Главная / Математика / методическая разработка для элективного курса.

методическая разработка для элективного курса.

Иррациональные неравенства

 

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, hello_html_m36cabed5.png− тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство hello_html_m39179804.pngуже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.


Неравенства вида hello_html_m5a1c89ab.png

Если x лежит в ОДЗ: f  ( x ) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x , являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g  ( x ) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x , которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:
hello_html_m11afe587.png

Пример 1

Решите неравенство hello_html_m33dde5dc.png

Показать решение

Сразу перейдём к равносильной системе:
hello_html_63e0681f.png
hello_html_m67debceb.png

Ответ.   hello_html_m71803bb4.png


Пример 2

Решите неравенство hello_html_m6afec1ee.png

Показать решение

Перейдём к равносильной системе:
hello_html_0.gif
hello_html_0.gif

Ответ.   hello_html_650f705c.png



Неравенства вида hello_html_m57de61b9.png

ОДЗ данного неравенства f  ( x ) ≥ 0. Пусть для каких-то x  из ОДЗ g  ( x ) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена ( x   hello_html_0.gifОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g  ( x ) < 0.

Для других x  из ОДЗ g  ( x ) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: hello_html_0.gifЗначит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:


hello_html_24b8e7f7.png

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f  ( x ) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически hello_html_721d7784.pngибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Пример 3

Решите неравенство hello_html_m82ccc22.png

Показать решение

ОДЗ неравенства: x  ≥ –3.

1. Если hello_html_511e9415.pngто все эти x   hello_html_7a1d8844.pngОДЗ, для которых верно x  < –1, − решения. Таким образом, hello_html_m5fa4ed4a.png− первая часть ответа.

2. Если hello_html_65c08049.pngто обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:
hello_html_m78d3707c.png

Получаем, что решениями являются все hello_html_16d306b5.png

Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем:

Ответ.   hello_html_6b057b30.png


Пример 4

Решите неравенство hello_html_5cdd01d5.png

Показать решение

ОДЗ данного неравенства: hello_html_m27429b10.pngБудем рассматривать только эти x , другие x не могут являться решениями данного неравенства.

1. Если hello_html_14184c18.pngто есть hello_html_5af70ffd.pngто все такие x  из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x  ≤ –3 − решения неравенства.

2. Если hello_html_8d6674a.pngто есть hello_html_11ab8656.pngа с учетом ОДЗ это означает, что hello_html_1b662ae6.pngто обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат:
hello_html_474f599f.png

Уравнение hello_html_m2cad3677.pngимеет корни hello_html_m2989c7c3.pngи hello_html_m10862436.pngЗначит, решением неравенства являются hello_html_25987cf2.pngС учётом hello_html_m5803ca63.pngполучается, что на данном множестве решениями являются hello_html_1f9c3cf6.pngОбъединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем

hello_html_m7c1fe870.png

Запишем это решение другим способом:


hello_html_m82da89f.png
hello_html_m36953687.png

Ответ.   hello_html_m7c1fe870.png



Неравенства вида hello_html_m1f9c51e3.png

ОДЗ данного неравенства: hello_html_m4d6d67e1.pngОбе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему


hello_html_m1322a9ec.png

Заметим, что из неравенства hello_html_m4b81a7bb.pngследует, что hello_html_c39dd5d.pngто есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: hello_html_m14c016e4.pngа та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде hello_html_m1295f743.pngСледовательно, в ОДЗ


hello_html_bb29fc2.png

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности hello_html_4084697f.pngсовпадает со знаком выражения hello_html_m3f32155c.png

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

hello_html_50082420.pngв ОДЗ: hello_html_m4d6d67e1.png

Пример 5

Решите неравенство hello_html_m51651797.png

Показать решение

Перейдём к равносильной системе:
hello_html_98c898a.png

Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем:

Ответ.   hello_html_61c6f80b.png


Пример 6

Решите неравенство hello_html_1bc7e71.png

Показать решение

ОДЗ данного неравенства: hello_html_6680d040.png


hello_html_m2895d466.png

Заметим, что в ОДЗ x  ≥ 0, поэтому существует hello_html_ad90f3f.pngи значит,
hello_html_m199cf19.png

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x  ≥ 0, ( x  – 5)( x  – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку hello_html_73aab65a.pngкоторый по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x , для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x  = 5. При x  = 6 корень hello_html_m2f4b43c6.pngобращается в нуль, но x  = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:
hello_html_m1d7f3326.png
hello_html_7c31b80b.pngУчтём теперь ОДЗ и получим:

Ответ.   hello_html_m69db0300.png



Неравенства вида hello_html_5295f9d9.png

ОДЗ данного неравенства: hello_html_m2171f8f9.pngПредположим, что функции f  ( x ) и g  ( x ) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство
hello_html_4fdcef2d.png(*)

1. Если g  ( x ) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено hello_html_2b7dcd07.png

2. Если g  ( x ) ≥ 0, то выражение hello_html_m525df75b.pngможет иметь любой знак, но выражение hello_html_m82eb296.pngвсегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число hello_html_m4ee08700.pngне меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству
hello_html_m71fb2cd3.pngТаким образом, в ОДЗ
hello_html_4297a429.png

Значит, при g  ( x ) ≥ 0, знак разности hello_html_m525df75b.pngсовпадает со знаком разности hello_html_7ca8c356.pngв ОДЗ.

Получаем следующие условия равносильности.
hello_html_m1a83e87c.png

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример 7

Решите неравенство hello_html_106f68e2.png

Показать решение

Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду.
hello_html_2aa492d0.png
hello_html_43686b99.png

Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g  ( x ) = 2 x  – 8. Типичной ошибкой является считать, что g  ( x ) = 2 x  + 8.

ОДЗ данного неравенства: hello_html_m7b467dd3.pngто есть hello_html_18a72b4b.pngТеперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ
hello_html_m57dcc4d8.png
hello_html_11ba8673.pngС учётом ОДЗ сразу получаем:

Ответ.   hello_html_m62e94d72.png



Смотреть изменение     Изменить блок текста

hello_html_m5545a809.gif

Добавить блок текста

Добавить Страницу


 

hello_html_m5545a809.gif

ммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммм

методическая разработка для элективного курса.
  • Математика
Описание:

Иррациональные неравенства

 

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако,  возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство  16 меньше 1,уже верным не является. 

Автор Богданова Ирина Алексеевна
Дата добавления 03.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 309
Номер материала 23277
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓