Краснодарский край
муниципальное образование Крымский район
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 11 станицы Нижнебаканской.
Пособие для подготовки учащихся к ЕГЭ.
Учимся решать
« задачи на касательную»
у у = kх + b
у = f(х)
х
х0 0
Учитель Кононова Н.Б.
Задача №1.
Составить уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой . Написать уравнение одной из прямых, параллельных этой касательной.
Решение.
Общее уравнение касательной имеет вид:
Получим уравнение искомой касательной
В качестве уравнения прямой, параллельной искомой касательной можно взять .
Ответ: ; .
Задача №2.
Найти абсциссы всех общих точек графика функции и касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой .
Решение.
Имеем функцию и точку её графика с абсциссой .
Область определения функции: х
Тогда , .
Уравнение искомой касательной:
, то есть
.
Чтобы найти абсциссы всех общих точек графика функции и касательной , надо решить уравнение равносильное совокупности двух систем:
Решим первую систему:
получим.
Найдём решение второй системы: отсюда
Ответ: или .
Задача №3.
Написать уравнение касательной к графику функции в точке графика с ординатой 32.
Решение.
Общее уравнение касательной имеет вид: т.к.
то
Найдём значения .
По условию отсюда ,
Найдём
отсюда
Уравнение искомой касательной
Ответ:
Задача №4.
Доказать, что касательные, проведённые к графику функции в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.
Решение.
, если . Отсюда следует, что A - точка пересечения графика функции с осью абсцисс.
Найдём производную и её значение в этой точке.
Следовательно, угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в точке A равен 0,5.
В - точка пересечения графика функции с осью ординат. В этой точке
Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в точке В также равен 0,5.
Так как угловые коэффициенты равны, то касательные либо параллельны, либо совпадают.
Покажем, что они различны.
- уравнение касательной в точке A.
Точка В не принадлежит этой прямой (т.к. 2 = 0,5( 0 – 4 ) – неверное).
Значит, касательные, проведённые к графику функции в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.
Задача №5.
В каких точках графика функции касательная к этому графику образует с положительным направлением оси ОХ угол
Решение.
,
Найдём
,
Решим уравнение
,
или
;
;
Значит в точках А( 1; 1 +) и В () касательная к графику функции образует с положительным направлением оси ОХ угол
Задача №6.
Найти уравнения всех касательных к графику функции , проходящих через точку А (2; 3).
Решение.
Точка А (2; 3) не принадлежит графику функции ,т.к. её координаты не удовлетворяют данной зависимости. Уравнение касательной будем искать в виде
Найдём абсциссу точки касания х0.
Тогда –уравнение искомой касательной.
Так как точка А (2; 3) принадлежит касательной, то её координаты должны удовлетворять этому уравнению
Решим полученное уравнение относительно х0.
или
Если то , тогда
- уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой
Если то , тогда
- уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой
Ответ: или
Задача №7.
Является ли прямая касательной к параболе
Если да, то найти координаты точки касания.
Решение.
Если прямая касательная к параболе в точке с абсциссой то
= 2х + 4
, тогда
Найдём значения функции и её производной в этой точке:
Отсюда , - уравнение касательной к параболе в точке (3;26), оно совпадает с уравнением данной прямой.
Ответ: да, А(3;26).
Задача №8.
Является ли прямая касательной к графику функции ? Ответ обосновать.
Решение:
Если прямая является касательной к графику функции
в точке графика с абсциссой , то ,
т.е. ,
Составим уравнение касательной к графику функции в точке графика с абсциссой и сравним его с уравнением данной прямой.
,
Получаем - уравнение искомой касательной.
Оно не совпадает с уравнением данной прямой
Значит, прямая не является касательной к графику функции .
Ответ: нет.
Задача №9.
Составить уравнения всех общих касательных к графикам функций
и .
Решение:
Данные функции дифференцируемые на R и потому их графики имеют невертикальную касательную в любой точке.
Если - уравнение искомой касательной, то каждое из уравнений и должно иметь единственный корень ( касательная к параболе имеет только одну общую точку с параболой – точку касания ). Значит, дискриминант каждого уравнения должен быть равен нулю.
,
Параметры k и b должны удовлетворять системе
Почленно вычитаем из второго уравнения первое
или
Уравнения общих касательных к графикам данных функций:
или
Ответ: или
Задача №10.
Известно, что прямая является касательной к графику функции Найти координаты точки касания.
Решение:
По условию производная функции в точке должна быть равна угловому коэффициенту касательной и значения данных функций в точке должны совпадать.
Имеем систему
1 или
1 удовлетворяет второму уравнению
, – 7 = – 7 - верное.
не удовлетворяет второму уравнению. Точкой касания
Поэтому точкой касания данной прямой и графика функции будет точка А (1; –7).
Ответ: (1; –7).
Задача №11.
Парабола с вершиной на оси абсцисс касается прямой в точке
А (–1;–1). Найти уравнение параболы.
Решение:
Так как вершина параболы находится на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид , m
Определим m и а.
По условию угловой коэффициент касательной равен 1, значит
.
Точка А (–1;–1) принадлежит параболе, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению параболы, т.е.
Решаем систему
Поделим первое уравнение на второе почленно
а = 1.
- искомое уравнение параболы.
Ответ:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.