V Международный практический «Инфофорум» для педагогов

Дата: 20 апреля 2024 года
Формат: онлайн

Инфоурок › Математика ›Другие методич. материалы›МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для специальности 080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для специальности 080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Скачать материал

Департамент образования города москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждениесреднего профессионального образования города Москвы

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ № 42

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

Для специальности

080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Москва 2014

ОДОБРЕНО

Предметной (цикловой)

комиссией математических и естественнонаучных дисциплин

наименование комиссии

Протокол №

от ______________2013 г.

Председатель предметной (цикловой) комиссии

_________/ Шмельков В.Ю./

Подпись Ф.И.О.

Автор- составитель: Преподаватель высшей категории Т.Н.Синилова

Содержание

1	Пояснительная записка	3
2	Самостоятельная работа в учебно-программной документации среднего профессионального образования	5
3	Общая характеристика самостоятельной работы	5
4	Особенности организации внеаудиторной самостоятельной работы студентов	6
5	Планирование самостоятельной работы	8
6 7	Структура внеаудиторной самостоятельной работы Критерии оценки результатов самостоятельной работы студентов	12 12
8	Организация самостоятельной работы по дисциплине «Математика»	13
9	Информационное обеспечение обучения	15
10	Рекомендации по выполнению и задания для обучающихся	17

Пояснительная записка

Самостоятельная работа – вид учебной деятельности обучающегося, требующий большой подготовительной деятельности преподавателя дисциплины «Математика». Самостоятельная работа позволяет оптимально сочетать теоретическую и практическую составляющие обучения. При этом обеспечивается переосмысление места и роли теоретических знаний, их упорядочивание, что, в конечном счёте, приводит к повышению мотивации обучающихся в их освоении. Самостоятельная работа планируется и организуется с целью:

· углубления и расширения теоретических знаний;

· систематизации и закрепления практических умений обучающихся;

· формирования умений использовать нормативную, правовую, справочную документацию и специальную литературу;

· развития познавательных способностей и активности обучающихся (творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности);

· формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

· развития исследовательских умений.

Продуманная организация этой работы позволяет оперативно обновлять содержание образования, создавая предпосылки для формирования базовых (ключевых) компетенций категории интеллектуальных (аналитических) и обеспечивая, таким образом, качество подготовки специалистов на конкурентоспособном уровне. Из всех ключевых компетенций, которые формируются в процессе выполнения самостоятельных работ, следует выделить следующие:

· умение учиться;

· умение осуществлять поиск и интерпретировать информацию;

· повышение ответственности за собственное обучение.

ФГОС нового поколения среднего профессионального образования обязано обеспечить эффективную самостоятельную работу студентов при формировании основной профессиональной образовательной программы выпускников по специальности, где регламентируется максимальный объем учебной нагрузки и объем внеаудиторной самостоятельной работы в соотношении 50% от обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающихся. Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется обучающимся по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия.

Общая характеристика самостоятельной работы

Самостоятельная работа - это планируемая работа обучающихся, выполняемая по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия. Преподаватель, ведущий занятия, организует, направляет самостоятельную работу обучающихся и оказывает им необходимую помощь. Однако самостоятельность обучающегося должна превышать объем работы, контролируемой преподавателем и иметь в своей основе индивидуальную мотивацию обучающегося по получению знаний необходимых и достаточных для будущей профессиональной деятельности в избранной сфере. Преподаватель при необходимости может оказывать содействие в выработке и коррекции данной мотивации, лежащей в основе построения самостоятельной деятельности обучающихся по изучению дисциплины, получению необходимых знаний и навыков.

Следует помнить о том, что получение образования предполагает обучение решению задач определенной сферы деятельности. Однако как бы хорошо не обучались учащиеся способам решения задач в аудитории, сформировать средства практической деятельности не удастся, так как каждый случай практики особый и для его решения следует выработать особый профессиональный стиль мышления.

Основой самостоятельной работы служит научно-теоретический курс, комплекс полученных обучающимся знаний. Основной, наиболее экономичной формой получения и усвоения информации, теоретических знаний является лекция, позволяющая воспринять значительную сумму основных знаний и потому способствующая повышению продуктивности всех других форм учебного труда.

Чтобы хорошо овладеть учебным материалом, необходимо выработать навыки правильной и планомерной работы. Результат обучения и самостоятельной работы обучающихся предполагает наличие следующих составляющих:

· понимание методологических основ построения изучаемых знаний;

· выделение главных структур учебного курса;

· формирование средств выражения в данной области;

· построение методик решения задач и ориентации в проблемах (ситуациях).

Самостоятельная работа обучающихся предполагает подготовку к аудиторным занятиям и, кроме того, - самостоятельное изучение дополнительных разделов отдельных тем дисциплины, предусмотренных программой. В основном, предполагается освоение практических навыков для работы с экспериментальными данными на основе изученной теории по дисциплине. Для этого предусмотрены часы консультаций и доступ в компьютерный класс во внеаудиторное время. По результатам самостоятельной подготовки обучающийся должен продемонстрировать полученные навыки в ходе модульного контроля.

Особенности организации внеаудиторной самостоятельной работы студентов

При предъявлении видов заданий на внеаудиторную самостоятельную работу рекомендуется использовать дифференцированный подход к обучающимся. Перед выполнением обучающимся внеаудиторной самостоятельной работы преподаватель проводит инструктаж по выполнению задания, который включает:

· цель задания;

· содержание;

· сроки выполнения;

· ориентировочный объем работы;

· основные требования к результатам работы;

· критерии оценки.

В процессе инструктажа преподаватель предупреждает обучающихся о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания. Инструктаж проводится преподавателем за счет объема времени, отведенного на изучение дисциплины.

Во время выполнения обучающимися внеаудиторной самостоятельной работы и при необходимости преподаватель может проводить консультации за счет общего бюджета времени, отведенного на консультации.

Самостоятельная работа может осуществляться индивидуально или группами обучающихся в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности, уровня умений студентов.

Контроль результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся может осуществляться в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия по дисциплине и внеаудиторную самостоятельную работу обучающихся по дисциплине, может проходить в письменной, устной или смешанной форме, с представлением изделия или продукта творческой деятельности студента.

В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся могут быть использованы семинарские занятия, коллоквиумы, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы, защита творческих работ и др.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся являются:

· уровень освоения обучающимся учебного материала;

· умение обучающегося использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

· сформированность общеучебных умений;

· обоснованность и четкость изложения ответа;

· оформление материала в соответствии

Внеаудиторная самостоятельная работа по математике – спланированное, организованное и контролируемое мероприятие, выполняемое по тщательно разработанным заданиям преподавателя.

Разрабатывая задания, преподаватель должен учитывать:

· профильную направленность изучения дисциплины;

· предельный объем заданий;

· оптимальные затраты времени на их выполнение;

· типичные ошибки при выполнении различных видов работ;

· причины их возникновения и способы устранения;

· вариативность заданий;

· уровень обученности студентов;

· особенности и способности обучающихся.

Можно предложить следующие виды самостоятельной работы студентов по математике:

· решение заданий по образцу;

· опережающие домашние задания;

· выполнение заданий по алгоритму;

· типовые расчеты;

· решение экзаменационных вариантов, в том числе ЕГЭ;

· составление алгоритмов для типовых заданий;

· составление и решение самостоятельно составленных заданий;

· выполнение расчетно-графических работ;

· составление и заполнение таблиц для систематизации учебного материала;

· составление теста и эталона к нему;

· ответы на контрольные вопросы;

· составление или решение математического кроссворда на математические понятия, определения и т.п.;

· творческие работы (реферат, доклад, сообщение, сочинение);

· изготовление геометрических фигур;

· изучение учебной литературы, конспектов;

· выполнение домашней работы;

· выполнение домашней контрольной работы, тестов;

· выполнение проекта на заданную тему (реферат, презентация, составление теста, создание сайта).

Планирование самостоятельной работы

Планирование внеаудиторной самостоятельной работы студентов начинается с Рабочей учебной программы по дисциплине, которую разрабатывает каждый преподаватель математики колледжа в соответствии с «Рекомендациями по разработке рабочих программ учебных дисциплин по специальностям среднего профессионального образования». В программе преподаватель может отразить свою работу по организации самостоятельной работы при обучении студентов по конкретной специальности. Здесь целесообразно сказать о роли и значении самостоятельной работы в подготовке будущего специалиста, прописать ее основные виды и формы организации.

В тематическом плане преподавателю необходимо распределить по разделам и темам то количество часов, которое предполагает Рабочий учебный план по специальности в образовательном учреждении. Обычно – это 50% от общего числа часов на дисциплину.

При распределении часов по разделам и темам преподаватель должен учитывать:

· количество часов по разделу/теме по тематическому плану;

· количество практических занятий по программе дисциплины;

· важность раздела/темы для изучения математики и последующей аттестации (экзамена) по дисциплине;

· роль (место) раздела/темы в подготовке специалиста.

Организация самостоятельной работы студентов колледжа требует определенного алгоритма (программы действий), который разрабатывается преподавателем. Этот алгоритм может отличаться в зависимости от профиля получаемого образования, от конкретной группы, и т.п. Предлагается общий подход по созданию такого алгоритма организации самостоятельной работы по математике.

1. Преподаватель заранее готовит инструкции (методические рекомендации) по выполнению каждой самостоятельной работы, определяет качественно-количественные критерии;

2. В начале учебного года (на первом занятии) преподаватель знакомит студентов со структурой построения всего курса дисциплины «Математика», в которую должна быть органично вписана самостоятельная работа. Каждый студент после такого занятия должен понимать, сколько самостоятельных работ ему предстоит выполнить в период изучения дисциплины, и каким образом он будет отчитываться перед преподавателем. Можно составить таблицу, по которой студенту легко будет ориентироваться по темам курса, видам самостоятельных работ, срокам выполнения.

3. Рекомендуется ведение отдельной папки для выполнения всех предусмотренных рабочей программой самостоятельных работ.

4. Любая самостоятельная работа дается на определенный срок (день, неделя, месяц). Если работа в срок не выполнена, то она оценивается меньшим количеством баллов.

5. Непосредственно перед выполнением самостоятельной работы преподавателю необходимо провести консультацию-инструктаж.

6. При подборе индивидуальных заданий важно соблюдать дифференцированный подход.

7. Важным элементом при организации самостоятельной работы является контроль по выполнению всех видов работ. Возможные формы контроля:

· проверка выполненной работы преподавателем;

· отчет-защита студента по выполненной работе перед преподавателем (и/или студентами группы);

Внеаудиторная самостоятельная работа решает следующие задачи:

- формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественно-научных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

- воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

АЛГЕБРА

- выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

- находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

- выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Функции и графики

- вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

- определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

- строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

- использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

Начала математического анализа

- находить производные элементарных функций;

- использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

- применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

- вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- для решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Уравнения и неравенства

- решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

- использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

- изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

- составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- для построения и исследования простейших математических моделей.

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

- вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

- анализа информации статистического характера.

ГЕОМЕТРИЯ

- распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

- описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

- анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

- изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

- строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

- решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

- использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

- проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

- вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать/понимать:

- значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

- значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

- универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

- вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

Структура выполнения самостоятельных работ.

Расчётная работа должна содержать:

∙ Титульный лист.

∙ Формулировки заданий с исходными данными.

∙ Расчётную часть: решения с пояснениями, результаты решения.

∙ Заключение преподавателя в соответствии с критериями оценки работ.

Расчётно-графическая работа должна содержать:

∙ Титульный лист.

∙ Формулировки заданий с исходными данными.

∙ Расчётную часть: решения с пояснениями, результаты решения.

∙ Графическую часть: планы, таблицы, чертежи, графики.

∙ Заключение преподавателя в соответствии с критериями оценки работ.

Критерии оценки выполнения обучающимися самостоятельных работ.

Оценка знаний студентов производится по пятибалльной системе.

Оценка «5» выставляется в случае полного выполнения всего объёма работы, отсутствия существенных ошибок при вычислениях и построениях чертежей, грамотного и аккуратного выполнения всех расчётов и чертежей.

Оценка «4» выставляется в случае полного выполнения всего объёма работы при наличии несущественных ошибок при вычислениях и построениях чертежей, не повлиявших на общий результат работы (ошибки при округлении чисел, неточность в построении точек, отсутствие обозначений на чертежах и т.п.).

Оценка «3» выставляется в случае в основном полного выполнения всех разделов работы при наличии ошибок, которые не оказали существенного влияния на окончательный результат, а также за работу, выполненную несвоевременно по неуважительной причине.

Оценка «2» выставляется в случае, когда допущены принципиальные ошибки в вычислениях: перепутаны формулы, чертежи не соответствуют расчётам, нарушена последовательность выполнения вычислений, работа выполнена крайне небрежно и т.п.

Выполнять пропущенные работы по уважительным и неуважительным причинам студент может на дополнительных занятиях (согласно расписанию) или дома.

Организация самостоятельной работы по дисциплине «Математика»

Наименование разделов и тем

Вид самостоятельной работы

Коли-во часов

Форма контроля

Тема 1. Развитие понятия о числе

Выполнение входной диагностики.

Выполнение домашней контрольной работы.

Решение практических задач.

Выполнение домашней работы.

Проверка работ

Проверка тетрадей

Опрос студентов

Тема 2. Корни, степени и логарифмы

Решение практических задач.

Выполнение практической работы

Выполнение домашней работы.

Изучение конспектов.

Изучение учебной литературы

Тестирование по теме

Проверка тетрадей

Проверка работы

Проверка у доски

Опрос студентов

Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве

Решение практических задач.

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работы.

Изучение конспектов.

Изучение учебной литературы

Тестирование по теме

Проверка тетрадей

Проверка работ

Проверка у доски

Опрос студентов

Тема 4. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики

Решение практических задач.

Выполнение домашней работы.

Изучение конспектов.

Проверка тетрадей

Проверка работ

Опрос студентов

Тема 5. Координаты и векторы

Решение прикладных задач.

Решение практических задач.

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работы.

Изучение конспектов.

Тестирование по теме

Проверка тетрадей

Проверка работ

Проверка у доски

Опрос студентов

Тема 6. Основы тригонометрии

Тригонометрические преобразования.

Решение практических задач.

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работы.

Изучение конспектов.

Проверка тетрадей

Проверка работ

Опрос студентов

Тема 7. Функции,

Их свойства и графики

Решение практических задач.

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работы.

Изучение учебной литературы

Проверка тетрадей

Проверка работ

Проверка у доски

Тема 8. Многогранники

Решение прикладных задач.

Решение практических задач.

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работы.

Изучение конспектов.

Изучение учебной литературы

Тестирование по теме

Проверка тетрадей

Проверка работ

Тема 9. Тела и поверхности вращения

Решение прикладных задач.

Решение практических задач.

Изучение конспектов.

Проверка тетрадей

Проверка работ

Опрос студентов

Тема 10. Начала математического анализа

Решение практических задач.

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работы.

Изучение конспектов.

Изучение учебной литературы

Решение прикладных задач

Проверка тетрадей

Проверка работ

Опрос студентов

Тема 11. Измерения в геометрии

Решение практических задач.

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работы.

Изучение учебной литературы

Проверка тетрадей

Проверка работ

Опрос студентов

Тема 12.

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работ

Изучение учебной литературы

Решение прикладных задач

Проверка работ

Опрос студентов

Тема 13.

Уравнения и неравенства

Решение содержательных задач из различных областей науки и практики.

Решение практических задач.

Выполнение практической работы.

Выполнение домашней работы.

Изучение конспектов.

Изучение учебной литературы

Тестирование по теме

Решение прикладных задач

Проверка тетрадей

Проверка работ

Опрос студентов

ИТОГО

114

Информационное обеспечение обучения

Основные источники

для преподавателя:

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2005.- 495 с.

2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2. – М.: Высшая школа, 2007.- 304 с.

3. Ерусалимский Я. М. Дискретная математика. – М.: Вузовская книга, 2006.-280 с.

4. Калинина В. Н., Панкин В. Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2008.-336 с.

для студентов:

1. Натансон И. П. Краткий курс вышей математики. – С-Пб.: Лань, 2009.-736 с.

2. Щипачев В. С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2007.- 479 с.

Дополнительные источники

для преподавателя:

1. Афанасьева О. Н., Бродский Я. С., Павлов А. Л. Математика для техникумов. – М.: Наука, 2005. -464 с.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука, 2005.-496 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Росткнига, 2007.-872 с.

4. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая школа, 2005- 495 с.

для студентов:

1. Бутузов В.Ф, Крутицкая Н.И. Математичесий анализ в вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2008.- 480 с.

2. Пехлецкий И. Д. Математика. – М.: Мастерство, 2010.-304 с.

3. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2007.-304 с.

Интернет-ресурсы:

1. Газета «Математика» Издательского дома «Первое сентября»

http://mat.1september.ru

2. Математика в Открытом колледже

http://www.mathematics.ru

3. Math.ru: Математика и образование

http://www.math.ru

4. Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО)

http://www.mccme.ru

5. Allmath.ru — вся математика в одном месте

http://www.allmath.ru

6. EqWorld: Мир математических уравнений

http://eqworld.ipmnet.ru

7. Exponenta.ru: образовательный математический сайт

http://www.exponenta.ru

8. Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет-школа

http://www.bymath.net

9. Геометрический портал

http://www.neive.by.ru

10. Графики функций

http://graphfunk.narod.ru

11. Дидактические материалы по информатике и математике

http://comp-science.narod.ru

12. Дискретная математика: алгоритмы (проект Computer Algorithm Tutor)

http://rain.ifmo.ru/cat/

13. ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию

http://www.uztest.ru

14. Задачи по геометрии: информационно-поисковая система

http://zadachi.mccme.ru

15. Задачник для подготовки к олимпиадам по математике

http://tasks.ceemat.ru

16. Занимательная математика — школьникам (олимпиады, игры, конкурсы по математике)

http://www.math-on-line.com

17. Интернет-проект «Задачи»

http://www.problems.ru

18. Математические этюды

http://www.etudes.ru

19. Математика on-line: справочная информация в помощь студенту

http://www.mathem.h1.ru

20. Математика в помощь школьнику и студенту (тесты по математике online)

http://www.mathtest.ru

21. Математика для поступающих в вузы

http://www.matematika.agava.ru

22. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

http://school.msu.ru

23. Математика и программирование

http://www.mathprog.narod.ru

24. Математические олимпиады и олимпиадные задачи

http://www.zaba.ru

25. Международный математический конкурс «Кенгуру»

http://www.kenguru.sp.ru

26. Методика преподавания математики

http://methmath.chat.ru

27. Московская математическая олимпиада школьников

http://olympiads.mccme.ru/mmo/

28. Решебник.Ru: Высшая математика и эконометрика — задачи, решения

http://www.reshebnik.ru

29. Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина

http://www.mathnet.spb.ru

Рекомендации для решения задач по теме 1. Развитие понятия о числе

Понятие «число», «уравнение», «функция» являются основными понятиями школьного курса математики. Поскольку уравнения, функции рассматриваются на множестве чисел, то понятие числа – основное математическое понятие математики, алгебры, алгебры и начал анализа.

Многогранное исследование числовых множеств, их свойств с 1 по 11 класс изучения математики в теории и методике обучения математике оформлено в виде отдельной содержательно-методической линии – линии развития числа.

Основные числовые множества изучаемые в математике общеобразовательной школы:

- ? – множество натуральных чисел.

- Z – множество целых чисел.

- Q – множество рациональных чисел.

- R – множество действительных чисел.

В углубленном изучении математики:

- C– множество комплексных чисел.

Формулы для преобразования степеней

Практически всегда, решая математическую задачу, необходимо преобразовывать степени различных выражений, например, перемножение многочленов, нахождение нулей уравнений (нелинейных), преобразование тригонометрических выражений и т.д. В этом разделе описаны основные правила работы со степенями. Приведенные ниже формулы являются достаточно простыми и изучаются в школе ( , класс).

Рассмотрим произвольное вещественное число .

1. Возведение числа в натуральную степень.

По определению, чтобы возвести число в натуральную степень необходимо раз умножить число само на себя, т.е.

$\displaystyle a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \mbox{раз}}.$

2. Возведение не нулевого числа в отрицательную степень, равную (-1).

По определению, чтобы возвести не нулевое число в отрицательную степень нужно найти такое число, обозначим его через $a^{-1}$ , чтобы выполнялось равенство:

$\displaystyle a^{-1}a=aa^{-1}=1.$

Найденное число $a^{-1}$ называется обратным к . Записи $a^{-1}$ и $\dfrac{1}{a}$ эквивалентны, т.е. обратное к не нулевому числу обозначается через $\dfrac{1}{a}$ .

3. Возведение не нулевого числа в отрицательную степень, равную (-n).

Допустим, что степень отрицательная, т.е. , где $n\in \mathbb{N}$ , то это означает, что

$\displaystyle a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n= \underbrace{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{a}\cdot\ldots\cdot\dfrac{1}{a}}_{n\ \mbox{раз}}= \dfrac{1}{a^n}.$

Здесь есть возможность делать двумя способами: найти обратное число к и возвести его в -ую степень и получить ответ, или возвести число в -ую степень и потом найти к полученному числу обратное, это и будет ответ.

4. Формулы работы со степенями.

Хорошо известны следующие формулы работы со степенями (приводим без доказательства)

$\displaystyle a^na^m=a^{n+m},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z};$

$\displaystyle (a^n)^m=a^{nm},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z};$

$\displaystyle a^nb^n=(ab)^{n},\ a,b\in \mathbb{R},\ n\in \mathbb{Z}.$

5. Корень из неотрицательного числа.

По определению корнем степени из числа называется такое число , -ая степень которого равна .

Корень -ой степени из числа обозначается как

$\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}.$

Получаем, что $b = \sqrt[n]{a}$ такое, что .

6. Возведение в рациональную степень.

Рассмотрим случай, когда степень является рациональным числом, т.е. $\dfrac{m}{n}$ . Учтем предыдущие рассуждения, получим:

$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=(a^\frac{1}{n})^m,$

здесь $a^\frac{1}{n}$ -- -ый корень из , который определяется следующим образом: необходимо найти такое число , что .

7. Выпишем основные формулы:

1. $a^0=1,\ a\ne 0$ ;

2. ;

3. $a^{-1}=\dfrac{1}{a},\ a\ne 0$ ;

4. $a^na^m=a^{n+m},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z}$ ;

5. $(a^n)^m=a^{nm},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z}$ ;

6. $a^nb^n=(ab)^{n},\ a,b\in \mathbb{R},\ n\in \mathbb{Z}$ .

8. Формулы сокращенного умножения

1. Квадрат суммы:

2. Квадрат разности:

3. Разность квадратов:

4. Сумма кубов:

5. Разность кубов:

Примеры с решениями:

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 1.Развитие понятия о числе

Вариант 1

I уровень. В заданиях 1–5 укажите букву верного ответа.

1. Решите неравенство .

А. х<–3 Б. х>2,5 B. –3<x<2,5 Г. x<–3, x>2,5

2. Разложите на множители квадратный трехчлен

А. (х+5)(х–3) Б. (х–5)(х+3) В. (х+3)(х+5) Г. (х–5)(х–3)

3. Упростите выражение

А. Б. В. Г.

4. Решите систему уравнений

А. (2;5); Б. (–2;–5); В. (2;5) и (–2,5;–4); Г. (–2;–5) и (2,5;4).

5. Укажите график функции .

msotw9_temp0

II уровень

6. Оцените значение выражения 2–3х, если 4£х£6.

7. Дана арифметическая прогрессия –3,5; –2; … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного 59,5.

8. Докажите, что .

III уровень

9. Найдите область определения функции

10. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 45, а сумма второго и третьего ее членов на 15 меньше. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Вариант 2

I уровень. В заданиях 1–5 укажите букву верного ответа.

1. Решите неравенство

А. х>4 Б. х<–0,5 B. –0,5<x<4 Г. x<–0,5, x>4

2. Разложите на множители квадратный трехчлен

А. (х+3)(х+7) Б. (х–7)(х+3) В. (х+7)(х–3) Г. (х–7)(х–3).

3. Упростите выражение

А. 2х(х+4) Б. –2х²–8х. В. Г. 2х²–8х

4. Решите систему уравнений

А. Б. В. Г.

5. Укажите график функции y=ax²+bx+c, у которого а<0, c>0.

msotw9_temp0

А. Б. В. Г.

II уровень

6. Оцените значение выражения 5–2х, если –3£х£2.

7. Сколько членов арифметической прогрессии –12, –8, … меньше числа 48?

8. Докажите, что .

III уровень

9. Найдите область определения функции

10. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии на 35 больше суммы второго и третьего ее членов, равной 105. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Рекомендации для решения задач по теме 2.

Корни, степени и логарифмы

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a, где а>0, а$ $1$ называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

Понятие логарифма числа вводится при решении показательных уравнений, например, решим уравнение

, в котором необходимо найти показатель х, представим правую часть уравнения в виде двух в четвертой степени

. В этом уравнении удалось левую и правую части представить в виде степени с одинаковым основанием 2. Ответ такого уравнения

. Но уравнение

таким способом решить не удается. А корень все-таки есть. Этот корень называют логарифмом числа b по основанию а и обозначают log_аb. Например, корнем уравнения

является число 4, т.е log₂16=4.

Из определения следует, что записи log_аb=х. и а^х=b равносильны.

Например, log₂8=3, потому что при возведении основания 2 в степень 3 получается 8: 2³=8, действительно 222=2³=8. Значит в результате вычисления логарифма 8 по основанию 2 получается показатель степени двойки, при возведении в которую получаем восемь.

Определение логарифма можно кратко записать так: . Это равенство справедливо при b>0, a>0, а1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

Для вычислений значений логарифмов полезно использовать значения степени следующих чисел:

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1024

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125

5⁴ = 625

6¹ = 6

6² = 36

6³ = 216

7¹ = 7

7² = 49

7³ = 343

8¹ = 8

8² = 64

8³ = 512

9¹ = 9

9² = 81

9³ = 729

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000 и т.д.

Также необходимо помнить правила возведения чисел в степень с отрицательным, дробным и нулевым показателем: а⁰=1; ;

Пример 1. , т.к. 3³=27

Пример 2. , т.к. 3⁰=1

Пример 3. , т.к. 2^-1=

Пример 4. Вычислить

Пусть. По определению логарифма 32^t=64. Это простейшее показательное уравнение. 32=2⁵, 64=2⁶, поэтому (2⁵)^t=2⁶; 2⁵^t=2⁶ ; 5t=6, t=

Ответ:

Пример 5. Вычислить

Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

Пример 6.

Для некоторых логарифмов имеются специальные обозначения: десятичный log₁₀х=lgx, натуральный log_ех=lnx.

Пример 7. lg1000=3 , т.к. 10³=3

Пример 8. lg0,01=-2 , т.к. 10^-2==0,01

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 2.

Корни, степени и логарифмы

Вычислить:

8. Зная, что , найти

9. Прологарифмировать выражение по основанию 10.

10. Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):

Прологарифмировать выражение:

1.по основанию 2	6. по основанию 4
2. по основанию 3	7. по основанию 2
3. по основанию 5	8. по основанию 8
4. по основанию 3	9. по основанию 9
5. по основанию 6	10. по основанию 10

Рекомендации для решения задач по теме 3. Прямые и плоскости в пространстве

Аксиомы стереометрии.

Аксиома 1.1.

Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома 1.2.

Если две разные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку.

Аксиома 1.3.

Если две разные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом единственную.

Аксиома 1.4.

Для произвольной плоскости выполняются аксиомы планиметрии.

Чертеж 1.1.1.

На чертеже 1.1.1 показаны два общепринятых изображения плоскости. Обозначаются плоскости маленькими греческими буквами: α, β, γ, ... Если прямая a лежит в плоскости α, то пишут a α. Если плоскости α, β пересекаются по прямой l, то пишут α β = l.

1.2. Первые следствия из аксиом стереометрии

Теорема 1.1.

Через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство

Чертеж 1.2.1.

Пусть B a (чертеж 1.2.1). На прямой a выберем произвольную точку A. Проведем прямую b через точки A и B; a ≠ b, так как B a. По аксиоме 1.3 через прямые a и b можно провести плоскость α. Ясно, что a α и B α. Докажем от противного, что такая плоскость единственна. Пусть существует плоскость β такая, что a β, B β и β ≠ α. Плоскости α и β имеют общую прямую a. Поскольку эти плоскости разные, то все их точки пересечения по аксиоме 1.2 лежат на прямой a. Мы пришли к противоречию, так как точка B, общая для плоскостей α и β, не принадлежит прямой a.

Теорема 1.2.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Доказательство

Чертеж 1.2.2.

Пусть точки A и B прямой a лежат в плоскости α (чертеж 1.2.2). Возьмем точку C a. По теореме 1.1 через прямую a и точку C можно провести плоскость β. Если β = α, то a α и теорема доказана. Если β ≠ α, то по аксиоме 1.2 плоскости β и α имеют общую прямую b. Прямые a и b, лежащие в одной плоскости, совпадают, так как имеют две общие точки: A и B. Следовательно, a α.

Теорема 1.3.

Плоскость и прямая вне ее либо не имеют общих точек, либо имеют единственную общую точку.

Теорема 1.4.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Параллельность в пространстве

2.1. Параллельность прямых

Определение 2.1.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b. В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.

Определение 2.2.

Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися.

Теорема 2.1.

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Замечание. Согласно определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Легко заметить, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Теорема 2.2. Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Лемма 2.1.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Чертеж 2.1.3.

Пусть a || b и a α = A (чертеж 2.1.3). Параллельные прямые a и b определяют некоторую плоскость β. Плоскости α и β имеют общую точку A, а, следовательно, имеют и общую прямую c, проходящую через точку A по аксиоме 1.2. Через точку A можно провести только одну прямую a, параллельную b. Следовательно, c не параллельна b. Прямые b и c не параллельны и лежат в одной плоскости β, следовательно, пересекаются в некоторой точке B. Прямая b имеет с плоскостью α общую точку B и не лежит в плоскости α (иначе по теореме 2.2 a и b были бы скрещивающимися). Следовательно, прямая b пересекает плоскость α. Лемма доказана.

Теорема 2.3. Транзитивность параллельности.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Другими словами, если a || c и b || c, то a || b.

Доказательство

Чертеж 2.1.4.

Пусть a || c и b || c (чертеж 2.1.4). Заметим, что прямые a и b по теореме 2.1 не могут пересекаться, то есть если бы у них была одна точка, то через эту точку можно было бы провести единственную прямую, параллельную прямой c, то есть они бы совпадали. Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Пусть A a. Проведем плоскость γ через прямую b и точку A и докажем, что a γ. Если a пересекает плоскость γ, то по лемме 2.1 c пересекает плоскость γ, и b пересекает плоскость γ. Мы пришли к противоречию, так как b γ. Итак, a γ, b γ и a и b не имеют общих точек, следовательно a || b.

2.2. Параллельность прямой и плоскости

Определение 2.3.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α.

Теорема 2.4. Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости.

Теорема 2.5. Теорема о следе.

Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a.

Определение 2.4.

Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

2.3. Параллельность двух плоскостей

Определение 2.5.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема 2.6. Признак параллельности плоскостей.

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Доказательство

Чертеж 2.3.1.

Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c. Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a. Аналогично получаем, что c || b, тогда a || b. Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.

Теорема 2.7.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на этих плоскостях параллельные следы.

Чертеж 2.3.2.

Доказательство

Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α γ = a, β γ = b. Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a || b.

Теорема 2.8.

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 2.9.

Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны.

Теорема 2.10.

Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Доказательство

Чертеж 2.3.4.

На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B₁A₁C₁, причем AB || A₁B₁ и AC || A₁C₁. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскости B₁A₁C₁.

Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁. Проведем прямые AA₁, BB₁, CC₁. Четырехугольник ABB₁A₁ – параллелограмм, так как AB = A₁B₁ и AB || A₁B₁, следовательно, AA₁ = BB₁ и AA₁ || BB₁. Аналогично докажем, что AA₁ = CC₁. Отсюда следует, что BB₁ = CC₁ и BB₁ || CC₁, следовательно, CBB₁C₁ – параллелограмм и CB = C₁B₁. Теперь утверждаем, что Δ ABC = Δ A₁B₁C₁, откуда BAC = B₁A₁C₁.

2.4. Основы теории изображения фигур на плоскости

В основе изображения фигур на плоскости лежит параллельное проектирование.

Чертеж 2.4.1.

Пусть дана плоскость α и прямая a, пересекающая плоскость α (чертеж 2.4.1). Построим проекцию точки A на плоскость α. Для этого проведем через точку A прямую b || α, b α = A'. Точка A' называется параллельной проекцией точки A на плоскость α (обозначение: A' = Пр_αA). Плоскость α называют плоскостью проекций. Множество проекций всех точек фигуры Ф на плоскость α называется проекцией фигуры Ф на плоскость α. Если Ф' – проекция фигуры Ф на плоскость α, пишут Ф' = Пр_αФ.

Рассмотрим правила параллельного проектирования. Пусть прямые, которые проектируются, не параллельны направлению проектирования. Тогда для этих прямых и лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1. Проекцией прямой является прямая, проекцией отрезка – отрезок.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин этих отрезков.

Построение изображений фигур основывается на следующих правилах.

1. Изображение треугольника. Произвольный треугольник можно параллельно спроектировать так, что его проекцией будет треугольник, подобный любому треугольнику. Следовательно, параллельной проекцией треугольника может быть произвольный (по форме) треугольник. Согласно свойству 3 проекцией медианы является медиана.

2. Изображение параллелограмма. По свойству 2 проекцией параллелограмма является параллелограмм или отрезок.

3. Изображение трапеции. Согласно свойству 2 проекцией трапеции является трапеция (или отрезок), у которой отношение оснований такое же, как у оригинала.

Чертеж 2.4.2.

4. Изображение параллелепипеда. Все грани параллелепипеда – параллелограммы, поэтому и на изображении параллелепипеда (чертеж 2.4.2) все грани – параллелограммы (или отрезки).

Чертеж 2.4.3.

5. Изображение призмы. На изображении призмы (чертеж 2.4.3), как и на оригинале, все боковые грани – параллелограммы (или отрезки).

Чертеж 2.4.4.

6. Изображение пирамиды. Изображением треугольной пирамиды является произвольный четырехугольник (чертеж 2.4.4) (или треугольник). На чертеже 2.4.5 и 2.4.6 изображены правильные треугольная и четырехугольная пирамиды.

Чертеж 2.4.5.

Чертеж 2.4.6.

Отдельный вид проектирования, когда a α, называется ортогональным проектированием.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

3.1. Угол между двумя скрещивающимися прямыми

С появлением в стереометрии скрещивающихся прямых возникает вопрос: как определить угол между двумя скрещивающимися прямыми?

Чертеж 3.1.1.

Пусть прямые a и b скрещивающиеся (чертеж 3.1.1). Выберем на прямой a произвольную точку A. Проведем через нее прямую b' || b. Угол между прямыми a и b' по теореме 2.10 равен углу между скрещивающимися прямыми a и b. Ясно, что величина этого угла не зависит от выбора точки A. Действительно, выберем на прямой a точку A₁ ≠ A и проведем через нее прямую b₁' || b. Поскольку b' || b и b₁' || b, то b₁' || b'. Прямые b' и b₁' образуют с прямой a одинаковые углы.

Определение 3.1.

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

Чертеж 3.1.2.

Определение 3.2.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол. На чертеже 3.1.2 изображен куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Скрещивающиеся прямые A₁D₁ и CD перпендикулярны. Действительно, A₁D₁ C₁D₁, а C₁D₁ || CD.

Назовем еще несколько пар скрещивающихся перпендикулярных прямых: A₁D₁ и AB, A₁B₁ и BC, A₁B₁ и AD, B₁C₁ и AB.

3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение 3.3.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Теорема 3.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.

Теорема 3.2.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Чертеж 3.2.2.

Теорема 3.3.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Теорема 3.4.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 3.5.

Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Чертеж 3.2.3.

Докажите эти теоремы самостоятельно, используя такое свойство: если векторы коллинеарные и то

Определение 3.4.

Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.

Чертеж 3.2.4.

Пусть AO – перпендикуляр к плоскости α (чертеж 3.2.4), O – основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра AO называется расстоянием от точки A до плоскости α. Отрезок, соединяющий точку A с любой точкой плоскости, отличной от O, называется наклонной (AB – наклонная, B – основание наклонной, BO – проекция наклонной на плоскость α, то есть BO = Пр_αAB).

Теорема 3.6.

Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то

длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
наклонные с равными проекциями равны;
из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.

Теорема 3.7. О трех перпендикулярах.

Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.

Доказательство

Чертеж 3.2.5.

Необходимость. Пусть b α и b AB (чертеж 3.2.5). Поскольку b AO, так как AO α, то b AOB по признаку взаимной перпендикулярности прямой и плоскости; следовательно, b OB.

Достаточность. Пусть b α и b OB. Учитывая, что b AO, имеем b перпендикулярна плоскости AOB; следовательно, b AB

Перпендикулярность двух плоскостей

Чертеж 3.3.1.

Определение 3.5.

Пусть прямая a является линией пересечения плоскостей α и β (чертеж 3.3.1). Пусть плоскость γ, перпендикулярная прямой a, пересекает плоскости α и β по прямым m и n, которые взаимно перпендикулярны, то есть γ α = m, γ β = n и m n. Такие плоскости α и β называются взаимно перпендикулярными.

Это определение не зависит от плоскости γ. Действительно, если провести другую плоскость δ, перпендикулярную прямой a, то δ || γ.

Пусть δ α = m', δ β = n'. По теореме о следах m' || m и n' || n. Угол, образованный прямыми m' и n', и угол, образованный прямыми m и n, равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.

Теорема 3.8. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Пусть a α, a β, тогда β α. То есть, если плоскость β содержит прямую a, перпендикулярную плоскости α, то плоскости α и β перпендикулярны.

Теорема 3.9.

Пусть α β, α β = a, b a, b β, тогда b α. То есть прямая b, лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей β и перпендикулярная линии пересечения a этих плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости α.

Доказательство

Чертеж 3.3.3.

Пусть b a = A (чертеж 3.3.3), a = α β и β α. В плоскости α проведем прямую c через точку A перпендикулярно прямой a. Проведем плоскость γ через прямые b и c. Имеем γ a по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Поскольку α β, то b c, следовательно, b a и b c, откуда следует, что b α.

Теорема 3.10.

Если плоскости α и β взаимно перпендикулярны, и к плоскости α проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с плоскостью β, то этот перпендикуляр лежит в плоскости β.

Теорема 3.11.

Пусть плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересекаются по прямой a, тогда a γ.

Доказательство

Чертеж 3.3.4.

На прямой a выберем произвольную точку A (чертеж 3.3.4). Проведем через точку A перпендикуляр к плоскости γ. По теореме 3.9 этот перпендикуляр лежит в каждой из плоскостей α, β, следовательно, он лежит на линии их пересечения.

Угол между наклонной и плоскостью

Определение 3.7.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.

Чертеж 3.5.1.

На чертеже 3.5.1 показана наклонная AB, OB = Пр_αAB, ABO – угол между наклонной AB и плоскостью α. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними по определению равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90°. Если β – угол между прямой и плоскостью, то 0° < β < 90°. Проведем в плоскости α произвольную прямую b через точку B так, чтобы OC b. Пусть ABO = β, OBC = γ, ABC = φ. Рассматривая прямоугольные треугольники ABO, OBC, ACB, имеем

Заметим, что или

cos φ = cos β cos γ.

Мы получили формулу трех косинусов. Обратите внимание на то, что плоскости углов β и γ взаимно перпендикулярны.

Замечание. Поскольку углы φ, β и γ острые, из формулы трех косинусов следует, что cos β > cos φ и 0° < β < φ.

Таким образом, углом β между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость является наименьший из углов, образованных наклонной с прямыми плоскости α.

Двугранный угол

Определение 3.8.

Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Чертеж 3.6.1.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями (чертеж 3.6.1). Общая прямая этих граней называется ребром двугранного угла. Пусть точки A и B взяты на ребре двугранного угла. Двугранный угол обозначается двумя буквами: угол AB. Иногда двугранный угол обозначается четырьмя буквами, из которых две средних обозначают точки ребра, а две крайние – точки, взятые на гранях. Пусть M α, N β (чертеж 3.6.1), тогда двугранный угол обозначается так: угол MABN. Выберем на ребре AP двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α перпендикулярно ребру AP (чертеж 3.6.2). Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b, которые образуют некоторый угол величиной φ. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Легко доказать, что величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре AP. Возьмем на ребре AP точку D, отличную от C, и проведем через нее плоскость β || α. Пусть плоскость β пересекает грани двугранного угла по лучам a₁ и b₁. Согласно теореме о следе a₁ || a, b₁ || b, поэтому полученные в сечении углы равны. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла. Если φ – величина двугранного угла, то 0° < φ < 180°.

Чертеж 3.6.2.

Определение 3.9.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между этими плоскостями.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0° < φ < 90°.

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 3. Прямые и плоскости в пространстве

1) Верно ли, что две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны?

2) Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости?

3) Даны прямые и , и плоскость . Определите угол между данными прямыми, если ||.

4) - прямая, перпендикулярная к плоскости равностороннего треугольника . Назовите отрезок, равный отрезку .

5) Прямая лежит в плоскости . Вставьте вместо пропуска обозначение , или так, чтобы данное утверждение было верным: «Если прямая, отличная от , перпендикулярна к . . . , то она параллельна прямой ».

6) Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости?

7) Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости?

8) Даны прямые , и , и плоскость . Укажите среди данных прямых прямую, перпендикулярную к двум другим, если ||, лежит в плоскости .

9) Точка О – центр окружности, описанной около треугольника . - прямая, перпендикулярная к плоскости . Назовите отрезки, равные отрезку .

10) Прямая лежит в плоскости . Вставьте вместо пропусков обозначения , или так, чтобы данное утверждение было верным: «Если прямая перпендикулярна к . . . , то она перпендикулярна к . . . и параллельна . . . «.

11) Верно ли, что любая из трёх взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых?

12) Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой?

13) Даны прямые , , , и плоскость . Укажите среди данных прямых параллельные, если и лежат в , .

14) Точка D – середина гипотенузы прямоугольного треугольника . - прямая, перпендикулярная к плоскости . Назовите отрезки, равные отрезку .

15) Для прямых и , и плоскости даны три утверждения: 1) ; 2) лежит в ;

3) . Определите, какое из этих утверждений является следствием двух других.

16) Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведённой из той же точки?

17) Может ли угол между прямой и плоскостью быть тупым?

18) - перпендикуляр к плоскости треугольника . Определите вид треугольника , если .

19) - перпендикуляр к плоскости прямоугольника . Назовите отрезок, изображающий расстояние от точки до прямой .

20) Через сторону треугольника проведена плоскость . - перпендикуляр к плоскости . Назовите угол между прямой и плоскостью .

21) Верно ли, что расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию от любой прямой одной плоскости до другой плоскости?

22) Могут ли две прямые, образующие с данной плоскостью неравные углы, быть параллельными?

23) - перпендикуляр к плоскости треугольника . Назовите наибольшую сторону треугольника, если .

24) Точка - точка пересечения диагоналей ромба . - перпендикуляр к плоскости ромба. Назовите отрезок, изображающий расстояние от точки до прямой .

25) Через сторону прямоугольника проведена плоскость . - перпендикуляр к плоскости . Назовите угол между прямой и плоскостью .

26) Верно ли, что отрезок, изображающий расстояние между скрещивающимися прямыми, является перпендикуляром к каждой из них?

27) Может ли прямая пересекать параллельные плоскости под разными углами?

28) - перпендикуляр к плоскости параллелограмма . Определите вид параллелограмма, если .

29) В окружности диаметр проходит через середину хорды , не являющейся диаметром. - перпендикуляр к плоскости окружности. Назовите отрезок, изображающий расстояние от точки до прямой .

30) Через катет прямоугольного треугольника с гипотенузой проведена плоскость , причём . Назовите угол между прямой и плоскостью .

Рекомендации для решения задач по теме 4. Элементы комбинаторики

Пусть задано множество, содержащее конечное число элементов. (Студенты в группе, яблоки в корзине, набор костей домино и т.д.) Такие множества будем называть конечными и обозначать {a,b,c,d}. Если каждому элементу конечного множества поставлены в соответствие натуральные числа, то такое упорядоченное множество называется перестановкой и обозначается (a,b,c,d). Сколько перестановок можно составить из n-элементного множества? Из трехэлементного 6: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).

Число перестановок из n-элементного множества вычисляется по формуле: Р_n = n!, где n! - произведение n(n - 1)(n - 2)(n - 3)…3*2*1. Полезна рекуррентная формула P_n = nP_n_-1. Прост и комбинаторный смысл числа перестановок: сколькими способами можно упорядочить конечное n-элементоное множество.

Размещением из n по k называется упорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. По смыслу определения ясно, что k n. Число размещений из n по k обозначается . Очевидно, что = Р_n = n!, = n, =n*(n – 1), =n*(n –1)*(n–2 ) =n*(n – 1)*(n – 2)*(n – 3) и т.д. - это произведение k старших сомножителя натурального числа n, т. е.= n*(n – 1)*(n – 2)*…*(n – k + 1) (*). Помножая и деля это выражение на (n – k)! можно получить еще формулу:

= n(n –1)(n – 2)(n –3)…3*2*1, т.е. k старших сомножителя числа n.

Сочетанием из n по k называется неупорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. По смыслу определения ясно, что k n. Число сочетаний из n по k обозначается . Очевидно, что неупорядоченных подмножеств n-элементного множества в k! меньше чем упорядоченных подмножеств, т.е. = (*)

Помножая и деля это выражение на (n – k)! можно получить еще формулу:

;

На практике, для вычисления используют формулу (*)

В приложении №1 приведены значения , так называемый треугольник Паскаля.

Некоторые важные свойства числа сочетаний, которые необходимо применять при решении различных задач:

1) = = 1; 2) = n; 3) = - эту формулу удобно применять при k > n/2

4) + + + + … + = 2ⁿ; 5) + = - рекуррентная формула.

Размещение с повторениями из n элементов по k элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем, т.е. каждое размещение с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющих элементов.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Сочетание с повторениями из n элементов по k (k) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем, т.е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющих элементов. Следует отметить, что если, например два соединения по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

; Замечание: k может быть и больше n.

Пусть имеется n + k + s предметов. Сколькими способами можно разделить эти предметы на три группы так, чтобы в одной группе было n предметов, в другой k предметов, в третьей s предметов? Это задача на перестановки с повторениями. Число перестановок с повторениями находится по формуле:

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 4. Элементы комбинаторики

Теоретические задания по теме «Комбинаторика»

Вариант 1

1. Факториал это….

2. Факториал обозначается…

3. Перестановки это…

4. Число перестановок обозначается….

5. Число перестановок находят по формуле…

6. Размещения это….

7. Число размещений обозначается….

8. Число размещений находят по формуле….

9. Сочетания это…

10. Число сочетаний обозначают….

11. Число сочетаний находят по формуле….

12. Бином Ньютона это….

13. Записать формулу полной вероятности…

14. Вероятность суммы событий, образующих полную группу равна…

15. Как обозначается функция Лапласа…

16. Что в формуле Бернулли обозначают буквой q….

17. Полная группа событий это…

18. По какой формуле находят вероятность попадания числа наступления случайного события в заданный интервал….

19. Что такое схема повторных испытаний…

Вариант № 2

1. Случайное событие это…

2. Классическое определение вероятности…

3. Статистическое определение вероятности…

4. Геометрическое определение вероятности…

5. Достоверное событие это…

6. Невозможное событие это…

7. Противоположные события это….

8. Вероятность достоверного события равна…

9. Вероятность невозможного события равна….

10. Вероятность случайного события это число, которое…

11. Случайные события обозначают…

12. Вероятность обозначают….

13. Событие противоположное событию А обозначают….

14. Привести пример случайного события…..

15. Привести пример невозможного события…

16. Привести пример достоверного события…

17. Привести пример противоположных событий….

18. Когда вероятность сложного события находят с помощью сложения…

19. Когда вероятность сложного события находят с помощью умножения….

Вариант № 3

1. Математическая статистика это….

2. Выборка это….

3. Перестановки это….

4. События это….

5. Сочетания это….

6. Факториал это….

7. Привести пример невозможного события.…

8. Как обозначается функция Лапласа …

9. Вероятность обозначают …

10. Привести пример достоверного события…

11. Когда вероятность сложного события находят с помощью умножения….

12. Классическое определение вероятности…

13. Что в формуле Бернулли обозначают буквой q….

14. Записать формулу Бернулли….

15. Среднее арифметическое находят по формуле….

16. По какой формуле находят наивероятнейшее число наступления события…

17. Факториал обозначается…

18. Когда вероятность сложного события находят с помощью умножения….

19. Число размещений находят по формуле….

1.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.

2.В случай ном эксперементе симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет только один раз.

3.В ящике 15 синих шаров и 3 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет синим?

4.Сколькими способами можно рассадить за столом 6 человек?

5.В учебном плане 11 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 5 предмета. Сколькими способами это можно сделать?

6. В коробке 17 конфет, из них 8 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 10 конфет. Какова вероятность того, что 5 из них будут с клубничной начинкой?

7.Решите уравнение:

8.В ящике 15 синих шаров и 3 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет синим?

9.Из букв слова «последовательность» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а)гласная; б)согласная; в)буква «к»?

10.Натуральнве числа от 1 до 90 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 10?

11.Сколькими способами можно рассадить за столом 7 человек?

12.В учебном плане 10 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?

13.В коробке 25 конфет, из них 9 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 15 конфет. Какова вероятность того, что 5 из них будут с клубничной начинкой?

14. Решите уравнение:

Вариант 1.

1.Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что в сумме выпало не менее 8 очков. Ответ округлите до сотых.

2.Бросили два кубика. В сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что на кубиках выпало одинаковое число очков?

3.В ящике 8 красных шаров и 2 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?

4.Из букв слова «дифференциал» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а)гласная; б)согласная; в)буква «к»?

5.Натуральные числа от 1 до 30 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 4?

6. В коробке 20 конфет, из них 8 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 10 конфет. Какова вероятность того, что 6 из них будут с клубничной начинкой?

7. Решите уравнение:

Вариант 2.

1.В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

2.Таня включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по восемнадцати каналам из сорока восьми показывают рекламу.

Найдите вероятность того, что Таня попадет на канал, где не идёт реклама

3.В ящике 10 красных шаров и 4 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?

2.Из букв слова «интеграл» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а)гласная; б)согласная; в)буква «и»?

3.Натуральнве числа от 1 до 40 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 5?

6. В коробке 20 конфет, из них 6 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 8 конфет. Какова вероятность того, что 5 из них будут с клубничной начинкой?

7. Решите уравнение:

Вариант 3.

1.Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 4 участника из России, в том числе Александр Ефимов. Найдите вероятность того, что в первом туре Александр Ефимов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

2.Бросили две игральных кости (два кубика).

Какова вероятность того, что в сумме выпало 7 очков. Ответ округлите до сотых.

3.В ящике 8 красных шаров и 4 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?

4.Из букв слова «производная» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а)гласная; б)согласная; в)буква «к»?

5.Натуральнве числа от 1 до 50 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 6?

6. В коробке 25 конфет, из них 10 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 12 конфет. Какова вероятность того, что 6 из них будут с клубничной начинкой?

7. Решите уравнение:

Вариант 4.

1.В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по ботанике.

2.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

3.В ящике 12 красных шаров и 4 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?

4.Сколькими способами можно составить башню из 6 кубиков? (кубики ставят в 1 столбик)

5.В учебном плане 10 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 5 предметов. Сколькими способами это можно сделать?

6. В коробке 22 конфеты, из них 10 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 9 конфет. Какова вероятность того, что 4 из них будут с клубничной начинкой?

7. Решите уравнение:

Вариант 5.

1. Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что в сумме выпало 7 очков. Ответ округлите до сотых.

2.Таня включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по восемнадцати каналам из сорока восьми показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Таня попадет на канал, где не идёт реклама.

3.В ящике 7 синих шаров и 5 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?

4.Сколькими способами можно составить башню из 7 кубиков? (кубики ставят в 1 столбик)

5.В учебном плане 12 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 5 предмета. Сколькими способами это можно сделать?

6. В коробке 18 конфет, из них 8 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 9 конфет. Какова вероятность того, что 3 из них будут с клубничной начинкой?

7. Решите уравнение:

Вариант 6.

1. Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что произведение выпавших очков будет чётно. Ответ округлите до сотых.

2.В ящике 9 синих шаров и 3 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?

3.Сколькими способами можно рассадить за столом 3 человек?

4.В учебном плане 14 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?

5. В коробке 16 конфет, из них 6 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 10 конфет. Какова вероятность того, что 2 из них будут с клубничной начинкой?

6.В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

7.Решите уравнение:

Вариант 7.

2.Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 4 участника из России, в том числе Александр Ефимов. Найдите вероятность того, что в первом туре Александр Ефимов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

3.В ящике 10 синих шаров и 4 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар?

4.Натуральнве числа от 1 до 70 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 6?

5.Сколькими способами можно рассадить за столом 4 человек?

6.В учебном плане 15 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?

7. Решите уравнение:

Вариант 8.

1.Бросили два кубика. В сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что на кубиках выпало одинаковое число очков?

2.В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по ботанике.

3.В ящике 9 синих шаров и 6 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет синим?

4.Сколькими способами можно рассадить за столом 5 человек?

5.В учебном плане 14 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?

6.В коробке 21 конфета, из них 9 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 11 конфет. Какова вероятность того, что 5 из них будут с клубничной начинкой?

7. Решите уравнение:

Рекомендации для решения задач по теме 5. Координаты и векторы

Векторы занимают особое место среди объектов, рассматриваемых в высшей математике, поскольку каждый вектор имеет не только числовое значение - длину, но и физическое и геометрическое - направленность. Вектор, представленный направленным отрезком, идущим от точки A к точке B, обозначается так: .

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, приходим к понятию геометрического вектора. Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка, т.е. отрезка, у которого различают начало и конец.

Если A - начало вектора, а B - его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)

Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы.

Линейные операции над геометрическими векторами

Произведением вектора на число называется вектор, получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием (при ) в раз, причём направление вектора сохраняется, если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы и = всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить "коллинеарны".) Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны отношением

. (1)

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)

Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов . Если к концу вектора приложить начало вектора , а к концу вектора - начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора - начало вектора , то суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец - с концом последнего вектора . (Рис. 4)

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило - правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор . Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма даёт нулевой вектор, длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора вектор означает прибавить к вектору противоположный вектор , т.е.

Проекция вектора на ось

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть - произвольный вектор (Рис. 5), а и - проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит искомую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец - с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Упорядоченная система трёх взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве. В этой упорядоченной системе координатных осей 0xyzось Oxназывается осью абсцисс, ось 0y– осью ординат, и ось 0z– осью аппликат.

С произвольной точкой М пространства свяжем вектор

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей.

Доказательство. Пусть - произвольный вектор пространства , а x, y, z – его проекции на координатные оси. Так как мы рассматриваем свободные векторы, то совместим начало вектора с началом координат и получим вектор с теми же проекциями x, y, z (рис.7).

Согласно правилу сложения векторов, имеем

Но

значит,

На основании правила умножения вектора на скаляр можно выразить составляющие вектора через его проекции и орты осей:

Тогда предыдущее векторное равенство примет вид

(2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор (1) может быть записан в форме

(3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Условие коллинеарности векторов в координатах

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 2. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Длина вектора

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

(4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства

следует, что

Отсюда

или в координатной форме

(5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

(6)

Пример 3. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 4. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Операции над векторами, заданными в координатной форме

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

т.е. при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются.

2.Вычитание:

или, что то же

т.е. при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются.

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

т.е. при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число.

Пример 5. Даны два вектора:

Найти .

Решение:

Пример 6. Даны четыре вектора:

, , , .

Найти координаты векторов и .

Решение.

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 5. Координаты и векторы

Даны точки А (х₁;у₁) В (х₂;у₂) С (х₃;у₃)

Найти:

1. координаты векторов АВ, АС, ВС

2. длины этих векторов

3. косинусы углов между векторами(АВ;АС) (АВ;ВС) (АС;ВС)

Вариант/координаты	А(х₁;у₁)	В(х₂;у₂)	С(х₃;у₃)
1	А(1;2)	В(3;4)	С(5;-2)
2	А(1;3)	В(1;0)	С(5;1)
3	А(1;4)	В(2;1)	С(5;2)
4	А(1;-2)	В(3;2)	С(5;3)
5	А(1;6)	В(3;3)	С(5;4)
6	А(11;2)	В(4;-1)	С(5;5)
7	А(10;2)	В(5;-2)	С(5;-1)
8	А(-1;2)	В(-3;3)	С(5;-2)
9	А(-1;-2)	В(2;-3)	С(5;-3)
10	А(2;2)	В(-3;-4)	С(5;-4)
11	А(3;2)	В(4;-5)	С(5;-5)
12	А(4;2)	В(5;0)	С(5;0)
13	А(-2;2)	В(-1;1)	С(5;6)
14	А(7;2)	В(-2;2)	С(-5;1)
15	А(1;8)	В(-3;-3)	С(-5;2)

Рекомендации для решения задач по теме 6. Основы тригонометрии

Тригонометрия играет значительную роль в почти во всех разделах математики. В данном разделе приводятся основные формулы преобразования тригонометрических выражений. Данные формулы применяются как в элементарной алгебре, геометрии, так и в высшей математике и в абстрактных областях математики.

К основным тригонометрическим функциям относятся:

Синус (обозначается $\sin$ );
Косинус (обозначается $\cos$ );
Тангенс (обозначается $\tg$ );
Котангенс (обозначается $\ctg$ );

Выпишем основные тригонометрические формулы:

Основное тригонометрическое тождество:

$\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1,\ x \in \mathbb{R}.$

Тригонометрические формулы суммы, разности углов:

$\displaystyle \sin(x+y)=\sin x \cos y +\sin y \cos x,$

$\displaystyle \sin(x-y)=\sin x \cos y -\sin y \cos x,$

$\displaystyle \cos(x+y)=\cos x \cos y -\sin x \sin y,$

$\displaystyle \cos(x-y)=\cos x \cos y +\sin x \sin y.$

Основываясь на этих формулах выпишем формулы двойных углов:

$\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x, \quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x.$

Формулы для понижения степени:

$\displaystyle \sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2},\quad \cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}.$

Другие формулы:

$\displaystyle \tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x},\quad \ctg x = \dfrac{1}{\tg x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

$\displaystyle 1+\tg^2x=\dfrac{1}{\cos^2x},\quad 1+\ctg^2x=\dfrac{1}{\sin^2x}.$

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 6. Основы тригонометрии

1) Выразить в радианах: 30°, 45°, 60°, 120°, 150°, 210°, 240

2) Выразить в градусах

3) Определить знаки следующих тригонометрических функций

4) Найти:

5) Упростить:

1) -

6)Вычислить:

1)sin15°; 2)cos75°

3)sin(α+β), если , 0< α<

cos β= ,

Рекомендации для решения задач по теме 7. Функции, их свойства и графики

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Функция

, где

, называется логарифмической функцией

с основанием a.


1. Область определения
2. Множество значений
3. Пересечение с осями координат	с осью (ОХ): y = 0, x = 0 с осью (OY): пересечения нет	с осью (ОХ): y = 0, x = 0 с осью (OY): пересечения нет
4. Монотонность	Убывающая функция	Возрастающая функция
5. Поведение при	ось ординат - вертикальная асимптота	ось ординат - вертикальная асимптота
6. Поведение при

7. Графики функций и

симметричны относительно прямой

y = x

(эти функции взаимообратны).

Графики

Свойства функции у = log_aх , a > 1:

D(f) = (0; +);
не является ни четной, ни нечетной;
возрастает на (0; +);
не ограничена сверху, не ограничена снизу;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
непрерывна;
E(f) = (-;+ );
выпукла вверх;
дифференцируема.

Свойства функции у = log_aх , 0 < a < 1 :

D(f) = (0;+ );
не является ни четной, ни нечетной;
убывает на (0; +);
не ограничена сверху, не ограничена снизу;
нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
непрерывна;
E(f) = (-;+ );
выпукла вниз;
дифференцируема.

Свойства функции у = ln х :

D(f) = (0; +);
не является ни четной, ни нечетной;
возрастает на {0; +);
не ограничена сверху, не ограничена снизу;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
непрерывна;
E(f) = (-;+ );
выпукла вверх;
дифференцируема.

Показательная функция

Ключевые слова: функция, показательная функция, график, степень, основание степени

При a > 0, a = 1, определена функция y = a ^x, отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a.

Основные свойства показательной функции y = a ^xпри a > 1:

Область определения функции - вся числовая прямая.
Область значений функции - промежуток (0;+).
Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x₁< x_{2
,}то a^x₁< a^x₂ .
При x = 0 значение функции равно 1.
Если x > 0 , то a ^x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.

К основным тригонометрическим функциям относятся:

Синус (обозначается $\sin$ );
Косинус (обозначается $\cos$ );
Тангенс (обозначается $\tg$ );
Котангенс (обозначается $\ctg$ );

Выпишем основные тригонометрические формулы:

Основное тригонометрическое тождество:

$\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1,\ x \in \mathbb{R}.$

Тригонометрические формулы суммы, разности углов:

$\displaystyle \sin(x+y)=\sin x \cos y +\sin y \cos x,$

$\displaystyle \sin(x-y)=\sin x \cos y -\sin y \cos x,$

$\displaystyle \cos(x+y)=\cos x \cos y -\sin x \sin y,$

$\displaystyle \cos(x-y)=\cos x \cos y +\sin x \sin y.$

Основываясь на этих формулах выпишем формулы двойных углов:

$\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x, \quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x.$

Формулы для понижения степени:

$\displaystyle \sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2},\quad \cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}.$

Другие формулы:

$\displaystyle \tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x},\quad \ctg x = \dfrac{1}{\tg x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

$\displaystyle 1+\tg^2x=\dfrac{1}{\cos^2x},\quad 1+\ctg^2x=\dfrac{1}{\sin^2x}.$

Обратные тригонометрические функции и связь между ними

Обратные тригонометрические функции являются важным и сложным понятием, которое изучается в школьном курсе алгебры.

Обратные тригонометрические функции, также круговые функции или аркфункции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

Основные обратные тригонометрические функции:

Арксинус - $\arcsin$ .

Арксинусом числа , где $\vert a\vert\leq 1$ , называется такой угол , для которого $\sin x = a,$ где $x\in \left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Функция $y~=~\arcsin x$ является строго возрастающей. Учтем, что

$\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\ \vert x\vert\leq 1,$

$\displaystyle \arcsin(\sin x) = x,\ \vert x\vert\leq \dfrac{\pi}{2}.$

Свойства функции $\arcsin x$ ;

$\arcsin(-x)=-\arcsin x$ ;
$\arcsin x= \left\{ \begin{array}{lcl} \arccos\sqrt{1-x^2},\ 0\leq x\leq 1;\\ -\arccos\sqrt{1-x^2}\ -1\leq x\leq 0; \end{array} \right.$
$\arcsin x= \left\{ \begin{array}{lcl} {\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\ 0... ... -{\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\ -1\leq x<0; \end{array} \right.$

Арккосинус $\arccos$ .

Арккосинусом числа называется такой угол , для которого $\cos x = a$ , где $0\leq x\leq$ , $\vert a\vert\leq 1$ . Функция $y = \arccos x$ является строго убывающей. Учтем, что

$\displaystyle \cos(\arccos x)=x,\ \vert x\vert\leq 1,$

$\displaystyle \arccos(\cos x) = x,\ 0\leq x \leq \pi.$

Свойства функции $\arccos x$ ;

$\arccos(-x)=\pi-\arccos x$ ;
$\arccos x= \left\{ \begin{array}{lcl} \arcsin\sqrt{1-x^2},\ 0\leq x\leq 1;\\ \pi-\arcsin\sqrt{1-x^2}\ -1\leq x\leq 0; \end{array} \right.$
$\arccos x= \left\{ \begin{array}{lcl} {\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\ 0... ...\pi+{\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\ -1\leq x<0; \end{array} \right.$

Арктангенс $\rm arctg$ (в иностранной литературе $\arctan$ ).

Арктангенсом числа называется такой угол , для которого $\tg x = a$ , $\vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .

Функция $y={\rm arctg}\,x$ непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и является строго возрастающей.

Свойства функции ${\rm arctg}\,x$ ;

$\tg({\rm arctg}\, x)=x,\ x\in \mathbb{R}$ ;
${\rm arctg}(\tg x) = x,\ \vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .

Арккотангенс $\rm arcctg$ (в иностранной литературе $\rm arccot$ или $\rm arccotan$ ).

Арккотангенсом числа называется такой угол , для которого $\ctg x = a,\ 0 < x < \pi$ .

Функция $y = {\rm arcctg}$ непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и является строго убывающей.

Свойства функции ${\rm arcctg}\,x$ ;

${\rm arctg}(-x) = \pi - {\rm arctg}\,xs,\ \vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .
${\rm arcctg}\,x = \left\{ \begin{array}{clc} \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}... ...eq 0;\\ \pi - \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}},\ x < 0. \end{array} \right.$

Арксеканс $\rm arcsec$ .

${\rm arcsec}\,x={\rm arccosec}\,\dfrac{1}{x}$ .

Арккосеканс $\rm arccosec$ (в иностранной литературе $\rm arccsc$ ).

${\rm arccosec}\,x={\rm arcsec}\,\dfrac{1}{x}$ .

Существуют два основных соотношения между обратными функциями:

$\displaystyle \arcsin x+\arccos x = \dfrac{\pi}{2},$

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 7. Функции, их свойства и графики

1.Функция задана формулой . Найдите (-5).

2. Функция задана формулой . Найдите значение , при котором () =0.

3. Найдите ООФ, заданной формулой .

4. Определите при каких значениях существует функция .

5. Найдите область значения функции .

6. Функция задана формулой . Найдите (-3).

7. Функция задана формулой . Найдите значение , при котором () =0.

8. Найдите ООФ, заданной формулой .

9. Определите при каких значениях существует функция .

10. Найдите область значения функции .

Рекомендации для решения задач по теме 8. Многогранники

Основные понятия

Определение 4.1.

Многогранником в трехмерном пространстве называется совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым по этой стороне;
от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя по очереди от одного многоугольника к другому, смежному с ним.

Многоугольники, из которых состоят многогранники, называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.

Определение понятия «многогранник» в пространстве зависит от того, как на плоскости определять понятие «многоугольник». Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и пересекающиеся), то приходим к первому определению многогранника. Чаще, однако, придерживаются другого определения многоугольника и, соответственно, многогранника. Под многоугольником понимается часть плоскости, ограниченная ломаными. С этой точки зрения, многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое тоже называется многогранником; отсюда возникает третья точка зрения на многогранники, как на геометрические тела, причем допускается существование у этих тел «дырок». На рисунке 4.1.1 приведены некоторые примеры многогранников.

Рисунок 4.1.1.

Определение 4.2.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников-граней.

Призма

Дадим несколько определений.

Определение 4.7.

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.

Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Поэтому в основаниях лежат равные многоугольники.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы равна расстоянию H между плоскостями оснований.

Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы. На чертеже 4.5.1 показана четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Параллелограмм BDD₁B₁ – диагональное сечение призмы. По числу сторон основания призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т.д.

Чертеж 4.5.1.

Прямой призмой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными.

Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Площадью боковой поверхности S_б призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадью полной поверхности S_п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S_п = S_б + 2S, где S – площадь основания призмы, S_б – площадь боковой поверхности.

Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, плоскость которого перпендикулярна боковому ребру призмы, а вершины лежат на прямых, проходящих через боковые ребра. На чертеже 4.5.2 показан пятиугольник MNPQT – перпендикулярное сечение призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁. Сторона многоугольника, являющегося перпендикулярным сечением, – это высота некоторой боковой грани. Поэтому площадь каждой боковой грани равняется la₁, где l – боковое ребро призмы, a₁ – некоторая сторона перпендикулярного сечения. Далее имеем: S_б = la₁ + la₂ + ... + la_n = lP, где P – периметр перпендикулярного сечения.

Чертеж 4.5.2.

В частности, если призма прямая, то S_б = PH.

Параллелепипед

Теорема 4.8.

Каждый параллелепипед имеет центр симметрии.

Доказательство

Чертеж 4.6.1.

Пусть O – середина диагонали BD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (чертеже 4.6.1). Докажем, что O – центр симметрии всего параллелепипеда. Поскольку каждое диагональное сечение параллелепипеда – параллелограмм с центром O, то для каждой вершины параллелепипеда найдется другая вершина, симметричная ей относительно точки O. Следовательно O – центр симметрии параллелепипеда.

Следствие 4.1.

Противоположные грани любого параллелепипеда равны и параллельны.

Определение 4.8.

Прямоугольным называется параллелепипед, все грани которого прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами называется кубом.

Три ребра, выходящие из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями (длиной, шириной, высотой).

Теорема 4.9.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется сумме квадратов его измерений:

d² = a² + b² +c².

Пирамида

Определение 4.9.

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д.

Определение 4.10.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания, называется диагональным сечением.

Теорема 4.10.

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр круга, описанного вокруг основания.

Теорема 4.11.

Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.

Теорема 4.12.

Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом φ, то

Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды.

Определение 4.11.

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Теорема 4.13.

Для правильной пирамиды справедливы формулы:

где a – апофема боковой грани, P – периметр основания.
где n – число сторон основания, b – боковое ребро, α – плоский угол при вершине пирамиды.

Теорема 4.14.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, (чертеж 4.7.3), то:

Чертеж 4.7.3.

боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки в отношении

площади сечения и основания пирамиды относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды:

Усеченная пирамида

Определение 4.12.

Часть пирамиды, лежащая между основанием и параллельным основанию сечением, называется усеченной пирамидой.

Чертеж 4.8.1.

На чертеже 4.8.1 изображена усеченная треугольная пирамида ABCA₁B₁C₁. Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции. Если полная пирамида правильная, то и соответствующая усеченная пирамида – правильная.

Определение 4.13.

Высота усеченной пирамиды – это общий перпендикуляр к плоскостям ее оснований.

Апофемой правильной усеченной пирамиды называется часть апофемы полной пирамиды, ограниченная плоскостями оснований усеченной пирамиды, то есть отрезок, соединяющий середины параллельных сторон боковой грани.

Теорема 4.15.

В правильной усеченной пирамиде площадь боковой поверхности

где P₁, P₂ – периметры оснований, A – апофема усеченной пирамиды.

Сечения многогранников

Приведем несколько характерных примеров решения задач на комбинацию многогранников.

Пример 4.1.

Дан куб с ребром a (чертеж 4.9.1). Точки M, N, P – соответственно середины ребер AB, BC, BB₁. Найти объем пирамиды D₁MNP.

Чертеж 4.9.1.

Решение. Кроме пирамиды D₁MNP куб содержит еще четыре пирамиды: PMBN, D₁PNCC₁B₁, D₁AMPB₁A₁, D₁AMNCD с объемами соответственно V₁, V₂, V₃, V₄. Пирамиды с объемами V₂, V₃, V₄ равновеликие. Пусть V – искомый объем, а V_k – объем куба, тогда V = V_k – 3V₂ – V₁. Заметим, что

Окончательно имеем

Ответ.

Пример 4.2.

Правильная треугольная призма имеет высоту h и сторону основания a (чертеж 4.9.2). Правильная треугольная пирамида имеет с призмой общее основание и размещена по одну с ней сторону относительно этого основания. Высота пирамиды равна 2h. Найти площадь полной поверхности той части пирамиды, которая лежит внутри призмы.

Чертеж 4.9.2.

Решение. Находим площади оснований:

Пусть S_б – площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, тогда S_б = 3S, где S – площадь трапеции ABB₂A₂. Из Δ POD имеем

тогда

Следовательно,

Ответ.

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 8. Многогранники

1) Сторона основания правильной треугольной пирамиды – 10 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания = 60⁰. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

2) высота правильной призмы KMPK₁M₁P₁ = 15 см. Сторона её основания 8 Вычислите периметр сечения призмы с плоскостью содержащей прямую PP₁ и середину ребра KM.

3) Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной m и острым углом . Угол между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания = ß. Вычислите S поверхности.

4) Найти высоту правильной шестиугольной призмы, если сторона её основания = а, а меньшая из диагоналей призмы = b.

Рекомендации для решения задач по теме 9. Тела и поверхности вращения

Цилиндр

Определение 5.1.

Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны.

Чертеж 5.1.1.

Далее будем называть это тело цилиндром. На чертеже 5.1.1 показан цилиндр, образованный при вращении прямоугольника AOO₁A₁ вокруг стороны OO₁, которая называется осью вращения (осью цилиндра) и является высотой цилиндра. Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях. Высотой цилиндра называют также расстояние между плоскостями его оснований. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований, называется образующей цилиндра (это, например, отрезки A₁A, M₁M, B₁B, N₁N). Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось вращения. Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники (это, например, прямоугольники ABB₁A₁ и MNN₁M₁).

Плоскость, содержащая образующую и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной к цилиндру плоскостью. Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра. На рисунке 5.1.1 показана развертка цилиндра. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C, где H – высота цилиндра, а C – длина окружности основания.

Приведем формулы для вычисления площадей боковой S_б и полной S_п поверхностей: S_б = H · C = 2πRH, S_п = S_б + 2S = 2πR(R + H).

Конус

Определение 5.2.

Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

Чертеж 5.2.1.

Далее прямой круговой конус будем называть просто конусом. На чертеже 5.2.1 показан конус, образованный в следствии вращения прямоугольного треугольника POA вокруг катета PO, называемого осью конуса, P называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже 5.2.1 отрезки PA, PB, PM, PN – образующие конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. При вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая) поверхность конуса.

Разверткой боковой поверхности конуса (рис. 5.2.1) является круговой сектор. Обозначим через S_б и S_п соответственно площади боковой и полной поверхности конуса: где φ – угол при вершине развертки. Далее заметим, что PA · φ = 2πR. Следовательно, где R – радиус, а l – образующая конуса.

S_п = πRl + πR² = πR(l + R).

Определение 5.3.

Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания.

Чертеж 5.2.2.

Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и высоты полного конуса.

Боковая поверхность усеченного конуса может быть найдена по формуле S_б = π(R + r)l, где R и r – радиусы оснований, l – образующая конуса.

Полная поверхность находится по формуле

S_п = π(Rl + rl + R² + r²).

Конические сечения

Определение 5.4.

Конические сечения – плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью.

За исключением вырожденных случаев, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (IV в. до н. э.). Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце IV в. до н. э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые «Конические сечения» Аполлония Пергского, которые сохранились до нашего времени. Аполлоний, варьируя угол наклона секущей плоскости, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

В своих построениях Аполлоний использовал двуполостной круговой конус, поэтому впервые стало ясно, что гипербола – кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

Рисунок 5.3.1.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости.

Эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F₁ и F₂ (рис. 5.3.2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса, а отрезки V₁V₂ и v₁v₂ между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малой осями. Если точки F₁ и F₂ совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Рисунок 5.3.2.

Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F₁ и F₂, как показано на рисунке 5.3.3, а. Расстояния подобраны так, что отрезок PF₂ превосходит по длине отрезок PF₁ на фиксированную величину, меньшую расстояния F₁F₂. При этом один конец нити проходит под шпеньком F₁ и оба конца нити проходят поверх шпенька F₂. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV₁Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F₂, а когда точка P окажется ниже отрезка F₁F₂, придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F₁ и F₂.

Рисунок 5.3.3.

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся как показано на рисунке 5.3.3, б. Угловые коэффициенты этих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F₂F₁; отрезок v₁v₂ называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V₁V₂ – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v₁, v₂, V₁, V₂ параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v₁ и v₂. Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov₁ и V₂O и гипотенузой F₂O.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.).

Рисунок 5.3.4.

Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой (рис. 5.3.4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

Сфера

Определение 5.5.

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой.

Рисунок 5.4.1.

Сферу обозначают так: ω (O, R). Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Определение 5.6.

Множество всех точек пространства, удаленных от данной точки O на расстояние, не большее R, называется шаром.

Иными словами шар – это объединение сферы и всех ее внутренних точек.

Можно также определить шар и как тело, образованное при вращении круга вокруг своего диаметра.

Шар обозначают так же, как сферу: ω (O, R). Точка O называется центром сферы (шара). Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы (шара). Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется хордой сферы (шара). Иногда под радиусом или хордой подразумевают их длину. Хорда, проходящая через центр сферы, называется ее диаметром.

При пересечении сферы плоскостью наибольшая окружность образуется , если плоскость проходит через центр сферы. Линия пересечения называется большой окружностью сферы. Соответствующее сечение шара называется большим кругом шара.

Теорема 5.1. Теорема о кратчайшем пути на сфере.

Кратчайшим путем на сфере, соединяющим две ее точки A и B, является меньшая из двух дуг AB большой окружности, проходящей через A и B.

Доказательство

Рисунок 5.4.2.

Проведем плоскость через точки A, B и центр сферы, в сечении получим окружность. Рассмотрим меньшую из дуг AB этой окружности и выберем на ней произвольную точку M. Нашей ближайшей целью будет доказательство того, что кратчайший путь, соединяющий A и B, должен пройти через M. Обозначим центр сферы O и проведем через точку M две плоскости, перпендикулярные радиусам OA и OB. Эти плоскости пересекут сферу по двум окружностям w и u, которые имеют единственную общую точку – точку M. Рассмотрим теперь произвольный путь из A в B, не проходящий через M. Обозначим точку пересечения рассматриваемого пути с окружностью w через K, а с окружностью u – через P. Очевидно, что существует путь, соединяющий точки A и M, такой же длины, что путь, соединяющий A и K. Действительно, в этом легко убедиться, повернув окружность w вокруг OA так, чтобы точка K перешла в точку M. Аналогично, существует путь, между B и M такой же длины, что и путь между B и P. Отсюда следует, что кратчайший путь между A и B должен проходить через M. А поскольку M – произвольная точка меньшей дуги AB, то теорема доказана.

Вписанные и описанные многогранники

Определение 5.11.

Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника.

Определение 5.12.

Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника.

При рассмотрении понятий вписанной и описанной сферы обнаруживается аналогия с понятием вписанной и описанной окружности. Однако, если в любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность, то не всякий многогранник является вписанным или описанным. Несмотря на это, оказывается, что пространственный аналог треугольника – треугольная пирамида, тем не менее, всегда имеет единственную вписанную и описанную сферу. Докажем это.

Теорема 5.6. Теорема об описанной сфере треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет единственную описанную сферу.

Доказательство

Рисунок 5.6.1.

Поступим аналогично доказательству существования единственной окружности, описанной около данного треугольника. В данной пирамиде ABCD построим плоскости, перпендикулярные соответственно ребрам AB, AC и AD и проходящие через их середины. Эти плоскости будут равноудалены от точек A и B, A и C, A и D соответственно, поскольку геометрическим местом точек, равноудаленных от концов данного отрезка, является плоскость, проходящая через его середину и перпендикулярная ему. Обозначим точку пересечения этих плоскостей через O. Докажем, что эта точка существует и единственна. Действительно, две из этих плоскостей пересекаются по прямой l, поскольку они перпендикулярны двум непараллельным прямым. Эта прямая перпендикулярна к плоскости ABC. Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит ее, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l, то есть лежит в плоскости ABC. Итак, точка O равноудалена от всех вершин треугольной пирамиды, значит эта точка является центром описанной сферы. Тем самым доказано существование такой сферы.

Теорема 5.7. Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет единственную вписанную сферу.

Доказательство

Рисунок 5.6.2.

В треугольной пирамиде ABCD проведем биссекторные плоскости ее двугранных углов с ребрами AB, AC и DC. Эти плоскости имеют единственную общую точку Q, что доказывается аналогично предыдущей теореме. Понятно, что точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. Таким образом, установлено существование вписанной сферы, единственность которой доказывается опять-таки аналогично.

Теорема 5.8.

Для того, чтобы пирамида была вписанной в сферу, необходимо и достаточно, чтобы ее основанием был вписанный в окружность многоугольник.

Следствие 5.9.1.

Любая правильная пирамида является вписанной.

Теорема 5.10.

Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен где – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.

Доказательство

Соединим центр вписанной сферы со всеми вершинами многогранника. При этом многогранник делится на несколько пирамид (их количество равно количеству граней многогранника). Высота каждой из этих пирамид равна r, а площадь основания – это площадь некоторой грани многогранника, поэтому

(m – количество граней),

что и требовалось доказать.

Поскольку центр вписанной сферы одинаково удален от всех граней многогранника, он лежит на пересечении биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника.

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 9. Тела и поверхности вращения

Вариант 1.

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найдите радиус основания цилиндра.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 6 дм, а площадь основания цилиндра равна 25 дм. Найдите высоту цилиндра.

3. Отрезок АВ равен 13 см, точки А и В лежат на разных окружностях оснований цилиндра. Найдите расстояние от отрезка АВ до оси цилиндра, если его высота равна 5 см, а радиус основания равен 10 см.

4. Длина образующей конуса равна 2 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120. Найдите площадь основания конуса.

5. Радиус основания конуса 3 см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.

6. Отрезок АВ – хорда основания конуса, которая удалена от оси конуса на 3 см. МО – высота конуса, причём МО = 6 см, где М – вершина конуса. Найдите расстояние от точки О до плоскости, проходящей через точки А, В и М.

7. Сфера проходит через вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние от центра сферы – точки О до плоскости квадрата, если радиус OD образует с плоскостью квадрата угол, равный 60.

8. Стороны треугольника АВС касаются шара. Найдите радиус шара, если АВ = 8 см, ВС= 10 см, АС = 12 см и расстояние от центра шара О до плоскости треугольника АВС равно см.

9.Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси и отсекающей от окружностей оснований дуги по 120.Найти площадь сечения, если высота цилиндра равна 4 см, а радиус основания - 2см.

10. В треугольной пирамиде с равными боковыми рёбрами известны длины сторон основания 6, 8, 10 и длина высоты 1. Найдите радиус описанного шара.

Рекомендации для решения задач по теме 10. Начала математического анализа

ПРОИЗВОДНАЯ

Определение производной

Пусть на множестве задана функция . Фиксируем точку и задаем приращение аргумента . Тогда точка соответствует и называется приращением функции.

Если существует предел

то он называется производной функции в точке .

Существуют и другие обозначения производной: , .

Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования, а если конечна, то функция называется дифференцируемой.

Прежде чем воспользоваться таблицами производных, надо установить, является функция простой или сложной.

Функция называется сложной, если есть функция от : , т. е. .

Производная сложной функции вычисляется по формуле

т. е. сначала вычисляется производная функции по переменной , и затем она умножается на производную функции по переменной .

Правила дифференцирования

1. ( – const)

3а.

4. ()

5. , если , .

Разумеется, что для справедливости этих правил необходимо существование производных , , , .

Таблица производных

1. () 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8. ()

9. () 10.

11. 12. ()

13. 14.

15.

Пример 1. Найти производные функций:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Функция – это произведение двух функций и , поэтому по третьему правилу дифференцирования:

Из таблицы производных находим, что , и так как , то ; .

Значит, .

б)

в)

Пример 2. Найти производные функций:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Функция – это сложная функция , . Тогда по формуле 1 таблицы производных , а по формуле 5 .Таким образом, .

б) Используем правило дифференцирования 3а: . Функция – сложная , . Поэтому

в)

Уравнение касательной к нормали

Касательной к линии в точке (рис. 1) называется прямая , с которой стремится совпасть секущая , когда точка , оставаясь на , стремится - будь то справа или слева.

Если линия есть график функции , то угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в соответствующей точке.

Если график не имеет касательной, функция не имеет производной и наоборот.

Это видно из рис. Угловой коэффициент секущей равен . Если стремится к , то имеет пределом угловой коэффициент касательной. Значит, , т. е. .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом: , значит уравнение касательной к кривой в точке , где .

Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная касательной. Условие перпендикулярности двух прямых: , значит уравнение нормали будет иметь вид: .

Пример 8. Составите уравнение касательной и нормали к кривой в точке . Сделать чертеж.

Решение.

, .

Уравнение касательной: .

Уравнение нормали: ; .

Сделаем чертеж. – парабола, ветви направлены вниз. Вершина , , .

Точки пересечения с осью :

0 1 0 1

1 -1 3,5 4

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение 1. Функция называется первообразной для , если

или

Пример 1. есть первообразная для , так как или .

Пример 2. есть первообразная для , так как или .

Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное первообразная, которое отличаются друг друга на постоянное число.

Так в 11-м примере для первообразной будут, кроме , , , , и другие. Все они удовлетворяют условию (15) и (16). Вообще в общем виде можно записать первообразную в виде , где – произвольная постоянная. Действительно,

или

Определение 2. Общее выражение совокупности всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

. (17)

При этом , где

– подынтегральное выражение,

– подынтегральная функция.

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.

Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (15) соответствуют формула интегрирования (17).

Пример 3.

где – const.

Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу можно проверить дифференцированием.

Таблица основных интегралов

1. (, – const, )

2. (для любого )

2.1. 2.2.

4. (, , )

9. 10. ()

11. ()

12.

13.

При интегрировании используются свойства интегралов.

Свойства интегралов

2) , в частности,

3) , где

Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.

1. Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также, используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. .

(Использованы свойства 3, 4; табличный интеграл 2, ).

Правильность ответа проверяем дифференцированием:

Пример 5.

(Свойства 3, 4; табличные интегралы 2.2 и 3).

Пример 6.

(Свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).

Метод замены переменной (подстановки)

Для вычисления интеграла сделаем замену , где выбирается так, чтобы после преобразований данного интеграла и новой переменной , получился интеграл, который берется непосредственно.

Предварительно находим , тогда

После нахождения первообразной необходимо вернуться к первоначальной переменной «».

Пример 7.

Пример 8.

Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой:

, ; ;

, ; .

Пример 9.

т. к. .

Формулой часто пользуются справа налево:

, .

При этой замене надо помнить, что в составе подынтегрального выражения должен быть дифференциал функции .

Такой метод называется подведением под знак дифференциала

При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.

Таблица дифференциалов

1. , – const, ,

4. , , ,

10. ,

11. ,

Пример 10. .

Решение. Согласно таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим , , , .

Пример 11. .

Решение. По таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим

, , , .

Пример 12. – можно найти двумя способами:

1 способ.

;

2 способ. .

Пример 13. .

1 способ.

;

2 способ.

Пример 14.

. (табл. интегр., 3, ).

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 10. Начала математического анализа

1.Найти производную.

а) У=2х⁴-5х³+6х-7;

б)

в) ; найдите .

г) Найдите

г) У=5х⁸-6х²+3х-41;

д)

е) ; найдите .

ж) Найдите

2. Написать уравнение касательной к кривой

в точке абсциссой х₀=3;

3. Написать уравнение касательной плоскости к сфере в произвольной точке и найти на этой сфере множество точек, в которых касательные плоскости параллельны вектору .

4. Найти промежутки возрастания и убывания, асимптоты, промежутки выпуклости функции:

1) ; 1) ;

5.Определите промежутки убывания функции:

6.Найдите значение функции в точке максимума:

7. Исследовать функцию и построить её график:

1) 1)

Рекомендации для решения задач по теме 11. Измерения в геометрии

Задание 1.

По готовому рисунку вычислите площадь фигуры ограниченной линиями , ,

Описание: Задание 1,2

Задание 2.

По готовому рисунку вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Описание: Задание 2,2

Ответ: на задание 1Ответ:

Ответ: на задание 2

Ответ:

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 11. Измерения в геометрии

1) Сделайте чертёж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

у=8х-х²-7 и осью ох.

2) Сделайте чертёж и вычислите объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной данными линиями:

у²-3х=0 и х-3=0.

3). Найдите площади фигур, ограниченных

линиями:

у=х²+х+6 и у=0;

у=х²-8х+18, у=-2х+18;

4) Сделайте чертёж и вычислите объём тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной данными линиями: у=х²+1, у=2, у=5;

Рекомендации для решения задач по теме 12.

Элементы теории вероятностей.

Элементы математической статистики

Вероятность события количественно характеризует возможность (шанс) осуществления этого события в ходе случайного эксперимента. В данном параграфе мы начинаем изучать возможности, предоставляемые теорией вероятности для сравнительного анализа ситуаций, возникающих при различных комбинациях равновероятных событий.

Представим, что у нас проводится эксперимент с пространством из n элементарных исходов, которые равновероятны. Элементарные исходы являются несовместными событиями (напомним, что несовместные события - это те, которые не могут произойти одновременно), поэтому вероятность каждого из них равна 1/n. Допустим, нас интересует событие А, которое наступает только при реализации благоприятных элементарных исходов, количество последних m (m< n). Тогда, согласно классическому определению, вероятность такого события:

Р(А)=m/n.

Для любого события А справедливо неравенство: 0 < P(A) <1.

Пример 1. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 200 выигрышных. Наугад вынимается один билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение: различных исходов в этом примере 1000 (n=1000). В интересующее нас событие А входят 200 исходов (m=200). Таким образом,

Пример 2. В коробке лежат 200 белых, 100 красных и 50 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Чему равны вероятности получить шар белого, красного или зеленого цвета?

Решение: Рассмотрим события:

А={вынули белый шар},

В={вынули красный шар},
С={вынули зеленый шар}.

n=350, тогда

Пример 3. Бросается игральная кость. Чему равны вероятности следующих событий:

А={выпала грань с 6 очками},

В={выпала грань с четным числом очков},

С={выпала грань с числом очков, делящимся на 3}?

Решение: n=6. Событию А благоприятствует один исход, событию В - три исхода, событию С - два исхода. Таким образом,

Иногда в задачах число элементарных исходов бывает так велико, что выписать их все не представляется возможным. Поэтому применяются формулы из комбинаторики (см. §2).

Пример 4. Из колоды в 36 карт вытаскивают три. Какова вероятность того, что среди вынутых карт нет десяток?

Решение: В этом примере элементарным исходом является случайный набор из трех карт. Общее число элементарных исходов равно N=C₃₆³ , элементарные исходы считаем равновозможными. Благоприятных исходов (количество возможных наборов по три карты из той же колоды, но без десяток)
m=C₃₂³. Таким образом, вероятность события A {Вынуто 3 карты из 36 и среди них нет десяток}:

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 12.

Элементы теории вероятностей.

Элементы математической статистики

1) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит трех.

2) В урне три белых и пять черных шаров. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что эти шары разных цветов?

3) Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.9. Найти вероятность того, что в результате двух выстрелов будет хотя бы одно попадание.

4) В тире имеется пять винтовок, вероятности попадания в цель из которых равны соответственно 0.5, 0.6, 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность попадания в цель из взятой наугад винтовки.

5) 30% изделий некоторого предприятия – продукция высшего сорта. Приобретено 4 изделия этого предприятия. Какова вероятность того, что 2 из них высшего сорта?

Рекомендации для решения задач по теме 13. Уравнения и неравенства

Показательные уравнения

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид

a^x = b,

где a > 0, a ≠ 1.

Утверждение 1. Уравнение (1) имеет единственное решение x = log_ab при b > 0 и не имеет решений при b ≤ 0.

Пример 1. Решить уравнения:

a) 2^x = -4, b) 2^x = 4, c) 2^x = 5.

Решение. a) Множество решений данного уравнения пусто, так как левая часть уравнения положительна при любом x  R (см. свойства показательной функции), а правая часть есть отрицательное число.

b) Используя утверждение 1 получим x = log₂4, то есть x = 2.

c) Аналогично предыдущему примеру получим x = log₂5.

Замечание. Из утверждения 1 следует что показательное уравнение вида

a ^f^(x) = b,

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0 равносильно уравнению

f(x) = log_ab.

Пример 2. Решить уравнения

a) b) c) .

Решение. a) Согласно замечанию к утверждению 1

Так как , следовательно , откуда

b) Поскольку log₃9 = 2, данное уравнение равносильно следующему уравнению

|x²-x| = 2.

Используя свойства модуля получим

|x²-x| = 2

x²-x = 2,

x²-x-2 = 0,

x = -1,

x²-x = -2,

x²-x+2 = 0,

x = 2.

c) Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим

(2+4+6+...+2x) = 45 sau 1+2+...+x = 45.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии получим уравнение

или

x²+x-90 = 0

корни которого x₁ = -10 и x₂ = 9. Поскольку x Î N, остается x = 9.

При решении показательных уравнений используется следующее утверждение о равносильности уравнений

Утверждение 2. При a > 0, a ≠ 1, уравнения

a^f(x) = a^g(x)

f(x) = g(x)

равносильны.

Замечание. Уравнение вида

a^f(x) = b^g^(x) (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

можно переписать следующим образом

и решить, используя утверждение 2.

Некоторые показательные уравнения сводятся к уравнениям вида

E1) a^x· a^y = a^x^+y, E2) E3) (a^x) ^y = a^x^·y, E4) E5) a^x· b^x = (ab)^x.

Пример 3. Решить уравнения

a)	c)
b)	d) 3^2x-1 = 7^x⁺¹.

Решение. a) Используя равенства E1-E3 и утверждение 2 получим

 3^{2x+1+2(x+2)-3x} = 3⁵  2x+1+2x+4-3x = 5  x = 0.

b) Так как (ab ≠ 0), то Используя свойства E4, E3 и E1, получим

откуда, согласно утверждению 2, получим квадратное уравнение

2x²-x-15 = 0

корни которого x = 3 и x = -⁵/₂.

c) Так как 4^3x+1 = 4¹·4^3x = 4·(4³)^x = 4·64^x, , то уравнение примет вид

4·64^x ·25^x = 6400

или

64^x·25^x = 1600.

получим 1600^x = 1600, откуда x = 1.

d) Используя замечание к утверждению 2, получим

откуда

2x-1 = xlog₃7+ log₃7

или

x(2-log₃7) = log₃7+1.

Решая данное линейное уравнение получим

Показательные уравнения вида

F(a^f(x)) = 0,

посредством подстановки t = a^f(x) сводятся к уравнениям вида

F(t) = 0,

которые, как правило, решаются проще. Наиболее часто встречаются уравнения вида

A·a^2f(x) +B·a^f(x) +C = 0,
A·a^f(x)+ C·a^-f(x)+ B = 0

(A, B и C  R), которые с помощью подстановки t = a^f(x) сводятся к уравнению

At²+Bt+C = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) 2^x+3·2^x^-4 = 76, b) 3^-x+9· 3^x+9^x⁺¹+9^-x-1=8, c)

d) 2^1+x-2^3-x = 15, e)

Решение. a) 2^x+3·2^x^-4 = 76  Обозначая t = 2^x получим линейное уравнение

16t+3t = 76·16,

откуда t = 64. Таким образом 2^x = 64 и x = 6.

b) Перепишем уравнение в виде

Обозначая t = 3^x (тогда 9^x = t²) получим алгебраическое уравнение

которое (см., например, [1]) подстановкой

() сводится к квадратному уравнению

или

z²+9z-90 = 0,

откуда z₁ = -15, z₂ = 6. Поскольку t > 0, z₁ = -15 не удовлетворяет условию и остается

откуда

9t²-6t+1 = 0

следовательно t = 1/3. Таким образом 3^x = 1/3, откуда x = -1.

c) Обозначим , тогда В результате получим квадратное уравнение

t²-t-2 = 0

корни которого t₁ = -1 и t₂ = 2. Поскольку t > 0 (вообще говоря, из условия x² ≥ 0 следует, что ), остается лишь t = 2. Возвращаясь к переменной x получим уравнение

откуда x² = 1 и следовательно x = 1.

d) Так как 2^1+x = 2·2^x, , то после подстановки t = 2^x, уравнение примет вид

Умножив обе части уравнения на t (t > 0), получим квадратное уравнение

2t²-15t-8 = 0

корни которого и t₂ = 8. Поскольку t₁ < 0, остается

2^x = 8,

откуда x = 3.

e) Обозначив (при x  (-,0] [2,+), x²-2x ≥ 0 и следовательно t ≥ 1), получим уравнение

4t²-9t+2 = 0

корни которого t₁ = 1/4 и t₂ = 2. Поскольку t₁ < 1, остается решить уравнение

равносильное уравнению

Возводя в квадрат (обе части уравнения неотрицательны при x  (-;0][2;+) получим равносильное уравнение

x²-2x = 1,

корни которого .

Уравнение вида

A·a^2f(x) +B·a^f(x) b^f(x) +C·b^2f(x) = 0,

(A, B, C Î R, A·B·C ≠ 0) называется однородным показательным уравнением. Разделив обе части этого уравнения например на , получим квадратное уравнение

At²+Bt+C = 0,

где .

Пример 5. Решить уравнения

a) 64·9^x -84·12^x +27·16^x = 0, b) 9·2^2x+2 -45·6^x -3^2x+4 = 0.

Решение. a) Записав уравнение в виде

64·3^2x -84·3^x ·4^x +27·4^2x = 0

и разделив на 4^2x, получим

или

Обозначив получим квадратное уравнение

64t²-84t+27 = 0.

Дискриминант данного уравнения равен  = 84² -4·64·27 = 4²· 3²·7² -4·4·16·9·3 = 4²·3²(49-48) = 12², а значит его корни имеют вид

Таким образом

откуда x₁ = 2 и x₂ = 1.

b) Перепишем уравнение в виде

36·2^2x -45·2^x· 3^x -81·3^2x = 0.

Разделив его на , получим

Обозначая получим квадратное уравнение

4t²-5t-9 = 0

решения которого t = -1, t = 9/4. Так как t > 0, остается , откуда x = -2.

При решении некоторых показательных уравнений полезно выделить общий множитель.

Пример 6. Решить уравнения

a) 2^x⁺¹ - 2^x + 2^x^-2 - 2^x^-3 = 9,

b) 2^x⁺¹ - 2^x⁺² - 2^x⁺³ = 5^x - 5^x⁺¹,

c) x²·2^x⁺¹ + 2^|x-3|+2 = x²·2^|x-3|+4 + 2^x^-1.

Решение. a) Перепишем уравнение в виде

или

откуда

следовательно 2^x = 8 или x = 3.

b) Аналогично примеру 6a, получим

2^x⁺¹-2^x⁺² -2^x⁺³ = 5^x-5^x⁺¹  2^x·2-2^x·4 -2^x·8 = 5^x-5^x·5 

2^x(2-4-8) = 5^x(1-5) Û 2^x(-10) = 5^x(-4) Û Û

c) Запишем уравнение в виде

(x²·2^x⁺¹ -2^x^-1)+(2^|x-3|+2- x²·2^|x-3|+4) = 0

или

2^x^-1(4x²-1) +2^|x-3|+2(1-4x²) = 0,

откуда следует

(4x²-1)·(2^x^-1 -2^|x-3|+2) = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности

	4x²-1 = 0,
	2^x^-1 = 2^\|x-3\|+2.

Из первого уравнения совокупности находим x₁ = -1/2, x₂ = 1/2. Второе решаем используя свойства модуля

2^x^-1 = 2^|x-3|+2  x-1 = |x-3|+2  x-3 = |x-3|  x-3 ≥ 0  x ≥ 3.

Таким образом множество решений исходного уравнения имеет вид

x  { ¹/₂} [3,+).

Некоторые показательные уравнения решаются особыми методами.

Пример 7. Решить уравнения

a)	d) 4^x+(x-1)2^x = 6-2x,	g)
b) 5^x^-2 = 8-x,	e) x²+x+2 = 2·2^x-4^x,	h)
c) 3^x+4^x = 5^x,	f)	i)

Решение. a) Заметим, что . Используя подстановку (тогда ) получим квадратное уравнение

или

t²-62t+1 = 0

корни которого и . Поскольку , получим совокупность

откуда (учитывая, что ) x₁ = 2 и x₂ = -2.

b) Заметим, что x = 3 является решением данного уравнения. Других корней уравнение не имеет. Действительно, левая часть уравнения представляет строго возрастающую функцию, а правая - строго убывающую функцию. Графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно x = 3 - единственное решение уравнения.

c) Заметим, что x = 2 - корень данного уравнения. Докажем, что других решений уравнение не имеет. Перепишем уравнение в виде:

и заметим, что функция как сумма двух строго убывающих функций, есть строго убывающая функция и, следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз.

d) Обозначим t = 2^x и решим квадратное уравнение относительно t:

t²+(x-1)t+2x-6 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен  = (x-1)²-4(2x-6) = x²-10x+25 = (x-5)², и значит его корни имеют вид

Поскольку t = -2 не удовлетворяет условию t > 0, остается

2^x = 3-x

Решая последнее уравнение аналогично примеру b) получим x = 1.

e) Перепишем уравнение в виде

x²+x+1 = 2·2^x-4^x-1

или

x²+x+1 = -(2^x-1)²,

откуда следует, что уравнение не имеет решений. Действительно, поскольку левая часть уравнения принимает значения не меньше [³/₄;+¥), а правая часть - лишь неположительные значения.

f) Заметим, что уравнение имеет решение лишь при x > 0. Тогда правая часть уравнения

более того, равенство достигается лишь при x = 1. В то же время левая часть уравнения принимает максимальное значение 2 при x = 1. Действительно,

Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение x = 1.

g) Заметим, что при x  (-,-¹/₂] уравнение не имеет решений (в этом случае левая часть уравнения отрицательна). При x  (-¹/₂;+) левая часть уравнения (как произведение двух строго возрастающих функций) есть строго возрастающая функция и, следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз. Остается заметить что x = 0 является (единственным) корнем данного уравнения.

h) Множество допустимых значений данного уравнения имеет вид: {x  N | x > 1}.

Запишем уравнение в виде

Логарифмируя обе его части, например, по основанию 5, получим

или

откуда следует квадратное уравнение

x²+x(log₅2-3)-3log₅2 = 0

корни которого x₁ = 3 и x₂ = -log₅2. Поскольку x₂ не входит в ОДЗ, то, исходное уравнение имеет единственное решение x = 3.

i) ОДЗ уравнения есть множество x  R\{0} и (см. предыдущий пример) его корни 3 и -log₅2.

Уравнения вида

[h(x)]^f(x) = b ([h(x)]^f(x) = [h(x)]^g(x)).

называются обобщенными показательными уравнениями.

Как правило, областью определения функции [h(x)]^f(x) считается множество всех значений x  D(f) для которых h(x) > 0, где D(f) обозначает область определения функции f. Таким образом

[h(x)]^f(x) = [h(x)]^g(x) 

f(x) = g(x),

h(x) > 0,

h(x) ≠ 1,

h(x) = 1,

x Î D(f) ÇD(g).

Пример 8. Решить уравнения

a) b) , c)

Решение. a) Поскольку a² = |a|², уравнение можно переписать в виде

Последнее уравнение равносильно совокупности систем

		\|x-2\| > 0,
		\|x-2\|≠ 1,
		x²+x+1 = 2,
		\|x-2\| = 1,
		x Î ОДЗ.

Отсюда x = -2, x = 3 и x = 1.

b) Учитывая соотношение (x²+x)⁰ = 1 получим

Û Û

		x²+x > 0,	Û
		x²+x ≠ 1,
		x²+2x = 0,
		x²+x = 1,

	x = -2,

c) ОДЗ уравнения представляет множество (0;+¥). На ОДЗ уравнение равносильно совокупности

		\|x-1\| > 0,
		\|x-1\| ≠ 1,
		lg²x-lgx² = 3.
		\|x-1\| = 1,
		x > 0.

Отсюда x = ¹/₁₀, x = 1000 и x = 2.

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_a x = b.

(1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим
a) x = 2³ или x = 8; b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

P1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N₁·N₂ = log_a N₁ + log_a N₂ (a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если N₁·N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N₁·N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂| (a > 0, a ≠ 1, N₁·N₂ > 0).

P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ≠ 1, N₁N₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N^k = k log_a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то

log_a N^2s = 2s log_a |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b, получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1).

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_a x:

Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x₁ < x₂ Þ log_a x₁ < log_a x₂), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x₁ < x₂ Þ log_a x₁ > log_a x₂).
log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+¥), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x Î (0;1) и отрицательна при x Î (1;+¥).
Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	f(x) > 0,			g(x) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h_(x) f(x) = log_h_(x) g(x) равносильно одной из систем

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	h(x) > 0,			h(x) > 0,
	h(x) ≠ 1,			h(x) ≠ 1,
	f(x) > 0,			g(x) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и log_a f(x) = log_a g(x)

или

log_a [f(x)·g(x)] = b и log_a f(x) + log_a g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.

I. Использование определения логарифма

Пример 2. Решить уравнения

a) log₂(5 + 3log₂(x - 3)) = 3,	c) log_{(x - 2)}9 = 2,
b)	d) log_{2x + 1}(2x² - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c Û b = a^c и, следовательно,

5 + 3log₂(x - 3) = 2³

или

3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2¹, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

(x - 2)² = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x² - 8x + 15) = (2x + 1)²

или, после элементарных преобразований,

x² + 6x-7 = 0,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

II. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24),

b) log₄(x² - 4x + 1) - log₄(x² - 6x + 5) = -¹/₂

c) log₂x + log₃x = 1,

d) 2log₃(x - 2) + log₃(x - 4)² = 0,

e) 16^log₄^{(1 - 2x)} = 5x² - 5.

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x Î (0;+¥) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x+3 > 0,
	x+24 > 0.

получим

log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24) Û

	log₃x(x + 3) = log₃(x + 24),
	x > 0,

Û	x(x + 3) = x + 24,
	x > 0,

Û	x² + 2x - 24 = 0,
	x > 0,

Û		x₁ = -6,
		x₂ = 4,
		x > 0,

Û x = 4.

b) получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или

x² - 4x + 1 = ¹/₂(x² - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x² - 2x - 3 = 0

с решениями x₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x Î (0;+¥)., получим уравнение

log₂x(1 + log₃2) = 1,

откуда или или log₂x = log₆3. Следовательно,

d) ОДЗ уравнения - множество (2;4)È(4;+¥) определяется из системы неравенств

	x-2 > 0,
	(x - 4)² ≠ 0,

(учитывая замечание), получим равносильное уравнение

2log₃(x - 2) + 2log₃|x - 4| = 0

или log₃(x - 2) + log₃|x - 4| = 0.

Используя свойство получим равносильное уравнение

log₃(x - 2)|x - 4| = 0 (x - 2)|x - 4| = 1.

Поскольку в ОДЗ x - 2 = |x - 2| уравнение можно записать следующим образом

|x - 2||x - 4| = 1 или |x² - 6x + 8| = 1

последнее уравнение (см. свойства модуля) равносильно совокупности уравнений

	x² - 6x + 8 = 1,
	x² - 6x + 8 = -1,

откуда получим: x₁ = 3, x₂ = 3 + и x₃ = 3 - Ï ОДЗ. Таким образом, корнями исходного уравнения являются x₁ = 3 и x₂ = 3 + .

e) Поскольку

используя свойство, получим, что в ОДЗ (x Î (-¥;-1)) уравнение равносильно уравнению

(1 - 2x)² = 5x² - 5

или

x² + 4x - 6 = 0,

откуда следует: x₁ = -2 - и x₂ = -2 + . Последнее значение x не входит в ОДЗ, остается единственное решение x = -2 - .

III. Метод подстановки

В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к алгебрическому уравнению относительно новой переменной. Например, уравнение F(log_ax) = 0, где F(x) - алгебраическая рациональная функция, посредством подстановки log_ax = t сводится к алгебраическому уравнению относительно t, R(t) = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) lg²x - 3lgx + 2 = 0,	c) lg²100x + lg²10x + lgx = 14,
b) ,	d) 5^lgx = 50 - x^lg5.

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x Î (0;+¥). Обозначив lgx = t (тогда lg²x = (lg x)² = t²), получим квадратное уравнение

t² - 3t + 2 = 0,

решения которого t₁ = 1 и t₂ = 2. Следовательно,

	lg x = 1,
	lg x = 2,

откуда x₁ = 10 и x₂ = 100. Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения - множество (1;+¥). Поскольку подстановкой t = log₂(x - 1) получим квадратное уравнение

4t² - 3t - 1 = 0

решениями которого являются t₁ = -¹/₄ и t₂ = 1. Таким образом,

	log₂(x - 1) = -¹/₄,
	log₂(x - 1) = 1,

c) ОДЗ уравнения - множество (0;+). Так как

lg²100x = (lg100x)² = (lg100 + lgx)² = (2 + lgx)²,

lg²10x = (lg10x)² = (lg10 + lgx)² = (1 + lgx)²,

подстановкой t = lgx сведем исходное уравнение к квадратному уравнению

(2 + t)² + (1 + t)² + t = 14

или

2t² + 7t - 9 = 0

откуда t₁ = -⁹/₂ и t₂ = 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим и x₂ = 10.

d) ОДЗ уравнения - множество (0;1)È(1;+¥). Поскольку уравнение примет вид 5^{lg x} = 50 - 5^{lg x} или 2·5^{lg x} = 50, откуда 5^{lg x} = 25 или 5^{lg x} = 5² Û lgx = 2 Û x = 100.

IV. Уравнения, содержащие выражения вида

Пример 5. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы

	x + 2 > 0,
	x + 2 ≠ 1.

Получим множество x Î (-2;-1)È(-1;+¥). В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому, логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2), получим равносильное уравнение

или,

log₂(x + 2)·log₂(x + 2) = log₂4 + log₂(x + 2).

Обозначив log₂(x + 2) = t, получим квадратное уравнение

t² - t - 2 = 0

решениями которого являются t₁ = -1 и t₂ = 2. Следовательно,

	log₂(x + 2) = -1,
	log₂(x + 2) = 2,

откуда

	x + 2 = ¹/₂,
	x + 2 = 4

или

	x₁ = -³/₂,
	x₂ = 2.

Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения - множество (0;1)È(1;+¥).

уравнение примет вид

или

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим

или log₂x = 1, откуда x = 2.

V. Некоторые специальные методы

Пример 6. Решить уравнения

a) 2^x = 9 - log₃x;

c) log₂(x² + 1) - log₂x = 2x - x²;

d) log₅(x + 2) = 4 - x;

f) |log₂(3x - 1) - log₂3| = |log₂(5 - 2x) - 1|;

g) log_x₊₁(x³ - 9x + 8)log_x_-1(x + 1) = 3;

h) log₂(6x - x² - 5) = x² - 6x + 11.

Решение. a) Заметим, что x = 3 есть корень данного уравнения: 2³ = 9-log₃3, 8 = 9-1, 8 = 8. Других решений уравнение не имеет, так как левая часть уравнения представляет строго возрастающую функцию, а правая часть - строго убывающую функцию. Графики таких функций имеют не более одной точки пересечения и, следовательно, поскольку x = 3 является решением, следует, что других решений нет.

b) ОДЗ уравнения есть множество x Î (1;+¥). Обозначив log₃(x-1) = t получим квадратное уравнение относительно t

xt² + 4(x - 1)t - 16 = 0.

Дискриминант этого уравнения D = [4(x - 1)]² + 4x·16 = 16x² + 32x + 16 = 16(x + 1)², а корни

Таким образом, получена совокупность уравнений

	log₃(x - 1) = -4,
	log₃(x - 1) = ⁴/_x.

Из первого уравнения получим , а второе уравнение решается аналогично предыдущему примеру: заметив, что x = 4 есть корень уравнения, доказывается, что других корней нет. Следовательно, корнями исходного уравнения являются и x = 4.

c) ОДЗ уравнения определяется из системы

	x² + 1 > 0,
	x > 0,

откуда следует x Î (0;+¥). Используя свойство, получим равносильное уравнение

Поскольку при x > 0, а знак равенства достигается

лишь при x = 1, то левая часть уравнения В то же время правая часть уравнения принимает максимальное значение 1 при x = 1 (вершина параболы y = 2x - x² находится в точке (1;1)). Следовательно, уравнение

имеет решения только если откуда x = 1.

d) Решая аналогично примеру a), получим x = 3.

e) Используя утверждение A1 (иррациональные уравнения), получим

g) Находим ОДЗ уравнения

x + 1 > 0,	Û	x > -1,			Û
x + 1 ≠ 1,		x ≠ 0,	Û	x > 1,
x³ - 9x + 8 > 0,		x³ - x - 8x + 8 > 0,		x ≠ 2,
x - 1 > 0,		x > 1,		(x - 1)(x² + x - 8) > 0,
x - 1 ≠ 1,		x ≠ 2,

Û	x > 1,
	x ≠ 2,
	x² + x - 8 > 0,

Û	x > 1,
	x ≠ 2,

получим (в ОДЗ)

или

log_x₊₁(x - 1)(x² + x-8) = log_x₊₁(x - 1)³,

откуда следует уравнение

(x - 1)(x² + x - 8) = (x - 1)³,

	x = 1,
	x² + x - 8 = x² - 2x + 1,

откуда x₁ = 1, x₂ = 3.

Поскольку x = 1 не удовлетворяет ОДЗ, а остается лишь x = 3.

h) Поскольку функция f(x) = 6x - x² - 5 достигает своего максимума 4 при x = 3, следует, что

log₂(6x - x² - 5) ≤ 2.

Правая часть уравнения x² - 6x + 11 = x² - 6x + 9 + 2 = (x - 3)² + 2 и, следовательно, 2 - это наименьшее ее значение (достигается при x = 3). Таким образом, уравнение имеет решение лишь в случае, если одновременно log₂(6x - x² - 5) = 2 и x² - 6x + 11 = 2, то есть, если x = 3.

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0 ,

sin x · cos x – sin ² x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ²x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x ,

sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0 ,

tan ² x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y ² + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y₁ = -1, y₂ = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) 2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 , tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = p / 2 + pk ,

x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

по теме 13. Уравнения и неравенства

Решите уравнения

1. . 2. .

3. . 4.

5. . 6. .

7. 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ для обучающихся

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11. – М., 2005.

2. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2005.- 495 с.

3.Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

Интернет-ресурсы:

1. Газета «Математика» Издательского дома «Первое сентября»

http://mat.1september.ru

2. Математика в Открытом колледже

http://www.mathematics.ru

3. Math.ru: Математика и образование

http://www.math.ru

4. Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО)

http://www.mccme.ru

5. Allmath.ru — вся математика в одном месте

http://www.allmath.ru

6. EqWorld: Мир математических уравнений

http://eqworld.ipmnet.ru

7. Exponenta.ru: образовательный математический сайт

http://www.exponenta.ru

8. Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет-школа

http://www.bymath.net

9. Геометрический портал

http://www.neive.by.ru

10. Графики функций

http://graphfunk.narod.ru

11. Дидактические материалы по информатике и математике

http://comp-science.narod.ru

12. Дискретная математика: алгоритмы (проект Computer Algorithm Tutor)

http://rain.ifmo.ru/cat/

13. ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию

http://www.uztest.ru

14. Задачи по геометрии: информационно-поисковая система

http://zadachi.mccme.ru

15. Задачник для подготовки к олимпиадам по математике

http://tasks.ceemat.ru

16. Занимательная математика — школьникам (олимпиады, игры, конкурсы по математике)

http://www.math-on-line.com

17. Интернет-проект «Задачи»

http://www.problems.ru

18. Математические этюды

http://www.etudes.ru

19. Математика on-line: справочная информация в помощь студенту

http://www.mathem.h1.ru

20. Математика в помощь школьнику и студенту (тесты по математике online)

http://www.mathtest.ru

21. Математика для поступающих в вузы

http://www.matematika.agava.ru

22. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

http://school.msu.ru

23. Математика и программирование

http://www.mathprog.narod.ru

24. Математические олимпиады и олимпиадные задачи

http://www.zaba.ru

25. Международный математический конкурс «Кенгуру»

http://www.kenguru.sp.ru

26. Методика преподавания математики

http://methmath.chat.ru

27. Московская математическая олимпиада школьников

http://olympiads.mccme.ru/mmo/

28. Решебник.Ru: Высшая математика и эконометрика — задачи, решения

http://www.reshebnik.ru

29. Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина

http://www.mathnet.spb.ru

30. Турнир городов — Международная математическая олимпиада для школьников

http://www.turgor.ru

Скачать материал

Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для специальности 080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

· углубления и расширения теоретических знаний;

· систематизации и закрепления практических умений обучающихся;

· развития исследовательских умений.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 655 350 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Урок математики в 4 классе "Умножение двузначных чисел на круглые десятки" Урок -исследование.

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Тема: Умножение двузначного числа на круглые десятки

30.09.2020
1219
19

«Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.

docx

Контрольная работа № 2 по математике по теме "Умножение и деление на 2 и 3" 3 класс УМК "Школа России"

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.
Тема: Умножение и деление (продолжение)

Рейтинг: 1 из 5

30.09.2020
4612
597

«Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.

docx

Конспект по математике на тему "Обозначение геометрических фигур буквами"(3 класс)

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.
Тема: Обозначение геометрических фигур буквами

30.09.2020
828
5

docx

Технологическая карта по математике 6класс по теме "Действия с положительными и отрицательными числами"

Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Тема: § 29. Положительные и отрицательные числа

30.09.2020
1204
53

«Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

docx

План-конспект занятия "учимся решать задачи"

30.09.2020
1024
6

docx

Признаки делимости чисел (6 кл)

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Тема: § 1. Делимость чисел

30.09.2020
879
0

«Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

docx

РЕГИОНАЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Учебник: «Математика», Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др.
Тема: § 4. Площади и объемы

30.09.2020
933
11

«Математика», Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др.

docx

Конспект урока по математике на тему "Раньше. Позже. Сначала. Потом." 1 класс Школа России

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.
Тема: Подготовка к изучению чисел

30.09.2020
635
4

«Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 03.01.2015 633
- DOCX 2.7 мбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Синилова Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Синилова Татьяна Николаевна
- На сайте: 9 лет и 5 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 23648
- Всего материалов: 27