Главная / Информатика / Методическая работа по внеурочной деятельности. Задачи с игровыми мотивами по теме "Двоичная система счисления" (7-9 класс)

Методическая работа по внеурочной деятельности. Задачи с игровыми мотивами по теме "Двоичная система счисления" (7-9 класс)

hello_html_m61a10b33.jpghello_html_33454f96.gifhello_html_7df37d95.gifhello_html_617db4a7.gif

СКАЗ О ТОМ,

Как давно, в былую пору,

Брата два, Фома с Егором,

Собирались в путь- дорогу


Прямо к царскому чертогу.

Как, деля печали вместе,

Царской заслужили чести.

(Сказочная повесть в трех главах)



Глава I

В некотором тридевятом царстве,

В тридесятом государстве

Жили-были царь с царицей.

С тем царем никто сравниться

Не умел в одном пристрастье:

Был играть он в игры мастер,

Да притом играл так славно,

Что не знал себе в том равных.

Вот указ тот царь издал:

hello_html_med9ca8d.gif




Всем, будь стар ты или мал,

Приходи-ка ко двору,

Чтоб сыграть со мной в игру.

Коль тебя не обыграю,

Награжу тогда сполна я.

Так, по данному мной слову,

В жены дочь возьмешь царёву

И решившего задачу

Щедро одарю в придачу:

Из конюшни дам своей

Златогривых трех коней!



hello_html_7f632a2.gif



Вот указ тот царь издал:

Всем, будь стар ты или мал,

Приходи-ка ко двору,

Чтоб сыграть со мной в игру…




hello_html_m16adf3ba.png

hello_html_76eefa96.jpg



hello_html_m5fb0730d.png

























Эти царские слова

Подхватила вмиг молва.

Не было единой веси'.

Где б не знали царской вести.

И уж всякий без разбору,

В дальний путь собравшись скоро,

Ко двору готов пойти.

Дочку ж царскую поди

В жены взять кому б не надо!


Было ж средь таких два брата.

Младший брат Фома умен,

Знал уж толк в задачах он.


А старшой-то брат Егор

Был зато в работе спор.


Вот пошли Егор с Фомой

За спиной с большой сумой

Попытать свою удачу

Царскую решить задачу.


Мало ли прошли иль много,

Как вдруг смотрят на дорогу:

Эдак лет двухсот на вид

Вhello_html_13eab4f2.pngещий старичок сидит.


Поклонились братья старцу

И спросили, как добраться

В царский им двоим дворец.

Так держал ответ мудрец:



Должен так звучать рассказ,

Чтоб привычным быть для нас:


«— Прямо предстоит пройти

Только пять нам верст пути,

Через речку на плоту

Нам проплыть еще с версту,

Две версты лесной тропою

И четыре под горою.

И всего-то набралось

В сумме лишь 12 верст ».

Братья, отдохнув немного,

В путь пошли прямой дорогой.


Конец главы I






















  • hello_html_40e445ee.gif«Прямо нужно вам пройти Сто одну версту пути,

Через речку на плату

Вам проплыть еще, с версту,

10 верст — лесной тропою,

Сотню — под горой крутою.

И того уж набралось

В сумме тысяча сто верст ».

Тут хотел было Егор

С мудрецом вступить бы

в спор,

Только тот уж скрылся с глаз.


Странный больно был

рассказ!

Составляет путь весь

тот

Верст чуть более

двухсот!

Знать, сошел старик.

с ума!


Нет же, возразил Фома.


Ты, Егорка, то заметь:

Числа все в рассказе ведьЕдиницы да нули.

Это ж мы понять могли! Объяснять, в чем тут секрет, Времени, сам знаешь, нет.







hello_html_m32e8ee93.gif


hello_html_272622da.gif



  1. hello_html_2c1cb75c.gifВ чем состоял секрет расшифровки Фомой рассказа мудреца?


  1. hello_html_74a3fc04.pngКак можно перевести число из двоичной системы счисления в десятичную? Расшифруйте и вы рассказ старца и сверьте свою расшифровку с результатами Фомы.


  1. hello_html_41069074.pngКак поступить наоборот, т.е. число, данное в десятичной системе счисления, перевести в двоичную?









hello_html_m590ba521.gif






1hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_5951fc3b.gif. Подобно тому, как в десятичной системе счисления существует 10 цифр, так в двоичной - две: 1 и 0. Разрядами хорошо знакомой десятичной системы являются:

1, 10, 100. 1000, ... т.е.


10°, 101, 102, 103. ... .

Так, разрядами двоичной системы счисления являются

20, 21, 22, 23, 24, … .



Таким образом, расшифровка Фомой рассказа мудреца состояла в переведении этого рассказа из двоичной системы счисления в десятичную.


2. Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную можно так. Разложим его по разрядам. Действия аналогичны тому, как если бы число было дано в десятичной системе счисления. Допустим, имеем дело с числом 1101.

Если это число дано в десятичной системе счисления, то по разрядам оно разложиться так:

110110 =1*103 + 1*102 + 1*101 + 1*100


Так же поступим в двоичной системе счисления:


11012 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20

Теперь полученную сумму вычисляем уже в двоичной системе счисления:


1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13


Итак, 11012 = 1310


3. Из десятичной в двоичную систему счисления перевести число несколько сложнее. Вот один из возможных способов. Число, данное в десятичной системе счисления, будем последовательно делить на двойку, пока не получиться в частном ноль. Тогда, выписав, начиная с конца, остатки от каждого деления, получим двоичную форму записи числа. Переведем для примера число 13 из десятичной системы счисления в двоичную. Сначала 13 делим на 2.



    1. 2hello_html_438e1b6b.gif

  1. 6hello_html_m2bddf96.gifhello_html_5951fc3b.gif

1hello_html_mb60b119.gif



Получили в частном 6. Теперь уже 6 делим на 2, и так далее:hello_html_4a499f33.gif

  1. 2hello_html_249bbe2.gif

  1. 1hello_html_mda0fc22.png

  1. 0

1hello_html_m7e487b19.png 1

1

Итак, в частном ноль. Значит, дальше продолжать деление нет смысла, и уже можно прочитать число (перечисляем остатки от деления с конца):

1310 =11012 .

Ясно, что остатками не могут получаться другие числа кроме единиц и нулей, остаток всегда меньше делителя, в данном случае, двойки.

Теперь, когда мы ближе познакомились с двоичной системой счисления и умеем переводить числа из нее в десятичную и обратно, можем продолжать следить за путешествием двух наших героев.

hello_html_m53d4ecad.gif


Глава II

Долго братья шли, покуда

Непонятно вдруг откуда

К ним подходит, наконец,

По всему видать, купец,

Братья молвили купцу:

Держим путь мы ко дворцу,

hello_html_mdfc5eea.png

Им сказал купец в ответ:

Чай, известно вам аль нет, Что теперь в свои палаты

Царь велит пускать за плату. Вам иметь — даю совет —

100 серебряных монет.

Хватит денег-то своих?

Дать могу вам, если нет,

Хоть до тысячи монет.


Вы ж за то своим трудом

Мне срубите славный дом,

Чтоб со ставнями резными

Да с узорами над ними,

Чтоб с дверьми дубовыми,

Медными засовами.

Аhello_html_8b5e3b2.png на крыше теремка

Два сидело петушка.

Дело кончили два брата

Время выдавать оплату.


hello_html_40e445ee.gifПодозвал купец двух братьев

Да завел речь об оплате,

Говорит с лукавым видом:


Сумму сразу всю не выдам,

А сперва всего монету

Предложу от суммы этой.

Во второй раз —две монеты.

А затем четыре в третий.


Новое монет число я

Так вот каждый раз удвою.


Ты из них, как сам решишь,

Соглашайся брать те лишь,

Чтоб настал такой момент,

Что число твоих монет –

Это в точности цена.

Вот тогда твоя она.


Нет – так не серчай уж, брат, Деньги все беру назад.


Кто смекает хорошо,

Подставляй скорей мешок !



Уговор пришелся кстати,

hello_html_m4812f64f.gifИ пошли работать братья.


hello_html_56067ba9.png


Мастер дел таких Егор

Взял тогда большой топор,

И в руках его умелых

Быстро поспевало дело.


Взялся так за дело крепко,

Что лишь разлетались щепки.


А Фома, хоть в том не дюж

И без навыка к тому ж, Пособлял ему, в чем мог.

Так свершили дело в срок.


Вышел терем всем на диво:

И высокий, и красивый,

Да со ставнями резными,

Все с узорами над ними,

Да с дверьми дубовыми,

Медными засовами,

А на крыше теремка

Два красавца петушка.



Цену называй свою

Что ни назовешь даю!


Тут подал Егор мешок:

Наберу-ка денег впрок.

Обещался выдать коль

Тысячу монет – изволь !



И платить купец Егору

Деньги стал по уговору.

Вопрошал за каждым разом.

hello_html_118f9a1e.png-Да не спрашивай, сыпь сразу!

Что отказываться мне,

Так быстрей придем к цене!



Говорит Егор купцу,

Только тот уже к концу

Увеличил деньги вдвое –

hello_html_178cf3a4.pngНепонятно, что такое?



Сыпать если - выйдет плата

Больше той цены, чем надо;

Нет тогда наоборот:

hello_html_178cf3a4.pngДо цены недостает.




hello_html_m4812f64f.gif




hello_html_78c0bb48.png

hello_html_2c1cb75c.gif


hello_html_74a3fc04.pngОпечалился Егор,

Да таков был уговор,

С тем забрал мешок пустой.

Стал черед и за Фомой:

hello_html_41069074.png-Сумма нам к царю нужна

100 монет – вот и цена


И Фома, размыслив толком,

Торг с купцом ведя не долго,

Пораскинувши мозгами,

Получил мешок с деньгами.

И, взвалив мешок на плечи,

Братья в путь пошли далече.


Конец II главы




hello_html_m32e8ee93.gif




hello_html_m7b2673e.gif






  1. В чем состояла смекалка Фомы, как он добился результата?


  1. Какие суммы, называемые купцом, Фома соглашался класть в мешок, какие — нет? Как должен был поступать Егор?


  1. Любую ли цену, названную братьями, мог выплатить им купец, ведя расчет таким образом? Ответ объяснить.











hello_html_30b0e7d9.gif







  1. Легко заметить, что величины денежных сумм, называемые купцом, представляют собой последовательные разряды двоичной системы счисления. Таким образом, смекалка Фомы состояла в том, что он перевел число монет своей платы в двоичную систему счисления, и, если очередной разряд присутствует в этом числе, он просил высыпать себе эту сумму в мешок.



10010= 110010002= (1*26 +1*25 +0*24 +0*23 +1*22 +0* 21 +0*20 )10


Фома соглашался высыпать в мешок 22, 25 и 26 монет,

т.е. 4, 32, 64.


100010= 11111010002= (1*29 + 1*28 +1*27 +1*26 + 1*25 +0*24 + 1*23 +0*22 +0* 21 +0*20 )10

Егор должен был соглашаться сыпать в мешок не все подряд названные суммы, а лишь


23 25 26 27 28 29 монет,


т.е. 8, 32, 64, 128, 256 и 512.


Купец мог выплатить любую названную братьями цену, т.к. любое такое число можно перевести в двоичную систему счисления.






Глава III

Так дошли два молодца

К сводам царского дворца

И, отдав при входе плату,

В царские вошли палаты.


Вот вошли Егор с Фомою

В золоченые покои,

Ступают коридорами

С заморскими узорами;


Подойдя к цареву трону,

Молвили царю с поклоном:

- С братом, царь, тебе вдвоем

Бьем с покорностью челом,

С тем явились мы сейчас,

Чтоб исполнить твой указ.


Рад гостям царь дорогим.

Баньку он слугам своим

Истопить велит тотчас.

Сам же так повел рассказ:


hello_html_m46ad1edd.gif- С каждым из обоих, братья,



Стану, значит, так играть я.

Кучек несколько камней

Надо для игры моей.

Пусть же каждый в свой черед

Из любой из них возьмет

Сколь угодно штук камней.

Под конец игры же сей

Проигравшим будет тот,

Кто не сможет сделать ход.




hello_html_m46ad1edd.gif




Шесть камней решил забрать

Он из той, где 45.

Царь берет из первой два,

Столько ж – из второй Фома;


Из второй забрал царь десять –

Говорит Фома тут: дескать,

То же я возьму количество

Из другой, твое величество.


В кучках же – к концу так сталось,-

Что по камню лишь осталось,


Ход же предстоял царю.

Тут горюй хоть не горюй,

Но впервые за все время

Потерпел он пораженье.




Этакие ум и доблесть

Царь уж тут решил одобрить

И зовет Фому отведать

С царского стола обеда,

Медом- пивом его поит,

Во свои ведет покои.


(Далее можно задать вопросы по ходу главы)


Только ж кончилось веселье,

Царь опять Фоме о деле:

- Вновь сыграть в игру такую

Нам с тобою предложу я,

Но теперь она сложней:

Больше кучек в ней камней.



hello_html_4dd4bd2e.pnghello_html_m4812f64f.gif


Как пришел в себя он снова,

Братьям молвил свое слово:

- Ай- молодцы честные!

Вам свои дарю дары я.


За игру же за такую

Одарю сперва Фому я.

Но ему бы без Егора

Было б справиться не впору.

Зная я, Егор, что здесь

И твоя заслуга есть.

Сослужил ты брату службу

Помощью и верной дружбой.












hello_html_m32e8ee93.gif









Вопросы по ходу главы


  1. Прочитав (или прослушав) внимательно описание игры, сформулируйте, в чем состоит алгоритм выигрышных ходов.

  2. В каком случае выигрышная стратегия у царя, в каком – у Фомы, при том условии, что Фома начинает игру первым?














Количество камней

В 1-й кучке

Во 2-й кучке

45

39

после хода Фомы:


39


39

после хода царя:


37


39

после хода Фомы:


37


37

после хода царя:


37


27

после хода Фомы:


27


27

после хода царя:



…………………..



после хода царя, например,


1


0

после хода Фомы

0

0


2. Выигрышная стратегия – у Фомы:

если он начинает игру первым при таких, как в тексте, количествах камней (т.е. при неравных) в кучках, иначе – у царя, если, конечно он будет играть правильно.







Вам сначала б отыграться

С кучками двумя хоть, братцы,

Так что к завтрему утру

Жду я вас играть в игру.

На раздумья и все прочье

Будет вам довольно ночи.


За ночь глаз Егор с Фомою

Не сомкнули за игрою.

С первым пеньем петушиным

Озарились чуть вершины

Елей, крыш, лесов и гор,

Братья уж к царю во двор.


Тот и сам-то с нетерпеньем

С ночи ждал их появленья.

Молвил тут Егор Фоме:


- Нет, Фома, куда уж мне

Состязаться – то с царем!

Ты уж с ним играй вдвоем-

И, простившись мирно с братом,

Тот с царем пошел в палаты.

Приглашает царь Фому

Да и говорит ему:

- Гостю окажу почет:

Предлагаю первый ход!

Кучки две перед Фомой:

45 камней – в одной

И в другой их 39.

Первый ход Фома стал делать


Вопрос по ходу игры.

Какова ваша версия выигрышных ходов?



Снова в продолженье ночи

Не сомкнули братья очи,

Взяв теперь уж больше кучек.

И опять чуть солнца лучик –

Уж спешат к царю с поклоном.


Снова рад был очень он им.

И с полдня они в поту

Все в игру играли ту.


Уж устали все порядком,

Но как вдруг Фому догадка

Осенила во мгновенье:

hello_html_mb6e6355.gif

hello_html_7ec60302.png











Все в дороге приключенья,

Оказалось, вспомнить надо.

И пошло тут дело к ладу!


И, игру ведя умелую,

Всякий раз с расчетом делая,

Каждый ход с особым тактом,

Обыграл царя. Вот так-то!


Тут от изумления царь

Потерял и речи дар.




И награды я свои

Поделю на вас двоих.

Я тебе, Фома, свою

Дочку в жены отдаю.


А тебе, Егор, троих

Скакунов даю моих.

hello_html_6e034fce.png










Братья в пояс поклонились

Батюшке- царю за милость

И с его благословенья

Заняли свои владенья.



Конец
















Ответы



  1. Победу можно обеспечить, прибегая к соображениям симметрии, а именно: Фома, повторяя ходы царя и каждым своим ходом уравнивая числа камней в обеих кучках (как бы создавая симметричную ситуация в другой кучке), сможет довести игру до такого исхода, когда царю придется забрать все камни одной из кучек, самому останется только повторить его ход и таким образом выиграть.

Вот картина ходов, описываемая в тексте:

Вот картина ходов, описываемая в тексте:




hello_html_m32e8ee93.gif





hello_html_106aa8f1.gif




  1. hello_html_2c1cb75c.gifКак придерживаться выигрышной позиции в течение игры, предложенной царём во второй раз? Обратите внимание на ту подсказку, что для решения проблемы Фоме понадобились факты решения предыдущих задач.


  1. hello_html_74a3fc04.pngВ каком случае выигрывает начавший игру первым, а в каком – вторым?








hello_html_m3fe9e30f.gif









  1. В случае, когда дано несколько кучек камней, задача, поставленная царём, приводит к ещё более интересным исследованиям. Здесь, оказывается, приходит на помощь всё та же симметрия, только в гораздо более сложном виде. Опишем сначала принцип действий, ведущих к выигрышу, а потом объясним, почему так получается.

Секрет решения состоит в том, чтобы представить числа камней в каждой из кучек в двоичной системе счисления, записать их в столбик и сложить так, как если бы числа были даны в десятичной системе счисления.

Например, даны кучки, в которых по 27, 6, 15 и 40 камней.


2710=110112 11011

610=1102 110

1510=11112 + 1111

4010=1010002 101000

hello_html_1cbd7991.gif 113232

Теперь заключаем, что для выигрышной позиции надо брать камни так, чтобы сумма каждого из столбцов становилась чётной. Тогда противник своим ходом обязательно нарушает чётность кучек, значит, в данной записи на его месте мы получаем новое число в двоичной системе счисления, а это значит, что-либо хотя бы от одной суммы убавилась, либо хотя бы одной сумме прибавилась единица.

Поиграем для примера с данными кучками от лица Фомы и царя.






После хода Фомы

После хода царя

После хода Фомы

После хода царя

После хода Фомы

11011

+ 110

1111

hello_html_1cbd7991.gif101000

113232

11011

+ 110

1111

hello_html_1cbd7991.gif10010

22232

11011

+ 110

1111

hello_html_1cbd7991.gif12232

1001

+ 110

1111

hello_html_1cbd7991.gif2222

22

+ 110

1111

hello_html_1cbd7991.gif1232

11

+ 110

101

hello_html_1cbd7991.gif222

После хода царя

После хода Фомы

После хода царя

После хода Фомы

После хода царя

После хода Фомы

11

+ 110

hello_html_1cbd7991.gif121


11

+ 11

hello_html_1cbd7991.gif22


01

+ 11

hello_html_1cbd7991.gif12


01

+ 01

hello_html_1cbd7991.gif2


00

+ 01

hello_html_1cbd7991.gif1


00

+ 00

hello_html_1cbd7991.gif00




Итак, Фома сделал последний ход, а значит, выиграл.

Как же объяснить такое решение? Первая неясность, которая «бросается» в глаза, - это неожиданное использование двоичной системы счисления. Не вполне понятно и стремление сделать чётной сумму каждого столбца.

Представляя количества камней в кучках в двоичной системе счисления, мы указываем, присутствует или отсутствует в записи каждого из чисел очередной разряд двойки. Делая же сумму каждого столбца чётной, добиваемся, чтобы было чётным число таких кучек, которые содержат данный разряд. Тогда любой ход противника сможем повторить. Действуя так до последнего хода, когда противнику придётся забрать все камни одной из двух оставшихся кучек, мы повторим его ход с оставшимися камнями другой кучки и таким образом выигрываем.

Но почему числа камней в кучках мы стали представлять именно в двоичной системе счисления, а не в какой-нибудь другой?

Эта система счисления, как уже было указано выше, имеет то преимущество, что в записи чисел каждый разряд её употребляется только один раз.

Так допустим, мы стали бы представлять количества камней в кучках в троичной системе счисления. Тогда возможен такой вариант: какой-то разряд встречается в числах камней двух кучек по одному разу, а в третьей два – в общей сложности, чётное число раз. Если в число взятых противником камней из третьей кучки вошёл этот разряд два раза, то мы не сможем повторить его ход.

  1. Если упомянутые суммы в столбцах не все чётны, то выигрышная стратегия у первого, так как ему предоставляется возможность сделать их все чётными, а в противном случае выигрышная стратегия – у второго.


Методическая работа по внеурочной деятельности. Задачи с игровыми мотивами по теме "Двоичная система счисления" (7-9 класс)
  • Информатика
Описание:

Материал, изложенный в виде сказки, который можно использовать во внеурочной работе со школьниками средних и старших классов.

Сказка содержит три главы, каждая из которых представляет собой задачу с игровыми мотивами. Задачи связаны между собой таким образом, что решения последующих включают факты решения предыдущих. Задачи расположены в порядке возрастающей сложности.

Преподнесение материла ученикам предлагается разбить на три этапа, возможно, на три занятия, в соответствии с главами. Текст сказки прерывается вопросами в конце и по ходу глав, ответы на которые, собственно, и предполагают решение задач. В решениях содержится обращение к таким понятиям, как «симметрия» и «двоичная система счисления».



Автор Зуйкова Татьяна Владимировна
Дата добавления 12.10.2015
Раздел Информатика
Подраздел Другое
Просмотров 360
Номер материала MA-061232
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓