Главная / Математика / Классическое определение вероятности, 12 класс

Классическое определение вероятности, 12 класс


Числа не управляют миром,

но показывают, как управляется мир”.

И. Гете.


ФИО учителя

Дьячук Габриэлла Николаевна

Место работы

Лицей «А.С. Пушкин», г. Фалешты.

Должность

Преподаватель математики

Предмет

Математика

Класс

12 «б», реальный профиль


6.


7.

Модуль 5



Тема





Номер урока в теме


Элементы теории вероятности.



« Классическое определение вероятности».



Урок №2.


8.

Базовый учебник

Математика, 12 кл. Авторы:Ион Акири, Валентин Гарит, Петру Ефрос, Василе Нягу, Николае Продан.



Субкомпетенции: 4.6, 4.7, 4.8.



Цели урока: В конце урока учащиеся будут способны:

  • Ц1: Распознавать и классифицировать события по результату некоторого эксперимента;

  • Ц2: Определить вероятность, используя статистическое и классическое определение;

  • Ц3: Использовать классическое определение при вычислении вероятности;

  • Ц4: Вычислять вероятность события, используя отношение: количество благоприятных событию случаев к количеству всевозможных случаев эксперимента.

  • Ц5: Анализировать и оценивать свою работу и работу товарищей.


Тип урока: Урок формирования способностей добывания знаний.

Дидактические технологии:

1)Методы обучения: Анализ, синтез и обобщение;

метод упражнений; беседа.

2)Формы обучения: Фронтальная, индивидуальная, групповая.

3)Средства обучения: Персональный компьютер, мультимедийный проектор.

Интерактивная доска. Компьютерная презентация в

Microsoft Power Point .

Раздаточный и справочный материал.

4)Оценивание: а) Виды оценивания: текущее оценивание;

б) Формы, методы оценивания: устные и письменные вопросы и упражнения; самостоятельная работа; самопроверка.



ХОД УРОКА.

Этапы урока


Цели

Учебная деятельность

учителя

Учебная деятельность

учащихся

Оценивание

1

Организация начала урока.


Приветствие.

На доске записана дата: число и месяц.

Классная работа

Проверка готовности к уроку.

Приветствие учителя.

Полная готовность класса и оборудования, быстрое включение учащихся в деловой ритм.

Визуально проверяется,

есть ли у учащихся всё необходимое для урока.

2

Проверка домашнего задания.




Актуализация опорных знаний









-Что было задано на дом?


-Есть ли вопросы по домашней работе?

Дома вы должны были провести серию испытаний с монетой – подкинуть её 100 раз и найти абсолютную и относительную частоту появления орла. Заполните таблицу вашими результатами.

- Ребята! Очень часто в разговорах ,между

взрослыми, знакомыми или в средствах массовой информации можно услышать такие предложения:

  • -Вероятность того, что этот кандидат победит на выборах равно 1\2.

  • -Вероятность того, что завтра на экзамене мне попадётся тот билет, который я выучил ,равна 25%.

  • -Вероятность того, что встреча произойдёт в парке, равна 1:100.

  • Вероятно, завтра пойдет дождь.

-Кто-нибудь из вас сможет объяснить эти предложения?

-А что общего в этих предложениях?

Комментарии учителя.

Что - Чтобы объяснить эти предложения

мы должны понять, что такое вероятность.

Цель сегодняшнего урока – ввести понятие вероятности (статистическое и классическое) и научиться её находить.

Открываем тетради и записываем тему урока «Статистическое и классическое определение вероятности». Чтобы разобраться в новой теме, нам поможет материал предыдущего урока, на котором мы начали изучать новый раздел математики «Элементы теории вероятности».



Учащиеся, заполняют таблицу.



hello_html_m74de5ead.gif













Учащиеся, анализируя, отвечают.

( Один из вариантов ответа может быть : Нет)



-Они содержат слово вероятность.








Записывают тему урока.



Устное оценивание


3










Преподавание учение нового материала.













Ц1








































































Ц2










































Ц2










Ц3






























Ц4




- Что изучает теория вероятности?



- О каких событиях мы говорили на предыдущем уроке? Какое событие называется достоверным, невозможным, случайным?

Примеры событий.

Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на грани кубика заменяют соответствующим числом и тогда говорят о выпадении 1, 2 или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат—исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

  1. событие А— выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;

  2. событие В— выпадает цифра 7, 8 или 9;

  3. событие С— выпадает цифра 1.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Событие В, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Вообще, событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

А событие С, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может как наступить, так и не наступить, называют случайным событием.

-Сегодня на уроке нас с вами будут интересовать только случайные события.

-О каких опытах, испытаниях мы говорили на предыдущем уроке?

-Что такое исход испытания?

-Сколько исходов у испытаний - подбрасывание кубика, монеты, выдёргивание карты из колоды, карандаша из коробочки?

-Что такое абсолютная частота случайного события?

-Что такое относительная частота случайного события?

Проанализируем результаты домашней работы.

hello_html_2efc6370.gif





Комментарии учителя.

Из наших с вами результатов видно, что относительная частота колеблется от 0,48 до 0,54. Но с другой стороны, очевидно, что они происходят около некоторого числа. Из таблицы видно, что относительная частота орла мало отличается от 0,5 или 1/2.

Фундаментальным свойством относительных частот (законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота приближается к определённому числу, которое и следует считать вероятностью.

hello_html_m15a08a9c.png



Комментарии учителя.

Перед вами график изменения

относительных частот выпадения орлов в

длинной серии экспериментов, которые

проводили учёные-исследователи.

Частота орлов пересчитывалась после

каждые 100 опытов и наносилась на

график. По графику видно, что с ростом числа опытов

частота приближается к конкретному числу 0,5.

Для более точной оценки нужно увеличить

количество.

Число 0,5 – вероятность события

выпадения орла.



Определение: Вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Запись на доске (показывает учитель).

А- событие (выпадение орла)

Р(А) = 0,5=1\2=50%=1:2

PROBABILITE(франц. слово) - вероятность

Данное определение называют статистическим ( от слова «статистика» - сбор и обработка данных). Оно даёт возможность приближённо оценить значение вероятности по относительной частоте, причём тем точнее, чем длиннее серия экспериментов.

Можно ли вычислить вероятность не прибегая к экспериментам, а как-нибудь теоретическим методом? Сейчас мы попробуем это сделать. Но перед этим мы должны ввести 2 важных определения.

В опытах по подбрасыванию монеты 2 исхода – орёл и решка. Каждая грань ничем не лучше другой, обе стороны сделаны из одного материала, т. е. однородны, все исходы имеют равные шансы наступления.

Исходы эксперимента, которые имеют равные шансы наступления, называют равновозможными.

Благоприятный исход – исход, при котором наступает событие А.

Для опытов с конечным числом равновозможных исходов можно сформулировать такое определение вероятности.

Определение (записывают в тетрадь):

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Р(А) = m/n

m-число благоприятных исходов, n- число равновозможных исходов.

Р(А)=1\2=0,5=50%

Это определение называют классическим (от слова «классно» – быстро, удобно)

Формула даёт простой, не требующий экспериментов, способ вычисления вероятности. Мы получили, что вероятность выпадения орла равна 1\2. Но это вовсе не значит, что из 2 подбрасываний орёл выпадет 1 раз. Возможно, он выпадет 2 раза, а возможно – ни разу. Но если провести большое число испытаний, то относительная частота выпадения орла будет мало отличаться от 1\2.



Уч-ся отвечают на вопрос: «Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях».

Учащиеся, анализируя, отвечают.

-Первичным понятием теории вероятностей является событие.

В теории вероятности  возможный исход эксперимента называется элементарным событием, а множество таких исходов (подмножество всех возможных исходов) называется просто событием . О событии можно сказать либо :Да, оно произошло. Либо: Нет, оно не произошло.



Учащиеся дают ответы.




































-Подбрасывание кубика, монеты, выдёргивание карты из колоды, карандаша из коробочки

дин из вариантов, которым может завершиться испытание, результат испытания.

Учащиеся дают ответы


- Общее число испытаний.


- Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз. Отношение m/n называется 

частотой (относительной частотой) события A .



Приводят свои примеры.





















































hello_html_423eaf28.gif























hello_html_m58c23442.gif




hello_html_m5aeeb545.gif















Устные и письменные вопросы, задания.


4

Закрепление материала и формирование умений.

















Ц1





Ц2



Ц3




Ц4
















Ц5



Сравним статистическое и классическое определение. Можно сделать вывод, что нахождение классической вероятности не требует проведение испытаний, а статистическая вероятность предполагает их фактическое проведение.

Решение задач:

Задача 1.

Определите вероятности следующих событий, назовите количество равновозможных и благоприятных исходов:

B-При бросании кубика выпала тройка

C-При бросании кубика выпало чётное число

D-Из колоды карт вытянули туза

E-Из колоды карт вытянули шестёрку

( P(B)=1/6, P(C)=3/6, P(D)=4/36, P(E)=4/36.)

Задача 2.

Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она гласная?

( P(A)=10/33 ).



Задача 3.

Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она согласная? ( P(A)=4/7).

Задача 4.

В урне 15 белых и 25 чёрных шаров. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что он белый? (P(A)= 15/40) .

Задача 5.

Антон и Игорь бросают белый и чёрный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадает 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Игорь. Кто в этой игре будет победителем?

Решение: Подсчитаем количество всех исходов с помощью таблицы(n= 36):

(1;1)

(2;1)

(3;1)

(4;1)

(5;1)

(6;1)

(1;2)

(2;2)

(3;2)

(4;2)

(5;2)

(6;2)

(1;3)

(2;3)

(3;3)

(4;3)

(5;3)

(6;3)

(1;4)

(2;4)

(3;4)

(4;4)

(5;4)

(6;4)

(1;5)

(2;5)

(3;5)

(4;5)

(5;5)

(6;5)

(1;6)

(2;6)

(3;6)

(4;6)

(5;6)

(6;6)




Событие А – при бросании кубика в сумме

выпало 8 очков (Антон) , m=5

P(A)=5\36

Событие B- при бросании кубика в сумме выпало 7 очков(Игорь), m=6

P(B)=6\36

Так как вероятность события В больше, чем вероятность события А, то в игре у Игоря шансов выиграть больше, чем у Антона.

Хотя формула классической вероятности и проста, но при её применении не всегда легко определить количество равновероятных исходов.

Французский французский математик Даламбер(1717-1783 г) вошел в историю теории вероятности со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте с двумя монетами.



Задача Даламбера.

Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут решки.



Решение Даламбера.

Опыт имеет 3 равновозможных исхода:

  • Обе монеты упадут на «орла»

  • Обе монеты упадут на «решку»

  • Одна монета упадёт на «орла», другая на «решку»

Благоприятным будет 1 исход

Вероятность события равна 1\3.


hello_html_23ea4dcc.gif

Правильное решение:

Опыт имеет 4 равновозможных исхода:

  • Первая монета упадёт на «орла», другая на «решку»

  • Первая монета упадёт на «решку», другая на «орла»

  • Первая монета упадёт на «орла», другая на «орла»

  • Первая монета упадёт на «решку», другая на «орла»

Благоприятным будет 1 исход

Вероятность события равна 1\4.

Ошибка: Даламбер объединил два элементарных исхода в один.

Помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.








hello_html_m30278f81.gif

hello_html_m646cd0c2.gif

hello_html_m52098e5d.gif








Устные и письменные вопросы, задания.

Учащиеся отвечают на вопросы и делают записи в тетради.

У доски один из учеников решает задачу.















На интерактивной доске , заполняют таблицу и потом сверяют ответы.





hello_html_7b8e76ca.gif




















































Фронтальная работа с классом.









Устные и письменные вопросы, задания.



5

Оценивание












Ц1


Ц2





Ц3


Ц4


Ц5



Решение задач на закрепление нового материала.

Работа в парах.


1 пара. Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.

2 пара. Витя наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно начинается на 9.



Дополнительные задания: Андрей выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно

1) делится на 10; 2) делится на 2; 3) делится на 93.







Обучающая самостоятельная работа.


I вариант.

1.На тарелке 15 пирожков: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Дима наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

2. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.

II вариант.

1. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 2 черных, 5 желтых и 13 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

2. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.

9. У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами




Работа в парах.


Учащиеся выполняют задания самостоятельно с последующим обсуждением решений и комментариями учитель. Правильные ответы проектируются на интерактивной доске.






Самостоятельная работа























Фронталь-ное оценивание.



6

Домашние задание.


Дом. задание: Модуль 5, Введение на стр 98. повторить .$1.1 и 1.2 стр. 77- 78 выучить.

Решать дома те задания, которые не успели или не смогли в классе и на странице 81 № 2, №3 (уровень А), №2 ( уровень Б).

(по желанию №2 уровень Б стр.94)


Учащиеся записывают домашнее задания в дневники.



7

Итоги урока.


Учитель:


- Итак, мы сегодня говорили о …?.





- Вернёмся к началу урока.

-В каком предложении люди, при нахождении вероятности, использовали классическое определения ( с билетами),

а где статистическое (с выборами).

А вот вероятность встречи основывается на другом, геометрическом, определении вероятности, которое мы с вами рассмотрим на следующем уроке.

Учитель: - Я думаю, слова, записанные на доске, вы заметили? Поделитесь своими мыслями по поводу высказывания И. Гете.

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир”.

- Ученик читает слова.

Рассуждения детей, пожалуй, станут ответом на вопрос - зачем мы изучаем математику и, в частности, теорию вероятности?

Учитель: - Язык чисел, фигур, формул – это язык, на котором с нами говорит окружающий мир. Научиться понимать этот язык – научится понимать все вокруг, а значит жить в гармонии с миром, с его законами, красотой.




- Сегодня на уроке мы ввели новое понятие вероятность.

-Узнали 2 определения вероятности статистическое, основанное на длинной серии экспериментов и классическое, которое позволяет быстро и просто найти вероятность, но воспользоваться им мы не всегда можем. Не всегда бывает возможно найти количество исходов в испытаниях


На конкретных примерах, показали необходимость введения нового понятия








- Ученик читает слова.

Рассуждения детей, пожалуй, станут ответом на вопрос - зачем мы изучаем элементы теории вероятности и элементы математической статистики.


























C:\Users\KV-43\Desktop\bones.jpg

21


Классическое определение вероятности, 12 класс
  • Математика
Описание:

 

Дома вы должны были провести серию испытаний с монетой – подкинуть её 100 раз и найти абсолютную и относительную частоту появления орла. Заполните  таблицу вашими результатами.

- Ребята! Очень часто в разговорах ,между

взрослыми, знакомыми или в средствах массовой информации можно услышать такие предложения:

·         -Вероятность того, что этот кандидат победит на выборах равно 1\2.

·         -Вероятность того, что завтра на экзамене мне попадётся тот билет, который я выучил ,равна 25%.

·          

·         -Вероятность того, что встреча произойдёт в парке, равна 1:100.

·          

·         Вероятно, завтра пойдет дождь.

·          

-Кто-нибудь из вас сможет объяснить эти предложения?   

-А что общего в этих предложениях?

Комментарии учителя.

Что  - Чтобы объяснить эти предложения

мы должны понять, что такое вероятность.

Цель сегодняшнего урока – ввести понятие вероятности (статистическое и классическое) и научиться её находить.

Открываем тетради и записываем тему урока «Статистическое и классическое определение вероятности». Чтобы разобраться в новой теме, нам поможет материал предыдущего урока, на котором мы начали изучать новый раздел математики «Элементы теории вероятности».

 

 

- Что изучает теория вероятности?

 

- О каких  событиях мы говорили на предыдущем уроке? Какое событие называется достоверным, невозможным, случайным?

 Примеры событий.

Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на грани кубика заменяют соответствующим числом и тогда говорят о выпадении 1, 2 или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат—исходом испытания или элементарным событием.Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

1)       событие А— выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;

2)       событие В— выпадает цифра 7, 8 или 9;

3)       событие С— выпадает цифра 1.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Событие В, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Вообще, событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

А событие С, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может как наступить, так и не наступить, называют случайным событием.

-Сегодня на уроке нас с вами будут интересовать только случайные события.

-О каких опытах,  испытаниях мы говорили на предыдущем уроке?

-Что такое исход испытания?

-Сколько исходов у испытаний -  подбрасывание кубика, монеты, выдёргивание карты из колоды, карандаша из коробочки?

-Что такое абсолютная частота случайного события?

-Что такое относительная частота случайного события?

Проанализируем результаты домашней работы.

 

 

Комментарии учителя.

Из наших с вами результатов видно, что относительная частота колеблется от 0,48 до 0,54. Но с другой стороны, очевидно, что они происходят около некоторого числа. Из таблицы видно, что относительная частота орла мало отличается от 0,5 или 1/2.

Фундаментальным свойством относительных частот (законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота приближается к определённому числу, которое и следует считать вероятностью.

 

 

Комментарии учителя.

Перед вами график изменения

относительных частот выпадения орлов в

длинной серии экспериментов, которые

проводили учёные-исследователи.

Частота орлов пересчитывалась после

 каждые 100 опытов и наносилась на

график. По графику видно, что с ростом числа опытов

 частота приближается к конкретному числу 0,5.

Для более точной оценки нужно увеличить

количество.

Число 0,5 – вероятность события

выпадения орла.

 

 

Определение: Вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

   Запись на доске (показывает учитель).

А- событие (выпадение орла)

Р(А) = 0,5=1\2=50%=1:2

PROBABILITE(франц. слово) - вероятность                         

Данное определение называют статистическим ( от слова «статистика» - сбор и обработка данных). Оно даёт возможность приближённо оценить значение вероятности по относительной частоте, причём тем точнее, чем длиннее серия экспериментов.

Можно ли вычислить вероятность не прибегая к экспериментам, а как-нибудь теоретическим методом? Сейчас мы попробуем это сделать. Но перед этим мы должны ввести 2 важных определения.

В опытах по подбрасыванию монеты 2 исхода – орёл и решка. Каждая грань ничем не лучше другой, обе стороны сделаны из одного материала, т. е. однородны, все исходы имеют равные шансы наступления.

Исходы эксперимента, которые имеют равные шансы наступления, называют равновозможными.

Благоприятный исход – исход, при котором наступает событие А.

Для опытов с конечным числом равновозможных исходов можно сформулировать такое определение вероятности.

Определение (записывают в тетрадь):

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Р(А) = m/n

m-число благоприятных исходов,   n- число равновозможных исходов.

Р(А)=1\2=0,5=50%

Это определение называют классическим (от слова «классно» – быстро, удобно)

Формула даёт простой, не требующий экспериментов, способ вычисления вероятности. Мы получили, что вероятность выпадения орла равна 1\2. Но это вовсе не значит, что из 2 подбрасываний орёл выпадет 1 раз. Возможно, он выпадет 2 раза, а возможно – ни  разу. Но если провести большое число испытаний, то относительная частота выпадения орла будет мало отличаться от 1\2.

 

 

Автор Дьячук Габриэлла Николаевна
Дата добавления 28.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 496
Номер материала 13595
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓