Конспект урока по алгебре и
началам анализа для учащихся 11 класса средних общеобразовательных учреждений
На тему: «Правила нахождения
первообразных»
Цель урока:
Образовательная: ввести правила нахождения
первообразных с помощью их табличных значений и использовать их при решении
задач.
Задачи:
-
ввести определение операции интегрирования;
-
познакомить учащихся с таблицей
первообразных;
-
познакомить учащихся с правилами
интегрирования;
-
научить учащихся применять таблицу
первообразных и правила интегрирования при решении задач.
Развивающая: способствовать развитию у учащихся
умения анализировать, сопоставлять данные, делать выводы.
Воспитательная: способствовать формированию
навыков коллективной и самостоятельной работы, формировать умения аккуратно и
грамотно выполнять математические записи.
Методы обучения: индуктивно-репродуктивный,
дедуктивно-репродук-
тивный.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Требования к ЗУН:
Учащиеся должны знать:
- определение
операции интегрирования;
- таблицу
первообразных;
учащиеся должны уметь:
- применять
таблицу первообразных при решении задач;
- решать задачи,
в которых необходимо находить первообразные.
Оборудование: компьютер, экран, мультимедиа
проектор, презентация.
Литература:
1. А.Г. Мордкович
и др. «Алгебра и начала анализа. Задачник для 10-11 класса» М.: Мнемозина,
2001.
2. Ш.А. Алимов
«Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник» М.: Просвещение, 2004. - 384с.
3. Методика и
технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
Структура урока:
I. Организационный момент (2 мин.)
II. Актуализация знаний (7 мин.)
III. Изучение нового материала (15 мин.)
VI. Закрепление изученного материала
(17 мин.)
V. Подведение итогов и Д/З (4 мин.)
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие
учащихся, проверка отсутствующих и готовности помещения к уроку.
II. Актуализация знаний
Запись на доске (в тетрадях)
Дата.
Классная
работа
Правила
нахождения первообразных.
Учитель: Тема сегодняшнего урока: «Правила
нахождения первообразных» (слайд 1). Но прежде, чем перейти к изучению новой
темы вспомним пройденный материал.
К доске вызываются двое
учеников, каждому дается индивидуальное задание (если ученик справился с
заданием без ошибок, то он получает отметку «5»).
Карточки с заданиями
№ 1
1) Найти интервалы
возрастания и убывания функции у = 6х – 2х3.
2) Найдите значение
производной функции f(x)=3x2+4x–1 в точке x=3.
|
№ 2
1) Найти точки
экстремума функции
.
2) Найдите значение
производной функции f(x)=5x2+5x–5 в точке x=1.
|
Решение
Карточка № 1
1) Найти интервалы возрастания и
убывания функции у = 6х – 2х3.
1. Найдем стационарные точки, для
этого найдем производную данной функции, затем приравняем её к нулю и решим
полученное уравнение, корнями которого и будут являться стационарные точки.
; Пусть , тогда , сдедовательно ; х1 и х2
стационарные точки;
2. Стационарные точки разбивают
координатную прямую на три интервала. В тех интервалах, где производная функции
положительна сама функция возрастает, где отрицательна – убывает.
-
+ -
у -1
1
Следовательно у убывает при х
(-;-1)(1;) и возрастает при х
(-1;1).
2) f(x)=3x2+4x–1; ; .
Карточка № 2
1) Найти точки экстремума функции .
1. Найдем стационарные точки, для
этого найдем производную данной функции, затем приравняем её к нулю и решим
полученное уравнение, корнями которого и будут являться стационарные точки.
; Пусть , тогда , следовательно, , и .
2. Стационарные точки разбивают
координатную прямую на четыре интервала. Те точки, при переходе через которые
производная функции меняет знак, являются точками экстремума.
+ -
- +
у -3 0
3
Значит - точки экстремума, причем - точка максимума, а - точка минимума.
2) f(x)=5x2+5x–5; ; .
Пока, вызванные к доске
ученики решают примеры остальному классу задаются теоретические вопросы. В
процессе опроса учитель следит, справились ученики с заданием или нет.
Учитель: Итак, давайте ответим на
несколько вопросов. Вспомним, какая функция называется первообразной? (слайд 2)
Ученик: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для
всех x из этого промежутка .
После ответа учащегося,
правильный ответ дублируется на слайде (слайд 2).
Учитель: Верно. А как называется
процесс нахождения производной функции? (слайд 3)
Ученик: Дифференцированием.
После ответа учащегося,
правильный ответ дублируется на слайде (слайд 3).
Учитель: Каким образом показать, что
функция F(x) является первообразной для функции f(x)? (слайд 4).
Ученик: Найти производную функции F(x).
После ответа учащегося,
правильный ответ дублируется на слайде (слайд 4).
Учитель: Хорошо. Тогда скажите,
является ли функция F(x)=3x2+11x первообразной для функции f(x)=6х+10? (слайд 5)
Ученик: Нет, т.к. производная функции
F(x)=3x2+11x равна 6х+11, а не 6х+10.
После ответа учащегося,
правильный ответ дублируется на слайде (слайд 5).
Учитель: Какое количество
первообразных можно найти для некоторой функции f(x)? Ответ обоснуйте. (слайд 6)
Ученик: Бесконечно много, т.к. к
полученной функции мы всегда прибавляем константу, которая может быть любым
вещественным числом.
После ответа учащегося,
правильный ответ дублируется на слайде (слайд 6).
Учитель: Верно. Сейчас давайте вместе
проверим решение учеников работавших у доски.
Ученики совместно с учителем
проверяют решение.
III. Изучение нового материала
Учитель: Обратную операцию
нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от
латинского слова integrare – восстанавливать).
Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу
производных. Например, зная, что , получаем , откуда следует, что все
первообразные функции записываются в виде , где C – произвольная постоянная.
Запись на
доске (в тетрадях)
,
получаем ,
откуда следует, что все первообразные
функции записываются в виде , где C – произвольная постоянная.
Учитель: Откройте учебники на
странице 290. Здесь приведена таблица первообразных. Также она представлена на
слайде. (слайд 7)
Учитель: Правила интегрирования можно
получить с помощью правил дифференцирования. Рассмотрим следующие правила
интегрирования: пусть F(x) и G(x) – первообразные
соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке.
Тогда:
1) Функция является первообразной
функции ;
2) Функция является первообразной
функции . (слайд 8)
Запись на
доске (в тетрадях)
1) Функция является первообразной
функции ;
2) Функция является первообразной
функции .
VI. Закрепление изученного материала
Учитель: Переходим к практической части урока.
Найти одну из первообразных функции Решаем у доски.
Ученик: Чтобы найти первообразную
данной функции нужно использовать правило интегрирования: функция является первообразной
функции .
Учитель: Верно, что еще необходимо знать для
нахождения первообразной данной функции?
Ученик: Также будем использовать
таблицу первообразных для функций , при p=2 и для
Учитель: Все правильно.
Ученик: Находим одну из первообразных данной
функции:
Запись на
доске (в тетрадях)
Аналогично решаются № 988 (1,
3, 5), № 989 (1, 3, 5, 7), № 990 (1, 3, 5).
Учитель: Следующая задача звучит так: найти
все первообразные функции Решаем у доски.
Ученик: По таблице первообразных
находим, что одной из первообразных функции является функция .
Учитель: Верно, как найдем производную второй
функции?
Ученик: Также по таблице
первообразных находим, что одной из первообразных функции является функция . По правилам интегрирования
одна из первообразных данной функции .
Учитель: Это мы нашли одну из первообразных
функции, а по условию задачи нужно найти все первообразные.
Ученик: Необходимо к найденной первообразной
прибавить константу, т. е. - все первообразные функции
Запись на
доске (в тетрадях)
,
,
- все первообразные функции
Аналогично решается № 991 (1,
3, 5, 7).
V.
Подведение итогов и Д/З
Учитель: Что нового вы узнали на
сегодняшнем уроке?
Ученик: На сегодняшнем уроке мы
изучили таблицу первообразных и правила интегрирования.
Учитель: Верно. А какие правила
интегрирования вы знаете?
Ученик: Пусть F(x) и G(x) – первообразные
соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке.
Тогда:
1)
Функция является
первообразной функции ;
2)
Функция является
первообразной функции .
Учитель: Все правильно.
Домашнее
задание
§55,
№ 988 (2, 4, 6), № 989 (2, 4, 6, 8), № 990 (2, 4, 6), № 991 (2, 4, 6, 8). (слайд
9)
Выставление отметок.
Учитель: Урок окончен. Можете быть
свободны.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.