Главная / Математика / Конспект урока математики по теме "Решение задач на движение по окружности"

Конспект урока математики по теме "Решение задач на движение по окружности"

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ (КОЛЬЦЕВОЙ ТРАССЕ)


Справочный материал

1. Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным, при этом пройденный путь определяется по формуле:

S = v hello_html_m328d0486.gif t,

где S - расстояние, пройденное телом; v-скорость движения тела; t – время движения тела.

Отсюда, v = hello_html_3d71ced9.gif и t = hello_html_m129a5939.gif.

  1. Все величины (расстояние, скорость, время) считаются положительными:S > 0; v > 0; t > 0.

  2. Указанные величины должны быть в одной системе единиц.

Расстояние

Скорость

Время

км

км/ч

ч

м

м/с

с

м

м/мин

мин



  1. Если два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v1 > v2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2-му со скоростью v1v2.

В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на один круг больше.

В момент, когда 1-й велосипедист во второй раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на два круга больше и т.д.


Решение задач


Задача 1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?

Пусть автомобили различаются по цвету. Зеленый автомобиль имеет большую скорость, поэтому, изначально вырвавшись вперед, должен обойти соперника ровно на 1 круг, чтобы догнать его на трассе.

Первый способ (алгебраический)

Пусть х ч – время встречи

hello_html_m2e7e711b.png

Зная, что один круг равен 15 км, составим и решим уравнение:

80х – 60х=15

20х=15

х=0,75

Значит, первый автомобиль будет опережать второй через 0,75 ч или 45 минут

Ответ. 45 мин

Второй способ (арифметический).

1) 80 – 60 = 20 (км/ч) скорость вдогонку. С этой скоростью 2-й автомобиль должен преодолеть расстояние в 1 круг (15 км).

2) 15:20 = hello_html_1df96215.gif(ч) = 45 (мин).

Ответ: 45 мин.

Задача 2.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Сколько кругов проехал каждый мотоциклист нам не важно. Важно, что синий проехал до точки встречи на половину круга больше, т.е. на 7 км.

Пусть х км/ч – скорость одного мотоциклиста, а t ч – время первой встречи.

hello_html_m2476ed8e.png


Зная, что разница в пройденном пути равна 7км, составим и решим уравнение:

t(x+21) – tx=7

tx + 21t – tx = 7

21t = 7

t= hello_html_m41f0b77f.gif

Значит, мотоциклисты встретятся первый раз, через hello_html_m41f0b77f.gif часа или 20 минут.

Ответ. 20 мин.

Задача 3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

1 встреча.

Велосипедист был до 1 встречи 40 мин (2/3 ч), мотоциклист 10 мин (1/6ч). А расстояние за это время они проехали равное.

Пусть х км/ч – скорость мотоциклиста, а у км/ч – скорость велосипедиста.

hello_html_mca50751.pnghello_html_m62c55093.gif


Зная, что расстояния равны, составим 1-е уравнение: hello_html_4b43d937.gif

2 встреча.

Велосипедист и мотоциклист были в пути до 2-й встречи 30 мин (1/2 ч).

hello_html_19afabf5.png


Зная, что мотоциклист проехал на один круг больше, составим 2-е уравнение: hello_html_4517b81e.gif

Получим систему уравнений:

hello_html_m723a40db.gif hello_html_ma15b44d.gif hello_html_54ef05a5.gif hello_html_2da45d88.gif

Значит, скорость мотоциклиста 80 км/ч.

Ответ. 80 км/ч

Задача 4. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Вhello_html_7c0a218.png первый раз минутной стрелке надо пройти на hello_html_m6de610d3.gif круга больше, чтобы догнать минутную стрелку.

Во 2-й раз – еще на 1 круг больше.

В 3-й раз – еще на 1 круг больше.

В 4-й раз – еще на 1 круг больше.












Пусть х ч- время за которое стрелки сделают один оборот.

hello_html_mf915e8a.png

Зная, что всего минутной стрелке надо пройти на hello_html_287fc93b.gif круга больше, чем часовой стрелке, составим и решим уравнение.

hello_html_m4eb43398.gif

hello_html_m73d7639e.gif=hello_html_6da34bdd.gif

х=1

Значит, стрелки сделают один оборот за 1 час, а 4 оборота за 4 часа или 240 минут.

Ответ. 240 мин

Второй способ

Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L  делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

 L/1=(L+8+36):12;

12L=L+44;

L=4.

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам. 

Ответ. 240 мин



Задачи для самостоятельного решения

  1. Два мотоцикли­ста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально про­тивоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколь­ко минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

  2. Два мотоциклиста старту­ют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мото­циклисты поравняются в первый раз, ес­ли скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

  3. Два мотоциклиста старту­ют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мото­циклисты поравняются в первый раз, ес­ли скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого?

  4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и че­рез 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дай­те в км/ч.

  5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одно­временно в одном направлении стартова­ли два автомобиля. Скорость первого ав­томобиля равна 101 км/ч, и через 20 ми­нут после старта он опережал второй ав­томобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

  6. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одно­временно в одном направлении стартова­ли два автомобиля. Скорость первого ав­томобиля равна 112 км/ч, и через 48 ми­нут после старта он опережал второй ав­томобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

  7. Из пункта A кру­говой трассы выехал велосипедист, а че­рез 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после от­правления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трас­сы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

  8. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мото­циклист. Через 8 минут после отправле­ния он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого до­гнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

  9. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мото­циклист. Через 2 минуты после отправле­ния он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого до­гнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

  10. Часы со стрелка­ми показывают 8 часов 30 минут. Через сколько минут минутная стрелка в чет­вертый раз поравняется с часовой?

  11. Часы со стрелками показы­вают 4 часа 45 минут. Через сколько ми­нут минутная стрелка в седьмой раз по­равняется с часовой?

  12. Часы со стрелками показы­вают 6 часов 40 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз по­равняется с часовой?

Ответы

  1. 20. 2. 33. 3. 30.

  1. 59. 5. 65. 6. 57.

  1. 80. 8. 60. 9. 120.

  1. 240. 11. 435. 12. 320.



Конспект урока математики по теме "Решение задач на движение по окружности"
  • Математика
Описание:

 

Цель: развитие навыков решения текстовых задач в рамках подготовки к итоговой аттестации выпускников.

 

Задачи:  систематизация текстовых задач;формирование вычислительных и формально-оперативных умений для использования их при решении задач различного направления;развитие навыков применения аппарата уравнений как основного средства математического моделирования прикладных задач;

 

формирование устойчивой положительной мотивации к изучению  математики.

Прикладная направленность обеспечивается систематическим обращением к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению прикладных задач.

Автор Чернова Светлана Евгеньевна
Дата добавления 14.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 2571
Номер материала 59657
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓