Решение показательных уравнений.
Цель: познакомить учащихся с основными методами решения показательных уравнений; учить применять свойства показательной функции при решении показательных уравнений, познакомить с однородными показательными уравнениями и методом их решения.
1.Устный счёт.
Вычислить: =0,4; = ; = ; = 8;
=2; = 27; = 3; = .
Представьте в виде степени:
16 125.
2.Объяснение нового материала.
Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.
Современные обозначения степени с натуральным показателем ввел в XVII веке Декарт. Первым систематически стал использовать рациональный показатель Ньютон. Немецкий математик М. Штиффель (1487 – 1567) дал определение = 1, при ≠0 и ввёл название «показатель» (буквенный перевод с нем. Exponent).
Показательная функция и показательные уравнения находят важнейшее применение при изучении природных и общественных явлений.
m = −радиоактивный распад (изменение количества вещества в зависимости от t)
Уран-238 =4,5 млрд. лет
Земля – 5-7 млрд. лет. В наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества.
− период полураспада.
Определение: показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени.
Учащиеся работают на заранее подготовленных бланках, заполняют таблицу, записывают решения уравнений.
Основные виды показательных уравнений
=b
(>0, ≠ 1)
Если b>0, то представьте b как , запишите уравнение в виде = и решите уравнение = с.
= 0,5
Если b≤0, то уравнение корней не имеет.
= −1
=
(>0, ≠ 1)
Решите уравнение
= .
=
=
(>0, ≠ 1),
(>0, ≠ 1),
Разделите обе части уравнения на :
= 1
=
Решите уравнение
= 0.
=
Основные методы решения показательных уравнений
Идея решения: сведение данного уравнения к одному или нескольким уравнениям основных видов.
Методы решения:
Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми основаниями
2.Решите уравнение вида: =.
+3−1,5=2,5
+3−4=0
=−4
=1
3.Запишите ответ.
Ответ: −4; 1.
Ответ: 2.
Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми показателями
=
=
2.Решите уравнение вида:
=.
= 1
=
1−0,5=0
3.Запишите ответ.
Ответ: 2.
Ответ: 1,5.
Метод замены переменной в показательных уравнениях
31∙∙2−8=0 16∙−62∙−8=0
2.Приведите все степени к одному основанию.
16∙−62∙−8=0
3.Сделайте замену переменной.
Замена: =
16∙−62∙−8=0
4.Решите полученное уравнение.
8−31=0
=4; =−
5.Сделайте обратную замену и решите уравнение =b
1)=4; =2
2)=− ; корней нет.
6.Запишите ответ.
Ответ: 2.
Ответ: 0.
Типовое задание.
−−
−=1
Ответ: 2.
Ответ: 1.
Однородное показательное уравнение.
Однородными показательными уравнениями называются уравнения, которые можно привести к виду:
A+B+C=0 или
А+B+C+D и т.д.
В эти уравнения степени входят с двумя различными основаниями, но с одинаковыми показателями степеней всех входящих в них одночленов.
Метод решения: деление уравнения на одну из наивысших степеней и замена переменной.
4∙−13∙∙+9∙=0 4∙−13∙∙+9∙=0
2.Разделите уравнение на одну из наивысших степеней.
Разделим уравнение на >0 :
4∙− 13∙+9=0
3.Сделайте замену переменной.
Замена:
4.Решите полученное уравнение.
4−13+9=0
=1; =
5.Сделайте обратную замену и решите простейшее показательное уравнение.
1) =1; =0
2) = ; =−2
6.Запишите ответ.
Ответ: −2; 0.
Ответ: −3.
Типовое задание.
Решите уравнение:
3∙+37∙−269∙=0.
Самостоятельная работа.
Обязательная часть. Решить уравнения:
- Дополнительная часть:
+16=10∙
+=3
−=0.
Итоги урока. Домашнее задание.
Учебник Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень)11 класс, А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов, §12,разобрать решения примеров 4,5,6.
Задачник Алгебра и начала математического анализа(профильный уровень)11 класс под редакцией А.Г.Мордковича, решить примеры №12.4(в,г), 12.6(в,г), 12.7(в,г), 12.11(в,г),12.14(в,г).
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.