|
Тема: «Координаты вектора»
Произвольная
точка А в пространстве характеризуется тремя числами: абсциссой xA,
ординатой yA, что
записывается так:
А(
xA; yA;) –
координаты точки.
|
|
Краткий
справочный материал по теме
|
Примеры решения
типовых заданий
|
Задания для самостоятельной работы
|
|
А(ха
; уа )
В(хв; ув)
1.Если
точки А и В имеют координаты :АхA; yA; ) и
В( xA; yA; ), то
длину
отрезка
АВ находим по формуле:
АВ=
2.Точка
M – середина
отрезка АВ.
Координаты
середины отрезка находим по формуле :
M ( )
|
Найдите
длину отрезка AB и
координаты середины отрезка AB, если А (3;-4;0) ; В (-1;2;4).
Решение:
АВ
=  =
 =  =
=
 – длина отрезка АВ.
M (
 М(1;-1)
M (
1;-1 ) – координаты середины отрезка АВ.
|
Найдите длину отрезка CD
и координаты его середины, если
С (-2;1;) , D
(4;0;) .
|
|
Вектор
–
направленный отрезок. Обозначают:  или 
 А  В
А
– начало вектора, В – конец вектора
Длиной
вектора называют длину соответствующего ему отрезка.
Записывают
так: | | =| АВ|
  Вектор
называется нулевым, если его начало совпадает с концом АА , 0  – нулевые векторы.
|
Запишите
вектор, если точка D начало
вектора, а точка F конец вектора. Как обозначить его
длину.
DK -
данный вектор
  
DK -
длина вектора
|
Запишите
вектор, если точка М начало вектора, а точка К конец вектора. Как записать
длину этого вектора.
Постройте
нулевой вектор.
|
|
Координаты
вектора:
  
АВ(х;
у) или АВ =хi +yj,
где
i, j, –
единичные векторы
|
 
АВ
(5;-9) или АВ = 5i -9j
CD = 3i+ 2j или СD (3;2)
|
Запишите
координаты вектора
PT(-6;0) через
i и j
Запишите
координаты вектора
 SF= 3i – 4j
|
|
Координаты
вектора АВ.
Если
точки А и В имеют координаты: А(ха; уа), а
В(хВ; хВ),то вектор
|
Найдите
координаты вектора , если
А
(5;-6) , а В (-2;0).
Решение:  ( -2-5 ; 0-(-6))
 ( -7 ; 6) – координаты вектора
|
Найдите
координаты вектора , если А (3;8); В (-4;0)
|
|
 Длина
вектора:
 Если
вектор а имеет координаты а (х;у) тогда | а | =  - длина вектора а
Если
вектор имеет координаты
 , тогда длина вектора
| | = 
|
1.Найдите
длину вектора , если А (5;-6),
а
В (-2;0).
Решение: ||=  =  =  =  – длина вектора
2. Найдите
длину вектора  ( 1;-3 ).
Решение: | | =  =  = 
|
1.Найдите
длину вектора , если
А
(3;8); В (-4;0).
2.Найдите
длину вектора
 (4;-3).
|
|
Угол
между векторами
   0 α
A
В
α –
угол между векторами 
|
1.Если α =
 => векторы  соноправленные
 
0 b
а
 
2.Если α =
90° =>  – векторы перпендикулярные
 0
|
1. Покажите
угол между векторами, определите его градусную меру
   
O
|
|
Сумма и
разность векторов
 
a(x1 ;y1 ) b(x2; y2)
 
( a + b) = (x1
+ x2; y1 + y2)
(a – b) = (x1
– x ;y1 – y2)
|
Найти
сумму векторов : m(-2;3); n (3;-5)
z(-5;0)
Решение:
m + n + z
=(-2+3-5;3-5+0;) = (-4;-2)
Найти
разность векторов:
m – n =
(-2-3:-3-(-5)) = (-5:-3+5) = (-5;2)
|
   В пространстве расположены три вектора,
координаты которых: а (1; 6; 3), в (3; − 1; 7) и с (− 4; 3; − 2).
  Найти
координаты суммы векторов а и с; а и в.
  Найти
координаты разности векторов а и с; в и с.
|
|
Равенство
векторов
 
a(x1 ;y1 ) = b(x2; y2) , если
х1
= х2 и у1 = у2
|
Найти
равные векторы:
 m(-2;3),
 n (3;-5),
z(-2;3),
 к(2;3),
a (3-5)
|
Какие
из векторов будут равными, если вектора имеют координаты:
    а(5;-3) в(1;-3) с(5;-3)
к(1;-3;)
 р(5;3)
|
|
Умножение
вектора на число
 Пусть вектор a(x1 ;y1) и к –произвольное
число отличное от нуля
 к а = (kх1; kу1)
Чтобы
умножить число на вектор, нужно каждую координату вектора умножить на данное
число.
|
 Найти
произведение вектора а (1; 6) на число
5
Решение:
 5· а =(51;5 ) = (5;30)
|
 В
пространстве расположены три вектора координаты которых: а (1; 6), в (3; -1)
и
с(-4;3). Найти
координаты векторов:
  -5·а; 3·с; -в.
|
|
Скалярное
произведение векторов:
a (x1 ;y1) b (x2; y2) ,тогда
   = | | ∙ | | ∙ cos α, где
 , а
 | =  |  | = 
или
в
координатной форме
 = ха · хв + уа
· ув
|
1.Найдите
скалярное произведение векторов, если  ( 2; -8), и  ( 0; 1).
Решение:  = 2∙0 - 8∙1 = 0 + 8 = 20
2. Найдите
скалярное произведение векторов, если угол между ними равен 90°.
Решение:  Т.к. α = 90°, то cos 90° = 0
=> 
3.Докажите,
что векторы взаимно перпендикулярны, если 
Решение: 
Т.к.
 => cos α = 0 => α = 90°
=> 
|
1. Найдите
скалярное произведение векторов, если
 (-2;4;6).
2.
Докажите, что вектора взаимно перпендикулярны:
 (2;6;2).
3.Найдите cos А, если
дан треугольник АВС, заданный координатами своих вершин:
А(-6;4;-2),
В(0;-2;8),С(8;-6;2).
|
|
Условие
коллинеарности (параллельности векторов) и перпендикулярности векторов
  a и
b.
 1)Если
векторы a(xa ; ya) и b(xb ;уb)
коллинеарны,
 т.е. ( a || b) , то 
     2)Если
векторы a и
b
перпендикулярные,, т.е. a b , то
xa · xb + ya · yb = 0
|
 Доказать коллинеарность векторов a и
b, если
а(-8;13) ,а b (16;-26).
Решение:
Векторы
коллинеарные, т.к. отношение соответствующих координат одинаково.
 =  =  .
 Доказать, что векторы а(-8;2)
,а
b (2; 8)
перпендикулярные.
  Решение:
.
a b , то
xa · xb + ya · yb = 0
-8·2
+2·8 = -16 + 16 = 0, значит векторы перпендикулярные.
|
Среди
указанных векторов выбрать коллинеарные и перпендикулярные векторы:
 m (-6; 9) , n (3;-4,5),
p (6;-9)
 k (9; 6).
При
каком значении «b»
  векторы d и
s будут
а)
коллинеарными;
б)
перпендикулярными, если
d (4;-10)
s (b;2)
|
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.