Главная / Математика / Методические рекомендации к изучению темы: Производная и ее применение.

Методические рекомендации к изучению темы: Производная и ее применение.

Департамент образования Вологодской области

Бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Вологодской области

«Череповецкий лесомеханический техникум им. В.П. Чкалова»











МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ



«ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ»






Работа выполнена преподавателем математики Захаровой С.В.




















Череповец 2014.

Содержание.

  1. Введение.

  2. Календарно – тематическое планирование.

  3. Теоретический материал:

    • Занятие 1:Понятие производной. Правила дифференцирования. Нахождение производной по определению

    • Занятие 2: Производная произведения, следствия. Производная многочлена, степенной функции.

    • Занятие 3: Производная частного. Производная тригонометрических функций.

    • Занятие 4: Производная логарифмической и показательной функций. Сложная функция, ее производная.

    • Занятие 5: Физический и геометрический смысл первой производной. Физический смысл второй производной.

    • Занятие 6: Исследование функций с помощью производной. Схема исследования . построение графиков.

    • Занятие 7: Контрольная работа по теме: «Производная, её приложения».


  1. Практические Работы.


  • Практическая работа № 1: Дифференцирование функций (степенная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная, обратные тригонометрические, сложная).

  • Практическая работа №2: Дифференцирование сложной функции.

  • Практическая работа №3: Физический и геометрический смысл производной, решение задач.

  • Практическая работа №4: Исследование функций. Построение графиков.


5. Список литературы.

1 Введение.

Тема «Производная» изучается на первом курсе обучения.

Изучение программного материала дает возможность учащимся овладеть понятием производной, усвоить ее геометрический и механический смысл, освоить технику дифференцирования, научиться применять дифференциальное исчисление для решения элементарных задач.

Уровень обязательной подготовки определяется следующими требованиями: понимать геометрический и механический смысл производной; находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, применять производные для исследования функций на монотонность и экстремумы.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ.

1) Производная, ее применение. Производная. Производная элементарных функций, правила дифференцирования, геометрический и механический смысл производной.

Основная цель: ввести понятие производной; научить находить производные, используя правила дифференцирования.

Введение понятия производной предваряется введением средней и мгновенной скорости.

Рассматривается предел отношения и используется для формирования понятия производной.

Формулы производных выводятся для простейших случаев. Таблица производных заполняется недоказанными ранее формулами.

Производная сложной функции не выводится, правила дифференцирования не доказываются. Вводя геометрический смысл производно, выводится уравнение касательной.

2) Применение производной: возрастание и убывание функций, экстремумы. Применение производной к построению графиков.

Основная цель: сформировать умение решать простейшие задачи средствами дифференциального исчисления.

ТЕМА. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.


  1. Понятие производной. Правила дифференцирования. Вычисление производной функции по определению.

  2. Производная произведения, следствия. Производная многочлена и степенной функции.

  3. Производная тригонометрических функций. Производная частного.

  4. Производная логарифмической и показательной функций. Сложная функция, ее производная.

  5. Физический и геометрический смысл первой производной. Физический смысл второй производной.

  6. Исследование функций с помощью первой производной. Схема исследования. Построение графиков.

  7. Контрольная работа.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ.

  1. Дифференцирование функций (степенная, логарифмическая, показательная, тригонометрические).

  2. Дифференцирование сложной функции.

  3. Физический и геометрический смысл производной. Решение задач.

  4. Исследование функций. Построение графиков.

Занятие 1.

ТЕМА: Понятие производной. Правила дифференцирования. Нахождение производной по определению.

ЦЕЛИ: Ввести понятие производной, дать представлений о правилах дифференцирования (производная суммы). Научить учащихся вычислять производную элементарных функций по определению.

Тип урока: урок изложения нового материала.

Этапы урока:

  1. Организационный момент.

  2. Постановка целей занятия.

  3. Актуализация опорных знаний.

  4. Изложение нового материала.

  5. Первичное закрепление изученного материала.

  6. Запись домашнего задания.

  7. Итог урока.

Актуализация опорных знаний.

Повторение понятий: функция, независимая переменная (аргумент), зависимая переменная, предел функции.

4Изложение нового материала.

Понятие производной.

4.1Приращение функции.

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость – это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение и т.д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х0 с значениями функции в различных точках х , лежащих в окрестности х0 удобно выражать разность f (х)- f (х0) через разность х- х0 пользуясь понятиями «приращение аргумента » и «приращение функции».

Определение 1. Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0 . Разность х - х0 - называется приращением независимой переменной (или аргумента) в точке х0, обозначается Δ х , т.е.

Δ х = х- х0


Замечание : Говорят также , что первоначальное значение аргумента х0 получило приращение Δ х .

Определение 2. Вследствие приращения аргумента , значение функции f изменится на величину


f (х)- f(х0)= f(х0+ Δ х)- f(х0)


эта разность называется приращением функции f в точке х0 , соответствующим приращению Δ х, и обозначается Δ f


Δ f = f(х0+ Δ х)- f(х0).


Пример Найдем приращения Δ х и Δ f , в точке х0 ,если f (х)= х2 х0=2, х=1,9.

Дhello_html_240b1f43.gifано : Решение:

х0=2 Δ х= х- х0

х=1,9 Δ х=1,9-2

f(х)= х2 Δ х =-0,1

Найти:

Δ х -? f (х0)= х2

Δ f -? f (2)=4

f (х0 х)=( х0+ Δ х)2

f(2 - 0,1)= f(1,9)= 1,92 =3,61

Δ f= f(х)- f(х0)

hello_html_5b970866.gifΔ f=3,61-4

Δ f=-0,39

Ответ: Δ х=0,1 Δ f = - 0,39.


4.2 Задачи, приводящие к понятию производной.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки.

Пусть точка М движется по прямой линии. Каждому моменту времени t соответствует путь S , т. е. путь, это функция от времени: S=f (t) (закон движения). Если тело движется равномерно, то его скорость постоянная и V = S/ t . В жизни же тела (поезд, автомобиль, самолет и др.) прямолинейно движутся лишь на некоторых участках пути, а в общем случае их движение неравномерное. Неравномерное движение нельзя охарактеризовать указанием пути, пройденного точкой за тот или иной промежуток времени. Поэтому для его характеристики используется понятие средней скорости.

Пусть материальная точка М движется по закону S = f (t), из промежутка (0; Т), если S0= f(t0) и S1= f(t1) , то средней скоростью движения за промежуток от t0 до t1 называется число:

Vср.= V(t0; t1)=hello_html_m70cf501f.gif

Пример: Пусть тело движется по закону S= (gt2)/2 .

Вычислим скорость за первую секунду:

V1=( S(1)- S(0))/(1-0);

V1=4,9м/с.

Вычислим скорость за десятую секунду:

V2=( S(10)- S(9))/(10-9);

V2=93,1м/с.

Вычислим скорость за период времени от 0с до 10с.

V3=( S(10)- S(0))/(10-0);

V3=49м/с.

V1,V2 и V3 различны.

Пример показывает, что при неравномерном движении для характеристики движения средней скорости не достаточно, для его характеристики вводят мгновенную скорость.

Vмг=hello_html_5fa31e68.gif Vср



4.3. Определение производной.

В рассмотренной задаче, мы по сути дела находили скорость изменения функции. Число равное скорости изменения функции в данной точке – это есть производная функции в этой точке.

Определение 3. Производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента. При Δх стремящемся к нулю.


f′0)=hello_html_m5b9f884a.gif.


Для того чтобы вычислить производную функции f в точке х0 нужно:

  1. Вычислить Δ f(х) ;

  2. Найти hello_html_m94ae230.gif;

  3. Вычислить hello_html_m5b9f884a.gif.

Пример Найти производную функции f(х)=х3 в точке х0.

  1. Δ f(х) = f0+Δх) - f0)

Δ f(х) = (х0+Δх)3 – х3 03+3х02Δх+3х0(Δх)2+(Δх)3- х03=

=3х02Δх+3х0(Δх)2+(Δх)3.


2. hello_html_m94ae230.gif=hello_html_1c6297f2.gif=3х02+3х0Δх+(Δх)2

3. hello_html_3cc85e41.gif (3х02+3х0Δх+(Δх)2.)=3х02+3х0×0+02=3х02.

Тогда f ′ (х) =3х02,

т. е. (х3)′=3х02.

Пример. Найдите производную функции f(х)= kx+b

  1. Δf(х) =f0+Δх)- f0)

Δf=k0+Δх)+b-(kх0+b)= kх0+kΔх+ b- kх0- b= k Δх.

2. hello_html_3bb91026.gif ,

3. hello_html_3cc85e41.gifk= k..

Определение4. Функцию, имеющую производную в точке х0 , называют дифференцируемой в точке х0.

Определение5. Пусть D1 – множество точек в которых функция f дифференцируема, сопоставляя каждому х из D1, число f′(х0), получим новую функцию с областью определения D1. эта функция называется производной функции f(х) и обозначается f′(х).

Определение6. Нахождение производной данной функции f называется дифференцированием.

Из примеров видно, что

3)′=3х2

(kх+ b)′= k.

Если предположить, что k=0 , то 0=( kх+ b)′ =(0х+ b)′= b

b′=0.

То есть производная от постоянной функции или числа равна нулю.


С=0.


4.4Правила дифференцирования.

Обозначим V(x0) = V

U(x0) = U

Правило 1. Если функции U и V дифференцируемы в точке х0, то их сумма дифференцируема в этой точке.

hello_html_m53d4ecad.gif(U+ V) ′= U ′+ V ′.


То есть производная суммы равна сумме производных.

Доказательство : Найдем приращение суммы в точке х0

    1. Δ(U+ V)= (U0+ Δх)+ V0+ Δх)) – (U0) – V0)) =

= (U0+ Δх)- U0)) + (V0+ Δх) – V0)) = Δ U+ Δ V.


hello_html_m53d4ecad.gif2.) hello_html_m5df0e873.gif

так как U и V дифференцируемы в точке х0 то

hello_html_16be5feb.gif= U ′+ V

то есть

(U+ V) ′ = U ′ + V ′.

Пример Вычислите производную функции х2 +2х +3 в точке х0.

Решение. (х2+2х+3) ′ = (х2) ′ + (2х+3) ′

(2х+3)′= 2 (см. пример выше) найдем производную х2.

1) Δ f(х) = (х0+ Δх)2 – х02 = х02+2х0 Δх+(Δх)2 - х02 = 2х0 Δх+(Δх)2

2) hello_html_7c8280a0.gif.


3)hello_html_14e84b7e.gif0+Δх)= 2х0+0

2) ′ = 2х.

Тогда (х2 + 2х +3)′ = 2х+ 2.



Дидактический материал к занятию.

Задание 1 Вычислите значение производной функции в точках:

А) f(х)=х2+3х+1 в т. х0=0; 3; 1.

Б) f(х)=hello_html_2c8ba221.gif+1, х0= -2; 1; -1.

Задание2 Пользуясь определением найдите мгновенную скорость точки, движущейся по закону f (х), в момент времени х0

А) f (х)= -х2+8х, х0=6сек.

Б) f (х) = 3х3+2 х0=2 сек.

В) f (х) = hello_html_mdcde497.gif , х0=4 сек.

Г) f(х) = 5х – 3 , х0= 10 сек.


Домашнее задание: Учить записи в тетради, основные понятия, свойства. Учебник: Яковлев стр. 286 – 292, параграф 30 п.1 стр. 294.

Вычислить производные функций по определению и используя правила дифференцирования.

    1. f (х)= х32+х+1 в точке х0= 3;

    2. f (х)= hello_html_742223f.gif +2 в точке х0= 2;

    3. f(х) = hello_html_7b740594.gif+х в точке х0=1 ; -1.

Примечание(замечания и предложения по уроку):



Занятие 2

ТЕМА: Производная произведения, следствия. Производная

многочлена, степенной функции.

ЦЕЛИ: Ввести в ходе занятия формулу для вычисления производной произведения, следствие из нее, показать как применяется формула на примерах. Формирование навыков вычисления производной степенной функции и многочлена.

Тип урока: комбинированный.

Ход занятия:

  1. Организационный момент.

  2. Постановка целей занятия.

  3. Проверка домашнего задания.

  4. Актуализация опорных знаний.

  5. Изложение нового материала.

  6. Первичное закрепление изученного материала (решение задач)

  7. Запись домашнего задания.

  8. Итог урока.

1,2

3,4 проверка домашнего задания , актуализация опорных знаний (3 человека решают домашние примеры у доски, 1 – доказывает формулу – производная суммы, остальные в это время вычисляют производную функции f(х)=х3+2х по определению 1 человек работает у доски).


Вопросы для фронтального опроса:

  1. Определение производной.

  2. Смысл производной.

  3. Производная от постоянной функции или числа.

  4. Производная суммы.

  5. Приращение аргумента и приращение функции.



5.Изложение нового материала.

5.1 Производная произведения.

Правило2. Если функции U и V дифференцируемы в точке х0, то и их произведение дифференцируемо в этой точке, и

(U×V) ′ = U′×V+U×V′.

Следствие 1. Если функция U дифференцируема в точке х0, а С – постоянная, то функция СU дифференцируема в точке х0 и

U)′ = СU′

Коротко говоря : постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Доказательство:


U)′ = С′ UU′ = 0 UU′ =СU

U) = СU′

Следствие 2. Если функции U и V дифференцируемы в точке х0, то функция (UV) дифференцируема в этой точке, и

(UV)′ = U′ - V′,

то есть производная разности равна разности производных.

Доказательство:

(U – V)′ = (U +(- V)) ′ = U′ +((- 1)· V) ′ = U′ +(-1)· V′ = U′ - V′,

(UV)′ = U′ - V′.


5.2 Производная степенной функции.

Формула вычисления производной степенной функции хα, где α – любое действительное число, такова –


α) ′ = α·хα-1.


Покажем правильность этой формулы на примерах.

  1. Было показано, что (х2)′ = 2х, (х3)′ =3х2 ( смотри занятие 1).


  1. Покажем, что (х4) ′ = 4х3

Доказательство: (х4) ′ = (х2·х2) ′ = (х2)′· х22·(х2) ′ = 2х·х22·2х = 2х3+2х3 = 4х3.

4) ′ = 4х3.

Аналогично можно показать, что (х5) ′ = 5х4, (х6) ′ = 6х5 и так далее.

Если α = 0, то хα = х0 = 0·х0-1=0

α = 1, то хα = х1 = 1·х1-1 = 1· х0 = 1·1 = 1.

Выпишем все формулы:

1) ′ = 1

2)′ = 2х,

3)′ =3х2,

4) ′ = 4х3,

- - - - - - - -

α) ′ = α·хα-1.

Пример:

А) f(х) = 3х5 + х4 + 3х2 +1

f (х)′ = (3х5 + х4 + 3х2 +1)′=(3х5)′+ (х4 ) ′+ (3х2 ) ′+(1) ′ =3(х5 ) ′+ (х4 ) ′+

+ 3(х2 )′+(1) ′ = 3·5х4 + 4х3 + 3·2х + 0 = 15х4 + 4х3 + 6х.

Б) f (х) = 3х7 - hello_html_779e0e27.gif

f (х) ′ = (3х7 – 5х -3) ′ = (3х7) ′ - (5х -3) ′ = 3·(7х6) - 5· (-3х -2) = 21х6 + 15х -2 = = = 21х6 +hello_html_62dc9075.gif .

В) f(х) = hello_html_45443a93.gif+hello_html_m14cc7321.gif + 5х2 – 10,

f (х) ′ = (hello_html_45443a93.gif+hello_html_m14cc7321.gif + 5х2 – 10) ′ = (hello_html_45443a93.gif)′ +(hello_html_m14cc7321.gif)′ + (5х2) ′ – (10) ′ =

=( hello_html_533177f5.gif)′ +hello_html_m2ac8ea74.gif ′ +(5х2) ′ – (10) ′ = hello_html_79725f7c.gif + hello_html_m6826db46.gif + 5·х2 – 0 =

= hello_html_61ccba30.gif = hello_html_8c7c954.gif.

Дидактический материал к занятию.

Задание hello_html_m53d4ecad.gif1. Вычислить производные функций:

f(х)= х23;

f(х)=hello_html_m355fcd2c.gif;

f(х) =х2+3х-1;

f(х) = hello_html_7359101a.gif;

f(х)=х3·(4+2х-х2);

f(х)=х2·(3х+х3);

f(х)=hello_html_5782c4b2.gif;

f(х)= (2х-3)(1-х3);

f(х)=х8+3х4-х-5;

f(х)=hello_html_m5e5cf9a9.gif;

f(х)= х7-4х5+hello_html_m1e8bda5e.gif+х;

f(х)=hello_html_11236f66.gif

Задание 2. Решите уравнение f′(х)= 0, если

f(х)=2х2-х;

f(х)=hello_html_m6a2bd2cd.gif;

f(х)= hello_html_m10df2a01.gif;

f(х)=2х – 5х2.

Задание 3.Вычислите f′(1), если

f(х)=hello_html_ma779379.gif;

f(х)=hello_html_m16fe8e9.gif.


Задание 4. Задайте формулой три какие-нибудь функции, производная которых равна:

а) 2х+3;

б) 8х – 2;

в) 16х3- 0,4;

г) 9х2-hello_html_m4bf21f14.gif.

Домашнее задание.

Учить записи в тетради. Яковлев стр. 294 – 296 п. 1,2; стр. 298 №6.7, №6.8.



Примечание (предложения и замечания к уроку).

Занятие 3

ТЕМА: Производная частного. Производная тригонометрических функций.

ЦЕЛИ: Ввести в ходе занятия формулу для вычисления производной частного, формулы для вычисления производных синуса, косинуса. Вывести формулы для вычисления производных тангенса и котангенса. Дать формулы для вычисления производных обратных тригонометрических функций..

Тип урока: комбинированный.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Постановка целей занятия.

  1. Проверка домашнего задания.

4. Актуализация опорных знаний.

5. Изложение нового материала.

6. Первичное закрепление изученного материала (решение задач)

7. Запись домашнего задания.

8. Итог урока.

1,2

3,4 проверка домашнего задания , актуализация опорных знаний (Фронтальный вопрос: первый вопрос задает учитель, следующий вопрос задает отвечавший ученик и сам выбирает того, кто будет отвечать и так далее по цепочке ответ – вопрос, если ответа на вопрос не последует, отвечает другой ученик либо задающий вопрос).

Вопросы для фронтального опроса:

  1. Определение производной,

  2. Определение приращения функции и аргумента,

  3. Смысл производной,

  4. Правила дифференцирования, следствия из них,

  5. Таблица производных.




5Изложение нового материала.

5.1 Производная частного.

Правило 3. Если функции U и V дифференцируемы в точке х0, и функция V не равна нулю в этой точке, то частное hello_html_17718cb9.gif также дифференцируемо в этой точке и


hello_html_21f8d9b1.gif.

Пример.

а) f(х)= х2 - hello_html_6fe4202.gif= hello_html_m4937fe0a.gif ;

f(х)′ = hello_html_m2d272aa4.gif= hello_html_78aef078.gif=

=hello_html_17e68738.gif

б) f(х)=hello_html_m3f842e37.gif;

f(х)=hello_html_39441b.gif=hello_html_6bfbfc60.gif=hello_html_m272e5f5a.gif=

=hello_html_5b59ec93.gif.

5.2 Производные тригонометрических, обратных тригонометрических функций.

1. (Sinх)′ = Cosx;

2. (Cosx)′ = - Sinx;

3. (tgx)′ = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6ecc6d49.gif=

=hello_html_m32434d41.gif

(tgx)′=hello_html_m4b5cd87b.gif

(формулу для вычисления производной тангенса выводит учитель, а для котангенса – кто-нибудь из учащихся)

  1. (ctgx)′ =hello_html_6cf333bb.gif.

  2. (arcsinx)′ =hello_html_m69f9c83a.gif;

  3. (arccosx)′ = -hello_html_m69f9c83a.gif;

  4. (arctgx)′ = hello_html_3086bb60.gif;

  5. (arcctgx)′ = hello_html_d7b920d.gif.


Дидактический материал к уроку.

Задание 1. Найдите производные следующих функций.

  1. f(х)=2 Sinх,

  2. f(х)=-0,5 Sinх,

  3. f(х)= 3 Cosx,

  4. f(х)= 1- Cosx,

  5. f(х)=hello_html_m980c3de.gif - 3 tgx,

  6. f(х)= hello_html_m4bf21f14.gif tgx,

  7. f(х)= Cosx- tgx,

  8. f(х)= 2 tgxSinх,

  9. f(х)=х3· Sinх,

  10. f(х)= х4 + х· tgx,

  11. f(х)=hello_html_1fc20713.gif,

  12. f(х)=hello_html_35d38e46.gif,

  13. f(х)= arcctgx - 3 arccosx +5 arcsinx,

  14. f(х)= hello_html_31729157.gif,

  15. f(х)= Sinх+3 Cosx - 6tgx -4 ctgx,

  16. f(х)=hello_html_m31bb4aba.gif,

  17. f(х)= hello_html_c6fc7ea.gif,

  18. f(х)= cosx·(1+3x2-6x4+15x10),

  19. hello_html_m3049d106.gif,

  20. f(х) = Сosx · (sinx + tgx – ctgx).


Домашнее задание.

Записи в тетради.

Задание1: Найдите производные функций:

1. f(х)= 1- hello_html_m4bf21f14.gifSinх; 2. f(х)=0,5+1,5 Cosx;

3. f(х) = х+ 2 tgx ; 4. f(х)=2 Sinх+15 Cosx;

5. f(х)=hello_html_3d5cc122.gif, 6. f(х)=hello_html_6f264045.gif;

7. f(х)=hello_html_m3a1b4da1.gif; 8. f(х)= hello_html_m286b72f.gif;

9 f(х)= hello_html_m11d18333.gif; 10. f(х)= (Cosx+ Sinх)· hello_html_m64bfaaec.gif.


Примечание( предложения и замечания по уроку).








Занятие 4.

ТЕМА: Производная логарифмической и показательной функций. Сложная функция , ее производная.

ЦЕЛИ: Ввести в ходе занятия формулу для вычисления производных показательной и логарифмической функций. Показать на примерах, что такое сложная функция. Привести формулу для вычисления производной сложной функции. Формирование первичных навыков по вычислению производных сложных функций.

Тип урока: комбинированный.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Постановка целей занятия.

  1. Проверка домашнего задания.( самостоятельная работа)

4. Актуализация опорных знаний.

5. Изложение нового материала.

6. Первичное закрепление изученного материала (решение задач)

7. Запись домашнего задания.

8. Итог урока.

1,2

3,4 Проверка домашнего задания организована в виде в виде самостоятельной рабаты, включающей в себя теоретические вопросы по предыдущим темам, а также примеры, требующие применения формул.

Самостоятельная работа (4 варианта).

1 вариант.

Задание 1 Продолжите формулу:

1.(U+V)′=

2. (5х4)′ =

3.(tgx)′ =

Задание 2 вычислите производные функций.

1. hello_html_6aeabebc.gif;

2.hello_html_mfa9c09a.gif;

3.(arccosx)′ = .

2 вариант

Задание 1 Продолжите формулу:

  1. С′ =

  2. (6х8+1)′ =

  3. (ctgx)′=

Задание 2 вычислите производные функций.

  1. f(х)=(3х2- 1)·sinx+hello_html_m3eaf17a2.gif,

  2. f(х)=hello_html_m5acd08a3.gif,

  3. f(х)=arcsinx.

3 вариант.


Задание 1 Продолжите формулу:

  1. (U·V)′ =

  2. (3х7-1)′=

  3. (cosx)′=

Задание 2 вычислите производные функций.

  1. f(х)=hello_html_m7a89b669.gif

  2. f(х)=hello_html_73c53453.gif

  3. f(х)=arcctgx.

4 вариант

Задание 1 Продолжите формулу:

1. hello_html_2c47e6e2.gif′=

2. (4х3-12)′=

3. (sinx)′=




Задание 2 вычислите производные функций.1.

  1. f(х)=hello_html_m43d4eafb.gif,

  2. f(х)=hello_html_m40e5a9c3.gif,

  3. f(х)=arctgx.


  1. Изложение нового материала.

    1. Производная показательной функции.

Изучая логарифмическую функцию y=logax, мы рассматривали функцию y=lnx – натуральный логарифм, т.е. логарифм по основанию е, где е примерно 2,71.

Logex = lnx.


Теорема 1. Функция ех дифференцируема в каждой точке области определения и

х)′ =ех.


Теорема 2. Показательная функция ах дифференцируема в каждой точке области определения и

х)′ = ах·lna.


Пример .

А)f(х)=ех+4·2х.

f(х)′ = (ех)′+4·(2х)′ = ех+4·2х·ln2 = ех +22·2х· ln2 =ех +22+х· ln2.

Б) f(х)= х4·4х.

f(х)′ =( х4·4х)′ = (х4)′·4х+ х4·(4х)′ = 4х3·4х + х4·4х·ln4 = 4х·х3(4 + х· ln4).

В) f(х)=hello_html_63e04b09.gif

f(х)′ = hello_html_63d567b.gif=hello_html_m10acfb6b.gif=

= hello_html_m3e666415.gif= hello_html_4087e485.gif

f(х)′ =hello_html_m52905d21.gif.

    1. Производная логарифмической функции.

  1. (lnx)′ =hello_html_6fe4202.gif;

  2. (logax)′ = hello_html_m760d5ed0.gif= hello_html_m261818e2.gif= hello_html_m625d9bb.gif=hello_html_26c837e6.gif.


(logax)′ =hello_html_26c837e6.gif.


    1. Сложная функция.

Пусть заданы две функции у=g(x) и z=φ(y), причём область определения функции φ содержит множество значений функции g. Функция z, заданная формулой z= φ(g(x)), называется сложной функцией, составленной из g и φ. Иными словами сложная функция это функция от функции.

Примеры .

  1. f(х)=hello_html_m3f7a95a8.gif.

f=hello_html_m67cc582e.gif; g=x3+4x+5.

  1. f(х)=2log5(3x-1)

f = 2 log5 g g = 3x-1.

3. f(х)=(5x+9)100

f = g100 g = 5x+9.


    1. Производная сложной функции.

Если z= f(g(x)), то

z′ = f′( gg′(х).

Пример 1.

1.f(х)=hello_html_m3f7a95a8.gif.

g=x3+4x+5

f(х)′=hello_html_63a74b5f.gif·g′=

= hello_html_6c4f9332.gif.

2.f(х)=2log5(3x-1),

g = 3x-1.

f(х)′ =(2 log5 g)′ ·g′ = 2· (log5 g)′ ·g′ hello_html_m39a61695.gif.

f(х)′ = hello_html_3b1d32ba.gif.

3. 3. f(х)=(5x+9)100

g = 5x+9.

f(х)′ = (g100)′· g′ =100g99·g′ =100· (3х-1)99· (3х-1)′ = 100· (3х-1)99·3 =300· (3х-1)99.

f(х)′ = 300· (3х-1)99.

Дидактический материал к занятию.

Задание 1. Вычислить производные следующих функций.

  1. f(х)=е3х,

  2. f(х)=5,

  3. f(х)=3 log35х,

  4. f(х)=6sinhello_html_3b13835f.gif,

  5. f(х)=hello_html_297d5e2e.gif,

  6. f(х)=hello_html_m7d021a63.gif,

  7. f(х)= log35х,

  8. f(х)=ln4x,

  9. f(х)=ln(x-1),

  10. f(х)=6ln(3x+1),

  11. f(х)=hello_html_d1b3cd2.gif,

  12. f(х)=hello_html_3a460c0d.gif?

  13. f(х)= (23+15x2+x3)4,

  14. f(х)=4cos53x,

  15. f(х)= 8sin410x,

  16. f(х)=hello_html_3284a982.gif,

  17. f(х)= lnsinx .

Домашнее задание.

Учить записи в тетради. Все формулы, рассмотренные на этом и на предыдущих занятиях выписать на отдельный листок и выучить.

Решить примеры.

  1. f(х)=hello_html_m41f64249.gif,

  2. f(х)= hello_html_m44d9002a.gif,

  3. f(х)=(17-15х+х3)10,

  4. f(х)=ln(3x+5)2,

  5. f(х)=ln2(3x+5),

  6. f(х)=hello_html_m305917d9.gif,

  7. f(х)=hello_html_b5f5c70.gif,

  8. f(х)=lncosx.


Примечания (предложения и замечания по уроку).









Занятие 5.

ТЕМА: Физический и геометрический смысл первой производной. Физический смысл второй производной.

ЦЕЛИ: Ввести в ходе занятия понятия: физический ( механический ) смысл первой и второй производной, геометрический смысл первой производной. Вывести уравнение касательной и нормали, проведенных к графику функции в точке х0.

Тип урока: комбинированный.

Ход занятия:

  1. Организационный момент.

  2. Постановка целей занятия.

  3. Проверка домашнего задания.

  4. Изложение нового материала.

  5. Первичное закрепление изученного материала (решение задач)

  6. Запись домашнего задания.

  7. Итог урока.

1,2,

3. Проверка домашнего задания ( проверка проходит в форме фронтального опроса, наиболее сложные примеры из домашнего задания разбираются у доски).

Вопросы для фронтального опроса.


  1. Определение производной,

  2. Определение приращения функции и аргумента,

  3. Смысл производной,

  4. Правила дифференцирования, следствия из них,

  5. Таблица производных.

4.Изложение нового материала.

4.1 Определение касательной и нормали.

В курсе геометрии вы уже встречались с понятием касательной, а именно касательная к окружности и имеющая с ней единственную общую точку. Однако, такое определение касательной неприменимо для произвольной кривой. Определим касательную к кривой L в точке М0 .



hello_html_53c1b563.gif


Пусть М – некоторая точка кривой L, которая отлична от М0 , прямая ММ0 называется секущей кривой L. Если точку М перемещать по кривой L, приближая к М0 , то секущая ММ0 будет поворачиваться вокруг точки М0 , занимая положение М0М , М0М1 М0М2 и так далее. Если М М0 будет стремиться занять некоторое положение МТ при стремлении тачки М по кривой L а точке М0 , то прямая М0Т называется касательной к кривой L.

Отметим, что кривая может иметь касательную не в каждой точке.


hello_html_16b5c3b3.gif

В точках х0, х1 касательной не существует , то есть касательной не существует « в острых углах графика».

Определение 7. Нормалью, проведённой к графику функции в точке М0 , называется прямая , проходящая через эту точку перпендикулярно касательной.

    1. Геометрический смысл производной.

hello_html_m1a06bf44.gifhello_html_694f9696.gif

Углы α и β соответственные при параллельных прямых и секущей tgα из треугольника M0MN равен tg α =hello_html_m16e79a61.gif , MN=f(x) – f(x0) = Δ f(x), M0N=х-х0= Δх , т.о.

tg α =hello_html_m94ae230.gif,

т.е. угловой коэффициент секущей k = tg α . Если х → х0 ( М приближается к М0) секущая ММ0, при этом меняет своё положение , меняя угол β и

tgβ =hello_html_2854d9ff.gif.

Таким образом можем установить геометрический смысл производной : Производная функции f(x) в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной , проведенной к графику функции в этой точке.

Замечание. Если функция в точке не имеет производной, то в этой точке нельзя провести касательную к графику.


    1. Уравнение касательной.

y=kx+b, k=? , b = ?.]


    1. khello_html_m5ff42055.gif= tg α

k = f ′ (x0).

tg α = f ′ (x0).

у= f ′ (x0) + b

    1. Найдем b из условия, что касательная проходит через точку с координатами (х0; f (x0)), т.е.

f(x0)= f ′ (x0)·х0 + b

b = f(x0) - f ′ (x0)∙х0.

3) Подставим полученные значения k и b в уравнение.


у = f ′ (x0)∙х+ f(x0)- f ′ (x0)

у= f (x0)+ f ′ (x0)·(х - х0).


у= f (x0)+ f ′ (x0)·(х - х0).

    1. Уравнение нормали.


ун = kнх + bн;

ук = kкх + bк.

kнkк = - 1.

kк = f ′ (x0) → kн = hello_html_6003f3e3.gif


hello_html_m5b592255.gif.

Пример 1. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = х3 – х2 в точке х0 = 2.

Решение: известно, что tgα = f′(x)

f′(x) = (х32)′ = 3х2 - 2х ;

f′(x0) = f′(2)= 3∙4 - 2∙2 =8.

tgα = 8.

Пример 2. Найдите уравнение касательной и нормали, проведенных к графику функции f(x) = х2 –х, в точке х0=2.

Решение: у= f (x0)+ f ′ (x0)·(х - х0).

У= х2 –х, х0=2.

1. f0) = f(2)

f0) = 22 – 2 = 2.

2. f′(x) = (х2 –х) ′ = 2х – 1.

3. f ′(х0) = f ′(2)=2·2 – 1 = 4 – 1 = 3.

4. у = 2 + 3∙(х – 2)

у = 2 + 3х – 6

у = 3х – 4 (уравнение касателбной)

hello_html_m5b592255.gif

у = 2 - hello_html_m51ce4be7.gif·(х – 2 )

у = 2 - hello_html_6a6ba4d7.gif +hello_html_a7084f8.gif

у = hello_html_md978ce8.gif ( уравнение нормали).


4.5. Физический смысл первой производной.

Когда мы вводили понятие производной, мы рассматривали пример из физики о мгновенной скорости

Vмг. = hello_html_m2d2857d9.gif= S (t) .

То есть, чтобы найти скорость в любой момент времени t нужно :

  1. Найти производную пути по времени,

  2. Вычислить значение производной в этой точке .

Физический смысл первой производной: Первая производная путь по времени – это скорость.

В общем случае – производная это скорость изменения функции.

V(t) = S ′ (t).

Из физики известно, что ускорение это скорость изменения скорости то есть

a = V′ (t).

a = V′ (t) = (S′(t))′ = S′′(t).

Физический смысл второй производной: Вторая производная пути по времени – это ускорение.

Пример 3. найдите вторую производную функции f(x) = х3 + х2.

Решение: f′′(х) = (f′ (х))′ = ((х32)′)′ = (3х2 + 2х )′ = 6х + 2.

f′′(х) = (х3 + х2) ′′ = 6х +2.

Пример 4. Тело движется по закону: S(t) = S0 + V0t + hello_html_m4ad756c8.gif, определите законы по которым изменяются скорость и ускорение.

Решение: Скорость – это производная пути по времени.

V(t) = S ′ (t) = (S0 + V0∙t + hello_html_m4ad756c8.gif)′ = S0 ′+ (V0∙t)′ + (hello_html_m4ad756c8.gif)′ = 0 + V0 + at.

V(t) = V0 + at.

а(t) = V′ (t) = (V0 + at)′ = 0 + а .

а(t) = а.

Пример 5. Тело движется по закону S(х) = 10 + 15х2 + х3, найдите скорость тела и ускорение через три секунды после начала движения.

Решение: V(t) = S ′ (t)

V= (10 + 15х2 + х3)′ = 30х + 3х2.

V(3) = 30∙3 +3∙32 = 90 +27 = 117 м∕с.

а = V ′ (t) = (30х + 3х2)′ = 30 + 6х .

а(3) = 30 + 6∙ 3 = 30 + 18 =48 м ∕ с2.


Дидактический материал к занятию.

  1. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) = х3 – 27, в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.

  2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 2 – х2 в точке с абсциссой х = - 3 .

  3. Напишите уравнение касательной и нормали, проведенных к параболе f(x) = 2х2 + 1, в точках: х = -1, х = 0, х = 1.

  4. В какой точке касательная к кравой у = Lnx наклонена к оси ОХ под углом 45°.

  5. Под каким углом касательная к кривой у = ех , в точке (0;1) пересекает ось ОХ.

  6. Тело движется прямолинейно по закону S(t) = 3 + 2t + t2. Определите его скорость и ускорение в момент времени t =1сек, t = 3 сек.

  7. Скорость тела, движущегося прямолинейно определяется по закону V(t) = 4t + 5t2 (м∕с). Какое ускорение будет иметь тело через 5 секунд после начала движения?

  8. Тело, масса которого 0,5 кг, движется прямолинейно по закону S(t) = 2 t2 + t – 3 (м). найдите кинетическую энергию тела через 7 секунд после начала движения.

  9. Найдите силу, действующую на точку массой m , движущейся по закону S(t) = t2 – 4t4 через 3 секунды после начала движения.

  10. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью V0, движется по закону h(t) = V0t - hello_html_5c41287a.gif, h – это путь, t – это время. Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если V0 = 40 м∕с, g = 10 м ∕ с2.


Домашнее задание: Учить записи в тетради . Письменно решить задачи: 3,9.


Замечания и предложения к уроку.

Занятие 6.

ТЕМА: Исследование функций с помощью производной. Схема исследования . построение графиков.

ЦЕЛИ: Дать учащимся представление о том, как применяется производная к исследованию функций, привести схему исследования. Формирование умения строить графики функций на основе данных, полученных при исследовании функций.

Тип урока: Комбинированный урок.

Этапы урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация опорных знаний.

  3. Изложение нового материала.

  4. Первичное закрепление изученного материала.

  5. Запись домашнего задания.

  6. Итог урока.

Актуализация опорных знаний.

Повторение понятий: определение возрастающей, убывающей функций, точек максимума и минимума, четность, нечетность.

Изложение нового материала.

Теорема 1. Функция f возрастает на интервале (а; в) тогда и только тогда, когда для любого х из (а;в) f ′ (х)>0.

Теорема 2. Функция f (x) убывает на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда для любого х из (a; b) f ′ (х)<0.

Правило нахождения интервалов монотонности .

  1. Находим производную f ′ (х), затем находим точки в которых f ′ (х)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f .

  2. Критические точки разбивают область определения на интервалы, на каждом из которых производная f ′ (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

  3. Определяем знак f ′ (х) на каждом из найденных интервалов. Если f ′ (х)>0 на интервале, то на нем функция возрастает, если f ′ (х)<0 – убывает.

Пример : Найдите интервалы монотонности функции f (х) =х∙lnх+3.

Решение. 1) Найдём f ′ (х)

f ′ (х)=hello_html_m7ed6e279.gif=hello_html_m4c50b5c1.gif.

2) Найдём точки в которых производная равна нулю.

Lnx+1=0 lnx = - 1 hello_html_79837735.gif.

f ′ (х)>0 на hello_html_12e46fce.giff ′ (х)<0 на hello_html_645ba4e3.gif .

Значит функция возрастает на hello_html_12e46fce.gif и убывает на hello_html_645ba4e3.gif .

Исследование на экстремумы.

Определение 1.Точка х0 называется точкой максимума, если в ней возрастание сменяется убыванием.

Точка х0 называется точкой минимума , если в ней убывание сменяется возрастанием.

Определение 2. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 3. Если точка х0 является точкой максимума или минимума функции у = f (х), то f ′ (х) = 0 (если она существует в этой точке).

Теорема 4. Если производная f ′ (х) при переходе через точку х0 меняет знак с плюса на минус, то х0 является точкой максимума.

Если производная f ′ (х) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то точка х0 является точкой минимума.

Правило нахождения экстремумов.

  1. Найдите критические точки.

  2. Исследуйте знак производной f ′ (х) в окрестности каждой точки.


Пример. Найдите экстремумы функции hello_html_5f2bd0d2.gif.

Решение: f ′ (х)= hello_html_m2c6a89b5.gif, hello_html_m2c6a89b5.gif=0, х=0 или х=2 или х = - 2 .

hello_html_5e705b05.gifhello_html_58d91dee.gif

Ответ: хmin= -2, xmax= 0, xmin= 2.

Схема исследования функции.

  1. Область определения и множество значений.

  2. Исследование на четность, нечетность, периодичность.

А) четность – нечетность . Сначала нужно проверить симметрична ли область определения относительно нуля, если нет, то это функция общего вида, если да – проверяем выполнимость условий. f (-х) =f (х) (четная) или f (-х) = - f (х) (нечетная), иначе – общего вида.

Б) Периодичность . Ищем положительное число Т, такое что:

f (х) = f (х+Т) = f (х - Т) – периодичная .

3. Нули функции ( точки пересечения графика функции о осями)

а) ось у, точку находим из условия х = 0. (0; f (0))

б) ось х, точки пересечения находим из условия у = 0 .

4. Промежутки знакопостоянства. Промежутки знакопостоянства находим из условий f (х) >0 и f (х) <0, на тех промежутках, где f (х) >0, график функции будет выше оси х, там где f (х) <0, график функции будет ниже оси х.

5. Промежутки монотонности. Промежутки на которых f ′ (х)>0 – это промежутки возрастания функции, где f ′ (х)< 0 – промежутки убывания.

6. Экстремумы функции. Находим точки в которых производная равна нулю и определяем, какие из них точки минимума, а какие точки максимума.

7. Дополнительные точки. Строятся в том случае, если по найденным точкам трудно определить поведение графика.

Пример. Исследуйте функцию и постройте её график f (х) = hello_html_m2ec3dc8d.gif.


Решение:

1.Dy=R; Ey = R.

2. Dy – симметрична относительно 0 , найдем f (-х) = hello_html_7de4fe1f.gif =hello_html_7114c6b1.gif - функция нечетная, значит график симметричен относительно начала координат.

3. Нули функции.

А) ось у: найдем f (0) = 0 (0;0)

Б) ось х: решим уравнение hello_html_m2ec3dc8d.gif=0,

hello_html_m3e0acee7.gif

х3=0 , х = 0 или hello_html_m4f6b2423.gif х =hello_html_6fcc030d.gif.

4. Промежутки знакопостоянства .График выше осе х на hello_html_dff2068.gif и hello_html_m629b091f.gif; ниже оси х на hello_html_m35763091.gif и hello_html_672b5307.gif.

5. Промежутки монотонности. f ′ (х)= х2 – х4= х (х +1)(1 – х)

f ′ (х)= 0 х=0, х =1, х = - 1.

f ↑ на (-1; 1)

f ↓ на (hello_html_m26487343.gif; -1); hello_html_6cafe4ad.gif.

6.хmax=1 ymax = hello_html_m160cc233.gif.

Xmin= -1 ymin=hello_html_5b58aaa3.gif.

7. Дополнительные точки. Х=3 у hello_html_6a1478d4.gif; х= -3 уhello_html_6c696a35.gif




Дидактический материал.

  1. Определите интервалы монотонности следующих функций.

а) f (х) = 5х – 2 ;

б) f (х) = 4 – 9х ;

в) f (х) = hello_html_m148d06c.gif;

г) f (х) = hello_html_m6a2e97a4.gif;

д) f (х) = х2+х – 1 ;

е) f (х) =hello_html_591c770a.gif;

ж) f (х) = hello_html_m18085609.gif;

з) f (х) = hello_html_4b8ab54a.gif;

и) f (х) = 7х2 +14х+1;

к) f (х) = hello_html_2a80cf54.gif.

2. Найдите экстремумы следующих функций:

а) f (х) = 1+4х – х2;

б) f (х) = 3+х2 – 6х ;

в) f (х) = hello_html_m58c2b15b.gif;

г) f (х) = hello_html_263438be.gif.

Домашнее задание: Выучить теоретический материал. Решить задачи 1(в;е;и) 2(б).


Замечания и предложения к уроку.







Занятие 7.

ТЕМА: Контрольная работа по теме: «Производная, её приложения».

ЦЕЛИ: Систематизация, обобщение и контроль знаний и умений учащихся по теме.

Тип урока: урок контроля, систематизации и обобщения знаний.

Этапы урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация опорных знаний.

  3. Решение контрольной работы.

  4. Итог урока.

Дается контрольная работа по вариантам, всего 4 варианта. Перед началом работы повторяются основные формулы, теоремы, определения(минут на 10 – 15 ).

Вариант 1.

  1. Исследуйте функцию на экстремумы по первой производной hello_html_m58bb819f.gif.

  2. Дана функция hello_html_m4997c983.gif, вычислите значение производной в точках х=0 и х=π.

  3. Найдите производные функций.

А) hello_html_65f43c24.gif; Б)hello_html_1a92be13.gif;

В) hello_html_m5aa28016.gif; Г) hello_html_114169c4.gif.

4. Точка движется по закону hello_html_m3d57110a.gif(м). Найдите скорость, и ускорение точки в конце второй секунды после начала движения.

Вариант 2.


  1. Исследуйте функцию на экстремумы по первой производной hello_html_6c192095.gif.

  2. Дана функцияhello_html_1514dffc.gif, вычислите значение производной в точках х=0 и х=π.

  3. Найдите производные функций.

А) hello_html_m4f996a0c.gif; Б)hello_html_m4c9d0ed5.gif;

В) hello_html_m1ca0cf82.gif; Г)hello_html_mcd21813.gif.

  1. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t = 3 сек., если hello_html_ed0b9ce.gif.

Вариант 3.



1. Исследуйте функцию на экстремумы по первой производной hello_html_m4b2185c5.gif.

2. Дана функция hello_html_155d02f0.gif, вычислите значение производной в точках х=0 и х=π.

3. Найдите производные функций.

А hello_html_m6fe46aba.gif; Б)hello_html_1e5e2405.gif;

В) hello_html_62bb66a7.gif; Г) hello_html_m137e3f30.gif.

4. Точка движется по закону hello_html_m142389aa.gif(м). Найдите скорость, и ускорение точки в конце третьей секунды после начала движения.

Вариант 4.

1. Исследуйте функцию на экстремумы по первой производной hello_html_22da146b.gif.

2. Дана функция hello_html_m641e79e4.gif, вычислите значение производной в точках х=0 и х=π.


3. Найдите производные функций.

А) hello_html_m334537c3.gif; Б)hello_html_m37d4638.gif;

В) hello_html_m61167a51.gif; Г) hello_html_m7c5fd483.gif.

4. Точка движется по закону hello_html_m7b39c09.gif(м). Найдите скорость, и ускорение точки в конце четвертой секунды после начала движения.



Практическая работа №1.

ТЕМА: Дифференцирование функций (степенная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная, обратные тригонометрические, сложная).

ЦЕЛИ: Отработать умение пользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования при решении элементарных задач.

Тип урока: урок закрепления знаний и формирования умений.

Оборудование: Таблица производных, раздаточный материал.

Ход урока.

  1. Организационный момент.

  2. Постановка целей занятия.

  3. Актуализация опорных знаний.

  4. Решение задач и упражнений.

  5. Запись домашнего задания.

  6. Проверочная работа.

  7. Итог урока.

1,2. Организационный момент. Постановка целей занятия.


3. Фронтальный опрос.

  1. Определение производной.

  2. Правила дифференцирования.

  3. Таблица производных.

  4. Производная сложной функции.


4. Решение задач.


Дидактический материал к уроку.

Задание 1. Вычислите производные функций.

1. hello_html_58bed8f8.gif, 2. hello_html_a67828b.gif,

3. hello_html_287f1ade.gif, 4. hello_html_da9a95c.gif,

5. hello_html_59fe2ac5.gif, 6. hello_html_m774ecb38.gif,

7. hello_html_m7fe15b76.gif, 8. hello_html_m673e1c4c.gif,

9. hello_html_m1d88043e.gif, 10. hello_html_c6da94c.gif ,

11. hello_html_m17aa8f9.gif, 12. hello_html_m772cc665.gif,

13. hello_html_9c8c6a5.gif 14. hello_html_11ab23ea.gif

Задание 2. Решите уравнение hello_html_14e252bc.gif, если:

1) hello_html_4e8e03e3.gif, 3) hello_html_md25a65d.gif,

2) hello_html_m619ccac2.gif, 4) hello_html_m4c36f24e.gif.

Задание 3. Вычислите производные сложных функций:

1) hello_html_5b716cbb.gif 2) hello_html_39a1eced.gif,

3) hello_html_1e49d81f.gif, 4) hello_html_6d3d9b9d.gif ,

5) hello_html_m32f3384c.gif 6) hello_html_443343c4.gif,

7) hello_html_2deb5ec1.gif, 8) hello_html_m3c7d0267.gif,

9) hello_html_49c5b302.gif 10) hello_html_1f691b50.gif,

11) hello_html_73d571f.gif, 12) hello_html_m1bda6b8.gif,

13) hello_html_3b0a8676.gif, 14) hello_html_c57617d.gif,

15) hello_html_304e7a21.gif, 16) hello_html_m6f90ba40.gif,

17) hello_html_m9b22673.gif, 18) hello_html_6ea96cf0.gif,

19) hello_html_m2f27ea01.gif, 20) hello_html_m464ba5a5.gif.


  1. Домашнее задание преподаватель задает из не разобранных заданий.

  2. Проверочная работа составляется из задач дидактических материалов.

  3. Итог урока.

Практическая работа №2.

ТЕМА: Дифференцирование сложной функции.

ЦЕЛИ: Обеспечить в ходе урока педагогические условия для формирования умения вычислять производные сложных функций. Проверка знаний и умений, учащихся по теме производная.

Ход занятия.


  1. Организационный момент.

  2. Постановка целей занятия.

  3. Актуализация опорных знаний.

  4. Решение задач (самостоятельно).

  5. Запись домашнего задания.

  6. Итог урока.

1,2.

3.Актуализация опорных знаний.

  • Выписать на доске формулы дифференцирования.

  • Решить задачи, аналогичные задачам для самостоятельной работы.

Методические рекомендации.


Вычислите производные функций.

1) hello_html_m13d9d5c3.gif

Здесь две функции: у = х 3 – 4х + 1 и z = у 3 .

Найдем производную: х 3 – 4х + 1 = t

Тогда

f ´(x)=hello_html_md128a21.gif.

2) hello_html_m634e9325.gif = hello_html_m763fb8bc.gif.

hello_html_m6fc56348.gif.

hello_html_2bcd72e4.gif=

hello_html_m6db8477e.gif

= hello_html_m228174b4.gif=

=hello_html_18aa3cb4.gif.


3) hello_html_m50c5344e.gif.

hello_html_m47438b2e.gif

hello_html_2be0bf38.gif.

4) hello_html_m4bcd5a55.gif.

t=cosx.

hello_html_m10433e65.gif.


Практическая работа.

1 вариант.

1 Вычислите производные функций:

  • hello_html_33475bac.gif,

  • hello_html_m27c65b0e.gif,

  • hello_html_36d5dd1a.gif,

  • hello_html_19f4f18d.gif,

  • hello_html_m229b088.gif.

2 Найдите значение производной функции в точке х = 1, если

hello_html_m28940497.gif.


Вариант 2.


1. Вычислите производные функций:

  • hello_html_4160bfa8.gif,

  • hello_html_m67fd0137.gif,

  • hello_html_54e69b6a.gif,

  • hello_html_311deb77.gif,

  • hello_html_m60c89929.gif.

2. Найдите значение производной функции в точке х = 1, если

hello_html_57c7c300.gif.


Вариант 3.


1. Вычислите производные функций:

  • hello_html_m45b960e3.gif,

  • hello_html_161afa7.gif,

  • hello_html_mdd19630.gif,

  • hello_html_m4d6d2cda.gif,

  • hello_html_m4a17efb1.gif.

2. Найдите значение производной функции в точке х = 0, если

hello_html_m34136857.gif.

Вариант 4.


1. Вычислите производные функций:

  • hello_html_6d3766a9.gif,

  • hello_html_m48c7151c.gif,

  • hello_html_m11a84e80.gif,

  • hello_html_m7c6db24.gif,

  • hello_html_49e8c0e.gif.

2. Найдите значение производной функции в точке х = hello_html_m980c3de.gif, если

hello_html_m74eb42a0.gif.



hello_html_m53d4ecad.gif




Практическая работа №3.

ТЕМА: Физический и геометрический смысл производной, решение задач.

ЦЕЛИ: Обеспечить в ходе урока педагогические условия для формирования умения решать физические задачи с использованием механического и смысла первой и второй производной. Отработать умение находить уравнение касательной и нормали проведенных к графику функции в указанной точке.

Ход занятия.


1. Организационный момент.

2. Постановка целей занятия.

3. Актуализация опорных знаний.

4. Решение задач .

5. Самостоятельная работа.

6. Запись домашнего задания.

7 .Итог урока.

1,2.

3.Актуализация опорных знаний.

  • Физический смысл первой производной.

  • Производная пути по времени.

  • Смысл второй производной.

  • Геометрический смысл производной.

  • В каких точках графика функции касательная параллельна оси ОХ.

  • Уравнение касательной и нормали.

4.Решение задач.


Задача 1. У параболы hello_html_2eac0415.gif проведены касательные в точках: (0;0) , (2;1), (4;0). Найдите углы наклона касательных к оси ОХ.

Решение: hello_html_2eac0415.gif, А(0;0), В(2;1), С(4,0).

tgα = y´ , у´=hello_html_m27a7ba9d.gif .

hello_html_3e9a45d1.gif. hello_html_m6d27a1ae.gif. hello_html_61e9ec37.gif.

Ответ: Тангенс угла наклона касательной в точке А(0;0) равен 1.

Тангенс угла наклона касательной в точке В(2;1) равен 0.

Тангенс угла наклона касательной в точке С(4;0) равен -1.

Задача 2. Составьте уравнение касательной и нормали к параболе:hello_html_m4865185a.gif в точке х0 = 4.

hello_html_m6e448784.gif.

1). Найдём значение функции в точке х = 4:

hello_html_m5d9e8359.gif

2). Найдем производную указанной функции:

hello_html_1b80666e.gif,

Вычислим значение производной в точке х = 4:

hello_html_mb1b8859.gif.

3) Подставим полученные значения в уравнение касательной:

hello_html_65014b90.gif.

hello_html_m3a72e4f9.gif.

hello_html_m5ea17336.gif.

hello_html_m3f01506d.gif.

Составим уравнение нормали:

hello_html_m2c6c2de9.gif.

Подставим все значения в уравнение нормали:

hello_html_m21f5ccb5.gif

hello_html_m3d226a18.gif

hello_html_777995ca.gif.

Ответ: Уравнение касательной: hello_html_m3f01506d.gif. Уравнение нормали: hello_html_777995ca.gif.

Задача 3. Найдите точки в которых касательная к графику функции hello_html_m17815f7f.gif параллельна оси ОХ.

Решение: Если касательная параллельна оси ОХ, значит она с ней образует угол α = 0, следовательно hello_html_m2892dacf.gif, т.е hello_html_6a42969d.gif.

Найдем указанные тачки из этого условия. Сначала вычислим производную данной функции.

hello_html_m21bc008b.gif

Приравняем производную к нулю и решим получившееся уравнение.

hello_html_m36415d0b.gif

По теореме Виета корни уравнения: х1=3 и х2=2.

Если х = 3, то hello_html_f0fe164.gif А(3; -7).

Если х = 2, то hello_html_m35a40b9d.gif В(2; -8).

Ответ: А(3; -7), В(2; -8).

Задача 4. Точка движется прямолинейно по закону: hello_html_69a1a69a.gif. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t =6 сек.

Решение: Скорость – это производная пути по времени.hello_html_3bc878ae.gif.

hello_html_m7b578305.gif.

hello_html_7c0424df.gif.

Ускорение – это производная от скорости: hello_html_73975f90.gif.

hello_html_67c8e8e5.gif.

hello_html_3cff2c75.gif.

Ответ:hello_html_204375c2.gif; hello_html_5f3e8004.gif.

Задача 5. Точка движется прямолинейно по закону: hello_html_m76931339.gif. В какой момент времени тело остановится.

Решение: Тело остановилось, значит его скорость равна нулю. Найдем закон по которому изменяется скорость: hello_html_m396612e.gif

hello_html_m18051ad6.gif

Ответ: через три секунды после начала движения тело остановится.

Задача 6. Закон изменения температуры Т тела задан уравнением: hello_html_2fdd1f31.gif. Определите с какой скоростью нагревалось это тело в момент времени t = 4 сек.

Решение: Производная – это скорость изменения функции, т.е если найти производную от закона изменения температуры, то найдем скорость нагревания тела.

hello_html_5e8436f4.gif

Ответ: Тело нагревалось со скоростью 20º в секунду.

Задача 7. Изменение силы тока I в зависимости от времени t дано уравнением hello_html_3b8c33d9.gif (I в амперах, t в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце восьмой секунды.

Решение: hello_html_2c263fda.gif.

hello_html_2b51bec9.gif.

Ответ: сила тока в данный момент времени изменялась со скоростью 50 ампер в минуту.

  1. Проверочная работа.

Вариант 1.

1.Составьте уравнение касательной и нормали, проведенных к параболе hello_html_4c37acc.gif в точке х0= 4.

2. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_12724e58.gif. Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 4 сек.

3. Точка движется прямолинейно по закону, hello_html_4d850a67.gif. В какой момент времени скорость тела окажется равной нулю.

4. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону hello_html_25a5cd56.gif. Найдите кинетическую энергию тела через 4 секунды. (hello_html_m171ecfb6.gif).

5. Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону hello_html_311b42ae.gif.(сила в амперах, время в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце восьмой секунды.

Вариант 2.

1.Составьте уравнение касательной и нормали, проведенных к параболе hello_html_2f6726f3.gif в точке х0= 5.

2. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_19e843e4.gif. Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 2 сек.

3. Точка движется прямолинейно по закону, hello_html_m24fd51be.gif. В какой момент времени скорость тела окажется равной нулю.

4. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону hello_html_m29e7b018.gif. Найдите кинетическую энергию тела через 2 секунды. (hello_html_m171ecfb6.gif).

5. Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону hello_html_m65b4f4d3.gif.(сила в амперах, время в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце десятой секунды.




Вариант 3.


1.Составьте уравнение касательной и нормали, проведенных к параболе hello_html_m311c6694.gif в точке х0= -1.

2. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_6bfa0336.gif. Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 3 сек.

3. Точка движется прямолинейно по закону, hello_html_m7b76d393.gif. В какой момент времени скорость тела окажется равной нулю.

4. Температура тела Т изменяется в зависимости от времени t по закону hello_html_md52ca55.gif. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t = 5сек.

5. Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону hello_html_m7f51da3f.gif.(сила в амперах, время в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце шестой секунды.

Вариант 4.


1.Составьте уравнение касательной и нормали, проведенных к параболе hello_html_m69137934.gif в точке х0= -1.

2. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_4254dab2.gif. Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 4 сек.

3. Точка движется прямолинейно по закону, hello_html_6a4c0874.gif. В какой момент времени скорость тела окажется равной нулю.

4. Температура тела Т изменяется в зависимости от времени t по закону hello_html_5cb54f3e.gif. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t = 10сек.

5. Тело массой 15 кг движется прямолинейно по закону hello_html_m14b7d163.gif. Найдите кинетическую энергию тела через 10 секунд. (hello_html_m171ecfb6.gif).

Практическая работа №4.

ТЕМА: Исследование функций. Построение графиков.

ЦЕЛИ: Формирование умения с помощью производной исследовать функцию, строить ее график.

Ход занятия.


1. Организационный момент.

2. Постановка целей занятия.

3. Актуализация опорных знаний.

4. Выполнение практической работы.

5. Запись домашнего задания.

6 .Итог урока.

1,2.

3.Актуализация опорных знаний.

Повторение основных определений (возрастания, убывания, четности, нечетности, периодичности функции, тачки максимума, минимума, критические точки, теоремы о возрастании и убывании функций). Схема исследования.

Пример. Исследуйте функцию и постройте её график. hello_html_33cc29fb.gif.

Преподаватель вместе с учащимися разбирает указанный приме у доски.

Задания к практической работе:

1 вариант. hello_html_606f5575.gif.

2 вариант. hello_html_m55a942c5.gif

3 вариант hello_html_m49b095d9.gif.

4 вариант hello_html_e7fb5fd.gif.

Ответьте на вопросы.

Необходимо ответить на вопросы по графику. И дать определение каждого понятия.

  • Область определения функции.

  • Множество значений функции.

  • Четность нечетность функций.

  • Возрастание и убывание функции.

  • Точки максимума и минимума.

  • Максимум и минимум функции.

  • Условия возрастания и убывания функции.

  • Критические точки.

  • Нули функции. Условия из которых они находятся.

Используемая литература:

ОСНОВНАЯ.

  1. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под. ред. Г.Н.Яковлева. Ч.1. – М.: Наука. 1978.

  2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под. ред. Г.Н.Яковлева. Ч.2. – М.: Наука. 1978.

  3. Математика для техникумов. Геометрия./ Под. ред. Г.Н.Яковлева. Ч.1. – М.: Наука. 1979.


ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ.

  1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике: Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа. 1987.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1990.

  3. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы. Под. ред. Колмогорова А.Н. – М.: «Просвещение». 1990.

  4. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. – М.: «Наука», 1972.

  5. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.


57


Методические рекомендации к изучению темы: Производная и ее применение.
  • Математика
Описание:

Изучение программного материала дает возможность учащимся овладеть понятием производной, усвоить ее  геометрический и механический смысл, освоить технику дифференцирования, научиться применять  дифференциальное исчисление для решения элементарных задач.

Уровень обязательной подготовки определяется следующими требованиями: понимать геометрический и механический смысл производной; находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, применять производные для исследования функций на монотонность и экстремумы.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ.

1) Производная, ее применение. Производная. Производная элементарных функций, правила дифференцирования, геометрический и механический смысл производной.

Основная цель: ввести понятие производной; научить находить производные, используя правила дифференцирования.

Введение понятия производной предваряется введением средней и мгновенной скорости.

Рассматривается предел отношения и используется для формирования понятия производной.

Формулы производных выводятся для простейших случаев. Таблица производных заполняется недоказанными ранее формулами.

Производная сложной функции не выводится, правила дифференцирования не доказываются. Вводя  геометрический  смысл производно,  выводится уравнение касательной.

2) Применение производной: возрастание и убывание функций, экстремумы. Применение производной к построению графиков.

 

Основная цель: сформировать умение решать простейшие задачи  средствами  дифференциального исчисления.

Автор Захарова Светлана Витальевна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1403
Номер материала 34844
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓