Методика проведения уроков решения задач по теме «Делимость чисел".

 

 

Проектная работа

«Методика проведения уроков решения задач по теме «Делимость чисел»

 

 

 

 

 

 

 

Казарцевой Анны Викторовны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Воскресенск

2014 г.

 

 

 

Содержание

Введение

Основная часть

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Делимость чисел – это важный раздел в школьном курсе математики. Данная тема впервые встречается в учебниках IV класса, подробно изучается в VI и рассматривается на высоком уровне в VIII классе. В ней рассматриваются такие темы как: делимость целых неотрицательных чисел, деление с остатком, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида, простые и составные числа, основная теорема арифметики и признаки делимости.

Тема «Делимость чисел» интересна и отличается от некоторых тем программы, тем, что она хорошо применима и  в жизни. Признаки делимости натуральных чисел непосредственно используются в быту. Особенно признаки деления на 2, на 5, на 10 ( при купле – продаже) .

Первый этап углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем чтобы по окончанию IX класса он смог сделать осознанный выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны подкрепляться и развиваться.

Углубленное изучение математики на втором этапе предполагает наличие учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания  школы профессию, связанную с ней. Обучение на этом этапе должно обеспечить подготовку к поступлению в ВУЗ, к профессиональной деятельности, требующей достаточной высокой математической культуры.

Учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой  по сравнению  с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и и излагать собственные рассуждения при решении задач и доказательств теорем, правильно пользоваться математической терминологией и символикой, применять  рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований.

Следует заметить, что требования к знаниям учащихся при углубленном изучения предмета не должны быть завышенными. Чрезмерность требований  порождает перегрузку, что ведет, особенно на первом этапе изучения, к угасанию интереса к математике. Минимальный обязательный уровень подготовки, достижение которого учащимися является необходимым и достаточным условием выставлением ему положительной отметки, при углубленном и обычном изучении один и тот же.

В связи с предоставленным учащимся правом начать углубленное изучение математики как с VIII класса, так и с X  класса и необходимость в любом случае обеспечить им возможность изучения полного, целостного курса содержание обучения на первом и втором этапах имеет ряд пересечений. Соответствующий материал в старших классах рассматривается с учащимися, приступавшим к углубленному изучению с VIII класса, в повторительном, обзорном порядке.

Для поддержания и развития интереса к предмету следует привлечь исторические сведения на уроке. Это можно осуществить, как и самому учителю, так и дать задание учащимся сделать небольшой доклад. В докладах можно осветить о жизнедеятельности ученых: Эратосфена, Евклида, Чебышева, Виноградова и о их вкладе в области делимости чисел. Интересно и познавательно будет рассказать о «решете Эратосфена».

На уроках по теме «Делимость чисел» возможно привлечение и игрового момента, причем не только в среднем звене, но и в старших классах. Например, при помощи кроссворда можно повторить определения основных понятий, свойства делимости чисел.

На втором этапе возрастает роль теоретических знаний , становится весьма значимыми такие их качества, как системность и обобщенность. Значительное место на этом этапе должно  быть уделено решению задач, отвечающих требованиям для поступающих в ВУЗы, где математика является профилирующим предметом.

Цель исследования: изучить признаки делимости натуральных чисел и их применение при решении нестандартных задач

Для достижения цели были поставлены задачи:

·        Изучить теоретический материал по данной проблеме.

·        Отработать при решении задач полученные теоретические знания.

·        Составить комплекс наиболее интересных и увлекательных задач

·        Ознакомить с универсальным методом делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: применение признаков делимости при решении задач.

Гипотеза исследования:

Если изучить признаки делимости натуральных чисел и показать их применение в решении математических задач, то это повлияет на вычислительные навыки и поможет привлечь внимание к изучению математики.

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что

данное направление прежде не рассматривалось основательно, со всей глубиной. Данный проект призван привлечь внимание подростков к изучению математики.

Практическая значимость этого исследования заключается в следующем: в результате привлечения внимания подростков к математике должна возрасти их заинтересованность в данном предмете, что несомненно должно повысить успеваемость учащихся

Методы исследования:

изучение литературы; анализ; синтез; аналогии ; сравнение;

изучение и обобщение опыта.

 

Основная часть

Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости. Сумма, разность и произведение двух целых чисел всегда является целым числом, то есть множество целых чисел замкнуто по отношению к действиям сожжения, вычитания и умножения. По отношению же к действию деления множество целых чисел не является замкнутым. Поэтому при изучении теории, связанной с делением целых чисел, возникает вопрос о выполнимости этого действия для данных двух чисел, то есть о делимости этих чисел.

Определение: Будем говорить, что а делится на чис­ло b, и писать а  b,  т. е. существует натуральное число q, такое, что a = b·q, если существует частное а:b, где а и b – натуральные числа, число b называют делителем числа а.

Свойства делимости:.

Из равенства а = а·1 и а = 1·а следует, что для любого а из N0   имеем :

а  а ( рефлективность)  причем  а  а = 1, при а ≠0

2. а 1 ( любое число делится на 1), причем а 1 = а.

 

Запись 0 : 0 не имеет числового значения, так как для всех b из N0   справедливо равенство 0 = b0 и потому 0 : 0 не определено, так как в этом случае нет ни одного числа с  из N0   такого, сто = 0 с. Кратко говорят: «делить на ноль нельзя.»

3.Если a b и а > 0, то a ≥ b ( натуральный делитель не превосходит натурального частного)

4.Если a b и  b  а , то a = b ( антисимметричность)

5.Если a b и b c, то a  с (транзитивность)

6. Если a  с и b  с , то для любых чисел m и n из N0 имеем ( ma + nb)  с. Если кроме того ma >  nb, то ( ma -  nb)  с.

7. Если a b и k ≠0, то ka  kb

8. Если ka  k b  и k не =  0, то a b

9. Если a  bс, то (а : b )  с , а если  (a :  b) с  то a bс

Определение 1. Если a и b- натуральные числа и а   b, то число b называют делителем числа а и пишут: b  есть Д(а).

Пример: 36  9, следовательно, 9 есть Д(9).

Следствие 1. Всякое натуральное число a_, отличное от 1, имеет не менее двух различных делителей.

Действительно, а : 1 и  а  а, следовательно, 1 и а — делители числа а. Других делителей может и не быть, например, число а = 7 делится только на 1 и на 7, но существуют натуральные числа, имеющие и более двух делителей; так, например, у числа а = 6  четыре делителя: 1, 2, 3 и 6.

Примечание. Натуральное  число  1   имеет только один делитель— 1.

Определение 2. Натурально е число называют простым, если оно имеет два и только два различных делителя. Натураль­ное число называют составным, если оно имеет более двух раз­личных делителей.

Примеры. 2, 3, 5, 7, 11—простые числа;

4, 6, 8, 9, 10, 12 — составные числа.

Примечание. Число 1 не простое и не составное, так как оно имеет только один делитель.

Следствие 2.  Всякое натуральное число  имеет конечное множество делителей,

Действительно, каждый делитель натурального числа а меньше, либо равен а и  поэтому находится среди чисел:

1, 2, 3, 4, ..., а— 1, а.

Но таких чисел конечное множество, следовательно, множе­ство делителей а и подавно будет конечным.

Отметим, что известные в настоящее время способы отыскания делителей натуральных чисел требуют значительной затраты времени и сил. Наиболее примитивный из этих способов такой: данное число а делят на числа 1, 2, 3, 4, ,.._, а—1 и отбирают из них те, на которые а делится. Некоторое усовершенствование этого способа нахождения делителей вытекает из того, что частное от деления числа а на его делитель b является также делителем числа а. действительно, если                     то,                        откуда                                         

.делители b и с, произведение которых равно данному числу а, называются взаимно дополнительными делителями этого числа. Выписывая с каждым делителем числа а и дополнительный делитель, так сократим процесс нахождения делителей. Найдем, например, таким путем делители числа 36:

 

1)    36 : 1  = 36; 1 и 36 – первая пара взаимно доп. Делителей,

2)    36 : 2 = 18; 2 и 18 – вторая

3)    36 : 3 = 12; 3 и 12 – третья

4)    36 : 4 = 9; 4 и 9 – четвертая

5)    36 не : 5

6)    36 : 6 = 6

Делитель и частное стали равными, поэтому процесс уже закончен. Так как дальше начнется повторение найденных делителей.

Результат можно записать в виде следующей таблицы:

 

36	1	2	3	4	6
	36	18	12	9

 

Определение 3: общим делителем данных натуральных чисел a, b, c, …h, называют число  d , являющимся делителем каждого из чисел.

Обозначение: d есть ОД(a, b, c,…h)

Следствие 3:  любые два или несколько натуральных чисел  имеют конечное множество общих делителей.

Доказательство:

Пусть а – одно из данных чисел. По определению каждый общий делитель данных чисел является, в частности, и делителем числа а, следовательно, общих делителей не больше, чем у делителей числа а. но множество делителей у числа а конечно ( следствие 2), поэтому множество общих делителей у данных чисел и подавно будет конечным.

 

1<d₁ <d₂ <…<d_n

Следствие 4: среди общих делителей данных натуральных чисел имеется наименьший и наибольший.

Действительно, по предыдущему следствию общих делителей у данных чисел конечное  множество, следовательно, среди них есть наименьший и наибольший. Записав их в порядке возрастания.

Получим наименьший общий делитель – 1 и наибольший –

Наибольший общий делитель чисел a,b,c…,l обозначают символом НОД (a,b,c…,l) либо (a,b,c…,l); последним обозначением чаще пользуются в научной литературе, а первым – в учебной и в школе.

Пример: найдем НОД ( 18, 30, 84)

Д(18) = 1,2,3,6,9,18

Д(30) = 1,2,3,5,6,10,15,30

Д(84)= 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84

ОД(18,30,84) = 1,2,3,6

НОД (18, 30,84) = 6

Определение 4: два числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель, равен единице, и – взаимно составными, если их наибольший общий делитель ≠ 1.

Например, числа 9 и 20 – взаимно простые, так как НОД ( 9,20) =1

Числа 6 и 20 – взаимно составные, так как НОД (6, 20)≠1( он равен 2)

В III веке до нашей эры гениальный греческий математик Евклид в своих знаменитых «Началах» указывает следующий простой прием отыскания наибольшего общего делителя двух чисел: для получения наибольшего общего делителя чисел а и b надо производить последовательные деления:

 

1)    a b =  q₁ (ост. r₁  ), то есть a = bq + r₁ ,где 0 ≤ r ₁< b.

2)    b r₁ =  q₂ (ост. r₂  ), то есть b = r₁ q₂ + r₂ ,где 0 ≤ r ₂< r₁.

3)    r₁ r₂ =  q₃ (ост. r₃  ), то есть r₁ = r₂q₃ + r₃ ,где 0 ≤ r ₃< r₂.           

4)    r₂ r₃ =  q₄ (ост. r₄  ),    и т. д. до получения остатка, равного нулю; последний из остатков, отличных от 0, и будет наибольшим общим делителем чисел а и b. В случае же, когда уже первый остаток   = 0, число

а    b , поэтому НОД (a, b) = b.

Поясним сказанное на примере. Пусть требуется найти НОД(861, 455).Производим последовательное деление:

1)861:455= 1 (ост. 406),                                                                                                              

2) 455:406-1 (ост. 49),     

3) 406: 49-8 (ост. 14),

4)   49: 14 = 3 (ост. 7),

5)  14:   7 = 2 (ост, 0), следовательно, НОД(861, 455) = 7.

Последовательность делений, выполняемых при отыскании НОД, называют обычно алгоритмом Евклида. Термин „алгоритм" пред­ставляет искаженное сокращение имени знаменитого математика Магомета ибн Муса Альхова - Резми, .жившего в IX в. н. э. в г. Хорезме (в, нынешнем Узбекистане). Этим термином обозна­чается всякая последовательность математических операций, вы­полняемых по определенным правилам с целью получения неко­торого результата.

Дадим обоснование указанного приема отыскания НОД двух чисел.

1) Прежде всего отметим, что алгоритм Евклида не может быть бесконечным, так как получающиеся в последовательных делениях целые неотрицательные остатки убывают:      r₁ > r₂ > r₃ >…,                                                           

и поэтому через конечное число таких делений непре­менно получится остаток, равный нулю. Пусть таким остатком оказался  r_k+1

а все предшествующие ему остатки    :   r₁ ,r₂ ,r₃ ,…r_k ≠ 0, тогда весь алгоритм можно записать так:

 

a = bq + r₁ ,где 0 ≤ r ₁< b.

b = r₁ q₂ + r₂ ,где 0 ≤ r ₂< r₁.

r₁ = r₂q₃ + r₃ ,где 0 ≤ r ₃< r₂.           

^{……………………………………………}

^{…………………………………………….}

r_k-3 = r _k-2q_k-1 + r_k-1  ,где 0 ≤ r _k-1< r_k-2.           

r_k-2 = r _k-1q_k + r_k  ,где 0 ≤ r _k< r_k-1.           

 

r_k-1 = r _kq_k+1 + 0.            

 

2) Сперва убедимся в том, что  r_k -  ОД(а,b)

Действительно, просматривая все строки алгоритма вобратном порядке с учетом известных   нам   признаков делимости суммы и произведения замечаем, что в последней строке r_k-1  r_k

в предпоследней строке r _k-1q_k  r_k  и  r_k   r_k  

поэтому     r_k-2  r_k  аналогичным образом убеждаемся, поднимаясь вверх по алгоритму, что r_k-4  r_k  ; r_k-5  r_k  ;…; r₃  r_k  ; r₂  r_k  ; r₁  r_k  

и, наконец, придя во вторую строку, видим, что    b r_k,

а поэтому в первой строке и  a r_k        т. е. r_k — общий делитель чисел а и b

3) Теперь убедимся методом от противного, что  r_k     .—наиболь­ший общий делитель чисел а и b

Допустим, что существует OД {а, b) = c> r_k                     

Тогда в первой строке алгоритма сумма ас и слагаемое (bq_t)с, следовательно, по теореме и другое слагаемое    r₁     разделится на с;

во второй строке сумма     b c        и слагаемое       (r₁q₂)   c  следова­тельно, по той же теореме и другое слагаемое     r₂   c.

 Аналогич­ными рассуждениями обнаружим в третьей строке алгоритма, что        r₃   c., в четвертой строке, что  r₄   c  и т. д., наконец, в предпослед­ней строке — что r_k   c. , а это невозможно, так как по допущению       c> r_k

Вывод: остается признать, что    r_k    — наибольший общий делитель чисел а. и b.

Основные свойства НОД двух чисел.

I..Если умножить каждое из двух данных чисел а и b на и то же число n  то на это же  число и умножится и НОД (а,b)

Действительно, умножим на п части равенств и неравенств в каждой строке алгоритма Евклида, записанного для чисел  а и b 2 страницы назад 1

получим:

an = (bn)q₁ + r₁n    ,где 0 < r₁n < bn

bn = (r₁ n)q₂ + r₂n    ,где 0 < r₂n < r₁ n

r₁ n = (r₂ n)q₃ + r₃n    ,где 0 < r₃n < r₂ n

r₂n = (r₃ n)q₄ + r₄n    ,где 0 < r₄n < r₃ n

…………………………………………………..

…………………………………………………

r_k-2 n = (r_k-1 n)q_k+ r_kn    ,где 0 < r_kn < r_k-1 n

r_k-₁ n = (r_kn)q_k+1+ 0

Замечаем, что числа an и bп подверглись здесь алгоритму Евклида, причем последний отличный от нуля остаток равен  r_kn поэтому НОД (an, bn)= r_kn

А так, как  r_k = НОД (а, b), то НОД (an, bn) = НОД(а, b)n, что и требовалось доказать.

 

II. Если каждое из двух данных чисел а и b разделить на одно и то же число n (когда деление возможно), то и НОД (а, b) разделится на число n.

Действительно,   приняв   во   внимание,   что   а = (a n)n   и b = (b n)n, можно записать:

НОД(а, b) = НОД [(a n)n  ; b = (b n)n]

Но по I свойству НОД     [(a n)n  ; b = (b n)n]= n·НОД (a n ;b n)

следовательно, НОД(а,b ) = n·НОД (a n ;b n)

откуда НОД  (a n ;b n)   = НОД (a, b)  n;

Это свойство значительно сокращает процесс отыскания наиболь­шего общего делителя некоторых чисел; например: НОД (600, 800)= 200 * НОД(3,4) = 200·1=200.

 

III. Если НОД двух данных чисел а я b делится на число n, то каждое из этих чисел разделится на n.

В самом деле, пусть НОД(a b) = d; тогда имеем:

ad и dn → an

bd и dn → bn

 

IV. Частные от деления данных чисел а и b на их наиболь­ший общий делитель d  суть числа взаимно простые, и обратно, если частные от деления  а и b на некоторое число с взаимно простые, то число с есть НОД (а, b).

Свойство IV выражает  необходимое и достаточное условие того,  что число с есть НОД (а, b) в следующем виде: чтобы число с было НОД (а, b), необходимо и достаточно, чтобы част­ные от деления а и b на с были взаимно простые.

Это свойство может быть использовано при проверке правиль­ности найденного НОД.

Например, некто утверждает, что НОД (840; 720) = 60; проверяем:

 84060 = 14,

 72060 =12,

НОД(14: 12)= 2, а не 1, следовательно, НОД(840; 720)=  не 60.

И действительно, НОД(840; 720)= 120

 НОД(7; 6) = 120 · 1 = = 120; а не 60.

 

Признаки делимости

Что бы узнать делится ли число а на b, не всегда нужно выполнить письменно деление а на b. В некоторых случаях это можно узнать по десятичной записи чисел.

Запись а = 6018 означает, что число а имеет вид : 6·1000 + 0·100 + 1· 10 + 8 или , иначе, вид 6· 10³ + 0·10² + 1·10 + 8

Будем записывать сумму а_n10ⁿ + a_n-110^n-1+…+a₁10 + a₀ так: ¯а_па_п_₁...а₁ а₀ ( черта наверху показывает, что мы рассматриваем не произведение чисел а_п, а_п__1, … ,.а₁ , а₀  а десятичную запись числа а)

Если существует такое натуральное число к, что 10^к  делится на b, то на b делится все числа 10ⁿ ,где n > k. Поэтому число а имеет при делении а b тот же остаток, что и число a_к-110^к-1+…+a₁10 + a₀.

Отсюда следует, что  если 10^к  делится на b, то число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на b в том и только том случае, когда на b делится число ¯a_к-110^к-1+…+a₁10 + a₀.

Выведем из этого утверждения следующие признаки делимости:

Признак делимости на 2:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀  делится на 2 в том и только случае, когда на 2 делится число а₀ (  то есть цифра в разряде единиц)

Это значит, что число а делится на 2 в том и только том случае, когда его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.

Признак делимости на 4 и 25:

Число а делится на 4, тогда и только тогда на 4 делится двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а.

 

Если последние две цифры числа образуют число, делящиеся на 25. то число делится на 25 (то есть его десятичная запись оканчивается либо на 00, либо на 25, либо на 50. либо на 75)

Признак делимости на 5:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀  делится на 5 в том и только случае, когда его десятичная запись оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0.

Признак делимости на 3 ( на 9):

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀  делится на 3 ( на 9) в том и только случае, когда на 3 ( на 9)  делится сумма а_п + а_п-1 + ...+ а₁ + а₀  цифр десятичной записи этого числа.

Признак делимости на 10:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀  делится на 10 в том и только случае, когда его десятичная запись оканчивается либо цифрой 0.

Признаки делимости на 6,12,14,15,18,21:

Теорема: Число делится на составное число, являющееся произведением двух взаимно простых числе, если оно делится на каждое из этих чисел.

 

·        Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6

·        Если число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12.

·        Если число делится на 3 и на 5 , то оно делится на 15.

·        Если число делится на 3 и на 25, то оно делится на 75.

В силу этой теоремы  можно сформулировать признаки делимости на 14, 15, 18. 21, …

14 = 2·7 (2,7)=1

15 = 3·5  (3,5)=1

18 = 2·9  (2,9) = 1

21 = 3·7 ( 3,7) = 1

Признак делимости Паскаля:

Если остаток от деления 10^k  на b равен r_к, где к = 0, 1, ...п, то остаток oт деления числа а= а_па_п_₁...а₁ а₀ на b совпадает с остатком от деления на b числа

a_nr_n+…+a₁r₁+a₀   делятся на b(в частности, если   a_nr_n+…+a₁r₁+a₀     делится на b, то и число а делится на b).

          Признак делимости на 7 и на 13:

Что бы узнать, делится ли натуральное число а на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой ( самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 ( соответственно на 13). То и заданное число делится на 7( соответственно на 13) .

Признак делимости на 8:

Если число, образованное тремя последними цифрами числа, делится на 8. то и число делится на 8.

Признак делимости на 125:

Если число, образованное тремя последними цифрами числа, делится на 125. то и число делится на 125.

Признак делимости на 11:

Что бы узнать, делится ли на 11 натуральное число а, надо сложить отдельно цифры его десятичной записи, стоящие на четных местах, и цифры, стоящие на нечетных местах, и из большей суммы вычесть меньшую. Если полученная разность делится на 11. то и число делится на 11.

Пример. Что бы узнать, делится ли на 11 число 237 849 568. составляем сумму 2+7+4+5+8 = 26 и 3+8+9+6 = 26. так как 26 – 26 =0 делится на 11. то и данное число делится на 11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Содержанием школьной арифметики является изложение учения о числе, о действиях над числами, о свойствах действий в объеме, необходимом для вычислений, применяемых на практике. Однако изложение теории в первых классах начальной школы на должном теоретическом уровне невозможно в силу возрастных особенностей учащихся, поэтому преподавание арифметики носит пропедевтический характер, ученики обучаются практике вычислений; вопросы теории излагаются не симметрически, не в виде логического курса, в котором из основных определений понятий путем логических рассуждений выводятся новые результаты, а в виде некоторых правил, сформулированных на основе практики. В силу этого курс арифметики в первых классах школы обычно называется практическим. По мере повышения общего развития учеников оказывается возможным уже в четвертом классе систематическое изложение арифметики, причем вопросы теории не обязательно связаны с техникой вычислений и решением практических задач, а имеют и самостоятельное образовательное значение, как например учение о делимости.

Делимость чисел является одним из самых важных вопросов  в теории чисел. Основной задачей теории чисел является изучение свойств целого числа. Ряд важных проблем этой теории непосредственно или косвенно связан с понятием делимости  числа. Необходимо упомянуть и знаменитых основателей теории чисел. Это, в первую очередь, Л.Эйлер, проживший около тридцати лет в России; П.Л. Чебышев, которым была создана теоретико-числовая школа ( единственная по своему значению во всем мире). Наиболее фундаментальные результаты были получены и ученым И.М.Виноградовым и его школой.

 

 

 

 

Список использованной литературы .

1.Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 2009.

2. Баранова И.В.  и другие «Задачи по математики для 4-5 классов», М. «Просвещение» 20099

3. Берман Г.Н. «Число и наука о нем». М. 2009

4. Брадис В.М. «Методика преподавания математики в средней школе». М. «УЧПЕДГИЗ»2009

6. Виноградов И.М. Основы теории чисел.-М., Издательство «Наука»,1965

7. Воробьев Н.Н. Признаки делимости.-М., «Гос. издательство физико-матем. лит-ры»,2003

8.Гельфанд М.Б., Павлович В.С. внеклассная работа по математике в восьмилетней школе.-М.: Просвещение, 1985.

9. Груденов Я.И. «Совершенствование методики работы учителя математики». М. «Просвещение 2010»

10. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики.-  М. «УЧПЕДГИЗ»( переизд)2012

11.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: доп. главы к шк.учеб8кл.:Учбн. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. Математики/Под ред. Г.В.Дорофеева.-М.:Просвещение,2010

12.Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. Пособие для учителей. Под ред. И.Я.Депман.-М. просвещение,2011

13. Методика  преподования математики в средней школе: общая методика. А.Я.Блох, Е.С.Канин и др.,Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр . 2010

14. Мордкович А.Г. ,Семенов П.В. алгебра и начала анализа, часть 1,10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений ( профельный уровень).-М.: «Издательство МНЕМОЗИНА», 2012.

15. Окунев Л.Я. Краткий курс теории чисел . учебное пособие для пединститутов.-М.:Просвещение,2012

16. Перельман Я.И.«Занимательная алгебра», М., 2013 г.