материал на стенд "Мир математики"

Именно так считали в эпоху Возрождения. В 1456 году было изобретено книгопечатание, и путь к знаниям был открыт – для многих, но далеко не для всех, особенно если смотреть в прошлое из нашего XXI века. Вопреки  ожиданиям, первой печатной книгой по математике были не «Начала» Евклида, подлинный памятник по античной мудрости, а учебник по элементарной арифметике под названием «Искусство абака». Автор книги ограничился объяснениями четырёх арифметических действий и задачами о справедливом разделе вещей.  Книга увидела свет в 1487 году. В ней использовались индо-арабские цифры.

         Купцы, которые интересовались подобными книгами, одержали верх над мудрецами и мыслителями. Впрочем, науке удалось отыграться: книга «Искусство абака» больше не переиздавалась, в то время, как известно о сотнях изданий «Начал» Евклида.

Эта история, в которой сочетаются правда и вымысел, объясняет, почему в аналитической геометрии и в любых книгах по математике неизвестные чаще всего обозначают буквой x. Начало этой традиции положил Рене Декарт (1596-1650) в своей книге «Геометрия», где обозначал известные числовые величины первыми буквами алфавита (a, b, c, …), а неизвестные – последними буквами (x, y, z). Так буква х, которая стоит на первом месте в этой троице, стала синонимом неизвестной величины.

         Некоторые полагают, что инициатором такого решения был издатель книги: он заметил, что если литер с другими буквами не хватало, то литер с буквой х всегда было в избытке. Её печатник и использовал при появлении неизвестной величины.

         Как было на самом деле – мы уже не узнаем, но точно можно утверждать, что обозначение, введённое Декартом, сегодня использует весь мир.

О детстве Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который был вундеркиндом, обычно рассказывают такую историю. Когда ему было 10 лет, учитель, желая немного передохнуть, дал Гауссу и его одноклассникам задачу, которая заняла бы детей надолго: нужно было найти сумму всех чисел от 1 до 100: 1+2+3+…+100.

         Спустя несколько минуту маленький Гаусс поднялся с места и протянул  учителю грифельную доску с ответом: 5050. Ка несносный ребёнок смог так быстро справиться с задачей? Гаусс заметил, что если записать числа исходного ряда друг под другом справа налево и слева направо,

                            1+2+3+…+98+99+100

                            100+99+98+…+3+2+1, то сумма чисел в каждой паре будет равна:1+100=2+99=3+98=…=98+3=99+2=100+1=101. Сколько всего таких пар? 100. Так как искомая сумма была в два раза меньше, ответ к задаче таков

                             = 50∙101 = 5050.

         Обычно здесь и заканчивается легенда об одарённом ребёнке с фантастическими способностями – наверное, для того, чтобы понять её могли все, даже те, кто далеко отстал от Гаусса по своим способностям.

         На самом же деле задача была ещё сложнее: учитель предложил ученикам найти сумму первых100 чисел ряда:

                   81297+81495+81693+… -

Каждое слагаемое отличалось от предыдущего на 198. Получить этот результат уже не так просто – выходит, Гаусс был ещё умнее, чем гласит легенда.

Эрнст Куммер (1810-1893), немецкий математик, не только увлекался нумерологией, но так же был ярым патриотом и славился неспособностью запомнить основы элементарной арифметики – обычные таблицы умножения. Когда ему нужно было использовать таблицу умножения в классе, он обращался к ученикам: «Семь на девять будет…эээ…» - тут какой-нибудь ученик, желая напакостить, обычно подсказывал неверные  ответ: «Семь на девять будет шестьдесят один». «Нет, нет, шестьдесят девять», - подсказывал другой ученик, присоединяясь к общему веселью. И тогда бедному Куммеру ничего не оставалось, как невинно сказать: «Ну же, господа, давайте остановимся на чём-нибудь одном». Но правильный ответ был необходим, и Куммер начинал рассуждать логически. Сколько же будет 7∙9? Числа 60, 62, 64, 66 и 68 не подходят, так как они чётные и потому делятся на 2; 61 и 67 не подходят, потому что они простые, 65 не подходит, потому что оно оканчивается на 5 и, следовательно делится на 5. 69 тоже не подходит, так как очевидно, что оно слишком велико. Остаётся 63 – таким и должен быть ответ. Следовательно, 7∙9=63.

Следующая история произошла на собрании Американского математического общества в октябре 1903 года. Математик Фрэнк Нельсон Коул (1861-1926) должен был выступать с докладом на тему «О разложении больших чисел на множители». Выступление Коула было не совсем обычным: он поднялся с места, подошёл к доске и записал на ней число 2⁶⁷ – 1 – число Мерсенна М₆₇, которое считалось простым. Далее Коул вычислил значений 2⁶⁷ и вычел из него 1. Присутствующие затаили дыхание, а Коул на доске записал ещё два числа и вычислил их произведение: 193707721∙761838257287. Полученное число 147573952589676412927, как и ожидалось, было равно искомому числу М₆₇. Коул развернулся и проследовал на своё место. Его доклад длился целый час, и за это время учёный не произнёс ни слова. Однако аудитория всё равно разразилась аплодисментами.

         Следует отметить, что в 1903 году ещё не существовало калькуляторов, ни алгоритмов, которые используются для работы с числами Мерсенна сегодня. По словам Коула, все необходимые расчёты он провёл «за три года по воскресеньям». В честь этого математического подвига Американское математическое общество учредило премию Коула, которая и сегодня остаётся очень престижной. За поиском простых чисел Мерсенна следят и сегодня. Самым большим простым числом, известным на февраль 2013 года, было М_57885161 – действительно большое число, состоящее из 17 425 170 цифр. И ещё это число начинается с цифры 5. Больше об этом числе ни слова.

В математике можно говорить о сколь угодно больших числах – конечных, но очень больших, огромных, колоссальных. В 1938 году девятилетний племянник известного математика Эдварда Казнера (1878-1955) придумал число гугол, которое казалось ему невообразимо большим, практически бесконечным. Милтон Сиротта – так звали племянника – определил гугол как единицу, за которой следует 100 нулей. Математическая запись этого числа выглядит так: 1 гугол = 10¹⁰⁰.

         Гугол кажется не слишком впечатляющим – куда больше впечатляет гуголплекс, определяемый как 1, за которой следует гугол нулей: 1 гуголплекс=10^1гугол.

         Долгие годы невинное изобретение Сиротты упоминалось в учебниках математики как любопытная диковинка, пока не появился Google. Этот компьютерный гигант был основан в 1988 году двумя молодыми американскими математиками – Ларри Пейджем (род.1973) и Сергеем Брином (род.1973). сначала проектом компании был только поисковый механизм, который со временем занял важное место в интернете, а затем за ним последовали и другие проекты. Название компании представляет собой один из способов написать слово «гугол». На момент создания Google было проиндексировано всего 24 миллиона интернет-страниц,  что достаточно далеко от обещанного гугол, но математикам часто присущ оптимизм.

Во время интервью, которое выдающийся мыслитель Бертран Рассел дал индийскому мыслителю Разипураму Лаксману (род. 1924), словоохотливый Рассел заметил, что Индия не дала миру ничего: «You Indians, have invented absolutely nothing» («Вклад индийцев в науку и культуру равен нулю») – сказал Рассел. Лаксман был ошеломлён: фраза ему показалась не просто невежливой – услышать её из уст такого джентльмена было попросту немыслимо, к тому же она не соответствовала действительности. Однако Лаксман не успел возразить: хитрый Рассел пояснил, что слово nothing, «ничто», следует понимать буквально. Nothing означает «ноль» - именно это имел в виду Рассел. Индийцы изобрели ноль – это и есть их важнейший вклад в науку.

         Действительно ли всё было именно так, доподлинно не известно. По всей видимости, стоит предполагать, что ноль изобрели именно индийские математики в  VI веке. Они не только открыли способ описать «ничто». Но добились значительно больше. Понятие нуль является одним из основных понятий в позиционной системе счисления. Бертран Рассел был нобелевским лауреатом, одним из величайших математиков всех времён, но даже ему не удалось открыть хоть что-то, сопоставимое с нулём – и столь же гениальным, как и колесо.

Американский физик и математик венгерского происхождения Джон фон Нейман (1903-1957) благодаря некоторым чертам своего характера также стал героем множества анекдотов. В одном из самых популярных рассказывается о его впечатляющих способностях к вычислениям и любопытной привычке действовать не так, как простые смертные. Задача о двух поездах и мухе стала классической, и звучит она так: предположим, что два поезда, А и В, отправляются на встречу друг другу из точек А и В соответственно. Допустим, что расстояние между А и В равно 100 км, скорость поездов – 50 км/ч. В момент отправления муха, сидевшая на локомотиве поезда А, летит в точку В со скоростью 75 км/ч. Она летит быстрее, чем движется поезд А, и в конце концов встречается с поездом В. достигнув поезда В, она сразу же поворачивает обратно и летит в сторону А. когда она достигает поезда А, она вновь поворачивает и летит в сторону поезда В, и так далее. Полёт  мухи закончится тогда, когда оба поезда встретятся. Какое  расстояние к этому времени пролетит муха? После трудоёмких вычислений студент-отличник показал бы, что длина пути равна сумме следующей геометрической прогрессии:

                   D = 60 + 12 +  +  + …

Знаменатель прогрессии равен  , а её сумма равна D = 75 км.

         Проницательный неспециалист получит тот же результат, рассуждая следующим образом: поезда А и В встретятся в середине пути, на отметке в 50 км, время в пути составит 1 час. Следовательно, длительность полёта мухи так же равна 1 часу, а поскольку скорость мухи рана 75 км/ч, то муха в сумме пролетит 75 км. Это решение элементарно, однако подойти к задаче подобным образом способны не все.

         Когда один из коллег фон Неймана предложил ему эту задачу для развлечения, учёный незамедлительно дал ответ: «75 км». Коллега был несколько разочарован: «Ну вот, а я надеялся застать тебя врасплох. Ты очень умный, а вот большинство решает эту задачу с помощью суммы ряда». Фон Нейман  с удивлением ответил: «А что я, по-твоему, сделал?». Гений среди гениев ни на секунду не задумался  о другом решении. Он всего лишь вывел нужный ряд и мгновенно вычислил его сумму. Просто и быстро – если, конечно, вы – фон Нейман.

Возможно, самым безобидным из деяний Наполеона Бонапарта (1716-1821), которое он совершил во время, свободное от принятия законов, покорения империй и планирования битв, было доказательство теорем. Наполеон, математик – любитель, но достиг профессионального уровня только потому, что, как всем известно, занимался несколько другими вещами. Однако он любил окружать себя блестящими математиками и часто беседовал с Фурье, Монжем, Лапласом и многими другими учёными. Возможно, при этом полководец несколько разочаровывал своих генералов, которых интересовало уничтожение противника, а не построения с помощью циркуля и линейки. Рассказывают, что военачальники, присутствовавшие на встречах императора с интеллектуалами, часто засыпали от скуки. Также известно, что Наполеон повелел геометру Лоренцо Маскерони (1750-1800) читать своим маршалам лекции по геометрии.

         Приписываемая Наполеону теорема гласит, что если построить на сторонах произвольного треугольника равносторонние треугольники, то их центры определяют равносторонний треугольник. Понять эту красивую теорему, которая считается элементарной теоремой геометрии Евклида, поможет рисунок.

         Эта теорема, возможно, действительна была предложена в наполеоновскую эпоху, однако её доказательство, по мнению экспертов, принадлежит не Наполеону. Формулировки этой теоремы с доказательством встречаются у разных авторов, старейшее принадлежит Резерфорду и датируется 1825 годом. Наполеон умер на острове Святой Елены четырьмя годами ранее, так что авторство теоремы вряд ли при надлежит ему.

Для теоремы Наполеона в прошлом веке было предложено несколько обобщений: Адриано Барлотти доказал её уже не для равносторонних треугольников, а для правильных n-угольников.

Земли древнего Конго не вызывают особого интереса. Конго – одна из самых отстающих стран, где не прекращаются всевозможные племенные конфликты. Эта страна – родина народа бакуба, народа геометров, который известен благодаря своим симметричным узорам. Их можно видеть на поясах и лентах, на масках, платках, на барабанах и даже статуях вождей. Европейцы в начале XX века попытались включить бакуба в список «цивилизованных народов» и, по давнему обычаю, поднесли королю дар – мотоцикл, который был для бакуба настоящим чудом. Однако главное внимание народа привлёк не сам мотоцикл, а следы его шин. Бакуба скопировали эти узоры, оставленные протекторами, и король назвал их в свою честь. после такого впору задуматься: чем на самом деле измеряется ценность вещей?

Крайне редко бывает так, что простая домохозяйка в промежутках между варкой макарон и вышиванием демонстрирует всем, что её мозг работает не хуже, чем у знаменитого сыщика Эркюля Пуаро. Но именно это и произошло с уставшей от домашних дел калифорнийской домохозяйкой Марджори Райс (род.1923), которая всегда любила математику и головоломку. Сначала она помогала детям домашние задания по математике, а в конце концов даже специалистов заставила раскрыть рты от изумления. Как-то в руки Марджори попал номер журнала  Scientific American, в котором его знаменитый колумнист Мартин Гарднер (1914-2010)объяснял результаты, полученные Кершнером и касающиеся замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Марджори увлеклась этой задачей и в свободное время за два следующих года нашла четыре принципиально новых замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Одно из замощений называется «рыбы»: если изобразить в каждом пятиугольнике узор, то плоскость будет полностью покрыта рыбами, как на одной из знаменитых гравюр Маурица Корнелиса Эшера.

Это далеко не единственный случай, когда математик – любитель затмевал профессиональных учёных.

Как-то раз в 1684 году Эдмунд Галлей, архитектор сэр Кристофер Рен (1623-1723), автор проекта собора Святого Павла в Лондоне, и Роберт Гук (1635-1703), который первым стал использовать термин «клетка», вышли с собрания с Королевского общества, зашли в кафе и завели разговор о том, какую форму имеет траектория планеты, притягиваемой Солнцем с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра масс. Рен даже согласился выплатить денежную премию тому, кто решит эту задачу. Гук заявил, что траекторией планеты будет эллипс, но доказательства этому не привёл. Участники встречи разошлись по домам.

Вскоре Галлей пришёл к Ньютону и между делом поинтересовался, какую же форму будет иметь траектория планеты в этой задаче. «Эллипс», - незамедлительно ответил Ньютон. «Почему вы так уверены в этом?» - удивился Галлей. «Потому, что я это вычислил». Галлей наверняка подскочил от удивления – Ньютон не бросал слов на ветер. Однако он не смог найти доказательство среди бумаг и сделал вычисления повторно. Коротко изложим последующие события. Уступив уговорам Галлея, Ньютон записал свои расчёты, в которых применил закон обратных квадратов, и, слово за слово, через 18 месяцев на свет появились «Математические начала натуральной философии» - труд,  сыгравший основную роль в формировании нашей картины мира. В нём Ньютон описал закон всемирного тяготения, закон обратных квадратов, эллиптические орбиты планет, а также заложил основы математического анализа. Однако у Ньютона не было денег, чтобы оплатить публикацию, так что финансировать издание книги пришлось самому Галлею. Тем более что и родилась она отчасти благодаря его уговорам.

Галлей известен широкой публике тем, что рассчитал орбиту кометы, названной в его честь. Эта комета появляется на звёздном небе каждые 75-76 лет и видна невооружённым глазом. Учёный наблюдал комету в 1682 году и, применив результаты наблюдений, законы механики Ньютона и собственную интуицию, предположил, что именно её наблюдали Петер Апиан в 1531 году и Иоганн Кеплер в 1607 году. Если эта гипотеза верна, то, согласно расчётам Галлея, в следующий раз комета должна появиться на небе примерно в 1758 году. В 1628 году, Галлей, высказавший свою догадку, был уже немолод, а когда комета появилась в указанном месте точно в назначенное время, он был уже 16 лет как мёртв.

Комета Галлея последний раз наблюдалась 6—8 марта 2003 года. Следующее прохождение кометы Галлея ожидается 28 июля 2061 года, когда её расположение будет более удобным для наблюдения.

Однажды разложение функции в ряд спасло человеку жизнь. Советский физик и математик Игорь Тамм (1895-1971), удостоенный Нобелевской премии по физике в 1958 году, был не слишком известен в бурные годы Гражданской войны, которая последовала за Октябрьской революцией. Пытаясь немного пополнить запасы провизии, Тамм покинул сравнительно спокойную Одессу и отправился в её окрестности. Однако он попал в плен к одной из многочисленных вооружённых банд, и его посчитали переодетым коммунистическим агитатором. Дрожа от страха в ожидании расстрела, Тамм предстал перед главарём банды. Он представился и объяснил: я – всего лишь бедный математик, который ищет пропитание.

По лицу главаря пробежала тень сомнения. «Хорошо, - сказал он – если ты не соврал, то мы сохраним тебе жизнь. Подсчитай-ка, какой будет ошибка, если вместо функции f(x) мы рассмотрим её разложение в ряд Тейлора до n-го члена». Вопрос был не слишком трудным, и это подтвердит любой студент-математик, однако из уст бандита, пусть даже главаря банды, он прозвучал совершенно неожиданно. Тамм, трясясь от страха, сделал некоторые расчёты пальцем прямо на пыльном полу. Главарь взглянул на них и сказал: «Точно, не соврал. Что ж, иди». Больше они не встречались. Эта абсолютно реальная история приводится в заметках Георгия Гамова (1904-1968, советский и американский физик-теоретик, астрофизик и популяризатор науки).

Такие писатели, как Александр Солженицын (1918-2008) или Хорхе Луис Борхес (1899-1986), довольно неплохо разбирались в математике, однако они представляют собой скорее исключение, чем правило. Известен случай с Чарльзом Диккенсом (1812-1870), который в начале декабря отказался садиться в поезд. Он не имел ничего против железной дороги как таковой, однако в этот год число происшествий на ней было ниже обычного, и Диккенс ошибочно счёл, что до конца года должно произойти сразу несколько аварий, чтобы «скомпенсировать отставание от графика». Учёный отказался ехать, не подумав, что в том году по счастливой случайности могло произойти меньше аварий, чем в предыдущем.

Если бы Фёдор Михайлович Достоевский хорошо разбирался в теории вероятностей, он никогда не  стал бы игроманом, но и не написал бы роман «Игрок», а если бы голливудские сценаристы и режиссёры были знакомы с расчётами конструкций, то никогда не сняли бы фильм о Кинг-Конге. Так что лучше оставить всё как есть.

Ада Августа Байрон (1815-1852), позднее – графиня Лавлейс, более известная как Ада Лавлейс, стала привлекательным персонажем для исторических хроник.

Во – первых, она была дочерью блистательного лорда Байрона, поэта и писателя – романтика, с которым, однако, не поддерживала отношения.

Во – вторых, её семья была прекрасным примером неблагополучной семьи – родители Ады разошлись ещё до рождения дочери.

В – третьих, вопреки обычаям того времени, Аду обучали наукам – отчасти под влиянием матери, получившей математическое образование, отчасти для того, чтобы девочка не забивала себе голову отцовскими стихотворениями. В числе учителей Ады был блестящий математик Огастес де Морган.

В – четвёртых, Ада Лавлейс была прекрасным математиком. Результатом её дружбы с гениальным Чарльзом Бэббиджем стали важные открытия, удивительные для того времени. В ходе работы над механической вычислительной машиной Беббиджа, так называемой аналитической машиной, Ада Лавлейс создала первую в истории компьютерную программу, записанную на перфокартах. Хотя машина Бэббиджа была готова лишь частично, программа Ады работала на ней корректно.

В – пятых, Ада Лавлейс жила бурной жизнью: помимо науки, она испытывала безмерную страсть к лошадям и скачкам, она делала ставки,  завела роман с игроком и ей даже пришлось отдать семейные драгоценности в уплату его миллионных долгов.

Умерла Ада Лавлейс в возрасте 36 лет от рака матки. Её смерть была долгой и мучительной. Мать Ады искренне беспокоилась за судьбу дочери на том свете и считала, что искупление грехов вечными муками следует начать ещё при жизни, поэтому отказывалась давать ей морфин, веря, что невыносимые физические страдания очищают душу Ады и искупают её грехи, в том числе пристрастие к азартным играм.

Мать также попыталась «привести в порядок» бумаги дочери после её смерти, но Бэббидж, который был членом парламента и обладателем рыцарского звания, не допустил этого и сам распорядился всеми бумагами Ады Лавлейс и её завещанием.

В 1970-е годы в компании Honeywell Bull был создан язык программирования ADA, названный в честь Ады Лавлейс, который используется до сих пор. Что ж, заслуженная дань уважения графине и программисту.  

Крымская война вдохновила многих писателей, вызвала жаркие споры, ожесточённые парламентские дискуссии и даже была запечатлена на большом экране, к примеру, в фильме «Атака лёгкой кавалерии» (1936). Несмотря на все ужасы войны, в ней были и светлые страницы: британское правительство отправило на фронт женщину по имени Флоренс Найтингейл (1820-1910), которая стала главной медицинской сестрой. Леди со светильником, как прозвали её раненые   солдаты, воочию увидела грязь, антисанитарию и ужасную обстановку в военных госпиталях и начала достойную уважения борьбу за реформу здравоохранения. После войны её ожидало новое, намного более важное сражение на родине. Флоренс Найтингейл и на этот раз одержала победу, заручившись поддержкой королевы Виктории и премьер-министра лорда Палмерстона. Флоренс была женщиной, и общество неодобрительно относилось к её увлечению математикой, особенно статистикой. Однако Флоренс Найтингейл совершила подвиг и в этой сфере, став первой женщиной, избранной членом-корреспондентом Лондонского королевского общества. Знания статистики бывшая медсестра применила в здравоохранении. В своих работах она применила круговые диаграммы, которые были столь наглядны, что Флоренс удалось убедить современников в своей правоте, а в результате реформы здравоохранения выиграли все мы.

В честь Флоренс Найтингейл установлен памятник на Ватерлоо-Плейс. другой, нерукотворный памятник ей воздвигли раненые , которым она спасла жизнь.

В какой бы стране мира ни находился математик, если он увидит формулу, то сможет понять её. Хотя статьи печатаются на самых разных языках (большая часть работ публикуется на английском языке, за ним следует французский, русский и пиньинь), но даже в странах, находящихся за 10 тысяч километров друг от друга, используются одинаковые математические символы и сокращения. Равные величины всегда будут обозначаться знаком «=», а символ «ϵ» всегда означает «принадлежит к». Когда человек, знакомый с математикой, видит выражения, подобные

,

он понимает их, даже не зная, что эта формула описывает закон сохранения импульса в жидкости.

Математическая мысль следовала многими трудными путями, пока не обрела нынешнюю форму: теперь математики всего мира могут понять друг друга, так как используют общий математический язык. Воздадим дань уважения тем, кто, часто из соображений простоты, вводил универсальные знаки, как, например,

+, -, >, ±, ×, √, ∞, ∑, …,

и тем, кто соглашался использовать обозначения в своих работах. До появления этих символов и сокращений математика была чрезвычайно многословной и непонятной.

Авторы многих из этих знаков не слишком известны: так, например, скромный священник Уильям Отред (1574-1660) первым стал обозначать умножение знаком ×, ввёл сокращения sin и cos, а также изобрёл круговую логарифмическую линейку. За всю жизнь он написал один труд объёмом 88 страниц и в своё время считался математиком-любителем. В тот период эта наука, можно сказать, пребывала в нежном возрасте.

Когда же математика повзрослела? Один из ответов звучит так: когда было напечатано достаточно книг по математике, чтобы стало возможным определить универсальные обозначения. В 1857 году в Великобритании был учреждён комитет по унификации печатных книг, а также используемых при печати символов и сокращений. Много воды утекло с тех пор, и на свет появились новые разделы математики и математические теории, однако общие обозначения остались неизменными.

 Американский математик Джордж Бернард Данцинг (1914-2005) известен среди специалистов по линейному программированию как автор алгоритма, применяемого в решениях как симплекс-методом, который играет основную роль в дисциплине под названием исследование операций. Среди любителей анекдотов он известен тем, что принял за домашнюю работу задачи, являвшиеся темой серьёзных исследований.  В 1939 году одним из университетских преподавателей Данцинга стал известный польско-американский математик Ежи Нейман (1894-1981), который вёл курс статистики. Как-то раз Данцинг опоздал на занятия и попросил Неймана не стирать написанное на доске, так как не хотел терять нить рассуждений. Он обратил внимание на два выражения, которые посчитал домашним заданием, и переписал их к себе в тетрадь. Придя домой Данцинг принялся за домашнее задание, однако оно оказалось на удивление трудным. Студент потратил много времени и сдал работу с опозданием. «Оставь её в углу», - сказал Нейман, кивнув на стол, заваленный огромной кипой бумаг. Данцинг молча положил свою работу сверху.

Прошло несколько недель, и однажды в воскресенье Данцинг услышал звонок в дверь. Перед ним стоял взволнованный Нейман, державший в руках исписанные листы. «Быстро почитай всё, что здесь написано, - я намерен сегодня же передать это для публикации». Нейман держал в руках домашнюю работу Данцинга, изложенную в виде статьи и дополненную предисловием самого Неймана. Данцинг ошибочно принял за домашнюю работу две важные статистические гипотезы, которые до этого никому не удавалось доказать. Он не знал об этом и доказал их, посчитав гипотезы всего лишь непростыми задачами.