Главная / Математика / Методическая разработка "Учимся решать "задачи на касательную""

Методическая разработка "Учимся решать "задачи на касательную""

Краснодарский край

муниципальное образование Крымский район

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 11 станицы Нижнебаканской.




Пособие для подготовки учащихся к ЕГЭ.


Учимся решать

« задачи на касательную»



hello_html_m2d32e2a3.gifhello_html_688da326.gif у у = kх + b

hello_html_m4c500000.gifhello_html_m1180544b.gif



hello_html_3180b8ae.gifу = f(х)

hello_html_5a40fb98.gif

hello_html_m4b885101.gifх

х0 0







Учитель Кононова Н.Б.





Задача №1.

Составить уравнение касательной к графику функции hello_html_m4b2f708b.gif

в точке с абсциссой hello_html_m49c752d9.gif. Написать уравнение одной из прямых, параллельных этой касательной.

Решение.

Общее уравнение касательной имеет вид: hello_html_665cf929.gif hello_html_6e9c6fe.gif hello_html_4d23b756.gif hello_html_7f7a23e9.gif

Получим уравнение искомой касательной

hello_html_4c6bcd7a.gif

hello_html_634bdbcc.gif

hello_html_1607ae61.gif

В качестве уравнения прямой, параллельной искомой касательной можно взять hello_html_798e49bd.gif.



Ответ: hello_html_1607ae61.gif; hello_html_798e49bd.gif.


















Задача №2.

Найти абсциссы всех общих точек графика функции hello_html_60fc88cc.gif и касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой hello_html_1bfd50f7.gif.

Решение.

Имеем функцию hello_html_60fc88cc.gif и точку её графика с абсциссой hello_html_1bfd50f7.gif.

Область определения функции: хhello_html_m52c1b9eb.gif

hello_html_m2cb72a7b.gif


hello_html_m25ea098d.gif


Тогда hello_html_m231b0d8d.gif, hello_html_570ee8ba.gif.

Уравнение искомой касательной:

hello_html_257959e3.gif, то есть hello_html_acb41b0.gif

hello_html_295bb2f4.gif.

Чтобы найти абсциссы всех общих точек графика функции hello_html_60fc88cc.gif и касательной hello_html_295bb2f4.gif, надо решить уравнение hello_html_214dd16e.gif равносильное совокупности двух систем:

hello_html_5e4da99e.gif

Решим первую систему:hello_html_7fbc4b12.gif hello_html_201a414e.gif hello_html_m4a2326ec.gif

получимhello_html_5efc0559.gif.

Найдём решение второй системы:hello_html_m503a697.gif hello_html_84f0316.gif hello_html_mdff824f.gif hello_html_m38fd48bb.gif отсюда hello_html_4fcfcf92.gif


Ответ: hello_html_m2882ff5c.gif или hello_html_14b37c3f.gif.


Задача №3.


Написать уравнение касательной к графику функции hello_html_2f2193aa.gif в точке графика с ординатой 32.


Решение.


Общее уравнение касательной имеет вид: hello_html_m2264d2b1.gif т.к.

hello_html_3f985d17.gif то hello_html_m2b5d9e4c.gif

Найдём значения hello_html_18368aa8.gif.

По условиюhello_html_mb565b93.gif отсюда hello_html_515f737d.gif hello_html_me49f461.gif, hello_html_6a1a0ae6.gif

Найдём hello_html_m798ae284.gif

hello_html_m625db458.gif отсюда hello_html_c046073.gif


Уравнение искомой касательной

hello_html_4d90cb.gif

Ответ: hello_html_4d90cb.gif






















Задача №4.



Доказать, что касательные, проведённые к графику функции hello_html_m18ec9cd5.gif в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.

Решение.

hello_html_m18ec9cd5.gif , hello_html_m1fb0aad8.gif если hello_html_99c0dcc.gif. Отсюда следует, что Ahello_html_m6fcfda2a.gif - точка пересечения графика функции с осью абсцисс.

Найдём производную и её значение в этой точке.

hello_html_m18413696.gif hello_html_m2d74134d.gif Следовательно, угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в точке Ahello_html_1ba97a2f.gif равен 0,5.

Вhello_html_118d59a9.gif - точка пересечения графика функции с осью ординат. В этой точке hello_html_10b5fab6.gif

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в точке Вhello_html_f8d7b2.gif также равен 0,5.


Так как угловые коэффициенты равны, то касательные либо параллельны, либо совпадают.

Покажем, что они различны.

hello_html_6703f3a1.gif - уравнение касательной в точке Ahello_html_m6fcfda2a.gif.

Точка Вhello_html_118d59a9.gif не принадлежит этой прямой (т.к. 2 = 0,5( 0 – 4 ) – неверное).


Значит, касательные, проведённые к графику функции hello_html_m18ec9cd5.gif в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.













Задача №5.

В каких точках графика функции hello_html_m27aa79e9.gif касательная к этому графику образует с положительным направлением оси ОХ угол hello_html_m18e23c71.gif


Решение.

hello_html_m27aa79e9.gif, hello_html_f9647f8.gif

Найдём hello_html_m798ae284.gif

hello_html_m36aa8a6b.gif, hello_html_1917a1ea.gif hello_html_m23c8dd6a.gif

Решим уравнение

hello_html_m3aa595cf.gif, hello_html_m2aff0da5.gif hello_html_124282d7.gif hello_html_78996891.gif

hello_html_m2095c26e.gif или hello_html_127bd012.gif

hello_html_m1d32f053.gif;

hello_html_31ac92bd.gif;

Значит в точках А( 1; 1 +hello_html_m75f57413.gif) и В (hello_html_m4c78af3.gif) касательная к графику функции hello_html_m27aa79e9.gif образует с положительным направлением оси ОХ угол hello_html_m5d5890a3.gif


















Задача №6.

Найти уравнения всех касательных к графику функции hello_html_785210ed.gif, проходящих через точку А (2; 3).

Решение.

Точка А (2; 3) не принадлежит графику функции hello_html_m6d71ea8c.gif,т.к. её координаты не удовлетворяют данной зависимости. Уравнение касательной будем искать в виде hello_html_3fcf6fe8.gif

Найдём абсциссу точки касания х0.

hello_html_18069ab1.gif hello_html_m592c92a8.gif

Тогда hello_html_m66437a5d.gif –уравнение искомой касательной.

Так как точка А (2; 3) принадлежит касательной, то её координаты должны удовлетворять этому уравнению

hello_html_m7ff64268.gif

Решим полученное уравнение относительно х0.

hello_html_m72d2a4f3.gif


hello_html_m2c01c0ce.gif

hello_html_5a392bb.gif hello_html_25601272.gif


hello_html_m68678f80.gif или hello_html_m2095c26e.gif

Еслиhello_html_m42d463cc.gif hello_html_2847c8d6.gif то hello_html_741866e0.gif hello_html_3926826c.gif, тогда

hello_html_7fe8436.gif hello_html_m6003e3fb.gif- уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой hello_html_20cd91ff.gif


Еслиhello_html_d19f8c4.gif hello_html_2847c8d6.gif то hello_html_m138614b4.gif hello_html_2b536112.gif, тогда

hello_html_6003a022.gif hello_html_4714145d.gif- уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой hello_html_6a1a0ae6.gif


Ответ: hello_html_29018f06.gif или hello_html_85b6e2f.gif

Задача №7.

Является ли прямая hello_html_3e5b962b.gif касательной к параболе hello_html_mdee9b37.gif

Если да, то найти координаты точки касания.


Решение.


Если прямая hello_html_3e5b962b.gif касательная к параболе hello_html_40e13e31.gif в точке с абсциссой hello_html_m7c2df624.gif то hello_html_3d140385.gif

hello_html_2b87996b.gif = 2х + 4

hello_html_m13dbd900.gif, тогда hello_html_m6960cac7.gif hello_html_22e097f6.gif hello_html_730a411.gif

Найдём значения функции и её производной в этой точке:

hello_html_m228d669d.gif hello_html_m10a9329c.gif

hello_html_m62efbfcb.gif

Отсюда hello_html_m142781c3.gif, hello_html_3e5b962b.gif - уравнение касательной к параболе в точке (3;26), оно совпадает с уравнением данной прямой.



Ответ: да, А(3;26).



















Задача №8.

Является ли прямая hello_html_m135882fd.gif касательной к графику функции hello_html_m62300ad8.gif? Ответ обосновать.

Решение:

Если прямая hello_html_m135882fd.gif является касательной к графику функции

hello_html_5e150b6f.gif в точке графика с абсциссой hello_html_4b83d5fc.gif, то hello_html_m1dcd3650.gif,

т.е. hello_html_6e948317.gif, hello_html_m2095c26e.gif

Составим уравнение касательной к графику функции hello_html_1b97764f.gif в точке графика с абсциссой hello_html_m2095c26e.gif и сравним его с уравнением данной прямой.

hello_html_m31c419a1.gif , hello_html_m4c352ee2.gif

Получаем hello_html_m7b320000.gif hello_html_m52b587d1.gif - уравнение искомой касательной.

Оно не совпадает с уравнением данной прямой hello_html_4969fbd6.gif

Значит, прямая hello_html_m135882fd.gif не является касательной к графику функции hello_html_m62300ad8.gif.



Ответ: нет.























Задача №9.

Составить уравнения всех общих касательных к графикам функций

hello_html_1cbc784e.gif и hello_html_m253de064.gif.


Решение:


Данные функции дифференцируемые на R и потому их графики имеют невертикальную касательную в любой точке.

Если hello_html_4eac7e1b.gif - уравнение искомой касательной, то каждое из уравнений hello_html_71c62740.gif и hello_html_m2111fbdb.gif должно иметь единственный корень ( касательная к параболе имеет только одну общую точку с параболой – точку касания ). Значит, дискриминант каждого уравнения должен быть равен нулю.

hello_html_78ce7140.gif hello_html_m61de2746.gif

hello_html_m195cf4f9.gif, hello_html_70ce3152.gif

Параметры k и b должны удовлетворять системе hello_html_md6bf1d7.gif


Почленно вычитаем из второго уравнения первое


hello_html_5a07bb0b.gif hello_html_m37dce267.gif hello_html_e2a766d.gif или hello_html_m23ddac89.gif


Уравнения общих касательных к графикам данных функций:

hello_html_6d4e1e2f.gif или hello_html_183adebb.gif



Ответ: hello_html_6d4e1e2f.gif или hello_html_183adebb.gif













Задача №10.

Известно, что прямая hello_html_77cc0bee.gif является касательной к графику функции hello_html_m1680a5ad.gif Найти координаты точки касания.

Решение:

По условию производная функции hello_html_m6ca2448.gif в точке hello_html_4b83d5fc.gif должна быть равна угловому коэффициенту касательной и значения данных функций в точке hello_html_4b83d5fc.gif должны совпадать.

hello_html_m5d1b1553.gif

Имеем систему hello_html_m1cedaac3.gif



hello_html_7e1318f9.gif hello_html_m692262fe.gif hello_html_m64c9b9b2.gif1 или hello_html_6dbb128e.gif

hello_html_m64c9b9b2.gif1 удовлетворяет второму уравнению

hello_html_m2ad73336.gif, – 7 = – 7 - верное.

hello_html_6dbb128e.gif не удовлетворяет второму уравнению. Точкой касания

Поэтому точкой касания данной прямой hello_html_77cc0bee.gif и графика функции hello_html_34b332c6.gif будет точка А (1; –7).



Ответ: (1; –7).













Задача №11.

Парабола с вершиной на оси абсцисс касается прямой hello_html_6d4e1e2f.gif в точке

А (–1;–1). Найти уравнение параболы.


Решение:


Так как вершина параболы находится на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид hello_html_m7c7ebd70.gif, m hello_html_m5192a1b8.gif

Определим m и а.

hello_html_2d69db40.gif hello_html_m5844769.gif

По условию угловой коэффициент касательной равен 1, значит

hello_html_1747fa0.gif.

Точка А (–1;–1) принадлежит параболе, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению параболы, т.е. hello_html_29819148.gif

Решаем систему hello_html_1165e233.gif


Поделим первое уравнение на второе почленно

hello_html_42810572.gif hello_html_6a3663f4.gif а = 1.


hello_html_accd001.gif hello_html_m78fa1aea.gif hello_html_238f1325.gif


hello_html_m27984b60.gif - искомое уравнение параболы.



Ответ: hello_html_2470d5a2.gif









Методическая разработка "Учимся решать "задачи на касательную""
  • Математика
Описание:

Пособие для подготовки учащихся к ЕГЭ. Учимся решать « задачи на касательную».

Включает в себя следующие типы задач:

1.     Составить уравнение касательной к графику функции   в точке с заданной абсциссой .

2.     Найти абсциссы всех общих точек графика функции  и касательной, проведённой к графику этой функции в точке с заданной абсциссой .

3.     Написать уравнение касательной к графику функции   в точке графика с заданной ординатой.

4.     Доказать, что касательные, проведённые к графику функции     в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.

5.     В каких точках графика функции   касательная к этому графику образует с положительным направлением оси ОХ заданный угол.

6.       Найти уравнения всех касательных к графику функции, проходящих через заданную точку.

7.     Является ли прямая  касательной к параболе. Если да, то найти координаты точки касания.

 

8.     Составить уравнения всех общих касательных к графикам заданных функций.

Автор Кононова Наталья Борисовна
Дата добавления 09.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 464
Номер материала 48134
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓