Главная / Математика / Методическая разработка учебного пособия по теоретическому курсу по дисциплине «математика» на тему МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

Методическая разработка учебного пособия по теоретическому курсу по дисциплине «математика» на тему МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m5748d698.gifhello_html_m5748d698.gifhello_html_41cf934.gifhello_html_m701aaf83.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifМинистерство образования и науки Республики Татарстан

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Лениногорский нефтяной техникум»











Методическая разработка учебного пособия

по теоретическому курсу по дисциплине «математика»

на тему

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОТЫСКАНИЕ

НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ






Выполнила:

преподаватель математики

ГАОУ СПО «ЛНТ»

ШипиловаЛилия Михайловна








2012

hello_html_m1c73c645.jpg

СОДЕРЖАНИЕ



ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬ-
НЫХ ЗАДАЧ 6

  1. Наибольшее и наименьшее значение квадратного трёхчлена 7

  2. Теоремы о достижении суммой и произведением положительных

чисел экстремальных значений 8

1.3 Средние величины и их использование при решении экстре-

мальных задач 9

ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ РЕШЕ-
НИЯ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬ-
ШИХ ЗНАЧЕНИЙ 11

  1. Методика обучения решению экстремальных задач с помощью

производной 11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………….. 24

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПЛАНЫ-КОНСПЕКТЫ УРОКОВ ………26

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ

ЗАДАЧ ………38

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ЗАДАЧИ ИЗ ЕГЭ ………54




























ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА



Актуальность темы методической разработки очевидна. В жизни нам постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее или, как говорят, оптимальное решение в той или иной ситуации. Иногда такое оптимальное решение находится достаточно просто, но очень часто обилие вариантов ставит нас в тупик и мы не знаем, как поступить.

Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

Современные учащиеся могут уже в средней школе получить представление о таких важных понятиях, относящихся к развитию промышленности, сельского хозяйства, науки, как «эффективность», «оптимальность», «экстремум», «наибольшее», «наименьшее», «наилучшее», «наиболее выгодное», «наиболее экономное» и т. д.

Среди задач математики, которые решают проблемы оптимизации, следует выделить так называемые задачи на экстремумы и оптимумы, с которыми в курсе математики средней школы приходится встречаться чаще всего и которые в свою очередь являются фундаментом рассмотрения оптимизационных задач вообще.

Проблему моей методической разработки составляет необходимость формирования у учащихся умений применять наиболее эффективные методы решения различных моделей задач на оптимизацию.

Целью методической разработки является показать различные методы решения экстремальных задач.

Цель и проблема методической разработки определили следующие задачи.



Задачи:

  1. Дать теоретическое обоснование элементарных методов решения экстремальных задач.

  2. Раскрыть теорию применения аппарата производной к исследованию функций.

  3. Продемонстрировать этапы метода математического моделирования при решении задач на оптимизацию.

  4. Показать применение элементарных методов и аппарата производной при решении прикладных задач на оптимизацию, рассматриваемых в школьном курсе математики.

  5. Рассмотреть решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений повышенной трудности из ЕГЭ, решаемые различными методами.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что данная тема представляет собой благодатный материал для формирования у студентов диалектико-материалистического представления о предмете математики, дает возможность решать ряд практических задач из различных областей науки, техники, производства, из смежных учебных предметов, самостоятельно подготовиться к ЕГЭ.

Апробация результатов. Материалы работы используются на учебных занятиях по математике на II курсе, а также на занятиях математического кружка для студентов I курса.









ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ



Усилия почти всякой человеческой деятельности направлены на то, чтобы с наименьшей затратой сил достигать выгодных во всех отношениях результатов. Именно в такой форме могут быть сформулированы многие математические задачи, имеющие практическое значение. Например: при какой скорости судно пройдет заданное расстояние с наименьшими затратами? При какой форме участка его площадь будет наибольшей, если длина границы известна?

Действие сил природы неуклонно подчиняется законам строгой экономии, которые проявляются в достижении наилучшего действия с наименьшими затратами сил (закон отражения света, взаимного удара тел).

Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения (экстремальные задачи) имеют важное значение не только потому, что поясняют теорию, обнаруживая ее пользу, но и потому, что способны заинтересовать и увлечь учащихся рассмотрением различных вопросов.

При решении задач необходимо использовать методы элементарной математики. Я разделяю точку зрения И.П. Натансона: "Мощный аппарат дифференциального исчисления дает общие и однотипные приемы, позволяющие решать задачи самого разнообразного характера, лишь бы в них требовалось найти экстремум конечной комбинации элементарных функций. Используя эти приемы, вовсе нет надобности обращать внимание на индивидуальное своеобразие той или иной задачи. А использование этого своеобразия часто как раз и позволяет решить задачу проще, быстрее и красивее, чем с помощью общих приемов.»



    1. Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена


hello_html_m5dc20710.jpg

Всякий квадратный трехчлен aх2 +bx + с, а ≠0, можно переписать так:

hello_html_m51e475d2.jpg

Возможны два случая: а > 0 и а <0.

  1. Пусть а > 0. Тогда при всех значениях x, кроме х= - hello_html_m5fd07fda.gif , первое слагаемое положительно, а при х= - hello_html_m5fd07fda.gif это слагаемое равно 0. Следовательно трехчлен имеет наименьшее значение при х= - hello_html_m5fd07fda.gif . Это значение равно hello_html_21da9e0.gif . hello_html_3c6998fc.jpg

2. Пусть а < 0. Тогда при всех значениях x, кроме х= - hello_html_m5fd07fda.gif , первое слагаемое отрицательно, а при х= - hello_html_m5fd07fda.gif это слагаемое равно 0. Следовательно трехчлен имеет наибольшее значение при х= - hello_html_m5fd07fda.gif . Это значение равно hello_html_21da9e0.gif .

Итак, если старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, то трехчлен имеет наименьшее значение при х= - hello_html_m5fd07fda.gif .Если же старший коэффициент квадратного трехчлена отрицателен, то трехчлен имеет наибольшее значение при том же значении х.

Пример1. Найти наименьшее значение трехчлена х2 + 6х + 13.

Решение. Выделим полный квадрат

х2 + 6х + 13 = ( х – 3)2 +4

Видно, что при х = 3 трехчлен имеет наименьшее значение, равное 4.


Пример 2. Найти наибольшее значение трехчлена - 2 х2 + 5х – 7.

Решение. Преобразуем трехчлен:

- 2 х2 + 5х – 7 = - 2(х2 - hello_html_m1bf4e921.gif) – 7 = - 2(х - hello_html_33fa7738.gif)2hello_html_fcd453f.gif

Теперь видно, что при х = hello_html_33fa7738.gif трехчлен имеет наибольшее значение, равное – hello_html_fcd453f.gif.




    1. Теоремы о достижении суммой и произведением положительных чисел экстремальных значений



Теорема 1. Пусть сумма п (nhello_html_559182c5.gifN) слагаемых постоянна, тогда их произведение будет наибольшим, когда они равны.


Задача 1.

Число 10 представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Решение. Пусть х - первое слагаемое, а у - второе слагаемое. Тогда х + у =10. Так как по условию задачи сумма постоянна, то по теореме 1 произведение двух положительных чисел имеет максимум при равенстве слагаемых, т.е. х = у. Следовательно, х = 5, у = 5. Ответ: 10 = 5 + 5.


Теорема 2. Пусть произведение п (neN) множителей постоянно, тогда их сумма будет наименьшей, когда они равны.


Задача 2.

Найти прямоугольный параллелепипед с данным объемом V, чтобы сумма его измерений была наименьшей.

Решение. Пусть измерения параллелепипеда равны х, у, z. Тогда V = xyz. Необходимо установить, когда сумма х + у + z будет наименьшей. Так как произведение данных множителей постоянно, то по теореме 2 сумма имеет минимум при равенстве множителей, т.е. х = у = z. Поэтому искомый параллелепипед представляет собой куб с ребром hello_html_45083018.gif.

Ответ: Искомый прямоугольный параллелепипед — куб с ребром hello_html_45083018.gif



    1. Средние величины и их использование при решении экстремальных задач



Теорема (Неравенство Коши). Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел не менее среднего геометрического этих чисел, т.е. если а,а2 , … ап — числа неотрицательные, то

hello_html_m957f575.jpg

Равенство возможно только тогда, когда a1 = а2= ...= ап.

Мы рассмотрим четыре средние величины, наиболее употребительные в математике:



  1. Среднее арифметическое

hello_html_53dae485.png



  1. Среднее геометрическое

hello_html_3662020.jpghello_html_m1ac537cc.png


  1. Среднее гармоническое

hello_html_m43ba916.jpg



  1. Среднее квадратичное





hello_html_4c14518a.jpg

На основании неравенства Коши имеем:



hello_html_aa4f293.jpg

Отсюда получаем: т.еМ3 ≤ М2




Пример 1.

При каком значении аргумента функция h(x) = + hello_html_3c896536.gif , х > 0 принимает наименьшее значение? Вычислите min h(x).

Решение. Воспользуемся неравенством hello_html_m65d8a832.jpg


hello_html_3ceed432.gif, hello_html_6e97ce77.gif, 4х2 + 9- 12х, 4х2- 12х + 9 = 0.

D1=k2-ac = (-6)2-4*9 = 36-36 = 0. x = hello_html_m7c1bb231.gif

min h(x) = h( 1,5) = 4 • 1,5 + hello_html_47c29e33.gif = 6 + 6 = 12.

Ответ: 12.


Пример 2.

Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, площадь которого наибольшая.

Решение. Обозначим x и y – стороны прямоугольника. Тогда р = 2(x + y) – периметр прямоугольника. Площадь прямоугольника S = хy.Применяя неравенство Коши, получаем:

hello_html_m777507f.gif, или hello_html_m2c08345c.gif.

Подставляя в неравенство вместо х + y выражение через периметр, получаем Shello_html_28356584.gif. Следовательно, при данном периметре наибольшая площадь прямоугольника равна hello_html_28356584.gif. Равенство в неравенстве Коши возможно при равных слагаемых, то есть при х = y. Это означает, что квадрат со стороной hello_html_4726efc5.gifиз всех прямоугольников данного периметра имеет наибольшую площадь. Ответ: квадрат.

ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ



2.1 Методика обучения решению экстремальных задач с помощью производной



Формирование умения решать задачи на экстремум с помощью производной — одна из важных целей изучения начал математического анализа в средней школе. Задачи этого типа имеют четкую прикладную направленность — если не по фабуле, то по подходу к решению. Действительно, в них четко представлены все фазы построения и использования математической модели: формализация — составление функции, описывающей условия задачи; решение формализованной задачи — поиск значений аргумента, в которых значение производной функции равно нулю или в которых она не существует (критических точек); интерпретация — анализ критических точек с учетом особенностей задачи.

Вместе с тем следует учитывать, что задачи, которые решаются с использованием производной, во многих случаях оказывается возможным решить и другими, элементарными методами. Сопоставление различных способов решения экстремальных задач, проведенное на нескольких примерах, может оказаться полезным в нескольких отношениях:

можно сравнить единообразный характер решения задач с помощью производной с приемами, которые приходится выискивать, если производной не пользоваться;

решение экстремальных задач элементарными методами обычно находится с большим трудом; оно включает элемент догадки и творчества. В то же время использование производной может оказаться принципиально несложным, но связанным с достаточно большими вычислениями.[12, с.192]

Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где / \х)> О и f'(x)<0. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 103 и 104).


hello_html_m16603ae0.png

Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).

Необходимое условие экстремума. Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ′ , то она равна нулю: f ′(х0) = 0.

Рассмотрим случай f о)>0. По определению производной отношение hello_html_29f0fcc6.gif при х → х0 стремится к положительному числу f ' (х0), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к х0. Для таких х

hello_html_29f0fcc6.gif>0,

и, значит, f (x)>f 0) для всех х > х0 из некоторой окрестности точки х0. Поэтому х0 не является точкой максимума.

Если же х<.х0, то f (x)<.f0), и, следовательно, х0 не может быть и точкой минимума f.

Случай f‘(хо)<.0 разбирается аналогично.

Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции f (х) = х3 обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 105).


hello_html_m18d2d2fe.jpg

До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например, точка 0 для функции у = hello_html_7b6f7193.gif не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.


Пример 1. Рассмотрим функцию f(x)=| x | (рис. 106). Эта функция не имеет производyой в 0. Значит, 0 — критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.


Пример 2. Рассмотрим функцию f (х) = 2х+| х| (рис. 107). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и производной.

В самом деле, если предположить, что функция f имеет в точке 0 производную, то f (х) — 2х также имеет производную в 0. Но f (х) — 2х=|х|, а функция |х|в точке 0 не дифференцируема (см. п. 18), т. е. мы пришли к противоречию. Значит, функция f в точке 0 производной не имеет.

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но, как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, a f (х) > 0 на интервале (а; х0) и f (x) <0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака:

Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Доказательство. Производная f (х)>0 на интервале (а; х0), а функция f непрерывна в точке х0, следовательно, функция f возрастает на промежутке (а; х0], и потому f(x)< f(x0) для всех х из интервала (а; х0).

На промежутке [х0; b) функция f убывает (доказательство аналогично), и потому f (x)<f (x0) для всех х из интервала 0; b).

Итак, f (х) <. f0) для всех х ≠ х0 из интервала (о; b), т. е. х0 есть точка максимума функции f.

Признак максимума имеет простой механический смысл. Мы можем считать, что f (х) — это координата точки, движущейся по оси Оу, в момент времени х, а f ' (х) — скорость точки в этот момент. По условию скорость точки за промежуток времени, предшествующий х0, положительна. Поэтому в течение этого времени точка движется в положительном направлении, она поднимается по оси Оу до точки f0), т. е

.f (x)< f0) при х < х0. В момент х0 точка на мгновение «останавливается» (ее скорость в этот момент равна нулю или не определена), а затем начинает опускаться по оси (по условию скорость f ’ (х) меньше нуля при х>х0), т. е.

f (x)<f0). Итак, в окрестности х0 имеем f (x)< f0). Точка х0 — точка максимума.

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, f (x) <0 на интервале (а; х0) и f (x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака:

Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака максимума (полезно провести его самостоятельно).

Пример 3. Найдем точки экстремума функции f (x) = 3xx3 .hello_html_7c095184.jpg

Производная этой функции, равная 3 — Зх2, определена во всех точках и обращается в нуль в точках – 1 и 1. В точке – 1 производная меняет знак с минуса на плюс (f '(x)<0 при х<- 1 и f ' (х)>0 при –1 < x <;1). В точке 1 производная меняет знак с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка – 1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума функции f. График функции изображен на рисунке 108.

Решение практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке [а; b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. на [а; b] существуют точки, в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; b] значения.

Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке [о; b], но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f.

Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда (п. 23) она возрастает (рис. 112) или убывает (рис. 113) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [о; b] — это значения в концах а и b.

hello_html_m1f3f72f1.gif

Пусть теперь функция f имеет на отрезке [о; b] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; b] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках а и b.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.


Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции

у (x) = x31,5 х 2 – 6х + 1 на отрезке [– 2 ; 0].

Сначала найдем критические точки. Так как производная

у' (х) = Зх2 – Зх – 6 определена для любого х, остается решить уравнение у' (х) = 0. Решая его, находим x = – 1 и х =2.

Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел

у (– 2 ) = – 1 , у (– 1 ) = 4,5 и y (0) = 1 (критическая точка x = 2 не принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наименьшее значение достигается в точке – 2 и равно – 1 , а наибольшее — в точке – 1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:

max y (x) = y (– 1) = 4,5; min y (x) = y (– 2) = – 1 .

[-2;0] [-2;0]

Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:

  1. задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f (х);

  2. средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

  3. выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Вообще решение практических задач средствами математики, как пра вило, содержит три основных этапа:

    1. формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);

    2. решение полученной математической задачи

3) интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).

С этим общим методом (его называют методом математического моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме решались текстовые задачи в курсе алгебры. Приведем пример его применения.

Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 114) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?hello_html_38bded90.gif

Решение. 1) Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны hello_html_m4fa8b366.gif(ax ), а объем коробки равен hello_html_m4fa8b366.gif(а – х)х2. По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0<х<.а, т. е. принадлежит интервалу (0; а). Таким образом, пример 2 мы свели к такой задаче: найти наибольшее значение функции V(x) = hello_html_m4fa8b366.gif (а — х) х2 на интервале (0; а).

2) Правило нахождения наименьших и наибольших значений функции было сформулировано для отрезка. Функция V непрерывна на всей числовой прямой. Мы будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; а], потом сделаем выводы для решаемой нами задачи. Находим критические точки функции:

V'(x) = (hello_html_m4fa8b366.gif (а — х) х2)' = hello_html_m4fa8b366.gif (а х2 — х3)' = ax hello_html_m561e9851.gifx2,

ax - hello_html_m561e9851.gifx2 = 0, . х = 0 или х = hello_html_m12831f5a.gifа;

V(hello_html_m12831f5a.gifа) = hello_html_m4fa8b366.gif(a - hello_html_m12831f5a.gifа )( hello_html_m12831f5a.gifа)2 = hello_html_m7b91d86c.gifа3.

Так как V (0) = 0 и V(a) = 0, своего наибольшего значения на отрезке [0; а] функция V достигает при х = hello_html_m12831f5a.gifа , т. е. max V(x) = V(hello_html_m12831f5a.gifа) = hello_html_m7b91d86c.gifа3.

Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; а] следовательно, и внутри интервала (0; а).

3) Остается вспомнить, что х — длина стороны основания коробки, имеющей при заданных условиях максимально возможный объем.

Полученный результат означает, что максимальный объем имеет та коробка, сторона основания которой равна hello_html_m12831f5a.gifа.

Отыскание наибольших и наименьших значений функций применяется при решении многих задач физики. Например, в положении равновесия потенциальная энергия системы достигает экстремального значения, причем в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия максимальна. Рассмотрим еще следующий пример.

Пример 3. Найдем на АВ такую точку С, что сумма длин отрезков МС и NC (рис. 115) минимальна.

Решение. Примем точку А за начало координат на

прямой и обозначим координату точки С через х .

Из рисунка 103 найдем, что

MC = hello_html_m458847cc.gifи NС =hello_html_m39a4811f.gif, а потому M N

f (x) = MC+NC = hello_html_m458847cc.gif+hello_html_m39a4811f.gif. b

Чтобы найти наименьшее значение a

функции, вычислим ее производную и

приравняем ее к нулю: A x C lx B

f ‘(x) = hello_html_m3129b370.gif (1) рис 115

Мы не будем решать полученного уравнения, а заметим лишь, что

hello_html_m61356093.gif= sin α, hello_html_m79c90b80.gif= sin β


Поэтому равенство (1) обозначает, что sin α = sin β, откуда α = β. Итак, сумма длин отрезков МС и NC будет экстремальной, если угол падения равен углу отражения. Из курса физики известно, что это равенство выполняется при отражении луча света. Значит, луч света «выбирает» при отражении путь экстремальной длины. Заметим, что полученное экстремальное значение является минимальным, так как при x→ +∞ и при х→ – ∞ функция f стремится к + ∞, а иных точек экстремума у нее нет.


Пример 4. В сопротивлении материалов доказывают, что сопротивление изгибу балки прямоугольного сечения пропорционально ее ширине х и квадрату ее высоты у: P = kxy2 (рис. 116). Какое сечение должна иметь балка наибольшего сопротивления изгибу, вырезанная из цилиндрического бревна радиуса R? рис. 116hello_html_m338cd094.jpg

Решение. Из рисунка 102 видим, что х и у связаны соотношением

y =hello_html_m6235b65b.gif . Поэтому Р = kxy2 = kx (4R2 — х2). Значит, надо найти наибольшее значение функции kx(4R2 — х2) на отрезке [0; 2R].

Производная этой функции имеет вид:

(kx (4R2 – х2))' = (4kR2xkx3)' = 4kR2 – 3kx2.

Приравнивая ее к нулю, получаем уравнение k (4R2 – 3x2) = 0, корнями которого являются числа – hello_html_505877f8.gif и hello_html_505877f8.gif. На отрезке [0; 2R] лежит лишь корень hello_html_505877f8.gif . Значит, надо сравнить значения функции k x (4R2 — х2) при х =0, hello_html_505877f8.gif , 2R.. В точках 0 и 2R эта функция обращается в нуль. Наибольшее значение она имеет при х = hello_html_505877f8.gif. При этом значении имеем:

y = hello_html_m6235b65b.gif =hello_html_m19e5d659.gifhello_html_6ba31951.gif.

Отсюда находим, что hello_html_m7c0e172.gif.Так как hello_html_4ed4338.gifhello_html_m4b735d7b.gif, то на практике принимают, что должно выполняться условие hello_html_29a2deda.gifhello_html_m4b735d7b.gif.



Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов математического моделирования: 1) составление математической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос задачи. Прежде чем переходить к конкретным примерам решения задач на оптимизацию, дадим некоторые рекомендации методического плана.

Первый этап. Составление математической модели.

  1. Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину

(О. В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, V, R ,t -в зависимости от фабулы).

  1. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую переменную (Н. П.) и обозначьте ее буквой х (или какой-либо иной буквой). Установите реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О. В.

  2. Исходя из условий задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у =f(x) с областью определения X, которую нашли на втором шаге.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции у=f(x), хhello_html_559182c5.gifX найдите унаим. или у наиб, в зависимости от того, что требуется в условии задачи.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

hello_html_5e8c2fbf.jpg

Пример 5. Бак для хранения нефтепродуктов, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать V литров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

1)Оптимизируемая величина (О. В.) — площадь поверхности бака, поскольку в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначим О. В. буквой S.

2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Объявим независимой переменной (Н. П.) сторону квадрата, служащего основанием бака; обозначим ее буквой х. Ясно, что х > 0. Дру-
гих ограничений нет, значит, 0 < х <
оо. Таковы реальные границы измене-
ния независимой переменной: X = (0;
+оо).

3) Если h — высота бака, то V = х2 h, откуда находим h =hello_html_m6702c92a.gif.

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со сторонами х и hello_html_m6702c92a.gif . Значит,

S = x2 + 4* hello_html_m6702c92a.gif*x = x2 + hello_html_m43e0b22b.gif, где x hello_html_559182c5.gif (0;+ oo).

Математическая модель задачи составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции S = х2+4 hello_html_730eacb8.gif, хhello_html_559182c5.gif (0; +оо) надо найти унаим. Для этого нужна производная функции: S'=(x2 + 4 hello_html_730eacb8.gif)' = 2x - 4hello_html_7366338c.gif 2hello_html_m2688d2d1.gif

На промежутке (0; +оо) критических точек нет, а стационарная точка только одна: S' = 0 при х =hello_html_m19f83af1.gif. Заметим, что при х <hello_html_m19f83af1.gifвыполняется неравенство S' < 0, а при x>hello_html_m19f83af1.gif выполняется неравенство S'> 0. Значит, х = hello_html_m19f83af1.gif- единственная стационарная точка, причем точка минимума функции на заданном промежутке, а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равнаhello_html_m19f83af1.gif.Ответ: hello_html_m19f83af1.gif








































ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В данной методической разработке я рассмотрела методы и приёмы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, применяемые в школьном курсе математики. Методы решения экстремальных задач не исчерпываются указанными методами. Существует много частных приемов: метод оценки, метод перебора, метод опорной функции, свойства монотонности функции, свойства осевой симметрии, свойства геометрических фигур и др.

Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики.

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний школьников и студентов техникума. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств. Эти задачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения положений изучаемой теории на практике.

Решая задачи указанного типа, учащиеся наблюдают, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой - большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.

Материалы данной разработки могут быть использованы для подготовки к ЕГЭ, при организации факультативных занятий для одаренных школьников старших классов, при разработке элективных курсов по математике для предпрофильной и профильной подготовки учащихся школ. Данное пособие также может быть использовано студентами техникума для самостоятельного изучения и углубления своих знаний по данной теме.




























СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 - 11 кл. общеобразовательных учреждений /А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. - 11-е изд. - М.: Просвещение, 2001.

2. Алексеев, И.Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-методическое пособие /И.Г.Алексеев - Саратов: Лицей, 2004. - 112

3. Балабанова, В. Решение прикладных задач по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции» /В. Балабанова // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - 2007. - № 7. - С. 11-12.

4. Буслаева, И.П. Решение экстремальных задач без использования производной / И.П.Буслаева //Математика в школе. - 1995.- №5. - С. 67-70.

5.Варшавский, И.К. Функция, её производная и первообразная на ЕГЭ / И.К. Варшавский , М.Я. Гаиашвили, Ю.А. Глазков // Математика в школе.-2006.-№7.-С. 13 - 17.

6. Возняк, Г.М. Прикладные задачи на экстремумы в курсе математики 4 -8 классов: пособие для учителя / Г.М.Возняк, В.А. Гусев. - М.: Просвещение, 1985. - 144 с,ил.

7.Генкин, Г.З. Задачи на нахождение экстремумов функций в VIII классе / Г.З.Генкин // Математика в школе. - 2003.- №9. - С. 51 - 54.

8.Демидович, В.Б. Экстремальные задачи / В.Б.Демидович // Математика в школе. - 2000.- № 8. - С .56-58.

9.Епифанова,Т.Н. Отыскание экстремальных значений функций различными способами / Т.Н.Епифанова //Математика в школе - 2000.- №4.-С.52-55.

10.Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ - 2010. Математика/ А.Г.Клово. - М.: Федеральный центр тестирования, 2009. - 96с.

11.Единый государственный экзамен 2010. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся /Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская и др.; - М.: Интеллект-Центр, 2009,-240с.

12.Единый государственный экзамен. Математика: справочные материалы, контрольно-тренировочные упражнения, задания с развернутым ответом: в 2 ч. / А.К. Дъячков, Н.И. Иконникова, В.М. Казак, Е.В. Морозова; под общ. ред. А.К.Дъячкова. - Челябинск: Взгляд, 2006. - ч. 1-191 с.

13. Единый государственный экзамен. Математика: справочные материалы, контрольно-тренировочные упражнения, задания с развернутым ответом: в 2 ч./ А.К. Дъячков, Н.И. Иконникова, В.М. Казак, Е.В. Морозова; под общ. ред. А.К.Дъячкова. - Челябинск: Взгляд, 2006. - ч.2-219с.

14.Математика. ЕГЭ -2007. Вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки/Ф.Ф. Лысенко, В.Ю. Калашников, А.Б. Ней-марк и др. Под ред. Ф.Ф. Лысенко - Ростов-на-Дону: Легион, 2006.

15. Математика. ЕГЭ - 2011. Вступительные испытания. /Ф.Ф. Лысенко, В.Ю. Калашников, А.Б. Неймарк и др. Под ред. Ф.Ф. Лысенко - Ростов-на-Дону: Легион, 2010. - 400 с.

16.Михайлова, И. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции / И. Михайлова // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - 1997. - № 22. - С. 2 - 7.

17.Скорикова, Л. Уроки повторения производной и интеграла в 11 классе / Л.Скорикова // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - 1997. - № 22. - С. 13-15.

18.Фоминых, Ю.Ф. Экстремумы / Ю.Ф.Фоминых // Математика в школе. -2000. - № 4. - С. 64 - 67.



ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПЛАНЫ-КОНСПЕКТЫ УРОКОВ


Урок 1. Тема: "Наибольшее и наименьшее значения функции"


Дидактические цели:

1. Изучить понятие наибольшего и наименьшего значения функции; изучить алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значения функции.

2. Развивать логическое мышление, умение применять полученные знания в новой ситуации.

3. Воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске.


Тип урока: комбинированный

Оборудование: доска, карточки, мультимедийное оборудование

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный,

частично-поисковый.


Структура урока

  1. Организационный.

  2. Актуализация опорных знаний.

  3. Изучение нового материала.

  4. Первичное закрепление.

V. Постановка проблемной ситуации и её решение.

VI. Подведение итогов урока.

VII. Домашнее задание.


ХОД УРОКА

I этап: Организационный

Сообщение темы и цели урока.

II этап: Актуализация опорных знаний.

hello_html_m72d2983b.png

1. Найдите производную функции:

а) у = sin х , б) у = tg х , в) у = х4 - 2х2 + 3, г) у = х4, д) у = cos 2х,

2. Найдите критические точки функции: f(x) = 2х - х2.

3. Вычислите f(2), если f(x) = hello_html_m8007520.gif - Зх + 5 .

4. Вычислите значение производной функции у=hello_html_57ddccfc.gifв точке х0 =hello_html_m22646306.gifhello_html_m695db900.png

III этап: Изучение нового материала.

Рассмотрим функцию у = f(x) на отрезке [а;Ь].

  • Что можно сказать об этих функциях? (Ответ:

все функции непрерывны на отрезке [а;Ь]). Как называется точка х0 на рис. 1 ? (Ответ: точка максимума)

Что можно сказать о значении функции в этой точке? (Ответ: в этой точке функция принимает наибольшее значение). Аналогично рассмотрим рис.2.hello_html_33eae912.png

Охарактеризуйте функцию, изображенную на рис 3.(Ответ: функция непрерывна на отрезке [а;Ь], х1- точка минимума, х2 - точка максимума).

Можно ли утверждать, что в точке минимума функция имеет наименьшее значение, а в точке максимума - наибольшее значение? (учащиеся дают ~t либо правильный ответ, либо затрудняются). Для того, чтобы дать правильный ответ, сравните значения функции в точке минимума и на конце отрезка в точке в.(Ответ: значение функции на конце отрезка меньше, чем в точке минимума). Рис3

Аналогично сравните значение функции в точке максимума со значением функции на конце отрезка в точке а. (Ответ: значение функции на конце отрезка больше, чем в точке максимума).

Какой можно сделать вывод? (Ответ: непрерывная функция может достигать наибольшего и наименьшего значений как внутри отрезка, так и на его концах.)

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а; Ь]:

1. найти критические точки функции;

2. вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку [а; Ь];

3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = Ь,

4. среди всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] не имеет критических точек , то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее - на другом.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

IV этап: Первичное закрепление материала.

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) =2х3 + Зх2- 36х на отрезке [- 4; 3] (решает ученик на доске);

V этап: Постановка проблемной ситуации и её решение.

При решении многих задач часто приходится находить наибольшее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.

Например, найти наибольшее значение функции f (х) = 60х - 1,5х2 на интервале (0; 40).

- Можно ли для решения этой задачи использовать полученные сегодня знания?( Учащиеся выдвигают гипотезу, что можно использовать правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, а затем значения функции на концах отрезка отбросить.) Чтобы проверить выдвинутую вами гипотезу, решим предложенное задание. Сначала найдем наибольшее значение функции на отрезке [0;40]. Используем изученное правило:

1. Найдем производную функции f (х) = (60х - 1,5х )' =60 - Зх.

2. Найдём критические точки функции: 60 - Зх = 0, Зх = 60, х = 20.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка данному отрезку: 20hello_html_559182c5.gif[0;40]

4. Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка: f(20) - 60*20 - 1,5*202 - 1200 - 600 = 600, f(0) - 0.

f(40) -60 * 40 - 1,5 * 402= 2400 - 2400 = 0.

Наибольшее значение функция достигает внутри отрезка [0;40], значит и внутри интервала (0; 40). max f(x) - f(20) = 600.

[0;40]

VI этап: Итог урока.

VII этап: Домашнее задание: п. 25, № 305(а,б)(учебник "Алгебра и начала анализа 10-1 1" под редакцией А.Н. Колмогорова).








Урок 2. Решение прикладных задач по теме

«Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции».


Цели урока:

Общеобразовательные: 1) Научить применять метод поиска наибольшего

и наименьшего значений функции к решению разнообразных прикладных задач

2) Конструирование математических моделей по со ответствующим реальным ситуациям.

Развивающие: Развитие познавательной активности и самостоя-

тельности учащихся.

Воспитательные: Формирование у учашихся понятий о научной

организации труда.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Оборудование урока: карточки - задания, мультимедийный проектор.

Методы обучения: проблемный, репродуктивный.


ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока.

II. Создание проблемной ситуации и её решение.

Ребята, я хочу начать наш урок с фрагмента рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев.

А цена какая будет? — говорит Пахом. — Цена у нас одна: 1000 р. за день.

Не понял Пахом.

Какая же это мера — день? Сколько в ней десятин будет?

Мы этого, — говорит, — не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 р.

Удивился Пахом.

Да ведь это, — говорит, — в день обойти земли много будет. Засмеялся старшина.

Вся твоя, — говорит. — Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.

А как же, — говорит Пахом, — отметить, где я пройду?

А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.

Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке.

Что это за фигура? (Прямоугольная трапеция.) hello_html_m345e81d0.jpg

А периметр ее мы можем найти?

(Р = 2+ 13 + 10+ 15 = 40 км.)

Какова площадь этой трапеции?

hello_html_m7bad6f7e.jpg

Ребята, как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)? Сегодня на уроке мы это и выясним. Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо вспомнить:

1.Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. 2.Какие точки называются критическими? На доске написано:

а) у = х3, х hello_html_559182c5.gif[-2; 3]; б) у = - 5х, хhello_html_559182c5.gif [-2; 3].

Задание. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

Запишем в тетради следующую задачу.

Задача 1. Периметр прямоугольника равен 60 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Решение. Пусть а и b — стороны прямоугольника, тогда P = 2(a + b) = 60,

a + b = 30, b = 30-a, S = ab Вспоминаем вместе с учащимися алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через нее стороны прямоугольника: х — длина прямоугольника, 30-х — ширина прямоугольника. Тогда 0 < х < 30.

2. Записываем функцию: S(x) = х (30 - х ) = ЗОх - х .

3. Находим производную: S'(x) = 30 - 2х.

4. Находим критические точки: 30 - 2х = 0, х = 15.

Значит, длина прямоугольника равна 15 см, а ширина равна 30 - 15 = 15 см. Какая это фигура? (Квадрат).

Ответ: квадрат со стороной 15 см.

А теперь вернемся к задаче, с котором мы начали урок. Значит, какую фигуру Пахом должен был обойти? (Квадрат).

Р - 40 км, а = 10 км, S = 10 • 10 = 100 км2.

III. Формирование умений и навыков.

Задача 2. Содержание экипажа нефтеналивного танкера составляет 480 руб. в час. Расход топлива пропорционален кубу скорости судна и составляет 30 руб. в час при скорости 10 узлов. С какой скоростью танкер должен совершать рейс, двигаясь равномерно, чтобы общий расход денег был минимальным?


Методика работы с задачей

1-й этап. Мотивационный.

Учитель показывает учащимся необходимость решения аналогичных типов задач в реальной действительности.

2-й этап. Анализ условия задачи:

- Сколько рублей в один час составляет содержание экипажа судна?

- С какой скоростью судно движется?

- Каково соотношение между скоростью движения танкера и расходом топлива?

- С какой скоростью судно должно совершать рейс, чтобы общий расход денег был минимальным?

Мысленная модель задачи. 1. Построить функцию. 2. Исследовать функцию на наименьшее значение на заданном отрезке.

3-й этап. Математическое моделирование.

1.Пусть i — общий расход денег в час; i1 - расход денег, связанный с потреблением топлива.

2.По условию i1 = kv3 , k — коэффициент пропорциональности, v - скорость .

3.Из условия i1 = 30; 30 – k103; к hello_html_2dea0aa.gif= 0,03.

4. Общий расход денег I = t (480 + 0,03v3 ), t - время.

5.Из курса физики известно, что при равномерном движении

t = hello_html_m24f9795.gif , s - путь . Следовательно,

I(v) =hello_html_m24f9795.gif (480 + 0,03v3) = 480 *hello_html_m24f9795.gif + 0,03sv2; v > 0.

Математическая задача. Исследовать функцию I(v) = 480 *hello_html_m24f9795.gif + 0,03sv2

на наименьшее значение.

4-й этап. Решение задачи внутри модели:

а) найдем критические точки

hello_html_5cb9c91a.jpg

б) I(v) не существует в точке v = 0;

в) следовательно, v = 20 - критическая точка функции I (v), так как v = I не входит в область определения данной функции;

г) Определим знаки I'(v) правее и левее v = 20

hello_html_335b0413.jpg

Так как в точке v = 20 производная сменила знак с «-» на «+», то v = 20 - точка минимума функции. Значит функция I(v) принимает в этой точке наименьшее значение.

5-й этап. Критическое осмысление полученного результата. Общий расход денег будет минимальным при скорости в 20 узлов.

Ответ: 20 узлов.hello_html_m5f6fc38c.jpg

Задача 3, На какой высоте нужно повесить электрический фонарь в центре площади, чтобы осветить возможно сильней края площади (рис. 1)?

Методика работы с задачей

1-й этап. Мотивационный.

Учитель раскрывает перед учащимися необходимость решения аналогичных типов задач в реальной ситуации: при подвешивании фонарей на улицах, площадях, при подвешивании лампы над столом.

2-й этап. Анализ условия задачи:

1)Что известно из курса физики относительно освещенности плоскости и расстояния от источника света?

2)На какой высоте надо повесить фонарь на площади, чтобы края площади осветить возможно сильней?

Мысленная модель задачи. Конструирование функции и ее исследование на наибольшее значение с помощью аппарата производной.

3-й этап. Математическое моделирование.

1). Из курса физики известно, что освещенность плоскости обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения а:

hello_html_m75cf6736.jpg

Математическая задача: исследовать функцию (1) на наибольше
значение. ,

4-й этап. Решение задачи внутри математической модели:

1. Находим производную данной функции

hello_html_4025bfbd.jpg

5-й этап. Критическое осмысление полученного результата: фонари на улице, если расстояние между ними 30 м (г = 15), целесообразно повесить на высоту 15*0,7 = 10,5 (м).

Ответ: 10,5 м.

Задача 4. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки берега А. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А. Лодка проплывает по 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села В в кратчайшее время (рис. 2)?hello_html_4efa0ee6.png

Методика работы с задачей

1-й этап. Мотивационный.

Учитель должен сказать учащимся, что аналогичные типы задач часто приходится решать в жизни.

2-й этап. Анализ условия задачи:

1)На каком расстоянии находится лодка от ближайшего пункта берега?

2)На каком расстоянии находятся села А и В друг от друга?

3)Известна ли вам скорость лодки?

4)Известна ли вам скорость пассажира?

5)Известно ли вам, к какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села В в кратчайшее время?

Мысленная модель задачи: установим, какие величины будут постоянными, а какие - переменными. Постоянные величины: АО, АВ, ул, vn. Переменные величины: АС, СВ, ОС.

Исследуемая величина - время, за которое этот путь проходят пассажир и лодка.

3-й этап. Математическое моделирование.

1 .Пусть х - расстояние АС; О < х < 5.

2.Из прямоугольного треугольника О АС по теореме Пифагора

hello_html_m59dcc164.jpg

3.s2 = 5 - х.

4.Согласно условию мы получим: путь s1пассажир проходит со скоростью

v14 км/ч, а путь s2 - со скоростью v25 км/ч. hello_html_7bce493e.jpg

5.Время, за которое пассажир проходит путь s1:

hello_html_77b5276.jpg

6. Время, за которое лодка проплывает путь s2,


7.Время, затраченное на прохождение пути s1+ s2

hello_html_7db640c7.jpg

Математическая задача: исследовать функцию (1) на наименьшее значение на отрезке [0; 5].

4-й этап. Решение задачи внутри математической модели:

1. Находим производную функции (1)

hello_html_m4a7de24b.jpg



2. Находим критические точки

hello_html_1a9c61e7.jpg


3.Сделаем первый вывод: точку х2 =- 4 проверять не будем, так как она не принадлежит промежутку [0; 5].

Находим значение функции в точках х = 0;х = 4;х = 5:

hello_html_m733b622.jpg

5. Сделаем второй вывод: функция t (х) достигает наименьшего значения в точке х = 4.

5-й этап. Критическое осмысление полученного результата.

Лодка должна пристать к пункту С, находящемуся на расстоянии 4 км от пункта А.

IV. Подведение итогов.

V. Задание на дом

Задача 1. Сварщики получили задание из металлического стержня длиной а, необходимо согнуть скобу прямоугольной формы и приварить её к металлической балке. Как выбрать на стержне точки сгиба, чтобы площадь образовавшегося прямоугольника была наибольшей?

Задача 2(с физическим смыслом).

Материальная точка движется по закону h(t) = 2 + 6t - 4t , где h(t) — путь е метрах и t — время в секундах. Какой путь пройдет точка до остановки?

Задача 3(с геометрическим смыслом). Найдите размеры коробки наибольшего объема, в основании которой лежит квадрат, а полная поверхность равна 12 м.













ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ



Мы предлагаем ряд задач, решение которых на уроках и факультативах поможет убедить учащихся в том, что нахождение наибольших и наименьших значений является одним из обширных, разнообразных и интересных по своим приложениям разделов математики.

Задача 1.

Какой из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих одинаковую сумму всех ребер, имеет наибольший объем?

Решение . Обозначим ребра параллелепипеда х, у, z, тогда V=xyz, т.е. необходимо установить, когда произведение xyz максимально. Так как числовые множители не влияют на условия максимума произведения, то будем искать условия максимума произведения 4х * 4у * 4z. Так как сумма множителей, из которых составлено произведение, т.е. 4х + 4у + 4z, по условию задачи постоянна, то по теореме 1 получаем, что искомый максимум будет иметь место в случае, когда 4х = 4у = 4z, т.е. х = у = z. Это значит, что параллелепипед, удовлетворяющий требованиям задачи, является кубом.

Ответ: куб.

Задача 2. Найти максимум произведения xyz, если hello_html_m3bc808af.gif.

Решение. Найдем максимум произведения hello_html_6e74810f.gif,

так как xyz максимально при тех же условиях что и hello_html_6e74810f.gif.

По условию hello_html_m3bc808af.gif, тогда по теореме 1 должно выполняться равенство hello_html_m6d169774.gif или hello_html_3de7195d.gif, тогда

max (xyz) =hello_html_m5b8db546.gif= hello_html_33b65e22.gif.

Ответ: hello_html_33b65e22.gif.

Задача 3. В шар радиуса R вписан конус, осевое сечение которого — равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами может изменяться разность площадей двух сечений, из которых

первое (KCFD) получается в результате пересечения шара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе (NPE) — в результате пересечения конуса той же плоскостью (рис. 1).

hello_html_m520ca0f7.jpg

Рис. 1

Решение. Площади обоих сечений равны нулю в том случае, когда проводимая плоскость касается шара в точке В (вершина конуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводимая плоскость совпадает с плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимает промежуточное положение между положениями, рассмотренными выше, то площади сечений шара и конуса не равны. Итак, разность S площадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, который мы определим.

S = hello_html_553748fd.gif(МК2 – MN2); OB = R; MB = х;

МК2 = ОК2 – ОМ2 = R2 – (R – х )2 = 2Rx – х2. (1)

Так как ∆ AВС равносторонний по условию и АС║NP, то и ∆ NBP также равносторонний, следовательно, МN2 = х2/3 (2).

Подставляя (1) и (2) в выражение для S, получим

S = hello_html_63453988.gif2x (3R- 2x),

которое будет максимально, когда максимально S1 = 2x (3R–2 x). Так как сумма множителей 2x +3R–2x = 3R, то по теореме 1 S1 максимально, когда

2x=3R–2x, т.е. x = hello_html_m483e0462.gifR. Следовательно, максимальное значение S = hello_html_m61d070e4.gifR2.

Ответ. Разность площадей сечений изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, равный hello_html_m61d070e4.gifR2.

Задача 4. При каком значении t произведение ху принимает наибольшее значение, если х, у, t являются действительными числами и

x =t2

hello_html_14639f68.gif.

Решение. x =t2

hello_html_14639f68.gif, тогда xy = hello_html_631c1f50.gif.

Таким образом, задача сводится к нахождению t, при котором hello_html_631c1f50.gif принимает наибольшее значение, а это будет выполняться, если hello_html_m47e4aba.gif будет принимать наименьшее значение.

hello_html_m47e4aba.gif= hello_html_m61034abf.gif, а произведение hello_html_m581932e9.gif= 4, тогда по теореме 2 получаем, что условие минимума есть hello_html_m10f4e350.gif, hello_html_726504fa.gif=0, hello_html_241da01f.gif

Найдем наибольшее значение произведения:

max (xyz) = (hello_html_m405af982.gif

Ответ: произведение ху принимает наибольшее значение, равное 1/4, при hello_html_241da01f.gif.


Задача 5. Пусть х — числовое значение некоторой неизвестной величины, которое мы хотим определить насколько возможно точнее с помощью какого-либо измерительного инструмента. Пусть произведено п измерений и получены результаты: х1, х2 ..., хn. Возникает вопрос: какое же значение следует приписать величине х в качестве заслуживающего наибольшего доверия? Гауссом было предложено брать такое значение х, при котором так называемое "тотальное" отклонение у было бы минимальным (метод наименьших квадратов). Итак, найдите х, при котором у= (х – х1)2+(х – х2)2+..+(х – хn)2 принимает наименьшее значение.

Решение. Сложив соотношения

(х – х1)2 = х2 – 2хх1 + х12,

(х – х2)2 = х2 – 2хх2 + х22,

…………………………….

(х – хn)2 = х2 – 2ххn + хn2, получим

у = nх2 – 2х(х1 + x:2 + ... + xn) + (х12 + х22 + ... +xn2).

Следовательно, y является квадратным трехчленом относительно х, он принимает наименьшее значение при hello_html_6b31f364.gifhello_html_mcb9448a.gif.

Ответ: х = hello_html_mcb9448a.gif.

Задача 6. При каком положительном значении х сумма С принимает наименьшее значение?

C = x1000 + x900 +x90 +x5 +hello_html_m4588a5c3.gif.

Решение. С = х1000 + х 900 + х 90 + х5 + hello_html_6196e09.gif+hello_html_6196e09.gif+hello_html_6196e09.gif+hello_html_6196e09.gif =

1995 слагаемых

= hello_html_6de0ba5b.gifhello_html_42e2d8fb.gif=


1995 множителей

=hello_html_57489ca6.gif.

Мы использовали неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (теорема 4). Таким образом, C ≥1999, т.е. наименьшее значение С равно 1999, и равенство имеет место при равенстве слагаемых, т.е.

х1000 = х900= х 90 = х5 = hello_html_6196e09.gif, т.е. х=1.

Ответ: при х = 1 наименьшее значение суммы равно 1999.

Задача 7. Найти наибольшее значение А, если х > 0, у > 0 и A =hello_html_m31cd578c.gif.

Решение.

A =hello_html_m31cd578c.gif= hello_html_98f8ebd.gif

принимает наибольшее значение, когда hello_html_m74473b13.gifпринимает наименьшее значение. Так как х>0, у>0, то hello_html_m74473b13.gif≥2, значит, наименьшее значение hello_html_m74473b13.gif равно 2, и оно достигается при х = у. Тогда наибольшее значение равно hello_html_m296a10c7.gif

Ответ: наибольшее значение А равно 3.

Задача 8. По обе стороны канала, берега которого — параллельные прямые k и I, расположены поселки А и В. В каком месте следует устроить через канал переправу, чтобы путь между поселками был кратчайшим? Рис. 2hello_html_m568d043f.png

Решение. Проведем анализ. Пусть переправа построена (рис. 2).

Тогда, так как h (ширина канала) — число постоянное, то длина пути (длина ломаной АСС1В) будет наименьшей, когда сумма отрезков АС и С1В будет наименьшей (CC1hello_html_m7532947c.gif k). Если АСС1А1 параллелограмм, то АС = А1C1;

АС + С1В = А1В и А1Впрямая. При любом другом положении точки C1 (например С1') сумма отрезков A1C1' + C1'B будет представлять собой ломаную, и A1C1' + C1'B > АВ = A1С1 + C1B, A1C1' + C1'B > АС1+ С1В.

Таким образом, построение заключается в следующем: строим отрезок

АA1 = h и AA1hello_html_m7532947c.gifk, A1 соединяем с точкой В, получаем точку С1.


Задача 9. В Нью-Йорке шахматных мастеров больше, чем на всей остальной территории США. Планируется провести шахматный турнир с участием всех мастеров. Решено, что турнир будет проведен в месте, для которого общее расстояние переездов между городами участников турнира было бы минимальным. Нью-йоркские мастера утверждают, что этому критерию удовлетворяет их город. Правы ли они?

Решение. Обозначим нью-йоркских мастеров N1, N2, …Nk, остальных — О1, О2, ..., Оt по условию k >t.

Рассмотрим пары (N1, О1), (N2, О2), ... (Nt, Оt), при этом игроки Nt+1,..., Nk останутся без пары. Рассмотрим пару (N1, О1). При любом выборе города мастера N1, О1 должны проехать в совокупности не меньше, чем расстояние N1O1 по прямой, соединяющей эти города. Вместе пары проедут не меньше чем S = N1O1+ N2O2+...+ NtOt.

Если местом соревнования будет выбран Нью-Йорк, то S и будет общей суммой расстояний, если же соревнования будут проводиться в другом месте, то t пар игроков проедут расстояние не меньше S, а ненулевая сумма расстояний для игроков Nt+1,Nt+2, ...,Nk увеличит общую сумму. Следовательно, Нью-Йорк — лучшее место для проведения соревнования.

Ответ: нью-йоркские мастера правы.

Задача 10. При каком значении х трехчлен 2х2 – 4х + 6 принимает наименьшее значение? Найдите это значение.[5]

Решение.

2x2 – 4x + 6 = 2(x2 – 2x + 3) = 2(x2 – 2*x *l + l2 12 + 3) = 2((x – 1)2 + 2) =

=2(x – 1)2+4 > 0. При x = 1 выражение 2x2 – 4x + 6 принимает наименьшее значение, равное 4.

Ответ: 4.

Задача 11. Дан квадратный трехчлен hello_html_m11f81418.gifх2 +2х+4. Выясните, при каком значении х он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трехчлена.

Решение.

hello_html_m11f81418.gifх2 + 2х + 4 = hello_html_m11f81418.gif (x2 + 6х + 12) = hello_html_m11f81418.gif (x2 + 2 * z * 3 + 32 – 32 + 12)=

= hello_html_m11f81418.gif((x + 3)2 + 3)= hello_html_m11f81418.gif (z + 3)2 + l >0.

При x = – 3 выражение hello_html_m11f81418.gifх2 +2х+4 принимает наименьшее значение, равное 1.

Ответ: 1


Задача 12.Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

hello_html_m7023c41d.jpg

Пусть один из катетов равен х см, тогда другой равен (6 – х ) см. Площадь треугольника равна

S(x) = hello_html_m55ec507a.gifх(6 – х) = –hello_html_m55ec507a.gifx2 + Зх.

Выделим квадрат двучлена:

hello_html_m55ec507a.gifx2 + Зх = – hello_html_m55ec507a.gif2 – 6х + 9 – 9) =

= -hello_html_m55ec507a.gif ((x – 3)2 – 9) = – hello_html_m55ec507a.gif(x – 3)2 + hello_html_m48a18f9b.gif.

Это выражение принимает наибольшее значение при х = 3, т.е. в том случае, когда треугольник равнобедренный.


Задача 13. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t —время полета стрелы (в секундах), то расстояние h (в метрах) стрелы от поверхности земли можно найти по формуле h=–5t2+50t+20 (приближенное значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/с2 ). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен h(t):

-5t2 + 50t + 20 = – 5(t2 – 10t – 4) = –5(t2 – 10t + 25 – 25 – 4) =

= –5((t – 5)2 – 29) = – 5(t – 5)2 + 5 * 29.

Это выражение принимает наибольшее значение при t = 5. В этом случае

h = h(5) = c – 5 * 25 + 250 + 20 = 270 – 125 = 145(м).

Решение: 145 м.


Задача 14. Доказать, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение.

Пусть одна сторона прямоугольника равна х см. Тогда другая сторона равна 10 – х см, а площадь прямоугольника равна х (10 – х ) см2.

Раскрыв скобки в выражении х(10 – х), получим 10х—х2.

Выражение – х2 +10х представляет собой квадратный трехчлен, в котором

а = -1 , b=10, с = 0. Выделим квадрат двучлена:

-x2+10x= – (х2 – 10х)= –(х2 – 10х + 25 – 25)= –(х – 5)2 + 25.

Так как выражение – (х-5)2 при любом х ≠5 отрицательно, то сумма

5)2+25 принимает наибольшее значение при х=5. Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае вторая сторона также равна 5 см, т. е. прямоугольник является квадратом.

Задача 15. Найти наименьшее значение функции y = hello_html_m25c41392.gif.

Решение. Для любого действительного х справедливо неравенство

х2 – х + 1>0. Применяя неравенство Коши, находим:

hello_html_m25c41392.gifhello_html_1a1dcda2.gif,

hello_html_m25c41392.gif12.

Равенство в неравенстве Коши возможно, если hello_html_545dbd52.gif.

Тогда х2 – х + 1= hello_html_4a8ffe98.gif, 4х2 – 4х + 4 – 9 = 0, 4х2 – 4х – 5 = 0.

D1 = (-2)2 – 4 * (-5) = 4 +20 = 24, hello_html_m64b69e48.gif.

x1 = hello_html_m78faef72.gif; x2 = hello_html_m5769906d.gif.

Следовательно, наименьшее значение функции равно 12 при х = hello_html_32544831.gif.

Ответ: 12.

Задача 16. Найти наименьшее значение функции

y = hello_html_7f8edc83.gifпри х >0,8 .

Решение. Представим функцию в виде:

y = hello_html_m20f1fa51.gif.

При х >0,8 каждое слагаемое в обеих скобках положительно, поэтому можно применить неравенство Коши для трех чисел:

hello_html_m20f1fa51.gifhello_html_36ff7d4e.gif,

hello_html_m20f1fa51.gif9.

Наименьшее значение функции достигается в случае равенства всех чисел х = 2х – 1 = 4х – 3, то есть при х = 1 и равно 9.

Ответ: 9.

Задача17. Площадь поверхности сферы равна 27hello_html_m4f0a8004.gif. Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу?hello_html_27254453.jpg

Решение:

Sсф= 4hello_html_m4f0a8004.gifR2. Отсюда

4hello_html_m4f0a8004.gifR2 = 27hello_html_ccf5543.gif, R2 = hello_html_m7884214.gif, R =hello_html_60a18b16.gif


Цилиндр можно вписать в сферу, если ее диаметр совпадает с диагональю осевого сечения цилиндра. Пусть высота цилиндра H равна х. Из геометрических соображений

0 < х < 2R, т.е 0 < х <hello_html_7671590b.gif

Треугольник ABC является прямоугольным. Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны треугольника АВС:

АВ2 = АС2 – ВС2; AB2 = 4R2 x2; АВ2 = 27 – х2, АВ = hello_html_37e7ffc2.gif.

АВ = 2r, где r = OB, поэтому hello_html_54a76b4b.gif


Объем цилиндра вычисляется по формуле.

Vц=hello_html_m4f0a8004.gifr2H, где r = ОВ; H = BC.

Vц= hello_html_ccf5543.gif*hello_html_57c2217b.gif (27 2)* х; V = hello_html_59fb6bb6.gif (27xx3).
Введем функцию V(x) =hello_html_59fb6bb6.gif (27х – х3), где 0 < х <hello_html_7671590b.gif.

Найдем наибольшее значение функции V(x) на интервале (0; hello_html_7671590b.gif)

V' (x) = (hello_html_59fb6bb6.gif (27xx3))' = hello_html_59fb6bb6.gif (27– 3 x2) =hello_html_m4ddbc16e.gif=hello_html_4c5e5652.gif.


V'(х) = 0 при х = 3 и х = - 3 , х = - 3 hello_html_4a133a1f.gif(0; hello_html_7671590b.gif).

Найдём знаки V'(х) левее и правее критической точки х = 3.


+ –

º hello_html_m3b2a7da9.gif º х

0 3 hello_html_7671590b.gif

Объем цилиндра вычисляется по формуле.

Vц=hello_html_m4f0a8004.gifr2H, где r = ОВ; H = BC.

Vц= hello_html_ccf5543.gif*hello_html_57c2217b.gif (27 2)* х; V = hello_html_59fb6bb6.gif (27xx3).
Введем функцию V(x) =hello_html_59fb6bb6.gif (27х – х3), где 0 < х <hello_html_7671590b.gif.

Найдем наибольшее значение функции V(x) на интервале (0; hello_html_7671590b.gif)

V' (x) = (hello_html_59fb6bb6.gif (27xx3))' = hello_html_59fb6bb6.gif (27– 3 x2) =hello_html_m4ddbc16e.gif=hello_html_4c5e5652.gif.


V'(х) = 0 при х = 3 и х = - 3 , х = - 3 hello_html_4a133a1f.gif(0; hello_html_7671590b.gif).

Найдём знаки V'(х) левее и правее критической точки х = 3.

+ –

º hello_html_m3b2a7da9.gif º х

0 3 hello_html_7671590b.gif


V' (2) =hello_html_m4c54d2a4.gifhello_html_made44fb.gif, hello_html_made44fb.gif > 0

V' (4) = hello_html_1f70adbc.gifhello_html_59b07778.gif, hello_html_59b07778.gif < 0

Так как производная сменила знак с «+» на «–», то х = 3 является точкой максимума. Так как это единственный экстремум на интервале

(0; hello_html_7671590b.gif), то он и является наибольшим значением функции V(х) на этом интервале. Следовательно, высота цилиндра должна быть равной 3, чтобы цилиндр имел наибольший объем.

Ответ: 3

Задача18. 1. Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника. hello_html_m3f795f0c.png

Решение:

Пусть АВ = 2, ВС = 5.

S ABCNM = SABCDSMDN.

Пусть ND= х. При этом 0 < х ≤ 2. MD =у. При этом 0 < у ≤ 5. Используя теорему Пифагора, найдем сторону MN:

MN = hello_html_m75b4bde5.gif. PMDN = 8, т. е. Р= у + х+ hello_html_m75b4bde5.gif;8 = у + х +hello_html_m75b4bde5.gif.

Теперь решим полученное уравнение.

hello_html_m75b4bde5.gif= 8 yx;

х2+y2 = (8 yx)2;

х2 + у2 = 64 – 16 (у + х) + х2 + 2ху + у2;

х2 + у2 - 64 + 16(y + х) - х2 - 2ху-у2 = 0;

16(у + х) - 64 - 2ху = 0;

16у+ 16х – 64 – 2ху = 0;

8у + 8х – 32 – х у = 0;

8уху = 32 – 8х;

у(8 х) = 32 – 8х.

y = hello_html_m57280d5.gif=hello_html_m4b4735d0.gif.

S ABCNM = AB*BC – hello_html_m55ec507a.gifMD*DN.

S ABCNM =2*5 -hello_html_m55ec507a.gifxy ; S ABCNM =10 – hello_html_145616fa.gif = hello_html_69889811.gif= 10 – hello_html_4258b21b.gif=


= hello_html_453c7be5.gif=hello_html_7da47747.gif

Получили функцию S(х)=hello_html_m40b25d53.gifD(S) = (-oo;8)U(8;+oo).

Найдем наименьшее значение функции S(х) на промежутке (0; 2].


S' (х) =(hello_html_m40b25d53.gif)' = hello_html_m688cca28.gif

hello_html_m725425a1.gif

S'(x) = 0, если – 4х 2 + 64х – 128 = 0; х2-16х + 32 = 0.

D = 256 – 4 *32 = 256 – 128 = 128 , hello_html_m3a6b29ab.gifhello_html_m70b4cf8c.gif .

х1 =hello_html_7fb14cc5.gif +hello_html_352cbfe4.gif; hello_html_7e0db854.gifhello_html_m62a00377.gif

х2 =hello_html_76fb0928.gifhello_html_352cbfe4.gif; hello_html_m2d8f64d2.gif

Исследуем знак производной функции на промежутке (0; 2].

S' (1) = hello_html_6fce101b.gif <0.

Так как производная отрицательна, то функция S(х) убывает и при х = 2 достигает наименьшее значение.

S(2) = hello_html_m5ce26a81.gifhello_html_5be74d33.gif.

Следовательно, S ABCNM = hello_html_5be74d33.gif

Ответ: hello_html_5be74d33.gif.

Задача19.. Найдите наибольшее значение площади прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и диагональю ОР, где О – начало координат, а Р – точка на графике функции y = hello_html_m31c73d0e.gif+ 16х2e 3 – 4х, 0,4 ≤ х ≤ 1.hello_html_1d93fdcc.jpg

Решение.

Длины сторон прямоугольника обозначим х и y. S = х*y, т.е.

S = х*( hello_html_m31c73d0e.gif+ 16х2e 3 – 4х) = 3+16х3e 3 – 4х

Получили функцию S(х) = 3+16х3e 3– 4х, 0,4 ≤ х ≤ 1.

Найдем наибольшее значение этой функции на отрезке [0,4; 1]

S'(х)= (3+16х3e 3– 4х)'= 3' + 16(х3e 3– 4х)'=

=16*((х3)'*e 3– 4х + х3*( e 3– 4х)') =

= 16*(3х2*e 3– 4х + х3* e 3– 4х*(3 – 4х)')=

= 16*(3х2e 3– 4х + х3 e 3– 4х*(– 4))=

= 16*(3х2e 3– 4х – 4х3e 3– 4х)=

= 16х2e 3– 4х(3 – 4х).

Найдём критические точки: 16х2e 3– 4х(3 – 4х) = 0.

Так как e 3– 4х > 0 при всех значениях х, то х2(3 – 4х) = 0.

х2 = 0, х1 = 0, 0 hello_html_4a133a1f.gif[0,4;1].

(3 – 4х) = 0, 4х = 3, х = hello_html_m50c1a635.gif, hello_html_m50c1a635.gifhello_html_m79f24a27.gif[0,4;1]. + –

Итак, х = hello_html_m50c1a635.gif – критическая точка. hello_html_m62ab7850.gifhello_html_216b5da2.gifhello_html_216b5da2.gifх

0,4 3/4 1

Найдём знаки производной на промежутках [0,4; hello_html_4be5b51a.gif] и [hello_html_4be5b51a.gif;1].

S'(hello_html_m55ec507a.gif) = 16(hello_html_m55ec507a.gif)2e 3– 4 *1/2 * (3 – 4 *hello_html_m55ec507a.gif) = 16 *hello_html_57c2217b.gife 3– 2(3 – 2) = 4e, 4е > 0

S'(hello_html_6dd6cab2.gif) = 16(hello_html_6dd6cab2.gif)2e 3– 4 *7/8 * (3 – 4 *hello_html_6dd6cab2.gif) = 16 *hello_html_m11f3678e.gife 3– 3,5(3 – 3,5) =hello_html_m11f3678e.gife –1/2(-hello_html_m55ec507a.gif)=

= – hello_html_m1c571af0.gif, – hello_html_m1c571af0.gif < 0.

Производная функции S(х) при переходе через точку х =hello_html_m50c1a635.gif сменила знак с «+» на «–», значит х =hello_html_m50c1a635.gif – точка максимума. Так как это единственный экстремум на отрезке [0,4;1], то он и является наибольшим значением функции S(х) на отрезке [0,4;1].

Sнаиб = S(hello_html_m50c1a635.gif) = 3+16(hello_html_m50c1a635.gif)3 *e 3 – 4 *3/4 = 3+16*hello_html_m2f8df859.gif*е0 = 3 + hello_html_m7884214.gif= 3+6,75 = 9,75.

Ответ: 9,75.


Задача20. 4. Точка А лежит на графике функции y = f(x), точка В – на оси Ох, и её абсцисса в 4 раза больше ординаты точки А. Найдите наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где О – начало координат, а

f(x) = hello_html_m749bce83.gif, где hello_html_7365c1f.gifхhello_html_m4a2e3850.gif

Решение.

Т. к. –1≤ sin2x ≤ 1 , то hello_html_m63815570.jpg

3 ≤ – 3sin2x ≤ 3,

  • 3+17 ≤ 17 – 3sin2x ≤ 3+17,

14 ≤ 17 – 3sin2x ≤ 20.


Т. к. – 1≤ соs х ≤ 1 , то

13 ≤–13cosx ≤ 13.

Cложив почленно два неравенства, получим: 14 ≤ 17 – 3sin 2x ≤ 20

+ –13 –13cos x 13

1 17– 3sin 2x –13cos x 33

По условию хhello_html_m79f24a27.gif[hello_html_7365c1f.gif;hello_html_m4a2e3850.gif], то 6х > 0, значит, 17–3sin2x –13соs х + 6х > 0.

Функция у = hello_html_m749bce83.gifопределена на отрезке [hello_html_7365c1f.gif;hello_html_m4a2e3850.gif].

Кроме того, график функции лежит в I четверти и ордината точки А равна высоте треугольника ОАВ, проведенной из вершины А к стороне ОВ, длина которой равна y.

SОАВ =hello_html_m55ec507a.gifОВ* у = hello_html_m55ec507a.gif*4у * у = 2у2. Отсюда SOAB = (hello_html_m749bce83.gif)2 = = 2(17 – 3 sin2x – 13cos x + 6x) = 34 – 6sin2x – 26cos x + l2x.

Введем функцию S(x) = 34 – 6sin2x – 26cos x + 12x.

Найдем наименьшее значение функции S(x) на отрезке [hello_html_7365c1f.gif;hello_html_m4a2e3850.gif].

S'(x) = (34 – 6sin2x – 26cos x + 12х)'= – 6 cos 2x* (2x)' – 26(-sin x) + 12 =

= –12cos2x + 26sinx + 12 = – 12 (1 – 2 sin2 x ) + 26sin x + 12 =

= –12 + 24sin2 x + 26sin x + 12 = 24sin2 x + 26sinx = 2(12sin2 x+13sin x)

Найдем критические точки функции :

S'(x) = 0, если 12sin2x+13sin x = 0, sin x(12sinx+ 13) = 0.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

sin x = 0, x = hello_html_75f950a2.gifn, n hello_html_m79f24a27.gifZ.

12sin x + 13 = 0. Уравнение 12sin x + 13 = 0 не имеет корней, т. к. |sin x| < 1 при х hello_html_m79f24a27.gifR.

Отрезку [hello_html_7365c1f.gif;hello_html_m4a2e3850.gif] из множества x = hello_html_ccf5543.gifn, n hello_html_m79f24a27.gifZ принадлежит только одна критическая точка х = 2hello_html_81ecc78.gif, которая получается при n = 2.

+ Найдем знаки производной на проме-

hello_html_m62ab7850.gifhello_html_m62ab7850.gifhello_html_m62ab7850.gifx жутках [hello_html_7365c1f.gif;2hello_html_81ecc78.gif ) и (2hello_html_81ecc78.gif ;hello_html_m4a2e3850.gif].

hello_html_7365c1f.gif2hello_html_81ecc78.gifhello_html_m4a2e3850.gifS'(hello_html_m45438d5d.gif) = 2(12sin2hello_html_m45438d5d.gif+13sin hello_html_m45438d5d.gif).

Так как 12sin2hello_html_m45438d5d.gif > 0, 13sin hello_html_m45438d5d.gif < 0, а угол расположен в IV четверти,

то S'(x) < 0.

S'(hello_html_m4528e625.gif) = 2(12sin2 hello_html_m4528e625.gif+13sinhello_html_m4528e625.gif) = 2(12sin2 (2hello_html_81ecc78.gif +hello_html_m5691b67b.gif)+13sin(2hello_html_81ecc78.gif +hello_html_m5691b67b.gif)) =

=2(12sin2hello_html_m5691b67b.gif+13sinhello_html_m5691b67b.gif). Так как hello_html_m5691b67b.gif – угол I четверти, то sinhello_html_m5691b67b.gif > 0, значит S'(x) > 0. При переходе через точку х = 2hello_html_81ecc78.gifпроизводная функции S(x) меняет знак с «–» на «+», значит, х = 2hello_html_81ecc78.gif— точка минимума. Т. к. функция S(x) имеет единственный экстремум на данном отрезке и это — минимум, то он и является наименьшим значением функции S(x) на отрезке [hello_html_7365c1f.gif;hello_html_m4a2e3850.gif] , т. е.

Sнаим=S(2hello_html_81ecc78.gif) = 346sin2hello_html_81ecc78.gif26cos2hello_html_81ecc78.gif+ 12*2hello_html_81ecc78.gif = 340 26 + 24hello_html_81ecc78.gif= 24hello_html_81ecc78.gif+ 8.

Ответ: 24hello_html_81ecc78.gif+ 8.












ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ЗАДАЧИ ИЗ ЕГЭ



Задания с выбором ответа

1.Найдите наименьшее значение функции f(х) = hello_html_15375263.gif на отрезке [0;.2].

1)1; 2)hello_html_5ece8bd3.gif ; 3) 2; 4) –1.

Решение:

f(х) = hello_html_15375263.gif, D(f ) = R.

Функция f(х) определена и дифференцируема на множестве R, а следовательно, на отрезке [0; 2].

f '(х)=( hello_html_15375263.gif)' = х3 –1.

Найдем критические точки функции: f '(х) = 0, если х3–1=0; х=1, 1hello_html_m79f24a27.gif[0;2].

Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке. f(0) = 0; f(1) =hello_html_60dbc530.gif=hello_html_5ece8bd3.gif; f (2) = 4 – 2 = 2.

Наименьшее значение функции f (х) равно hello_html_5ece8bd3.gif.

Ответ: 2.

2. Найдите наименьшее значение функции у = 11cos x — 14.
1) – 3 ; 2) – 25 ; 3) – 14 ; 4) –11 .

Решение:

у = 11cos x – 14 . D(y) = R.

Наименьшее значение функции f(х) = cos x равно – 1 , значит, наименьшее значение функции у равно 11 • (– 1) – 14 = – 25.

Ответ: 2.

Эту задачу можно оформить так:

у = 11cos x – 14 .

  • 1 ≤ cos x ≤ 1

  • 11≤ 11 cos x ≤ 11

  • 11 – 14 ≤ 11cos x – 14 ≤ 11 – 14

  • 25 ≤ 11cos x – 14 ≤ – 3

  • 25 – наименьшее значение.

Ответ: 2.


Задания с кратким ответом

3. Функция у = f (х) определена на промежутке (–4; 7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х0, в которой функция

у =f(x) принимает наименьшее значение.hello_html_166d76cf.jpg


Решение:

Производная у =f'(x) определена во всех точках интервала (– 4; 7) и обращается в нуль в точке с абсциссой 1. На промежутке (– 4; 1) производная отрицательна, на промежутке (1; 7) производная положительна. Значит, х = 1 является точкой минимума. Т. к. функция

у =f(х) непрерывна на интервале (– 4; 7) и имеет на нем единственную критическую точку, которая является точкой минимума, то в этой точке функция у =f(х) принимает наименьшее значение. Значит, х0 = 1.

Ответ: 1.

4. Укажите наименьшее значение функции f(х) = hello_html_7ef0bfb1.gifна множестве (0; +hello_html_m6da1c75a.gif).

Решение:

f(х) = hello_html_7ef0bfb1.gif. D(f) = (-hello_html_m6da1c75a.gif;0)U( 0;+ hello_html_70459056.gif).

Функция f(х) определена и дифференцируема на (—hello_html_m6da1c75a.gif; 0) и на (0; +hello_html_m6da1c75a.gif), а следовательно, на промежутке (0; +hello_html_m6da1c75a.gif).

Найдем производную f '(х).

f '(х) =(hello_html_7ef0bfb1.gif)' = hello_html_m4fb161dc.gif = hello_html_4ae55ee7.gif .

В точке х = 0 производная не существует. Но эта точка не является критической, так как 0 hello_html_m69785b13.gifD(f).

f '(х) = 0, если 144х2 – 1 = 0, (12х – 1)(12х + 1)=0, х1 =hello_html_49039e62.gif и х2 = – hello_html_49039e62.gif.

При этом hello_html_49039e62.gifhello_html_m79f24a27.gif(), – hello_html_49039e62.gifhello_html_m69785b13.gif(0; +hello_html_m6da1c75a.gif).

Исследуем знак производной функции на каждом из полученных интервалов во множестве х > 0.

+ f '(1/18) < 0,

hello_html_1fac6ae0.gif| х

1/12 f '(1) >0

Производная функции f(х) при переходе через точку х =hello_html_49039e62.gif сменила знак с «–» на «+», значит х = hello_html_49039e62.gif – точка минимума. Т. к. функция f(х) имеет единственный экстремум на данном промежутке и это — минимум, то он и является наименьшим значением функции f(х).

fmin =f(hello_html_49039e62.gif) = 72*hello_html_49039e62.gifhello_html_6ff98167.gif

Ответ: – 4 .

5. Укажите наименьшее значение функции y=3– Iog25(5-x) на отрезке [-1;5].

Решение:

у = 3– Iog25(5-x) = 3 + x log255 =3 + x*hello_html_m55ec507a.gif=hello_html_m55ec507a.gifx + 3.

Функция у = hello_html_m55ec507a.gifx + 3 возрастает на отрезке [-1; 5], значит наименьшее значение она принимает при х = -1

ymin = y(-1) = hello_html_m55ec507a.gif*(-1) + 3 = 2,5.

Ответ: 2,5.

6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции у = 5,2(hello_html_m55ec507a.gifsin x + hello_html_m6b9b924e.gifcos x) .

Решение: D(y) = R.

Так как hello_html_m55ec507a.gif= cos hello_html_2e1f7b3a.gif, hello_html_m6b9b924e.gif= sin hello_html_2e1f7b3a.gif, то данную функцию можно преобразовать

у = 5,2(hello_html_m55ec507a.gifsin x + hello_html_m6b9b924e.gifcos x) = 5,2 (sin x * cos hello_html_2e1f7b3a.gif + cos x * sin hello_html_2e1f7b3a.gif)= 5,2*sin(x+hello_html_2e1f7b3a.gif);

1 ≤ sin(x+hello_html_2e1f7b3a.gif) ≤ 1

5,2 ≤ 5,2* sin(x+hello_html_2e1f7b3a.gif) ≤ 5,2

5,2 ≤ y ≤ 5,2

Значит, унаиб = 5,2, а унаим = -5,2.

Разность между наибольшим и наименьшим значениями равна

унаиб – унаим = 5,2– (– 5,2) = 10,4.

Ответ: 10,4.

7. Укажите наибольшее значение функции у =hello_html_657bc9c5.gif на отрезке [1;3]. Решение:

Т. к. функции f1(x) = Зх – 10 и f2(х) = 3х+1 монотонно возрастают на множестве R, а следовательно, и на отрезке [1; 3], то сумма двух функций f1(х) и f2(х), т. е. f(х) = Зх –10 + Зх+1, также возрастает на отрезке [1; 3].

Так как знаменатель дроби hello_html_657bc9c5.gif монотонно возрастает, то функция у =hello_html_657bc9c5.gif монотонно убывает на отрезке [ 1; 3].

Следовательно, наибольшее значение функции у достигается на

левом конце отрезка, т. е. унаиб = у(1) =hello_html_m3085d26c.gif= hello_html_m9ed7c70.gif= 4.

Ответ: 4.


8. Укажите наибольшее значение функции у =hello_html_m1f048335.gif .

Решение:

D(у) = R

Рассмотрим показатель степени 8х – 2х2 и представим его в виде функции g(x) = 8х – 2х2. Графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции g(x) достигается в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле х0= hello_html_m3e9c5260.gif, получим

х0= hello_html_4ccc6362.gif= 4

g(x0) = g(4) = 8*4 – 2 * 16 = 32 – 32 = 0.

Т. к. функция у =hello_html_m1f048335.gif непрерывна и монотонно возрастает на множестве R, то наибольшее значение функции у достигается при наибольшем показателе, т.е. в точке х0 =4. Значит, унаиб = у(4) = (hello_html_mc50008e.gif)0 = 1. Ответ: 1.

9. Найдите наименьшее целое значение функции

у =hello_html_710dc9d.gif.

Решение:

у =hello_html_710dc9d.gif.

Данная функция имеет наименьшее значение тогда, когда функция

f(x) = sin2x – 2sin x + 10 имеет наименьшее значение.

Пусть sin x = t, где –1 ≤ t ≤ 1, тогда функция f(t) = t2 – 2t + 10.

Найдем её наибольшее и наименьшее значения на [-1; 1].

f(-1) = (-1)2 – 2*(-1) + 10 = 13, f(1) = (1)2 – 2*(1) + 10 = 9.

Итак, функция f(t) = t2 – 2t + 10 на отрезке [-1; 1] принимает

все значения из отрезка [9; 13].

Тогда данная функция у =hello_html_710dc9d.gifпринимает все значения из отрезка [hello_html_65ea98af.gif* 3 ; hello_html_65ea98af.gif*hello_html_m487b4b13.gif], т.е. [hello_html_m2ae89e90.gif; hello_html_6d623a61.gif], где 8 – наименьшее целое значение

функции y.

Ответ: 8.


10.. Требуется разместить на земле участок площадью 2000 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDEFHMN, где EF = 20м, AB = 40м, AN = 25м, FH ≥ 30м. Найти наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KD, KM, FH, при которых периметр является наименьшим.

hello_html_19bbdd29.gifРешение. Обозначим через х – длину KD, y – длину KM. Периметр фигуры ABCDEFHMN равен

Р = 2(х + y)(так как EK+KN = EF+FN, NL+BL = =AN+AB). Площадь фигуры ABCDEFHMN вычислим как разность площади прямоугольника KDLM и площадей двух прямоугольников KEFH и ABLN. Тогда площадь фигуры ABCDEFHMN равна:

S ABCDEFHMN = KDKMEFFHABAN.

2000 = xy – 20 ∙ FN – 1000, xy = 3000 + 20 ∙ FN.

Используя неравенство Коши для чисел x и y, можно записать, что

x + yhello_html_753b577e.gif или Р ≥ hello_html_48cceac.gif.

Наименьшее значение периметра равно Р = hello_html_48cceac.gif, если x = y.

Кроме того, по условию FH ≥ 30. Тогда наименьший периметр равен

Р = hello_html_45db276a.gif при FH = 30.

Следовательно, наименьший периметр фигуры ABCDEFHMN равен 240м, FH = 30м, KD = KM = 60м.

Ответ: 240м, 60м, 60м, 30м.

5. Найдите наибольший объем цилиндра, вписанного в шар радиуса R.

Решение. Пусть r – радиус основания цилиндра. Тогда его высота h может быть найдена по формуле hello_html_1c025460.gif, а объём V = hello_html_m701e5b84.gif.

Найдем наибольшее значение V. Введём в рассмотрение функцию

f(r) = hello_html_m72079292.gif. Легко увидеть, что V2 = 16hello_html_m627977c6.gif, и наибольшее значение f(r) позволяет определить наибольшее значение V. Применим неравенство Коши для оценки f(r):

hello_html_m863ed5e.gif, или hello_html_404d2e28.gif.

Тогда наибольшее значение f(r) = (hello_html_m545d2caf.gif)3 = hello_html_7776919b.gif при hello_html_3f96ba6.gif, то есть при

r = hello_html_m5a2c461a.gif. Наибольшее значение объёма при этом равно

V(hello_html_m5a2c461a.gif) = hello_html_m1da79a9.gif= hello_html_m3cfc9aad.gif.

Ответ: hello_html_m3cfc9aad.gif.

СЗ. На рисунке изображен ковер с орнаментом (орнамент закрашен). Известно, что центры квадрата AELP и прямоугольника TUVZ совпадают, и DM ‌‌‌‌UV, SF ‌‌‌‌UT. Точки С, G, N, R — середины сторон квадрата AELP. Найдите наименьшую возможную площадь орнамента, если; площадь всего ковра равна 3600, а АЕ не меньше 10.

Решение.

Пусть UT = х, UV = y, x,yhello_html_m79f24a27.gifRhello_html_m4f36586c.jpg

AE = a, a ≥ 10.

Sковра= x*y, x*y= 3600, y =hello_html_m2864b928.gif.

Sорн = SAELP + 4SLMN+ SPQR.

Sорн =a2 + 4(hello_html_458ef4f9.gif)+ 4(hello_html_2290d0dc.gif) =

= a2+ hello_html_2fbf0811.gifhello_html_1a42be20.gif

+hello_html_791f1faf.gif= hello_html_5504be73.gifhello_html_m76c97a03.gif

Докажем, что при любом фиксированном площадь орнамента наименьшая, когда x = y.

Sорн =hello_html_m76c97a03.gif= hello_html_4215f023.gif.

Sорн= (hello_html_4215f023.gif)′=hello_html_4215f023.gif′ = hello_html_m7b6304d0.gif

Sорн= 0, если (х – 60)( х + 60) = 0, х1 = 60, х2= – 60 hello_html_4a133a1f.gifR.

Итак, х = 60, y =hello_html_5b4309d3.gif=60.

Sорн=hello_html_m76c97a03.gif= hello_html_m59e90650.gif(60 + 60) = hello_html_m59e90650.gif* 120 = 60 а.

f(a)= 60 aфункция возрастающая. Так как a10, то наименьшее значение функция принимает при наименьшем значении а, т.е. при а = 10.

Sнаим = 60 * 10 = 600.

Ответ: 600.


СЗ. Требуется разместить на земле участок площадью 1600 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCEFGHM, где MA = GF = 20 м, МН = 15 м и GH 10 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин ВК, КЕ и GH, при которых периметр является наименьшим.

Решение.

hello_html_148fe53f.gifSуч = SABCEFGHM = 1600 м2.

РABCEFGHM = РBCEK.

Обозначим ВК = х, КЕ = y,тогда

РBCEK = 2(x + y), GH ≥ 10.

SBCEK = x*y = Sуч + S1+ S2.

SBCEK = 1600 + 20 * GH + 20 * 35=2300 + 20 * GH.

Если GH = 10, то SBCEK =1600+200+700 =2500(м2).

Т.к GH ≥ 10, то SBCEK ≥ 2500, x*y ≥ 2500, yhello_html_m238e0f4e.gif.

Так как РBCEK=2(x + y), то РBCEK2(x + hello_html_m238e0f4e.gif), hello_html_3c2599c6.gifx + hello_html_m238e0f4e.gif.

Обозначим полупериметр через функцию f(x) и найдём её наименьшее значение.

f(x) = x + hello_html_m238e0f4e.gif при х > 0.

f ′ (x) = (x + hello_html_m238e0f4e.gif )′ = 1 – hello_html_m2c3f3957.gif= hello_html_2bcb30bf.gif.

f ′ (x) = 0 при х = 50, значит х = 50 – критическая точка функции f(x).

+ Определим знаки производной левее и правее

| | х критической точки .

0 50 f ′ (x) < 0 при < х < 50, f ′ (x) > 0 при х > 50.

Производная в точке х = 50 сменила знак с «–» на «+», значит х = 50 – точка минимума и в ней функция f(x) принимает наименьшее значение.

f(50) = 50 + hello_html_27d5da0b.gif= 50 + 50 = 100, hello_html_3c2599c6.gif= 100, РBCEK = 200(м) – наименьшее значение периметра. Следовательно, наименьшее значение периметра участка равно 200 м при х = 50м, y = 50м, GH = 10м.

Итак, ВК = 50м, КЕ = 50м, GH = 10м.

Руч = РABCEFGHM = 200м.

Ответ: 200м, 50м, 50м, 10м.


3. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной 2. Боковое ребро параллелепипеда равно 5. Через отрезок, соединяющий две точки на противоположных сторонах основания и параллельный двум другим сторонам основания, проведена плоскость, отсекающая от параллелепипеда треугольную призму с периметром основания равным 8. Найдите наименьшее значение объёма оставшейся части параллелепипеда.

Решение.

АD = AB = 2. Возьмём точку N на отрезке AD. Пусть АN = х, где хhello_html_m79f24a27.gif(0;2].

AM = y. hello_html_753f07cc.gifAMN – основание треугольной призмы AMNBM1N1.

В hello_html_753f07cc.gifAMN по теореме Пифагора

MN2 = AM2 + AN2

MN = hello_html_m6d54e06.gif, MN = hello_html_671e9442.gif.

По условию РAMN = 8, РAMN = х + y + hello_html_671e9442.gif.

Получили уравнение х + y + hello_html_671e9442.gif= 8

hello_html_671e9442.gif= 8 – (х + y)

х2 + y2 = (8 – (х + y))2

х2 + y2 = 64 – 16(х + y) + (х + y)2

х2 + y2 = 64 – 16х – 16y + х2 + 2xy + y2

16y – 2xy = 64 – 16x

2y(8 – x) = 64 – 16x

2y(8 – x) = 2(32 – 8x)

y(8 – x) = 32 – 8x

y = hello_html_c1adfdf.gif.

VAMNBM1N1 = S AMN * AB = hello_html_m55ec507a.gifxy*2 = xy.

Объём оставшейся части наименьший, если объём призмы AMNBM1N1 –наибольший.

VAMNBM1N1 = xy = х *hello_html_c1adfdf.gif = hello_html_m38129f9a.gif.

Имеем функцию f(x) = hello_html_m38129f9a.gif, где хhello_html_m79f24a27.gif(0;2]. Найдем наибольшее значение этой функции на промежутке (0;2].

f ′(x) =(hello_html_m38129f9a.gif)′ = (8 *hello_html_2c059f71.gif)′ = 8 * hello_html_309bbbf1.gif

=8 *hello_html_m7f4d2f1f.gif8 *hello_html_m21079b42.gif

= 8 *hello_html_6c7447f4.gif.

f ′(x) = 0, если х2 – 16х + 32 = 0.

D1 = (-8)2 – 32 = 64 – 32 = 32, hello_html_33d92576.gif.

x1 = 8 + hello_html_2029ca5b.gifhello_html_4a133a1f.gif(0;2], x2 = 8 – hello_html_2029ca5b.gifhello_html_4a133a1f.gif(0;2].

На промежутке (0;2] f ′(x) > 0, значит, функция f(x) на этом промежутке возрастает и достигает наибольшего значения при х = 2.

f(x) = f(2) = hello_html_3a24e9e7.gif= hello_html_mdc351dc.gif = VAMNBM1N1

VABCDA1B1C1 = AB*AD*AA1= 2*2*5 = 20.

Наименьший объем оставшейся части параллелепипеда равен

Vост = VABCDA1B1C1VAMNBM1N1 = 20 – hello_html_mdc351dc.gif = hello_html_7bb24dcd.gif.

Ответ: hello_html_7bb24dcd.gif.

4. Какой наибольший объём может иметь цилиндр, вписанный в конус с образующей 10 и радиусом основания 6?

Решение. hello_html_2023278e.jpg

Пусть цилиндр вписан в конус. Изобразим осевое сечение. Введём обозначения:

АО – радиус основания конуса

AS – образующая конуса

SO – высота, ЕО – радиус основания цилиндра

СЕ – образующая цилиндра.

В hello_html_753f07cc.gifAOS SO=hello_html_m21f65c59.gif.

Пусть ОЕ = х, 0 < х < 6, АЕ = ОА – ОЕ = 6 – х.

hello_html_753f07cc.gifSOA ~ hello_html_753f07cc.gifСЕА, так как А – общий, SOA = СЕА (как прямые углы),

hello_html_m16003d40.gif. Отсюда СЕ = hello_html_3b0c902d.gif, СЕ = hello_html_6853f5c0.gif= hello_html_m4e845676.gif.

Vцил = hello_html_33c685de.gifх2 * СЕ = hello_html_81ecc78.gifх2 * hello_html_m4e845676.gif= hello_html_m522ff150.gif= hello_html_711f1a7b.gif, где 0 < х < 6.

Введём функцию y(x) = hello_html_711f1a7b.gif. Исследуем её с помощью производной на интервале (0;6) на наибольшее значение:

y′(x) = (hello_html_711f1a7b.gif)′ = 16hello_html_33c685de.gifx - 4hello_html_33c685de.gifx2 = 4hello_html_33c685de.gifx(4 – x).

y′(x) = 0, если х = 0 или х =4 , 0hello_html_4a133a1f.gif(0;6), 4hello_html_m79f24a27.gif(0;6) о + | | х

04 6

y′(3) = 4hello_html_33c685de.gif*3(4 – 3) = 12hello_html_33c685de.gif, 12hello_html_33c685de.gif > 0

y′(5) = 4hello_html_33c685de.gif*5(4 – 5) = – 20hello_html_33c685de.gif, – 20hello_html_33c685de.gif < 0.

В точке х =4 производная сменила знак с «+» на «–» , значит х = 4 является точкой максимума. Так как функция y(x) на промежутке (0;6) имеет единственную точку экстремума и это – точка максимума, то в этой точке функция y(x) принимает наибольшее значение.

Vцил = 8hello_html_33c685de.gif*42hello_html_m74792fab.gif= hello_html_51a7d480.gif.

Ответ: hello_html_51a7d480.gif.

5. Бригада рыболовов планировала выловить в определённый срок 3840 центнеров рыбы, вылавливая ежедневно одно и то же количество центнеров рыбы. В течение hello_html_m24eb3399.gifэтого срока был шторм, вследствие чего ежедневное плановое задание недовыполнялось на 20 центнеров. Однако в остальные дни, кроме последнего, бригаде удавалось вылавливать на 20 центнеров больше дневной нормы. В последний день рыбаки не вышли в море из-за сильного шторма. Какое максимальное количество центнеров рыбы могла выловить бригада за установленный срок при таких погодных условиях?

Решение. Пусть по плану бригада должна работать х дней (х > 0). Тогда в день по плану она должна вылавливать hello_html_21df7663.gif ц рыбы. Фактически во время шторма бригада работала hello_html_m24eb3399.gifх дня и вылавливала (hello_html_21df7663.gif – 20) ц в день. Всего выловила hello_html_m24eb3399.gifх * (hello_html_21df7663.gif – 20) ц рыбы. Остальных рабочих дней было (hello_html_m3511c968.gif – 1), в день вылавливала (hello_html_21df7663.gif + 20) центнеров. Всего за это время удалось выловить (hello_html_21df7663.gif + 20) * (hello_html_m3511c968.gif – 1) ц. За весь период бригада выловила:

(hello_html_m24eb3399.gifх * (hello_html_21df7663.gif – 20) + (hello_html_21df7663.gif + 20) * (hello_html_m3511c968.gif – 1)) центнеров рыбы. Получили функцию f(x) = hello_html_m24eb3399.gifх * (hello_html_21df7663.gif – 20) + (hello_html_21df7663.gif + 20) * (hello_html_m3511c968.gif – 1), где х > 0.

Найдём её наибольшее значение при х > 0. Преобразуем функцию f(x):

f(x) = 2560 – hello_html_51731280.gif + 1280 + hello_html_6a09a5f3.gifhello_html_m1708ed9a.gif – 20 = 3820 – hello_html_6a09a5f3.gifhello_html_m1708ed9a.gif.

f ′(x) = (hello_html_m1f1b0a74.gifhello_html_m1708ed9a.gif)′ = hello_html_m1d877120.gif. f ′(x) = 0, hello_html_m1d877120.gif= 0

hello_html_6fba50c2.gif= hello_html_7778632c.gif, х2 = hello_html_3107ae49.gif, х = hello_html_m544a4f5c.gif. о + 24| – х

В точке х =24 производная сменила знак с «+» на «–» , значит х = 24 является точкой максимума. Так как функция f(x) на промежутке (0; + ∞) имеет единственную точку экстремума и это – точка максимума, то в этой точке функция f(x) принимает наибольшее значение.

f(24) = hello_html_m24eb3399.gif* 24 * (hello_html_m79b94de7.gif – 20) + (hello_html_m79b94de7.gif + 20) * (hello_html_2e463f12.gif – 1) = 2240 +1260 = 3500.

За весь период времени бригада выловила 3500 центнеров рыбы.

Ответ: 3500 ц.


6. Из всех конусов объёма 3hello_html_33c685de.gif выбирается такой, у которого сумма радиуса основания и высоты минимальна. Найдите объём куба, ребро которого равно радиусу выбранного конуса.

Решение.

Пусть х – радиус основания конуса, где х >0.

Vкон = hello_html_m28f32fb8.gif, hello_html_m28f32fb8.gif=3hello_html_33c685de.gif, х2h = 9, h = hello_html_m71c2b3b.gif.

Сумма радиуса основания и высоты равна х + h = x + hello_html_m71c2b3b.gif.

Имеем функцию g(x) = x + hello_html_m71c2b3b.gif, где х >0. Найдем её наименьшее значение на промежутке (0; + ∞).

g′ (x) = (x + hello_html_m71c2b3b.gif)′ = hello_html_m4ef4f5b0.gif.

g′ (x) = 0, х3 – 18 = 0, х3 = 18, х = hello_html_mab3cdf3.gif – критическая точка.

о | + хg′ (1) = 1 – 18 = – 17, – 17< 0.

hello_html_mab3cdf3.gifg′ (3) = hello_html_15b30b3.gif, hello_html_7809dbda.gif>0.

В точке х = hello_html_mab3cdf3.gif производная сменила знак с «–» на «+», значит х =hello_html_mab3cdf3.gif

является точкой минимума. Так как функция g(x) на промежутке (0; + ∞) имеет единственную точку экстремума и это – точка минимума, то в этой точке функция g(x) принимает своё наименьшее значение.

Радиус основания конуса равен hello_html_mab3cdf3.gif.

Ребро куба а = hello_html_mab3cdf3.gif, Vкуба = а3 = (hello_html_mab3cdf3.gif)3 = 18.

Ответ: 18.

7. Укажите наименьшее значение функции (без использования производной) y = 32x – 4*3x + 0,5 на отрезке [– 2;1].

Решение.

Введём новую переменную 3x = t, где hello_html_m646a8447.gift ≤ 3, тогда y = t2 – 4t + 0,5.

Графиком квадратичной функции y = t2 – 4t + 0,5 является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой t = hello_html_72995708.gif=2, 2hello_html_m79f24a27.gif[hello_html_m646a8447.gif; 3].

y(2) = 22 – 4*2 + 0,5 = 4 – 8 + 0,5 = – 3,5.

(2; – 3,5) – координаты вершины параболы. В этой точке функция имеет наименьшее значение, равное – 3,5.

Ответ: – 3,5.

8 Укажите наименьшее значение функции (без использования производной) y = hello_html_50343b0a.gif на отрезке [– 5;1].

Решение.

Данная функция определена и непрерывна на отрезке [– 5;1], что позволяет выполнить следующие преобразования:

y = hello_html_m2730bb04.gif = hello_html_mf559954.gif= hello_html_345eb128.gif=

=hello_html_52ba7bc2.gif.

На отрезке [– 5;1] 2х – 3 < 0, значит, │2х – 3│= 3 – 2х.

y = 1 + 3 – 2х = – 2х + 4. Функция y = – 2х + 4 – убывающая, значит, наименьшее значение она имеет на правом конце отрезка [– 5;1], т.е. при х = 1.

yнаим = y(1) = – 2 * 1 + 4 = 2.

Ответ: 2.


9. Найдите наименьшее значение функции y =hello_html_36f274b5.gif.

Решение.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком корня.

hello_html_67748df3.gif.

Так как – 1 ≤ hello_html_6f2204c.gif≤ 1, то 1 ≤ hello_html_6f2204c.gif+2 ≤ 3. Тогда

hello_html_m794d2358.gif, т.е. hello_html_m6e3cf6ca.gif.

Следовательно, наименьшее значение данной функции равно 1.

Ответ: 1.

10. Найдите наибольшее значение функции y = hello_html_m2fcdbf1e.gif.

Решение.

Используя формулу sin x + cos x = hello_html_73d43fb7.gif, получим:

y = hello_html_m2fcdbf1e.gif = hello_html_m239876c1.gif.

Так как функция y = hello_html_m24ee2ac4.gif – возрастающая и непрерывная, то наибольшему значению подкоренного выражения соответствует наибольшее значение функции y. Наибольшее значение подкоренного выражения достигается при наибольшем значении hello_html_m2360786c.gif, т.е. при hello_html_m2360786c.gif=1.

Тогда y = hello_html_19621c8f.gif=hello_html_m7c9bd80d.gif=1.

Итак, y = 1 – наибольшее значение функции.

Ответ: 1.



Методическая разработка учебного пособия по теоретическому курсу по дисциплине «математика» на тему МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
  • Математика
Описание:

 

Пособие написано преподавателем математики ГАОУ СПО «Лениногорский нефтяной техникум» в соответствии с программой по математике для средних школ и средних специальных учебных заведений, и в ней используются общепринятая терминология и обозначения.

 Теоретический материал сопровождается подробным рассмотрением большого количества задач  с практическим содержанием различной степени трудности. Содержит более 50 задач с решениями.  Пособие может быть использовано в качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии, при организации обобщающего повторения , для самостоятельной работы студентов, в работе кружков, курсов по выбору или элективных курсов по математике а также при подготовке к ГИА и ЕГЭ по математике.
Разработка адресована учителям математики, учащимся, студентам, абитуриентам, преподавателям довузовской подготовки.

 

 

Автор Шипилова Лилия Михайловна
Дата добавления 06.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1330
Номер материала 37201
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓