Главная / Математика / МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ « ДВУГРАННЫЙ УГОЛ »

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ « ДВУГРАННЫЙ УГОЛ »




Федеральное агентство по образованию

ГОУ СПО Выксунский металлургический техникум

Им. А.А.Козерадского


















МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ПО ТЕМЕ

« ДВУГРАННЫЙ УГОЛ »















Выкса 2011 г.


Содержание


  1. Введение


  1. Теоретический материал по теме « Двугранный угол »


  1. Тесты – тренажеры ( №1, №2, №3,№4)


  1. Алгоритм решения задач по теме


  1. Задание для групповой работы( 6 вариантов )


  1. Решение стереометрических задач на двугранный угол


  1. Задания для самостоятельной работы


  1. Литература




























1. Введение


Одной из основных тем стереометрии является тема « Двугранный угол».

Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся устанавливают легко, возникает много трудностей при решении стереометрических задач. Анализ этих затруднений показал, что это связано с недостаточной сформированностью навыка изображения линейных углов. Чтобы преодолеть эти проблемы , необходима определенная система задач.

Тема : « Двугранный угол , решение задач по теме » .

Цель : Сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями. Отработать определение двугранного угла.




2. Теоретический материал по теме « Двугранный угол »

Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами , исходящими из одной точки. В стереометрии наряду с такими углами рассматривается еще один вид углов – двугранные углы. Чтобы ввести понятие двугранного угла, напомним, что любая прямая , проведенная в данной плоскости , разделяет эту плоскость на две полуплоскости.



hello_html_m177b2db2.gifhello_html_62e8ef23.gifa








Рисунок 1 – Прямая а разделяет плоскости на две полуплоскости.





hello_html_m724a272f.gifhello_html_55fae43e.gifПредставим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так, что две плоскости с границей а оказались уже не лежащими в одной плоскости.

hello_html_11e27fb.gifа

hello_html_190c463a.gif





Рисунок 2 – Двугранный угол


Полученная фигура и есть двугранный угол.

Таким образом, можно дать такое определение двугранного угла : двугранным углом называется фигура , образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называется его гранями.

У двугранного угла две грани, отсюда и название – двугранный угол. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющие форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом и т.д.

Мы знаем, что углы на плоскости ( обычные углы ) измеряются в градусах. А как измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую – нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.

Равенство и неравенство двугранных углов.

Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из углов , который составит часть другого угла , считается меньшим.

Можно рассматривать сумму , разность , произведение и частное двугранных углов в том же смысле , как и для углов планиметрии. Подобно этим углам, двугранные углы могут быть смежные и вертикальные.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.

Теоремы :

  1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

  2. Большому двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Обратные теоремы :

  1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

  2. Большому линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Следствия :

  1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол и обратно.

  2. Все прямые двугранные углы равны.

  3. Вертикальные двугранные углы равны.

  4. Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково ( или противоположно ) направленными гранями равны.

  5. Двугранный угол измеряется его линейным углом.


Построение линейного угла двугранного угла.

  1.  

    В

    hello_html_4b12c7d2.png С <90 º

hello_html_m749d9bf.gifhello_html_cdbb6e4.gifhello_html_m5c8c0f2.gifhello_html_m3524f764.gif



О

hello_html_5af6b213.gifhello_html_704d3926.gif

hello_html_34436f0c.gifhello_html_30d356c3.gifhello_html_m17e5ebd0.gifα

hello_html_m4d6dce09.gif

С

К

А







ВО hello_html_6528aa6b.png α;

ВК – наклонная к α;

ОК=пр.α ВК ;

ОК hello_html_6528aa6b.pngАС;

И

В

з всего этого следует, что ВКhello_html_6528aa6b.png АС; поэтому hello_html_4b12c7d2.pngВКО – линейный угол двугранного угла с ребром АС.

hello_html_653e2e33.gifhello_html_27425c2f.gifhello_html_4cbb7abc.gif

  1. hello_html_4b12c7d2.pngС = 90º


hello_html_m6e1ae246.gifhello_html_6cddfa10.gif

О

hello_html_m682cdf42.gifhello_html_m3f931f72.gifhello_html_m7576ca81.gif

С

А

hello_html_m60aa6254.gifhello_html_27038a6a.gif


α



hello_html_4b12c7d2.pngВСО – линейный угол двугранного угла ВАСО


  1. hello_html_4b12c7d2.pngС >90º


B


hello_html_m492d809a.gifhello_html_5d3b0112.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_4108f738.gif


hello_html_5659eb6a.gifhello_html_m13b81310.gif

hello_html_m682cdf42.gif

O


А

hello_html_3695eb01.gifhello_html_m6269e4b9.gif

C

K

hello_html_77830aea.gif

α




hello_html_4b12c7d2.pngВКО - линейный угол двугранного угла ВАСО






3.Тесты – тренажеры.


Тренажер 1

Включает в себя задачи на доказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным.

  1. SABCD –пирамида; SВhello_html_m3369453f.gif( АВС ) ; ВР hello_html_m3369453f.gifDC.

Доказать, что угол SРВ – линейный угол двугранного угла с ребром CD.

  1. SABC - пирамида ; угол АСВ = 90 º; SВhello_html_m3369453f.gif( АВС ).

Доказать, что угол SCВ- линейный угол двугранного угла с ребром АС.

  1. SABC – пирамида; АВ = ВС; D – середина отрезка АС; SВhello_html_m3369453f.gif( АВС ).

Д

S

оказать , что угол SDB является линейным углом двугранного угла с ребром АС.

hello_html_6b7c35a8.gifhello_html_m662eb5a1.gifhello_html_m585bfd21.gifhello_html_63504f72.gifhello_html_7cabe65e.gifhello_html_2148e340.gifhello_html_m599a4b21.gifhello_html_m31c7c1cb.gifhello_html_2c73bfb4.gif

S


A


hello_html_m3e9af8b7.gifhello_html_m4d90f731.gif

B


hello_html_m423ec018.gif

C

?


hello_html_72202dc4.gifhello_html_m62d8d4da.gifhello_html_m39304396.gifhello_html_603beefd.gif

B


hello_html_m4c0a3be3.gifhello_html_7ba90bdd.gif

A

P

C



hello_html_9ad6a4b.gifhello_html_6fa3445c.gifhello_html_mb75e4aa.gifhello_html_5a5e9606.gifhello_html_m4af288b2.gifhello_html_m2996c99.gifhello_html_m6bd79d90.gifhello_html_m736f344b.gifhello_html_m6244445e.gif

D

Рисунок 1 Рисунок 2


S





A




D

?





C

B



Рисунок 3

Тренажер 2.

Это задачи на выделение линейного угла среди обозначенных на рисунке углов.

  1. SABC – пирамида , основание которой – правильный треугольник . Какой из отмеченных углов является линейным углом двугранного угла с ребром АС, если :

а) Е – середина отрезка АС ( рисунок 4 ), прямая SВhello_html_m3369453f.gif ( АВС )

б) К – середина отрезка АС ( рисунок 5 ), ОN||ВК и SОhello_html_m3369453f.gif ( АВС ).

  1. SАВС – пирамида , D – середина отрезка АС, SBhello_html_m3369453f.gif (АВС)

(рисунок 6).

Каким должен быть треугольник АВС, чтобы линейный углом двугранного угла с ребром АС являлся угол SDB; угол SAB ; угол SKB ?

S


hello_html_4e0faae2.gifhello_html_5df0cbc1.gifhello_html_m100d4148.gifhello_html_m2fc0df87.gifhello_html_4b7d76de.gif

S

hello_html_m6e281e96.gifhello_html_6de8f47b.gifhello_html_b3a65c5.gifhello_html_3a6db648.gifhello_html_m6ebcc227.gif



C


hello_html_14924e3a.gifhello_html_m4101f26.gif

C


hello_html_m585bb0ce.gifhello_html_299ac617.gif

hello_html_3ed757ac.gif

E


hello_html_4fe4daf.gif

N


hello_html_m426e21e3.gif

A

hello_html_m2eebcc6c.gif

O

K


hello_html_30e01fe4.gif

B

B


A



hello_html_4bb86035.gifРисунок 4 Рисунок 5

S


hello_html_58718adc.gifhello_html_4ad75e9b.gifhello_html_3f6224d7.gifhello_html_74ea9743.gifhello_html_4fa9dff1.gif







C


hello_html_m10a2467a.gif

D


hello_html_55d2fbea.gif

B


hello_html_3fd2c6d3.gifhello_html_m23402c66.gif

A


K




Рисунок 6


Тренажер 3


(Задачи на построение линейного угла данного двугранного угла).

  1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде SABC :

а) АВ=ВС ;SВhello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ( рисунок 7 )

б) грань ( АВС ) – правильный треугольник, О - точка , пересечения медиан прямая SOhello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ( рисунок 8 )

в) грань ( АВС ) – правильный треугольник, О – середина отрезка АВ, SOhello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ( рисунок 9)

  1. Дан прямоугольник АВСD и точка S не лежит в его плоскости.

Построить линейный угол двугранного угла с ребром CD, если :

а)SBhello_html_m3369453f.gif ( АВС )

б) точка О принадлежит отрезку АВ, прямая SOhello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ( рисунок 11)

в) О – точка пересечения диагоналей, SO hello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ( рисунок 12)

  1. Дан ромб ABCD,SC hello_html_m3369453f.gif ( ABC )

Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD ( рисунок 13 ).

4. а) ABCD – трапеция ; угол BAD=90º; SВ hello_html_m3369453f.gif ( АВС ) (рисунок 14 )

б) ABCD – трапеция ; угол BAD=90º ; точка О принадлежит отрезку ВС, SО hello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ; ( рисунок 15 )

в) ABCD – равнобедренная трапеция , SВ hello_html_m3369453f.gif ( АВС ); ( рисунок 16 ).

S

г) ABCD – равнобедренная трапеция , SС hello_html_m3369453f.gif ( АВС ); ( рисунок 17 ).

Построить линейный угол двухгранного угла с ребром AD.

hello_html_6cd0e2c0.gifhello_html_m60108d6d.gifhello_html_m4c7f4154.gifhello_html_68653b87.gif

S


hello_html_m4c88f316.gifhello_html_5df608d9.gifhello_html_447a8b2e.gifhello_html_5ce359cf.gifhello_html_m1d3c2d7e.gifhello_html_2dadf941.gif

A




A


hello_html_657cd676.gifhello_html_m55710e37.gifhello_html_1263166e.gifhello_html_m3ec5cff7.gif

B


B

C

o



Р

C

исунок 7

hello_html_308f7a81.gifhello_html_m7b36de24.gifhello_html_420acb5d.gifhello_html_2089bb5c.gif

S

S


Рисунок 8

hello_html_m2206af5b.gifhello_html_m68711ccb.gifhello_html_m65ff6b00.gifhello_html_m647d95e.gifhello_html_46e08b77.gifhello_html_48afe223.gif

S


A

o


hello_html_4650c897.gifhello_html_77c14614.gifhello_html_6a12d49.gif

B

B

C

B


hello_html_709193.gifhello_html_m7569daac.gif

O

C


C

A

D


A


D


Рhello_html_7223443a.gifhello_html_m404f053b.gifhello_html_4c5b516f.gifhello_html_4b449663.gifhello_html_75eff138.gifhello_html_med4beeb.gif

A

B

S

O

C

D

исунок 9 Рисунок 10 Рисунок 11









Рисунок 12



S


hello_html_23223e8a.gifhello_html_55dbedde.gifhello_html_m7ce7afb0.gifhello_html_774f682.gifhello_html_546f6998.gif

A

B

S

C

D

hello_html_m15f5973c.gifhello_html_m42147f06.gifhello_html_m73e7e11.gif

S

hello_html_m25624d77.gifhello_html_141f9823.gifhello_html_31aa94d1.gif


C

D


C

B

hello_html_1367a62a.gif

hello_html_m75537884.gif

О



B


D

A

A





Рhello_html_3de8404.gifhello_html_c2f75b9.gifhello_html_21fbe6c7.gifhello_html_m9c5848f.gif

S

A

B

D

исунок 13 Рисунок 14 Рисунок 15


S


hello_html_m330699ce.gifhello_html_1196d0b.gifhello_html_m483d1b0d.gif



D


C

A


hello_html_m62e2e86b.gif



C


B




Рисунок 16 Рисунок 17


Тренажер 4

( Задачи вычислительного характера )

  1. Дана пирамида SABC. Найти величину двугранного угла с ребром АС, если :

а) SB hello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ; угол С = 90 º ; ВС = SB= 6см. ; ( рисунок 18)

б) прямая SB hello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ; АВ = ВС = 10 см.; SB= АС = 12см.;

(рисунок 7)

в) грань ( АВС ) – правильный треугольник; АВ = 6 см. ; О –точка пересечения медиан, SO hello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ; SO=4см.; (рисунок 8 )

г) грань АВС – правильный треугольник; О – середина отрезка АВ ; АВ = 6см.; SO hello_html_m3369453f.gif ( АВС ) ; SO= 9 см.; ( рисунок 9)

  1. АВСD – прямоугольник, BD=4√3 см. Прямая SBhello_html_m3369453f.gif ( АВС ), SB=6см.; двугранный угол с ребром DC =60º. Найти стороны прямоугольника.

  2. АВСD – прямоугольник; его площадь 48см2 . DC = 4 см. ;

OShello_html_m3369453f.gif( АВС )

OS=6см. Найти величину двугранного угла с ребром DC

( рисунок 12)

  1. АВСD – ромб, ВD=8см.; SC hello_html_m3369453f.gif ( АВС ) , SC = 16 см, двугранный угол с ребром ВD = 45º. Найти площадь ромба ( рисунок 13 ).

  2. В параллелограмме АВСD угол АDC=150º, АD=16см, СD=12см.;

SC hello_html_m3369453f.gif ( АВС ), SC=18см., ( рисунок 19). Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.

S


S


hello_html_m567e3674.gifhello_html_1e6fad6f.gifhello_html_m1a737873.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_4c11ca7.gifhello_html_6b8df50a.gif




B


C


hello_html_46a7c8f5.gifhello_html_6b7f0c46.gifhello_html_7c9a9441.gif

B


hello_html_10cad03e.gif

А


hello_html_m1755d647.gifhello_html_m75339182.gif

С


A


D


Рисунок 18

Рисунок 19


Эти четыре тренажера выступают в роли тестов.

4 Алгоритм решения задач по теме


  1. Гhello_html_m4ea6e154.gifhello_html_m48be3bac.gifhello_html_m5fe6ac57.gifhello_html_46201917.gifhello_html_7266f76e.gifhello_html_m2ce2e57a.gifhello_html_7e7932cb.gifhello_html_m5b8c160e.gifhello_html_m7b3f230b.gifhello_html_7d632085.gifhello_html_149ba8e4.gif

    D

    B

    C

    30º

    ?

    ипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30º. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.






hello_html_m5392b92c.gif

O

hello_html_m5a49608e.gif




A


α



Дано :

 Δ АВС ; С = 90 º;

Угол между ВС и α = 30 º

Найти двугранный угол с ребром АВ.



Решение :

  1. Строим линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

СОhello_html_6528aa6b.pngα ; CD – наклонная к плоскости α;

ODhello_html_6528aa6b.pngАВ ( по построению );

СВ hello_html_6528aa6b.png АВ ( по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно СDО – линейный угол двугранного угла с ребром АВ ).

СВО – угол наклона ВС к плоскости α.

Пусть СО = α;

  1. hello_html_5901e2ac.gifhello_html_m77622395.gifhello_html_5279ace7.gifhello_html_m119c2e54.gifhello_html_7975f3b4.gifhello_html_m40ae0cda.gifhello_html_417a943.gifhello_html_m49581ca1.gif

    А

    С

    D

    В

    С

    О

    В

    а

    30º

    2.















Рассмотрим ΔСОВ : В=30 º ; СВ = 2а ( свойство катета, лежащего против угла в 30 º).

Рассмотрим ΔACD : SΔ = 0,5*АС*СВ = 0,5*2а*2а=2а2

SΔ = 0,5*АВ*СD;CD=2* SΔ/АВ


АВ =√АС2+СВ2 = √4а2+4а2 = √8а2 = 2а√2


hello_html_51ee7c2e.gif;



hello_html_6820af85.gifhello_html_m9095ccc.gif

C

a

O

a√2

?

hello_html_5279ace7.gifhello_html_m316bdc45.gif



D



3. hello_html_1457dbfd.gif ;

Ответ : CDO=45º


  1. Т

    M

    очка М равноудалена от всех сторон правильного треугольник АВС , сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки М до плоскости (АВС ) 2 см. Найдите угол между плоскостью ( ВМС ) и плоскостью ( АВС ) и угол между МС и плоскостью ( АВС ).

hello_html_m580307fa.gifhello_html_270cb659.gifhello_html_m4e522316.gifhello_html_5e7cfac2.gifhello_html_4bc75515.gifhello_html_74894d38.gifhello_html_m5303125f.gifhello_html_m39bc4a0a.gifhello_html_44fcaee5.gifhello_html_m7ee94639.gifhello_html_3b7eb21f.gifhello_html_5e0d2915.gif

N

K

C

O









A

B

L













Дано :

Δ АВС;

АВ=АС=ВС=4см;

МО=2 см.

Найти : 1. Угол между ( ВМС) и ( АВС )

2.Угол между МС и (АВС)


Решение :

Так как точка М равноудалена от всех сторон треугольник АВС , то ее проекцией на плоскость ( АВС ) является центр вписанной окружности, следует ОК=ON = OL =r;

ОКhello_html_6528aa6b.pngВС ( радиус , проведенный в точку касания) ; ОМ hello_html_6528aa6b.png ( АВС );

МК – наклонная к ( АВС ) ;

ОК = пр. ( АВС ) МК ; ОКhello_html_6528aa6b.pngВС следует, что МК hello_html_6528aa6b.png ВС следует ,что МКО – линейный угол двугранного угла МСВО.


2)Рассмотрим Δ МОК ;

hello_html_256fbeb.gifhello_html_m17aa7371.gifhello_html_17235be5.gifhello_html_m77cbc2fe.gif

М

О

К

?














hello_html_3f4efba9.gif

hello_html_1b944b50.gif ; hello_html_712ccfd6.gif

hello_html_2e1137a2.gif ;

hello_html_m30ed7cbe.gif

МКО= 60º

3) Угол между МС и плоскостью ( АВС ) равен углу МСО.

М


hello_html_d3d0ceb.gifhello_html_5ca93ab8.gifhello_html_m769b67f4.gifhello_html_m53a1be89.gif

О

С

?












ОС=R; R=2r ; hello_html_c42940.gif

hello_html_m1b30b18b.gif

Ответ : МКО= 60º; hello_html_m111fb10a.gif

5. Варианты заданий для самостоятельной работы


Вариант № 1


  1. Дан прямоугольник АВСD и точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC, если :

SBhello_html_6528aa6b.png( АВС )

О – точка пересечения диагоналей, SOhello_html_6528aa6b.png( АВС ).

  1. Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ1. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ =2 см.; ВАС = 150º ; и двугранный угол ВАСВ1 = 45 º.


Вариант № 2


  1. ABCD - ромб; BD=8см; двугранный угол с ребром BD = 45º. Найти площадь ромба.

  2. В параллелограмме ABCD АDC=150º; АD=16см; DC=12см; SChello_html_6528aa6b.png( АВС ); SC=18см. Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.


Вариант № 3


  1. Дан куб ABCDА1В1С1D1; (ABCD – нижнее основание ). Найдите величину угла между плоскостью грани АВВ1А1 куба и плоскостью, проходящего через диагональ АВ1 этой грани и середину ребра DC куба.

  2. Плоскость α проходит через сторону АС треугольника АВС под углом 30º к плоскости треугольника. Найти расстояние от вершины В до плоскости α, если ВС = 6 см; С=120º.


Вариант № 4


  1. В тетраэдре DABC все ребра, кроме АВ, имеют равные длины. АСВ=90º. Найдите величину двугранного угла при ребре ВС.

  2. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BACD =90º. Найдите сторону ромба, если BAD=45º и расстояние от точки В до плоскости ADM = 4√3см.





Вариант № 5


  1. Найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

а) BShello_html_6528aa6b.png( ABC ); C=90º; BC= BS=6см.

б) BShello_html_6528aa6b.png( ABC ); АВ=ВС=10см; BS=АС=12см.

  1. ABCD – прямоугольник . S=48см2 ; DC=4см; OShello_html_6528aa6b.png(АВС); OS=6см. найти величину двугранного угла с ребром DC.


Вариант № 6


  1. Дан прямоугольник ABCDи точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC если : SBhello_html_6528aa6b.png(АВС); О – точка пересечения диагоналей, прямая SO hello_html_6528aa6b.png(АВС).

  2. Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника АВС, сторона которого 4см. Расстояние от точки М до плоскости ( АВС ) равно 2 см. Найдите угол между плоскостью ( ВМС ) и плоскостью ( АВС ) и угол между МС и плоскостью ( АВС ).


  1. Решение стереометрических задач на тему « Двугранный угол »

1) Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 является квадратом со стороной 3, а пространственная диагональ параллелепипеда равна hello_html_m505a31c8.gif. Найдите угол между плоскостью A1B1C1D1 и плоскостью ADC1

hello_html_m20559306.png

Дано: hello_html_m78da2a29.gif - прямоугольный параллелепипед

ABCD – квадрат

AB=3

B1D=hello_html_m505a31c8.gif

Найти угол между плоскостями (A1B1C1D1) и (ADC1)










Решение

Двугранный угол С1ADC. Строим его линейный угол. hello_html_41a704c2.gif; hello_html_107488bb.gif - наклонная к плоскости hello_html_m57cd57cf.gif; hello_html_m18b48a42.gif (стороны квадрата) по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах hello_html_5d138282.gif, значит hello_html_47615b84.gif - линейный угол двугранного угла hello_html_6c8db904.gif.



С1



hello_html_m633eb395.gif

С

D

hello_html_m7d496240.gif

?

hello_html_m2f4a4ce8.gif



hello_html_m222b5b0d.gif

hello_html_m62fb6cc1.gifhello_html_259f0e95.gifhello_html_m4c3d5dc3.gif; hello_html_m6b1b619c.gif








B1



hello_html_m633eb395.gif

B

D

hello_html_m7ef3c967.gif

hello_html_5e67beb6.gif

hello_html_m62fb6cc1.gifhello_html_dfeb998.gif

hello_html_m57af5ca5.gif





B



hello_html_m633eb395.gif

A

D

hello_html_m222b5b0d.gif

hello_html_5e67beb6.gif

hello_html_m222b5b0d.gif



hello_html_3147b663.gif




Ответ: hello_html_m6b1b619c.gif

2) Диаметр и хорда AB основания конуса равны соответственно 26 и 24, тангенс угла между образующей и основанием конуса равен 8. Найдите тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB.

hello_html_m4ad2bec0.pngДано: SAC – конус

AC=26

AB=24

hello_html_m2dbf6a80.gif

Найти: hello_html_7f58e1aa.gif











Решение

Сhello_html_18f268b4.gifhello_html_14e1f382.gif

O

троим линейный угол двугранного угла SABO.
  1. hello_html_68d109af.gifhello_html_m56d485a.gif

A

hello_html_34277e89.gif – равнобедренный.

K

B

hello_html_4d0be3ca.gifhello_html_m50abdf98.gif


hello_html_6a6bd3d4.gif - медиана на hello_html_34277e89.gif.

hello_html_mabcbfb0.gif

S



2hello_html_m633eb395.gif

O

A

hello_html_m3da17067.gif)

α

hello_html_m4b3482e8.gif

hello_html_d9a3ecb.gif





S



3hello_html_m633eb395.gif

K

5

104

hello_html_m3da17067.gif

?

)

hello_html_ma628e6f.gif;

O

hello_html_m721e53c4.gif


Ответ: hello_html_m71c1614b.gif


3) Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 – ромб ABCD со стороной, равной 7. Площадь ромба равна 28. Тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ABC1 равен 2,75. Найдите длину бокового ребра призмы.

hello_html_63078f16.png hello_html_mde0dc8b.png



Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямоугольная призма

ABCD – ромб.

AB=7.

S ромба=28.

hello_html_m2798de4e.gif

Найти: DD1


Решение

  1. Проведём hello_html_49697f4.gif тогда hello_html_5536a9f8.gif (по теореме о трёх перпендикулярах), тогдаhello_html_438150a5.gif - линейный угол двухгранного угла C1ABC.

  2. hello_html_3ea5e2b9.gif

С1

1

hello_html_66f5ec3.gif

  1. hello_html_m633eb395.gif

    ?

C

K

hello_html_m1ad00f9e.gifhello_html_m7e53c434.gifhello_html_m1b770ecb.gif

hello_html_dfeb998.gifhello_html_242f1d04.gif

hello_html_3ab6e38e.gif


Ответ: hello_html_25b1b01d.gif.

4) Высота прямой призмы ABCA1B1C1 с основанием ABC равна 12. Угол между прямыми BC1 и AC равен 90º , а синус угла между прямыми A1B и AC равен hello_html_70f45ebe.gif. Найдите тангенс угла между плоскостью BC1A и плоскостью ABC, если A1B равно 13.

Дhello_html_m60d99464.pngано:

ABCA1B1C1 – прямая призма

АА1=12

hello_html_m57a3e027.gifhello_html_m3bd591dd.gifhello_html_m1bd1eea6.gif

Найти:hello_html_5a990e1.gif

Решение

Прямые DC1 и AC – скрещивающиеся. hello_html_m6ab4aa1e.gif

Прямые A1B и AC – скрещивающиеся.

hello_html_m3d6b99ae.gif

Двугранный угол C1ABC. Строим его линейный угол.

hello_html_m1e3dc887.gif

C1K – наклонная; hello_html_349fe16c.gif

hello_html_552e9d68.gif(по построению) hello_html_1b730b13.gif по теореме о трёх перпендикулярах hello_html_5099f7c3.gif- линейный угол двугранного угла hello_html_122be568.gif.

1hello_html_m633eb395.gif

С1

1

A1

1

B

1

hello_html_4d0be3ca.gifhello_html_m1c881b0a.gif

13

1

hello_html_m6b96e261.gif1

hello_html_35cc89bf.gif) hello_html_10b8af7.gif




2) Н

A

1

айдём СК

hello_html_m633eb395.gif

B

1

C

1

K

1

hello_html_773de77b.gif

4

1

5

3

1

hello_html_4d0be3ca.gifhello_html_259f0e95.gifhello_html_m65ef2930.gifhello_html_50e9e13c.gifhello_html_5c6ece34.gif


3hello_html_m633eb395.gif

С1

1

)

12

1

hello_html_m46e5745f.gif

C

1

K

1

2,4

1

hello_html_4d0be3ca.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_29c53900.gif


Ответ: hello_html_m54ebfde.gif


  1. Задания для самостоятельной работы

1) Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые грани составляют с плоскостью основания равные углы, причем их тангенс равен 3.Найдите объём пирамиды.


2) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки K и F- середины ребер SB и SC соответственно. Сторона основания пирамиды равна 2√3, боковое ребро равно √79. Найдите угол между плоскостью AKF и плоскостью основания пирамиды.


3) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точки M и N- середины ребер SA и SB соответственно. Сторона основания пирамиды равно 4∕3 апофема 2√10∕3. Найдите угол между плоскостью MNC основания пирамиды.

4) В правильной треугольной пирамиде ABCD боковое ребро в 1,5 раза длиннее, чем сторона основания ABC. Точки K и M делят пополам ребра AD и CD соответственно. Найдите синус угла между плоскостями ACD и BKM.

5) В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания равна боковому ребру. Точка M делит ребро DC пополам, K- середина BC. Найдите синус угла между плоскостью AKM и плоскостью ABC.

6) Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует угол, равный 60°, с плоскостью основания, а полученное сечение имеет площадь 5√3. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

7) Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 является квадратом со стороной 2,а пространственная диагональ параллелепипеда равна 2√5. Найдите угол между плоскостью A1B1C1D1 и плоскостью ADC1.

8) В прямоугольном параллелепипеде ABCD A1B1C1D1 известны длины ребер: AB=3, AD=4,CC1=9. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

9) В прямоугольном параллелепипеде ABCD A1B1C1D1 известны длины ребер:

AB=12, AD=16, CC1=9. Найдите угол между плоскостями BDD1 и AB1D1.





  1. Литература


  1. Электронный учебник « Стереометрия. 10-11 классы »

  2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов « Геометрия 10-11 классы» - Москва, Просвещение,2000

  3. С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов « Изучение геометрии 10-11 классы» - Москва, Просвещение,2003

  4. Л.С. Атанасян « Поурочные планы по геометрии 10 класс» - издательство «Учитель »

  5. Н.Г.Федин, С.Н. Федин « Геометрия. Учебное пособие для техникумов» - Москва , Высшая школа,1989

  6. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев « Геометрия » - Москва, Наука,1990

  7. Г.Н. Яковлев « Геометрия» Москва, Наука, 1982

  8. «Задачи по геометрии с комментариями и решениями » - перевод с французского,Москва,Мир,1989

  9. Н.Н. Кущенко « Решение задач по математике» - Москва, Мир,1982

  10. Сканави « Сборник задач по математике » - Москва, Мир, 1996












МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ « ДВУГРАННЫЙ УГОЛ »
  • Математика
Описание:

Одной из основных тем стереометрии является тема « Двугранный угол».

Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся устанавливают легко, возникает много трудностей при решении стереометрических задач. Анализ этих затруднений показал, что это связано с недостаточной сформированностью навыка изображения линейных углов. Чтобы преодолеть эти проблемы , необходима определенная система задач.

Тема : « Двугранный угол , решение задач по теме » .

Цель : Сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями. Отработать определение двугранного угла.

Автор Конухина Галина Михайловна
Дата добавления 09.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 589
Номер материала MA-065454
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓