ГОСУДАРСТВЕННОЕ
АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКОЙ
ОБЛАСТИ
«КУПИНСКИЙ
МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»
МЕТОДИЧЕСКОЕ
ПОСОБИЕ
Для самостоятельной работы студентов
По
дисциплине: МАТЕМАТИКА
Тема: «ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ»
Специальность: 34.02.01 Сестринское дело
Курс: 2
(базовой подготовки)
Купино
2016
Рассмотрено на
заседании предметной цикловой
Методической
комиссии по общеобразовательным дисциплинам,
общему
гуманитарному и социально-экономическому, математическому и
естественно-научному
циклу
Протокол
№ _____ от «_____»
_________20____г.
Председатель
ПЦМК: _____________
Автор – составитель: преподаватель математики высшей
категории Тюменцева О.Н.
Купино
2016 г
Пояснительная записка к методическому пособию
Методическое пособие
предназначено для изучения теоретических и практических знаний по теме.
Цель пособия – изучить понятия: предел числовой последовательности,
предел функции на бесконечности и в точке, основные теоремы о пределах. первый
и второй замечательные пределы и подготовиться к занятию по теме «Основы дифференциального исчисления».
Данное пособие
рекомендовано для студентов первого и второго курсов специальности 34.02.01
Сестринское дело. Пособие содержит определение предела числовой
последовательности, предела функции на бесконечности и в точке, основные
теоремы о пределах, первый и второй замечательные пределы, задания для
самоконтроля.
Пособие направлено на
формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование
навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала,
повышение интереса к дисциплине.
Числовая
последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке.
Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.
Числовая
последовательность и её предел
Числовая последовательность –
_________________________________________________
______________________________________________________________________________
Число
a называется пределом последовательности x = {xn}, если для
произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε
найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется
неравенство |xn - a| < ε.
Если число a есть
предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к a при , и пишут
Предел
функции
Число А называется пределом функции
f(x) при , если для любой последовательности
аргументов , сходящейся к а, соответствующая
последовательность значений функции сходится к А.
Число А называется пределом функции
f(x) при , если для любого существует
такое , что для всех х, удовлетворяющих условиям
, выполняется неравенство .
Обозначается
Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки
х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не
определена)
|
|
Предел функции в точке
y f(x)
A + e
A
A - e
0
a - D a a + Dx
Предел функции
при стремлении аргумента к бесконечности.
Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство
При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.
Записывают: Графически
можно представить
y
y
A
A
0
х 0 х
y y
A A
0
х 0 х
Основные теоремы о пределах
Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а, то
Теорема 1. , где
С = const.
Теорема 2.
Теорема 3.
Следствие.
Теорема 4. при
Теорема 5.
Теорема 6.
Бесконечно малые и бесконечно большие
функции
Функция f(x) называется бесконечно малой
при х®а, где а может быть числом
или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .
Функция называется бесконечно большой при
х®а, где
а – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или
одна из величин ¥, +¥ или -¥.
Обратная бесконечно малой величины является
бесконечно большой величиной и наоборот.
Табличные
пределы
Методы
вычисления пределов
1) Метод
непосредственного вычисления
2) Раскрытие
неопределенностей вида
Для того чтобы раскрыть неопределенность вида при отыскании предела отношения многочленов
, нужно
1. определить тип неопределенности,
2. если неопределенность вида , то поделить числитель и знаменатель на
двучлен .
|
Замечание: При отыскании пределов от
иррациональных функций с неопределенностями вида используется
рассмотренный выше прием, но предварительно умножают числитель и знаменатель на
выражения, сопряженные числителю и знаменателю
3) Раскрытие
неопределенностей вида
Если предел отношения двух алгебраических функций при
значении дает неопределенность вида , то нужно числитель и знаменатель
поделить на старшую степень x встречающуюся в этой функции.
4) Замечательные
пределы
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел: или
5) Применение
эквивалентных бесконечно малых функций
Эквивалентные бесконечно
малые функции
При sin x~ х
tg x ~ х
arcsin x~ х
arctg x ~ х
ln(1+x) ~ х
ex -1~ х
ax -1~ х ln a
Вопросы для самоподготовки:
1. Что такое числовая
последовательность и ее предел.
2. Сформулируйте основные
теоремы о пределах.
3. Назовите первый и второй
замечательные пределы.
4. Дайте определение
непрерывности функции в точке и на промежутке.
5. Дайте классификацию точек
разрыва функции.
Вычислите пределы
функций:
з) и)
к) л) м)
н) о) п)
р) с) т)
у) ф)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.