Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодическая разработка "Учимся решать "задачи на касательную""

Методическая разработка "Учимся решать "задачи на касательную""

Скачать материал

Краснодарский край

муниципальное образование Крымский район

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 11 станицы Нижнебаканской.




Пособие для подготовки учащихся к ЕГЭ.


Учимся решать

« задачи на касательную»



hello_html_m5a49b8e7.gifhello_html_24d3781a.gif у у = kх + b

hello_html_m5fb9e259.gifhello_html_m2fbef5d.gif



hello_html_33677a3b.gifу = f(х)

hello_html_30af090.gif

hello_html_m57dde828.gifх

х0 0







Учитель Кононова Н.Б.





Задача №1.

Составить уравнение касательной к графику функции hello_html_m4b2f708b.gif

в точке с абсциссой hello_html_m49c752d9.gif. Написать уравнение одной из прямых, параллельных этой касательной.

Решение.

Общее уравнение касательной имеет вид: hello_html_665cf929.gif hello_html_6e9c6fe.gif hello_html_4d23b756.gif hello_html_7f7a23e9.gif

Получим уравнение искомой касательной

hello_html_4c6bcd7a.gif

hello_html_634bdbcc.gif

hello_html_1607ae61.gif

В качестве уравнения прямой, параллельной искомой касательной можно взять hello_html_798e49bd.gif.



Ответ: hello_html_1607ae61.gif; hello_html_798e49bd.gif.


















Задача №2.

Найти абсциссы всех общих точек графика функции hello_html_60fc88cc.gif и касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой hello_html_1bfd50f7.gif.

Решение.

Имеем функцию hello_html_60fc88cc.gif и точку её графика с абсциссой hello_html_1bfd50f7.gif.

Область определения функции: хhello_html_m52c1b9eb.gif

hello_html_m2cb72a7b.gif


hello_html_m25ea098d.gif


Тогда hello_html_m231b0d8d.gif, hello_html_570ee8ba.gif.

Уравнение искомой касательной:

hello_html_257959e3.gif, то есть hello_html_acb41b0.gif

hello_html_295bb2f4.gif.

Чтобы найти абсциссы всех общих точек графика функции hello_html_60fc88cc.gif и касательной hello_html_295bb2f4.gif, надо решить уравнение hello_html_214dd16e.gif равносильное совокупности двух систем:

hello_html_5e4da99e.gif

Решим первую систему:hello_html_7fbc4b12.gif hello_html_201a414e.gif hello_html_m4a2326ec.gif

получимhello_html_5efc0559.gif.

Найдём решение второй системы:hello_html_m503a697.gif hello_html_84f0316.gif hello_html_mdff824f.gif hello_html_m38fd48bb.gif отсюда hello_html_4fcfcf92.gif


Ответ: hello_html_m2882ff5c.gif или hello_html_14b37c3f.gif.


Задача №3.


Написать уравнение касательной к графику функции hello_html_2f2193aa.gif в точке графика с ординатой 32.


Решение.


Общее уравнение касательной имеет вид: hello_html_m2264d2b1.gif т.к.

hello_html_3f985d17.gifто hello_html_m2b5d9e4c.gif

Найдём значения hello_html_18368aa8.gif.

По условиюhello_html_mb565b93.gif отсюда hello_html_515f737d.gif hello_html_me49f461.gif, hello_html_6a1a0ae6.gif

Найдём hello_html_m798ae284.gif

hello_html_m625db458.gifотсюда hello_html_c046073.gif


Уравнение искомой касательной

hello_html_4d90cb.gif

Ответ: hello_html_4d90cb.gif






















Задача №4.



Доказать, что касательные, проведённые к графику функции hello_html_m18ec9cd5.gif в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.

Решение.

hello_html_m18ec9cd5.gif, hello_html_m1fb0aad8.gif если hello_html_99c0dcc.gif. Отсюда следует, что Ahello_html_m6fcfda2a.gif - точка пересечения графика функции с осью абсцисс.

Найдём производную и её значение в этой точке.

hello_html_m18413696.gifhello_html_m2d74134d.gifСледовательно, угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в точке Ahello_html_1ba97a2f.gif равен 0,5.

Вhello_html_118d59a9.gif - точка пересечения графика функции с осью ординат. В этой точке hello_html_10b5fab6.gif

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в точке Вhello_html_f8d7b2.gif также равен 0,5.


Так как угловые коэффициенты равны, то касательные либо параллельны, либо совпадают.

Покажем, что они различны.

hello_html_6703f3a1.gif- уравнение касательной в точке Ahello_html_m6fcfda2a.gif.

Точка Вhello_html_118d59a9.gif не принадлежит этой прямой (т.к. 2 = 0,5( 0 – 4 ) – неверное).


Значит, касательные, проведённые к графику функции hello_html_m18ec9cd5.gif в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.













Задача №5.

В каких точках графика функции hello_html_m27aa79e9.gif касательная к этому графику образует с положительным направлением оси ОХ угол hello_html_m18e23c71.gif


Решение.

hello_html_m27aa79e9.gif, hello_html_f9647f8.gif

Найдём hello_html_m798ae284.gif

hello_html_m36aa8a6b.gif, hello_html_1917a1ea.gif hello_html_m23c8dd6a.gif

Решим уравнение

hello_html_m3aa595cf.gif, hello_html_m2aff0da5.gif hello_html_124282d7.gif hello_html_78996891.gif

hello_html_m2095c26e.gifили hello_html_127bd012.gif

hello_html_m1d32f053.gif;

hello_html_31ac92bd.gif;

Значит в точках А( 1; 1 +hello_html_m75f57413.gif) и В (hello_html_m4c78af3.gif) касательная к графику функции hello_html_m27aa79e9.gif образует с положительным направлением оси ОХ угол hello_html_m5d5890a3.gif


















Задача №6.

Найти уравнения всех касательных к графику функции hello_html_785210ed.gif, проходящих через точку А (2; 3).

Решение.

Точка А (2; 3) не принадлежит графику функции hello_html_m6d71ea8c.gif,т.к. её координаты не удовлетворяют данной зависимости. Уравнение касательной будем искать в виде hello_html_3fcf6fe8.gif

Найдём абсциссу точки касания х0.

hello_html_18069ab1.gifhello_html_m592c92a8.gif

Тогда hello_html_m66437a5d.gif –уравнение искомой касательной.

Так как точка А (2; 3) принадлежит касательной, то её координаты должны удовлетворять этому уравнению

hello_html_m7ff64268.gif

Решим полученное уравнение относительно х0.

hello_html_m72d2a4f3.gif


hello_html_m2c01c0ce.gif

hello_html_5a392bb.gifhello_html_25601272.gif


hello_html_m68678f80.gifили hello_html_m2095c26e.gif

Еслиhello_html_m42d463cc.gif hello_html_2847c8d6.gif то hello_html_741866e0.gif hello_html_3926826c.gif, тогда

hello_html_7fe8436.gifhello_html_m6003e3fb.gif- уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой hello_html_20cd91ff.gif


Еслиhello_html_d19f8c4.gif hello_html_2847c8d6.gif то hello_html_m138614b4.gif hello_html_2b536112.gif, тогда

hello_html_6003a022.gifhello_html_4714145d.gif- уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой hello_html_6a1a0ae6.gif


Ответ: hello_html_29018f06.gif или hello_html_85b6e2f.gif

Задача №7.

Является ли прямая hello_html_3e5b962b.gif касательной к параболе hello_html_mdee9b37.gif

Если да, то найти координаты точки касания.


Решение.


Если прямая hello_html_3e5b962b.gif касательная к параболе hello_html_40e13e31.gif в точке с абсциссой hello_html_m7c2df624.gif то hello_html_3d140385.gif

hello_html_2b87996b.gif= 2х + 4

hello_html_m13dbd900.gif, тогда hello_html_m6960cac7.gif hello_html_22e097f6.gif hello_html_730a411.gif

Найдём значения функции и её производной в этой точке:

hello_html_m228d669d.gifhello_html_m10a9329c.gif

hello_html_m62efbfcb.gif

Отсюда hello_html_m142781c3.gif, hello_html_3e5b962b.gif - уравнение касательной к параболе в точке (3;26), оно совпадает с уравнением данной прямой.



Ответ: да, А(3;26).



















Задача №8.

Является ли прямая hello_html_m135882fd.gif касательной к графику функции hello_html_m62300ad8.gif? Ответ обосновать.

Решение:

Если прямая hello_html_m135882fd.gif является касательной к графику функции

hello_html_5e150b6f.gifв точке графика с абсциссой hello_html_4b83d5fc.gif, то hello_html_m1dcd3650.gif,

т.е. hello_html_6e948317.gif, hello_html_m2095c26e.gif

Составим уравнение касательной к графику функции hello_html_1b97764f.gif в точке графика с абсциссой hello_html_m2095c26e.gif и сравним его с уравнением данной прямой.

hello_html_m31c419a1.gif, hello_html_m4c352ee2.gif

Получаем hello_html_m7b320000.gif hello_html_m52b587d1.gif - уравнение искомой касательной.

Оно не совпадает с уравнением данной прямой hello_html_4969fbd6.gif

Значит, прямая hello_html_m135882fd.gif не является касательной к графику функции hello_html_m62300ad8.gif.



Ответ: нет.























Задача №9.

Составить уравнения всех общих касательных к графикам функций

hello_html_1cbc784e.gifи hello_html_m253de064.gif.


Решение:


Данные функции дифференцируемые на R и потому их графики имеют невертикальную касательную в любой точке.

Если hello_html_4eac7e1b.gif - уравнение искомой касательной, то каждое из уравнений hello_html_71c62740.gif и hello_html_m2111fbdb.gif должно иметь единственный корень ( касательная к параболе имеет только одну общую точку с параболой – точку касания ). Значит, дискриминант каждого уравнения должен быть равен нулю.

hello_html_78ce7140.gifhello_html_m61de2746.gif

hello_html_m195cf4f9.gif, hello_html_70ce3152.gif

Параметры k и b должны удовлетворять системе hello_html_md6bf1d7.gif


Почленно вычитаем из второго уравнения первое


hello_html_5a07bb0b.gifhello_html_m37dce267.gifhello_html_e2a766d.gifили hello_html_m23ddac89.gif


Уравнения общих касательных к графикам данных функций:

hello_html_6d4e1e2f.gifили hello_html_183adebb.gif



Ответ: hello_html_6d4e1e2f.gif или hello_html_183adebb.gif













Задача №10.

Известно, что прямая hello_html_77cc0bee.gif является касательной к графику функции hello_html_m1680a5ad.gif Найти координаты точки касания.

Решение:

По условию производная функции hello_html_m6ca2448.gif в точке hello_html_4b83d5fc.gif должна быть равна угловому коэффициенту касательной и значения данных функций в точке hello_html_4b83d5fc.gif должны совпадать.

hello_html_m5d1b1553.gif

Имеем систему hello_html_m1cedaac3.gif



hello_html_7e1318f9.gifhello_html_m692262fe.gifhello_html_m64c9b9b2.gif1 или hello_html_6dbb128e.gif

hello_html_m64c9b9b2.gif1 удовлетворяет второму уравнению

hello_html_m2ad73336.gif, – 7 = – 7 - верное.

hello_html_6dbb128e.gifне удовлетворяет второму уравнению. Точкой касания

Поэтому точкой касания данной прямой hello_html_77cc0bee.gif и графика функции hello_html_34b332c6.gif будет точка А (1; –7).



Ответ: (1; –7).













Задача №11.

Парабола с вершиной на оси абсцисс касается прямой hello_html_6d4e1e2f.gif в точке

А (–1;–1). Найти уравнение параболы.


Решение:


Так как вершина параболы находится на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид hello_html_m7c7ebd70.gif, m hello_html_m5192a1b8.gif

Определим m и а.

hello_html_2d69db40.gifhello_html_m5844769.gif

По условию угловой коэффициент касательной равен 1, значит

hello_html_1747fa0.gif.

Точка А (–1;–1) принадлежит параболе, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению параболы, т.е. hello_html_29819148.gif

Решаем систему hello_html_1165e233.gif


Поделим первое уравнение на второе почленно

hello_html_42810572.gifhello_html_6a3663f4.gifа = 1.


hello_html_accd001.gifhello_html_m78fa1aea.gifhello_html_238f1325.gif


hello_html_m27984b60.gif- искомое уравнение параболы.



Ответ: hello_html_2470d5a2.gif









Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методическая разработка "Учимся решать "задачи на касательную"""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Логист

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Пособие для подготовки учащихся к ЕГЭ. Учимся решать « задачи на касательную».

Включает в себя следующие типы задач:

1.     Составить уравнение касательной к графику функции   в точке с заданной абсциссой .

2.     Найти абсциссы всех общих точек графика функции  и касательной, проведённой к графику этой функции в точке с заданной абсциссой .

3.     Написать уравнение касательной к графику функции   в точке графика с заданной ординатой.

4.     Доказать, что касательные, проведённые к графику функции     в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.

5.     В каких точках графика функции   касательная к этому графику образует с положительным направлением оси ОХ заданный угол.

6.       Найти уравнения всех касательных к графику функции, проходящих через заданную точку.

7.     Является ли прямая  касательной к параболе. Если да, то найти координаты точки касания.

 

8.     Составить уравнения всех общих касательных к графикам заданных функций.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 866 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 09.01.2015 2242
    • DOCX 2.2 мбайт
    • 95 скачиваний
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кононова Наталья Борисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кононова Наталья Борисовна
    Кононова Наталья Борисовна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 16309
    • Всего материалов: 8

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1221 человек из 84 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 30 человек из 18 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 431 человек из 74 регионов

Мини-курс

История России: ключевые события и реформы

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 101 человек из 36 регионов

Мини-курс

Управление рисками и финансовое моделирование

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Анализ эффективности проектов

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе