|
СКАЗ О ТОМ, Как давно, в былую пору, Брата два, Фома с Егором, Собирались в путь- дорогу |
Прямо к царскому чертогу. Как, деля печали вместе, Царской заслужили чести. |
|
(Сказочная повесть в трех главах) |
|
|
Глава I В некотором тридевятом царстве, В тридесятом государстве Жили-были царь с царицей. С тем царем никто сравниться Не умел в одном пристрастье: Был играть он в игры мастер, Да притом играл так славно, Что не знал себе в том равных. Вот указ тот царь издал:
—Всем, будь стар ты или мал, Приходи-ка ко двору, Чтоб сыграть со мной в игру. Коль тебя не обыграю, Награжу тогда сполна я. Так, по данному мной слову, В жены дочь возьмешь царёву И решившего задачу Щедро одарю в придачу: Из конюшни дам своей Златогривых трех коней!
|
Вот указ тот царь издал: Всем, будь стар ты или мал, Приходи-ка ко двору, Чтоб сыграть со мной в игру…
|
|||
|
Эти царские словаПодхватила вмиг молва. Не было единой веси'. Где б не знали царской вести. И уж всякий без разбору, В дальний путь собравшись скоро, Ко двору готов пойти. Дочку ж царскую поди В жены взять кому б не надо!
Было ж средь таких два брата. Младший брат Фома умен, Знал уж толк в задачах он.
А старшой-то брат Егор Был зато в работе спор.
Вот пошли Егор с Фомой За спиной с большой сумой Попытать свою удачу — Царскую решить задачу.
Мало ли прошли иль много, Как вдруг смотрят на дорогу: Эдак лет двухсот на вид
Поклонились братья старцуИ спросили, как добраться В царский им двоим дворец.Так держал ответ мудрец:
Должен так звучать рассказ, Чтоб привычным быть для нас:
«— Прямо предстоит пройти Только пять нам верст пути, Через речку на плоту Нам проплыть еще с версту, Две версты — лесной тропою И четыре — под горою. И всего-то набралось В сумме лишь 12 верст ». Братья, отдохнув немного, В путь пошли прямой дорогой.
Конец главы I
|
— Через речку на плату Вам проплыть еще, с версту, 10 верст — лесной тропою, Сотню — под горой крутою. И того уж набралось В сумме тысяча сто верст ». Тут хотел было Егор С мудрецом вступить бы в спор, Только тот уж скрылся с глаз.
— Странный больно был рассказ! Составляет путь весь тот Верст чуть более двухсот! Знать, сошел старик. с ума!
— Нет же, — возразил Фома.—
Ты, Егорка, то заметь: Числа все в рассказе ведь — Единицы да нули. Это ж мы понять могли! Объяснять, в чем тут секрет, Времени, сам знаешь, нет.
1.
2.
3.
|
 |
1. Подобно тому, как в десятичной
системе счисления существует 10 цифр, так в двоичной - две: 1 и 0. Разрядами
хорошо знакомой десятичной системы являются:
1, 10, 100. 1000, ... т.е.
10°, 101, 102, 103. ... .
20, 21, 22, 23, 24, … .
Таким образом, расшифровка Фомой рассказа мудреца состояла в переведении этого рассказа из двоичной системы счисления в десятичную.
2. Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную можно так. Разложим его по разрядам. Действия аналогичны тому, как если бы число было дано в десятичной системе счисления. Допустим, имеем дело с числом 1101.
Если это число дано в десятичной системе счисления, то по разрядам оно разложиться так:
110110 =1*103 + 1*102 + 1*101 + 1*100
Так же поступим в двоичной системе счисления:
11012 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20
Теперь полученную сумму вычисляем уже в двоичной системе счисления:
1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Итак, 11012 = 1310
3. Из десятичной в двоичную систему счисления перевести число несколько сложнее. Вот один из возможных способов. Число, данное в десятичной системе счисления, будем последовательно делить на двойку, пока не получиться в частном ноль. Тогда, выписав, начиная с конца, остатки от каждого деления, получим двоичную форму записи числа. Переведем для примера число 13 из десятичной системы счисления в двоичную. Сначала 13 делим на 2.
13
2
12
6
1
Получили
в частном 6. Теперь уже 6 делим на 2, и так далее:
12
2
6
1
3 0
1 1
1
Итак, в частном ноль. Значит, дальше продолжать деление нет смысла, и уже можно прочитать число (перечисляем остатки от деления с конца):
1310 =11012 .
Ясно, что остатками не могут получаться другие числа кроме единиц и нулей, остаток всегда меньше делителя, в данном случае, двойки.
Теперь, когда мы ближе познакомились с двоичной системой счисления и умеем переводить числа из нее в десятичную и обратно, можем продолжать следить за путешествием двух наших героев.
|
Глава II Долго братья шли, покуда Непонятно вдруг откуда К ним подходит, наконец, По всему видать, купец, Братья молвили купцу: — Держим путь мы ко дворцу,
Им сказал купец в ответ: — Чай, известно вам аль нет, Что теперь в свои палаты Царь велит пускать за плату. Вам иметь — даю совет — 100 серебряных монет. Хватит денег-то своих? Дать могу вам, если нет, Хоть до тысячи монет.
Вы ж за то своим трудом Мне срубите славный дом, Чтоб со ставнями резными Да с узорами над ними, Чтоб с дверьми дубовыми, Медными засовами.
Два сидело петушка.
Дело кончили два брата — Время выдавать оплату.
Да завел речь об оплате, Говорит с лукавым видом:
Сумму сразу всю не выдам, А сперва всего монету Предложу от суммы этой. Во второй раз —две монеты. А затем четыре — в третий.
Новое монет число я Так вот каждый раз удвою.
Ты из них, как сам решишь, Соглашайся брать те лишь, Чтоб настал такой момент, Что число твоих монет – Это в точности цена. Вот тогда твоя она.
Нет – так не серчай уж, брат, Деньги все беру назад.
Кто смекает хорошо, Подставляй скорей мешок !
|
Уговор пришелся кстати,
Мастер дел таких Егор Взял тогда большой топор, И в руках его умелых Быстро поспевало дело.
Взялся так за дело крепко, Что лишь разлетались щепки.
А Фома, хоть в том не дюж И без навыка к тому ж, Пособлял ему, в чем мог. Так свершили дело в срок.
Вышел терем всем на диво: И высокий, и красивый, Да со ставнями резными, Все с узорами над ними, Да с дверьми дубовыми, Медными засовами, А на крыше теремка — Два красавца петушка.
Цену называй свою Что ни назовешь — даю!
Тут подал Егор мешок: Наберу-ка денег впрок. Обещался выдать коль Тысячу монет – изволь !
И платить купец Егору Деньги стал по уговору. Вопрошал за каждым разом.
Что отказываться мне, Так быстрей придем к цене!
— Говорит Егор купцу, Только тот уже к концу Увеличил деньги вдвое –
Сыпать если - выйдет плата Больше той цены, чем надо; Нет — тогда наоборот:
|
|
Да таков был уговор, С тем забрал мешок пустой.Стал черед и за Фомой:
100 монет – вот и цена
И Фома, размыслив толком, Торг с купцом ведя не долго, Пораскинувши мозгами, Получил мешок с деньгами. И, взвалив мешок на плечи, Братья в путь пошли далече.
Конец II главы
|
1. В чем состояла смекалка Фомы, как он добился результата?
2. Какие суммы, называемые купцом, Фома соглашался класть в мешок, какие — нет? Как должен был поступать Егор?
3. Любую ли цену, названную братьями, мог выплатить им купец, ведя расчет таким образом? Ответ объяснить.
|
|||
|
|
|
 |
1. Легко заметить, что величины денежных сумм, называемые купцом, представляют собой последовательные разряды двоичной системы счисления. Таким образом, смекалка Фомы состояла в том, что он перевел число монет своей платы в двоичную систему счисления, и, если очередной разряд присутствует в этом числе, он просил высыпать себе эту сумму в мешок.
2.
10010= 110010002= (1*26 +1*25 +0*24 +0*23 +1*22 +0* 21 +0*20 )10
Фома соглашался высыпать в мешок 22, 25 и 26 монет,
т.е. 4, 32, 64.
100010= 11111010002= (1*29 + 1*28 +1*27 +1*26 + 1*25 +0*24 + 1*23 +0*22 +0* 21 +0*20 )10
Егор должен был соглашаться сыпать в мешок не все подряд названные суммы, а лишь
23 25 26 27 28 29 монет,
т.е. 8, 32, 64, 128, 256 и 512.
3.
Купец мог выплатить любую названную братьями цену, т.к. любое такое число можно перевести в двоичную систему счисления.
|
Глава III Так дошли два молодца К сводам царского дворца И, отдав при входе плату, В царские вошли палаты.
Вот вошли Егор с Фомою В золоченые покои, Ступают коридорами С заморскими узорами;
Подойдя к цареву трону, Молвили царю с поклоном: - С братом, царь, тебе вдвоем Бьем с покорностью челом, С тем явились мы сейчас, Чтоб исполнить твой указ.
Рад гостям царь дорогим. Баньку он слугам своим Истопить велит тотчас. Сам же так повел рассказ:
Стану, значит, так играть я. Кучек несколько камней Надо для игры моей. Пусть же каждый в свой черед Из любой из них возьмет Сколь угодно штук камней. Под конец игры же сей Проигравшим будет тот, Кто не сможет сделать ход.
Шесть камней решил забрать Он из той, где 45. Царь берет из первой два, Столько ж – из второй Фома;
Из второй забрал царь десять – Говорит Фома тут: дескать, То же я возьму количество Из другой, твое величество.
В кучках же – к концу так сталось,- Что по камню лишь осталось,
Ход же предстоял царю. Тут горюй хоть не горюй, Но впервые за все время Потерпел он пораженье.
Этакие ум и доблесть Царь уж тут решил одобрить И зовет Фому отведать С царского стола обеда, Медом- пивом его поит, Во свои ведет покои.
(Далее можно задать вопросы по ходу главы)
Только ж кончилось веселье, Царь опять Фоме о деле: - Вновь сыграть в игру такую Нам с тобою предложу я, Но теперь она сложней: Больше кучек в ней камней.
Как пришел в себя он снова, Братьям молвил свое слово: - Ай- молодцы честные! Вам свои дарю дары я.
За игру же за такую Одарю сперва Фому я. Но ему бы без Егора Было б справиться не впору. Зная я, Егор, что здесь И твоя заслуга есть. Сослужил ты брату службу Помощью и верной дружбой.
Вопросы по ходу главы
1. Прочитав (или прослушав) внимательно описание игры, сформулируйте, в чем состоит алгоритм выигрышных ходов. 2. В каком случае выигрышная стратегия у царя, в каком – у Фомы, при том условии, что Фома начинает игру первым?
2. Выигрышная стратегия – у Фомы: если он начинает игру первым при таких, как в тексте, количествах камней (т.е. при неравных) в кучках, иначе – у царя, если, конечно он будет играть правильно.
|
Вам сначала б отыграться С кучками двумя хоть, братцы, Так что к завтрему утру Жду я вас играть в игру. На раздумья и все прочье Будет вам довольно ночи.
За ночь глаз Егор с Фомою Не сомкнули за игрою. С первым пеньем петушиным Озарились чуть вершины Елей, крыш, лесов и гор, Братья уж к царю во двор.
Тот и сам-то с нетерпеньем С ночи ждал их появленья. Молвил тут Егор Фоме:
- Нет, Фома, куда уж мне Состязаться – то с царем! Ты уж с ним играй вдвоем- И, простившись мирно с братом, Тот с царем пошел в палаты. Приглашает царь Фому Да и говорит ему: - Гостю окажу почет: Предлагаю первый ход! Кучки две перед Фомой: 45 камней – в одной И в другой их 39. Первый ход Фома стал делать
Вопрос по ходу игры. Какова ваша версия выигрышных ходов?
Снова в продолженье ночи Не сомкнули братья очи, Взяв теперь уж больше кучек. И опять чуть солнца лучик – Уж спешат к царю с поклоном.
Снова рад был очень он им. И с полдня они в поту Все в игру играли ту.
Уж устали все порядком, Но как вдруг Фому догадка Осенила во мгновенье:
Все в дороге приключенья, Оказалось, вспомнить надо. И пошло тут дело к ладу!
И, игру ведя умелую, Всякий раз с расчетом делая, Каждый ход с особым тактом, Обыграл царя. Вот так-то!
Тут от изумления царь Потерял и речи дар.
И награды я свои Поделю на вас двоих. Я тебе, Фома, свою Дочку в жены отдаю.
А тебе, Егор, троих Скакунов даю моих.
Братья в пояс поклонились Батюшке- царю за милость И с его благословенья Заняли свои владенья.
Конец
Ответы
1. Победу можно обеспечить, прибегая к соображениям симметрии, а именно: Фома, повторяя ходы царя и каждым своим ходом уравнивая числа камней в обеих кучках (как бы создавая симметричную ситуация в другой кучке), сможет довести игру до такого исхода, когда царю придется забрать все камни одной из кучек, самому останется только повторить его ход и таким образом выиграть. Вот картина ходов, описываемая в тексте: Вот картина ходов, описываемая в тексте:
1.
2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
1. В случае, когда дано несколько кучек камней, задача, поставленная царём, приводит к ещё более интересным исследованиям. Здесь, оказывается, приходит на помощь всё та же симметрия, только в гораздо более сложном виде. Опишем сначала принцип действий, ведущих к выигрышу, а потом объясним, почему так получается.
Секрет решения состоит в том, чтобы представить числа камней в каждой из кучек в двоичной системе счисления, записать их в столбик и сложить так, как если бы числа были даны в десятичной системе счисления.
Например, даны кучки, в которых по 27, 6, 15 и 40 камней.
2710=110112 11011
610=1102 110
1510=11112 + 1111
4010=1010002 101000
113232
Теперь заключаем, что для выигрышной позиции надо брать камни так, чтобы сумма каждого из столбцов становилась чётной. Тогда противник своим ходом обязательно нарушает чётность кучек, значит, в данной записи на его месте мы получаем новое число в двоичной системе счисления, а это значит, что-либо хотя бы от одной суммы убавилась, либо хотя бы одной сумме прибавилась единица.
Поиграем для примера с данными кучками от лица Фомы и царя.
|
|
После хода Фомы |
После хода царя |
После хода Фомы |
После хода царя |
После хода Фомы |
|
11011 + 110 1111
113232 |
11011 + 110 1111
22232 |
11011 + 110 1111
|
1001 + 110 1111
|
22 + 110 1111
|
11 + 110 101
|
|
После хода царя |
После хода Фомы |
После хода царя |
После хода Фомы |
После хода царя |
После хода Фомы |
|
11 + 110
|
11 + 11
|
01 + 11
|
01 + 01
|
00 + 01
|
00 + 00
|
Итак, Фома сделал последний ход, а значит, выиграл.
Как же объяснить такое решение? Первая неясность, которая «бросается» в глаза, - это неожиданное использование двоичной системы счисления. Не вполне понятно и стремление сделать чётной сумму каждого столбца.
Представляя количества камней в кучках в двоичной системе счисления, мы указываем, присутствует или отсутствует в записи каждого из чисел очередной разряд двойки. Делая же сумму каждого столбца чётной, добиваемся, чтобы было чётным число таких кучек, которые содержат данный разряд. Тогда любой ход противника сможем повторить. Действуя так до последнего хода, когда противнику придётся забрать все камни одной из двух оставшихся кучек, мы повторим его ход с оставшимися камнями другой кучки и таким образом выигрываем.
Но почему числа камней в кучках мы стали представлять именно в двоичной системе счисления, а не в какой-нибудь другой?
Эта система счисления, как уже было указано выше, имеет то преимущество, что в записи чисел каждый разряд её употребляется только один раз.
Так допустим, мы стали бы представлять количества камней в кучках в троичной системе счисления. Тогда возможен такой вариант: какой-то разряд встречается в числах камней двух кучек по одному разу, а в третьей два – в общей сложности, чётное число раз. Если в число взятых противником камней из третьей кучки вошёл этот разряд два раза, то мы не сможем повторить его ход.
2. Если упомянутые суммы в столбцах не все чётны, то выигрышная стратегия у первого, так как ему предоставляется возможность сделать их все чётными, а в противном случае выигрышная стратегия – у второго.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Материал, изложенный в виде сказки, который можно использовать во внеурочной работе со школьниками средних и старших классов. Сказка содержит три главы, каждая из которых представляет собой задачу с игровыми мотивами. Задачи связаны между собой таким образом, что решения последующих включают факты решения предыдущих. Задачи расположены в порядке возрастающей сложности. Преподнесение материла ученикам предлагается разбить на три этапа, возможно, на три занятия, в соответствии с главами. Текст сказки прерывается вопросами в конце и по ходу глав, ответы на которые, собственно, и предполагают решение задач. В решениях содержится обращение к таким понятиям, как «симметрия» и «двоичная система счисления».
6 654 513 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Чеботарев Сергей Андреевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
3 ч.
-
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.