Главная / Математика / Исследовательская работа "Вариации на тему ЭШЕРА"

Исследовательская работа "Вариации на тему ЭШЕРА"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Сиверская средняя общеобразовательная школа №3»




Исследовательская работа по математике




hello_html_m5392d656.gif









Выполнил ученик 11 класса

Сазонов Антон

Научный руководитель

учитель математики

Тупицына Наталья Алексеевна





п. Сиверский

2014 г.


С О Д Е Р Ж А Н И Е



Введение________________________________________3 стр.


Глава 1. Биография М.К. Эшера____________________________3-9стр

  • Детство и юность. Голландия

  • Италия и Испания

  • Назад на север

  • Метаморфозы

  • Голландия, война, слава

  • Популярность

  • Последние годы

Глава 2. Эшер и математика.________________________________________10-24стр

  • Мозаики

  • Многогранники

  • Форма пространства

  • Логика пространства

  • Геометрические парадоксы

  • Самовоспроизведение и информация

  • Спирали

Заключение____________________________________________________________24 стр

Список использованной литературы._____________________________________25 стр
















Введение.

У первого встречного грамотного любителя фантастики фамилия Эшер вызовет, скорее всего, ассоциации с одноименным домом, падение которого описано Эдгаром По. Однако существовал реальный человек, заслуживающий внимания фантастов не меньше. Речь идет о голландском художнике Морисе Корнелиусе Эшере.

Творчество его настолько нетривиально, фантастично, что читатели научных журналов часто видят публикации работ этого замечательного художника

Жизнь голландского художника Эшера, как часто пишут в биографиях выдающихся людей, была небогата событиями.

Цель работы:.Показать связь фантастического творчества Эшера.с математикой.

Задачи: Познакомиться с информацией о творчестве Эшера и показать связь его картин с математическими понятиями и объектами;

Основополагающий вопрос:Как связано творчество Мориса Эшера с математикой?

Объект исследования: творчество Эшера

Гипотеза:Дейсвительно ли Морис Корнелиус Эшер был связан с математикой?

Методы исследования: Аналитический и поисковый

Ожидаемые результаты:

Показать все красоту и прелесть картин Мориса Эшера и найти доказательство на

вечный вопрос: был ли Эшер математиком?


Глава 1. Биография М.К. Эшера

Детство и юность. Голландия.


Гhello_html_m2c2f26e6.jpgолландский художник Морис Корнелиус Эшер (Maurits Cornelis Escher) родился 17 июня 1898 года в Леевардене, административном центре голландской провинции Фрисландия. Он был третьим сыном инженера Г. А. Эшера и его второй жены, дочери министра. В доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей.

В 1903 году семья Г.А. Эшера переезжает в город Арнем, административный центр голландской провинции Гелдерланд.

С 1907 года Морис учится плотницкому делу и игре на пианино. В 1912-1918 годах он обучается в средней школе. Оценки по всем предметам у Мориса были плохими за исключением рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву.

В 1913 году Эшер в школе религии знакомится с парнем, по имени Бас Кист (он пошел туда по стопам родителей, хотя никогда не был особенно религиозен), который станет его лучшим другом. Оба интересовались технологией печати.

В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме - портрет своего отца Г. А. Эшера.

В 1917 году Эшер посещает мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок. На этом сhello_html_m10915887.pngтанке были отпечатаны первые гравюры Эшера. В этом году семья Эшера переезжает в голландский городок Остербек, расположенный в окрестностях Арнема.

В 1918-1919 годах Эшер посещает Технический колледж в голландском городке Дельфт. Он получает отсрочку от службы в армии для продолжения учебы, но из-за плохого здоровья Морис не справился с учебным планом, и был отчислен. В результате, Эшер он так и не получил высшее образование.

Все еще в надежде получить диплом архитектора в 1919-1922 годах юный Эшер учится в Школе архитектуры и орнамента в городе Гаарлеме, административном центре провинции Северная Голландия. Там он берет уроки рисования у Самюэля Джесерена де Месквита, оказавшего формирующее влияние на жизнь и творчество Эшера.

В 1921 году семья Эшера посетила Ривьеру и Италию. Очарованный растительностью и цветами средиземноморского климата, Морис сделал детальные рисунки кактусов и оливковых деревьев. Он зарисовал много эскизов горных пейзажей, которые позже легли в основу его работ.

Эшер начинает экспериментировать в новом для себя направлении и его гравюры по дереву издаются в юмористическом буклете "Easter Flowers", уже тогда в его работах встречаются зеркальные отображения, кристаллические фигуры и сферы. Первая печатная работа Эшера, продавшаяся большим тиражом, была "Святой Франциск (проповедь птицам)". В поисках новых идей Морис Эшер снова решает отправиться в Италию


Италия и Испания

В апреле 1922 года Эшер с двумя друзьями покидает Арнем. Двое друзей после двухнедельного пребывания во Флоренции, вернулись Голландию, а Эшер отправился в Сан-Джиминано с сестрой одного из них. Там, а также в городах Вольтере и Сиене, он сделал серию зарисовок. Всю весну 1922 года он провел, странствуя по Италии, зарисовывая пейзажи, растения и даже насекомых. В Ассисси он встречает собрата по перу - голландского художника Герретсена, с которым периодически видится на протяжении нескольких следующих лет.

Вернувшись домой в июне, Эшер понимает, что уже не может работать в прежних условиях, и решает при первой же возможности вернуться в южную Европу. Он отправляется со своими друзьями на яхте, сэкономив деньги, ухаживая за маленькими детьми друзей. В этом путешествии Морис впервые видит феномен фосфоресцентного моря, который он позже продемонстрирует в картине с одноименным названием. В Испании Эшер присутствует на корриде и посещает знаменитый мадридский музей "Прадо". Опоздав на экспресс, Эшер проводит 24 часа в поезде местного сообщения, чтобы добраться до Гранады. В Гранаде Эшер посещает Альгамбру, где знакомится с арабскими декоративными стилями и копирует один из них.

На корабле Эшер добирается из Испании в Италию. После небольшого путешествия по Италии, он несколько месяцев проводит в Сиене. В это время он очень интенсивно работает, в чем помогла "благословенная", по его же словам, атмосфера города.

В марте 1923 года Эшер продолжает работать и путешествовать. В конце месяца в пансион, где остановился Морис, приезжает семья швейцарского промышленника Умикера. Через несколько месяцев Эшер рисует портрет дочери - Джетты Умикер. Немного позже он понял, что влюблен, но не был уверен в ответных чувствах. В самый последний момент, когда Умикеры собрались уезжать, он решился признаться в любви и молодые были помолвлены.

В августе 1923 года в Сиене состоялась первая персональная выставка Мориса Эшера, но он уделил этому поворотному для любого художника событию совсем мало внимания. Он был увлечен Джеттой и в середине августа сделал ей предложение, а 28 августа прибыл в Цюрих для формальной встречи с семьей. Морис решил жениться и жить в Италии.

1924 год был очень насыщенным на события. В феврале прошла его персональная выставка в Голландии. 12 июня состоялась его свадьба в Виареджи в Италии. Молодожены посетили Геную, Аннеки и Брюссель. В октябре они отправились во Францию, а затем вернулись в Италию. В путешествии Эшер изучал различные архитектурные стили Европы. В конце 1924 года молодожены купили строящийся дом в городке Фраскати недалеко от Рима. И хотя строительство дома было закончено в марте 1925 года, они поселились там только в октябре.

Чуть позже переезда в новый дом происходит несчастный случай с братом Мориса, который занимался альпинизмом. Брат погиб и Эшер отправился на опознание тела. После этой трагедии он создал знаменитую гравюру по дереву "Дни творения" (Days of Creation).

В июне 1926 года Эшер покупает новый строящийся дом больших размеров, чем предыдущий, в связи с прибавлением в семье. В конце июля родился Джордж Эшер. О растущей известности Мориса Эшера говорит тот факт, что на крестинах сына присутствовали король Эммануэль и Муссолини.

Сhello_html_m69c8530d.jpgчастливая жизнь с женой и ребенком в Риме в конце двадцатых годов оказалась очень плодотворным периодом для Мориса. Его работы демонстрировались на многих выставках Голландии, а к 1929 году его популярность достигла такого уровня, что за один год прошли пять персональных выставок в Голландии и Швейцарии. Именно в этот период картины Эшера впервые были названы механическими и "логическими". На картинах изображались горные ландшафты, но встречались и коммерческие иллюстрации. Самая известная картина того периода - гравюра горной деревушки Кастровальвы, законченная в феврале 1930 года. Тогда же в 1930 году родился второй сын - Артур.

В конце 1930 и в 1931 году Морис много болеет и в работе происходит перерыв. Такие перерывы периодически возникают в течение всей жизни художника. Этот перерыв закончился его встречей в Риме с директором Голландского Исторического Института Г. Дж. Хугеверфом, который предложил написать статью о творчестве Эшера и опубликовать в ней несколько его работ. Отобранные работы издаются в виде книги Emblemata в 1932 году. В конце 1933 года Эшер пишет несколько литографий для книги ужасов The Terrible Adventures of Scholastica.

В 1934 году Морис Эшер получил третью премию за картину "Нонза, Корсика" (Nonza) на выставке в Чикаго. Институт искусств в Чикаго купил эту картину. Это была первая картина, проданная в Америке.

В этом году Эшер с семьей отправляется к берегу моря, а затем плывет в Бельгию.

Назад на север.

Летом 1935 года Эшер по делам прибывает в Гаагу в дом к родителям. Во время визита Эшер делает одно важное дело - рисует детальный портрет отца. Гравюра была закончена в августе и отпечатана только для членов семьи.

В августе 1935 года Морис с семьей переезжает в новый дом в Шато д'Э в Швейцарии. Джетта возобновляет свои занятия на пианино, а Эшер поступает в местный шахматный клуб. Дети наслаждаются снегом. В декабре Морис делает литографию фермерского дома на заснеженном склоне горы, но разочаровывается результатом. Его сын Джордж позже скажет, что отец тосковал по теплу Италии.

В начале 1936 года Эшер решает отправиться обратно в южную Европу. Он обращается в корабельные компании с предложением сделать картины кораблей и портов, обслуживаемых компаниями, в обмен на бесплатное путешествие. К его удивлению компания "Адрия" согласилась на его предложение, и в апреле Эшер отправляется в Триест, где в офисе "Адрии" был встречен с большим уважением и учтивостью.

На кораблях компании Эшер посещает Венецию, Анкону, Бари, Катанию, Палермо, Геную и несколько других итальянских и сицилийских городов. Джетта присоединяется к нему в середине мая. Во время путешествия Эшер делает большое количество зарисовок. В итоге были сделаны девять гравюр по дереву. Это было последнее большое путешествие по любимой Морисом средиземноморской Италии.

В июне после возвращения из путешествия по Средиземному морю семья Эшера посещает несколько швейцарских озер, а затем отправляется в Гаагу к родителям. Путешествие было очень удачным, и это было удачное завершение первой фазы карьеры художника. 1 сентября Эшеры возвращаются домой в Шато д'Э, и графические работы Эшера начинают постепенно приобретать другое направление.


Метаморфозы

Кhello_html_mdc34b24.jpg концу 1936 года Эшер заканчивает большинство гравюр для компании "Адрия". Также на основе эскизов путешествия он создает свою первую картину невозможной реальности Still Life with Street.

Тогда же в 1936 году он вторично посещает Альгамбру для детального изучения мавританских мозаик. Эта поездка и переселение из Италии усиливают изменения в творчестве художника.

В середине 1937 года семья Эшера снова переезжает на новое место жительства, на этот раз в Уккель - пригород Брюсселя. В октябре Эшер показывает своему брату Биру картину-мозаику, над которой он в тот момент работал. Бир, профессор геологии, был впечатлен работой и увидел в ней возможности применения идей Эшера в кристаллографии.

Вhello_html_632b1dd1.jpg1938 году Эшер продолжает эксперименты с мозаиками и трансформациями. Он создает мозаику в виде двух птиц, летящих навстречу друг другу, которая легла в основу картины "День и ночь".

14 июня 1939 года в Гааге умер отец Мориса Эшера.

Несколькими месяцами позже Эшер начал работу над одной из самых важных своих картин. В 1937 году он создал гравюру "Метаморфозы", где показано, как один из блоков города превращается в человека.

На новой картине "Метаморфозы-2" представлена последовательность 10 трансформаций. Это самая большая картина Эшера размерами 19 см на 3.9 м.

Вhello_html_cf5efb3.jpg мае 1940 года нацисты оккупируют Голландию и Бельгию, а 17 мая в зону оккупации попадает и Брюссель. В конце мая умирает мать Эшера. Из-за военных действий Морис опаздывает на ее похороны.

Конец 1940 года уходит у Мориса на то, чтобы завершить дела матери, а также на оформление ратуши в Лейдене. Он и Джетта находят дом в Барне (Голландия) и переезжают туда в феврале 1941 года. До конца своих дней Эшер будет жить в этом городе.

Морис Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Только спустя десятилетия учёные стали изучать свойства этих фигур и с помощью ЭВМ создавать то, что Эшер рисовал вручную.


Голландия, война, слава

1 февраля 1944 нацисты, преследовавшие евреев, арестовывают учителя Эшера - Самюэля де Месквита. Больше его никто не видел. Эшер помогает переправить работы де Месквита в амстердамский музей "Стеделик". Он оставляет у себя лишь один эскиз де Месквита, на котором остался отпечаток немецкого сапога. Этот эскиз Эшер хранит до конца своих дней. После войны в 1946 году Эшер устраивает мемориальную выставку, посвященную творчеству де Месквита в музее "Стеделик".

Вhello_html_m54cc0fed.jpg1946 году Эшер начинает интересоваться технологией глубокой печати. И хотя эта технология была намного сложнее той, которой пользовался Эшер до этого и требовала больше времени для создания картины, но результаты были впечатляющими - тонкие линии и точная передача теней. Одна из самых известный работ в технике глубокой печати  "Капля росы" была закончена в 1948 году.

В 1949 году Эшер с двумя другими художниками устраивает большую выставку своих картин. В дополнение к выставке художники рассказывают и демонстрируют свою технику создания изображений. В ходе выставки были проданы некоторые работы Мориса Эшера, включая одну из огромных "Метаморфоз".

Пhello_html_m71dfffab.jpgосле публикации статей в двух журналах Эшер приобретает известность в Америке. Корреспондент журнала The Studio Израэль Шенкер берет интервью у художника в его доме в Барне. Интервью было сделано в конце 1950 года и опубликовано в начале 1951 года в журнале Time, а позже в журнале Life.

Эшер иногда создает модели некоторых объектов для своих картин из глины, дерева, проволоки и других материалов. Например, как рассказывает Джордж Эшер, при работе над знаменитой картиной "Рептилии" 1943 года, где маленькие крокодилы выползают из мозаики, проходят по книгам на столе и опять превращаются в мозаику, он вылепил фигурку крокодила из пластилина и располагал ее последовательно на столе среди других предметов, чтобы нарисовать всю картину. Также с использованием моделей создавалась картина "Дом лестниц", законченная в 1951 году.

Популярность


В 1950 году Морис Эшер обретает популярность как лектор. Тогда же в 1950 году проходит его первая персональная выставка в Соединенных Штатах.

2hello_html_5573633a.jpg7 апреля 1955 года Мориса Эшера посвящают в рыцари и он становится дворянином.
В 1956-57 годах художник заканчивает несколько своих самых известных работ, включая "Три мира". В это время продается большое количество его работ. Например, он получил чек от Вашингтонского дилера на сумму 2125 долларов за 150 его отпечатков. На сегодняшний день это не такая уж большая сумма (сегодня одна работа Эшера того времени стоит больше), но художник был благодарен и за это.

В 1957 году художнику предлагают сделать фреску в голландском городе Утрехте. В октябре 1958 года Джордж Эшер заканчивает университет и эммигрирует в Кhello_html_m279a5498.jpgанаду.

В середине 50-х годов Эшер объединяет мозаику с фигурами, уходящими в бесконечность.

Начав использовать этот прием в работе "Меньше и меньше", он продолжил его в картине "Водовороты" и так далее до своей последней работы "Змеи". До 1958 года Морис Эшер изображает объекты, уменьшающиеся по мере приближения к центру картины, а после 1958 года он изображает фигуры, уменьшающиеся по мере удаления от центра картины. Причем смена направления связана с изучением Эшером статьи профессора Коксетера из Оттавы, который проиллюстрировал систему образцов, уменьшающихся по мере удаления от центра. Интерпретация эффекта Коксетера наблюдается как минимум в шести работах Мориса Эшера.

В 1959 году Эшер встречается с профессором Мак Гиллаври, после этого художник выступает на международном конгрессе кристаллографии в Англии на тему симметрии. Также в 1959 году он получил копию статьи Лайонела и Роджера Пенроузов о невозможных фигурах. В статье упоминались некоторые ранние работы Эшера, но также было и кое-что новое. Картина "Восхождение и спуск" (1960) основана на знаменитой лестнице Пенроузов.

В начале 60-х годов вышла в свет первая книга с работами Эшера Grafiek en Tekeningen, в которой 76 работ прокомментировал сам автор. Книга помогла обрести понимание среди математиков и кристаллографов, включая некоторых из России и Канады. В августе 1960 Эшер прочитал лекцию по кристаллографии в Кембридже.


Последние годы


Математические и кристаллографические аспекты творчества Эшера становятся очень популярными. В 1965 году профессор Каролина МакГиллаври опубликовала книгу "Аспекты симметрии в творчестве М. К. Эшера".

В 1964 году Эшер снова отправляется в Америку, чтобы повидать сына и прочитать несколько лекций. Но он неожиданно заболел и после операции в Торонто они с женой вернулись в Голландию. Лекции, которые были полностью написаны Эшером, были изданы спустя 20 лет в книге "Эшер об Эшере".

Жена Эшера никогда не была счастлива в Барне и в 1968 году вернулась в Швейцарию, где и провела остаток жизни. Эшер остался в Барне и погрузился в работу. И, хотя здоровье его ухудшалось, он продолжал создавать гравюры по дереву.

Вhello_html_m2f766894.jpg 1970 году после новой серии операций Эшер переехал в новый дом в Ларене (Нидерланды), в котором была студия, но плохое здоровье не давало возможности много работать. Он продолжает переписываться со многими друзьями по всему миру, включая школьного друга Баса Киста. Была издана исчерпывающая книга о жизни и творчестве художника. Эшер прожил достаточно долго, чтобы увидеть книгу "Мир М. К. Эшера" (The World of M. K. Escher) переведенную на английский язык и остался ею очень доволен.

Последняя работа, законченная Эшером - "Змеи".

В марте 1972 года самочувствие художника сильно ухудшилось. Вся семья собралась возле постели больного.

27 марта в возрасте 73 лет Морис Эшер скончался.

Глава 2. Эшер и математика

Гhello_html_51cdb9d8.pngолландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

С 1941 года Эшер постоянно живёт в Голландии. Всемирная известность пришла к нему в 1951 году сразу после публикации в трёх популярных журналах «The Studio», «Time» и «Life». В 1954 году в Амстердаме состоялась большая выставка Эшера, приуроченная и Международному математическому конгрессу. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. Однажды известный геометр Г.Кокстер пригласил Эшера на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. Ко взаимному разочарованию, Эшер не понял почти ни слова из того, о чём рассказывал Кокстер. Вот что писал об этом сам художник: "Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен".

Мозаики

Рассматривая гравюру Эшера «Порядок и хаос», вспоминаешь слова основателя кибернетики Норберта Винера: «Высшее назначение математики- находить порядок в хаосе, который нас окружает».

Гравюра Эшера прекрасно иллюстрирует эту мысль. На ней звёздчатый додекаэдр, символ красоты и порядка, окружён прозрачной сферой, в которой отражается бессмысленная коллекция бесполезных вещей.

Гhello_html_m814deed.jpgерман Вейль говорил, что «человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство с помощью симметрии» .

Человек познаёт законы природы, видит и изучает симметричные формы вокруг себя (снежинки, растения, кристаллы и др) и сам реализует симметричные формы, создавая разнообразные узоры, мозаики и орнаменты. В сущности, мы живём среди мозаик: кирпичная кладка домов, паркетные полы, выложенные плиткой стены, ковёр на стене – всё это мозаики. Но, мозаичный узор – ещё и искусство. Рассмотрим симметричные композиции Эшера «hello_html_m2f6e4c6c.jpgВсадники», «Лебеди», «Восемь голов». Такие мозаики называют орнаментами.

Рhello_html_m63ae436e.pngегулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

hello_html_m5357c5c.png

hello_html_m4d4bde17.png

hello_html_m18ade11.png

hello_html_m1c86efd9.png

hello_html_147cbc5.png

hello_html_m1c86efd9.png

hello_html_12887275.png
Регулярное разбиение 
плоскости птицами

hello_html_m3070dee1.png
Рептилии

hello_html_40bc636a.png
Цикл

hello_html_500a66bb.png
Эволюция 1

В гравюре "Рептилии" маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В "Эволюции 1" можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.

Зhello_html_125f0979.jpgагадочен, точен, иррационален и логичен мир удивительного голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера (Maurits Cornelis Escher). Эшер уникален в своем творческом методе, да и в восприятии жизни в целом. Его работы остаются загадками для математиков и философов. Он создал неповторимую игру с пространством, временем, формой. Кто не знаком с гравюрами Эшера, может подумать, что я слишком восторженно о нем отзываюсь, но посмотрите сами!

Чhello_html_m741bf31c.jpgто происходит в этом натюрморте с рептилиями? Сначала не замечаешь ничего особенного. Но графика создает особый мир линий, пятен, света и тени. Чем больше всматриваешься в эту картину, тем больше погружаешься в черно-белый мир плоскостного пространства. Маленькие ящерки оживают и выползают из мозаики, лежащей на столе. Они идут по кругу, наталкиваясь на препятствия, подъемы, спуски, и, наконец-то - кульминация – одна ящерка чихает или фыркает, и возвращается по кругу обратно, в картинку, из которой когда-то вышла. Художник создал натюрморт, где живое и мертвое переплетаются так тесно, что невозможно провести разделительную грань. Казалось бы, живо то, что двигается и чихает, но оно тут же превращается в неживое – статичное и даже схематичное! Динамика превращения стремительна, изменчивость мира мгновенна. Тут можно сколько угодно толковать о символе жизни, о рождении-смерти-воскрешении. Эшер, продолжая традиции старых голландских мастеров, (может, это генетическая память) остается верен точному и реалистичному изображению. Он уделяет внимание каждой детали, каждой черточке, каждому предмету. И также как натюрморт «малых голландцев», still life Эшера заставляет нас размышлять, отгадывать его скрытый смысл, искать – и всю жизнь получать разные ответы.

Дhello_html_525684c.jpgумаю, что после жука-оленя на рисунке Альбрехта Дюрера, достойное место в галерее жуков в изобразительном искусстве должны занять скарабеи Мориса Эшера. Эта гравюра на дереве была выполнена им в 1935 году. Сам Эшер писал о скарабеях, что "для того, чтобы рассмотреть их, я должен был их нарисовать".

Он пытался в своих гравюрах показать, что мы живем в прекрасном и упорядоченном мире, а не в бесформенном хаосе, как иногда кажется. Его работы – мост между наукой и искусством. Он получал удовольствие, смешивая двух- и трехмерность, плоскость и пространство, смеясь над гравитацией. Первые в ряду его работ – иллюстрации к законам симметрии. Изучая дворцы в Альгамбре, Эшер заинтересовался тем, как мавры заполняли плоскости подобными фигурами, переходившими друг в друга без пробелов. Так же подобные узоры встретились ему в работах японских художников. Но работы самого Эшера отличают две особенности – он всегда использует узнаваемые изображения, взятые из живой природы, и цветовые контрасты.

Хhello_html_2e42a265.jpgудожник подробно исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях. Многие графические находки Эшера вошли в число символов XX века и часто «цитируются» другими художниками.

Эшер создает цикл работ, посвященных симметрии (цикл так и называется «Symmetry Works”). Таков и опус номер 91, работа 1953 года, в основу которой легла тема жуков.



Эhello_html_4209271.jpgшер, заполняя плоскости орнаментом из фигур животных либо людей, выполненных без зазоров, выработал три принципа регулярного заполнения плоскости: переноса, осей и скользящего отражения. Фигуры либо просто копируются на некотором расстоянии друг от друга – это и есть принцип переноса, либо при копировании поворачиваются вокруг оси – принцип осей, либо отражаются зеркально – принцип скользящего отражения. Безусловно Морис Эшер оставался всегда художником, поиски в области художественной композиции относятся именно к искусству, а никак не к геометрии.

У Эшера более 150 орнаментов. Среди них есть яркие художественные произведения, цельные композиции, несущие определённую смысловую нагрузку.

Еhello_html_ad7d9d7.jpgщё в 1935 году Эшер наткнулся на книгу по кристаллографии и мало что в ней понял. Но знакомство с такой литературой не прошло зря. Эшер стал анализировать закономерности своих рисунков, приступил к многоцветным композициям. Для себя он сформулировал законы симметричного заполнения пространства многоцветными фигурами. Когда же с этими законами познакомились специалисты, оказалось, что Эшер сам пhello_html_m21967857.jpgришёл к некоторым группам симметрии, которые лежали в основе кристаллографии.

В своё время были проанализированы паркеты Эшера, результаты обсуждались на всемирном съезде кристаллографов. Но симметрия Эшера оказалась более богатой, чем симметрия кристаллов.

Хотя математическое начало сильно в гравюрах Эшера, они изображают не мир формул, а красоту мира. hello_html_44859ea5.jpghello_html_706b6e88.png



Мhello_html_7faad15a.jpghello_html_3db01117.jpgногогранники

Пhello_html_m2558ba6a.pnghello_html_2a269870.jpgравильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

Фhello_html_m7a95bc68.jpgорма пространства

Сhello_html_m4f718c03.pnghello_html_5a9c6313.jpgреди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три пересекающиеся плоскости" - хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.

Пhello_html_400dbea9.pngод влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе "Предел круга III". Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком пространстве вы на первый взгляд не заметите ничего нhello_html_m2d456b13.jpgеобычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников. Странное место, не правда ли?

Еhello_html_60045deb.jpgще более странное пространство показано в работе "Змеи". Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?

Кhello_html_m146b0187.jpghello_html_m7d4bed00.jpgроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например,  растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?

Другая интересная литография назавается "Картинная галерея", в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город ... стоп! Что-то не так...

hello_html_m4de3177a.png    hello_html_6f5b0cb7.png

Дhello_html_36730926.jpgля понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернул пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины - белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой, где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф.



Логика пространства

Пhello_html_m6c7f39e9.pnghello_html_m1e518703.pngод "логикой" пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.

Эhello_html_370e68fc.jpgшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.

hello_html_m79891d72.png

Еще один из аспектов логики пространства - перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства.  Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.

Вhello_html_7f941bf8.pngводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине "Cверху и cнизу" художник разместил сразу пять точек исчезновения - по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.

Третий тип картин с нарушенной логикой пространства - это "невозможные фигуры". Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.)

hello_html_m5ef98847.jpghello_html_m13d68ac1.jpghello_html_4765931d.jpg

Геометрические парадоксы.

Многие художники отдали дань геометрическим и оптическим чудесам. Они создавали картины, в основе которых лежали геометрические парадоксы. Среди них самым известным является гениальный голландский художник-график Мауриц Эшер, по праву называемый королём оптических иллюзий.

Святая святых всех невозможных фигур - невозможный треугольник Эшера. Про него говорят, что это самая чистая форма невозможного объекта.

hello_html_5ddcdd47.png

Не менее интересны гравюры « Тройной треугольник», hello_html_m41b60b19.png

«Странные комнаты», hello_html_1e82bdad.pnghello_html_m64b74f8b.pnghello_html_31c7ff5e.png

«Треугольник из кубов»,

hello_html_m49823562.png

«hello_html_md2f7631.pnghello_html_2db3ac60.pngЗакрученный треугольник», «Каналы»,











«Треугольник с перемычками»

hello_html_m6545e00e.png

Эшер – автор геометрических пародоксальных картин. Вот некоторые из них.

Пhello_html_m6d853afd.pnghello_html_md3c0f80.jpghello_html_m496ac536.pngосмотрите на литографию «Бельведер», напоминающую многоэтажную, воздушную беседку. На первый взгляд это изящное архитектурное сооружение. Но беседка оказывается с секретом. Если внимательно приглядеться, то можно заметить, что колонны необъяснимым образом до половины своей длины расположены внутри сооружения, а другие их половины находятся вне бельведера. Лестница, по которой поднимается человек, находится и внутри, и вне беседки. Художник как бы говорит зрителю, что трёхмерный мир, в котором мы живём, диктует нам свои законы: ничто в этом мире не может быть одновременно спереди и сзади. И, подтверждая эту мысль, художник изображает вывернутый куб в руках человека, сидящего на скамейке рядом с бельведером. Ясно, что даже самый искусный строитель не сможет построить бельведер и куб в нашем трёхмерном пространстве. И всё-таки мы видим их.

Эhello_html_33fdf2cb.pngто чудо дарит нам наш глаз потому, что он плохо чувствует объём и его легко обмануть. Зрение знает о пространстве лишь то, что подскажет ему рука: что ближе, что дальше, где выгнуто, а где вогнуто.

Без руки глаз никогда бы не узнал о том, что есть пространство, объём, он видел бы наш мир плоским, раздавленным.

А вот ещё одна гравюра Эшера «Поднимаясь и опускаясь». Замок. Черепичная крыша. Башенка. Квадратный дворик. По окаймляющей дворик замкнутой лестнице нескончаемой вереницей идут люди. Это монахи. Одни идут всё время вверх, а другие – всё время вниз.



hello_html_mdea16a7.pnghello_html_m18bbc97d.png

Перед нами гравюра «Водопад». Нескончаемым потоком падает на колесо вода, которая тут же сама поднимается вверх, чтобы, вновь падая вниз, вращать мельничные жернова.

Пhello_html_m2c017a03.jpgрямо скажем, неправдоподобная картина – вечный двигатель – химера изобретателей! С первого взгляда вроде бы реальное изображение действительности, но если присмотреться более внимательно, то становится очевидным, что всё это – нереальные, невозможные объекты.

Наш глаз видит то, во что мозг отказывается верить!

Мы видим только то, что знаем. Остальное домысливаем, угадываем, пытаемся сравнить с чем-нибудь похожим. Рассмотрим гравюру Эшера «День и ночь»

Интересный пейзаж: город, река, мельница зеркально отображённые относительно середины гравюры, но при этом одно изображение – позитив, другое – негатив. Когда взгляд смыкается с двумя городами и квадратами полей между ними, эти квадраты, деформируясь, переходят в летящих в разные стороны птиц. Что это – белые птицы на чёрном фоне или чёрные – на светлом?

Знать этого нельзя. Можно лишь вообразить и птиц, и оба города, и весь мир. И пусть наш глаз несовершенен, а рука немощна, зато нам дано большее- дар фантазии. Фантазия помогает строить миры, в которые не ступала нога человека, мир, которых нет в действительности.

Именно такой мир, возникший в воображении художника – на гравюре Эшера «Другой мир»

hello_html_m1775bd2f.jpg

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

Самовоспроизведение и информация

Вhello_html_7010763f.jpghello_html_5fa51d71.jpg заключение мы рассмотрим аспекты творчества Эшера, относящиеся к теории информации и искусственному интеллекту. Эта область творчества художника широко освещена во многих статьях и книгах. Наиболее полное исследование этого вопроса освещено в книге Дугласа Хофстадтера (Douglas R. Hofstadter) "Гёдель, Эшер, Бах: Бесконечная золотая нить" (Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid), выпущенной в 1980 году и награжденной пулитцеровской премией.

Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии "Рисующие руки" и "Рыбы и чешуйки" используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе "Рыбы и чешуйки" концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоит из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.

Уhello_html_m1f4786bb.jpgглубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример - литографию "Три сферы", на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал "... каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира...".

Таким образом, мы заканчиваем тем же, с чего начали, - автопортретом художника - его отражением в своей работе.

Сhello_html_63ba8895.jpgпирали

Странно, но в оригинальной работе обошли вниманием целый класс фигур, которые достаточно часто встречаются в работах Эшера. Это закрученные в спирали фигуры. В работе "Спирали" мы видим четыре закручивающиеся в спираль полоски, которые постоянно сближаются и постепенно закручиваются сами в себя, образуя своеобразный тор. Пройдя целый круг, спираль заходит внутрь самой себя, образуя тем самым, как бы, спираль второго порядка - спираль в спирали.

Вhello_html_m2d64975.jpghello_html_610bb4ab.jpg работе "Водовороты" Эшер объединил спиралевидную форму и свой излюбленный художественный прием - регулярное разбиение плоскости (или мозаику). Здесь рыбы,выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружась в него, постепенно уменьшаются в размерах и наконец совсем исчезают. Обратите внимание на постепенно уменьшающуюся в размерах мозаику. Если мысленно развернуть спираль, то мы увидим лишь два ряда рыб, плывущих навстречу друг другу. Но скрученные в спираль и соответствующим образом деформированные образы рыб полностью покрывают некоторую область бесконечной плоскости.

Иной способ представления спирали использован в работе "Сферические спирали", где четыре полосы расположены на поверхности шара, проходя от одного полюса шара к другому. Похожий путь может пройти самолет, летящий с северного полюса земного шара на южный.

Зhello_html_m493a08ff.jpgдесь мы привели основные виды спиралей, использованных Эшером в своих работах. Различные их модификации можно обнаружить и на многих других литографиях художника.

Иhello_html_m1989d279.pngспользование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной работе, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.

Закончить хотелось бы картиной "Узлы", изображающей замкнутые фигуры, которые нельзя отнести к какому-либо разделу данной статьи.

Заключение

Морис Эшер прожил колоссальную творческую жизнь, создавая потрясающие, уникальные, порой даже парадоксальные шедевры. Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение «метаморфоз», фигурирующих в разных формах во множестве работ. Художник подробно исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях. Кроме того, Эшер неоднократно рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у него в рыб и проч.) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живые существа. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками.

Мы рассмотрели лишь небольшую часть работ из сотен набросков и литографий и гравюр, оставшихся после смерти Эшера в 1972 году. Еще многое будет сказано и уже сказано о значении и важности его работ. С каждым годом появляется все больше и больше книг, где освещается творчество художника, анализируются различные аспекты его творчества. Надеемся, что мы заинтересовали вас творчеством Эшера.














Список использованной литературы

  1. Табачников С. Текстильная геометрия. - Квант, № 7. 1990

  2. Зайцева Е. Творец невозможного: художественные образы математика Мориуса Эшера.- Новое 3время, №36, 1998

  3. Смирнова Е.С. Интеллектуальный театр в школе. Математика и фантазия. 56-11 класс. М. УЦ «Перспектива» 2007

  4. С.Табачников . Вариации на тему Эшера. – Квант. № 12, 1990

  5. http://shop.escher.ru

  6. http://onaturmorte.ru

  7. http://www.worldofescher.com/

  8. http://www.mcescher.com/

  9. http://www.escher.ru/index.php

  10. http://www2.gol.com/users/atoz/3descher/index.html

  11. http://www. varvar.ru

  12. http://www. Wordmancer_com

  13. http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html

  14. http://ru.wikipedia.org/wiki/Категория:Работы_Мориса_Эшера

  15. http://ru.wikipedia.org/wiki/Эшер

25


Исследовательская работа "Вариации на тему ЭШЕРА"
  • Математика
Описание:

У первого встречного грамотного любителя фантастики фамилия Эшер вызовет, скорее всего, ассоциации с одноименным домом, падение которого описано Эдгаром По. Однако существовал реальный человек, заслуживающий внимания фантастов не меньше. Речь идет о голландском художнике Морисе Корнелиусе Эшере.

          Творчество его настолько нетривиально, фантастично, что читатели научных журналов часто видят публикации работ этого замечательного художника

Жизнь голландского художника Эшера, как часто пишут в биографиях выдающихся людей, была небогата событиями.

Цель работы:.Показать связь фантастического  творчества Эшера.с математикой.

 

Задачи:  Познакомиться с информацией о творчестве Эшера   и  показать связь его картин с математическими понятиями и объектами;

 

 

Автор Тупицына Наталья Алексеевна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1463
Номер материала 33921
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓