Конспект урока: "Делимость чисел".

Тема урока «Делимость чисел»

ПЛАН:

1. Организационный момент                                                                      

2. Математический диктант                                                                                    

3. Решение задач                                                                                          

4. Историческая справка  

5  Физкультминутка                                                                    

6. Домашнее задание                                                                                    

7. Подведение итогов уроков                                                                    

 

Образовательная: Обобщить и закрепить усвоенное учащимися понятия делителя, кратного, простого и составного чисел,  умения находить наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, применение признаков делимости и алгоритма Евклида, отработать навыки решения задач

 

Развивающая: Развить логическое мышление, внимательность, умение анализировать и сравнивать, умение применить на практике полученные ранее знания, самостоятельность,

 

Воспитательная: Познавательный интерес к предмету, умение внимательно выслушать мнение других, уважительно относится к ответам одноклассников, умение доводить до конца начатую работу, умение оценить свой труд и труд своих товарищей.

 

МЕТОД: Практический, словесный

 

ФОРМА: Индивидуальная, коллективная

 

ТИП: Урок решения задач.

 

 

ОБОРУДОВАНИЕ: 

·        Карточки с задачами

·        Карточки с домашними задачами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ХОД УРОКА

 

1. Организационный момент

Здравствуйте, садитесь. Сегодня на занятии мы  закрепим изученные понятия при помощи решения задач . Начнем урок с математического диктанта.. В конце урока домашнее задание.

 

2. ( двое учеников отвечают на вопросы за доской, остальные в тетради)

Вопросов в диктанте 10. Вам необходимо дать утвердительный или отрицательный ответ на прочитанные предложения. Математический диктант направлен на проверку ваших знаний по теме    « Делимость». Вопросы зачитываются по два раза.

 

Какие из следующих высказываний истинные:

1)    если а 7 и а  5, то а  35

2)    если а  10 и а 15, то а  150

3)    если а не делится на 3 и не делится на 5, то оно не делится на 15

4)    если число не делится на 7, то оно не делится на 175?

5)    Если произведение двух натуральных чисел делится на 5, то хотя бы  один из множителей делится на 5

6)    Если произведение двух натуральных чисел делится на 36, то хотя бы один из множителей делится на 36

7)    Если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то их произведение не делится на 11

8)     Если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 36, то их произведение не делится на 36

9)    Если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то хотя бы один множитель делится на 3 и хотя бы один из множителей четный

10)                       Если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то среди этих чисел есть четное число, делящиеся на 3?

 

ОТВ:

1), 3) ,4), 5), 7), 9)

 

 

После завершения задания, открываются доски и всем классом проверяют правильные ответы, причем вопросы зачитываются еще раз. Каждый выставляет для себя оценку по шкале: все правильно – «5»; две ошибки – «4»; четыре ошибки – «3», остальные «2»

 

3. Задачи решаются самостоятельно. Если возникает трудность при решении той или иной задачи, то она разбирается на доске. Задания отображаются на интерактивной доске( кодоскоп). Правильные ответы оглашаются после решения задачи большинством учеников.

 

ЗАДАНИЕ №1

Докажите, что натуральное число вида а³ + 1 делится на а +1

 

ОТВ: При доказательстве использовать формулу сокращенного умножения

а³ + 1 = ( а + 1) (а² + а + 1)

( а + 1) (а² + а + 1) делится на ( а + 1), следовательно а³ + 1 делится на а +1

 

ЗАДАНИЕ №2

Докажите, что натуральное число вида n² + 5n + 6 делится на n + 2

 

ОТВ: При доказательстве использовать формулу Виета или найти корни уравнения используя формулу дискриминанта.

n² + 5n + 6 = 0

D = 5² - 4·6 = 1

n ₁ =

n ₂ =

 

Корни данного квадратного уравнения равны – 3 и -2.

 

 n² + 5n + 6 = ( n + 3) ( n+2)

 ( n + 3) ( n+2) делится на ( n +2) так как входит в разложение

Тогда n² + 5n + 6 делится на n + 2

 

ЗАДАНИЕ №3

Докажите, что трехзначное число, записанное  тремя одинаковыми цифрами, делится на 37

ОТВ: При доказательстве необходимо вспомнить разложения числа на разряды и признак делимости на 37.

( n  10² + n  10 + n)  37

n ( 100 + 10 + 1)  37

n · 111 37

n · 37  3  37 так как входит в разложение

 

ЗАДАЧА № 4

Докажите, что если все слагаемые, кроме одного, делятся на b, а одно слагаемое не делится на b, то и сумма не делится на b

 

ОТВ: ( ab + bc+…+ n) = b ( a + c + …) + n = b ( a + c + …)  b

n = не  b

 

ЗАДАНИЕ №5

Докажите, что при любом натуральном n ,n > 1 число n⁴ + 4 является составным.

 

ОТВ: разложим сумму  n⁴ + 4 на множители:

n⁴ + 4 = n⁴ + 4 - 4n² - 4n² = (n² +2)² – (2n)² = (n² +2 + 2n) (n² +2 - 2n)

При n є N, n > 1 каждый из множителей должен является натуральным числом, большим 1. для первого множителя это очевидно. Что  бы доказать это для второго множителя выделим из трехчлена n² +2 - 2n квадрат двучлена:

n² +2 - 2n = (n² - 2n + 1 )+1 = (n – 1)² +1

Если n > 1, то (n – 1)² +1> 1

Тогда при n є N, n > 1 число n⁴ + 4 имеет два натуральных делителя боьших 1, то есть является составным числом.

 

ЗАДАНИЕ №6

Докажите, что если разность чисел а и b делится на m и m ≠ 0, то разность чисел ka  и bk делится на mk.

 

ОТВ:

( a – b)  m

(ka  - bk ) = k ( a – b)

Так как  ( a – b)  m , то к( a – b)  кm

 

ЗАДАНИЕ № 7

Заполните таблицу

a	1729	85
b	381
q
r		6

 

 

 ОТВ:

 Использовать теорему: Если  a и b – натуральные числа, такие что a ≥ b и b >1, то найдутся такие числа q и r из N₀ что a = bq + r, причем 0 ≤ r < q.

 

a	1729	85
b	381	79
q	4	1
r	205	6

 

 

ЗАДАНИЕ № 8

Докажите, что числа вида n³ -  n, где n – натуральное число делится на 6

 

ОТВ: (n³ -  n) = n(n²-1)=(n-1)n(n+1)

Так произведение двух последовательных натуральных чисел делится на 2, а произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 3. Так как (2,3)=1 → (n – 1) n ( n+ 1) = (n³ -  n)  6

 

ЗАДАНИЕ № 9.

Всегда ли число вида n⁴ -  n делится на 4? Всегда ли число вида n⁶ -  n делится на 6

 

ОТВ:  нет

2⁴ – 2 = 14 не делится на 4

2⁶ – 2 = 62 не делится на 6

 

ЗАДАЧА № 10

Может ли квадрат натурального числа при делении на 6 давать остаток 5?

 

ОТВ: Нет. При делении  на 6. как и на другое любое число. Квадрат числа дает тот же остаток. Что и квадрат его остатка.

 

ЗАДАНИЕ № 11

Какие из делителей числа 144 кратные числу 18?

 

ОТВ: 2, 24, 4, 72, 6, 36, 8, 18, 3, 48, 9, 16, 12

Кратные 18: 18, 36, 72

 

ЗАДАНИЕ № 12

Найдите общие делители чисел 180 и 240 и выделите наибольший делитель

 

ОТВ: D( 180; 240)= 60

 

ЗАДАНИЕ №13

Найдите К( 846: 246)

 

ОТВ: К( 846; 246) = 34686     К(а;b) = ab / D (а;b)       D (а;b)=6

 

ЗАДАЧА № 14

Туристы проехали за первый день 56 км, а за второй – 72 км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом километров в час и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи.

 

ОТВ: НОД ( 72 ; 56) = 8

 

ЗАДАЧА № 15

Туристы прошли в первый день 36 км, во второй – 32 км и в третий – 24 км, причем в каждый день они были в пути целое число часов. Сколько часов они были в пути каждый день из этих трех дней, если их скорость выражалась целым числом километров, была постоянной и наибольшей и удовлетворяющих условию задачи?

 

ОТВ: НОД ( 36; 32: 24) = 4

36 : 4 = 9

32 : 4 = 8

24 : 4 = 6 ( дней)

 

ЗАДАЧА № 16.

Сколько можно составить из цифр 2,3,4 и 5 четырехзначных чисел, делящихся на 11?

 

ОТВ:

Воспользоваться признаком делимости на 11.

 

ЗАДАЧА № 17.

Какое наибольшее количество разных простых делителей может иметь шестизначное натуральное число?

ОТВ: 7

Произведение первых семи простых чисел 2·3·5·7·11·13·17 = 510510 – шестизначное число; произведение 8 меньших простых чисел семизначно.

 

 

ЗАДАЧА №18.

Сколько среди натуральных чисел от 1 до 60 включительно таких которые:

1)    делятся на 3

2)    делятся на 3, и на 5

3)    делятся на 3, но не делятся на 5

 

ОТВ: применить признаки делимости

1)    20

2)    4

3)    16 = 20 – 4

 

ЗАДАНИЕ № 19

С помощью алгоритма Евклида найдите D ( 42628;33124) и D (7975; 2585)

 

ОТВ:

D (7975; 2585) = 55

D ( 42628;33124) = 4

 

ЗАДАНИЕ № 20

Среди следующих чисел найдите делящиеся на 11: 246915658 ; 371846205; 865914324015

 

ОТВ: 246915658

 2 + 6+ 1+6+8 =   23

4+9+5+5 = 23

23 – 23 = 0

 

ЗАДАНИЕ №21

Какое трехзначное число равно кубу цифр его единиц. А также квадрату числа, составленного из его второй и первой цифр?

 

ОТВ:

729

 

ЗАДАНИЕ № 22

Коля составил пятизначное число, используя цифры не менее 5, затем переставил те же цифры и получил новое число, сложил оба числа и получил 126847. Не ошибся ли он?

 

ОТВ: Ошибся. Сумма поразрядных сложений четна ( каждая цифра складывается два раза). А у Коли она нечетная: 17 + 13 + 17+ 15 + 11

 

ЗАДАНИЕ № 23.

Найдите все двузначные числа, которые делятся на произведение своих цифр.

 

ОТВ:

11, 22, 24, 36, 15. если число записано цифрами ab, то b кратно а и либо b = а , либо b = 2а , либо b = 5а

 

4.

Что мы знаем о числах.

 

Современные люди широко применяют в своей жизни числа. Вряд ли кто-нибудь сейчас вкладывает в числа сказочный или мифический смысл. Но так было не всегда. Для древних людей числа были элементами особого кода, с помощью которого описывался мир человека.

В наиболее древних текстах число «1»встречается крайне редко и означает не только первый элемент ряда в современном смысле, сколько целостность, единство. Число «1» приписывалось Богу и Космосу.

Число «2» лежало в основе противопоставлений ,с помощью которых в некоторых мифах описывался мир. Например, Небо и Земля, День и Ночь, Жизнь и Смерть.

Во многих древних  культурах числовой ряд открывало число «3»,часто означавшее абсолютное совершенство. Достаточно вспомнить знаменитую икону Андрея Рублева «Троица». Число «3» очень  часто встречается в русских народных сказках.

Число «4» широко использовалось в мифах о сотворении Вселенной  и ориентации в ней : четыре стороны света , четыре времени года.

Число «7» считалось магическим и характеризовало общую идею Вселенной .До нас эта идея дошла в семи цветах спектра, семи тонах музыки. Интересно отметить, что наша память особенно хорошо удерживает лишь до семи разных впечатлений или предметов. При большей нагрузке ошибки в запоминании резко возрастают.

Наверное, поэтому число «7» очень часто встречается  в пословицах и поговорках.

«7» считается счастливым числом. ( 7 слоников на счастье )

В любых древних культурах одно из наиболее употребляемых чисел-«12». Оно оставило яркий след в нашей современной культуре. Вспомним 12 месяцев, 12 часов. Число «12» ,как и «7» , тоже считается счастливым.

Ему противостоит «несчастливое число» «13». Это число называют «чертова дюжина». Многие суеверные люди и сейчас боятся или остерегаются этого числа . В Англии на улицах пропускают номер «13» для обозначения номеров домов. Даже моряки стараются 13-го числа не выходить в море.

Нам кажется удивительным ,что число «10» практически не встречается в мифах , но зато  в современной системе счисления оно играет центральную роль (счет десятками).

Некоторые мыслители древности старались представить поэзию и искусство в виде своего рода математики. Сторонники Пифагора вслед за своим учителем считали, что сущность красоты кроется во внутренних числовых отношениях. Интересно и удивительно, что современная наука, например физика элементарных частиц . не может обойтись без новейших разделов математики. Кажется загадочным, что именно математика так хорошо описывает окружающий нас мир. Без глубокого знания математики, мифического происхождения чисел, трудно разобраться в искусстве, поэзии, литературе.

Загадочная семерка

Семь чудес света. Семь дней недели. Семь цветов радуги. Семь недель поста. Семь смертных грехов…Француз дает самую сильную клятву : «Крепко, как семь». Счастливый чувствует себя на седьмом небе. Герои сказок надевают семимильные сапоги и сражаются с драконом о семи головах.

Названия сказок «Волк и семеро козлят»(русская); «семь козьих голов» (албанская).

Пословицы: «Семь раз отмерь, один раз отрежь»; «Семь бед- один ответ»; «Семеро одного не ждут»; «Семь пятниц на неделе».

Число «7» буквально пронизывает всю историю культуры народов Земли .

Зародился культ числа «7» в Древнем Вавилоне. Наблюдая небо, древние астрономы насчитывали 7 планет: Солнце, Луну, Меркурий, Венеру , Марс, Юпитер, Сатурн.

Числа 2,3,5,7,11 – простые числа, а 4,6,8,9 – составные. Всякое составное число есть произведение простых. Поэтому простые числа можно назвать первоначальными числами.

Древнегреческий ученый Эратосфен, живший несколько позднее Евклида, предложил свой способ для составления таблицы простых чисел. Этот  способ носит название «решето Эратосфена». В чем он заключается? Найдем ,например, все простые числа от 1 до 20. для этого выпишем все простые числа от 1 до 20 в ряд: далее будем вычеркивать числа, которые не являются  простыми. В первую очередь вычеркнем число 1, та как это не простое число. Первое просто число 2. подчеркнем его и вычеркнем все числа, кратные 2, т. е. числа 4,6, … 20. Следующие простое число 3. подчеркнем его и вычеркнем  все числа, кратные 3 ( которые остались не вычеркнутыми) и т.д. так мы «высеем» все интересующие нас простые числа: 2,3,5,7,11,13,17,19.

Большие заслуги в области изучения простых чисел принадлежат русским и советским математикам. П. Л. Чебышев ( 1821 – 1894) доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и  числом, вдвое больше данного ( например, 2 и 4, 3 и 6, 10 и 20 и т. д.) всегда имеется хотя бы одно простое число.

И. М. Виноградов ( 1891 – 1983) установил, что любое достаточно большое нечетное число  можно представить в виде суммы трех простых чисел, например:

7 = 2+ 2+ 3

9 = 3+3+3 = 2+2+5

15 = 3+5+7 = 5+5 +5

 

 

5. ЗАДАНИЕ №1

Докажите, что четырехзначное число, у которого цифра тысяч равна цифре сотен, а цифра десятков – цифре единиц, делится на 11.

 

ОТВ:

(n· 10³ +  n· 10² + m·10 + m) = (n( 1000 + 100) +m (10 + 1)) = ( 1100n + 11m) = (11(100n+ m)) = 100n+ m

 

ЗАДАНИЕ №2

Известно, что произведение двух чисел делится на b. Следует ли отсюда, что каждый множитель делится на b?

 

ОТВ: нет

( 2·3) 6 , но 2 не  6 и 3 не  6

 

ЗАДАНИЕ №3

Известно, что разность чисел a и b делится на m, ровно как и разность чисел b и c. Следует , ли отсюда, что разность чисел а и с делится на m?

 

ОТВ: да

а – с =  ( а – b) + ( b – с )

 

ЗАДАНИЕ №4

Известно, что числа а и b делятся на m, а разность а – b этих чисел делится на с. Следует ли отсюда, что число а/m – b/m делятся на с?

 

ОТВ: нет. Контрпример:

а = 18

b = 12

m = 3

с = 6

 

ЗАДАНИЕ №5

Доказать что 1589²-1 – составное число.

 

ОТВ:

Квадрат нечетного числа нечетное число. При вычитании 1 получаем четное число, а значит это число имеет как минимум 3 делителя:1,2 и само число. Следовательно число составное

ЗАДАНИЕ№6

Найдите К( 1960; 588)

 

ОТВ: К( 1960; 588) = 5880

 

К(а;b) = ab / D (а;b)       D (а;b) = 196

 

ЗАДАНИЕ № 7

 

 

Заполните таблицу

a		5611
b	18
q	411	701
r	7	3

 

 

 ОТВ: Использовать теорему: Если  a и b – натуральные числа, такие что a ≥ b и b >1, то найдутся такие числа q и r из N₀ что a = bq + r, причем 0 ≤ r < q.

 

a	7405	5611
b	18	8
q	411	701
r	7	3

 

 

ЗАДАНИЕ №8

С помощью алгоритма Евклида найдите D ( 71004; 154452)

 

ОТВ: D ( 71004; 154452) = 732

 

6.

Какие из чисел 18, 35, 70, 102, 504 и 6930 делятся:

1)    на 5, но не делятся на 2 

2)    на 2 и на 5

3)    на 2, но не делятся на 5

4)    на 5 и на 10

5)    на 5, но не делятся на 10

6)    на 10, но не делятся на 5

7)    на 3 и на 9

8)    на 3, но не делятся на 9

9)    на 9, но не делятся на 3

 

ОТВ:

1)    35

2)    70 и 6930

3)    18, 102, 504

4)    70 и 6930

5)    35

6)    Таких чисел нет, так как 5 – делитель числа 10

7)    18, 504 и 6930

8)    102

9)    Таких чисел нет, так как 3 – делитель числа 9, то оно делится на 3