Главная / Математика / Конспект занятия элективного курса по теме

Конспект занятия элективного курса по теме

Конспект урока-консультации по элективному курсу на тему «Теорема о делении с остатком»

Цели урока

  • образовательные:

-закрепить знания обучающихся о признаках делимости чисел;

-познакомить с теоремой о делении с остатком, со свойствами деления с остатком;

  • развивающие:

развивать вычислительные навыки обучающихся;

  • воспитательные:

-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;

-стимулирование обучающихся к самооценке образовательной деятельности;

-обучающиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;

Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку

Ход занятия

I .Организационный момент.

Учитель формулирует тему и цели занятия. Обучающиеся всего класса записывают число и тему урока в тетрадях.

II. Актуализация опорных знаний.

  1. Какие числа называются натуральными? Приведите пример.

  2. Какие числа называются целыми? Приведите пример.

  3. Какое число называют делителем натурального числа a?

  4. Какое число называют кратным натуральному числу a?

  5. Назовите все делители числа 56.

  6. Назовите все двухзначные числа, кратные числу 17.

III. Изучение нового материала.

Учитель знакомит обучающихся с определением делимости целых чисел; с теоремой о делении с остатком.

Определение. Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число k, такое, что a=bk.

Пример. –48 делится на 8, так как существует целое число –6, что -48=8*(-6).

Запись 0:0 не имеет числового значения, т.к. для всех целых b справедливо равенство 0=b*0 и потому 0:0 не определено однозначно.

Не имеет числового значения запись а:0, т.к. в этом случае нет ни одного целого числа с, что а = 0*с

Признаки делимости:

  1. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой

  2. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.

  3. Число делится на 4 (n-ую степень 2) тогда и только тогда, когда число, выраженное двумя ( n) последними цифрами, делится на 4 (n-ую степень 2).

  4. Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда на 3 (9) делится его сумма цифр.

  5. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность его цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

Теорема о делении с остатком

Основой применения понятия деления с остатком является следующая теорема:

Теорема о делении с остатком. Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r , таких, что a=bq + r , где q – целое, r – натуральное число или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; …; b – 1.

Пример. Найдем остаток, который получается при делении на 9 числа 286167.

Решение. Исходя из признака делимости числа на 9, остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления на 9 суммы его цифр. Сумма цифр данного числа равна 30 и при делении на 9 дает в остатке 3. Значит, 286167 = 9р + 3, где р – натуральное число.

Свойство деления с остатком

Числа a и b дают при делении на n равные остатки тогда и только тогда, когда разность a - b делится на n.

Пример 1. 204 и – 71 при делении на 5 дают равные остатки, так как 204 – (- 71)=275 , а 275 делится на 5.

Пример 2. Найдем остаток от деления числа 1763 на 14.

Решение. 17 ≡ 3 (mod 14). Тогда 1763≡363 (mod 14). Чтобы найти остаток от деления 363 на 14, воспользуемся тем, что 33≡ -1(mod 14). Значит, (33)21≡(-1)21 (mod 14). Но (-1)21= -1 и 1≡13 (mod 14). Тогда по свойству транзитивности

1763≡13 (mod 14), т.е. остаток от деления 1763 на 14 равен 13.

Ответ: 13.

Алгоритм Евклида

Пусть при делении а на b, получается остаток r, не равный нулю, т.е. a = bq + r, где 0<r<b. Отсюда r = a - bq . Из свойств делимости вытекает, что если числа а и b делятся на m, то число r также делится на m, а если числа b и r делятся на k , то и число а делится на k. Значит, множество общих натуральных делителей чисел a и b совпадает с множеством общих делителей чисел b и r, поэтому НОД(a, b) = НОД(b, r).

Пример. Найти НОД(527, 1984).

Решение. Разделим большее число на меньшее, а затем будем последовательно делить делитель на получившийся остаток, пока деление не будет выполнено на цело:

1984 527 527 403 403 124 124 31

1581 3 403 1 372 3 124 4

403 124 31 0

IV. Физкультминутка.

V. Закрепление изученного материала.

Класс делится на группы и в каждой группе выбирается консультант.

Каждой группе учащихся в конвертах даются задания. Консультант раздает каждому ученику по одной задаче и через 10 минут решения собираются и сдаются учителю. Затем продолжается обсуждение и решение в группе остальных упражнений.

Задания группам

1. Докажите, что сумма квадрата целого числа и самого числа есть число четное.

2. Докажите, что 1³ + 2³ +…+ 9³ не делится на 10.

3. Докажите, что если n не кратно ни 3, ни 2 и n > 3, то n² при делении на 24 дает остаток, равный 1.

4. Числа 2146, 1991 и 1805 дают равные остатки при делении на натуральное число n > 1. Найдите число n.

5. Найдите НОД всех шестизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений)

Проверка и обсуждения заданий

Готовые решения одного из пяти заданий записываются на доске каждой группой. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий.

VI. Итог занятия

Сформулируйте теорему о делении с остатком.

Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 11.

VII. Домашнее задание.

Стр. 22-26, № 3.8; № 3.24; №3.69.

Сборник задач по алгебре для 8-9 классов под ред. М.Л. Галицкого.


Конспект занятия элективного курса по теме
  • Математика
Описание:

Конспект урока-консультации по элективному курсу на тему «Теорема о делении с остатком»

Цели урока

        образовательные:

-закрепить знания обучающихся о признаках делимости чисел;

-познакомить с теоремой о делении с остатком, со свойствами деления с остатком;

         развивающие:

развивать вычислительные навыки обучающихся;

         воспитательные:

-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;

-стимулирование обучающихся к самооценке образовательной деятельности;

-обучающиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем. 

Автор Разинкова Наталия Сергеевна
Дата добавления 08.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1036
Номер материала 46888
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓