Главная / Математика / Методические рекомендации по теме "Решение задач на проценты"

Методические рекомендации по теме "Решение задач на проценты"

Весенняя городская математическая школа

«МАТ-РЕШКА»















Решение текстовых задач при подготовке к экзаменам


ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ




























МБОУ «Гимназия №5»

г. Норильск

2015



ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ



Справочный материал

Процент от числа (величины) – одна сотая часть числа (величины) 1% = 0,01= hello_html_6ba62c03.gif

  1. Чтобы найти проценты от числа, надо перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число

Пример. В классе 25 учеников. Девочки составляют 40% всех учащихся. Сколько девочек в классе?

Решение.

  1. 40% = 40:100 = 0,4

  2. 25∙0,4= 10 (девочек) учатся в классе


  1. Чтобы найти сколько процентов число а составляет от числа в надо, число а разделить на число в и умножить на 100%

Пример. Девочек в классе 10, а мальчиков 15.

Сколько процентов составляет количество девочек от количества учащихся класса?

Сколько процентов составляет количество мальчиков от количества учащихся класса?

Решение.

10+15 = 25 (человек) учатся в классе

10:25∙100% = 40 % составляют девочки от числа всех учеников

15:25∙100% = 60% составляют мальчики от числа всех учеников

  1. Если величина а увеличивается на х %, то ее новое значение


а1 = а (1+0,01х)

аn = a (1+0,01х)n


x% y% z%

а → а1 → а2 → а3

а3 = а(1+0,01х)(1+0,01у)(1+0,01z)


  1. Если величина а уменьшается на х %, то ее новое значение


а1 = а (1-0,01х)

аn = a (1-0,01х)n


x% y% z%

а → а1→ а2→ а3


а3 = а(1-0,01х)(1-0,01у)(1- 0,01z)


Пример. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Решение.

  1. 7% = 0,07

  2. 1000000 (1+0,07)3 = 1225043 (р.) заработал Плюшкин за 2003 год










Решение задач


  1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году - на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение.

8% = 0,08

9% = 0,09

а2 = 40000· (1+0,08)(1+0,09) = 47088 (чел)

Ответ. 47088


  1. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение.

Пусть х – цена акций в понедельник, у – количество процентов, на которое они подорожали в понедельник и подешевели во вторник, тогда в среду они стали стоить

х2 = х(1+0,01у)(1-0,01у).

Так как они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то

х2 = х(1 - 0,04) = 0,96х

х(1+0,01у)(1-0,01у) = 0,96х /: х≠0

(1+0,01у)(1-0,01у) = 0,96

  1. 0,0001у2 = 0, 96

у2 = 400

у1 = 20

у2 = -20 не является решением задачи

Ответ. 20


  1. Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

Решение.

8% = 0,08

Пусть х р. стоит куртка, а у р. стоит пиджак.

4х = у (1-0,08) = 0,92у

х = 0,23у

5х = 1,15у = у(1+0,15),

0,15 = 15%.

Ответ. 15


  1. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.

Зарплата мужа составляет 67% бюджета семьи. Две третьих стипендии дочери составляют 4%, значит, вся стипендия – 6% бюджета семьи, зарплата жены составляет 100 - 67 - 6 = 27%


  1. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Решение.

Пусть на х % уменьшается цена холодильника в год

х2 = 20000(1 – 0,01х)2 = 15842/ :20000

(1 – 0,01х)2 =0,7921

1 -0,01х = -0,89 1 -0,01х = 0,89

х =189 х = 11

Ответ. 11


  1. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение

14% = 0, 14

200000 · 0, 14 = 28000 (р.) внес Митя

200000 · 0, 12 = 24000 (р.) внес Гоша

200000 – 28000 – 24000 – 42000 = 106000 (р.) внес Борис

28000 : 200000 ·100% = 14% прибыли причитается Мите

24000 : 200000 ·100% = 12% прибыли причитается Гоше

42000 : 200000·100% = 21% прибыли причитается Антону

106000 : 200000·100% = 53% прибыли причитается Антону

53% = 0,53

1000000·0,53 = 530000 (р.) причитается Борису

Ответ. 530000


  1. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение

Найдем, сколько содержится твердой массы в изюме. Т.к. в изюме 5% воды, то

100%-5% = 95% - твердой массы.

95% = 0,95

20·0,95 = 19 (кг) твердой массы в изюме

100 - 90 = 10% твердого вещества в винограде

Пусть х кг винограда потребуется для получения 20кг изюма

19 кг составляют 10% от х

10% = 0,1

0,1х =19

х = 19 : 0,1

х = 190

Ответ. 190


  1. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Решение

300% = 3

5000·(1+3) = 20000(р.) прибыль Бубликова в 2001 году

20000·(1+3) = 80000 (р.) прибыль Бубликова в 2002 году

80000·(1+3) = 320000(р) прибыль Бубликова в 2003 году

Ответ. 320000


  1. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение

200% = 2, 400% = 4


Компания "Альфа"

компания "Бета"

2002

5000+ 5000·2 = 15000

-

2003

15000 + 15000·2 = 45000

-

2004

45000 +45000·2 = 135000

10000+10000·4 = 50000

2005

135000 +1355000·2 = 405000

50000+50000·4 = 250000

2006

405000 +405000·2 = 1215000

250000+250000·4 = 1250000

1250000 – 1215000 = 35000

Ответ. 35000


  1. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение

Пусть х % годовых начислял банк по этим вкладам.

Клиент А получил 7700(1+0,01х)2 р., клиент Б получил 7700(1+0,01х) р.

7700(1+0,01х)2 - 7700(1+0,01х) = 847 1+0,01х = а

100а2 – 100а -11 = 0

а =1,1

1+0,01х = 1,1

х =10

Ответ.10

Задачи для самостоятельного решения


  1. В 2008 году в городском квартале проживало 20000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 2%, а в 2010 году  — на 3% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

  2. В 2008 году в городском квартале проживало 60000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 2%, а в 2010 году  — на 3% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

  3. В 2008 году в городском квартале проживало 20000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 10%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

  4. В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?

  5. Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять таких же рубашек дороже куртки?

  6. Десять одинаковых рубашек дешевле куртки на 4%. На сколько процентов пятнадцать таких же рубашек дороже куртки?

  7. Восемь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?

  8. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 165%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 1%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

  9. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 201%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

  10. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 189%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

  11. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 19800 рублей, через два года был продан за 16038 рублей.

  12. Митя, Антон, Паша и Гоша учредили компанию с уставным капиталом 100000 рублей. Митя внес 24% уставного капитала, Антон  — 55000 рублей, Паша  — 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Гоша. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 600000 рублей причитается Гоше? Ответ дайте в рублях.

  13. Дима, Андрей, Саша и Гоша учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Дима внес 19% уставного капитала, Андрей  — 50000 рублей, Саша  — 0,2 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Гоша. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Гоше? Ответ дайте в рублях.

  14. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 62 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

  15. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 52 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

  16. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 5000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

  17. Бизнесмен Оладьев получил в 2000 году прибыль в размере 1100000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Оладьев за 2002 год?

  18. Бизнесмен Коржов получил в 2000 году прибыль в размере 1200000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 19% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Коржов за 2002 год?

  19. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7600 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 836 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

  20. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 6900 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 759 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?


Ответы


21012

43

494

63036

25

9000

23980

31

1259390

80

10

1699320

47

18000

10

44

170000

10

47

569





Методические рекомендации по теме "Решение задач на проценты"
  • Математика
Описание:

 

 

 

Данный материал предназначен для организации уроков итогового повторения при подготовке учащихся к государственной итоговой аттестации по математике в 9 - х и 11- х класса. Цель: развитие навыков решения текстовых задач в рамках подготовки к итоговой аттестации выпускников.

 

Задачи: 

 

систематизация текстовых задач;

 

формирование вычислительных и формально-оперативных умений для использования их при решении задач различного направления;

 

развитие навыков применения аппарата уравнений как основного средства математического моделирования прикладных задач;

 

формирование устойчивой положительной мотивации к изучению  математики.

 

Прикладная направленность обеспечивается систематическим обращением к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению прикладных задач.

 

Автор Чернова Светлана Евгеньевна
Дата добавления 14.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 581
Номер материала 59649
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓