Главная / Математика / Конспект урока по математике: "Правила нахождения первообразных"

Конспект урока по математике: "Правила нахождения первообразных"

Название документа Правила нахождения первообразных.docx

Конспект урока по алгебре и началам анализа для учащихся 11 класса средних общеобразовательных учреждений

На тему: «Правила нахождения первообразных»


Цель урока:

Образовательная: ввести правила нахождения первообразных с помощью их табличных значений и использовать их при решении задач.

Задачи:

  • ввести определение операции интегрирования;

  • познакомить учащихся с таблицей первообразных;

  • познакомить учащихся с правилами интегрирования;

  • научить учащихся применять таблицу первообразных и правила интегрирования при решении задач.

Развивающая: способствовать развитию у учащихся умения анализировать, сопоставлять данные, делать выводы.

Воспитательная: способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы, формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

Методы обучения: индуктивно-репродуктивный, дедуктивно-репродук-

тивный.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Требования к ЗУН:

Учащиеся должны знать:

- определение операции интегрирования;

- таблицу первообразных;

учащиеся должны уметь:

- применять таблицу первообразных при решении задач;

- решать задачи, в которых необходимо находить первообразные.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедиа проектор, презентация.

Литература:

1. А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа. Задачник для 10-11 класса» М.: Мнемозина, 2001.

2. Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник» М.: Просвещение, 2004. - 384с.

3. Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

Структура урока:

I. Организационный момент (2 мин.)

II. Актуализация знаний (7 мин.)

III. Изучение нового материала (15 мин.)

VI. Закрепление изученного материала (17 мин.)

V. Подведение итогов и Д/З (4 мин.)

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, проверка отсутствующих и готовности помещения к уроку.

II. Актуализация знаний

Запись на доске (в тетрадях)

Дата.

Классная работа

Правила нахождения первообразных.

Учитель: Тема сегодняшнего урока: «Правила нахождения первообразных» (слайд 1). Но прежде, чем перейти к изучению новой темы вспомним пройденный материал.

К доске вызываются двое учеников, каждому дается индивидуальное задание (если ученик справился с заданием без ошибок, то он получает отметку «5»).

Карточки с заданиями

1

1) Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 6х – 2х3.

2) Найдите значение производной функции f(x)=3x2+4x–1 в точке x=3.


2

1) Найти точки экстремума функции

hello_html_m99fd76e.gif .

2) Найдите значение производной функции f(x)=5x2+5x5 в точке x=1.



Решение

Карточка № 1

1) Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 6х – 2х3.

1. Найдем стационарные точки, для этого найдем производную данной функции, затем приравняем её к нулю и решим полученное уравнение, корнями которого и будут являться стационарные точки.

hello_html_m711c4fc8.gif; Пусть hello_html_2fd857af.gif, тогда hello_html_m5f755a6a.gif, сдедовательно hello_html_38274b03.gif; х1 и х2 стационарные точки;

2. Стационарные точки разбивают координатную прямую на три интервала. В тех интервалах, где производная функции положительна сама функция возрастает, где отрицательна – убывает.

hello_html_m37773952.gif- + -

у -1 1

Следовательно у убывает при х hello_html_30a1e1d1.gif (-hello_html_6b5da623.gif;-1)hello_html_m30bc2de4.gif(1;hello_html_6b5da623.gif) и возрастает при х hello_html_30a1e1d1.gif (-1;1).

2) f(x)=3x2+4x–1; hello_html_488a5e84.gif; hello_html_m60834b48.gif.

Карточка № 2

1) Найти точки экстремума функции hello_html_m99fd76e.gif .

1. Найдем стационарные точки, для этого найдем производную данной функции, затем приравняем её к нулю и решим полученное уравнение, корнями которого и будут являться стационарные точки.

hello_html_ma476663.gif; Пусть hello_html_2fd857af.gif, тогда hello_html_m40f95839.gif, следовательно, hello_html_m75dfc72f.gif, и hello_html_6c8b3306.gif.

2. Стационарные точки разбивают координатную прямую на четыре интервала. Те точки, при переходе через которые производная функции меняет знак, являются точками экстремума.

hello_html_m37773952.gif+ - - +

у -3 0 3

Значит hello_html_m75dfc72f.gif - точки экстремума, причем hello_html_54abbb84.gif - точка максимума, а hello_html_3247ecde.gif - точка минимума.

2) f(x)=5x2+5x5; hello_html_71908fb6.gif; hello_html_m37d01c93.gif.

Пока, вызванные к доске ученики решают примеры остальному классу задаются теоретические вопросы. В процессе опроса учитель следит, справились ученики с заданием или нет.

Учитель: Итак, давайте ответим на несколько вопросов. Вспомним, какая функция называется первообразной? (слайд 2)

Ученик: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка hello_html_md86ef78.gif.

После ответа учащегося, правильный ответ дублируется на слайде (слайд 2).

Учитель: Верно. А как называется процесс нахождения производной функции? (слайд 3)

Ученик: Дифференцированием.

После ответа учащегося, правильный ответ дублируется на слайде (слайд 3).

Учитель: Каким образом показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x)? (слайд 4).

Ученик: Найти производную функции F(x).

После ответа учащегося, правильный ответ дублируется на слайде (слайд 4).

Учитель: Хорошо. Тогда скажите, является ли функция F(x)=3x2+11x первообразной для функции f(x)=6х+10? (слайд 5)

Ученик: Нет, т.к. производная функции F(x)=3x2+11x равна 6х+11, а не 6х+10.

После ответа учащегося, правильный ответ дублируется на слайде (слайд 5).

Учитель: Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции f(x)? Ответ обоснуйте. (слайд 6)

Ученик: Бесконечно много, т.к. к полученной функции мы всегда прибавляем константу, которая может быть любым вещественным числом.

После ответа учащегося, правильный ответ дублируется на слайде (слайд 6).

Учитель: Верно. Сейчас давайте вместе проверим решение учеников работавших у доски.

Ученики совместно с учителем проверяют решение.

III. Изучение нового материала

Учитель: Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова integrare – восстанавливать). Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что hello_html_4530e7e5.gif, получаем hello_html_27e0da26.gif, откуда следует, что все первообразные функции hello_html_m72b47568.gif записываются в виде hello_html_6e63ceb5.gif, где C – произвольная постоянная.

Запись на доске (в тетрадях)

hello_html_4530e7e5.gif,

получаем hello_html_27e0da26.gif,

откуда следует, что все первообразные функции hello_html_m72b47568.gif записываются в виде hello_html_6e63ceb5.gif, где C – произвольная постоянная.

Учитель: Откройте учебники на странице 290. Здесь приведена таблица первообразных. Также она представлена на слайде. (слайд 7)

Учитель: Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования. Рассмотрим следующие правила интегрирования: пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:

1) Функция hello_html_m7fa2addf.gif является первообразной функции hello_html_983b7a8.gif;

2) Функция hello_html_m7319577e.gif является первообразной функции hello_html_m55d35df4.gif. (слайд 8)

Запись на доске (в тетрадях)

1) Функция hello_html_m7fa2addf.gif является первообразной функции hello_html_983b7a8.gif;

2) Функция hello_html_m7319577e.gif является первообразной функции hello_html_m55d35df4.gif.

VI. Закрепление изученного материала

Учитель: Переходим к практической части урока. Найти одну из первообразных функции hello_html_m1365b7c7.gif Решаем у доски.

Ученик: Чтобы найти первообразную данной функции нужно использовать правило интегрирования: функция hello_html_m7fa2addf.gif является первообразной функции hello_html_983b7a8.gif.

Учитель: Верно, что еще необходимо знать для нахождения первообразной данной функции?

Ученик: Также будем использовать таблицу первообразных для функций hello_html_102c91d2.gif, при p=2 и для hello_html_m6b5e8f5b.gif

Учитель: Все правильно.

Ученик: Находим одну из первообразных данной функции: hello_html_19e1eacc.gif

Запись на доске (в тетрадях)

hello_html_6e2e310.gif

hello_html_19e1eacc.gif

Аналогично решаются № 988 (1, 3, 5), № 989 (1, 3, 5, 7), № 990 (1, 3, 5).

Учитель: Следующая задача звучит так: найти все первообразные функции hello_html_mf6ae126.gif Решаем у доски.

Ученик: По таблице первообразных находим, что одной из первообразных функции hello_html_m522a068a.gif является функция hello_html_5f426570.gif.

Учитель: Верно, как найдем производную второй функции?

Ученик: Также по таблице первообразных находим, что одной из первообразных функции hello_html_m48924952.gif является функция hello_html_339a6fbf.gif. По правилам интегрирования одна из первообразных данной функции hello_html_5d501536.gif.

Учитель: Это мы нашли одну из первообразных функции, а по условию задачи нужно найти все первообразные.

Ученик: Необходимо к найденной первообразной прибавить константу, т. е. hello_html_md241812.gif - все первообразные функции hello_html_mf6ae126.gif

Запись на доске (в тетрадях)

hello_html_m8fed5cf.gif

hello_html_76f178d2.gif,

hello_html_77fda666.gif,

hello_html_md241812.gif- все первообразные функции hello_html_mf6ae126.gif

Аналогично решается № 991 (1, 3, 5, 7).

V. Подведение итогов и Д/З

Учитель: Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке?

Ученик: На сегодняшнем уроке мы изучили таблицу первообразных и правила интегрирования.

Учитель: Верно. А какие правила интегрирования вы знаете?

Ученик: Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:

1) Функция hello_html_m7fa2addf.gif является первообразной функции hello_html_983b7a8.gif;

2) Функция hello_html_m7319577e.gif является первообразной функции hello_html_m55d35df4.gif.

Учитель: Все правильно.

Домашнее задание

§55, № 988 (2, 4, 6), № 989 (2, 4, 6, 8), № 990 (2, 4, 6), № 991 (2, 4, 6, 8). (слайд 9)

Выставление отметок.

Учитель: Урок окончен. Можете быть свободны.


Название документа Презентация к уроку Правила нахождения первообразных.pptx

Правила нахождения первообразных
Повторение Вопрос: какая функция называется первообразной? Ответ: Функция F(x...
Вопрос: как называется процесс нахождения производной функции? Ответ: Диффере...
Вопрос: Каким образом показать, что функция F(x) является первообразной для ф...
Вопрос: Является ли функция F(x)=3x2+11x первообразной для функции f(x)=6х+10...
Вопрос: Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции f(x)...
Таблица первообразных
Правила интегрирования
Домашнее задание §55, № 988 (2, 4, 6), № 989 (2, 4, 6, 8), № 990 (2, 4, 6), №...
1 из 9

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Правила нахождения первообразных
Описание слайда:

Правила нахождения первообразных

№ слайда 2 Повторение Вопрос: какая функция называется первообразной? Ответ: Функция F(x) н
Описание слайда:

Повторение Вопрос: какая функция называется первообразной? Ответ: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка

№ слайда 3 Вопрос: как называется процесс нахождения производной функции? Ответ: Дифференци
Описание слайда:

Вопрос: как называется процесс нахождения производной функции? Ответ: Дифференцированием. Повторение

№ слайда 4 Вопрос: Каким образом показать, что функция F(x) является первообразной для функ
Описание слайда:

Вопрос: Каким образом показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x)? Ответ: Найти производную функции F(x). Повторение

№ слайда 5 Вопрос: Является ли функция F(x)=3x2+11x первообразной для функции f(x)=6х+10? О
Описание слайда:

Вопрос: Является ли функция F(x)=3x2+11x первообразной для функции f(x)=6х+10? Ответ: Нет, т.к. производная функции F(x)=3x2+11x равна 6х+11, а не 6х+10. Повторение

№ слайда 6 Вопрос: Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции f(x)? О
Описание слайда:

Вопрос: Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции f(x)? Ответ обоснуйте. Ответ: Бесконечно много, т.к. к полученной функции мы всегда прибавляем константу, которая может быть любым вещественным числом. Повторение

№ слайда 7 Таблица первообразных
Описание слайда:

Таблица первообразных

№ слайда 8 Правила интегрирования
Описание слайда:

Правила интегрирования

№ слайда 9 Домашнее задание §55, № 988 (2, 4, 6), № 989 (2, 4, 6, 8), № 990 (2, 4, 6), № 99
Описание слайда:

Домашнее задание §55, № 988 (2, 4, 6), № 989 (2, 4, 6, 8), № 990 (2, 4, 6), № 991 (2, 4, 6, 8)

Конспект урока по математике: "Правила нахождения первообразных"
  • Математика
Описание:

Методическая разработка содержит конспект урока с презентацией на тему: «Правила нахождения первообразных». Конспект урока по алгебре и началам анализа предназначен для учащихся 11 класса средних общеобразовательных учреждений. Цель урока: ввести правила нахождения первообразных с помощью их табличных значений и использовать их при решении задач. Урок разработан по учебнику Ш.А. Алимова «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник» М.: Просвещение 2004 год.

Автор Лютов Руслан Александрович
Дата добавления 19.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 2386
Номер материала 59576
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓