Главная / Математика / Касательная к графику функции и геометрический смысл производной

Касательная к графику функции и геометрический смысл производной

Урок № 11 – 13

Геометрический смысл производной

Цель: Формирование геометрического смысла производной, обучение составлению уравнения касательной к графику функции в заданной точке. Закрепление навыков нахождения производных.


I. Проверка домашнего задания

  • Записать и формулы производных элементарных функций


. Новый материал

Учитель: Послушайте исторический факт (с.27 методички).


  • Мы знаем, что графиком линейной функции hello_html_1bae3c93.gifявляется прямая, число hello_html_m5faf1d98.gifназывается угловым коэффициентом прямой.

hello_html_29668886.png

Т.к. hello_html_132f09f1.gif, то hello_html_23c0d9cb.gif, т.е. hello_html_561cc396.gif. Значит, функция возрастает.






hello_html_m4f6dc8df.png

Т.к. hello_html_m1a231064.gif, то hello_html_5e52d964.gif, т.е. hello_html_3a3c4483.gif. Значит, функция убывает.





  • hello_html_m5ac62f51.gif, где hello_html_3b880dac.gifугол наклона прямой, т.е. угол между этой прямой и осью hello_html_51b1bbcd.gif(ее положительным направлением).


  • Рассмотрим график функции hello_html_m3c44476c.gif. Проведем секущую через две точки, например, АМ

hello_html_m3a12be42.png

  • Угловой коэффициент секущей hello_html_m5ac62f51.gif. В прямоугольном hello_html_57a9ba21.gifhello_html_m1d2a22f6.gif. Тогда hello_html_6bc40d99.gifhello_html_3beb26de.gif


  • Нас интересует зависимость изменения величин в более точном описании.

hello_html_5aa18a45.png


  • Устремим приращение аргумента к нулю (hello_html_m777e5a8.gif). Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А.


  • Если hello_html_m777e5a8.gif, то точка М движется по графику к точке А, значит, прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции hello_html_m3c44476c.gifв точке А.


  • Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.


  • Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке hello_html_2614a310.gif


  • Механический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, т.е. новая характеристика изучаемого процесса.


  • Эту величину Лейбниц назвал производной, а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость.


II. Работа на уроке

858, 859 (1, 3), лабораторная работа

860 (1, 3, 5), 861 (ус), 863 (1, 2, 3), 865 (в группах)

тест, 862 (1), 864 (1, 3), 866 (1 – 4), 867, 868


III. Домашнее задание § 48

858 (2, 4), 859 (2, 4, 6)

860 (2, 4, 6), тренажер № 4

862 (2), 864 (2, 4)



Ко 2 уроку


Учитель: Выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции hello_html_m3c44476c.gifв точке hello_html_1bd49ff1.gif.

hello_html_m1c6e2abc.png

  • Уравнение прямой hello_html_1bae3c93.gif, т.к. hello_html_25098892.gif, то hello_html_mdcb0aaa.gif.


  • Касательная проходит через точку hello_html_1bd49ff1.gif, значит, координаты точки удовлетворяют уравнению hello_html_mdcb0aaa.gif. hello_html_m73453861.gifhello_html_5544f796.gif.


  • Итак, уравнение касательной hello_html_1e16605f.gifhello_html_5cba379a.gifhello_html_6b2ec1b7.png

Касательная к графику функции и геометрический смысл производной
  • Математика
Описание:

Целью данного урока является формирование геометрического смысла производной, обучение составлению уравнения касательной к графику функции в заданной точке и закрепление навыков нахождения производных. Материал предназначен в основном для изучения темы в два этапа сначала - формирование геометрического смысла производной, затем - вывод уравнения касательной. В процессе отработки темы закрепляются знания по темам: Производная; Геометрический и физический смысл производной; Вычисление производных; Применение производной для исследования функции. Осуществляется межпредметные связи с физикой и геометрией.

Автор Медведева Надежда Степановна
Дата добавления 03.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 653
Номер материала 23216
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓