Конспект на тему "Площадь криволинейной трапеции".

Конспект

Площадь криволинейной трапеции.

 

1. Вычисление площадей плоских фигур

Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной: сверху линией , снизу линией , слева и

справа прямыми  соответственно (рис. 13.1).

 

 

Рис. 13.1.

 

Решение поставленной задачи сводится к вычислению площади заштрихованной фигуры на рисунке 13.1. Очевидно, эта площадь равна разности площадей  двух криволинейных трапеций , каждая из которых вычисляется по известной (занятие 12) формуле:  и .

Поэтому искомая площадь равна разности этих интегралов:

 

.  (219)

 

 

По аналогии, для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной справа линией , слева линией , снизу прямой , сверху прямой  (рис. 13.2) получим:

 

 

 

Рис. 13.2.

 

Пример 1. Требуется найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: .

Решение. Строим графики заданных линий (рис. 13.3). Искомая площадь S равна площади криволинейной трапеции ОАВС, которая по определению (занятие 12) равна определенному интегралу:

 

.

 

Здесь

Отсюда находим:

 

 

 

Рис. 13.3.

 

Пример 2. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 

 

Решение. Строим графики заданных линий (рис. 13.4).

По формуле (219) искомая площадь равна:

 

 , где  _:

 

 

                   

Рис. 13.4.

 

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: .

Решение. Строим графики функций  (рис. 13.5).

Найдем абсциссы точек пересечения линий . Для этого необходимо решить систему уравнений:

 

Имеем: _. Искомая площадь равна площади заштрихованной плоской фигуры (рис.13.5).

По формуле (219) искомая площадь равна:

 

.

 

 

Рис. 13.5

 

Здесь   ; слева и справа искомая фигура ограничена соответственно прямыми .

Отсюда находим:

 

 

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной эллипсом

 

 (220)

 

Решение. Построим график функции, заданной уравнением (220). Найдем точки пересечения эллипса с осями координат:

при ; при .

 

Уравнение эллипса задается функциями:

 

 

В силу симметрии эллипса относительно осей координат достаточно найти площадь ее четвертой (заштрихованной) части.

 

 

Рис. 13.6.

 

Имеем:

 

 

 

Таким образом, площадь эллипса равна

 

 (221)

 

Пример 5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Находим точки пересечения параболы  с осями координат:

 

 

Вершина параболы

 лежит на оси Oy: В (0; –4) (рис. 13.7).

 

 

Рис. 13.7.

 

Искомая площадь – площадь фигуры АВС, заштрихованная на рисунке, сверху ограничена прямой , снизу линией , слева прямой , справа прямой .

Отсюда по формуле (219) имеем:

 

 

Задача 2. Вычисление объема тел по площадям перпендикулярных сечений.

 

Пусть замкнутое тело Т (рис. 13.8) ограничено слева плоскостью , справа – . Пусть для любого  задается площадь  сечения, перпендикулярного оси Ox.

 

 

Рис. 13.8.

 

Требуется найти объем V тела Т.

Отыскание объема V тела проведем по вышеизложенной схеме построения интегральной суммы. Разобьем отрезок  точками  произвольных частей. В каждой части возьмем по произвольной точке ; найдем площадь  перпендикулярного сечения. Объем  части  тела , ограниченного плоскостями ,  приближенно заменим объемом цилиндра с площадью основания  и высотой . Аналогично поступая со всеми частями тела , получим:

. (222)

 

Точное выражение объема V тела Т получим предельным переходом в равенстве (222) при :

 

. (223)

 

По определению определенного интеграла равенство (223) переписывается так:

 

. (224)

 

Рассмотрим частный случай, когда тело Т получено вращением криволинейной трапеции  (рис. 13.9) вокруг оси Ox .

В этом частном случае площадь перпендикулярного сечения равна площади круга, радиус которого равен ординате линии .

 

 

.

 

 

Рис. 13.9.

 

По формуле (224) имеем:

 

. (225)

 

Пример 6. Вычислить объем трехосного эллипсоида (рис. 13.10).

 

. (226)

 

Фиксируем x в уравнении (226). Найдем уравнение полученной линии:

 

 или  (227)

 

           

Рис. 13.10

 

Уравнение (227) в плоскости декартовых координат Oyz является уравнением эллипса, площадь которого по формуле (221) равна произведению  на длины полуосей эллипса (227):

 

.

 

Следовательно, площадь Q(х) перпендикулярного к оси Ох сечения равна

 

.

 

Так как объем V тела по площадям Q(x) перпендикулярного к оси Ох сечения определяется по формуле , то с учетом симметрии трехосного эллипсоида получим:

 

 

или

 

 (228)

 

Отсюда, в частности, легко найти объем шара, для которого :

 

. (229)

 

Пример 7. Вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями  и  вокруг оси Ox.

Решение. Строим графики линий  и  (рис. 13.11); находим абсциссы их точек пересечения, решив систему уравнений:

 

 

Искомый объем равен разности двух объемов: от вращения фигуры, ограниченной параболой _, прямой x = 1 и осью Ox, и фигуры, ограниченной прямыми , х = 1, y = 0 вокруг оси Ox.

 

            

      

Рис. 13.11.

 

Как известно, объем тела вращения вокруг оси Ох определяется по формуле:

 

.

 

Отсюда находим, что искомый объем равен:

 

 

Вычисление длины дуги плоской кривой.

В декартовой системе координат Оху дана линия своим уравнением

Пусть _,  –  фиксированные точки линии . Требуется найти длину линии от точки А до точки В (рис. 13.12).

 

 

Рис. 13.12.

 

За величину длины дуги незамкнутой плоской кривой принимается предел длины ломаной, вписанной в эту дугу, при стремлении к нулю наибольшего звена.

Длину искомой дуги (так будем называть часть линии  от точки А до точки В) найдем по известной схеме построения определенного интеграла.

Разделим отрезок  точками  произвольных частей. Через точки деления отрезка  проведем прямые, параллельные оси Оу. Этими прямыми дуга  разделится на n частей: .

Возьмем i-ую часть  отрезка . Внутри i-ой части возьмем произвольную точку .

Приближенно заменим длину  дуги  отрезком длины касательной, проведенной в точке , ограниченной прямыми .

Уравнением касательной в точке  является:

 

.

 

При  ордината касательной равна:

 

.

 

При  имеем .

Длину касательной, заключенной между прямыми , найдем по координатам найденных точек, ,

 

.

 

Аналогично поступим со всеми частями дуги AB; исходя из этих предположений будем иметь:

 

. (230)

 

Пусть . Переходя к пределу в приближенном равенстве (230) при , получим интегральную сумму:

 

. (231)

 

По определению определенного интеграла имеем:

 

. (232)

 

Остается доказать, что длина ломаной i-го звена и длина касательной на i-ом участке являются эквивалентными б.м.в. при .

Обозначим через l_i длину ломаной i-го звена.

Имеем:

 

 

 

так как при  точка .

 

Пример 8. Вычислить длину дуги параболы

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.     Как с помощью определенного интеграла вычисляются площади плоских фигур?

2.     Как с помощью определенного интеграла вычисляются объемы по площадям перпендикулярных сечений, объемы тел вращения?

3.     Как с помощью определенного интеграла вычисляется длина плоской дуги, работа переменной силы?

4.     Выведите формулу работы переменной силы.

5.     Придумайте задачу физического или экономического содержания, которая приводит к необходимости вычисления определенного интеграла.

 

Тема №14. Основы линейной алгебры. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.

 

1. Матрица. Основные понятия.

Матрицей размера  называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, X, Y, Z, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:

, где

i – номер строки;

j – номер столбца.

Например, матрица размеров  имеет вид:

 

 

или в сокращенной записи

 

Например, матрица размеров  имеет вид:

 

.

 

Наряду с круглыми скобками для обозначения матриц используются

и другие:

 

Две матрицы А и В одинаковой размерности  называются равными, если  при всех

 

Виды матриц

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)-столбцом и обозначается , а состоящая из одной строки – матрицей (вектором)-строкой, соответственно обозначается .

 

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

 

.

 

Элементы  образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы  – побочную диагональ.

 

Например,  – квадратная матрица третьего порядка, элементами главной диагонали являются числа 1, 5, 9, а побочной – 7, 5 ,3.

 

Если все элементы, кроме элементов, образующих главную диагональ квадратной матрицы, равны нулю, то такая матрица называется диагональной.

 

Например  – диагональная матрица третьего порядка.

 

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается буквой Е.

         

Например  – единичная матрица третьего порядка.

 

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О. Нулевая матрица имеет следующий вид:

 

.

 

В линейной алгебре матрицы Е и О играют такую же роль, какую играют числа 1 и 0 в арифметике.

Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается .

 

Пример 1. Так, если , то .

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .

 

2. Действия над матрицами

1.     Умножение матрицы на число

Пусть  – произвольная матрица,  – произвольное действительное число.

Произведением матрицы А на число  называется новая матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число , т.е.

 

.

 

Например -

                        

Таким образом, можно выделить следующее следствие:

Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

 

2.     Сложение и вычитание матриц.

Эта операция определяется только для матриц одинаковой размерности (формата).

Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности называется новая матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов данных матриц.

Например, пусть А и В – матрицы размерности . Тогда по определению под суммой  понимается

 

 

или .

 

Вышеприведенные действия над матрицами называются линейными.

Линейные операции над матрицами обладают следующими свойствами:

1.     Переместительность (коммутативность) умножения матрицы на число .

2.     Сочетательность (ассоциативность) со скалярным множителем .

3.     Переместительность (коммутативность) сложения матриц .

4.     Сочетательность (ассоциативность) сложения матриц .

5.     Распределительность (дистрибутивность) сложения матриц относительно умножения на число .

6.     Распределительность (дистрибутивность) относительно сложения чисел .

 

Таким образом, линейные операции над матрицами можно выполнять по аналогии с привычными правилами алгебры чисел.

Вычитание для матриц (как и для чисел) определяется как действие, обратное сложению. Разностью матриц А и В (А – В) одинаковой размерности называется такая матрица С, что

 

В+С=А.

 

Легко заметить, что матрица С, удовлетворяющая этому условию, всегда существует, и притом только одна. Ее элементы определяются равенствами:

 

.

 

Таким образом, при вычитании матриц вычитаются соответствующие элементы этих матриц.

Например, .

 

Замечание. Знаки сравнения (  ) для матриц любого формата лишены смысла.

 

3.     Умножение матриц.

Умножение матрицы А на матрицу В (рассматриваются именно в таком порядке) определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Иначе говоря, если порядок матрицы А равен , то порядок согласованной с ней матрицы В должен быть , где  – любые натуральные числа.

Произведением матрицы  на матрицу  называется такая матрица , что

, где

 

Таким образом, для вычисления элемента , стоящего в  строке и в  столбце матрицы С, следует каждый элемент  строки матрицы А умножить на соответственный элемент  столбца матрицы В и результат сложить.

 

Примеры:

 

1) .

 

2) .

 

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     .

 

Заметим, что умножение матриц некоммутативно: .

Выше было определено, что операция умножения имеет место только для согласованных матриц А и В, при этом матрицы, взятые в ином порядке (В и А), могут оказаться несогласованными, тогда их произведение не определено. Но даже в том случае, когда согласованность матриц не нарушается, произведения АВ и ВА могут оказаться разными.

Например, для матриц

 

 и  имеем:

, но

.

 

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими). Очевидно, это может иметь место только в том случае, когда А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка.

Например, коммутирующими являются матрицы:

 

 и .

 

Действительно,

 

              

 

               ,

 

то есть для данных матриц АВ=ВА.

 

Еще одно замечание: произведение двух матриц может быть нуль-матрицей, даже если ни один из сомножителей не является нуль-матрицей.

Например, пусть даны матрицы  и . Найдем произведение АВ и ВА:

 

;

 

.

 

Отсюда следует, что умножение матриц обладает рядом свойств, не характерных для умножения действительных чисел, поэтому при действиях с матрицами необходимо проявлять осмотрительность и аккуратность.

В заключение, отметим свойства, присущие операции транспонирования:

1) ;

2) ;

3) .

 

4.     Возведение в степень.

На основе определения произведения матриц умножать матрицу А на себя можно только в том случае, если это квадратная матрица.

Пусть k – целое неотрицательное число, тогда k – й степенью квадратной матрицы А называется матрица, которая вычисляется следующим образом:

 

 

Пример. Найти куб матрицы .

 

;

 

.

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.      Что называется матрицей? Перечислите виды матриц.

2.      Какую роль в линейной алгебре играют единичная и нулевая матрицы?

3.      Какая матрица называется диагональной?

4.      Дайте определение квадратной матрицы.

5.      Какая матрица называется транспонированной по отношению к данной?

6.      Для каких матриц определена операция сложения?

7.      Перечислите основные свойства сложения матриц.

8.      Какие матрицы называются коммутирующими между собой?

9.      Для каких матриц определена операция умножения?

10.   Перечислите основные свойства умножения матриц.

 

Тема №15. Теория определителей. Основные свойства определителей. Вычисление определителей произвольного порядка n. Формулы разложения.

 

1. Определители

 

Понятие определителя вводится лишь для квадратных матриц. Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом n–го порядка этой матрицы.

Для записи определителя матрицы А используются следующие обозначения: , , , или развернутое, учитывающее связь с элементами заданной матрицы , где вертикальные линии вместо круглых (матричных) скобок указывают на то, что здесь речь идет об определителе матрицы А (о единственном числе), а не о таблице чисел.

Числа  в этом случае называются элементами определителя. При этом, как и в матрице А, элементы  образуют главную диагональ определителя, а элементы  – побочную.

Введем понятие определителя сначала для квадратных матриц первого, второго и третьего порядка, а затем распространим на квадратные матрицы любого порядка.

Определителем матрицы , то есть матрицы, состоящей из одного элемента  (определителем первого порядка), называется само число .

 

Пусть дана квадратная матрица второго порядка , тогда ее определителем (определителем второго порядка) называется число .

 

Пример 1. Найти определитель матрицы .

 

Решение: 

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка , тогда определителем третьего порядка данной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом:

 

 

Замечание. При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать следующим образом:

 

 

Пример. Вычислить определитель матрицы

 

 

.

 

2. Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей второго и третьего порядков.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы равен определителю ее транспонированной матрицы: .

Докажем это свойство для определителя второго порядка. Действительно,

 

, , то есть .

 

Свойство 2. При перестановке столбцов (строк) определитель меняет только знак.

Действительно, если , то

 

 

 

Замечание. В дальнейшем для упрощения формулировок свойств определителей строки и столбцы матрицы будем называть рядами.

 

Свойство 3. Если какой-нибудь ряд матрицы является линейной комбинацией некоторых параллельных ему рядов, то определитель этой матрицы равен нулю. Действительно, пусть имеется следующая квадратная матрица третьего порядка: , тогда

 

 

Следствие 1. Определитель, имеющий одинаковые параллельные ряды,

равен нулю.

 

Следствие 2. Определитель, содержащий ряд из одних нулей, равен нулю.

 

Свойство 4. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых элементами соответствующего ряда являются первые слагаемые, у другого – вторые, а остальные элементы этих двух определителей те же, что у данного:

 

.

 

Действительно, 

 

Свойство 5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

 

Действительно, 

 

Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

 

Действительно, на основании свойств 4 и 5

 

 и, согласно следствию 1, второй определитель равен нулю, следовательно .

 

Для формулировки следующих свойств определителей возникает необходимость введения понятий минора и алгебраического дополнения.

Введем понятие минора для элементов определителя третьего порядка. Пусть имеется определитель третьего порядка

 

.

 

Возьмем элемент .

Вычеркнем в ней  -ю строку и  -ый столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определитель полученной матрицы 2-го порядка называется минором элемента  -ой строчки и  -го столбца матрицы А и обозначается .

Например, минор элемента  обозначают . Таким образом, по определению для определителя

 

 

, , ,  и т.д.

 

Введем понятие минора для определителя n-го порядка

 

.

 

Выделим в нем какой-либо элемент  и вычеркнем  строку и  столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором  элемента  

определителя .

Алгебраическим дополнением элемента  квадратной матрицы порядка n называется число, рассчитанное по формуле .

Согласно этой формуле, алгебраическое дополнение совпадает с минором , если сумма индексов  является четным числом и имеет знак, противоположный знаку минора , если сумма индексов  – нечетное число.

3. Вычисление определителей произвольного порядка n.
Формулы разложения

 

Теорема. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любого его ряда на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:

 

;

 

;

 

;

 

;

 

;

 

.

 

Пример. Найти определитель

 

 

Данная теорема справедлива и для определителя n-го порядка. Определитель n-го порядка равен сумме произведений любого его ряда на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть

 

;

 

Данные равенства называют разложениями определителя (формулами разложения) по  строке или по  столбцу соответственно.

Все свойства, доказанные выше для определителей второго и третьего порядков, справедливы и для определителя n-го порядка.

 

В завершении приведем еще два важных свойства определителей.

 

Свойство 7. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

 

Докажем данное свойство для определителя третьего порядка. С этой целью вычислим сумму произведений элементов первой строки матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов третьей строки:

 

 

Свойство 8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

 

Докажем это свойство для квадратных матриц второго порядка. Пусть

 тогда с учетом свойств определителей

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.      Для каких матриц применимо понятие определителя?

2.      Что понимается под определителем?

3.      Сформулируйте определение определителя второго и третьего порядков.

4.      Проиллюстрируйте правило треугольников.

5.      Что называется минором данного элемента определителя?

6.      Что называется алгебраическим дополнением данного элемента определителя?

7.      Какая связь между минором и алгебраическим дополнением данного элемента определителя?

8.      Сформулируйте основные свойства определителей и проверьте их для определителей второго порядка.

9.      В чем заключается выражение определителя непосредственно через его элементы?

10.   Опишите основные методы вычисления определителей.

 

Тема №16. Обратная матрица. Ранг матрицы. Понятие обратной матрицы

 

1. Обратная матрица

Известно, что число  называется обратным к числу , если . Обратное число  существует для любого числа, кроме нуля, и при этом является единственным. Аналогично введем для квадратных матриц понятие обратной матрицы, используемой обычно при решении систем линейных уравнений.

Если две квадратные матрицы А и В одного и того же формата n таковы, что , где E – единичная матрица формата n, то говорят, что матрицы А и В являются обратными друг другу, и используют обозначение .

Таким образом, матрица  называется обратной по отношению к квадратной матрице , если .

Выясним, какие матрицы имеют обратные матрицы, и если матрица А имеет обратную , то как ее находить.

Квадратная матрица А называется вырожденной или особенной, если ее определитель равен нулю , в противном случае, то есть при , матрица А называется невырожденной (неособенной).

Нахождение обратных матриц опирается на следующую теорему, которую приведем без доказательства.

 

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, и притом единственную.

Пусть дана квадратная матрица формата n 

 

.

 

Приведем алгоритм вычисления обратной матрицы :

1.     Вычисляем определитель  и убеждаемся, что ;

2.     Составляем квадратную матрицу  формата n следующим образом: на место каждого элемента поставим алгебраическое дополнение этого элемента, то есть

 

 

3.     Транспонируем матрицу 

 

.

 

Замечание. Полученная матрица  называется присоединенной или союзной матрицей.

4.     Находим обратную матрицу по формуле .

5.     Проверяем правильность вычислений, убедившись, что соотношение  выполняется.

Пример. Дана матрица

 

.

 

Найти обратную матрицу .

 

1.     Находим определитель матрицы А

 

 

2.     Составляем квадратную матрицу , для этого находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

 

;     ;

;   ;

;      ;

;   ;

.

 

 

3.     Транспонируем матрицу 

 

 

4.     Находим обратную матрицу 

 

 

5.     Проведем проверку:

 

 

2. Ранг матрицы

 

Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов:

 

.

 

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов, причем . Элементы выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k.

Определитель выделенной квадратной матрицы называется минором k-го порядка заданной матрицы А. В матрице А квадратиком выделен минор  -го порядка.

Количество комбинаций из k разных строк, отличающихся номером хотя бы одной строки, которые можно выделить из m строк заданной матрицы, определяется как число сочетаний из m элементов по k :  Аналогично из n столбцов заданной матрицы можно составить  комбинаций по k. Следовательно, в прямоугольной матрице порядка  можно составить  миноров k-го порядка.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров данной матрицы называется рангом матрицы А и обозначается r, r(A) или rang A.

Отличный от нуля минор наивысшего порядка называется базисным, а строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными. Заметим, что базисных миноров у матрицы может оказаться больше чем один.

Из определения следует, что рангом обладает любая матрица, а ранг нулевой матрицы равен нулю. Если в матрице имеется хотя бы один отличный от нуля элемент, то ее ранг не меньше единицы. В случае, когда все миноры  k -го и выше порядков равны нулю, .

Отметим, что из свойств определителей следует, что ранг матрицы не изменяется

-       при транспонировании матрицы, то есть ;

-       при перестановке каких-либо строк (столбцов);

-       при умножении каждого элемента строки (столбца) на одно и тоже отличное от нуля число k;

-       при сложении элементов одной строки (одного столбца) с соответствующими элементами другой строки (другого столбца), умноженное на некоторое число .

Ранг матрицы не изменяется и при элементарных преобразованиях

матрицы.

 

Пример. Найти ранг матрицы:

 

.

 

Решение. Все миноры третьего порядка равны нулю. Имеется минор второго порядка, отличный от нуля . Следовательно, .

 

На практике определение ранга представляет собой трудоемкую операцию, поэтому, чтобы найти ранг матрицы, ее обычно приводят к виду, когда базисный минор становится очевидным. С этой целью применяют так называемые элементарные преобразования матриц. Элементарными преобразованиями матриц являются:

1)     перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2)     умножение всех элементов ряда матрицы на одно и то же отличное от нуля число.

3)     прибавление элементов какого-либо ряда матрицы к соответствующим элементам параллельного ряда, умноженных на одно и тоже не равное нулю число;

4)     вычеркивание ряда матрицы, являющегося линейной комбинацией других параллельных ему рядов, в том числе состоящих из одних нулей.

Примечание. Матрица, полученная из данной с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной этой матрице. Эквивалентность матриц обозначается знаком.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

 

 

Ранг полученной ступенчатой матрицы равен p.

 

Пример. Найти ранг матрицы

 

 

Решение. Приведем матрицу А к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

 

 

Полученная ступенчатая матрица содержит три ненулевых строки, а это означает, что ее ранг равен 3. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 3.

 

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.      Дайте определение обратной матрице. Всякая ли матрица имеет обратную?

2.      Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы.

3.      Что такое ранг матрицы? Каков смысл этого понятия?

4.      Что называется базисным минором?

5.      Изменится ли ранг матрицы при перестановке каких-либо строк (столбцов)?

6.      Изменится ли ранг матрицы при умножении каждого элемента строки (столбца) на одно и  тоже отличное от нуля число?

7.      Чему равен ранг нулевой матрицы?

8.      Чему равен ранг ступенчатой матрицы?

9.      Что Вы понимаете под элементарными преобразованиями?

10.   Какая матрица называется эквивалентной по отношению к данной матрице?

 

 

Тема №17. Системы линейных алгебраических уравнений

 

1. Системы линейных алгебраических уравнений

 

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида

 

 (4.1)

 

Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел

, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Например, система уравнений  совместная и определенная, так как имеет единственное решение ; система  

несовместная, а система  совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения .

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.

Основной матрицей СЛАУ (4.1) называется матрица А размера , элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть

 

.

 

Матрицей неизвестных СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (4.1):

 

.

 

Матрицей свободных членов СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:

 

.

 

С учетом введенных понятий СЛАУ (4.1) можно записать в матричном виде  или

 

. (4.2)

 

2. Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы

 

Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы (  ) и , то есть основная матрица системы  невырождена. В этом случае, согласно предыдущему пункту, для матрицы  существует единственная обратная матрица . Ясно, что она согласована с матрицами  и . Покажем это. Для этого умножим слева обе части матричного уравнения (4.2) на матрицу :

 

 

Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем

 

Так как , а , тогда

. (4.3)

 

Убедимся, что найденное значение  является решением исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим , откуда имеем .

Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение , которое удовлетворяет равенству

.

 

Покажем, что матрица  равна матрице 

С этой целью умножим предыдущее равенство слева на матрицу .

В результате получим

 

Такое решение системы  уравнений с  неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.

Пример. Найти решение системы

 

 

Выпишем матрицу системы:

, 

 

Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:

 

 

 или

 

Здесь мы вынесли общий множитель , так как нам в дальнейшем нужно будет произведение .

 

Ищем решение по формуле: .

 

                            

 

Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.

Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.

 

3. Правило и формулы Крамера

 

Рассмотрим систему  линейных уравнений с  неизвестными

 

 

От матричной формы (4.3) перейдем к более удобным и в ряде случаев более простым при решении прикладных задач формулам для нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений.

Учитывая равенство , или в развернутом виде

     

.

 

Таким образом, после перемножения матриц получаем:

 

 или

 

.

 

Заметим, что сумма  есть разложение определителя

 

 

по элементам первого столбца, который получается из определителя  путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Таким образом, можно сделать вывод, что 

Аналогично: , где  получен из  путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов, .

Следовательно, нами найдено решение заданной системы по равенствам

 

, , _,

известным и как формулы Крамера.

 

Для нахождения решения СЛАУ, последние равенства можно записать в общем виде следующим образом:

 

.  (4.4)

 

Согласно этим формулам, имеем правило Крамера для решения СЛАУ:

 

- по матрице системы  вычисляется определитель системы ;

- если , то в матрице системы каждый столбец последовательно заменяется столбцом свободных членов и вычисляются определители  получаемых при этом матриц;

- решение системы находится по формулам Крамера (4.4).

 

Пример. С помощью формул Крамера решить систему уравнений

 

 

Решение. Определитель данной системы

.

 

Так как , то формулы Крамера имеют смысл, то есть система имеет единственное решение. Находим определители:

 

, , .

 

Следовательно, по формулам (4.4) получаем:

, , .

Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.

Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.

 

Критерий совместности СЛАУ (теорема Кронекера-Капелли)

 

Расширенной матрицей  системы (4.1) называется матрица, получаемая добавлением к основной матрице А справа столбца свободных членов с отделением его вертикальной чертой, то есть матрица

 

.

 

Заметим, что при появлении у матрицы новых столбцов ранг может увеличиться, следовательно . Расширенная матрица играет очень важную роль в вопросе совместности (разрешимости) системы уравнений. Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера-Капелли.

 

Сформулируем теорему Кронекера-Капелли (без доказательства).

Система линейных алгебраических уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы . Если   – число неизвестных системы, то система имеет единственное решение, а если , то система имеет бесчисленное множество решений.

 

Опираясь на теорему Кронекера-Капелли, сформулируем алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1.      Вычисляют ранги основной и расширенной матриц СЛАУ. Если , то система не имеет решений (несовместна).

2.      Если , система совместна. В этом случае берут любой отличный от нуля минор основной матрицы порядка  и рассматривают  уравнений, коэффициенты которых входят в этот базисный минор, а остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные коэффициенты, которые входят в этот базисный минор, объявляют главными или базисными, а остальные свободными (неосновными). Новую систему переписывают, оставляя в левых частях уравнений только члены, содержащие  базисных неизвестных, а все остальные члены уравнений, содержащих  неизвестных, переносят в правые части уравнений.

3.      Находят выражения базисных неизвестных через свободные. Полученные решения новой системы с  базисными неизвестными называются общим решением СЛАУ (4.1).

4.      Придавая свободным неизвестным некоторые числовые значения, находят так называемые частные решения.

 

Проиллюстрируем применение теоремы Кронекера-Капелли и вышеприведенного алгоритма на конкретных примерах.

 

Пример. Определить совместность системы уравнений

 

 

Решение. Запишем матрицу системы и определим ее ранг.

Имеем:

 

Так как матрица  имеет порядок , то наивысший порядок миноров равен 3. Число различных миноров третьего порядка  Нетрудно убедиться, что все они равны нулю (проверьте самостоятельно). Значит, . Ранг основной матрицы равен двум, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например,

 

 

Ранг расширенной матрицы  этой системы равен трем, так как существует отличный минор третьего порядка этой матрицы, например,

 

 

Таким образом, согласно критерию Кронекера-Капелли, система несовместна, то есть не имеет решений.

 

Пример. Исследовать совместность системы уравнений

 

 

Решение. Ранг основной матрицы этой системы равен двум, так как, например, минор второго порядка равен

 

 

а все миноры третьего порядка основной матрицы равны нулю. Ранг расширенной матрицы  _{также равен двум, например,}

 

 

а все миноры третьего порядка расширенной матрицы равны нулю (убедиться самостоятельно). Следовательно, система совместна.

 

Возьмем за базисный минор, например . В этот базисный минор не входят элементы третьего уравнения, поэтому ее отбрасываем.

Неизвестные  и  объявляем базисными, так как их коэффициенты входят в базисный минор, неизвестную  объявляем свободной.

В первых двух уравнениях члены, содержащие переменную , перенесем в правые части. Тогда получим систему

 

 

Решаем эту систему с помощью формул Крамера.

 

,

.

 

Таким образом, общим решением исходной системы является бесконечное множество наборов  вида ,

где  – любое действительное число.

Частным решением данного уравнения будет, например, набор , получающийся при .

 

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

 

Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решений СЛАУ является метод Гаусса. Метод Гаусса состоит из однотипных циклов, позволяющих  последовательно исключать неизвестные СЛАУ. Первый цикл направлен на то, чтобы во всех уравнениях, начиная со второго, обнулить все коэффициенты при . Опишем первый цикл. Полагая, что в системе коэффициент  (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при  и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему (4.1) следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x₁ с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим обе части первого уравнения на   и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на  и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, на последнем шаге цикла умножим обе части первого уравнения на  и сложим с последним уравнением системы. Первый цикл завершен, в результате получим эквивалентную систему

 

 (4.5)

 

Замечание. Для удобства записи обычно используют расширенную матрицу системы. После первого цикла данная матрица принимает следующий вид:

 

  (4.6)

 

Второй цикл является повторением первого цикла. Предположим, что коэффициент . Если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что . Первое и второе уравнение системы (4.5) перепишем в новую систему (в дальнейшем будем оперировать только расширенной матрицей).

Умножим второе уравнение (4.5) или вторую строку матрицы (4.6) на , сложим с третьим уравнением системы (4.5) или третьей строкой матрицы (4.6). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы. В результате получим эквивалентную систему:

 

  (4.7)

 

Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных, после k-1-го шага, получим расширенную матрицу

 

 (4.8)

 

Последние  уравнений для совместной системы (4.1) являются тождествами . Если хотя бы одно из чисел  не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, следовательно, система (4.1) несовместна. В совместной системе при ее решении последние  уравнений можно не рассматривать. Тогда полученная эквивалентная система (4.9) и соответствующая расширенная матрица (4.10) имеют вид

 

 (4.9)

 

 (4.10)

 

После отбрасывания уравнений, являющихся тождествами, число оставшихся уравнений может быть либо равно числу переменных , либо быть меньше числа переменных. В первом случае матрица имеет треугольный вид, а во втором – ступенчатый. Переход от системы (4.1) к равносильной ей системе (4.9) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из системы (4.9) – обратным ходом.

 

Пример. Решить систему методом Гаусса:

 

.

 

Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид

 

.

 

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы: умножим первую строку на  и сложим со второй строкой, а также умножим первую строку на  и сложим с третьей строкой. Результатом будет расширенная матрица первого цикла (в дальнейшем все преобразования будем изображать в виде схемы)

 

.

 

 

Полученная расширенная матрица соответствует системе уравнений

 

 

которая эквивалентна исходной системе. Далее последовательно находим:

 

, , .

 

Пример. Решить систему методом Гаусса:

 

.

 

Преобразуем расширенную матрицу системы по методу Гаусса:

 

 

Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению .

Следовательно, исходная система несовместна.

 

Системы однородных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если она тождественными преобразованиями приводится к виду:

 

 (4.11)

 

Ясно, что однородная система всегда совместна, хотя бы потому, что она всегда имеет тривиальное решение x₁ = x₂ =…= x_n = 0.

Сплошь нулевое решение часто называют тривиальным решением

системы.

Содержательным вопросом, очевидно, является следующий: при каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения? Ответом служит следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, .

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, . Пусть . Тогда один из миноров размера  отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:

. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то .

 

Достаточность.

Пусть . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения.

 

В заключении выделим частный случай последней теоремы.

Пусть дана однородная система  линейных уравнений

с  неизвестными (4.11).

 

Теорема. Для того чтобы однородная система  линейных уравнений с  неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель  был равен нулю, т. е. .

Если система имеет ненулевые решения, то , так как при  система имеет единственное, нулевое решение. Если же , то ранг  основной матрицы системы меньше числа неизвестных, то есть . Это означает, что система имеет бесконечное множество ненулевых решений.

 

Пример. Решить систему

 

 

Решение: 

Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их.

 

 

, 

 

Стало быть,  – общее решение.

 

Положив х₃ = 0, получаем одно частное решение: х₁ = 0, х₂ = 0, х_з=0. Положив х₃ = 1, получаем второе частное решение: х₁ = 2, х₂ =3, х_з = 1, и т.д.

 

Контрольные вопросы по пройденному материалу

 

1.      Что понимается под системой линейных алгебраических уравнений?

2.      Запишите в общем виде СЛАУ. Каков смысл величин, входящих в уравнения системы?

3.      Дайте определение решения системы, определения совместной, несовместной системы.

4.      При каких условиях СЛАУ имеет единственное решение?

5.      К какой СЛАУ применим метод обратной матрицы?

6.      К какой СЛАУ применимо правило Крамера?

7.      Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

8.      Сформулируйте алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений.

9.      Какая система линейных алгебраических уравнений называется однородной?

10.   При каких условиях система однородных уравнений имеет ненулевое решение?