Главная / Математика / Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями

Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант № 1


Задача №1


Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования приведены в таблице


Число патронов

(шт.)

Менее

200

200-300

300-400

400-500

500-600

600-700

Более

700

Всего

Число спортсменов (чел.)

4

20

57

65

31

15

8

200



Найти:


А) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена;


Б) вероятность того, что доля спортсменов, расходующих более 500 патронов, отличается от доли таких спортсменов в выборке не более чем 5% (по абсолютной величине)


В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа патронов можно гарантировать с вероятностью 0,9876.



Решение.

Находим выборочную среднюю hello_html_m529dd386.gif.


hello_html_m7d1cf339.gif

Примечание:

В случае незамкнутых интервалов, они заменяются на интервалы той же длины, что и остальные интервалы выборки.


hello_html_m66b29e48.gif(150*4+250*20+350*57+450*65+550*31+650*15+750*8)=438


Находим выборочную дисперсию hello_html_66de6931.gif= 16656


Находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли:


hello_html_3aaad252.gif- для бесповторной выборки


Здесь wвыборочная доля спортсменов в выборке, расходующих более 500 патронов.

hello_html_40c28029.gif= 0,27

Nобъем генеральной совокупности (в нашем случае – 4000)


hello_html_m5c500378.gif


hello_html_m3a85aa16.gif0,0306


Находим доверительную вероятность того, что доля спортсменов, расходующих более 500 патронов, отличается от доли таких спортсменов в выборке не более чем 5% (по абсолютной величине)


hello_html_56a806fb.gif


hello_html_7badbe94.gif


Найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена.


По таблицам значений функции Лапласа находим: Ф(t)=0,95 hello_html_7c308b1c.gif1,96

Интервальные оценки для средней находятся по формулам:


hello_html_67b4d700.gif


hello_html_693e2a93.gif


hello_html_m47aac91f.gif


Получаем :

hello_html_m13748d07.gifhello_html_m2368236d.gif=hello_html_m2ace70aa.gif


hello_html_m436afc14.gif

hello_html_57b6f60b.gif


hello_html_549c67ab.gif


Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа патронов можно гарантировать с вероятностью 0,9876.


Объем бесповторной выборки определяется по формуле:



hello_html_5d4e8eff.gif


hello_html_m201d4b2e.gif


hello_html_181e7e48.gif


hello_html_m36f36178.gif


Ответ:

А) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена: hello_html_549c67ab.gif



Б) вероятность того, что доля спортсменов, расходующих более 500 патронов, отличается от доли таких спортсменов в выборке не более чем 5% (по абсолютной величине) 0,8969


В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа патронов можно гарантировать с вероятностью 0,9876 равен 316.


Задача №2


Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования приведены в таблице


Число патронов

(шт.)

Менее

200

200-300

300-400

400-500

500-600

600-700

Более

700

Всего

Число спортсменов (чел.)

4

20

57

65

31

15

8

200





Требуется используя критерий hello_html_7055c393.gif Пирсона при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X– распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.


Решение.


Используем данные, полученные в предыдущем задании:

hello_html_788d3d48.gif438

hello_html_69225898.gif= 16656


Примечание:


В принципе в качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений – 200 достаточно велико, то подойдет и “обычная” hello_html_69225898.gif.

Таким образом, теоретическое нормальное распределение имеет вид:


hello_html_6f0c18f1.gif


подставляем а = 438 hello_html_1381e5bb.gif= 16656 hello_html_6ea1aaa.gif129,058



hello_html_22a24126.gif

Для расчета вероятностей pi попадания случайной величины в интервал [xi ; xi+1] используем функцию Лапласа:

hello_html_3400ebe8.gifhello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_1189f95c.gif

в нашем случае получаем:


hello_html_m3e5ca8da.gif

hello_html_3de94ff9.gif

hello_html_m1a1d8da7.gif

hello_html_624c998f.gif

hello_html_m11481e8b.gif

hello_html_m64f4b63f.gif

hello_html_23b41c89.gif


Составим таблицу:

i

Интервал

[xi ; xi+1]

Эмпирические частоты

ni

Вероятности

pi

Теоретические частоты

npi


(ni-npi)2

hello_html_m57d73ae5.gif

1

Менее 200

4

24

0,0284

5,68

27,56

12,6736

0,4999

2

200-300

20

0,1094

21,88

3

300-400

57

0,2436

48,72

68,5584

1,4072

4

400-500

65

0,2985

59,7

28,09

0,4705

5

500-600

31

0,2118

42,36

129,05

3,0465

6

600-700

15

0,0827

16,54

2,3716

0,1434

7

Более 700

8

0,0187

3,74

18,1476

4,8523

hello_html_m74945bb.gif


200

0,9931

198,62


hello_html_786c77ff.gif

Итого, значение статистикиhello_html_786c77ff.gif.

Определим количество степеней свободы по формуле: hello_html_m6223adc5.gif.

m – число интервалов (m = 6 – после объединения двух первых граф таблицы с частотой 4<5)

r – число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2)

Т.е. k = 3.

Соответствующее критическое значение статистики hello_html_m2d2e9b5b.gif

Поскольку hello_html_m54a73153.gif, гипотеза о нормальном распределении с параметрами

N(438; 129,058) не согласуется с опытными данными.

Ниже показана гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая.

hello_html_m4250ff34.png

Пояснение: Сопоставив гистограмму, график нормальной кривой и таблицу значений, видим, что наилучшее соответствие эмпирических данных нормальному распределению наблюдается на интервалах 200-300 и 600-700 патронов, что подтверждается таблицей. А вот на участке более 700 патронов отклонение очень большое – это видно из графика. Оно и оказало “фатальное” влияние на критерий согласия – это видно из таблицы.

Задача №3

В таблице представлено распределение 200 драгоценных изделий по количеству примесей в них Х(%) и стоимости Y (тыс. руб):


hello_html_m2cfd16b6.gif

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние hello_html_68fb5ffd.gif и hello_html_m6e989bc7.gif и построить эмпирические линии регрессии.

2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество примесей в драгоценном изделии, если его стоимость составляет 25 тыс. руб.

Решение.

Находим групповые средние по формулам:

hello_html_23c6f519.gif; hello_html_228c9dfe.gif;

hello_html_m36934cb.gif, hello_html_m7815e942.gif- середины соответствующих интервалов.

hello_html_m3e06d35f.gif= hello_html_m69286e56.gif

hello_html_3e64438f.gif=hello_html_m54da7dcb.gif

Групповые средние:

hello_html_m5bd721cd.gifhello_html_md0b5d5d.gif

hello_html_m66f7a7ac.gifhello_html_6b92def1.gif

hello_html_m6b50c428.gifhello_html_19fa6c5c.gif

hello_html_m7e501dd7.gifhello_html_3b4f34cb.gif

hello_html_3ae06a3.gifhello_html_3783578b.gif

hello_html_m29ec84ad.gifhello_html_m35ec3cc6.gif

hello_html_m6d91f4d2.gif

Полученные по формулам значения заносим в таблицу:

hello_html_m51249f83.gif Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:

hello_html_m5c934a6f.gif 25*9+35*19+45*44+55*70+65*34+75*16+85*8 = 10810

hello_html_7db2432d.gif hello_html_m5d9886.gif

hello_html_m2f7f3130.gif6*14+12*27+18*55+24*54+30*35+36*15 =hello_html_m567edaf0.gif

hello_html_7de8b81.gifhello_html_m2ec97362.gifhello_html_m7b0aaf6f.gifhello_html_5677d24.gif

hello_html_m10047142.gif= 215580

hello_html_m665203c4.gif

hello_html_m2e7a80ff.gif


hello_html_m793c7f80.gif

hello_html_527bf765.gif

hello_html_5b77ebab.gif


hello_html_m7a458ffd.gif

hello_html_m420e1bbf.gif

Уравнения прямых регрессии:

hello_html_m4bb2bc80.gif

hello_html_3ce71647.gif

Получаем искомые уравнения регрессии:

hello_html_m46c9117f.gif

hello_html_69b3fe74.gif

Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией

hello_html_7402fd25.png


hello_html_68b16716.png

Находим коэффициент корреляции hello_html_6c689c5.gif радикал берем со знаком - , т.к коэффициенты hello_html_m45864c6c.gif и hello_html_m23c1c98d.gif отрицательны.

hello_html_377d3878.gif


Оценим значимость коэффициента корреляции.


hello_html_m2157856a.gif

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим


hello_html_4636c235.gif

Т.к. hello_html_62f98ea2.gif, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и обратная.


По найденному уравнению регрессии находим:

hello_html_m5f4b212b.gif

Ответ: Групповые средние:

hello_html_m5bd721cd.gifhello_html_md0b5d5d.gif

hello_html_m66f7a7ac.gifhello_html_6b92def1.gif

hello_html_m6b50c428.gifhello_html_19fa6c5c.gif

hello_html_m7e501dd7.gifhello_html_3b4f34cb.gif

hello_html_3ae06a3.gifhello_html_3783578b.gif

hello_html_m29ec84ad.gifhello_html_m35ec3cc6.gif

hello_html_m6d91f4d2.gif

Уравнения регрессии:

hello_html_m46c9117f.gif

hello_html_69b3fe74.gif

Коэффициент корреляции:

hello_html_55582653.gif


hello_html_21db357d.gif


9


Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями
  • Математика
Описание:

Целью данной работы является практическое закрепление знаний о понятиях математической статистики.

 

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Автор Фадеева Наталья Олеговна
Дата добавления 20.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 561
Номер материала 8719
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓