Главная / Математика / Конспект урока по теме "Методы решения уравнений" (11 класс)

Конспект урока по теме "Методы решения уравнений" (11 класс)

Разработчик: Рабцун Лидия Васильевна, учитель математики

Урок повторения в XI классе по теме «Методы решения уравнений»


Разработка урока

  • Предмет: алгебра

  • Класс: 10

  • Тема: Методы решения уравнений

  • Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Методы решения уравнений»

  • Цель урока: закрепление основных приёмов и методов решения уравнений.

  • Задачи:

  • Образовательная:

  • 1. Проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Методы решения уравнений»

  • 2. Проверить умение выполнять арифметические действия с целыми и дробными числами, проверить умение выполнять преобразование тригонометрических выражений, выражений, содержащих модуль и корни.

  • Развивающая:
    1. Развивать логическое мышление.

  • 2. Активизировать мыслительную деятельность, познавательную активность.

  • 3.Формировать навыки самоконтроля, адекватной самооценки и саморегуляции собственной деятельности.

  • Воспитательная:
    1. Воспитывать аккуратность, трудолюбие.

  • 2. Развивать общую культуру личности.

  • 3. Способствовать толерантному воспитанию учащихся.


  • Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, парная.

  • Средства: компьютер, интерактивная доска, набор индивидуальных карточек, презентация к уроку, наглядные пособия,




Ход урока:


  1. Организационный момент.

Сегодня мы поговорим об общих целях, общих методах, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания (вопрос о проверке корней следует рассмотреть отдельно, на других уроках).

Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных.


Метод разложения на множители


Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить уравнение hello_html_mbc071d9.gif и пусть hello_html_m5b6ef556.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Тогда уравнение hello_html_mbc071d9.gif можно заменить совокупностью более простых уравнений:hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m4bcce1ca.gif

Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни, которые принадлежат области определения уравнения hello_html_mbc071d9.gif, мы получим корни исходного уравнения.


  1. Актуализация знаний учащихся


Решить уравнение:

1. hello_html_m738790dc.gif

Решение.

hello_html_2d2aec1.gif

hello_html_72818fcf.gif

hello_html_m42e4d30c.gifили hello_html_m3c4e6581.gif

hello_html_m8f00a6.gif hello_html_m6341bba6.gif

Ответ: -3; hello_html_399f0b4c.gif; hello_html_1caef8ee.gif


2. hello_html_m449fd347.gif

Решение:

hello_html_m46847a87.gif

hello_html_662af800.gifили hello_html_3c45769b.gif

D=25

hello_html_m292e7e14.gif

Ответ: -1; hello_html_m3d4efe4.gif; hello_html_42567408.gif.

3. hello_html_m1d41761b.gif

Решение:

hello_html_59771d38.gif

hello_html_m3647674c.gif

hello_html_maad7b0b.gif

hello_html_m69e487f3.gif или hello_html_m5ea780c8.gif

hello_html_36c3a5d6.gif hello_html_m3418af75.gif

hello_html_194c1c57.gif hello_html_43db3ab5.gif

Ответ: hello_html_m57bcb875.gif; hello_html_m3a1f2431.gif; 1; 3.

4. hello_html_55208c05.gif

Решение:

hello_html_dba67e4.gif

hello_html_m5904b298.gif или hello_html_3fa3f8f3.gif

hello_html_m5a93e4e3.gif

hello_html_mc0beeb6.gif

hello_html_m52630b19.gif

hello_html_m74aeb89.gif

а) hello_html_6534ff5c.gif б) hello_html_34d4ddc9.gif

hello_html_3263c342.gif hello_html_m273eb668.gif

Ответ: -2; hello_html_m270d28b7.gif; 0; hello_html_m980c3de.gif; 2.

5. hello_html_m132101d7.gifО.Д.З. hello_html_m9bb7129.gif

Решение:

hello_html_1d02742.gifили hello_html_m731c59d4.gif или hello_html_m5904b298.gif

hello_html_cede255.gif hello_html_ae7f5ee.gif

hello_html_m27353acd.gif

Ответ: 0; 1; 7.

6. hello_html_m11d5567c.gif

Решение:

hello_html_m7fc2b645.gif

hello_html_m7f3675d1.gif

hello_html_4e8fe023.gif

hello_html_7d372349.gifили hello_html_7fb87648.gif

hello_html_m27353acd.gif hello_html_29708a2a.gif

Ответ: -3; 1; 2.

7. hello_html_224a8fd7.gif

Решение:

Прибавим и отнимем hello_html_m2e6cc3b4.gif. Число 63 представим как 63=64-1.

hello_html_13f387ad.gif

hello_html_m4fa371db.gif

hello_html_277bc79.gif

hello_html_5a87cb1d.gif

hello_html_m67829403.gif

hello_html_17fef2b2.gifили hello_html_215cfd66.gif

D<0. D<0

Ответ: нет действительных корней.

8. hello_html_1a6abee3.gif

Решение:

hello_html_m73dc7df8.gif

hello_html_m305dc0aa.gif

hello_html_7035811c.gif

hello_html_m40f5aca4.gif

hello_html_m8f00a6.gifили hello_html_m42ddbf50.gif

D=121, hello_html_m57a2bcb3.gif

9. hello_html_4a4b92e9.gif

Решение:

hello_html_m27353acd.gif- корень уравнения hello_html_m7c1f2286.gif : hello_html_m2594aa4b.gif

hello_html_3f2601bd.gif

hello_html_m27353acd.gif или hello_html_1b145716.gif

hello_html_26576e67.gif

hello_html_373bf642.gif

Ответ: hello_html_m517b2f35.gif.

10. hello_html_mcd3243a.gif

Решение:

hello_html_m17f01a6d.gif

hello_html_m4cc32ef9.gif

hello_html_227cb1af.gif

hello_html_558c3e55.gif

hello_html_5dc0bdde.gif

hello_html_m6583b27c.gif или hello_html_3b1b3511.gif

hello_html_83a24f1.gif hello_html_533add11.gif

hello_html_5ab530c4.gif или hello_html_m62fa88e8.gif

hello_html_m42b2fb16.gifhello_html_m55b21a2f.gif

hello_html_madb38ea.gifhello_html_m3c0ce2c0.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: hello_html_m143f8a8d.gif

hello_html_m4f7a0b76.gif.

11. hello_html_5d9d5aa8.gif

Решение:

hello_html_m56e4767b.gif

hello_html_1e85665.gif

hello_html_m5b0afff7.gif

hello_html_m5d60b1a4.gif

hello_html_m62fa88e8.gif или hello_html_m7a81662a.gif

hello_html_m787981fc.gif hello_html_m2166f8.gif

hello_html_38a09a31.gif hello_html_225ea612.gif

Ответ: hello_html_m1d6741e2.gif

12. hello_html_587073f5.gifhello_html_m44a6c48b.gif

Решение:

hello_html_m2cb00e2d.gif

hello_html_73e7fd19.gif

hello_html_m274bfefc.gif или hello_html_m1bb9647.gif

hello_html_6626a840.gif hello_html_62628567.gif

hello_html_7e50a8fa.gif hello_html_m2b752bd2.gif

Ответ: -4 и 4.

13. Решить систему уравнений hello_html_m38309eac.gif

Решение:

hello_html_28c15f8d.gif

Пусть hello_html_m3b787fd5.gif и учитывая, что

hello_html_a7bf1c8.gif запишем исходную систему иначе:

hello_html_57b70998.gif

Отсюда hello_html_mb19ecbb.gif и тогда hello_html_m7ec93abd.gif

Таким образом, исходная система равносильна системе hello_html_m13353211.gif

Эта система распадается на две:

hello_html_m779fd94e.gif и hello_html_m6aac78e0.gif

Ответ: (4;3); (3;4).


Метод введения новых переменных


Суть метода очень проста: если уравнение hello_html_mbc071d9.gif удалось преобразовать к виду hello_html_177489a0.gif, то нужно ввести новую переменную hello_html_me5c08c0.gif, решить уравнение hello_html_2ba825db.gif, а затем рассмотреть совокупность уравнений:

hello_html_1f03a1fc.gif , где hello_html_4869191d.gif - корни уравнения hello_html_2ba825db.gif

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких-либо преобразований.

Бывает полезно так же ввести не одну, а две переменные.

Решить уравнение:

1. hello_html_m4ca353f.gif

Решение:

hello_html_738b770c.gif при hello_html_m3742561f.gif

Ответ: нет корней.

2. hello_html_m2fa9a928.gif

Решение:

hello_html_m5a93e4e3.gif hello_html_me8f0751.gif

hello_html_m2d7b1fe2.gif

1) hello_html_m3d59f967.gif 2) hello_html_793128ae.gif

hello_html_m6ddfe467.gif hello_html_m7abf63f5.gif

Ответ: -4;-1;1;4.

3. hello_html_7081c6ec.gif

Решение::

Пусть hello_html_1717be80.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_7229feee.gif

hello_html_7cd48c35.gif

4. hello_html_m2225068d.gif

Решение:

hello_html_m5a73bb68.gif

hello_html_m1a65afd5.gif

Пусть hello_html_621e6967.gif

hello_html_181f424b.gif

D=9, hello_html_3b5433e3.gif - посторонний корень

1) hello_html_m548eee5b.gif,

hello_html_m1c3fccd8.gif

Ответ: hello_html_m70bd62bf.gif

5. hello_html_aeca66f.gif

Решение:

Пусть hello_html_1846feda.gif, тогда уравнение примет вид: hello_html_m150b281d.gif

hello_html_13899008.gif

hello_html_679fe92a.gif

hello_html_171c6368.gif

hello_html_m1d5e3dfc.gif

hello_html_5150f000.gif -9 – посторонний корень

1) hello_html_m5a549a53.gif

hello_html_1490658a.gif

hello_html_49ae62d3.gif

Ответ: -1 и 2.


Рассмотрим несколько уравнений, где применение метода введения новых переменных не так очевидна.

6. hello_html_74c3a15f.gif

Решение:

Данное уравнение – симметричное, оно является уравнением четвертой степени. Разделим обе части уравнения на hello_html_25a0bda3.gif. Получим

hello_html_m7846c0cf.gif

hello_html_m2c117504.gif

hello_html_m6f7aed02.gif

Пусть hello_html_4bd00c3a.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_75da4643.gif

hello_html_m5927739a.gif

1) hello_html_m1c798e47.gifhello_html_14ae0821.gif 2) hello_html_m11ba7552.gif

hello_html_m1648dc0c.gif hello_html_m7a2e91f.gif

D=5 D<0

hello_html_10138621.gif

Ответ: hello_html_m2ce324f2.gif

7. hello_html_m6b7ac0c0.gif

Решение:

Пусть hello_html_2d795f22.gif

Уравнение примет вид: hello_html_5b327da1.gif

Значит, hello_html_m4c1e88e7.gif

hello_html_m2730e30e.gif

hello_html_m6c68c292.gif

hello_html_6ec28905.gif

Ответ: hello_html_479179f1.gif

8. hello_html_77ddf9f6.gif

hello_html_78cd765c.gif

hello_html_3afae353.gif

Пусть hello_html_m6688d259.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_2805cf14.gif

hello_html_m4f765d53.gif

1) hello_html_m33f65bd6.gif 2) hello_html_m52aceecd.gif

hello_html_m69370ebe.gif hello_html_6e8cb520.gif

D<0 hello_html_mbd9ddec.gif

hello_html_m5904b298.gif или hello_html_m6d656e30.gif

Ответ: -5;0

9. hello_html_1bd1ae17.gif

Решение:

hello_html_13dd827d.gif : hello_html_25a0bda3.gif

hello_html_23847617.gif

hello_html_m5f29c0b1.gif

Пусть hello_html_5da18830.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m410d68d8.gif

hello_html_m50d2315c.gif

hello_html_m64d2b8a2.gif

1) hello_html_m686551a8.gif 2) hello_html_679d6c10.gif

hello_html_m21399faf.gif hello_html_4502ee7d.gif

hello_html_m1c31f1a6.gif hello_html_54bca310.gif

Ответ: hello_html_587673d9.gif

10. hello_html_m148e3a86.gif

Решение:

hello_html_m587f3c20.gif

hello_html_m66498a28.gif

hello_html_61a34fc3.gif

hello_html_m444058d0.gif

hello_html_m19aa4ce4.gif

hello_html_7bfe91c.gif

hello_html_54b8088c.gif

hello_html_77227926.gif

hello_html_1a5ca500.gif

hello_html_mc30e41.gif- посторонний корень

hello_html_35410830.gif

1) hello_html_m44f791a.gif

hello_html_44cd2df0.gif

hello_html_m42cddbb9.gif или hello_html_mbbfc8bf.gif

hello_html_m334ce1bf.gif hello_html_ede5c7c.gif

Ответ: 6; 8.

11. Решить уравнение

hello_html_1199d9b1.gif : hello_html_25a0bda3.gif

hello_html_m97aa7c5.gif

hello_html_54be231e.gif

Пусть hello_html_68edeef9.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_342b9aba.gif

hello_html_a67fc74.gif

hello_html_3dd4fcc5.gif 1) hello_html_m21e9bff7.gif. 2) hello_html_816e9ef.gif

hello_html_2f83afd8.gif hello_html_1939add5.gifhello_html_7509ff72.gif

D=9

hello_html_58c698c6.gif hello_html_m40b739c7.gifhello_html_195c9973.gif

hello_html_m55a6acf3.gif

Ответ: 0,5; 2.

12. hello_html_m6361414.gifhello_html_7d9cb5e.gifhello_html_154b2e69.gif

Решение:

hello_html_m592be4b4.gif

hello_html_78729bf9.gif

hello_html_m20850307.gif

Пусть hello_html_f177a0d.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m24b9d3f3.gif

hello_html_2b0c2a04.gif

hello_html_m290ad5d4.gif

1) hello_html_13642b4b.gif

hello_html_1c9f03c9.gif

D=76

hello_html_m3234c90d.gif

2) hello_html_6b8cde27.gif

hello_html_37663292.gif

D=400-720<0

Ответ: hello_html_3c0b96fc.gif

13. hello_html_m45c96245.gif

Решение:

Пусть hello_html_1284d04b.gif

hello_html_m30854dbd.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m20bc7c38.gif

hello_html_m3bf2c987.gif (разложим на множители)

hello_html_2a2b2bb5.gif

hello_html_507956e7.gif

hello_html_m2a479b50.gif

hello_html_fed8fe2.gif

hello_html_m18849d5f.gif или hello_html_mdecec89.gif

1) hello_html_3117b43a.gif 2) hello_html_m56d9c730.gif

hello_html_623128a0.gif hello_html_m3e53cb11.gif

hello_html_m243c3222.gif hello_html_4afe5689.gif

D=1 hello_html_m4de6f6d2.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_6644cc5.gif hello_html_m413d78f9.gif

hello_html_m4e077405.gif

Ответ: -1; 0,5; 2; 4.


Можно решить иначе: разделить обе части уравнения на hello_html_m43fd296d.gif

Получим: hello_html_7135f094.gif

Пусть hello_html_m46341ca5.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m33104da1.gif

hello_html_773511e1.gif

hello_html_m136584a.gif и т.д. (дальнейшее очевидно)

14. hello_html_m504d99a8.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m789c1a10.gif

hello_html_67565fcb.gif

Решение:

Заметим, что hello_html_66a2c9e7.gif

Пусть hello_html_4a7ebc96.gif

hello_html_m553e3c54.gif

Тогда hello_html_6a1fc34b.gif

hello_html_m33d3be3e.gif и

hello_html_534a12a6.gif

hello_html_3774bd52.gif, но hello_html_m7e9b128f.gif

hello_html_5f9630da.gif

hello_html_m4117ebd8.gif

hello_html_2247e244.gif

hello_html_m1b931e71.gif

hello_html_28c94f0d.gif

hello_html_28c94f0d.gif

hello_html_b6f3a03.gif

hello_html_m4a603dc4.gif, hello_html_m1ee175cd.gif

hello_html_m4deb529d.gif

hello_html_243cd858.gif

hello_html_5c622938.gif hello_html_5247fadf.gif

hello_html_m302bd0f1.gif

Уравнение не имеет корней

hello_html_4b0dda8e.gif

hello_html_9006e1f.gif

hello_html_14081375.gif

hello_html_m5d11b8b5.gif

hello_html_1e84d053.gif

hello_html_m759acf2.gif

hello_html_m5e81519.gif

D/4=hello_html_m2d76c846.gif

hello_html_43076730.gif

Ответ: 3; 143.

15. hello_html_491f6a81.gif

Решение:

hello_html_2e7ed724.gif. Тогда уравнение примет вид:

hello_html_mb3b0c8.gif hello_html_262a84ff.gif

hello_html_5025337c.gif

hello_html_d1b48eb.gif

hello_html_783ea2bb.gif

Итак, исходное равенство будет верным, если выполняется система

hello_html_m6ca80050.gif

hello_html_42d197a9.gif

hello_html_2abfdaad.gif

1) hello_html_m255aa90f.gif

2) hello_html_6e34aaed.gif

hello_html_d18710.gif

hello_html_m1235e003.gif

D=4

hello_html_m4d2ffd3a.gif

Если hello_html_m6ec5be7.gif, то hello_html_6cd23248.gif

Если hello_html_m111b27a2.gif, то hello_html_m1c42ac94.gif

1) hello_html_6cb21236.gif; hello_html_m62a72231.gif

2) hello_html_3a14d2f4.gif и hello_html_714f1db0.gif

Ответ: 2; 28.

Решение иррациональных уравнений также можно упростить с помощью удачно выбранной тригонометрической подстановки, т.е. переменные уравнения заменяются на значения каких-либо тригонометрических функций.

16. hello_html_51cec799.gif

Решение:

Пусть hello_html_577d66bf.gif. Замена возможна, т.к. hello_html_1a7013f.gif. Тогда hello_html_me55e827.gif

hello_html_m544f8543.gif

hello_html_7df7a9ea.gif hello_html_7800892a.gif

Значит, hello_html_22c469aa.gif

hello_html_m5da0a110.gif

hello_html_m1e480e4a.gif

hello_html_m1b85a71c.gif

1) hello_html_4ab5c002.gif 2) hello_html_12921a16.gif

hello_html_m7c6cd2ce.gif hello_html_m2fa7f32e.gif

hello_html_7237cdbf.gif hello_html_m5be63b9.gifhello_html_2a4f9bfb.gif

Тогда корни: hello_html_39a0fb34.gif

Откуда имеем: hello_html_m451de5bc.gif

hello_html_m1d1d8ab.gif

hello_html_m78d68964.gif

Ответ: hello_html_m2588499e.gif

17. hello_html_m344d09d7.gif(1)

Решение:

Полагая hello_html_m1e4dce16.gif, преобразуем систему (1) к виду

hello_html_m4e6f6e0c.gif (2)

hello_html_m11b0454c.gif

hello_html_m2a02d1e7.gif

hello_html_m70a15edb.gif

1) hello_html_m232f9830.gif

hello_html_m6954b80f.gif, тогда

hello_html_39ec3cf.gif

Значит, hello_html_4fcb7c4d.gifhello_html_m6d893361.gif

И hello_html_m16d16804.gifhello_html_55b86619.gif

Ответ: (2;3), (3;2).


Задания для самостоятельной работы. Домашнее задание


Решить уравнение:

1. hello_html_3517633.gif

2. hello_html_mde955e8.gif

3. hello_html_m118a75e8.gif

4. hello_html_40bbf0ed.gif

5. hello_html_m38e0b24.gif

6. hello_html_61d9239b.gif

7. hello_html_125ecae.gif

8. hello_html_m2a201ac2.gif

9. hello_html_528c1428.gif

10. hello_html_7ddbb579.gif

11. hello_html_m69ee0e60.gif

12. hello_html_3be4cfa2.gif

13. hello_html_m7e83f83c.gif

14. hello_html_m3ce03f52.gif

15. hello_html_65d1f7bb.gif

16. hello_html_53ba3249.gif

17. hello_html_m660e548b.gif


III. Итог урока




За два часа работы учащиеся углубили свои знания и умения по решению уравнений двумя способами: способом разложения на множители и способом замены переменных, что способствует формированию умений решать уравнения различного типа высокого уровня сложности.

Предложенные задания как устные, так и письменные способствовали развитию логического мышления и познавательной деятельности.

Выполнение заданий формировали ответственность, глубину мысли, самостоятельность, аккуратность, требовательность в работе.



hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif




hello_html_m53d4ecad.gif



hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif





hello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_m53d4ecad.gif


Конспект урока по теме "Методы решения уравнений" (11 класс)
  • Математика
Описание:

Данный урок нацелен на проверку и обобщение знаний и умений учащихся по теме «Методы решения уравнений». Он позволяет проверить умение выполнять арифметические действия с целыми и дробными числами, проверить умение выполнять преобразование тригонометрических выражений, выражений, содержащих модуль и корни.


Автор Рабцун Лидия Васильевна
Дата добавления 27.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 1104
Номер материала 58386
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓