Главная / Математика / Методическая разработка урока по математике на тему "Степенная функция"

Методическая разработка урока по математике на тему "Степенная функция"

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Салаватский индустриальный колледж»













Методическая разработка урока

по математике для 1курсов
Тема: «Степенная функция»


















Автор: преподаватель по математике Волоцкова Р.Р.






Салават
2015

СОДЕРЖАНИЕ

Свойства степеней. Степенная Функция………………………………………...3

Вещественная функция………………………………………………………3

Комплексная функция………………………………………………………..5

Виды степенных функций………………………………………………………..6

Нулевой показатель…………………………………………………………..6

Натуральный нечётный показатель…………………………………………6

Натуральный чётный показатель……………………………………………7

Целый отрицательный показатель…………………………………………..7

Рациональный (дробный) показатель……………………………………….9

Иррациональный показатель……………………………………………….14

Литература……………………………………………………………………….17



История возникновения степени числа

История возникновения степени числа

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы,  получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.) сыграла в этом значительную роль.

«Сумма знаний…» Луки Пачоли была одним из первых опубликованных  сочинений.  Но математики продолжали искать более простую систему обозначений так как его обозначения были не удобны.

Француз, бакалавр медицины Никола Шюке (? - около 1500 г.) смело ввёл в свою символику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.

В XVI в. итальянец Раффаэле Бомбелли в своей «Алгебре» использовал ту же идею. Он обозначал неизвестное специальным символом 1, а символами 2, 3,... - его степени. Обозначения Бомбелли  также оказали влияние и на символику нидерландского математика Симона Стевина (1548—1620). Он обозначал неизвестную величину кружком О,  внутри которого указывал показатели степени. Стевин предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т. Д. и отверг Диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб».

У Рене Декарта в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а?,... Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей. Немецкий ученый Лейбниц считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей  и применял знак а2.



СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ

Свойства и формулы степеней используются при сокращении и упрощении сложных выражений, при решении уравнений и неравенств. Свойства степеней можно использовать совместно с таблицей степеней и таблицей умножения.

hello_html_me9e8c3a.gif
hello_html_m47382287.gif
hello_html_6159a06c.gif
hello_html_m1dc4fd8f.gif
hello_html_e31d768.gif

Пример 1. hello_html_378cc124.gif

Пример 2. hello_html_5b87af1f.gif

Пример 3. hello_html_m7ec0665d.gif

Пример 4. hello_html_621bafb9.gif

Пример 5. hello_html_25f18abb.gif

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция – функция hello_html_567b263d.gif, где hello_html_776c51a4.gif (показатель степени) – некоторое вещественное число. К степенным часто относят и функцию вида hello_html_m4480fe96.gif, где hello_html_32e89f4f.gif – некоторый масштабный множитель. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

ВЕЩЕСТСВЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Область определения

Если показатель степени – целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при hello_html_m3de02d32.gif. Если hello_html_7fa0c9e0.gif, то функция определена так же и при hello_html_m4917500c.gif, иначе ноль является её особой точкой.



3

Рациональный показатель степени

  • Графики степенной функции при натуральном показателе hello_html_m7588f546.gif называются параболами порядка hello_html_m7588f546.gif. При hello_html_m4794be9a.gif получается функция hello_html_m63def511.gif, называемая прямой пропорциональной зависимостью.

  • Графики функций вида hello_html_m43208c2a.gif, где hello_html_m7588f546.gif – натуральное число, называются гиперболами порядка hello_html_m7588f546.gif. При hello_html_m7597712a.gif получается функция hello_html_3770ab65.gif, называемая обратной пропорциональной зависимостью.

  • Если hello_html_26ffb79c.gif, то функция есть арифметический корень степени hello_html_m7588f546.gif.

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период hello_html_m1bae6718.gif обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью hello_html_1fab1fd4.gif её орбиты соотношением: hello_html_m571a2de5.gif (полукубическая парабола)

C:\Users\Администратор\Desktop\319px-Puissance_entière.svg.pngC:\Users\Администратор\Pictures\Снимок.PNG

C:\Users\Администратор\Desktop\319px-Puissance_inverse.svg.pngC:\Users\Администратор\Pictures\Снимок.PNG
4

Свойства

  • Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция hello_html_m33066261.gif определена в нуле и его правой окрестности, но её производная hello_html_c36ee0e.gif в нуле не определена.

  • В интервале hello_html_3b827617.gif функция монотонно возрастает при hello_html_7fa0c9e0.gif и монотонно убывает при hello_html_m3e4b9e9e.gif. Значения функции в этом интервале положительны.

  • Производная функции: hello_html_8f9d11e.gif.

  • Неопределённый интеграл:

Если hello_html_m605f1ab6.gif, то hello_html_983d734.gif

При hello_html_m7597712a.gif получаем: hello_html_m32136228.gif

КОМПЛЕКСНАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция комплексного переменного hello_html_7f6f5204.gif в общем виде определяется формулой:

hello_html_m558470bb.gif

Здесь показатель степени hello_html_m24092e7a.gif – некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение hello_html_14ccf5ab.gif равно hello_html_27f92934.gif, где hello_html_32e89f4f.gif – произвольное целое, а его главное значение естьhello_html_m59cc921e.gif. Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

  1. При натуральном показателе степени функция hello_html_m27424d45.gif однозначна и n-листна.

  2. Если показатель степени – положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь hello_html_2e8a7d5e.gif, то у функции будет hello_html_3f5a3a36.gif различных значений.




5

ВИДЫ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Степенная функция с показателем равным нулю, hello_html_22285db8.gif

Если показатель степенной функции hello_html_3967011d.gif равен нулю, hello_html_22285db8.gif, то степенная функция определена для всех hello_html_6c8b3306.gif и является постоянной, равной единице: hello_html_537d0a3f.gif.

Степенная функция с натуральным нечётным показателем, hello_html_m636aa928.gif

Рассмотрим степенную функцию hello_html_m32885090.gif с натуральным нечётным показателем степениhello_html_m62b161ae.gif . Такой показатель также можно записать в виде: hello_html_m7b78d9a6.gif где hello_html_m2f656fe9.gif – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

Область определения: hello_html_m163421d4.gif
Множество значений: hello_html_b6f27b2.gif Чётность: нечётная, hello_html_706083b0.gif
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при hello_html_m47848a50.gif выпукла вверх
при
hello_html_m24784dd1.gif выпукла вниз
Точки перегибов: hello_html_mce67e28.gif
Пределы:
hello_html_m6ea9a776.gifhello_html_98c73fc.gifЧастные значения:
при
hello_html_741d175a.gifhello_html_m256195e6.gifпри hello_html_1372b165.gif
при
hello_html_m34a10ed8.gif
Обратная функция:
при
hello_html_m57cf971.gif функция является обратной к самой себе: hello_html_m7a6b8f84.gif
при
hello_html_2fdbe0a6.gif обратной функцией является корень степени hello_html_66884a4f.gif hello_html_10f97bbe.gif

6
Степенная функция с натуральным чётным показателем, hello_html_66959b89.gifC:\Users\Администратор\Desktop\stepennaya_nechetniy.png

Рассмотрим степенную функцию hello_html_m32885090.gif с натуральным чётным показателем степени hello_html_7f0cc414.gifТакой показатель также можно записать в виде: hello_html_m406990a.gif где hello_html_152b7e56.gif– натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

Область определения: hello_html_m163421d4.gif
Множество значений: hello_html_79b81b8a.gif
Чётность: чётная, hello_html_3174af90.gif
Монотонность:
при
hello_html_7c0b7a4c.gifмонотонно убывает
при
hello_html_m3de02d32.gif монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, hello_html_mce67e28.gif
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Пределы:
hello_html_48d9785c.gifhello_html_me8e1fff.gifЧастные значения:
при
hello_html_741d175a.gifhello_html_m79b2c357.gifпри hello_html_1372b165.gif
при
hello_html_m34a10ed8.gif
Обратная функция:
при
hello_html_m66b51010.gif квадратный корень: hello_html_11776295.gif, hello_html_127e4c28.gif
при
hello_html_m8c40db8.gif корень степени hello_html_m576fb411.gifC:\Users\Администратор\Desktop\stepennaya_chetniy.png

Степенная функция с целым отрицательным показателем, hello_html_41c6859f.gif

Рассмотрим степенную функцию hello_html_m32885090.gif с целым отрицательным показателем степениhello_html_76ea4f09.gif Если положить hello_html_6e017b00.gif, где hello_html_152b7e56.gif hello_html_m5c062083.gif натуральное, то её можно представить в виде:

hello_html_780793ec.gifhello_html_11852162.gif7

Нечётный показатель, hello_html_m37b8c667.gif

Ниже представлены свойства функции hello_html_3556ef16.gifс нечётным отрицательным показателем hello_html_m37b8c667.gif .

Область определения: hello_html_6c8b3306.gif
Множество значений: hello_html_m25a4b4ca.gif
Чётность: нечётная, hello_html_706083b0.gif
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при
hello_html_7c0b7a4c.gif: выпукла вверх
при
hello_html_m3de02d32.gif: выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при hello_html_13fd59dd.gif
при
hello_html_m9b7930.gif
Пределы:
hello_html_7662611b.gifhello_html_266c1a4d.gifЧастные значения:
при
hello_html_2b5939a5.gifпри hello_html_m34a10ed8.gif
Обратная функция:
при hello_html_m1208e5eb.gif
при
hello_html_m31157d8a.gif
C:\Users\Администратор\Desktop\tseliy_otritsatelniy.png



Чётный показатель, hello_html_m7d566a8d.gif

Ниже представлены свойства функции hello_html_3556ef16.gifс чётным отрицательным показателемhello_html_5fd33505.gif



8

Область определения: hello_html_6c8b3306.gif
Множество значений: hello_html_m225d9c8f.gif
Чётность: чётная, hello_html_3174af90.gif
Монотонность:
при hello_html_m351355ea.gif монотонно возрастает
при
hello_html_1c7f2224.gif монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: hello_html_m225d9c8f.gif
Пределы:

hello_html_m67231f54.gifhello_html_482c617b.gifЧастные значения:
при
hello_html_335efc7d.gifпри hello_html_m34a10ed8.gif
Обратная функция:
при hello_html_m48a6c505.gif
при
hello_html_m31157d8a.gif

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию hello_html_3967011d.gifс рациональным дробным показателем степениhello_html_m55d54a41.gif где hello_html_m4d022dbd.gifцелое, hello_html_12ec7283.gif натуральное. Причём, hello_html_36a9ab41.gif не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя – нечётный

Пусть знаменатель дробного показателя степени hello_html_m2345b7d2.gif нечётный: hello_html_65a7e17a.gifВ этом случае, степенная функция hello_html_102c91d2.gif определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента hello_html_6375ab6c.gif. Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель hello_html_m15b4b7c.gif находится в определённых пределах.

Показатель hello_html_m15b4b7c.gifотрицательный, hello_html_5942baff.gif

Пусть рациональный показатель степени (с нечётным знаменателем hello_html_ma0f15fb.gif
9

hello_html_m21b8c05.gifменьше нуля: hello_html_6c279129.gif.

Нечётный числитель, hello_html_m37b8c667.gif

Приводим свойства степенной функцииhello_html_3967011d.gif с рациональным отрицательным показателем hello_html_m2345b7d2.gif, где hello_html_m16b66e3a.gif нечётное отрицательное целое, hello_html_5fc655c4.gif нечётное натуральное.

Область определения: hello_html_6c8b3306.gif
Множество значений: hello_html_m25a4b4ca.gif
Чётность: нечётная, hello_html_706083b0.gif
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при
hello_html_m351355ea.gif выпукла вверх
при
hello_html_1c7f2224.gif выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: hello_html_11852162.gifпри hello_html_13fd59dd.gif
при
hello_html_m9b7930.gif
Пределы:
hello_html_m4e499aa7.gifhello_html_3a44cda5.gifЧастные значения:
при
hello_html_2b5939a5.gifпри hello_html_m34a10ed8.gif
Обратная функция:
hello_html_1059ced7.gifC:\Users\Администратор\Desktop\drobniy_nechetniy_otritsatelniy.png

Чётный числитель, hello_html_m1dd141ae.gif

Свойства степенной функции hello_html_3967011d.gifс рациональным отрицательным показателем hello_html_m2345b7d2.gif, где hello_html_m2b9a4ff.gifчётное отрицательное целое, hello_html_5fc655c4.gifнечётное натуральное.

10

Область определения: hello_html_6c8b3306.gif
Множество значений: hello_html_m225d9c8f.gif
Чётность: чётная, hello_html_3174af90.gif
Монотонность:
при
hello_html_m351355ea.gif монотонно возрастает
при
hello_html_1c7f2224.gif монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: hello_html_m225d9c8f.gif
Пределы:
hello_html_72d5b333.gifhello_html_3a44cda5.gifЧастные значения:
при
hello_html_2b5939a5.gifпри hello_html_m34a10ed8.gif
Обратная функция:
hello_html_4558ad3d.gif

Показатель hello_html_m15b4b7c.gif положительный, меньше единицы, hello_html_m46de9c69.gif

Нечётный числитель, hello_html_312d2b6c.gif

Представлены свойства степенной функции hello_html_3967011d.gifс рациональным показателем hello_html_m2345b7d2.gif, находящимся в пределах hello_html_m46de9c69.gif, где hello_html_2adcd989.gifнечётное натуральное, hello_html_5fc655c4.gif нечётное натуральное.

Область определения: hello_html_16b36c37.gif
Множество значений: hello_html_m52ca03ee.gif
Чётность: нечётная, hello_html_706083b0.gif
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:




11
при
hello_html_m351355ea.gif выпукла вниз
при
hello_html_1c7f2224.gif выпукла вверх
Точки перегибов: hello_html_mce67e28.gif
Точки пересечения с осями координат: hello_html_mce67e28.gif
Знак: hello_html_11852162.gifпри hello_html_13fd59dd.gif
при
hello_html_m9b7930.gif
Пределы:
hello_html_m457228c0.gifЧастные значения:
при
hello_html_m6c7298ff.gif
при
hello_html_650e7b54.gif
при
hello_html_481d9dcc.gif
Обратная функция:
hello_html_4558ad3d.gifC:\Users\Администратор\Desktop\drobniy_nechetniy_menshe_1.png

Чётный числитель, hello_html_4ed98fa3.gif

Представлены свойства степенной функции hello_html_3967011d.gifс рациональным показателем hello_html_m2345b7d2.gif, находящимся в пределах hello_html_m46de9c69.gif, где hello_html_350d9e72.gifчётное натуральное, hello_html_5fc655c4.gif нечётное натуральное.

Область определения: hello_html_m163421d4.gif
Множество значений: hello_html_30d83b7f.gif
Чётность: чётная, hello_html_3174af90.gif
Монотонность:
при
hello_html_m351355ea.gif монотонно убывает
при
hello_html_1c7f2224.gif монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при hello_html_mce67e28.gif
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: hello_html_mce67e28.gif
Пределы: hello_html_6df70b7f.gif
Частные значения:
при hello_html_m7708c08.gif
при
hello_html_650e7b54.gif
при
hello_html_481d9dcc.gif
12

Обратная функция: hello_html_4558ad3d.gif

Показатель hello_html_m15b4b7c.gifбольше единицы, hello_html_m65fa17f4.gif

Нечётный числитель, hello_html_4c861724.gif

Свойства степенной функции hello_html_3967011d.gifс рациональным показателем, большим единицы: hello_html_m52d41ef1.gif. Где hello_html_m6621a30a.gif нечётное натуральное, hello_html_5fc655c4.gifнечётное натуральное.

Область определения: hello_html_m163421d4.gif
Множество значений: hello_html_b6f27b2.gif
Чётность: нечётная, hello_html_706083b0.gif
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при
hello_html_m47848a50.gif: выпукла вверх
при
hello_html_m731521d9.gif выпукла вниз
Точки перегибов: hello_html_mce67e28.gif
Точки пересечения с осями координат: hello_html_mce67e28.gif
Пределы:
hello_html_874b2a7.gifЧастные значения:
при
hello_html_m6c7298ff.gifпри hello_html_650e7b54.gif
при
hello_html_481d9dcc.gif
Обратная функция:
hello_html_4558ad3d.gifC:\Users\Администратор\Desktop\drobniy_nechetniy_bolshe_1.png

Чётный числитель, hello_html_9b9b5d6.gif
Свойства степенной функции hello_html_3967011d.gifс рациональным показателем, большим единицы: hello_html_m52d41ef1.gif. Где hello_html_3f91f5b8.gifчётное натуральное, hello_html_5fc655c4.gif
нечётное натуральное.
13
Область определения:
hello_html_m163421d4.gif
Множество значений: hello_html_30d83b7f.gif
Чётность: чётная, hello_html_3174af90.gif
Монотонность:
при
hello_html_m351355ea.gif монотонно убывает
при
hello_html_1c7f2224.gif монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при hello_html_mce67e28.gif
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: hello_html_mce67e28.gif
Пределы:
hello_html_797ea294.gif
Частные значения:
при hello_html_m7708c08.gif
при
hello_html_650e7b54.gif
при
hello_html_481d9dcc.gif
Обратная функция:
hello_html_6065a0f1.gif

Знаменатель дробного показателя – чётный

Пусть знаменатель дробного показателя степени hello_html_m2345b7d2.gif чётный: hello_html_7f2a0bf0.gif В этом случае, степенная функция hello_html_102c91d2.gif не определена для отрицательных значений аргумента. Её свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем.

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию hello_html_3967011d.gif с иррациональным показателем степени hello_html_m348dfa1d.gif Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента hello_html_6375ab6c.gif. Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя hello_html_m15b4b7c.gifи не зависят от того, является ли hello_html_m15b4b7c.gifцелым, рациональным или иррациональным.





14

Степенная функция с отрицательным показателем hello_html_m18a9ed83.gif

Область определения: hello_html_m3de02d32.gif
Множество значений: hello_html_m225d9c8f.gif
Монотонность: монотонно убывает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Пределы:
hello_html_m4194a200.gif
Частное значение: при hello_html_me237b34.gif

C:\Users\Администратор\Desktop\stepennaya_irratsionalniy.png





Степенная функция с положительным показателем hello_html_5942baff.gif

Показатель меньше единицы hello_html_m46de9c69.gif

Область определения: hello_html_5c1d942c.gif
Множество значений: hello_html_127e4c28.gif
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вверх
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: hello_html_mce67e28.gif
Пределы:
hello_html_m280031ab.gifЧастные значения:
при hello_html_m6b81a2b.gif
при hello_html_me237b34.gif



15



Показатель больше единицы hello_html_m65fa17f4.gif

Область определения: hello_html_5c1d942c.gif
Множество значений: hello_html_127e4c28.gif
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: hello_html_mce67e28.gif
Пределы:
hello_html_m280031ab.gifЧастные значения:
hello_html_m6b81a2b.gifhello_html_me237b34.gif































16

ЛИТЕРАТУРА

https://ru.wikipedia.org/wiki/Степенная_функция

http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/stepennaya/grifik

http://www.webmath.ru/poleznoe/svoistva_stepeni.php



































17

Методическая разработка урока по математике на тему "Степенная функция"
  • Математика
Описание:

Методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 11 классе по теме «Степенная функция» поможет изучению темы. В разработке представлены материалы построения графиков степенной функции. Указаны различные типы степенных функций и их графическое построение. Методическая разработка будет полезна учителям математики и студентам СПО.

Автор Волоцкова Резеда Радиковна
Дата добавления 18.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 604
Номер материала MA-062422
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓