Конспект урока математики по теме "Решение задач на прямолинейное движение"

Весенняя городская математическая школа

«МАТ-РЕШКА»

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение текстовых задач при подготовке к экзаменам

 

ЗАДАЧИ НА ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МБОУ «Гимназия №5»

г. Норильск

2015

ЗАДАЧИ НА ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Решение задач

Задача 1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 57 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля,

тогда (x - 16) км/ч – скорость второго автомобиля на первой половине пути.

Так как расстояние между пунктами одинаково и не задано, примем его за S

Составим таблицу

		Скорость(v), км/ч	Время(t), ч	Расстояние(s), км
Первый автомобиль		x		S
Второй автомобиль	Первая половина пути	x-16
	Первая половина пути	96

Зная, что автомобилисты прибыли в пункт назначения одновременно, составим и решим уравнение:

     

 ,        

192(x - 16)=96x+x(x-16)

192x – 3072=96x +x²– 16x

x²-112x+3072=0

D=256

;

Оба корня квадратного уравнения входят в область допустимых значений, то есть являются корнями дробно – рационального уравнения.

 

В условии данной задачи сказано, что скорость первого автомобиля больше 57 км/ч, таким образом, скорость первого автомобиля 64 км/ч

Ответ: 64 км/ч - скорость первого автомобиля

 

            Задача 2. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого велосипедиста равна (x + 3) км/ч.

Заполним таблицу.

	Скорость(v), км/ч	Время(t), ч	Расстояние(s), км
велосипедист	x+3		88
автомобилист	x		88

Второй велосипедист был в пути на 3 часа больше, чем первый, отсюда имеем:

   

88(x+3-x)=3x(x+3)   :3

x₁ = 8,   x₂ = - 11

x = -11 – не удовлетворяет условию задачи, значит, x=8

Ответ: 8 км/ч – скорость второго велосипедиста.

 

            Задача 3.Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – скорость велосипедиста,

тогда скорость автомобилиста равна (x + 40) км/ч. Заполним таблицу.

	Скорость(v), км/ч	Время(t), ч	Расстояние(s), км
велосипедист	x		75
автомобилист	x+40		75

Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

    

25(x+40-x)=2x(x+40)    :2

x₁ = 10,   x₂ = - 50

  -50 – не удовлетворяет условию задачи, значит, x=10

Ответ: 10 км/ч скорость велосипедиста.

Задача 4. Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 70 км/ч и 80 км/ч?

Решение:

Пусть x ч – время движения автомобилей до встречи,  

Заполним таблицу.

	Скорость(v), км/ч	Время(t), ч	Расстояние(s), км
Первый автомобиль	70	x	70x
Второй автомобиль	80	x	80x

Зная, что расстояние, пройденное автомобилями равно 320 км, имеем:

70 x + 80 x = 300

150 x = 300

x = 2

Ответ: через 2 часа автомобили встретятся.

Задача 5. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 310 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

 Пусть x км/ч – скорость движения автомобиля, выехавшего из города А.

Заполним таблицу.

	Скорость(v), км/ч	Время(t), ч	Расстояние(s), км
Автомобиль, который выехал из А.	x	2	310-170=140
Второй автомобиль	170:2	2	170

Зная, что время движения автомобилей до встречи равно 2 ч, имеем:

2x=140

x=70

Ответ: 70 км/ч – скорость движения автомобиля, выехавшего из города А.

Задача 6.Товарный поезд каждую минуту проезжает на 900 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

В этой задаче единицы измерения не согласованы. Переведём 900 м/мин в км/ч

Пусть x км/ч – скорость товарного поезда,

тогда (x+54)км/ч – скорость скорого поезда.

Заполним таблицу.

	Скорость(v), км/ч	Время(t), ч	Расстояние(s), км
Товарный поезд	x		180
Скорый поезд	x+54		180

Зная, что товарный поезд на весь путь тратит на 3 часа больше, чем скорый, имеем:

+3=  

180x+3x(x+54)=180(x+54)   :3

x₁ = 36,   x₂ = - 90

  -90 – не удовлетворяет условию задачи, значит, x=36

Ответ: 36 км/ч – скорость товарного поезда.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Автомобилисты

            1.1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

            1.2. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 57 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

            1.3. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 6 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 56 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 30 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

            1.4. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

            1.5. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

2. Велосипедист туда и обратно

2.1.             Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

2.2.             Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 80 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

2.3.             Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 108 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

2.4.             Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 63 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

2.5.             Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

3. Забег двух велосипедистов

3.1.            Два велосипедиста одновременно отправились в 154-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

3.2.            Два велосипедиста одновременно отправились в 195-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

3.3.            Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

3.4.            Два велосипедиста одновременно отправились в 165-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

3.5.            Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

 4. Автомобилист и велосипедист

4.1.            Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 110 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5,5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

4.2.            Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 70 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3,5 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

4.3.            Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

4.4.            Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3 часа 20 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

4.5.            Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 30 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час 20 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

5. Простые задачи на время, через которое встреча произойдёт

5.1.             Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 70 км/ч и 80 км/ч?

5.2.            Из двух городов, расстояние между которыми равно 280 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

5.3.            Из двух городов, расстояние между которыми равно 260 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 55 км/ч и 75 км/ч?

5.4.            Из двух городов, расстояние между которыми равно 360 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 50 км/ч и 70 км/ч?

5.5.            Из двух городов, расстояние между которыми равно 250 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 60 км/ч и 65 км/ч?

6.      Простые задачи, найти скорость одного из автомобилей

6.1.            Из городов A и B, расстояние между которыми равно 310 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

6.2.            Из городов A и B, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

6.3.            Из городов A и B, расстояние между которыми равно 240 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 130 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

6.4.            Из городов A и B, расстояние между которыми равно 340 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

6.5.            Из городов A и B, расстояние между которыми равно 290 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

7. Движение навстречу, найти место встречи

7.1.            Расстояние между городами A и B равно 660 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

7.2.            Расстояние между городами A и B равно 250 км. Из города A в город B со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 85 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

7.3.            Расстояние между городами A и B равно 520 км. Из города A в город B со скоростью 85 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

7.4.            Расстояние между городами A и B равно 510 км. Из города A в город B со скоростью 70 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

7.5.            Расстояние между городами A и B равно 430 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

8. Движение навстречу, найти скорость одного из автомобилей

8.1.              Расстояние между городами A и B равно 270 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 200 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

8.2.              Расстояние между городами A и B равно 750 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 390 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

8.3.              Расстояние между городами A и B равно 440 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 200 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

8.4.              Расстояние между городами A и B равно 540 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 300 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

8.5.              Расстояние между городами A и B равно 480 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 300 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

9. Мотоциклист и велосипедист

9.1.            Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 10 часов раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 55 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

9.2.            Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

9.3.            Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 8 часов раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 1 час 40 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

9.4.            Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 2 часа 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

9.5.            Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 1 час 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

10. Товарный и скорый поезда

10.1.            Товарный поезд каждую минуту проезжает на 900 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

10.2.            Товарный поезд каждую минуту проезжает на 400 метров меньше, чем скорый, и на путь в 270 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

10.3.            Товарный поезд каждую минуту проезжает на 450 метров меньше, чем скорый, и на путь в 240 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

10.4.            Товарный поезд каждую минуту проезжает на 400 метров меньше, чем скорый, и на путь в 210 км тратит времени на 1 час больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

10.5.            Товарный поезд каждую минуту проезжает на 200 метров меньше, чем скорый, и на путь в 360 км тратит времени на 1 час больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

11. Два пешехода по аллее парка

11.1.  Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 475 метрам?

11.2.            Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

11.3.            Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 425 метрам?

11.4.            Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 150 метрам?

11.5.            Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 375 метрам?

Ответы к задачам для самостоятельного решения

 

1.1.  52 1.2. 64 1.3. 48 1.4. 56 1.5. 36

2.1. 7 2.2. 10 2.3. 9 2.4. 7 2.5. 7

3.1. 11 3.2. 13 3.3. 10 3.4. 15 3.5. 8

4.1. 10 4.2. 10 4.3. 10 4.4. 10 4.5. 15

5.1. 2 5.2. 2 5.3. 2 5.4. 3 5.5. 2

6.1. 70 6.2. 75 6.3. 55 6.4. 80 6.5. 60

 

7.1. 300 7.2. 165 7.3. 340 7.4. 350 7.5. 370

8.1. 50 8.2. 65 8.3. 50 8.4. 50 8.5. 50

9.1. 11 9.2. 3 9.3. 10 9.4. 9 9.5. 14

10.1. 36 10.2. 60 10.3. 45 10.4. 60 10.5. 60

11.1. 19 11.2. 36 11.3. 51 11.4. 9 11.5. 15

Удачи!

 

 

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ (КОЛЬЦЕВОЙ ТРАССЕ)

  Справочный материал

1. Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным, при этом пройденный путь определяется по формуле:

S = v  t,

где S - расстояние, пройденное телом; v-скорость движения тела; t – время движения тела.

Отсюда,  v =   и  t = .

2.      Все величины (расстояние, скорость, время) считаются положительными:S > 0; v > 0; t > 0.

3.   Указанные величины должны быть в одной системе единиц.

 

 

4.      Если два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v₁ и v₂ соответственно (v₁ > v₂ соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2-му со скоростью v₁ – v₂.

В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на один круг больше.

В момент, когда 1-й велосипедист во второй раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на два круга больше и т.д.

 

Решение задач

Задача 1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?

Пусть автомобили различаются по цвету. Зеленый автомобиль имеет большую скорость, поэтому, изначально вырвавшись вперед, должен обойти соперника ровно на 1 круг, чтобы догнать его на трассе.

Первый способ (алгебраический)

 Пусть х ч – время встречи

Зная, что один круг равен 15 км, составим и решим уравнение:

80х – 60х=15

20х=15

х=0,75

Значит, первый автомобиль будет опережать второй через 0,75 ч или 45 минут

Ответ. 45 мин

Второй способ (арифметический).

1) 80 – 60 = 20 (км/ч) скорость вдогонку. С этой скоростью 2-й автомобиль должен преодолеть расстояние в 1 круг (15 км).

2) 15:20 = (ч) = 45 (мин).

Ответ: 45 мин.

Задача 2.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Сколько кругов проехал каждый мотоциклист нам не важно. Важно, что синий проехал до точки встречи на половину круга больше, т.е. на 7 км.

Пусть х км/ч – скорость одного мотоциклиста, а t ч – время первой встречи.

 

Зная, что разница в пройденном пути равна 7км, составим и решим уравнение:

t(x+21) – tx=7

tx + 21t – tx = 7

21t = 7

t=

Значит,  мотоциклисты встретятся первый раз, через  часа или 20 минут.

Ответ. 20 мин.

Задача 3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

1 встреча.

Велосипедист был до 1 встречи 40 мин (2/3 ч), мотоциклист 10 мин (1/6ч). А расстояние за это время они проехали равное.

Пусть х км/ч – скорость мотоциклиста, а у км/ч – скорость велосипедиста.

 

Зная, что расстояния равны, составим 1-е уравнение:

2 встреча.

Велосипедист и мотоциклист были в пути до 2-й встречи 30 мин (1/2 ч).

 

Зная, что мотоциклист проехал на один круг больше, составим 2-е уравнение:

Получим систему уравнений:

       Û       Û     Û 

Значит, скорость мотоциклиста 80 км/ч.

Ответ. 80 км/ч

Задача 4. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

В первый раз минутной стрелке надо пройти на  круга больше, чтобы догнать минутную стрелку.

Во 2-й раз – еще на 1 круг больше.

В 3-й раз – еще на 1 круг больше.

В 4-й раз – еще на 1 круг больше.

Пусть х ч- время за которое стрелки сделают один оборот.

Зная, что всего минутной стрелке надо пройти на  круга больше, чем часовой стрелке, составим и решим уравнение.

=

х=1

          Значит, стрелки сделают один оборот за 1 час, а 4 оборота за 4 часа или 240 минут.

Ответ. 240 мин

Второй способ

Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L  делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

 L/1=(L+8+36):12;

12L=L+44;

L=4.

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам. 

Ответ. 240 мин

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.                 Два мотоцикли­ста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально про­тивоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколь­ко минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

2.                 Два мотоциклиста старту­ют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мото­циклисты поравняются в первый раз, ес­ли скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

3.                  Два мотоциклиста старту­ют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мото­циклисты поравняются в первый раз, ес­ли скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого?

4.                 Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и че­рез 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дай­те в км/ч.

5.                 Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одно­временно в одном направлении стартова­ли два автомобиля. Скорость первого ав­томобиля равна 101 км/ч, и через 20 ми­нут после старта он опережал второй ав­томобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

6.                 Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одно­временно в одном направлении стартова­ли два автомобиля. Скорость первого ав­томобиля равна 112 км/ч, и через 48 ми­нут после старта он опережал второй ав­томобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

7.                 Из пункта A кру­говой трассы выехал велосипедист, а че­рез 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после от­правления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трас­сы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

8.                 Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мото­циклист. Через 8 минут после отправле­ния он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого до­гнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

9.                  Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мото­циклист. Через 2 минуты после отправле­ния он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого до­гнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

10.              Часы со стрелка­ми показывают 8 часов 30 минут. Через сколько минут минутная стрелка в чет­вертый раз поравняется с часовой?

11.              Часы со стрелками показы­вают 4 часа 45 минут. Через сколько ми­нут минутная стрелка в седьмой раз по­равняется с часовой?

12.             Часы со стрелками показы­вают 6 часов 40 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз по­равняется с часовой?

Ответы к задачам для самостоятельного решения

1.                  20.          2. 33.       3.  30.

4.                  59.          5. 65.        6.  57.

7.                  80.         8. 60.         9.  120.

9.                 240.      11.  435.    12.  320.

 

 

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО ВОДЕ

  Справочный материал

При решении задач на движение по воде используются те же принципы что и при решении задач на прямолинейное движение, добавляется лишь небольшое условие. Необходимо учитывать скорость течения реки. Скорость судна определяется следующим образом:

Если плыть по течению реки, то к скорости судна в неподвижной воде необходимо прибавить скорость течения.

V_{по теч.} = V_соб. +V_теч.

Если плыть против течения, то от скорости судна в неподвижной воде необходимо отнять скорость течения.

V_{пр. теч.} = V_соб. - V_теч.

 

Решение задач

Задача 1. Моторная лодка прошла против течения реки 224 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – собственная скорость лодки.

	V, км/ч	t, ч	S,  км
По теч.	х + 1	2 ч	224
Пр. теч.	х - 1		224

Зная, что на путь по течению реки лодка затратила на 2 часа меньше, чем против течения,  имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

                     

                       х=15

х = - 15  – не удов-ет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Значит, 15 км/ч – собственная скорость лодки.

Ответ: 15 км/ч.

 

Задача 2. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 112 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 6 часов мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

            Решение:

Пусть x км/ч –  скорость течения реки.

 

	V, км/ч	t, ч	S,  км
По теч.	11+ х	6 ч	112
Пр. теч.	11 - х		112

 

Зная, что на путь по течению реки лодка затратила на 6 часов меньше, чем против течения, имеем:

– не удов-ет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Значит, 3 км/ч –  скорость течения реки

Ответ: 3 км/ч.

 

Задача 3. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 247 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

            Решение:

Пусть x км/ч –  скорость течения реки.

	V, км/ч	t, ч	S,  км
По теч.	16+х	39 ч	247
Пр. теч.	16-х		247
Стоянка		7

Зная, что теплоход был в пути 39 – 7 = 32 часа, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                          х=3

 х= -3   – не удовл-ет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Значит, 3км/ч –  скорость течения реки.

Ответ: 3км/ч.

 

Задача 4. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

            Решение:

Пусть x км/ч –  скорость баржи на пути из A в B.

	V, км/ч	одинаковое   t, ч		S,  км
Из А в В	х			390
Из В в А	х+3			390
Остановка		9

Зная, что баржа затратила на обратный путь с остановкой столько же времени, сколько на путь из A в B, имеем:

                               +9 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х₂=-13  – не удовл-ет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Значит, 10 км/ч –  скорость баржи на пути из A в B

Ответ: 10км/ч.

 

Задача 5.Моторная лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте «В» 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – собственная скорость лодки.

	V, км/ч	t, ч	S,  км
По теч.	х+1	19-9 =10	15
Пр. теч.	х - 1		15
Стоянка		2

Составляем уравнение:

+2+=10 

-8 +=0  |·

15(х-1) - 8(х+1)(х-1) + 15(х+1) = 0

 - 8х² +30х +8 = 0 |:2

 4х² -15х - 4 = 0

        

 – не удовл-ет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Значит, 4 км/ч – собственная скорость лодки

Ответ: 4км/ч.

 

Задача 6. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 120 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через час вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот про­шел 24 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – собственная скорость яхты.

		V, км/ч	t, ч	S,  км
Яхта	По теч.	х+2		120
	Пр. теч.	х - 2	1ч	120
Плот		2	24:2=12	24

Зная, что  плоту по­на­до­би­лось на час боль­ше вре­ме­ни, чтобы прой­ти 24 км, чем яхте из А в В и обратно,  имеем:

     

  – не удовл-ет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Значит, 22 км/ч – собственная скорость яхты.

Ответ:22км/ч.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.              Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.                              

2.              Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.       

3.             Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 99 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.   

4.              Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 63 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

5.             Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 459 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

6.             Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.  

7.             Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

8.             Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 225 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.  

9.             При­ста­ни A и B рас­по­ло­же­ны на озере, рас­сто­я­ние между ними 270 км. Баржа от­пра­ви­лась с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из A в B. На сле­ду­ю­щий день после при­бы­тия она от­пра­ви­лась об­рат­но со ско­ро­стью на 1 км/ч боль­ше преж­ней, сде­лав по пути оста­нов­ку на 3 часа. В ре­зуль­та­те она за­тра­ти­ла на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B. Най­ди­те ско­рость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

10.         При­ста­ни A и B рас­по­ло­же­ны на озере, рас­сто­я­ние между ними 390 км. Баржа от­пра­ви­лась с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из A в B. На сле­ду­ю­щий день после при­бы­тия она от­пра­ви­лась об­рат­но со ско­ро­стью на 3 км/ч боль­ше преж­ней, сде­лав по пути оста­нов­ку на 9 часов. В ре­зуль­та­те она за­тра­ти­ла на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B. Най­ди­те ско­рость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч. 

11.         Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани А в 9:00 утра, теплоход проплыл с постоянной скоростью до пристани В. После двухчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 20:00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км-ч. Ответ дайте в км-ч.

12.         Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте «В» 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч

13.         Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми A и B равно 105 км. Из A в B по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 1 час вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A. К этому вре­ме­ни плот про­шел 40 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.  

14.         Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми A и B равно 198 км. Из A в B по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 3 часа вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A. К этому вре­ме­ни плот про­шел 46 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.   

 

Ответы к задачам для самостоятельного решения

 

1.       11	2.     16	3.       1	4.       1	5.        5
6.       5	7.     24	8.      16	9.       9	10.     10
11.    12	12.   11	13.    24	14.    20