007bea8.gif, hello_html_m4e9729d4.gif, hello_html_21fd38fe.gif. (2)

Синусы углов выразим через площадь треугольника АВС:

hello_html_m2c246502.gif, hello_html_m4f5366f.gif, hello_html_m2db227b2.gif. (3)

Площадь треугольника K1K2K3 равна следующему:

hello_html_m1170060f.gif.

Подставляя в эту формулу данные формул (2) и (3), получаем:

hello_html_4fef0b12.gif.

Подставим числа и найдём значение площади треугольника K1K2K3:

hello_html_mea84337.gif

hello_html_m2ca67146.gif.

Ответ: hello_html_m70f5843a.gif.

ЗАДАЧА 18.

В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в.

Найти Р hello_html_m6f0d1cd8.gif К1К2К3 , где Кi – точки касания вписанной окружности

Решение:

hello_html_5660ff18.png

К1К32 = 2х2 - 2х2 cosА = 2х2 (1 – cosА) = 4 х2 sin2 hello_html_2bdc1e59.gif

К1К3 = 2хsin hello_html_2bdc1e59.gif

К1К2 = 2y sin hello_html_66a50725.gif

К2К3 = 2z sinhello_html_2e4bcbac.gif

Р = 2х sin hello_html_2bdc1e59.gif + 2y sin hello_html_m536c9770.gif 2z sin hello_html_2e4bcbac.gif = 2 (p-a) sin hello_html_2bdc1e59.gif + (p-b) sin hello_html_66a50725.gif+(p-c) sinhello_html_2e4bcbac.gif =49sinhello_html_3dfcdbb3.gif hello_html_6926eb78.gif

Ответ: 49sinhello_html_m2ad7e5c6.gif hello_html_6926eb78.gif

Многоуровневые системы решения планиметрических задач по теме "Треугольник"
  • Математика
Описание:

Решение планиметрических задач по теме «Треугольник»

Программа обеспечивает обязательный минимум подготовки учащихся по геометрии, определяемый образовательным стандартом, соответствует общему уровню развития и подготовки учащихся данного возраста.

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Программа направлена на достижение следующих целей:

§            овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

§            интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений;

§            формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

§            воспитание культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно технического прогресса;

развитие представлений о полной картине мира, о взаимосвязи математики с другими предметами.

         В ходе обучения геометрии по данной программе решаются следующие задачи:

§  систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости;

§  формирование пространственных представлений; развитие логического мышления и подготовка аппарата для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и др.) и курса стереометрии в старших классах;

§   овладение конкретными знаниями необходимыми для применения в практической деятельности.

Требования к уровню подготовки учащихся

 Учащиеся дополняют знания о треугольниках сведениями о методах вычисления элементов произвольных треугольниках, основанных на теоремах синусов и косинусов. Даются систематизированные сведения о правильных многоугольниках, об окружности, вписанной в правильный многоугольник и описанной. Особое место занимает решение задач на применение формул. Серьезное внимание уделяется формированию умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий.

В результате изучения курса геометрии  учащиеся должны уметь:

§  пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

§  распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

§  изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур;

§  вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе: определять значение тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них; находить стороны, углы и площади треугольников, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;

§  решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;

§  проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

§  решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.

Содержание программы соответствует  обязательному минимуму содержания образования и имеет большую практическую направленность.

 

 

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Синус, косинус и тангенс угла. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников. Скалярное произведение векторов и его применение в геометрических задачах. Основная цель — развить умение учащихся применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач.

Синус и косинус любого угла от 0° до 180° вводятся с помощью единичной полуокружности, доказываются теоремы синусов и косинусов и выводится еще одна формула площади треугольника (половина произведения двух сторон на синус угла между ними). Этот аппарат применяется к решению треугольников.

Скалярное произведение векторов вводится как в физике (произведение длин векторов на косинус угла между ними). Рассматриваются свойства скалярного произведения и его применение при решении геометрических задач.

Основное   внимание   следует   уделить   выработке   прочных   навыков   в   применении тригонометрического аппарата при решении геометрических задач.

Длина окружности и площадь круга.

Правильные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него. Построение правильных многоугольников. Длина окружности. Площадь круга.

Основная цель — расширить знание учащихся о многоугольниках; рассмотреть понятия длины окружности и площади круга и формулы для их вычисления В начале темы дается определение правильного многоугольника и рассматриваются теоремы об окружностях, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него. С помощью описанной окружности решаются задачи о построении правильного шестиугольника и правильного 2ге-угольника, если дан правильный п-угольник.

Формулы, выражающие сторону правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности через радиус описанной окружности, используются при выводе формул длины окружности и площади круга. Вывод опирается на интуитивное представление о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности, а площадь — к площади круга, ограниченного окружностью.

 

 

 

 

Автор Кочмарева Елена Александровна
Дата добавления 02.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 689
Номер материала 20780
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓