Главная / Математика / Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями

Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант №2

Задача №1


Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:


Вес упаковки

(гр.)

Менее

975

975-1000

1000-1025

1025-1050

Более

1050

Всего

Число упаковок

6

38

44

34

8

130


Найти:

А) границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии;

Б) вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине)

В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95.


Решение.


Находим выборочную среднюю hello_html_58b5544e.gif.


hello_html_m52f92cb9.gif


Примечание: В случае незамкнутых интервалов, они заменяются на интервалы той же длины, что и остальные интервалы выборки.


hello_html_52f01fdf.gif(962,5*6+987,5*38+1012,5*44+1037,5*34+1062,5*8)=1012,5


Находим выборочную дисперсию hello_html_m61b8002c.gif= 615,3846

Находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли:


hello_html_3aaad252.gif- для бесповторной выборки


Здесь wвыборочная доля деталей в выборке, вес которых меньше 1000 г.

hello_html_7f81e040.gif= 0,3385

Nобъем генеральной совокупности (в нашем случае – 2000)


hello_html_6976246a.gif


hello_html_m3a85aa16.gif0,04013


Находим доверительную вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине)

hello_html_56a806fb.gif

hello_html_m56a05e8.gif


Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии.


По таблицам значений функции Лапласа находим: Ф(t)=0,9901 hello_html_7c308b1c.gif2,58

Интервальные оценки для средней находятся по формулам:


hello_html_67b4d700.gif


hello_html_693e2a93.gif


hello_html_m47aac91f.gif


Получаем :

hello_html_m13748d07.gif hello_html_4126c110.gif=hello_html_6251ad01.gif


hello_html_m6a808ac6.gif

hello_html_134926b7.gif


hello_html_58a32585.gif


Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95.


Объем бесповторной выборки определяется по формуле:


hello_html_5d4e8eff.gifhello_html_m67ffedf2.gif


hello_html_m142c4ce7.gifhello_html_41701270.gif



Ответ:

А) границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии: hello_html_m679c8c01.gif


Б) вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине) равна 0,7887


В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95 равен 77.



Задача №2


Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:



Вес упаковки

(гр.)

Менее

975

975-1000

1000-1025

1025-1050

Более

1050

Всего

Число упаковок

6

38

44

34

8

130

Требуется используя критерий hello_html_7055c393.gif Пирсона при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – вес упаковок – распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.


Решение.

Используем данные, полученные в предыдущем задании:

hello_html_788d3d48.gif1012,5

hello_html_69225898.gif= 615,3846


Примечание: В принципе в качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений – 130 достаточно велико, то подойдет и “обычная” hello_html_69225898.gif.

Таким образом, теоретическое нормальное распределение имеет вид:


hello_html_6f0c18f1.gif


подставляем а = 1012,5 hello_html_1381e5bb.gif= 615,3846 hello_html_6ea1aaa.gif24,8069


hello_html_78d5d024.gif

Для расчета вероятностей pi попадания случайной величины в интервал [xi ; xi+1] используем функцию Лапласа:

hello_html_3400ebe8.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m69e22b92.gif

в нашем случае получаем:


hello_html_m4f36e00a.gif

hello_html_7cb6137c.gif

hello_html_776a70b3.gif

hello_html_m577fea7d.gif

hello_html_m70a9a7c7.gif


Примечание: Такие симметричные вероятности получились из-за того, что по нашим начальным условиям выборочная средняя попала точно в середину среднего интервала выборки.


Составим таблицу:


i

Интервал

[xi ; xi+1]

Эмпирические частоты

ni

Вероятности

pi

Теоретические частоты

npi


(ni-npi)2

hello_html_m57d73ae5.gif

1

Менее 975

6

0,0597

7,761

3,101

0,3996

2

975-1000

38

0,2431

31,603

40,922

1,2949

3

1000-1025

44

0,3829

49,777

33,374

0,6705

4

1025-1050

34

0,2431

31,603

5,746

0,1818

5

Более 1050

8

0,0597

7,761

0,057

0,0073

hello_html_m74945bb.gif


130

0,9885

128,5


hello_html_17d53fff.gif


Итого, значение статистики hello_html_17d53fff.gif.

Определим количество степеней свободы по формуле: hello_html_m6223adc5.gif.

m – число интервалов (m = 5)

r – число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2)

Т.е. k = 2.

Соответствующее критическое значение статистики hello_html_2d7367a5.gif

Поскольку hello_html_37e8dfd.gif, гипотеза о нормальном распределении с параметрами

N(1012,5; 615,3846) согласуется с опытными данными.

Ниже показана гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая.

hello_html_m3c04d02.png


Задача №3


Распределение 50 компаний по ежемесячным затратам на рекламу Х (тыс.руб) и объему выручки от продаж Y (млн.руб) представлено в таблице:

hello_html_m615846ee.gif

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние hello_html_68fb5ffd.gif и hello_html_m6e989bc7.gif и построить эмпирические линии регрессии.

2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний объем выручки от продаж при ежемесячных затратах на рекламу в размере 2,4 тыс.руб

Решение.

Находим групповые средние по формулам:

hello_html_m151aa58a.gif; hello_html_23abd758.gif;

hello_html_m36934cb.gif, hello_html_m7815e942.gif- середины соответствующих интервалов.

hello_html_m3e06d35f.gif= hello_html_134d25e5.gif

hello_html_3e64438f.gif=hello_html_2593371d.gif

Групповые средние:

hello_html_4a445438.gifhello_html_4e700001.gif

hello_html_m7ad0b9da.gifhello_html_m48eb0af0.gif

hello_html_8b3f565.gifhello_html_34ba11d9.gif

hello_html_3110797e.gifhello_html_m37c069ab.gif

hello_html_6c01d85c.gifhello_html_m6b5cce55.gif

hello_html_m18b9ac89.gif

Полученные по формулам значения заносим в таблицу:

hello_html_595b9520.gif

Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:


hello_html_m2b41d953.gif 2.1*6+2.3*10+2.5*16+2.7*11+2.9*7 =hello_html_567773eb.gif


hello_html_fac866f.gifhello_html_614b9e80.gifhello_html_m7b0aaf6f.gif hello_html_5f225032.gif


hello_html_335dd3d2.gif30*2+34*5+38*11+42*14+46*12+50*6 =hello_html_m2308e97f.gif

hello_html_5caacada.gifhello_html_5ce1e6a9.gifhello_html_m7b0aaf6f.gifhello_html_4f5ed8d7.gif


hello_html_m2fd3e686.gif= 5295,6


hello_html_m7ee82a74.gif

hello_html_196816bd.gif


hello_html_6c70687b.gif

hello_html_779edfe6.gif

hello_html_m2878c265.gif


hello_html_47caf539.gif

hello_html_m4d9696a7.gif

hello_html_4346e52e.gif

hello_html_m6a973322.gif

Получаем искомые уравнения регрессии:

hello_html_583a5ab4.gif

hello_html_m63423a8b.gif










Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией

hello_html_538494bb.png

hello_html_m5d4cdaff.png





Находим коэффициент корреляции hello_html_m5b584fe6.gif радикал берем со знаком + , т.к коэффициенты hello_html_m45864c6c.gif и hello_html_m23c1c98d.gif положительны.

hello_html_m615e0402.gif


Оценим значимость коэффициента корреляции.


hello_html_m1f16690d.gif



По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим


hello_html_m508d171.gif


Т.к. hello_html_69ed79ff.gif, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и прямая.


По найденному уравнению регрессии находим:


hello_html_m1dd1b878.gif млн.руб


Ответ: Групповые средние:

hello_html_4a445438.gifhello_html_4e700001.gif

hello_html_m7ad0b9da.gifhello_html_m48eb0af0.gif

hello_html_8b3f565.gifhello_html_34ba11d9.gif

hello_html_3110797e.gifhello_html_m37c069ab.gif

hello_html_6c01d85c.gifhello_html_m6b5cce55.gif

hello_html_m18b9ac89.gif

Уравнения регрессии:


hello_html_583a5ab4.gif


hello_html_m63423a8b.gif

Коэффициент корреляции:

hello_html_4de0584.gif

hello_html_m54d2293.gif



9


Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями
  • Математика
Описание:

Целью данной работы является практическое закрепление знаний о понятиях математической статистики.

 

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Автор Фадеева Наталья Олеговна
Дата добавления 20.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 787
Номер материала 8720
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓