Главная / Математика / Исследовательская работа по теме: "Четность произведения двух функций"

Исследовательская работа по теме: "Четность произведения двух функций"



Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №129

Советского района Волгограда













Исследовательская работа по теме:

"Четность произведения двух функций"















Выполнила работу

обучающиеся 8 «Б» класса

Кудинова Юлия

Руководитель работы

Иванас Ирина Анатольевна,

учитель математики







Оглавление.

Введение 3

Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования. 5

    1. Сбор первичного фонда информации. 5

    2. Классификация фонда. 5

    3. Составление модели для исследования. 6

    4. Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было

исследовать все виды моделей. 6

Глава 2. Исследование собранного материала. 7

2.1. Исследование полученных моделей на четность

(по выбранному вопросу). 7

Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах. 8

3.1. Формулировка гипотезы. 8

3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде. 8

Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование. 9

4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…). 9

4.2. Доказательство теоремы в общем виде. 9

Заключение 11

Список литературы 12

Приложения.

Приложение 1. 13

Приложение 2. 14

Приложение 3. 15





Введение.

Проблема. Четность произведения двух функций.

Цели:

  • изучение алгоритма определения четности произведения двух функций;

  • содействие углублению теоретического материала;

  • развитие познавательного интереса, расширение представления о свойствах произведения двух функций;

  • развитие умения осуществлять самостоятельный поиск информации, анализировать и обобщать её.

Задачи:

  • расширить знания программного материала о четности функции;

  • продолжить формирование умения исследовать функцию на четность с помощью определения;

  • формировать культуру построения графиков функций, культуру формулирования новой гипотезы и её доказательства;

  • развивать способность к исследовательской и проектной деятельности;

  • повысить информационную и коммуникативную компетентность.

Актуальность темы:

  • расширение знаний о четности функции, четности произведения двух функций;

  • развитие средствами составления гипотез и их доказательства своих индивидуальных способностей и своего саморазвития;

  • умение использовать новую информацию и дополнительную литературу, выполнять анализ полученного материала и синтезировать его в доказательстве гипотезы.

Объектная область: математика.

Объект исследования: функции.

Предмет исследования: четность функции.

Методы исследования:

  • изучение литературы;

  • анализ и синтез;

  • сравнение;

  • метод визуализации данных.

Новизна и практическое значение:

Изучая свойства элементарных функций (линейная, квадратичная, степень с натуральным показателем, обратная пропорциональность, модуль), мы узнали, как исследовать функцию на четность по определению. Изучаемые в школьной программе функции были исследованы нами на четность. В данной работе с помощью теоретического материала и графиков функций исследована четность произведения двух функций, что способствует углублению знаний и расширению кругозора.















Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования.

Изучая теоретический материал по теме «Функции и их свойства мы

познакомились со свойством четности.

По определению, которое мы нашли в дополнительной литературе,

четной называется функция f(x), обладающая следующими свойствами:

1). Область определения функции (D(f)) симметрична относительно начала отсчета;

2). f(-x)=f(x).

    1. Сбор первичного фонда информации.

Из собственного опыта мы собрали копилку конкретных примеров функций, известных из курса алгебры:
y=5x; y=-7x+5; y=x2; y=x3; y=x4; y=x5; y=|x|; y=3/x; y=5; y=x; y=5x2+2x-3

    1. Классификация фонда.

На этом этапе мы провели классификацию собранного фонда функций по четности.

Функции

Четные

Нечетные

Аморфные (функция не является ни четной, ни нечетной)

y=x2
y=x4
y=|x|
y=5

y=5x
y=x3
y=x5
y=3/x
y=x

y=-7x+5
y=5x2+2x-3

    1. Составление модели для исследования.

Для четности произведения двух функций, четность которых известна, возможны варианты:

  1. Чhello_html_m3c62c67f.gifЧ;

  2. Чhello_html_m3c62c67f.gifН;

  3. Нhello_html_m3c62c67f.gifН.

    1. Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей.

Чhello_html_m3c62c67f.gifЧ

Чhello_html_m3c62c67f.gifН

Нhello_html_m3c62c67f.gifН

y=x2hello_html_m3c62c67f.gifx4
y=x
2hello_html_m3c62c67f.gif|x|
y=x
4hello_html_m3c62c67f.gif|x|
у=(x
4-3) hello_html_m3c62c67f.gif (-x2)

y=x2hello_html_m3c62c67f.gif5x
y=x
4hello_html_m3c62c67f.gifx3
y=|x|
hello_html_m3c62c67f.gif3/x

у=5хhello_html_m3c62c67f.gifx3

у= х5hello_html_m3c62c67f.gif3/x

у=хhello_html_m3c62c67f.gifx3






















Глава 2. Исследование собранного материала.



2.1. Исследование полученных моделей на четность (по выбранному вопросу).

1) Дано: у=x2 - четная;
y=x
4 - четная.
Проверить на четность функцию z(х)=x2hello_html_m3c62c67f.gifx4

Исследование.

1). Область определения функции z=x2hello_html_m3c62c67f.gifx4
D(
z): (-hello_html_m24d7f731.png; +hello_html_m24d7f731.png) - симметричная относительно начала отсчета.

2). z(-x) = (-x)2hello_html_m3c62c67f.gif(-x)4=(-x)6=x6=z(x)

Из 1) и 2) следует, что функция z(x) - четная.
Аналогично проверяются остальные функции вида Ч
hello_html_m3c62c67f.gifЧ.

2) Дано: у=x2 - четная;
y=5x - нечетная.
Проверить на четность функцию g(х)= x2hello_html_m3c62c67f.gif5x

Исследование.

1). Область определения функции g=x2hello_html_m3c62c67f.gif5x
D(
g): (-hello_html_m24d7f731.png; +hello_html_m24d7f731.png) - симметричная относительно начала отсчета.

2). g(-x) = (-x)2hello_html_m3c62c67f.gif5(-x)=-5x3= - g(x)

Из 1) и 2) следует, что функция g(x) - нечетная.
Аналогично проверяются остальные функции вида Ч
hello_html_m3c62c67f.gifН.

3) Дано: у=x - нечетная;
y=x
3 - нечетная.
Проверить на четность функцию f(х)=xhello_html_m3c62c67f.gifx3

Исследование.

1). Область определения функции f=xhello_html_m3c62c67f.gifx3
D(
f): (-hello_html_m24d7f731.png; +hello_html_m24d7f731.png) - симметричная относительно начала отсчета.

2). f(-x) = (-x)hello_html_m3c62c67f.gif(-x)3=(-x)4=x4= f(x)

Из 1) и 2) следует, что функция f(x) - четная.
Аналогично проверяются остальные функции вида Н
hello_html_m3c62c67f.gifН.

Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах.

3.1. Формулировка гипотезы.

В первом случае: Чhello_html_m3c62c67f.gifЧ=Ч (произведение двух четных функций есть четная функция).

Во втором случае: Чhello_html_m3c62c67f.gifН=Н (произведение четной функции на нечетную функцию есть нечетная функция).

В третьем случае: Нhello_html_m3c62c67f.gifН=Ч (произведение двух нечетных функций есть четная функция).

3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде.

1). у(х)=(x4-3)hello_html_m3c62c67f.gif(-x2)

1). Область определения функции у(x)
D(у): (-hello_html_m24d7f731.png; +hello_html_m24d7f731.png) - симметричная относительно начала отсчета.

2). у(-x) = ((-x)4-3)hello_html_m3c62c67f.gif(-(-x)2) =(x4-3)hello_html_m3c62c67f.gif(-x2)=у(x)

Из 1) и 2) следует, что функция у(x) - четная.
Контрпримеров мы здесь не нашли.

2). у(х)=|x|hello_html_m3c62c67f.gif3/x

1). Область определения функции у(x)
D(у): (-hello_html_m24d7f731.png;0)hello_html_m1892df5d.gif(0; +hello_html_m24d7f731.png) - симметричная относительно начала отсчета.

2). у(-x) =|-x|hello_html_m3c62c67f.gif3/(-x)=-|x|hello_html_m3c62c67f.gif3/x=- у(x)

Из 1) и 2) следует, что функция у(x) - нечетная.
Контрпримеров мы здесь не нашли.

3). у(х)= х5hello_html_m3c62c67f.gif3/x

1). Область определения функции у(x)
D(у): (-hello_html_m24d7f731.png;0)hello_html_m1892df5d.gif(0; +hello_html_m24d7f731.png) - симметричная относительно начала отсчета.

2). у(-x) =(-x)5hello_html_m3c62c67f.gif3/(-x) =x5hello_html_m3c62c67f.gif3/x= у(x)

Из 1) и 2) следует, что функция у(x) - четная.
Контрпримеров мы здесь не нашли.

Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование.

4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…).

1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.

2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.

3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.

4.2. Доказательство теоремы в общем виде.

1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.

Дано.
y1=f(x) - четная;
y2=p(x) - четная.

Доказать:
g(x) = f(x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(x) - четная.

Доказательство.
y
1=f(x) - четная, следовательно,
D(f) - симметрична относительно начала координат;
f(-x)=f(x)
y
2=p(x) - четная, следовательно,
D(p) - симметрична относительно начала координат;
p(-x)=p(x)
Для функции g(x) = f(x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(x)
D(g)=D(f)
hello_html_m7900383e.pngD(p) - симметрична относительно начала координат, т.к. пересечение отрезков, симметричных относительно начала отсчета, дает отрезок, симметричный относительно начала отсчета.
g(-x)= f(-x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(-x)= f(x)hello_html_m3c62c67f.gifp(x)=g(x) (по у1 и у2).

Из 1) и 2) следует, что g(x) - функция четная, что и требовалось доказать.



2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.

Дано.
y1=f(x) - четная;
y2=p(x) - нечетная.

Доказать:
g(x) = f(x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(x) - нечетная.

Доказательство.
y
1=f(x) - четная, следовательно,
D(f) - симметрична относительно начала координат;
f(-x)=f(x)
y
2=p(x) - нечетная, следовательно,
D(p) - симметрична относительно начала координат;
p(-x)=-p(x)
Для функции g(x) = f(x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(x)
D(g)=D(f)
hello_html_m7900383e.pngD(p) - симметрична относительно начала координат, т.к. пересечение отрезков, симметричных относительно начала отсчета, дает отрезок, симметричный относительно начала отсчета.
g(-x)= f(-x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(-x)= f(x)hello_html_m3c62c67f.gif(-p(x))=- g(x) (по у1 и у2).

Из 1) и 2) следует, что g(x) - функция нечетная, что и требовалось доказать.

3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.

Дано.
y1=f(x) - нечетная;
y2=p(x) - нечетная.

Доказать:
g(x) = f(x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(x) - четная.

Доказательство.
y
1=f(x) - нечетная, следовательно,
D(f) - симметрична относительно начала координат;
f(-x)=-f(x)
y
2=p(x) - нечетная, следовательно,
D(p) - симметрична относительно начала координат;
p(-x)=-p(x)
Для функции g(x) = f(x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(x)
D(g)=D(f)
hello_html_m7900383e.pngD(p) - симметрична относительно начала координат, т.к. пересечение отрезков, симметричных относительно начала отсчета, дает отрезок, симметричный относительно начала отсчета.
g(-x)= f(-x)
hello_html_m3c62c67f.gifp(-x)= -f(x)hello_html_m3c62c67f.gif(-p(x))=g(x) (по у1 и у2).

Из 1) и 2) следует, что g(x) - функция четная, что и требовалось доказать.



Заключение.

Изучив теоретический материал, рассмотрев свойство четности элементарных функций, мы исследовали четность произведения двух функций, четность которых была нам уже известна. Работая над этой темой мы выяснили, что произведение двух четных функций и двух нечетных функций есть четная функция, а произведение четной функции и нечетной функции есть нечетная функция.

При помощи определения четности функции нам удалось провести исследование частных примеров, затем проверить и доказать гипотезу четности и нечетности произведения двух функций.

Изучение данной проблемы помогло нам выбрать дальнейший путь исследований.

Нами были определены следующие направления работы:

  • увеличить фонд за счет добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества четных функций есть функция четная (Чhello_html_m3c62c67f.gifЧhello_html_m3c62c67f.gifЧhello_html_m3c62c67f.gifhello_html_m3c62c67f.gifЧ=Ч);

  • рассмотреть частные случаи (отыскание возможных следствий из доказанной теоремы);

  • составить и проверить обратные утверждения.

Полученные знания и умения сбора и анализа материала, составления гипотезы и доказательства её помогут нам провести исследование по выбранному направлению.



















Список литературы

  1. С.М. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. Алгебра 8 класс: учебник – М., Просвещение

  2. Л. И. Лопатников. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — 5-е изд., переработанное и дополненное — М.: Дело, 2003. — 520 с.

  3. П.В.Семенов. Функции и их свойства, издательство МЦНМО.











































Исследовательская работа по теме: "Четность произведения двух функций"
  • Математика
Описание:

Цели:

·        изучение алгоритма определения четности произведения двух функций;

·        содействие углублению теоретического материала;

·        развитие познавательного интереса, расширение представления о свойствах произведения двух функций;

·        развитие умения осуществлять самостоятельный поиск информации, анализировать и обобщать её.

Задачи:

·        расширить знания программного материала о четности функции;

·        продолжить формирование умения исследовать функцию на четность с помощью определения;

·        формировать культуру построения графиков функций, культуру формулирования новой гипотезы и её доказательства;

·        развивать способность к исследовательской и проектной деятельности;

 

·        повысить информационную и коммуникативную компетентность.

Автор Иванас Ирина Анатольевна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 404
Номер материала 30458
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓