Главная / Математика / Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе "Решение показательных уравнений"

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе "Решение показательных уравнений"

Решение показательных уравнений.

Цель: познакомить учащихся с основными методами решения показательных уравнений; учить применять свойства показательной функции при решении показательных уравнений, познакомить с однородными показательными уравнениями и методом их решения.

1.Устный счёт.

  1. Вычислить: hello_html_m5e6c2d5c.gif =0,4; hello_html_4e4019fa.gif= hello_html_3b7b3c70.gif; hello_html_36ec983b.gif= hello_html_m4aae006e.gif; hello_html_m1f2660a2.gif= 8;

hello_html_m54caf618.gif=2; hello_html_241e8f00.gif= 27; hello_html_m12a562f0.gif= 3; hello_html_m3106e56b.gif= hello_html_m5da0c93a.gif.

  1. Представьте в виде степени:

16hello_html_39f1b7ec.gif hello_html_302b099f.gif 125hello_html_1e398b2a.gif.

2.Объяснение нового материала.

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.

Современные обозначения степени с натуральным показателем ввел в XVII веке Декарт. Первым систематически стал использовать рациональный показатель Ньютон. Немецкий математик М. Штиффель (1487 – 1567) дал определение hello_html_m10adeab4.gif = 1, при hello_html_m8f522f9.gif≠0 и ввёл название «показатель» (буквенный перевод с нем. Exponent).

Показательная функция и показательные уравнения находят важнейшее применение при изучении природных и общественных явлений.

m =hello_html_m2de6fb05.gif −радиоактивный распад (изменение количества вещества в зависимости от t)

Уран-238 hello_html_36740258.gif=4,5 млрд. лет

Земля – 5-7 млрд. лет. В наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества.

hello_html_36740258.gifпериод полураспада.

Определение: показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени.

Учащиеся работают на заранее подготовленных бланках, заполняют таблицу, записывают решения уравнений.

Основные виды показательных уравнений

Вид уравнения

Схема решения

Пример





hello_html_5f293d82.gif=b

(hello_html_m8f522f9.gif>0, hello_html_m8f522f9.gif 1)

Если b>0, то представьте b как hello_html_2bdc1db8.gif, запишите уравнение в виде hello_html_5f293d82.gif=hello_html_2bdc1db8.gif и решите уравнение hello_html_mb93dfec.gif= с.





hello_html_m4cfd3429.gif= 0,5

Если b≤0, то уравнение корней не имеет.



hello_html_m2e0bfba6.gif= −1



hello_html_5f293d82.gif=hello_html_m78481987.gif

(hello_html_m8f522f9.gif>0, hello_html_m8f522f9.gif 1)



Решите уравнение

hello_html_mb93dfec.gif= hello_html_758f3af0.gif.



hello_html_67f9d469.gif=hello_html_m3f1e2ba9.gif



hello_html_5f293d82.gif=hello_html_42665e75.gif

(hello_html_m8f522f9.gif>0, hello_html_m8f522f9.gif≠ 1),

(hello_html_58847f7b.gif>0, hello_html_58847f7b.gif≠ 1),

hello_html_547527f.gif






Разделите обе части уравнения на hello_html_42665e75.gif:

hello_html_m6edc9806.gif= 1

hello_html_m6edc9806.gif=hello_html_5f78b8c0.gif

Решите уравнение

hello_html_mb93dfec.gif= 0.



hello_html_3ab43e37.gif= hello_html_4778f9e9.gif

Основные методы решения показательных уравнений

Идея решения: сведение данного уравнения к одному или нескольким уравнениям основных видов.

Методы решения:

  • Представление обеих частей уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

  • Представление обеих частей уравнения в виде степеней с одинаковыми показателями;

  • Замена переменной.



Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми основаниями

Этапы решения

Примеры


hello_html_m14885010.gif=9hello_html_5909bbae.gif

hello_html_4ac71886.gifhello_html_m341a6a2d.gif=30

1.Представьте обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием, используя свойства степеней или вынесение общего множителя за скобки.

hello_html_m14885010.gif=hello_html_m71c7d0d1.gif


2.Решите уравнение вида:

hello_html_5f293d82.gif=hello_html_m78481987.gif.


hello_html_7a2a5240.gif+3hello_html_m4f3a936b.gif−1,5=2,5

hello_html_7a2a5240.gif+3hello_html_m4f3a936b.gif4=0

hello_html_570f113e.gif=−4

hello_html_2b92f0a8.gif=1


3.Запишите ответ.

Ответ: −4; 1.

Ответ: 2.

Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми показателями

Этапы решения

Примеры


hello_html_333acda4.gif=hello_html_m56156577.gif

hello_html_m181e9a.gif=hello_html_m1121f6b3.gif

1. Представьте обе части уравнения в виде степени с одинаковым показателем.



hello_html_333acda4.gif=hello_html_6e3955f6.gif

hello_html_333acda4.gif=hello_html_m67168738.gif



2.Решите уравнение вида:

hello_html_5f293d82.gif=hello_html_42665e75.gif.


hello_html_4069896c.gif= 1

hello_html_4069896c.gif=hello_html_m16966e42.gif

1−0,5hello_html_m4f3a936b.gif=0

hello_html_m14b55a82.gif


3.Запишите ответ.

Ответ: 2.

Ответ: 1,5.

Метод замены переменной в показательных уравнениях

Этапы решения

Примеры


hello_html_m5aabfeed.gif31∙hello_html_30d37326.gif−8=0

hello_html_m1571d450.gif26∙hello_html_737cca99.gif3=0

1.Избавьтесь от числовых слагаемых в показателях степеней (если они есть и не совпадают).

hello_html_m26882c3c.gifhello_html_m1c62c102.gif31∙hello_html_m7185206b.gif∙2−8=0

16hello_html_m26882c3c.gif−62∙hello_html_m7185206b.gif−8=0


2.Приведите все степени к одному основанию.

16∙hello_html_me3858b8.gif62∙hello_html_m7185206b.gif−8=0


3.Сделайте замену переменной.

Замена: hello_html_68d59393.gif =hello_html_m7185206b.gif

16∙hello_html_1f84427b.gif−62∙hello_html_68d59393.gif8=0


4.Решите полученное уравнение.

8hello_html_1f84427b.gif31hello_html_36c42eea.gif=0

hello_html_32a10105.gif=4; hello_html_4e3ce093.gif=− hello_html_m6e3ecaf7.gif


5.Сделайте обратную замену и решите уравнение hello_html_5f293d82.gif=b


1)hello_html_m7185206b.gif=4; hello_html_m4f3a936b.gif=2

2)hello_html_m7185206b.gif=− hello_html_m6e3ecaf7.gif; корней нет.


6.Запишите ответ.

Ответ: 2.

Ответ: 0.

Типовое задание.

hello_html_4ac71886.gifhello_html_3fea8884.gifhello_html_m7185206b.gif

hello_html_m7185206b.gifhello_html_37ea60a2.gif=1


Ответ: 2.

Ответ: 1.

Однородное показательное уравнение.

Однородными показательными уравнениями называются уравнения, которые можно привести к виду:

Ahello_html_726bc9c6.gif+Bhello_html_3449f81a.gif+Chello_html_m251183d5.gif=0 или

Аhello_html_m35723f90.gif+Bhello_html_7a1ef3ff.gif+Chello_html_d543f72.gif+Dhello_html_m6264fd99.gif и т.д.

В эти уравнения степени входят с двумя различными основаниями, но с одинаковыми показателями степеней всех входящих в них одночленов.

Метод решения: деление уравнения на одну из наивысших степеней и замена переменной.

Этапы решения

Примеры


hello_html_971ea1c.gif13∙hello_html_m163edae0.gif+hello_html_md494cde.gif=0

hello_html_ma378a25.gif19∙hello_html_m163edae0.gifhello_html_m59c0b46b.gif=0

1.Приведите все степени к двум основаниям и проверьте, является ли данное уравнение однородным.

4∙hello_html_m26882c3c.gif13∙hello_html_m7185206b.gifhello_html_m5ebc6180.gif+9∙hello_html_m23eed73f.gif=0

4∙hello_html_me3858b8.gif13∙hello_html_m7185206b.gifhello_html_m5ebc6180.gif+9∙hello_html_4e42dccd.gif=0


2.Разделите уравнение на одну из наивысших степеней.

Разделим уравнение на hello_html_4e42dccd.gif>0 :

4∙hello_html_5fe13d27.gif− 13∙hello_html_7142594f.gif+9=0


3.Сделайте замену переменной.

Замена: hello_html_231ed35f.gif


4.Решите полученное уравнение.

4hello_html_1f84427b.gif13hello_html_68d59393.gif+9=0

hello_html_32a10105.gif=1; hello_html_4e3ce093.gif= hello_html_m20ed8655.gif


5.Сделайте обратную замену и решите простейшее показательное уравнение.

1) hello_html_7142594f.gif=1; hello_html_m4f3a936b.gif=0

2) hello_html_7142594f.gif= hello_html_m20ed8655.gif; hello_html_m4f3a936b.gif=−2


6.Запишите ответ.

Ответ: −2; 0.

Ответ: −3.

Типовое задание.

Решите уравнение:

3∙hello_html_m3b9db002.gif+37∙hello_html_m5eb79571.gif−269∙hello_html_632d7a9d.gif=0.

Самостоятельная работа.

Обязательная часть. Решить уравнения:

Вариант 1

Вариант 2

1.hello_html_m26882c3c.gif=64

1.hello_html_74443ea6.gif=343

2.hello_html_m337d39db.gif=hello_html_1311c114.gif

2.hello_html_m43bf05ac.gif= hello_html_108c721c.gif

3.hello_html_2300f7e2.gif=hello_html_m6363c54a.gif

3.hello_html_166e6359.gif=hello_html_m48e9b53d.gif

4.hello_html_eec2a4.gif=4hello_html_39f1b7ec.gif

4.hello_html_59a54bfb.gifhello_html_5909bbae.gif= hello_html_m59fe56ba.gif

5.2∙hello_html_737cca99.gifhello_html_m5ebc6180.gif=15

5.hello_html_m5ebc6180.gifhello_html_931613.gif=−78

6.hello_html_m5eb79571.gif4∙hello_html_m163edae0.gif12=0

6.hello_html_m20b82c6b.gif8∙hello_html_74443ea6.gif+7=0

7.3∙hello_html_m26882c3c.gif+2∙hello_html_m23eed73f.gif=5∙hello_html_m163edae0.gif

7.2∙hello_html_m7000b6f8.gif−5∙hello_html_m7fb5940a.gif+2∙hello_html_m26882c3c.gif=0

Дополнительная часть:

hello_html_m3c6a276c.gif+16=10∙hello_html_42df550b.gif



hello_html_m51ca3832.gif+hello_html_m455865fa.gif=3



hello_html_m22eca79f.gifhello_html_4c034c6.gif=0.

Итоги урока. Домашнее задание.

  1. Учебник Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень)11 класс, А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов, §12,разобрать решения примеров 4,5,6.

  2. Задачник Алгебра и начала математического анализа(профильный уровень)11 класс под редакцией А.Г.Мордковича, решить примеры №12.4(в,г), 12.6(в,г), 12.7(в,г), 12.11(в,г),12.14(в,г).

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе "Решение показательных уравнений"
  • Математика
Описание:

Урок «Решение показательных уравнений» в 11 классе рассчитан на 2 академических часа. Используемый учебник «Алгебра и начала математического анализа»11 класс (профильный уровень), авторы А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов; задачник «Алгебра и начала математического анализа» 11 класс (профильный уровень), авторы А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Л.И.Звавич, Т.А.Корешкова, Т.Н.Мишустина, А.Р.Рязановский, П.В.Семёнов. В разработке приведены основные виды показательных уравнений и методы их решения. Учащиеся работают самостоятельно: знакомятся с теорией, разбирают алгоритмы решения показательных уравнений разных видов, затем решают подобные задания по образцу, соблюдая все этапы решения, чётко следуя инструкции. Заканчивается урок самостоятельной работой, в которую включены основные виды показательных уравнений. Сильным ученикам предлагаются дополнительные задания.

Автор Щепина Оксана Ивановна
Дата добавления 08.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 942
Номер материала 42994
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓