Инфоурок Математика Другие методич. материалыМатериалы для подготовки к ЕГЭ

материалы для подготовки к ЕГЭ

Скачать материал

 

 

2013 по математике для «чайников»: советы репетитора

ВВЕДЕНИЕ

Вниманию учащихся, сдающих ЕГЭ в 2013 году, предлагается учебное пособие для самостоятельной подготовки

«ЕГЭ-2013 ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ»: СОВЕТЫ РЕПЕТИТОРА»

(ВСЯ ЧАСТЬ «В»: 60 БАЛЛОВ)

Пособие состоит из 5 тематических разделов–шагов, в соответствии с которыми, как мне представляется, довольно удобно готовиться к этому экзамену. 

А именно:

ü  Шаг №1: «Начни с простого…»                                                                (задания В1 – В4)

ü  Шаг №2: «Геометрия»                                                                 (задания В6, В9 и B11)

ü  Шаг №3: «Простейшие уравнения и преобразования»              (задания В5 и В7)

ü  Шаг №4: «Производная функции»                                                        (задание В8 и B14)

ü  Шаг №5: «Текстовые задачи»                                                  (задания В10, В12 и В13)

 

Свои отзывы и пожелания (если они вдруг неожиданно обнаружатся!) вы можете отправить мне, перейдя по этой ссылке: http://egeprosto.ru/kontakty  

ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ В РАБОТЕ!

АВТОР

 

 

 

 

Введение

2013 по математике для «чайников»: советы репетитора

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................ 1

ГЛАВА 4: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ» ............................................................................. 4

ЗАДАНИЕ В8 ........................................................................................................................................ 5

ОТСТУПЛЕНИЕ: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ». ............................................................................. 6

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ – ЧТО ЭТО ТАКОЕ? ........................................................................ 6

НЕМНОГО О ДЕТАЛЯХ… ................................................................................................................. 8

8.1. НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ГРАФИКУ ФУНКЦИИ ........................................... 9

8.2. ЗАДАНИЕ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ .......................................................... 14

8.3. ЗАДАНИЕ ПО ГРАФИКУ САМОЙ ФУНКЦИИ ......................................................................... 21

ЗАДАНИЕ В14 ................................................................................................................................... 25

ЗАДАНИЯ 1-ГО ТИПА: «НАЙТИ ТОЧКУ МАКСИМУМА ИЛИ МИНИМУМА ФУНКЦИИ» ..... 26

ОТСТУПЛЕНИЕ №1: «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПО ЗАДАННОЙ

ФОРМУЛЕ ЭТОЙ ФУНКЦИИ». .......................................................................................................... 26

14.1. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ   ................................................................ 29

14.2. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ФУНКЦИЮ  ........................................................ 35

14.3. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ    ИЛИ   ....... 41

ЗАДАНИЯ 2-ГО ТИПА: «НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ (НАИМЕНЬШЕЕ) ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ  НА ЗАДАННОМ ОТРЕЗКЕ».......................................................................................................................... 45

14.4. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ........................................... 46

ОТСТУПЛЕНИЕ №2: «ОСОБЫЕ» УГЛЫ И ЕДИНИЧНАЯ ОКРУЖНОСТЬ ............................. 46

14.5. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ   ....................................................... 55

14.6. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ   ................................................................ 58

14.7. «ЗАМАСКИРОВАННЫЕ» ЗАДАНИЯ ...................................................................................... 60

14.8. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ФУНКЦИЮ  ........................................................ 62

14.9. ФУНКЦИЯ НЕ СОДЕРЖИТ ОГРАНИЧИВАЮЩЕГО ИНТЕРВАЛА   .......................... 66

 

 

Задание B8

2013 по математике для «чайников»: советы репетитора

ГЛАВА 4: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ»

Ну что же, отдохнув после геометрических заданий на простой и бесхитростной Главе 3, опять немного повысим уровень сложности. В Главе 4 пойдет речь о так называемой «производной функции» и заданиях В8 и В14, которые подходят с разных сторон к этой самой производной. Главное отличие между ними заключается в следующем: задание В8 предлагает работу с графиками (либо самой функции, либо ее производной), а задание В14 – с формулами.

Если слово «производная» вам совсем ни о чем не говорит, или вызывает смутные воспоминания – внимательно прочитайте Тематическое Отступление «Производная функции». Этого будет достаточно для базового, первичного понимания, а все остальное прояснится в процессе рассмотрения типовых заданий.

 

Задание B8


ЗАДАНИЕ В8

П

В условии этих заданий дается либо график некой функции, либо график производной  роизводная функции. Именно с ней связано задание В8 предстоящего экзамена.

этой функции. И по этому графику необходимо либо вычислить значение производной в

указанной точке, либо сделать какие-то другие выводы.

По сути, эти задания весьма просты, хотя и занимают 8-е место «в рейтинге» первой части экзамена.

Довольно часто, после прочтения школьного учебника, производная функции кажется чем-то нереально сложным. Настолько сложным, что непонятно даже, «о чем все это».  И даже кажется, что простыми словами объяснить это невозможно.

Именно поэтому – для небольшого прояснения вопроса – сделаем очередное Тематическое Отступление. К сожалению, не такое уж и маленькое.

Но, как обычно, если его читать совсем уж не хочется, то можно попробовать сразу перейти к разбору примеров. Возможно, что его окажется достаточно для успешного решения этих заданий.

                 

ОТСТУПЛЕНИЕ: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ». 

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ – ЧТО ЭТО ТАКОЕ?

1)      Не все функции одинаковы. Более того, они во многом очень даже различны.

Сейчас мы обсудим не все их возможные различия, а только некоторые. А именно – скорость их изменения, то есть убывания или возрастания.

Например, функции 1 и 2 – возрастающие (↑), а 3 и 4 – убывающие (↓) (рис. 8а). Отличить друг от друга их очень просто. Если представить некий самолет, который летит по линии функции слева направо, и при этом набирает высоту (↑), то функция возрастает. Если он снижается (↓), то убывает. Функции 1 и 2, как видно, отличаются друг от друга скоростью возрастания («взлета»). А функции 3 и 4 – скоростью  убывания («снижения»).

2)      В чем же измерять скорость возрастания  или убывания функции?

Самая простая мысль – связать эту скорость с углом наклона прямой линии к горизонту.  И эта мысль совершенно правильна! Однако единицей измерения этой скорости сделали не величину угла в градусах, а тангенс этого угла. То есть отношение длин вертикального катета к горизонтальному в прямоугольном треугольнике, построенном в створе этого угла (рис. 8б). Именно это отношение и считается равным скорости изменения функции. И действительно, отношение    показывает, на сколько единиц изменится функция при изменении ее аргумента на 1 единицу. 

Точно так же, как «обычная» скорость, равная  , которая показывает, сколько единиц длины (метров) тело проходит за 1 единицу времени (секунду) (рис. 8в). 

3)      А как быть, если функция представлена не прямой линией, а кривой (рис. 8г)?

Ведь угол наклона к горизонту этой линии в разных ее точках различен?

В этом случае вопрос решается очень просто. В любой точке графика тангенс угла наклона касательной к горизонту, как уже понятно, и будет равен скорости изменения функции.

4)      Итак, мы приходим к простой схеме нахождения производной:

выбрать точку на графике функции → провести в ней касательную к графику → отметить угол между касательной и горизонтом → вычислить тангенс этого угла.

Именно ему и будет равна скорость изменения функции («Элементарно, Ватсон!»).

5)      Итак: производная функции в некоторой ее точке равна тангенсу угла наклона касательной к горизонту, и равна скорости изменения функции в этой точке. 

Если записать последнее предложение в виде формулы, то получится следующее:

 

А теперь поговорим немного о деталях…                                                                 

НЕМНОГО О ДЕТАЛЯХ

 

Из приведенных выше рисунков можно легко увидеть следующее:

6)      Если  функция ↑, то ее касательная тоже ↑ и угол ее наклона к горизонту   (при отсчете от  против часовой стрелки). 

Производная такой функции  (рис. 8г).

7)      Если  функция ↓, то ее касательная тоже ↓ и угол ее наклона к горизонту    Производная такой функции  (рис. 8г).

8)      Чем ближе угол наклона касательной к вертикали, тем больше скорость ↑ или ↓ функции.

9)      В точках максимума и минимума графика (если таковые есть) касательная всегда горизонтальна. В этих точках   

Таким образом, в этих точках скорость функции не изменяется, а производная равна нулю

(рис. 8г).

10)   И последнее: допустим, дан график производной функции и по нему видно, что в некоторой точке . Как же определить – это точка максимума или минимума?

Ответить на этот вопрос поможет рис. 8д.

Глядя на изображенную на нем функцию, можно сделать простые выводы: 

Слева от точки максимума  функция, справа от нее  функция. Таким образом, в точке максимума производная меняет знак с  на .

Слева от точки минимума  функция, справа от нее  функция ↑  . Таким образом, в точке минимума производная меняет знак с  на .

Этим и нужно руководствоваться при работе с графиком производной функции.

Вот и все, что нужно знать о производной. Что может быть проще J?

Впрочем, если вам недостаточно этой информации (как говорится в известной рекламе:  «одной порции всегда мало»), вы всегда можете увлекательно провести время с каким-нибудь толстым справочником по математике!

А теперь перейдем к примерам, для решения которых и пригодится вся эта теория.

8.1. НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

 

                 


В8.1.

.

                                                                                                                                                                               (РИС. 8.1).

Если задание заключается в нахождении производной по графику функции, то удобен, например, такой порядок работы.

1-Й ЭТАП: ОТМЕТИТЬ ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И КАКОЙ-ЛИБО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ, А СТРЕЛКОЙ – ВОЗРАСТАЕТ ИЛИ УБЫВАЕТ КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ (ВОЗРАСТАНИЮ СООТВЕТСТВУЕТ ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, УБЫВАНИЮ – ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ). 

В СЛУЧАЕ ЕЕ УБЫВАНИЯ СРАЗУ ЖЕ ЗАПИСАТЬ , ЧТОБЫ НЕ ЗАБЫТЬ ОБ ЭТОМ. 

 

РИСУНОК 8.1

В качестве горизонтальной прямой может быть как ось ОХ, так и другая прямая.

Но обязательно (!) выбранная прямая должна пересекаться с касательной точно на пересечении линий клеток графика.

В нашем примере ось ОХ не может быть выбрана «горизонтом», так как в поле рисунка она не пересекается с касательной. Касательная к графику «возрастающая», отмечаем это стрелкой.  

2-Й ЭТАП: ОТМЕТИТЬ ДУГАМИ ОСТРЫЕ УГЛЫ МЕЖДУ  КАСАТЕЛЬНОЙ И ГОРИЗОНТОМ  (ИЛИ ОСЬЮ ОХ).

В нашем примере в поле рисунка можно отметить только один такой угол.

3-Й ЭТАП: НА БОЛЕЕ УДОБНОМ ИЗ ОСТРЫХ УГЛОВ ПОСТРОИТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК СО СТОРОНАМИ, РАВНЫМИ ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ КЛЕТОК.

В нашем примере, удобно выбрать, например, треугольник с катетами  .

4-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛИТЬ ПРОИЗВОДНУЮ  В ТОЧКЕ  .

 

5-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

6-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

0

,

2

5

 

 

 

 

                 

В8.2.

.

                                                                                                                                                                               (РИС. 8.2).

1-Й ЭТАП: ОТМЕТИТЬ ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И КАКОЙ-ЛИБО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ, А СТРЕЛКОЙ – ВОЗРАСТАЕТ ИЛИ УБЫВАЕТ КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ (ВОЗРАСТАНИЮ СООТВЕТСТВУЕТ ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, УБЫВАНИЮ – ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ). 

В СЛУЧАЕ ЕЕ УБЫВАНИЯ СРАЗУ ЖЕ ЗАПИСАТЬ , ЧТОБЫ НЕ ЗАБЫТЬ ОБ ЭТОМ. 

В нашем примере в качестве горизонтальной прямой удобно использовать ось ОХ.

 

РИСУНОК 8.2

2-Й ЭТАП: ОТМЕТИТЬ ДУГАМИ ОСТРЫЕ УГЛЫ МЕЖДУ  КАСАТЕЛЬНОЙ И ГОРИЗОНТОМ (ИЛИ ОСЬЮ ОХ).

Предложенный рисунок позволяет выделить оба угла.

3-Й ЭТАП: НА БОЛЕЕ УДОБНОМ ИЗ ОСТРЫХ УГЛОВ ПОСТРОИТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК СО СТОРОНАМИ, РАВНЫМИ ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ КЛЕТОК. На «левом угле» можно построить треугольник с катетами   4-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛИТЬ ПРОИЗВОДНУЮ  В ТОЧКЕ  .

 

5-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

6-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

0

,

7

5

 

 

 

 

                 

В8.3.

.

                                                                                                                                                                              (РИС. 8.3).

Это задание похоже на два предыдущих.

1-Й ЭТАП: ОТМЕТИТЬ ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И КАКОЙ-ЛИБО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ, А СТРЕЛКОЙ – ВОЗРАСТАЕТ ИЛИ УБЫВАЕТ КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ (ВОЗРАСТАНИЮ СООТВЕТСТВУЕТ ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, УБЫВАНИЮ – ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ). 

В СЛУЧАЕ ЕЕ УБЫВАНИЯ СРАЗУ ЖЕ ЗАПИСАТЬ , ЧТОБЫ НЕ ЗАБЫТЬ ОБ ЭТОМ.

В этом примере касательная «убывающая», значит, знак производной будет отрицательным.

 

РИСУНОК 8.3

2-Й ЭТАП: ОТМЕТИТЬ ДУГАМИ ОСТРЫЕ УГЛЫ МЕЖДУ  КАСАТЕЛЬНОЙ И ГОРИЗОНТОМ  (ИЛИ ОСЬЮ ОХ). 

3-Й ЭТАП: НА БОЛЕЕ УДОБНОМ ИЗ ОСТРЫХ УГЛОВ ПОСТРОИТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК СО СТОРОНАМИ, РАВНЫМИ ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ КЛЕТОК.

В качестве варианта можно предложить «правый треугольник» со сторонами .

4-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛИТЬ ПРОИЗВОДНУЮ  В ТОЧКЕ  .

 

5-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

6-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

-

1

 

 

 

 

 

 

                 

В8.4.

.

                                                                                                                                                                              (РИС. 8.4).

1-Й ЭТАП: ОТМЕТИТЬ ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И КАКОЙ-ЛИБО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ, А СТРЕЛКОЙ – ВОЗРАСТАЕТ ИЛИ УБЫВАЕТ КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ (ВОЗРАСТАНИЮ СООТВЕТСТВУЕТ ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, УБЫВАНИЮ – ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ). 

В СЛУЧАЕ ЕЕ УБЫВАНИЯ СРАЗУ ЖЕ ЗАПИСАТЬ , ЧТОБЫ НЕ ЗАБЫТЬ ОБ ЭТОМ.

В этом примере касательная опять «убывающая».

 

РИСУНОК 8.4

2-Й ЭТАП: ОТМЕТИТЬ ДУГАМИ ОСТРЫЕ УГЛЫ МЕЖДУ  КАСАТЕЛЬНОЙ И ГОРИЗОНТОМ  (ИЛИ ОСЬЮ ОХ). 

3-Й ЭТАП: НА БОЛЕЕ УДОБНОМ ИЗ ОСТРЫХ УГЛОВ ПОСТРОИТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК СО СТОРОНАМИ, РАВНЫМИ ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ КЛЕТОК.

В качестве варианта можно предложить «левый треугольник» со сторонами .

4-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛИТЬ ПРОИЗВОДНУЮ  В ТОЧКЕ  .

 

5-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

6-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

-

0

,

5

 

 

 

 

 

А теперь рассмотрим несколько примеров с заданиями B8 другого типа.

                 


8.2. ЗАДАНИЕ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

 

В8.5. ФУНКЦИЯ  ОПРЕДЕЛЕНА НА ИНТЕРВАЛЕ . НА РИСУНКЕ ИЗОБРАЖЕН ГРАФИК ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ. НАЙДИТЕ ДЛИНУ НАИБОЛЬШЕГО ПРОМЕЖУТКА УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ   (РИС. 8.5).

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА. 

 

РИСУНОК 8.5

Функция убывает там, где производная , и график производной находится ниже  оси ОХ.

Очевидно, что на промежутке  она убывает на 3-х интервалах, и наибольший из них . Его длина равна

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

5

 

 

 

 

 

 

 

                 

В8.6.                                              ОПРЕДЕЛЕНА НА ИНТЕРВАЛЕ . НА РИСУНКЕ ИЗОБРАЖЕН

Й. В КАКОЙ ТОЧКЕ ОТРЕЗКА   ФУНКЦИЯ  ПРИНИМАЕТ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ (РИС. 8.6)?

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА. 

 

РИСУНОК 8.6

На отрезке  , к которому относится вопрос,  (ее график выше оси ОХ). 

Таким образом, на всем этом отрезке  функция  возрастает. 

Следовательно, свое наибольшее значение на этом отрезке она принимает в точке   

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

В8.7.                                              ОПРЕДЕЛЕНА НА ИНТЕРВАЛЕ . НА РИСУНКЕ ИЗОБРАЖЕН

Й. В КАКОЙ ТОЧКЕ ОТРЕЗКА   ФУНКЦИЯ  ПРИНИМАЕТ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ (РИС. 8.7)?

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА. 

 

РИСУНОК 8.7

На отрезке  , к которому относится вопрос,  (ее график выше оси ОХ). 

Таким образом, на всем этом отрезке  функция  возрастает. 

Скорость ее возрастания изменяется (график «волнится»), но она все время возрастает. Следовательно, свое наибольшее значение на этом отрезке она принимает в точке  

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

2

 

 

 

 

 

 

 

                 

В8.8.                                                       ОПРЕДЕЛЕНА НА ПРОМЕЖУТКЕ  НА РИСУНКЕ ИЗОБРАЖЕН

Й. УКАЖИТЕ ЧИСЛО ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ  НА ПРОМЕЖУТКЕ   (РИС. 8.8).

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА.

 

РИСУНОК 8.8

Глядя на график производной, видно, что он пересекает ось ОХ на промежутке   в 4-х точках, и в этих точках . Во всех этих точках функция имеет либо максимум, либо минимум (то есть – точки экстремума).

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

4

 

 

 

 

 

 

 

                 


В8.9.

ПАРАЛЛЕЛЬНА ПРЯМОЙ  ИЛИ СОВПАДАЕТ С НЕЙ   (РИС. 8.9).

Задачи такого типа (при первой встрече с ними) вызывают затруднение y большинства выпускников. Обычно непонятно даже, с какой стороны к ним вообще нужно подходить. 

Между тем, разобраться в них достаточно просто.

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА.

 

РИСУНОК 8.9

Прямая  , указанная в условии, имеет производную, равную коэффициенту «при  » и равную  . Такую же производную (то есть тот же наклон к горизонту) будут иметь и все прямые, параллельные ей.

Таким образом, на графике производной, который дан в условии, всего лишь нужно отметить все точки, в которых 

Таких точек три (3). Это и будет ответом задания.

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

3

 

 

 

 

 

 

 

                 

В8.10.

ПАРАЛЛЕЛЬНА ПРЯМОЙ  ИЛИ СОВПАДАЕТ С НЕЙ   (РИС. 8.10).

Еще одно аналогичное задание.

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА.

 

РИСУНОК 8.10

Прямая  , указанная в условии, имеет производную, равную коэффициенту «при  » и равную  . Такую же производную (то есть тот же наклон к горизонту) будут иметь и все прямые, параллельные ей.

Таким образом, на графике производной, который дан в условии, всего лишь нужно отметить все точки, в которых 

Таких точек четыре (4). Это и будет ответом задания.

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

4

 

 

 

 

 

 

 

                 

В8.11.

ПАРАЛЛЕЛЬНА  ПРЯМОЙ   (РИС. 8.11).

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА.

 

РИСУНОК 8.11

Прямая  , указанная в условии, имеет производную, равную коэффициенту

«при  » и равную  . Такую же производную (то есть тот же наклон к горизонту) будут иметь и все прямые, параллельные ей.

Таким образом, на графике производной, который дан в условии, всего лишь нужно отметить все точки, в которых 

Таких точек три (3). Это и будет ответом задания.

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

                 


8.3. ЗАДАНИЕ ПО ГРАФИКУ САМОЙ ФУНКЦИИ

В8.12. НА РИСУНКЕ ИЗОБРАЖЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ  И КАСАТЕЛЬНАЯ К ЭТОМУ ГРАФИКУ, ПРОВЕДЕННАЯ В ТОЧКЕ С АБСЦИССОЙ

НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ   В ТОЧКЕ  (РИС. 8.11). 

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА.

 

РИСУНОК 8.12

В этом задании требуется найти производную в точке минимума функции. 

Касательная к ней уже нарисована, и она горизонтальна. Очевидно, что в этой точке .

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

0

 

 

 

 

 

 

 

                 

В8.13. НА РИСУНКЕ ИЗОБРАЖЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ , ОПРЕДЕЛЕННОЙ НА ИНТЕРВАЛЕ

. НАЙДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ЦЕЛЫХ ТОЧЕК, В КОТОРЫХ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОТРИЦАТЕЛЬНА (РИС. 8.13).

А вот еще одна разновидность задач В8.

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА.

 

РИСУНОК 8.13

Отрицательным значениям производной соответствуют участки убывания на графике самой функции. Таких участков на заданном графике пять. Как видно на графике, на этих участках всего лишь  точки с целым значением  «». А именно: точки  . Все остальные точки этих участков являются точками экстремума, и в них производная равна нулю. А крайние точки    по условию графику вообще не принадлежат.

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

3

 

 

 

 

 

 

 

                 

В8.14. НА РИСУНКЕ ИЗОБРАЖЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ , ОПРЕДЕЛЕННОЙ НА ИНТЕРВАЛЕ

. НАЙДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ЦЕЛЫХ ТОЧЕК, В КОТОРЫХ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНА (РИС. 8.14).

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ГРАФИКА.

 

РИСУНОК 8.14

Положительным значениям производной соответствуют участки возрастания на графике самой функции. Таких участков на заданном графике четыре. Как видно на графике, на этих участках всего лишь  точки с целым значением  «». А именно: точки  . Все остальные точки этих участков являются точками экстремума, и в них производная равна нулю.

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

Таким образом, все достаточно просто – рисуем на графике, анализируем сделанное, приходим к ответу.

Много подобных картинок с пользой для себя вы можете найти, поразглядывать, и мысленно пораскрашивать в «Открытом банке заданий по математике» J.

 

                                                      Основные советы по выполнению заданий В8:

Ø                      Отвыкайте от школьных представлений (если они вообще есть), что производная функции – это что-то сложное. Думайте о ней как об обычной

                        скорости;

Ø                      Запомните простую логику: если функция возрастает, то ее производная

 

положительна, если убывает – то отрицательна. В точках максимума и     минимума, где скорость равна нулю, производная тоже равна нулю;

Ø                      Вычисляя значение производной по графику самой функции, соблюдайте   предлагаемый порядок действий (задания В8.1 – 8.4);

Ø                      Обращайте в 1-ю очередь внимание на то, график чего предложен в условии   задания. Если график производной – значит все будет «непривычно и               коряво». Замедляйтесь, обязательно делайте на графике цветами

дополнительные пометки (обозначайте точки максимума и минимума, зоны           выше и ниже горизонтальной оси и т.д.);

Ø                      Несмотря на очевидную простоту, для стабильного правильного выполнения   задания В8 обычно требуют достаточно долгой тренировки. Тренируйтесь до их полного «вживления в мозг»;

Ø                      Обязательно проверяйте сделанное, как бы вы ни были уверены в его                  правильности.

 

 


ЗАДАНИЕ В14

М

Именно с ними связано последнее задание ЕГЭ.    аксимум и минимум. Наибольшее и наименьшее значение функции. 

Говоря более конкретно, «четырнадцатые» представлены задачами двух типов.

Задачи Первого типа.

«Найти точку максимума или минимума функции».

Например, «найдите точку максимума функции ». 

В этих заданиях ответом будет значение (обязательно десятичное). Смысл этих задач отражен на рис. 14а.

Задачи Второго типа.

«Найти наибольшее или наименьшее значение функции   на заданном  отрезке аргумента  ».

Например, «найдите наибольшее значение функции    на отрезке ». 

Ответом будет являться значение  (обязательно десятичное). Смысл этих задач отражен на рис. 14б.

При определенном сходстве звучания, эти два типа задач «совсем о разном», и будут далее решаться разными способами. Именно поэтому все примеры решения заданий В14 разбиты на две большие части. Еще раз посмотрите на рисунки 14а и 14б и уясните их отличия!

ЗАДАНИЯ 1-ГО ТИПА: «НАЙТИ ТОЧКУ МАКСИМУМА ИЛИ МИНИМУМА ФУНКЦИИ»

 

 

Для освежения в памяти минимально необходимой для решения всех заданий В14 информации, сделаем еще одно Тематическое Отступление.

ОТСТУПЛЕНИЕ №1: «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПО ЗАДАННОЙ ФОРМУЛЕ ЭТОЙ ФУНКЦИИ».

Для успешного решения заданий Первого типа необходимо помнить формулы производной для некоторых простейших функций (примерно, половину того самого набора функций, производные которых приходилось заучивать в школе).

А также уметь вычислять производную «комбинированных» функций, составленных из этих простейших. «Комбинированной» мы будем называть функцию, в которой несколько простейших функций соединены знаками сложения, вычитания, умножения или деления. Например:

 

Не объясняя «с нуля» всех подробностей, рассмотрим ниже таблицы, в которых приведены производные как собственно простейших функций, так и их комбинаций. 

Надеюсь, что внимательный (!) разбор приведенных в таблицах формул

(и всех примеров к ним) сможет заменить многословную теорию по правилам вычисления производной. Тем более что эта тема должна быть вам в общих чертах знакома.

И еще: далее в тексте будет неоднократно встречаться термин «сложная функция». Под этим понимается функция, более сложная, чем «просто », и вставленная внутрь другой функции. Можно сказать, что сложная функция по своему устройству похожа на матрешку. Например:

 

Можно, конечно, придумать и более сложные функции, и даже комбинации из сложных функций,

но не будем без нужды увлекаться этим процессом…                                                                 

РИСУНОК 14в. Производные простейших функций. Примеры вычисления производной сложных функций.

 

И еще одна таблица, чтобы не было скучно!

РИСУНОК 14г.

Производная суммы простейших функций. Примеры вычисления производной суммы сложных функций.

 

И еще одна таблица!

РИСУНОК 14д.

Производная произведения простейших функций. Примеры вычисления произведения сложных функций.

 

 

Не сомневаюсь в том, что и вид, и содержание этих таблиц вызвали у вас приступ неподдельного интереса и радости познания J!

Имейте в виду, что в этих таблицах содержатся только те функции, которые встречаются в реальных вариантах ЕГЭ! В учебниках и справочниках вы их найдете гораздо больше.

Формула производной частного (то есть деления) простейших функций здесь не приводится не случайно. Ниже будет показано, как в решении примеров можно обходиться и без нее.

А теперь перейдем к конкретным примерам заданий, в которых и используются приведенные выше приемы вычисления производных функций.      

                                                  14.1. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ        

Β14.1.1.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МИНИМУМА ФУНКЦИИ                    .

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

Внимание! Степень функции  отличается от «просто », то есть функция является сложной. Следовательно, нужно вычислять производную еще и от этой степени.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

           или           

Первое уравнение решений не имеет (график функции    не пересекает ось OX),  корень второго уравнения           

Таким образом, функция            имеет единственную точку экстремума, которая и

будет являться именно точкой минимума (и никак не может оказаться точкой максимума – а иначе что же записывать в ответ?).

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

1

6

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.1.2.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МИНИМУМА ФУНКЦИИ                   .

 

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

Внимание! Степень функции  отличается от «просто », то есть функция является сложной. Следовательно, нужно вычислять производную еще и от этой степени (хотя в данном случае она равна 1, и не вносит изменения в итоговую формулу).

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

 или              

В точках    и   функция имеет точки экстремума. 

По условию задания нужно выбрать точку, соответствующую минимуму функции.

3-Й ЭТАП: ВЫБРАТЬ ИЗ НАЙДЕННЫХ ТОЧЕК МАКСИМУМ ИЛИ МИНИМУМ ФУНКЦИИ.

Этот выбор можно сделать двумя способами. Рассмотрим их применительно к решаемому заданию.

Способ 1. Найдем точку минимума функции, анализируя знак ее производной (именно это уже приходилось делать в задании В8).

Нанесем найденные точки экстремума на числовую ось (рис. 14.1.2). 

РИСУНОК 14.1.2

                 

Найдем знак производной на одном из интервалов (то есть сделаем так называемую «проверку знака»):

 

С учетом того, что   в любой степени всегда больше нуля, заменим в следующей строке фрагмент    на :

.

Проставим знак производной и на остальных интервалах. Вспомним: в точке минимума функции производная меняет знак с  на , так как в этой точке у самой функции падение сменяется на рост. Ответом будет  .

Способ 2. Найдем точку минимума функции без анализа знака ее производной.

Этот способ более простой, но его можно использовать не во всех, а лишь в некоторых (!) случаях. 

А именно: если между найденными точками экстремума нет разрывов в значении производной. Иными словами – когда производная существует во всех точках между найденными экстремумами (на числовой оси это означает отсутствие «выколотых» точек между экстремумами). Как, например, в этой задаче: производная существует на всем интервале .

Примеры случаев, в которых обсуждаемый сейчас Способ №2 не применим, будут приведены в заданиях 14.2.2 и 14.2.3.

Внимание! Если вам все же будет сложно понять различие в применении этих способов (или проще всегда выполнять одно и то же типовое действие), то всегда используйте Способ №1.

Теперь же вернемся к нашей задаче. В рамках 2-го способа, нужно всего лишь сравнить значения самой функции   в точках экстремума. Точке максимума будет соответствовать большее значение , а точке минимума – меньшее.

Итак, вычислим значение функции в обеих «экстремальных» точках и определим, какая из них будет точкой минимума:

 ,

 

 

Таким образом,  – точка  минимума (ответ), а    – точка максимума.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

1

5

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.1.3.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ                 .

Преобразуем для удобства последующего вычисления производной исходную функцию:

.

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

Внимание! Степень функции  отличается от «просто », то есть функция является сложной. Следовательно, нужно вычислять производную еще и от этой степени (хотя в данном случае ее производная равна 1, и не вносит изменения в итоговую формулу).

 

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

             или           

Первое уравнение корней не имеет, а корни второго

 

  и   

3-Й ЭТАП: ВЫБРАТЬ ИЗ НАЙДЕННЫХ ТОЧЕК МАКСИМУМ ИЛИ МИНИМУМ ФУНКЦИИ. Способ 1. Найдем точку максимума функции, анализируя знак ее производной.

В некоторых случаях (например, в этом здании) удобнее не делать «проверку знака» на интервале, а поступить по-другому. 

В уравнении производной содержится функция   (парабола типа «ветви вверх»). 

Именно она «дает» корни    и   Множитель   при любом значении степени.

Таким образом, чередование знаков на оси определяется только расположением параболы и уже понятно (рис. 14.1.3).

РИСУНОК 14.1.3

                 

В точке максимума функции производная меняет знак с  на , так как в этой точке у самой функции рост сменяется на падение. Ответом будет  .

Способ 2. Найдем точку максимума функции без анализа знака ее производной (поскольку между точками экстремума нет разрыва производной):

Таким образом,   – точка  максимума (ответ), а    – точка минимума.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

9

 

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.1.4.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МИНИМУМА ФУНКЦИИ                   .

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

Внимание! Степень функции  отличается от «просто », то есть функция является сложной. Следовательно, нужно вычислять производную еще и от этой степени.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

             или          

Первое уравнение решений не имеет, а корни второго

 

  и   

Поскольку между точками экстремума нет разрыва производной, для нахождения точки минимума можно воспользоваться более простым способом – Способом №2:

 

Таким образом,  – точка  минимума (ответ), а   – точка максимума.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

2

 

 

 

 

 

 

 

                 

                                             14.2. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ФУНКЦИЮ          

Β14.2.1.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ                 .

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 или            

  и   

Между найденными точками разрыва в значении производной нет. Определим, какая из двух точек будет точкой максимума. Воспользуемся для этого более простым, 2-м способом:

Таким образом,  – точка  минимума, а  – точка максимума (ответ).

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

4

 

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.2.2.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ                 .

Преобразуем для удобства вычисления производной исходную функцию (для того, чтобы не применять более сложную формулу производной от частного функций):               

.

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

 

 

  и   

А это задание – пример того случая, когда искомую точку можно найти только Способом №1! 

Это связано с тем, что в знаменателе уравнения    содержится , причем  .

Таким образом, в точке  , которая находится между    и  , наблюдается разрыв в значении производной. Иными словами, в точке   производная не существует.

Для определения знаков производной функции применим метод интервалов.

Нанесем числа   на ось (рис. 14.2.2а).

Определим знак производной    на одном из интервалов:

.

Проставим остальные знаки, учитывая, что в точке   происходит «отражение волны» (четная степень над  ). Из полученного рисунка видно, что точке максимума соответствует  .

                 

Обратите внимание! Применение 2-го способа поиска точки экстремума дало бы неверный ответ:

 

Из этого следует ошибочный вывод о том, что   – точка  максимума, а  – точка минимума.

Для лучшего понимания ситуации, схематически изобразим график функции, данной в условии (рис. 14.2.2б).

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

1

5

 

 

 

 

 

 

 

И еще одно похожее задание…

                 

В14.2.3.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МИНИМУМА ФУНКЦИИ                   .

Преобразуем для удобства вычисления производной исходную функцию: 

 

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

 

  и   

В этом задании, подобно предыдущему, искомую точку можно найти, только используя универсальный Способ №2.

В знаменателе уравнения    содержится , причем  .

Таким образом, в точке  , которая находится между    и  , наблюдается разрыв в значении производной.

Для определения знаков производной функции применим метод интервалов.

Нанесем числа   на ось (рис. 14.2.3а).

Определим знак производной   на одном из интервалов:

 

Проставим остальные знаки, учитывая, что в точке   происходит «отражение волны» (четная степень над  ). Из полученного рисунка видно, что точке минимума соответствует  .

                 

Обратите внимание! Применение 2-го способа поиска точки экстремума дало бы неверный ответ:

 

Из этого следует ошибочный вывод о том, что   – точка  минимума.

Для лучшего понимания ситуации, схематически изобразим график функции, данной в условии (рис. 14.2.3б).

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.2.4.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ                 .

Преобразуем для удобства вычисления производной исходную функцию:

 

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

Поскольку точка  является единственным экстремумом, то она «автоматически» будет точкой максимума.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

4

 

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.3.1.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ                 .

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

Поскольку точка  является единственным экстремумом (и кандидатом в ответ), то она и будет точкой максимума.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

-

4

,

5

 

 

 

 

                 

Β14.3.2.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МИНИМУМА ФУНКЦИИ                   .

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

 

Поскольку точка  является единственным экстремумом, то она и будет точкой минимума.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

-

6

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.3.3.                  НАЙДИТЕ ТОЧКУ МИНИМУМА ФУНКЦИИ                        .

А в этом задании, в отличие от предыдущих, содержится не натуральный логарифм, а, если так можно выразиться, «обычный». И производная от него будет вычисляться несколько иначе.

 

А если  – сложная функция, то так:

 

Эти формулы отсутствуют в таблице производных простейших функций в Тематическом Отступлении (в начале главы), и поэтому приводятся здесь.

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

Это (и подобные ему) задание, можно делать разными способами.

Способ 1.

 

 

Поскольку точка  является единственным экстремумом, то она и будет точкой минимума.

Способ 2.

Функция     будет наименьшей при наименьшем значении  . К этому выводу можно придти, например, такими способами:

1)      Нарисовать примерный график функции  . Из него видно, что меньшему значению   соответствует меньшее значение  ;

2)      Подставить «внутрь логарифма»   несколько пробных чисел:  

 

Из полученного ряда следует тот же вывод.

Поскольку функция   описывается параболой с ветвями, направленными вверх, то ее наименьшим значением будет значение   в вершине параболы.

                 

Иными словами, наименьшим значением «внутри скобок» будет значение   при

.

Причем, в этой точке наименьшее значение исходной функции совпадает с ее точкой минимума.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведенных выше примеров для понимания схемы решения заданий Первого типа должно быть вполне достаточно. И мы переходим к заданиям Второго типа…

                 

ЗАДАНИЯ 2-ГО ТИПА: «НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ (НАИМЕНЬШЕЕ) ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ  НА ЗАДАННОМ ОТРЕЗКЕ»

 

Когда учащийся видит задание В14, обычно сразу же «его рука тянется к производной». И в целом это правильное движение! Именно так и принято делать.

Однако при решении многих заданий Второго типа лучше вообще обойтись без использования производной – потому, что их можно решать гораздо проще («а если нет никакой разницы, то зачем переплачивать?»).

А именно: это касается тех заданий Второго типа, в которых предлагаемая функция  содержит  , , ,  и  .

Делая пособие для «чайников», я старался максимально сжать и упростить многие вопросы.  По этой причине некоторые вещи я делаю довольно ненаучно (с точки зрения «правильной» математики). Но эта «ненаучность» не влияет на правильность ответа, и ее можно объяснить следующим:

1)      Это пособие адресовано читателю, который не особо силен в математике.  Ему нужна простота и экономия сил при подготовке к экзамену. И, конечно же, правильный ответ!

2)      Рассказывать о математике в таком стиле мне больше нравиться самому.  То есть говорить «о простом – просто».

Так вот, для решения большинства заданий Второго типа (это относится к заданиям 14.4 – 14.6), я предлагаю использовать способ «подбора ответа», не  прибегая к использованию производной вообще. Это и есть один из упомянутых «ненаучных» способов.

Внимание! Предлагаемый способ «подбора ответа» можно применять только для указанных заданий Второго типа, и только на ЕГЭ. И больше нигде!

Секрет способа прост: ключевым моментом подбора ответа в этих заданиях является то, что ответ должен являться десятичным числом. Так задумано в ЕГЭ, и это известно. То есть ответ не должен содержать корней, символов функций и постоянных   и так далее).

Таким образом, подбирая ответ, мы исходим именно из этого: для ответа нам нужно получить непременно десятичное число, то есть число вида  . Все остальные возможные варианты ответов, которые не вписываются в этот шаблон десятичного числа, заранее признаются непригодными и отбрасываются.

Суть предлагаемого способа будет понятна из довольно многочисленных примеров.

                 

14.4. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Некоторые минимально необходимые сведения по тригонометрии уже были даны в задании В6. Но для успешного решения «четырнадцатых» этого недостаточно.

Поэтому сделаем еще одно Тематическое Отступление, в котором некоторая часть информации будет повторена для удобства текущей работы. Просто для того, чтобы «быть под рукой».

ОТСТУПЛЕНИЕ №2: «ОСОБЫЕ» УГЛЫ И ЕДИНИЧНАЯ ОКРУЖНОСТЬ

 

Итак, для начала приведем таблицу значений тригонометрических функций для «особых» углов 1-й четверти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эту таблицу не нужно пытаться запомнить полностью, поклеточно. Достаточно запомнить только значения синуса для углов  . Значения косинуса для этих же углов чередуются в обратном порядке.

Табличные значения, для углов   также можно не запоминать. Их можно легко увидеть (представить) на единичной окружности. Как именно это сделать? 

Очень просто: значение синуса равно вертикальной координате вращаемой точки  ,  а косинуса – горизонтальной 

Углу  на единичной окружности соответствует точка с координатами ,  и значит              , а  

Углу  на единичной окружности соответствует точка с координатами ,  и значит            , а   . Вот и все премудрости.

Подобным образом определяются и значения синуса (косинуса) для углов  . После этого остается заполнить значения тангенса (котангенса), которые получаются как отношение синуса к косинусу (или наоборот). Причем для угла   значения тангенса и котангенса очевидны: 

.

Теперь идем дальше. Понятно, что в реально решаемых задачах величины углов могут быть совершенно любыми. Однако в заданиях В14 встречаются только определенные, «особые» углы.

Либо уже перечисленные:  , либо подобные им, изображенные на рисунке 14е. Как правило, в заданиях В14 углы выражены не в градусах, а в радианах.

Примечание.

1)      Что такое радианы и для чего они нужны (а также многое другое), мы обсуждать не будем. Как будет показано ниже, «четырнадцатые» можно решать и без этого;

2)      Все значения «особых» углов 1 – 4 четвертей, обозначенных на рисунке 14е,  запоминать тоже не нужно. 

Достаточно запомнить только значения   .

А теперь вопрос на сообразительность для «продвинутых чайников»: как, помня только эти три значения, можно быстро получить все остальные (естественно, в радианах)? И как это сделать проще всего?

Итак, вернемся к рисунку. Глядя на него, легко заметить следующее:

ü  Углы, симметричные относительно вертикали, имеют одинаковые значения синусов 

(то есть координаты  ). Например:

На рисунке углы с равными синусами соединены горизонтальными прямыми;

ü  Углы, симметричные относительно горизонтали, имеют одинаковые значения косинусов

(то есть координаты  ). Например:

На рисунке углы с равными косинусами соединены вертикальными прямыми;

ü  Углы, симметричные относительно начала координат, то есть соединенные прямой, проходящей через т.О , имеют одинаковые значения тангенса (и котангенса).

При желании можно самостоятельно сделать множество других выводов из довольно простого рассмотрения этого рисунка. Это действительно полезно как для понимания связи между «особыми» углами 2 – 4 четвертей с  «особыми» углами 1 четверти, так и для понимания геометрического смысла тригонометрических функций вообще. 

А это понимание, в свою очередь, избавит от совершенно ненужного заучивания лишних цифр по всем «особым» углам. Кроме того, работа с единичной окружностью во многих случаях избавит вас от вычислений с помощью «формул приведения», о которых уже говорилось ранее.

А теперь, после недолгого возврата к основам тригонометрии, перейдем к рассмотрению заданий В14 Второго типа, которые содержат тригонометрические функции.

 

                 

Β14.4.1.               НАЙТИ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ    НА ОТРЕЗКЕ

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение  должно быть десятичным числом, необходимо выполнение двух условий: 

a)       «Превращение»   в число, не содержащее корня. Это возможно (вспоминаем табличные значения синуса!) 

при (обведены на рис. 14.4.1);

b)      Слагаемое    в исходной функции должно сократиться. Таким образом,  может быть как , так и содержать   – то есть любым. Количество возможных «кандидатов», найденных в предыдущем пункте, не уменьшается.

 

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ.

 

;

; .

Из всех возможных вариантов наименьшим является  .

Его и запишем в ответ.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

-

2

6

,

5

 

 

 

                 


Β14.4.2.                  НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

                                    НА ОТРЕЗКЕ

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение   должно быть десятичным числом, необходимо выполнение двух условий:

a)       «Превращение»   в число, содержащее (!) , или в . Это возможно (вспоминаем табличные значения косинуса)  только при  (обведены на рис. 14.4.2);

b)      Слагаемое    в исходной функции должно сократиться, то есть   обязательно должен содержать  . Количество возможных «кандидатов», найденных в предыдущем пункте, не уменьшается.

 

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ. Варианты решения выглядят так:

 

Видно, что во втором варианте число   не сокращается, значит этот вариант не подходит.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

2

4

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.4.3.                  НАЙТИ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

                                    НА ОТРЕЗКЕ

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение   должно быть десятичным числом, необходимо выполнение двух условий:

a)       «Превращение»   в число, не содержащее корень.

Возможные значения  обведены на рис. 14.4.3;

b)      Слагаемое    в исходной функции не должно содержать  , а значит равно нулю. Количество возможных «кандидатов», найденных в предыдущем пункте, уменьшилось до одного.

 

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ.

 

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

6

 

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.4.4.                  НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

                                   НА ОТРЕЗКЕ

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение   должно быть десятичным числом, необходимо выполнение двух условий:

a)       «Превращение»   в число, не содержащее корень.

Возможные значения  обведены на рис. 14.4.4;

b)      Число   в слагаемом    в исходной функции должно сократиться, то есть   равен нулю или содержит  . Количество возможных «кандидатов», найденных в предыдущем пункте, не уменьшается.

 

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ.

 Варианты решения выглядят так:

 

Наибольшее значение функции  .

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

9

 

 

 

 

 

 

 

                 


Β14.4.5.               НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ    НА ОТРЕЗКЕ .

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение   должно быть десятичным числом, необходимо выполнение двух условий: 

a)       «Превращение»  в число, не содержащее корня.

Возможные значения  обведены на рис. 14.4.5;

b)      Слагаемое  в исходной функции должно сократиться, то есть   обязательно должен содержать  . Таким образом, «кандидат»   отсеивается (зачеркнут на рисунке).

 

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ.

Вычислим значение функции при 2-х оставшихся возможных табличных значениях :

 

Первый вариант не подходит, так как содержит несокращаемое число  .

Таким образом, десятичным числом является только .

И хотя, на основании сделанных вычислений, нет никаких оснований считать это число именно наибольшим на заявленном отрезке (кроме его «десятичности»), – этот ответ правильный!

Как в этом, так и в других рассмотренных примерах.

Как говорится, «ловкость рук, и никакого обмана» J!

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

5

 

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.4.6.               НАЙТИ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ    НА ОТРЕЗКЕ .

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение   должно быть десятичным числом, необходимо выполнение двух условий:

a)       «Превращение»   в число, не содержащее корень.

Это возможно только при  );

b)      Слагаемое   не должно содержать , то есть   может быть только нулем (лишний «кандидат» на рисунке зачеркнут).

 

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ.

С учетом второго условия, вариант   был отброшен как непригодный.

Остается единственное:  .

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

6

 

 

 

 

 

 

 

                 

                                            14.5. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ         

Предыдущие примеры содержали одну из тригонометрических функций.

Но кроме них могут встречаться показательная  функция с основанием, или логарифмическая с тем же основанием.

Эти задания также успешно решаются предложным способом «подбора ответа».

Работа с ними показана в следующих примерах.

                 

Β14.5.1.               НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ     НА ОТРЕЗКЕ .

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение   должно быть десятичным числом, необходимо выполнение следующего условия: слагаемое  должно исчезнуть. 

Это может произойти только тогда, когда «начинка» логарифма 

(в данном случае это «») равна 1, то есть . В этом случае   (рис. 14.5а).

В нашем примере это означает, что  . А значит   или    

(выбираем из найденных значений то, которое будет входить в заданный условием интервал, то есть  ).

Внимание! 

В случае любой нечетной степени над скобкой в «начинке» логарифма корень будет только один. Это связано с тем, что сама скобка будет равна не  , а только .

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ. В связи с тем, что кроме значения   других вариантов нет,

 

И хотя нет никаких оснований считать это число именно наибольшим на заявленном отрезке (кроме его «десятичности»), – этот ответ правильный!

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

8

 

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.5.2.               НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ     НА ОТРЕЗКЕ .

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение   должно быть десятичным числом, необходимо выполнение следующего условия: слагаемое   должно исчезнуть, «превратившись»  в нуль. 

Это может произойти в том случае, если «начинка» логарифма (в данном случае  ) равна .

В нашем примере это означает, что (кстати, это число входит в заданный интервал!). 

И действительно,  .

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ. В связи с тем, что кроме значения    других вариантов нет,

.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

6

 

 

 

 

 

 

 

                 


14.6. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ   

Β14.6.1.               НАЙТИ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ   НА ОТРЕЗКЕ .

А этот пример иллюстрирует применение способа «подбора» для функций, содержащих  .

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение  должно быть десятичным числом, необходимо выполнение следующего условия: множитель    должен исчезнуть. 

Это может произойти только тогда, когда показатель степени (в данном случае  ) равен нулю. В этом случае    (рис. 14.6б).

В нашем примере это означает, что  (кстати, это число входит в заданный интервал!). 

И действительно,

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ. В связи с тем, что кроме значения    других вариантов нет,

.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

-

3

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.6.2.               НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ   НА ОТРЕЗКЕ .

1-Й ЭТАП: АНАЛИЗ ИСХОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Поскольку искомое значение  должно быть десятичным числом, необходимо выполнение следующего условия: множитель    должен исчезнуть. 

Это может произойти только тогда, когда показатель степени (в данном случае  ) равен нулю. В этом случае  .

В нашем примере это означает, что  (кстати, это число входит в заданный интервал!). 

И действительно,

2-Й ЭТАП: ВЫБОР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ. В связи с тем, что кроме значения    других вариантов нет,

.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Ну что же, вот и закончились задания, которые можно решать «способом подбора ответа». Думаю, что многим читателям такой способ показался забавным и вполне пригодным для применения! Но у кого-то возник вопрос: а как решаются эти задания «правильным способом»? И не лучше ли их решать именно так, не выдумывая никаких подборов?

Конечно можно! Все эти задания можно решать и традиционным способом, используя алгоритм, показанный в заданиях  14.8. Но для этого нужно уметь вычислять производную от всех тригонометрических функций, а также от функций   и   (в том числе «комбинированных» и «сложных»).  Примеры таких вычислений приведены в таблицах Отступления №1. Именно этого мы избежали, применяя «способ подбора ответа».

Желающие могут потренироваться в решении «правильным способом» самостоятельно!

                 

14.7. «ЗАМАСКИРОВАННЫЕ» ЗАДАНИЯ

В14.7.1.                              НАЙДИТЕ ТОЧКУ, В КОТОРОЙ ФУНКЦИЯ  НА ОТРЕЗКЕ  

ПРИНИМАЕТ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ.

 

А при решении подобных задач нужно быть очень внимательным!

Она кажется точно такой же, как и две предыдущие … но это не так. Ее нельзя решать «подбором ответа», так как нужно найти не наименьшее значение самой функции (то есть  ), а «точку, в которой» это происходит (то есть  ). В этом случае ошибочно считать, что именно  нужно приводить к десятичному числу, как мы делали ранее.

Подобные задачи нужно решать так, как показано в следующем подразделе  14.8.  И, в любом случае, придется вычислять производную функции.

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

Внимание! Степень функции  отличается от «просто », то есть функция является сложной. Следовательно, нужно вычислять производную еще и от этой степени.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

           или           

Первое уравнение решений не имеет (график функции   не пересекает ось OX),  корень второго уравнения           

Таким образом, функция             имеет единственную точку экстремума, которая может являться как точкой минимума, так и точкой минимума.           3-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ  В ТОЧКАХ ЭКСТРЕМУМА И НА ГРАНИЦАХ ЗАДАННОГО ОТРЕЗКА. ВЫБОР ОТВЕТА.

Найдем приближенные значения функции в найденных точках экстремума и на границах отрезка.

И, хотя и в 2-х последних выражениях приближения достаточно грубые, можно сделать вывод:

, а значит, в точке   функция принимает наименьшее значение.  И, кроме того, как выяснилось, в ней находится минимум функции. 

Очевидно, что   и будет ответом задания.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

7

 

 

 

 

 

 

 

                 

14.8. ЗАДАНИЕ СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО ФУНКЦИЮ   

Β14.8.1.               НАЙДИТЕ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ    НА ОТРЕЗКЕ .

Подобные задания нельзя решить хитрым подбором ответа, как удавалось в заданиях пунктов

14.4 – 14.6, поэтому все придется делать правильно, «по-взрослому».

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

 

 

  и   

Одному из этих значений соответствует точка максимума, а другому  точка минимума. Но в данном случае не нужно выяснять, какая точка чему соответствует.

3-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ  В ТОЧКАХ ЭКСТРЕМУМА И НА ГРАНИЦАХ ЗАДАННОГО ОТРЕЗКА. ВЫБОР ОТВЕТА.

Очевидно, что наибольшим является значение  . Это и будет ответом задания.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

-

2

 

 

 

 

 

 

                 

Β14.8.2.               НАЙДИТЕ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ   НА ОТРЕЗКЕ .

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 или    и   

Второй корень не входит в заданный отрезок и далее рассматриваться не будет.

3-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ  В ТОЧКАХ ЭКСТРЕМУМА И НА ГРАНИЦАХ ЗАДАННОГО ОТРЕЗКА. ВЫБОР ОТВЕТА.

Наибольшим является значение  . Это и будет ответом задания.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

5

3

 

 

 

 

 

 

                 


Β14.8.3.               НАЙДИТЕ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ   НА ОТРЕЗКЕ .

Преобразуем для удобства вычисления производной исходную функцию: 

 

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

 или  

  и   

Корень    не входит в заданный отрезок и далее рассматриваться не будет.

3-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ  В ТОЧКАХ ЭКСТРЕМУМА И НА ГРАНИЦАХ ЗАДАННОГО ОТРЕЗКА. ВЫБОР ОТВЕТА.

 

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

1

4

,

9

 

 

 

 

                 

Β14.8.4.               НАЙДИТЕ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ  НА ОТРЕЗКЕ .

Преобразуем для удобства вычисления производной исходную функцию:

 

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

 

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯВ НАЙДЕННУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ К НУЛЮ, НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (ТО ЕСТЬ МАКСИМУМА И МИНИМУМА).

 

3-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ  В ТОЧКАХ ЭКСТРЕМУМА И НА ГРАНИЦАХ ЗАДАННОГО ОТРЕЗКА. ВЫБОР ОТВЕТА.

 

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

-

8

 

 

 

 

 

 

                 

                              14.9. ФУНКЦИЯ НЕ СОДЕРЖИТ ОГРАНИЧИВАЮЩЕГО ИНТЕРВАЛА            

Как правило, задания Второго типа в условии содержат некий интервал, ограничивающий аргумент функции. Однако изредка встречаются и задания, где это условие отсутствует. 

Кто-то этого может даже не заметить, а у кого-то это обстоятельство вызывает вопрос:  «А как же это решать»? Рассмотрим пример такого, довольно редкого задания.

Β14.9.1.                          НАЙДИТЕ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ   

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

Это, и подобные ему задания, можно делать разными способами. Рассмотрим два варианта.

Способ 1. Можно вообще обойтись без вычисления производной.

Функция    будет наименьшей при наименьшем значении  «внутри скобок» (то есть  ).

К этому выводу можно придти, например, такими способами:

3)      Нарисовать примерный график функции  . Из него видно, что меньшему значению   соответствует меньшее значение  ;

4)      Подставить «внутрь логарифма»    несколько пробных чисел:  

 

Из этого ряда примеров следует тот же вывод.

Поскольку функция   описывается параболой с ветвями, направленными вверх, то ее наименьшим значением будет значение   в вершине параболы.

Иными словами, наименьшим значением «внутри скобок» будет значение   при

.

Итак,

.

Таким образом, наименьшее значение данной в условии функции   равно  .

Способ 2.

Вычислим производную исходной функции и приравняем ее к нулю:

 

   

Точка  является единственным экстремумом исходной функции. Причем, она будет именно точкой минимума, поскольку она соответствует наименьшему значению «скобки внутри логарифма».

Таким образом, в этом задании в точке минимума функции наблюдается ее наименьшее значение.

 

Выбирайте тот вариант решения, который вам кажется более удобным. Но понимать желательно оба рассмотренных варианта.

4-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВСЕХ ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.

5-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА. 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

                 

Вот, собственно, и все! Хотелось бы написать еще что-нибудь умное по этому поводу, но больше я ничего придумать не могу J. И так получилось много всякого и разного…

Может быть, вы найдете это в «Открытом банке заданий по математике»?

Основные советы по выполнению заданий В14: Ø Четко различайте между собой задания Первого типа и Второго типа. Эти задания «совсем о разном». Внимательно читайте условие. Помните о том, что могут быть и «замаскированные» задания (см. пример В14.7.1);

Ø  Разбирайте и отрабатывайте задания этих типов раздельно, не давайте им «перемешаться в голове». Уясните смысл этапов работы с ними и обязательно соблюдайте их;

Ø  Запомните таблицу значений тригонометрических функций для «особых углов» 1-й четверти:  0,  30,  45,  60 и 90 градусов;

Ø  Значения этих функций для углов 2 – 4 четвертей определяйте, либо работая с единичной окружностью (смотритеТематическое Отступление

№2), либо используя формулы приведения;

Ø  Внимательно разберитесь с таблицами производных, расположенными в Тематическом Отступлении №1. При необходимости – периодически возвращайтесь к ним. Запомните производные простейших функций и научитесь вычислять производные «комбинированных» и «сложных» функций (все это потребует времени);

Ø  Применяйте прием «подбора ответа» внимательно и осознанно. Он позволяет решать многие задания Второго типа без вычисления производной, и тем самым значительно упрощает работу. Ни в коем случае не применяйте его для заданий Первого типа!

Ø  Как показывает практика, навыки решения заданий В14 нарабатываются достаточно медленно и постепенно. Это связано как с необходимостью освоить и запомнить достаточно разноплановый и объемный материал, так и с разветвленной структурой задания В14.

Дайте себе на это достаточно времени, «и будет вам щастье!» J;

Ø  Обязательно проверяйте сделанное, как бы вы ни были уверены в его правильности.

 

 

И подведем итоги этой главы очередной картинкой.

 



                                                          ЕГЭ-2013 по математике для «чайников»: советы репетитора                                                                                     www.EGEprosto.ru

 

Задание В14                                                                                                                                                                                     Страница 69

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Материалы для подготовки к ЕГЭ"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Специалист в области обращения с отходами

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

«ЕГЭ-2013 ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ»: СОВЕТЫ РЕПЕТИТОРА» (ВСЯ ЧАСТЬ «В»: 60 БАЛЛОВ)

Пособие состоит из 5 тематических разделов–шагов, в соответствии с которыми, как мне представляется, довольно удобно готовиться к этому экзамену.

А именно:

 Шаг №1: «Начни с простого…» (задания В1 – В4)

 Шаг №2: «Геометрия» (задания В6, В9 и B11)

 Шаг №3: «Простейшие уравнения и преобразования» (задания В5 и В7)

 Шаг №4: «Производная функции» (задание В8 и B14)

 Шаг №5: «Текстовые задачи» (задания В10, В12 и В13)

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 828 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 06.01.2015 292
    • PDF 3.1 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Елесина Галина Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Елесина Галина Витальевна
    Елесина Галина Витальевна
    • На сайте: 9 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 12
    • Всего просмотров: 32823
    • Всего материалов: 34

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Технолог-калькулятор общественного питания

Технолог-калькулятор общественного питания

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 680 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету «Математика» в условиях реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 76 человек из 31 региона

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: умножение и деление

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 223 человека из 56 регионов

Мини-курс

Экономика и управление

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Эффективное взаимодействие с детьми: стратегии общения и воспитания

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 332 человека из 65 регионов

Мини-курс

Психология развития личности: от мотивации к самопониманию

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 73 человека из 29 регионов