Главная / Математика / Конспект на тему "Площадь криволинейной трапеции".

Конспект на тему "Площадь криволинейной трапеции".

Конспект

Площадь криволинейной трапеции.

 

1. Вычисление площадей плоских фигур

Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной: сверху линией http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0001MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0001M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, снизу линией http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0002MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0002M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, слева и

справа прямыми http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0003MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0003M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif соответственно (рис. 13.1).

 

 

Рис. 13.1.

 

Решение поставленной задачи сводится к вычислению площади заштрихованной фигуры на рисунке 13.1. Очевидно, эта площадь равна разности площадей http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0004MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0004M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif двух криволинейных трапеций http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0005MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0005M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, каждая из которых вычисляется по известной (занятие 12) формуле: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0006MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0006M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0007MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0007M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Поэтому искомая площадь равна разности этих интегралов:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0008MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0008M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.  (219)

 

 

По аналогии, для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной справа линией http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0009MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0009M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, слева линией http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0010MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0010M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, снизу прямой http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0011MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0011M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, сверху прямой http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0012MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0012M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif (рис. 13.2) получим:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0013MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0013M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

 

Рис. 13.2.

 

Пример 1. Требуется найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0014MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0014M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Решение. Строим графики заданных линий (рис. 13.3). Искомая площадь S равна площади криволинейной трапеции ОАВС, которая по определению (занятие 12) равна определенному интегралу:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0015MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0015M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

Здесь http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0016MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0016M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

Отсюда находим:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0017MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0017M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

 

Рис. 13.3.

 

Пример 2. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0018MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0018M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

Решение. Строим графики заданных линий (рис. 13.4).

По формуле (219) искомая площадь равна:

 

 http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0019MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0019M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, где  http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0020MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0020M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0021MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0021M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 




                   

Рис. 13.4.

 

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0022MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0022M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Решение. Строим графики функций http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0023MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0023M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif (рис. 13.5).

Найдем абсциссы точек пересечения линий http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0024MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0024M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. Для этого необходимо решить систему уравнений: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0025MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0025M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

Имеем: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0026MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0026M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. Искомая площадь равна площади заштрихованной плоской фигуры (рис.13.5).

По формуле (219) искомая площадь равна:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0027MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0027M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

 

Рис. 13.5

 

Здесь   http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0028MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0028M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif; слева и справа искомая фигура ограничена соответственно прямыми http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0029MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0029M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Отсюда находим:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0030MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0030M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной эллипсом

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0031MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0031M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif (220)

 

Решение. Построим график функции, заданной уравнением (220). Найдем точки пересечения эллипса с осями координат:

при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0032MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0032M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif; при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0033MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0033M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

Уравнение эллипса задается функциями:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0034MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0034M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

В силу симметрии эллипса относительно осей координат достаточно найти площадь ее четвертой (заштрихованной) части.

 

 

Рис. 13.6.

 

Имеем:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0035MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0035M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0036MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0036M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

Таким образом, площадь эллипса равна

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0037MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0037M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif (221)

 

Пример 5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0038MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0038M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Решение. Находим точки пересечения параболы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0039MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0039M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif с осями координат:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0040MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0040M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

Вершина параболы

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0041MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0041M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif лежит на оси Oy: В (0; –4) (рис. 13.7).

 

 

Рис. 13.7.

 

Искомая площадь – площадь фигуры АВС, заштрихованная на рисунке, сверху ограничена прямой http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0042MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0042M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, снизу линией http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0043MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0043M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, слева прямой http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0044MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0044M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, справа прямой http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0045MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0045M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Отсюда по формуле (219) имеем:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0046MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0046M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

Задача 2. Вычисление объема тел по площадям перпендикулярных сечений.

 

Пусть замкнутое тело Т (рис. 13.8) ограничено слева плоскостью http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0047MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0047M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, справа – http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0048MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0048M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. Пусть для любого http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0049MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0049M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif задается площадь http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0050MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0050M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif сечения, перпендикулярного оси Ox.

 

 

Рис. 13.8.

 

Требуется найти объем V тела Т.

Отыскание объема V тела проведем по вышеизложенной схеме построения интегральной суммы. Разобьем отрезок http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0051MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0051M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif точками http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0052MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0052M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif произвольных частей. В каждой части возьмем по произвольной точке http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0053MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0053M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif; найдем площадь http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0054MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0054M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif перпендикулярного сечения. Объем http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0055MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0055M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif части http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0056MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0056M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif тела http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0057MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0057M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, ограниченного плоскостями http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0058MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0058M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif,  приближенно заменим объемом цилиндра с площадью основания http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0059MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0059M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif и высотой http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0060MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0060M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. Аналогично поступая со всеми частями тела http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0061MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0061M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, получим:

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0062MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0062M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (222)

 

Точное выражение объема V тела Т получим предельным переходом в равенстве (222) при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0063MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0063M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0064MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0064M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (223)

 

По определению определенного интеграла равенство (223) переписывается так:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0065MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0065M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (224)

 

Рассмотрим частный случай, когда тело Т получено вращением криволинейной трапеции http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0066MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0066M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif (рис. 13.9) вокруг оси Ox .

В этом частном случае площадь перпендикулярного сечения равна площади круга, радиус которого равен ординате линии http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0067MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0067M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0068MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0068M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

 

Рис. 13.9.

 

По формуле (224) имеем:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0069MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0069M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (225)

 

Пример 6. Вычислить объем трехосного эллипсоида (рис. 13.10).

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0070MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0070M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (226)

 

Фиксируем x в уравнении (226). Найдем уравнение полученной линии:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0071MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0071M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif или http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0072MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0072M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif (227)

 

           

Рис. 13.10

 

Уравнение (227) в плоскости декартовых координат Oyz является уравнением эллипса, площадь которого по формуле (221) равна произведению http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0073MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0073M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif на длины полуосей эллипса (227):

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0074MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0074M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

Следовательно, площадь Q(х) перпендикулярного к оси Ох сечения равна

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0075MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0075M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

Так как объем V тела по площадям Q(x) перпендикулярного к оси Ох сечения определяется по формуле http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0076MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0076M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, то с учетом симметрии трехосного эллипсоида получим:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0077MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0077M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

или

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0078MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0078M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif (228)

 

Отсюда, в частности, легко найти объем шара, для которого http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0079MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0079M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0080MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0080M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (229)

 

Пример 7. Вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0081MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0081M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0082MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0082M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif вокруг оси Ox.

Решение. Строим графики линий http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0083MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0083M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0084MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0084M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif (рис. 13.11); находим абсциссы их точек пересечения, решив систему уравнений:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0085MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0085M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

Искомый объем равен разности двух объемов: от вращения фигуры, ограниченной параболой http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0086MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0086M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, прямой x = 1 и осью Ox, и фигуры, ограниченной прямыми http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0087MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0087M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, х = 1, y = 0 вокруг оси Ox.

 

            

      

Рис. 13.11.

 

Как известно, объем тела вращения вокруг оси Ох определяется по формуле:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0088MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0088M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

Отсюда находим, что искомый объем равен:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0089MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0089M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

Вычисление длины дуги плоской кривой.

В декартовой системе координат Оху дана линия своим уравнением http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0090MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0090M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

Пусть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0091MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0091M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0092MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0092M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif –  фиксированные точки линии http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0093MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0093M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. Требуется найти длину линии от точки А до точки В (рис. 13.12).

 

 

Рис. 13.12.

 

За величину длины дуги незамкнутой плоской кривой принимается предел длины ломаной, вписанной в эту дугу, при стремлении к нулю наибольшего звена.

Длину искомой дуги (так будем называть часть линии http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0094MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0094M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif от точки А до точки В) найдем по известной схеме построения определенного интеграла.

Разделим отрезок http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0095MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0095M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif точками http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0096MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0096M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif произвольных частей. Через точки деления отрезка http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0097MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0097M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif проведем прямые, параллельные оси Оу. Этими прямыми дуга http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0098MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0098M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif разделится на n частей: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0099MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0099M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Возьмем i-ую часть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0100MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0100M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif отрезка http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0101MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0101M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. Внутри i-ой части возьмем произвольную точку http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0102MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0102M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Приближенно заменим длину http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0103MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0103M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif дуги http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0104MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0104M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif отрезком длины касательной, проведенной в точке http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0105MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0105M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, ограниченной прямыми http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0106MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0106M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Уравнением касательной в точке http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0107MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0107M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif является:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0108MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0108M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

При http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0109MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0109M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif ордината касательной равна:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0110MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0110M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

При http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0111MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0111M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif имеем http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0112MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0112M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Длину касательной, заключенной между прямыми http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0113MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0113M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, найдем по координатам найденных точек, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0114MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0114M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif,

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0115MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0115M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

Аналогично поступим со всеми частями дуги AB; исходя из этих предположений будем иметь:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0116MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0116M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (230)

 

Пусть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0117MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0117M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. Переходя к пределу в приближенном равенстве (230) при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0118MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0118M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif, получим интегральную сумму:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0119MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0119M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (231)

 

По определению определенного интеграла имеем:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0120MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0120M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif. (232)

 

Остается доказать, что длина ломаной i-го звена и длина касательной на i-ом участке являются эквивалентными б.м.в. при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0121MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0121M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

Обозначим через li длину ломаной i-го звена.

Имеем:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0122MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0122M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0123MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0123M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif

 

так как при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0124MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0124M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif точка http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0125MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/eq0125M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_13.files/empty.gif.

 

Пример 8. Вычислить длину дуги параболы

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.     Как с помощью определенного интеграла вычисляются площади плоских фигур?

2.     Как с помощью определенного интеграла вычисляются объемы по площадям перпендикулярных сечений, объемы тел вращения?

3.     Как с помощью определенного интеграла вычисляется длина плоской дуги, работа переменной силы?

4.     Выведите формулу работы переменной силы.

5.     Придумайте задачу физического или экономического содержания, которая приводит к необходимости вычисления определенного интеграла.

 

Тема №14. Основы линейной алгебры. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.

 

1. Матрица. Основные понятия.

Матрицей размера http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0001MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0001M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, X, Y, Z, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0002MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0002M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, где

i – номер строки;

j – номер столбца.

Например, матрица размеров http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0003MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0003M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif имеет вид:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0004MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0004M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

 

или в сокращенной записи

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0005MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0005M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

Например, матрица размеров http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0006MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0006M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif имеет вид:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0007MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0007M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Наряду с круглыми скобками для обозначения матриц используются

и другие: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0008MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0008M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

 

Две матрицы А и В одинаковой размерности http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0009MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0009M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif называются равными, если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0010MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0010M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif при всех http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0011MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0011M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

 

Виды матриц

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)-столбцом и обозначается http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0012MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0012M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, а состоящая из одной строки – матрицей (вектором)-строкой, соответственно обозначается http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0013MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0013M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0014MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0014M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Элементы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0015MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0015M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0016MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0016M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif – побочную диагональ.

 

Например,  – квадратная матрица третьего порядка, элементами главной диагонали являются числа 1, 5, 9, а побочной – 7, 5 ,3.

 

Если все элементы, кроме элементов, образующих главную диагональ квадратной матрицы, равны нулю, то такая матрица называется диагональной.

 

Например http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0017MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0017M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif – диагональная матрица третьего порядка.

 

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается буквой Е.

         

Например  – единичная матрица третьего порядка.

 

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О. Нулевая матрица имеет следующий вид:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0018MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0018M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

В линейной алгебре матрицы Е и О играют такую же роль, какую играют числа 1 и 0 в арифметике.

Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0019MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0019M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Пример 1. Так, если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0020MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0020M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, то http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0021MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0021M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0022MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0022M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

2. Действия над матрицами

1.     Умножение матрицы на число

Пусть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0023MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0023M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif – произвольная матрица, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0024MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0024M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif – произвольное действительное число.

Произведением матрицы А на число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0025MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0025M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif называется новая матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0026MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0026M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, т.е.

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0027MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0027M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Например - http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0028MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0028M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

                        

Таким образом, можно выделить следующее следствие:

Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

 

2.     Сложение и вычитание матриц.

Эта операция определяется только для матриц одинаковой размерности (формата).

Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности называется новая матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов данных матриц.

Например, пусть А и В – матрицы размерности http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0029MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0029M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif. Тогда по определению под суммой http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0030MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0030M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif понимается

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0031MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0031M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

 

или http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0032MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0032M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Вышеприведенные действия над матрицами называются линейными.

Линейные операции над матрицами обладают следующими свойствами:

1.     Переместительность (коммутативность) умножения матрицы на число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0033MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0033M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

2.     Сочетательность (ассоциативность) со скалярным множителем http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0034MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0034M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

3.     Переместительность (коммутативность) сложения матриц http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0035MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0035M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

4.     Сочетательность (ассоциативность) сложения матриц http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0036MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0036M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

5.     Распределительность (дистрибутивность) сложения матриц относительно умножения на число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0037MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0037M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

6.     Распределительность (дистрибутивность) относительно сложения чисел http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0038MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0038M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Таким образом, линейные операции над матрицами можно выполнять по аналогии с привычными правилами алгебры чисел.

Вычитание для матриц (как и для чисел) определяется как действие, обратное сложению. Разностью матриц А и В (А – В) одинаковой размерности называется такая матрица С, что

 

В+С=А.

 

Легко заметить, что матрица С, удовлетворяющая этому условию, всегда существует, и притом только одна. Ее элементы определяются равенствами:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0039MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0039M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Таким образом, при вычитании матриц вычитаются соответствующие элементы этих матриц.

Например, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0040MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0040M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Замечание. Знаки сравнения ( http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0041MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0041M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif ) для матриц любого формата лишены смысла.

 

3.     Умножение матриц.

Умножение матрицы А на матрицу В (рассматриваются именно в таком порядке) определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Иначе говоря, если порядок матрицы А равен http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0042MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0042M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, то порядок согласованной с ней матрицы В должен быть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0043MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0043M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, где http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0044MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0044M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif – любые натуральные числа.

Произведением матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0045MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0045M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif на матрицу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0046MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0046M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif называется такая матрица http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0047MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0047M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, что

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0048MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0048M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, где http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0049MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0049M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

 

Таким образом, для вычисления элемента http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0050MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0050M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, стоящего в http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0051MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0051M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif строке и в http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0052MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0052M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif столбце матрицы С, следует каждый элемент http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0053MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0053M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif строки матрицы А умножить на соответственный элемент http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0054MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0054M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif столбца матрицы В и результат сложить.

 

Примеры:

 

1) http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0055MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0055M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

2) http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0056MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0056M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1)     http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0057MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0057M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif;

2)     http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0058MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0058M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif;

3)     http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0059MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0059M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif;

4)     http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0060MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0060M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Заметим, что умножение матриц некоммутативно: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0061MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0061M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

Выше было определено, что операция умножения имеет место только для согласованных матриц А и В, при этом матрицы, взятые в ином порядке (В и А), могут оказаться несогласованными, тогда их произведение не определено. Но даже в том случае, когда согласованность матриц не нарушается, произведения АВ и ВА могут оказаться разными.

Например, для матриц

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0062MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0062M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0063MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0063M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif имеем:

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0064MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0064M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif, но

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0065MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0065M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими). Очевидно, это может иметь место только в том случае, когда А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка.

Например, коммутирующими являются матрицы:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0066MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0066M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0067MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0067M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Действительно,

 

               http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0068MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0068M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

 

               http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0069MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0069M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif,

 

то есть для данных матриц АВ=ВА.

 

Еще одно замечание: произведение двух матриц может быть нуль-матрицей, даже если ни один из сомножителей не является нуль-матрицей.

Например, пусть даны матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0070MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0070M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0071MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0071M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif. Найдем произведение АВ и ВА:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0072MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0072M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif;

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0073MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0073M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

Отсюда следует, что умножение матриц обладает рядом свойств, не характерных для умножения действительных чисел, поэтому при действиях с матрицами необходимо проявлять осмотрительность и аккуратность.

В заключение, отметим свойства, присущие операции транспонирования:

1) http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0074MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0074M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif;

2) http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0075MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0075M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif;

3) http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0076MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0076M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

4.     Возведение в степень.

На основе определения произведения матриц умножать матрицу А на себя можно только в том случае, если это квадратная матрица.

Пусть k – целое неотрицательное число, тогда k – й степенью квадратной матрицы А называется матрица, которая вычисляется следующим образом:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0077MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0077M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif

 

Пример. Найти куб матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0078MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0078M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0079MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0079M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif;

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0080MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/eq0080M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_14.files/empty.gif.

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.      Что называется матрицей? Перечислите виды матриц.

2.      Какую роль в линейной алгебре играют единичная и нулевая матрицы?

3.      Какая матрица называется диагональной?

4.      Дайте определение квадратной матрицы.

5.      Какая матрица называется транспонированной по отношению к данной?

6.      Для каких матриц определена операция сложения?

7.      Перечислите основные свойства сложения матриц.

8.      Какие матрицы называются коммутирующими между собой?

9.      Для каких матриц определена операция умножения?

10.   Перечислите основные свойства умножения матриц.

 

Тема №15. Теория определителей. Основные свойства определителей. Вычисление определителей произвольного порядка n. Формулы разложения.

 

1. Определители

 

Понятие определителя вводится лишь для квадратных матриц. Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом n–го порядка этой матрицы.

Для записи определителя матрицы А используются следующие обозначения: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0001MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0001M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0002MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0002M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0003MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0003M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, или развернутое, учитывающее связь с элементами заданной матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0004MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0004M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, где вертикальные линии вместо круглых (матричных) скобок указывают на то, что здесь речь идет об определителе матрицы А (о единственном числе), а не о таблице чисел.

Числа http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0005MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0005M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif в этом случае называются элементами определителя. При этом, как и в матрице А, элементы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0006MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0006M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif образуют главную диагональ определителя, а элементы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0007MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0007M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif – побочную.

Введем понятие определителя сначала для квадратных матриц первого, второго и третьего порядка, а затем распространим на квадратные матрицы любого порядка.

Определителем матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0008MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0008M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, то есть матрицы, состоящей из одного элемента http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0009MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0009M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif (определителем первого порядка), называется само число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0010MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0010M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Пусть дана квадратная матрица второго порядка http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0011MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0011M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, тогда ее определителем (определителем второго порядка) называется число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0012MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0012M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Пример 1. Найти определитель матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0013MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0013M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Решение: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0014MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0014M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0015MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0015M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, тогда определителем третьего порядка данной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0016MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0016M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

Замечание. При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать следующим образом:

 

 

Пример. Вычислить определитель матрицы

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0017MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0017M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0018MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0018M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

2. Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей второго и третьего порядков.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы равен определителю ее транспонированной матрицы: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0019MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0019M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

Докажем это свойство для определителя второго порядка. Действительно,

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0020MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0020M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0021MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0021M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, то есть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0022MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0022M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Свойство 2. При перестановке столбцов (строк) определитель меняет только знак.

Действительно, если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0023MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0023M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, то

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0024MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0024M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif 

 

Замечание. В дальнейшем для упрощения формулировок свойств определителей строки и столбцы матрицы будем называть рядами.

 

Свойство 3. Если какой-нибудь ряд матрицы является линейной комбинацией некоторых параллельных ему рядов, то определитель этой матрицы равен нулю. Действительно, пусть имеется следующая квадратная матрица третьего порядка: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0025MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0025M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, тогда

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0026MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0026M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

Следствие 1. Определитель, имеющий одинаковые параллельные ряды,

равен нулю.

 

Следствие 2. Определитель, содержащий ряд из одних нулей, равен нулю.

 

Свойство 4. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых элементами соответствующего ряда являются первые слагаемые, у другого – вторые, а остальные элементы этих двух определителей те же, что у данного:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0027MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0027M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Действительно, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0028MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0028M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

Свойство 5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

 

Действительно, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0029MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0029M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

 

Действительно, на основании свойств 4 и 5

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0030MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0030M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif и, согласно следствию 1, второй определитель равен нулю, следовательно http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0031MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0031M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Для формулировки следующих свойств определителей возникает необходимость введения понятий минора и алгебраического дополнения.

Введем понятие минора для элементов определителя третьего порядка. Пусть имеется определитель третьего порядка

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0032MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0032M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Возьмем элемент http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0033MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0033M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

Вычеркнем в ней http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0034MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0034M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif -ю строку и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0035MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0035M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif -ый столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определитель полученной матрицы 2-го порядка называется минором элемента http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0036MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0036M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif -ой строчки и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0037MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0037M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif -го столбца матрицы А и обозначается http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0038MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0038M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

Например, минор элемента http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0039MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0039M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif обозначают http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0040MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0040M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif. Таким образом, по определению для определителя

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0041MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0041M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0042MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0042M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0043MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0043M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0044MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0044M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0045MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0045M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif и т.д.

 

Введем понятие минора для определителя n-го порядка

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0046MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0046M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Выделим в нем какой-либо элемент http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0047MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0047M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif и вычеркнем http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0048MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0048M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif строку и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0049MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0049M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0050MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0050M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif элемента http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0051MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0051M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif 

определителя http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0052MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0052M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

Алгебраическим дополнением элемента http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0053MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0053M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif квадратной матрицы порядка n называется число, рассчитанное по формуле http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0054MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0054M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

Согласно этой формуле, алгебраическое дополнение совпадает с минором http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0055MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0055M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, если сумма индексов http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0056MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0056M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif является четным числом и имеет знак, противоположный знаку минора http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0057MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0057M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif, если сумма индексов http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0058MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0058M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif – нечетное число.

3. Вычисление определителей произвольного порядка n.
Формулы разложения

 

Теорема. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любого его ряда на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0059MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0059M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif;

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0060MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0060M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif;

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0061MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0061M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif;

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0062MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0062M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif;

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0063MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0063M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif;

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0064MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0064M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif.

 

Пример. Найти определитель

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0065MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0065M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

Данная теорема справедлива и для определителя n-го порядка. Определитель n-го порядка равен сумме произведений любого его ряда на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0066MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0066M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif;

 

Данные равенства называют разложениями определителя (формулами разложения) по http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0067MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0067M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif строке или по http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0068MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0068M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif столбцу соответственно.

Все свойства, доказанные выше для определителей второго и третьего порядков, справедливы и для определителя n-го порядка.

 

В завершении приведем еще два важных свойства определителей.

 

Свойство 7. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

 

Докажем данное свойство для определителя третьего порядка. С этой целью вычислим сумму произведений элементов первой строки матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов третьей строки:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0069MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0069M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

Свойство 8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

 

Докажем это свойство для квадратных матриц второго порядка. Пусть

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0070MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0070M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif тогда с учетом свойств определителей

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0071MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0071M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0072MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/eq0072M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_15.files/empty.gif

 

 

 

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.      Для каких матриц применимо понятие определителя?

2.      Что понимается под определителем?

3.      Сформулируйте определение определителя второго и третьего порядков.

4.      Проиллюстрируйте правило треугольников.

5.      Что называется минором данного элемента определителя?

6.      Что называется алгебраическим дополнением данного элемента определителя?

7.      Какая связь между минором и алгебраическим дополнением данного элемента определителя?

8.      Сформулируйте основные свойства определителей и проверьте их для определителей второго порядка.

9.      В чем заключается выражение определителя непосредственно через его элементы?

10.   Опишите основные методы вычисления определителей.

 

Тема №16. Обратная матрица. Ранг матрицы. Понятие обратной матрицы

 

1. Обратная матрица

Известно, что число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0001MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0001M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif называется обратным к числу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0002MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0002M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif, если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0003MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0003M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif. Обратное число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0004MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0004M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif существует для любого числа, кроме нуля, и при этом является единственным. Аналогично введем для квадратных матриц понятие обратной матрицы, используемой обычно при решении систем линейных уравнений.

Если две квадратные матрицы А и В одного и того же формата n таковы, что http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0005MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0005M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif, где E – единичная матрица формата n, то говорят, что матрицы А и В являются обратными друг другу, и используют обозначение http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0006MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0006M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

Таким образом, матрица http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0007MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0007M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif называется обратной по отношению к квадратной матрице http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0008MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0008M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif, если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0009MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0009M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

Выясним, какие матрицы имеют обратные матрицы, и если матрица А имеет обратную http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0010MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0010M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif, то как ее находить.

Квадратная матрица А называется вырожденной или особенной, если ее определитель равен нулю http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0011MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0011M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif, в противном случае, то есть при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0012MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0012M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif, матрица А называется невырожденной (неособенной).

Нахождение обратных матриц опирается на следующую теорему, которую приведем без доказательства.

 

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, и притом единственную.

Пусть дана квадратная матрица формата n http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0013MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0013M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0014MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0014M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

 

Приведем алгоритм вычисления обратной матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0015MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0015M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif:

1.     Вычисляем определитель http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0016MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0016M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif и убеждаемся, что http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0017MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0017M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;

2.     Составляем квадратную матрицу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0018MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0018M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif формата n следующим образом: на место каждого элемента поставим алгебраическое дополнение этого элемента, то есть

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0019MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0019M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

3.     Транспонируем матрицу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0020MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0020M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0021MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0021M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

 

Замечание. Полученная матрица http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0022MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0022M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif называется присоединенной или союзной матрицей.

4.     Находим обратную матрицу по формуле http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0023MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0023M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

5.     Проверяем правильность вычислений, убедившись, что соотношение http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0024MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0024M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif выполняется.

Пример. Дана матрица

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0025MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0025M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

 

Найти обратную матрицу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0026MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0026M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

 

1.     Находим определитель матрицы А

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0027MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0027M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

2.     Составляем квадратную матрицу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0028MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0028M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif, для этого находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0029MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0029M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;     http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0030MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0030M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0031MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0031M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;   http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0032MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0032M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0033MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0033M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;      http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0034MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0034M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0035MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0035M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;   http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0036MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0036M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0037MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0037M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0038MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0038M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

3.     Транспонируем матрицу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0039MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0039M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0040MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0040M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

4.     Находим обратную матрицу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0041MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0041M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0042MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0042M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

5.     Проведем проверку:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0043MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0043M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

2. Ранг матрицы

 

Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0044MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0044M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

 

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов, причем http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0045MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0045M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif. Элементы выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k.

Определитель выделенной квадратной матрицы называется минором k-го порядка заданной матрицы А. В матрице А квадратиком выделен минор http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0046MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0046M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif -го порядка.

Количество комбинаций из k разных строк, отличающихся номером хотя бы одной строки, которые можно выделить из m строк заданной матрицы, определяется как число сочетаний из m элементов по k : http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0047MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0047M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif Аналогично из n столбцов заданной матрицы можно составить http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0048MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0048M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif комбинаций по k. Следовательно, в прямоугольной матрице порядка http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0049MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0049M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif можно составить http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0050MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0050M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif миноров k-го порядка.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров данной матрицы называется рангом матрицы А и обозначается r, r(A) или rang A.

Отличный от нуля минор наивысшего порядка называется базисным, а строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными. Заметим, что базисных миноров у матрицы может оказаться больше чем один.

Из определения следует, что рангом обладает любая матрица, а ранг нулевой матрицы равен нулю. Если в матрице имеется хотя бы один отличный от нуля элемент, то ее ранг не меньше единицы. В случае, когда все миноры  k -го и выше порядков равны нулю, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0051MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0051M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

Отметим, что из свойств определителей следует, что ранг матрицы не изменяется

-       при транспонировании матрицы, то есть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0052MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0052M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif;

-       при перестановке каких-либо строк (столбцов);

-       при умножении каждого элемента строки (столбца) на одно и тоже отличное от нуля число k;

-       при сложении элементов одной строки (одного столбца) с соответствующими элементами другой строки (другого столбца), умноженное на некоторое число http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0053MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0053M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

Ранг матрицы не изменяется и при элементарных преобразованиях

матрицы.

 

Пример. Найти ранг матрицы:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0054MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0054M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

 

Решение. Все миноры третьего порядка равны нулю. Имеется минор второго порядка, отличный от нуля http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0055MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0055M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif. Следовательно, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0056MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0056M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif.

 

На практике определение ранга представляет собой трудоемкую операцию, поэтому, чтобы найти ранг матрицы, ее обычно приводят к виду, когда базисный минор становится очевидным. С этой целью применяют так называемые элементарные преобразования матриц. Элементарными преобразованиями матриц являются:

1)     перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2)     умножение всех элементов ряда матрицы на одно и то же отличное от нуля число.

3)     прибавление элементов какого-либо ряда матрицы к соответствующим элементам параллельного ряда, умноженных на одно и тоже не равное нулю число;

4)     вычеркивание ряда матрицы, являющегося линейной комбинацией других параллельных ему рядов, в том числе состоящих из одних нулей.


Примечание. Матрица, полученная из данной с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной этой матрице. Эквивалентность матриц обозначается знаком.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0057MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0057M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

Ранг полученной ступенчатой матрицы равен p.

 

Пример. Найти ранг матрицы

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0058MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/eq0058M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_16.files/empty.gif

 

Решение. Приведем матрицу А к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

 

 

Полученная ступенчатая матрица содержит три ненулевых строки, а это означает, что ее ранг равен 3. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 3.

 

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.      Дайте определение обратной матрице. Всякая ли матрица имеет обратную?

2.      Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы.

3.      Что такое ранг матрицы? Каков смысл этого понятия?

4.      Что называется базисным минором?

5.      Изменится ли ранг матрицы при перестановке каких-либо строк (столбцов)?

6.      Изменится ли ранг матрицы при умножении каждого элемента строки (столбца) на одно и  тоже отличное от нуля число?

7.      Чему равен ранг нулевой матрицы?

8.      Чему равен ранг ступенчатой матрицы?

9.      Что Вы понимаете под элементарными преобразованиями?

10.   Какая матрица называется эквивалентной по отношению к данной матрице?

 

 

Тема №17. Системы линейных алгебраических уравнений

 

1. Системы линейных алгебраических уравнений

 

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0001MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0001M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif (4.1)

 

Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0002MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0002M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Например, система уравнений http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0003MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0003M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif совместная и определенная, так как имеет единственное решение http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0004MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0004M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif; система http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0005MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0005M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif 

несовместная, а система http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0006MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0006M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0007MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0007M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.

Основной матрицей СЛАУ (4.1) называется матрица А размера http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0008MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0008M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0009MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0009M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Матрицей неизвестных СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (4.1):

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0010MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0010M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Матрицей свободных членов СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0011MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0011M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

С учетом введенных понятий СЛАУ (4.1) можно записать в матричном виде http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0012MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0012M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif или

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0013MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0013M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. (4.2)

 

2. Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы

 

Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы ( http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0014MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0014M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif ) и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0015MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0015M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, то есть основная матрица системы  невырождена. В этом случае, согласно предыдущему пункту, для матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0016MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0016M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif существует единственная обратная матрица . Ясно, что она согласована с матрицами http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0017MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0017M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0018MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0018M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Покажем это. Для этого умножим слева обе части матричного уравнения (4.2) на матрицу http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0019MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0019M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0020MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0020M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0021MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0021M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

Так как http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0022MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0022M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, а http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0023MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0023M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, тогда

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0024MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0024M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. (4.3)

 

Убедимся, что найденное значение http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0025MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0025M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif является решением исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0026MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0026M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, откуда имеем http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0027MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0027M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0028MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0028M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, которое удовлетворяет равенству

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0029MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0029M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Покажем, что матрица http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0030MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0030M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif равна матрице http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0031MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0031M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

С этой целью умножим предыдущее равенство слева на матрицу .

В результате получим

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0032MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0032M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Такое решение системы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0033MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0033M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif уравнений с http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0034MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0034M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.

Пример. Найти решение системы

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0035MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0035M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Выпишем матрицу системы:

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0036MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0036M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0037MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0037M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0038MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0038M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0039MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0039M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif или

 

Здесь мы вынесли общий множитель http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0040MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0040M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, так как нам в дальнейшем нужно будет произведение http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0041MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0041M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Ищем решение по формуле: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0042MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0042M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0043MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0043M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

                            

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0044MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0044M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.

Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.

 

3. Правило и формулы Крамера

 

Рассмотрим систему http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0045MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0045M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif линейных уравнений с http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0046MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0046M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif неизвестными

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0047MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0047M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

От матричной формы (4.3) перейдем к более удобным и в ряде случаев более простым при решении прикладных задач формулам для нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений.

Учитывая равенство http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0048MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0048M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, или в развернутом виде

     

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0049MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0049M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Таким образом, после перемножения матриц получаем:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0050MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0050M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif или

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0051MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0051M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Заметим, что сумма http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0052MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0052M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif есть разложение определителя

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0053MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0053M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

по элементам первого столбца, который получается из определителя http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0054MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0054M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Таким образом, можно сделать вывод, что http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0055MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0055M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

Аналогично: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0056MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0056M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, где http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0057MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0057M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif получен из http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0058MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0058M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0059MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0059M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

Следовательно, нами найдено решение заданной системы по равенствам

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0060MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0060M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0061MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0061M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0062MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0062M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif,

известным и как формулы Крамера.

 

Для нахождения решения СЛАУ, последние равенства можно записать в общем виде следующим образом:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0063MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0063M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.  (4.4)

 

Согласно этим формулам, имеем правило Крамера для решения СЛАУ:

 

- по матрице системы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0064MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0064M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif вычисляется определитель системы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0065MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0065M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif;

- если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0066MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0066M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, то в матрице системы каждый столбец последовательно заменяется столбцом свободных членов и вычисляются определители http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0067MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0067M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif получаемых при этом матриц;

- решение системы находится по формулам Крамера (4.4).

 

Пример. С помощью формул Крамера решить систему уравнений

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0068MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0068M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Решение. Определитель данной системы

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0069MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0069M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Так как http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0070MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0070M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, то формулы Крамера имеют смысл, то есть система имеет единственное решение. Находим определители:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0071MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0071M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0072MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0072M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0073MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0073M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Следовательно, по формулам (4.4) получаем:

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0074MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0074M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0075MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0075M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0076MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0076M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.

Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.

 

Критерий совместности СЛАУ (теорема Кронекера-Капелли)

 

Расширенной матрицей http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0077MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0077M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif системы (4.1) называется матрица, получаемая добавлением к основной матрице А справа столбца свободных членов с отделением его вертикальной чертой, то есть матрица

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0078MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0078M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Заметим, что при появлении у матрицы новых столбцов ранг может увеличиться, следовательно http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0079MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0079M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Расширенная матрица играет очень важную роль в вопросе совместности (разрешимости) системы уравнений. Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера-Капелли.

 

Сформулируем теорему Кронекера-Капелли (без доказательства).

Система линейных алгебраических уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0080MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0080M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0081MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0081M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0082MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0082M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif – число неизвестных системы, то система имеет единственное решение, а если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0083MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0083M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, то система имеет бесчисленное множество решений.

 

Опираясь на теорему Кронекера-Капелли, сформулируем алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1.      Вычисляют ранги основной и расширенной матриц СЛАУ. Если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0084MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0084M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, то система не имеет решений (несовместна).

2.      Если http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0085MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0085M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, система совместна. В этом случае берут любой отличный от нуля минор основной матрицы порядка http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0086MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0086M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и рассматривают http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0087MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0087M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif уравнений, коэффициенты которых входят в этот базисный минор, а остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные коэффициенты, которые входят в этот базисный минор, объявляют главными или базисными, а остальные свободными (неосновными). Новую систему переписывают, оставляя в левых частях уравнений только члены, содержащие http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0088MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0088M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif базисных неизвестных, а все остальные члены уравнений, содержащих http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0089MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0089M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif неизвестных, переносят в правые части уравнений.

3.      Находят выражения базисных неизвестных через свободные. Полученные решения новой системы с http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0090MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0090M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif базисными неизвестными называются общим решением СЛАУ (4.1).

4.      Придавая свободным неизвестным некоторые числовые значения, находят так называемые частные решения.

 

Проиллюстрируем применение теоремы Кронекера-Капелли и вышеприведенного алгоритма на конкретных примерах.

 

Пример. Определить совместность системы уравнений

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0091MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0091M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Решение. Запишем матрицу системы и определим ее ранг.

Имеем:

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0092MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0092M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Так как матрица http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0093MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0093M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif имеет порядок http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0094MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0094M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, то наивысший порядок миноров равен 3. Число различных миноров третьего порядка http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0095MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0095M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif Нетрудно убедиться, что все они равны нулю (проверьте самостоятельно). Значит, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0096MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0096M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Ранг основной матрицы равен двум, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например,

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0097MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0097M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Ранг расширенной матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0098MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0098M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif этой системы равен трем, так как существует отличный минор третьего порядка этой матрицы, например,

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0099MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0099M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Таким образом, согласно критерию Кронекера-Капелли, система несовместна, то есть не имеет решений.

 

Пример. Исследовать совместность системы уравнений

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0100MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0100M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Решение. Ранг основной матрицы этой системы равен двум, так как, например, минор второго порядка равен

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0101MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0101M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

а все миноры третьего порядка основной матрицы равны нулю. Ранг расширенной матрицы http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0102MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0102M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif также равен двум, например,

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0103MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0103M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

а все миноры третьего порядка расширенной матрицы равны нулю (убедиться самостоятельно). Следовательно, система совместна.

 

Возьмем за базисный минор, например http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0104MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0104M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. В этот базисный минор не входят элементы третьего уравнения, поэтому ее отбрасываем.

Неизвестные http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0105MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0105M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0106MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0106M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif объявляем базисными, так как их коэффициенты входят в базисный минор, неизвестную http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0107MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0107M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif объявляем свободной.

В первых двух уравнениях члены, содержащие переменную http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0108MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0108M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, перенесем в правые части. Тогда получим систему

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0109MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0109M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Решаем эту систему с помощью формул Крамера.

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0110MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0110M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif,

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0111MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0111M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Таким образом, общим решением исходной системы является бесконечное множество наборов http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0112MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0112M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif вида http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0113MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0113M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif,

где http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0114MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0114M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif – любое действительное число.

Частным решением данного уравнения будет, например, набор http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0115MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0115M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, получающийся при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0116MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0116M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

 

Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решений СЛАУ является метод Гаусса. Метод Гаусса состоит из однотипных циклов, позволяющих  последовательно исключать неизвестные СЛАУ. Первый цикл направлен на то, чтобы во всех уравнениях, начиная со второго, обнулить все коэффициенты при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0117MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0117M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Опишем первый цикл. Полагая, что в системе коэффициент http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0118MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0118M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0119MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0119M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему (4.1) следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x1 с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим обе части первого уравнения на  http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0120MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0120M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0121MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0121M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, на последнем шаге цикла умножим обе части первого уравнения на http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0122MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0122M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и сложим с последним уравнением системы. Первый цикл завершен, в результате получим эквивалентную систему

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0123MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0123M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif (4.5)

 

Замечание. Для удобства записи обычно используют расширенную матрицу системы. После первого цикла данная матрица принимает следующий вид:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0124MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0124M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif  (4.6)

 

Второй цикл является повторением первого цикла. Предположим, что коэффициент http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0125MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0125M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0126MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0126M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Первое и второе уравнение системы (4.5) перепишем в новую систему (в дальнейшем будем оперировать только расширенной матрицей).

Умножим второе уравнение (4.5) или вторую строку матрицы (4.6) на http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0127MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0127M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, сложим с третьим уравнением системы (4.5) или третьей строкой матрицы (4.6). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы. В результате получим эквивалентную систему:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0128MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0128M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif  (4.7)

 

Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных, после k-1-го шага, получим расширенную матрицу

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0129MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0129M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif (4.8)

 

Последние http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0130MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0130M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif уравнений для совместной системы (4.1) являются тождествами http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0131MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0131M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Если хотя бы одно из чисел http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0132MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0132M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, следовательно, система (4.1) несовместна. В совместной системе при ее решении последние http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0133MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0133M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif уравнений можно не рассматривать. Тогда полученная эквивалентная система (4.9) и соответствующая расширенная матрица (4.10) имеют вид

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0134MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0134M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif (4.9)

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0135MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0135M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif (4.10)

 

После отбрасывания уравнений, являющихся тождествами, число оставшихся уравнений может быть либо равно числу переменных http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0136MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0136M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, либо быть меньше числа переменных. В первом случае матрица имеет треугольный вид, а во втором – ступенчатый. Переход от системы (4.1) к равносильной ей системе (4.9) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из системы (4.9) – обратным ходом.

 

Пример. Решить систему методом Гаусса:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0137MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0137M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0138MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0138M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы: умножим первую строку на http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0139MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0139M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и сложим со второй строкой, а также умножим первую строку на http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0140MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0140M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif и сложим с третьей строкой. Результатом будет расширенная матрица первого цикла (в дальнейшем все преобразования будем изображать в виде схемы)

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0141MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0141M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0142MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0142M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Полученная расширенная матрица соответствует системе уравнений

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0143MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0143M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

которая эквивалентна исходной системе. Далее последовательно находим:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0144MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0144M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0145MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0145M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0146MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0146M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Пример. Решить систему методом Гаусса:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0147MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0147M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Преобразуем расширенную матрицу системы по методу Гаусса:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0148MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0148M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0149MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0149M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

Следовательно, исходная система несовместна.

 

Системы однородных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если она тождественными преобразованиями приводится к виду:

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0150MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0150M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif (4.11)

 

Ясно, что однородная система всегда совместна, хотя бы потому, что она всегда имеет тривиальное решение x1 = x=…= xn = 0.

Сплошь нулевое решение часто называют тривиальным решением

системы.

Содержательным вопросом, очевидно, является следующий: при каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения? Ответом служит следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0151MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0151M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0152MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0152M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Пусть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0153MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0153M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Тогда один из миноров размера http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0154MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0154M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0155MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0155M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0156MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0156M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

 

Достаточность.

Пусть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0157MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0157M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения.

 

В заключении выделим частный случай последней теоремы.

Пусть дана однородная система http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0158MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0158M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif линейных уравнений

с http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0159MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0159M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif неизвестными (4.11).

 

Теорема. Для того чтобы однородная система http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0160MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0160M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif линейных уравнений с http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0161MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0161M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0162MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0162M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif был равен нулю, т. е. http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0163MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0163M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif.

Если система имеет ненулевые решения, то http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0164MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0164M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, так как при http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0165MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0165M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif система имеет единственное, нулевое решение. Если же http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0166MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0166M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, то ранг http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0167MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0167M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif основной матрицы системы меньше числа неизвестных, то есть http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0168MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0168M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif. Это означает, что система имеет бесконечное множество ненулевых решений.

 

Пример. Решить систему

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0169MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0169M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Решение: http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0170MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0170M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0171MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0171M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их.

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0172MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0172M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0173MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0173M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0174MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0174M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif

 

Стало быть, http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0175MP.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/eq0175M.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Matematica/MatBK_Book_17.files/empty.gif – общее решение.

 

Положив х3 = 0, получаем одно частное решение: х1 = 0, х2 = 0, хз=0. Положив х3 = 1, получаем второе частное решение: х1 = 2, х2 =3, хз = 1, и т.д.

 

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.      Что понимается под системой линейных алгебраических уравнений?

2.      Запишите в общем виде СЛАУ. Каков смысл величин, входящих в уравнения системы?

3.      Дайте определение решения системы, определения совместной, несовместной системы.

4.      При каких условиях СЛАУ имеет единственное решение?

5.      К какой СЛАУ применим метод обратной матрицы?

6.      К какой СЛАУ применимо правило Крамера?

7.      Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

8.      Сформулируйте алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений.

9.      Какая система линейных алгебраических уравнений называется однородной?

10.   При каких условиях система однородных уравнений имеет ненулевое решение?

 



Конспект на тему "Площадь криволинейной трапеции".
  • Математика
Описание:

В этом конспекте отражается разработка урока где детям приводятся примеры вычисления площади плоских фигур. Что они делали без удовольствия на уроках геометрии.

Дання тема привлекает учащихся тем что площадь вычисляется с помощью интеграла.

Тема инетересная, но довольная сложная, где без понятия интеграла, учащиеся не смогут решить данное им задание, самостоятельно, поэтому нужно дать дополнительное обьяснение к их работе, и постоянно их вести. 

Желательно на уроке проводить больше презентаций на эту тему, пояснений и контроля учащихся.

Автор Алиева Айше Садыковна
Дата добавления 17.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 721
Номер материала 54230
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓