Метод координат в пространстве

Министерство Образования Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школы №18»

РЕФЕРАТ

ПО ГЕОМЕТРИИ

ТЕМА: МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

.

Выполнил ученик 11 класса «C»       

Мельник Роман                                      

 Руководитель

 учитель математики Бакшеева И.К.

 Бийск - 2008г

Содержание

1.     Введение……………………………………………………………..… 3.

2.     Глава 1.

2.1. Метод координат: история развития………………………….............4

2.2. Координаты точки в пространстве……………………………….…...5

2.3. Задание фигур в пространстве………………………………….……...8

3.      Глава 2.

3.1. Разложение вектора по координатным векторам. Координаты

вектора………………………………………………………………..……..10

3.2. Линейные операции над векторами в координатах…………..………12

3.3. Условие коллинеарности двух векторов в координатах……………..13

3.4. Простейшие задачи в координатах………………………………….....14

3.5. Скалярное произведение векторов и вычисление угла между векторами через их координатами……………………………………….…………15

3.6. Вычисление углов между прямыми и плоскостями…………………..16

4. Глава 3.

4.1.Применение координатного метода к решению стереометрических

задач………………………………………………………..……………..19

5.     Заключение. ……………………………………………………………..26

6.     Список литературы……………………………………………………...27

Введение

         Тема моей работы «Метод координат в пространстве». Данная тема актуальна на сегодняшний момент для любого выпускника средней школы так как:

ü позволяет многие экзаменационные геометрические задачи решать аналитически, что требует меньшего объема знаний по геометрии и значительно сокращает время выполнения;

ü данный метод лежит в основе аналитической геометрии, которая изучается в курсе высшей математики.

    Цель работы: систематизировать знания по данной теме и рассмотреть применение данного метода при решении различных стереометрических задач.

    Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

Ø изучить теоретический материал по теме;

Ø систематизировать и обобщить изученный материал;

Ø выявить особенности применения метода;

Ø рассмотреть применение метода координат к решению стереометрических задач;

Ø сравнить применение метода координат с другими методами к решению стереометрических задач.

Применяемые методы:

ü метод анализа и синтеза,

ü метод сравнения.

Глава 1

 1. Метод координат: история развития.

         Метод координат – это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.[1]

         Числа, с помощью которых определяется положение точки, называют координатами точки.

         Хорошо известные нам географические координаты определяют положение точки на поверхности Земли – каждая точка на земной поверхности имеет две координаты: широту и долготу.

         Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны три числа. Например, чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он находится.

С помощью метода координат можно изложить почти весь курс школьной геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Например, окружность можно определить как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению, а прямую линию как совокупность точек удовлетворяющих уравнению. Таким образом, с помощью данного метода удалось связать между собой, казалось бы, совершенно разные науки алгебру и геометрию. Данное установление связи было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку.

Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596-1650), который в последней части большого философского трактата Декарта, вышедшего в 1637 году, дал описание метода координат и его применение к решению геометрических задач.

Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией.

         Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия – это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитически (т.е. алгебраическими) средствами.

Наряду с Декартом основоположником аналитической геометрии является замечательный французский математик П.Ферма. С помощью метода координат Ферма изучил прямые линии и кривые второго порядка. Изучение аналитической геометрии в пространстве трех измерений существенно продвинул в XVIII веке А.Клеро. Явно и последовательно аналитическую геометрию на плоскости и в трехмерном пространстве изложил Л.Эйлер в 1748 г. в учебнике «Введение в анализ бесконечных».

В XIX веке был сделан еще один шаг в развитии геометрии – изучены многомерные пространства. Основной идеей для творцов теории была аналогия с «Геометрией» Декарта. У него точка на плоскости  - это пара чисел , точка в трехмерном пространстве – тройка чисел ; в новой теории точка четырехмерного пространства – это четверка чисел . У Декарта - уравнение окружности на плоскости, - уравнение поверхности шара в трехмерном пространстве; в новой теории  поверхность сферы в четырехмерном пространстве. Аналогичным образом в n-мерной геометрии рассматриваются плоскости, прямые, расстояния между точками, углы между прямыми и т.д.

Идеи многомерной геометрии прочно вошли в математику в конце XIX века, а в самом начале XX века, они нашли применение в специальной теории относительности, где к трем пространственным координатам добавляется четвертая – время. Таким образом, идеи геометрии Декарта, развитые учеными последующих поколений, лежат в основе современной науки.[2]

2. Координаты точки в пространстве.

         Говорят, что задана прямоугольная (декартовая) система координат, если через точку  пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат  и ,  и ,  и , называются координатными плоскостями и обозначаются , ,.

Координатами точки в пространстве называются координаты проекций этой точки на координатные оси.

Координаты точек: , , , , , , .

В пространстве, кроме координатных осей, удобно рассматривать еще координатные плоскости, т.е. плоскости, проходящие через две какие-либо оси. Таких плоскостей три:

         Плоскость  (проходящая через оси  и )- множество точек вида, где  и - любые числа;

         Плоскость  (проходящая через оси  и )- множество точек вида , где  и - любые числа;

         Плоскость  (проходящая через оси  и )- множество точек вида , где  и - любые числа.

Для любой точки М пространства можно найти три числа , которые будут служить ее координатами.

Чтобы найти первое число , проведем через точку М плоскость, параллельную координатной плоскость  (перпендикулярную к оси x ).Точка пересечения этой плоскости с осью  (точка М₁) имеет на этой оси координату .Это число  - координата точки М₁ на оси  - называется абсциссой точки М.

         Чтобы найти вторую координату, через точку М проводят плоскость параллельную плоскости  (перпендикулярную к оси y), находят на оси y точку М₂. Число y – координата точки М₂ на оси y – называется ординатой точки М.

Третью координату точки М найдем, проведя аналогичные построения, но перпендикулярно оси z. Полученное число z назовем аппликатой точки М.

3. Задание фигур в пространстве.

         Также как на плоскости, координаты в пространстве дают возможность задавать с помощью чисел и числовых соотношений не только точки, но и линии, поверхности и другие множества точек. Посмотрим, например, какое множество точек получится, если задать только две координаты, а третью считать произвольной.

Ø Условие , где  и  - заданные числа

(например,  ), задают в пространстве прямую, параллельную оси .

Все точки такой прямой имеют одну и ту же абсциссу и одну ординату. Координата  может принимать любые значения.

Ø Точно также условия   , где b и c заданные числа, определяют прямую, параллельную оси .

Ø Условия, где a и c заданные числа, задают прямую, параллельную оси .

Ø Если задать только одну координату, например : это плоскость, параллельная координатной плоскости  (т.е. плоскости, проходящей через ось  и ось ) и отстоящая от нее на расстояние 1 в направлении положительной полуоси .

Ø Рассмотрим еще несколько примеров, показывающих как можно задать в

пространстве различные множества с помощью уравнений и других соотношений между координатами.

1). Рассмотрим уравнение    .

         Поскольку расстояние точки  от начала координат задается выражением , то ясно, что в переводе на геометрический язык соотношение  означает, что точка с координатами , находится на расстоянии R от начала координат. Значит, множеством всех точек, для которых выполняется соотношение , является поверхность шара - сфера с центром в начале координат и радиусом R.

2). Рассмотрим, где расположены точки, координаты которых удовлетворяют соотношению .

         Так как это соотношение означает, что расстояние точки  от начала координат меньше единицы, то искомое множество - это множество точек, лежащих внутри шара с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Глава 2

1.Разложение вектора по координатным векторам. Координаты вектора.

Базисом пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , , обозначаемая символом  .

         Частным случаем является прямоугольный ортонормированный базис , где - единичный вектор оси абсцисс, через -  единичный вектор оси ординат и через -единичный вектор оси аппликат, т.е. , , , .

Этот базис  и начало отсчета О определяют прямоугольную декартову систему координат  в пространстве.

Теорема 1

Любой вектор пространства  можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде -

,

причем коэффициенты разложения  определяются единственным образом.

Числа  называются координатами вектора , т.е. . Так как нулевой вектор можно представить в виде , то все координаты нулевого вектора равны нулю, .

2. Линейные операции над векторами в координатах.

Правило 1.

Координаты равных векторов соответственно равны, т.е. если векторы   и   равны, то ,и .

Правило 2.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Другими словами, если  и   -данные векторы, то вектор  имеет координаты .

Правило 3.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Другими  словами, если  и  -данные векторы, то вектор   имеет координаты

Правило 4.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующих координат вектора на это число.

Другими словами, если -данный вектор, -данное число, то вектор  имеет координаты. .

Пример.

Найти координаты вектора , если , , .

Решение.

Вектор  имеет координаты , а вектор  - координаты .

Так как , то его координаты  можно вычислить как: , ,  Значит вектор  имеет координаты .

3.Связь между координатами векторов и координатами точек.

Определение.

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.

- радиус вектор

,

;

Правило 5.

Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус - вектора.,.

Правило 6.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

.

4.Условие коллинеарности двух векторов в координатах.

Пусть в системе координат  заданы два вектора своими координатами  и .

Правило 7.

Векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, .

Пример.

а) Рассмотрим векторы  и .

Координаты вектора  пропорциональны соответствующим координатам вектора :  Поэтому , и , следовательно векторы коллинеарны.

б) Рассмотрим векторы  и .

Координаты вектора  не пропорциональны соответствующим координатам вектора , например Значит векторы не являются коллинеарными.

5.Простейшие задачи в координатах.

ü Задача 1.

 Каждая координата середины отрезка равна полусумме  соответствующих координат его концов.

, где ,  и .

,, ,    

б) Вычисление длины вектора по его координатам. 

Рассмотрим вектор  ,

длина вектора вычисляется по формуле .

Так как ==,==,==, и , то из равенства получаем формулу: .

в) Расстояние между двумя точками.

Рассмотрим две произвольные точки: точку  и точку . Выразим расстояние d между точками  и  через их координаты.

Рассмотрим вектор  , где .

Но . Таким образом, расстояние между точками  и  

вычисляется по формуле .

6.Скалярное произведение векторов и вычисление угла между векторами через их координаты.

1) Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Ø Скалярный квадрат векторов равен квадрату его длины, т.е. .

Ø Скалярное произведение векторов  и  в координатах выражается формулой .

Ø Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны, т.е..

Ø Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами - острый,

т.е.    - острый.

Ø Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами - тупой,

 т.е.    - тупой.

Для любых векторов , , , и любого числа k справедливы равенства:

1. 0, причем >0 при 0.

2.  (переместительный закон).

3. (распределительный закон).

4.  (сочетательный закон).

2) Вычисление угла между векторами через их координаты.

Косинус угла  между ненулевыми векторами   и  вычисляется по формуле ,

 где  

7. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

1) Угол между прямыми.

Для решения данной задачи введем понятие направляющего вектора прямой.

         Определение.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит, либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.

         Пример

Векторы  и  направляющие прямых a и b, соответственно.

         Определение.

Углом между прямыми называется угол между направляющими векторами данных прямых.

Угол между прямыми a и b равен углу между направляющими векторами данных прямых,  и .

.

2).Угол между прямой и плоскостью.

Определение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между направляющим вектором данной прямой и ненулевым вектором перпендикулярным плоскости (нормаль).

Пусть  , (  , а  - искомый угол ().

Тогда

ü либо , если  - тупой угол,

ü либо , если  - острый угол.

Значит .

Глава 3.

Применение координатного метода к решению стереометрических задач.

         Задача.1

В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник АВС. , AC=3, BC=5. Ребро АМ перпендикулярно АС, АМ=4, . Найти объем пирамиды.

Решение.

1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке . Ось  направим вдоль ребра АС, а плоскость Охy вдоль основания пирамиды  АВС.

В этой системе координат: , , . Так как по условию , то точка М лежит в плоскости xz и имеет координаты .

2) ,        .

Найдем высоту пирамиды. Опустим из точки М перпендикуляр МD на плоскость (АВС), тогда , т.к. . Следовательно,  и расстояние между точками М и D равно , т.к. .

         Найдем значение координаты z используя расстояния между точками, содержащими данную координату: , . , т.е. .

         Имеем:      

Так как , то   Значит высота пирамиды равна . Следовательно .

Ответ: .

Задача.2.

В прямоугольном параллелепипеде  , , . Найти: угол между прямыми и .

         Решение.

1).Введем систему координат с началом в точке . Оси , и  направим вдоль ребер ,  и  соответственно. Так как угол между прямыми изменяется от  до , а угол между векторами от  до , то угол между прямыми  и  равен углу между векторами  и , если он острый, или смежному с ним, если угол между векторами тупой.

         Таким образом,

.

2).Вычислим угол между векторами  и .

Найдем координаты векторов, используя координаты точек  и :

,  ,, .

Тогда координаты векторов  и .

===

=.

Следовательно,

Ответ: .

Задача 3.

Дан прямоугольный параллелепипед   . Найти угол между прямой  и плоскостью основания .

Решение.

1) Угол между прямой  и плоскостью АВ₁С – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между нормалью к плоскости и прямой дополняет его до 90⁰, поэтому .

Значит для того, чтобы найти угол между прямой и плоскостью (), следует найти угол между прямой  и нормалью  к плоскости ().

2) Введем систему координат с началом в точке . Оси , и  направим вдоль ребер ,  и  соответственно.

Координаты точек:

, , ,

а .

         3) Найдем координаты нормали плоскости (). Напишем уравнение плоскости (), подставив координаты точек A, B₁ и С в уравнение плоскости  .

Получим систему линейных уравнений:

         Следовательно, уравнение плоскости () имеет вид , или , а вектор нормали имеет координаты .

         Значит

 ,  и .

Ответ: .

         Рассмотрим решение задачи двумя способами.

Задача 4.            1 способ: геометрический.

На ребрах ,  и  куба  взяты соответственно точки  и  - середины этих ребер, а на диагонали  взята точка  такая, что. Считая ребро куба равным а, найдем расстояние между следующими парами точек:

1)  и ;

2) и  - серединой отрезка .

Решение.

1) Выполним построения.

Соединим точку  с точками  и .

: ,  - прямой.

Проведем диагональ . Найдем катет .

: . По условию , значит . По теореме Пифагора получаем .

а): по т.Пифагора .

2) Выполним построения. Соединим точку  с точками  и , точку  с точками   и . Рассмотрим , где  - медиана.

3) Выполним дополнительные построения.

а) построим диагональное сечение  куба;

б) в плоскости () через точку  проведем прямую  параллельно ;

в) соединим точку  с точкой .

         Так как   и ,  то  - параллелограмм и .

,  - проекция прямой  на плоскость . Проведем прямую . Пусть .

4) Так как , , то , т.е. точка - середина стороны  треугольника . По условию точка  середина стороны  треугольника . Тогда отрезок  - средняя линия треугольника . Значит, , и так как , то .

Так как точки  и  - середины соответственно ребер  и , то  -средняя линия треугольника  и , но , следовательно .

Итак:  -наклонная,  - проекция прямой  на плоскость , и . По т. о трех перпендикулярах .

5) : ,  (медиана, проведенная из вершины прямого угла).

Так как  -средняя линия треугольника , то .

: по т.Пифагора , где - средняя линия треугольника , т.е. . Таким образом, .

: по т.Пифагора

Итог: т.к. , то  - искомое расстояние.

Ответ: .

Задача 4.    2 способ: координатный..

На ребрах ,  и  куба  взяты соответственно точки  и  - середины этих ребер, а на диагонали  взята точка  такая, что. Считая ребро куба равным а, найдем расстояние между следующими парами точек:

1)  и ;

2) и  - серединой отрезка .

Решение.

Так как ребра куба равны и попарно перпендикулярны, зададим в пространстве прямоугольную систему координат с началом в точке . Оси , и  направим вдоль ребер ,  и  соответственно. В качестве единицы измерения примем отрезок, равный ребру куба.

В этой системе координат:

, ,  и  

, , , .

         Найдем координаты точек

 и .

Ø По условию точки  и  - середины ребер  и  куба  соответственно. Значит:  , .

Ø Так как , ,  то середина отрезка точка  имеет координаты , а точка - середина отрезка  координаты - .

Ø Согласно условия задачи, точка  - середина отрезка , значит имеет координаты .

Ø Итак: , . Значит расстояние между точками Q и F : .

Ø Итак: , . Значит расстояние между точками  и : .

Заключение.

При выполнении работы была поставлена цель: систематизировать знания по данной теме и рассмотреть применение данного метода при решении различных стереометрических задач.

Считаю, что поставленная цель была достигнута.

Ø Теоретический материал по теме был рассмотрен не только в рамках школьной программы, было введено понятие нормали.

Ø Изученный теоретический материал был систематизирован.

Ø При использовании метода к решению задач были выявлены особенности применения метода:

•            умение правильного введения системы координат,

•            правильное определения координат точек,

•            знание аналитического аппарата метода.

Ø Было рассмотрено применение метода как к решению различных видов задач, так и в сравнении с другими методами.

При выполнении работы столкнулся с трудностями:

Ø при постановке цели и задач;

Ø недостаточный объем теоретического материала в школьном учебнике;

Ø при выявлении особенностей применения метода,

Ø при отборе материала для презентации реферата.

Список литературы.

1.     Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Э.Г.Позняк. Геометрия, 10-11.М.,Просвещение, 2003.

2.     В.Н.Литвиненко. Практикум по элементарной математике. Стереометрия: Учебное пособие.-М.:Вербум-М, 2000.

3.     И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов. Метод координат.-М.:Наука, 1968.

4.     С.Г.Григорьев. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по высшей математике.-М.:Информационно-внедренческий центр «Маркетинг», 2000.

5.     И.Иванова, З.Ильченкова. Применение координатного вектора к решению стереометрических задач.//Математика, 2007, №2.

6.     А.В.Дорофеев. Декарт и его геометрия.//Математика, 1992, №4.